Staatika ja kinemaatika

Staatika ja kinemaatika MHD0071 I. Staatika Leo eder Mehhatroonikainstituut Mehaanikateaduskond allinna ehnikaülikool 2016

Sisukord I Staatika 1. Sissejuhatus. 2. Newtoni seadused. 3. Jõud. 4. ehted vektoritega. 5. Staatika aksioomid. 6. Sidemed. Sidemete reaktsioonid. 7. Jõu projektsioon. 8. Jõuvektorite analüütiline liitmine. 9. Koonduv jõusüsteem. 10. Jõu moment punkti suhtes. Jõu moment telje suhtes. Jõupaar. 11. Jõusüsteemi tasakaal. asakaalu tingimused. 12. Hõõrdejõud. Veeretakistus. 13. Ruumiline jõusüsteem. 1

Kirjandus 1. Kalju Kenk, Jüri Kirs. Mehaanika alused. Staatika. Kinemaatika. allinn 2013. 2. Kalju Kenk, Jüri Kirs. Mehaanika alused. Dünaamika. nalüütiline mehaanika. allinn 2013. 3. Lepik Ü., Roots L. eoreetiline mehaanika. allinn Valgus 1971. 4. Endel opnik. eoreetiline mehaanika I. Staatika ja kinemaatika. allinn 1994. 5. Endel opnik. Insenerimehaanika ülesannetest. I, II. allinn 1999. 2

Kirjandus (jätkub) 6. Endel opnik. Insenerimehaanika harjutusülesanded. allinn 2001. 7. Endel opnik. Insenerimehaanika põhivara. allinn 1998. 8. Jüri Kirs. EOREEILINE MEHNIK I. Loenguid ja harjutusi staatikast. allinn 2010-2011 (http://www.mh.ttu.ee/jkirs/). 9. Jüri Kirs. Insenerimehaanika II. Loenguid ja harjutusi kinemaatikast. allinn 2008 (http://www.mh.ttu.ee/jkirs/). 10. aivo Liiva. eoreetiline mehaanika I. Staatika. allinn 2008. 3

1. Sissejuhatus. 4

Mehaanika on õpetus kehade mehaanikalisest liikumisest. eoreetiline mehaanika on mehaanika osa mis uurib jäikade kehade paigalseisu ja liikumise tingimusi neile rakendatud jõudude mõjul. bsoluutselt jäik keha on selline keha mille punktide vahelised kaugused jäävad alati muutumatuks. S.t. absoluutselt jäik keha ei deformeeru. Punktmass on materiaalne keha mille mõõtmeid tema paigalseisu või liikumise uurimisel ei pea arvestama. 5

eoreetiline mehaanika Staatika Kinemaatika Dünaamika nalüütiline mehaanika Staatika Staatika on mehaanika osa, milles uuritakse jõudude mõju all olevate absoluutselt jäikade materiaalsete kehade tasakaalu tingimusi. Põhisuurused: mass, jõud, pikkus, aeg. 6

2. Newtoni seadused. 7

Esimene seadus e. Inertsi seadus Punktmass millele ei mõju tasakaalustamata jõude, säilitab oma paigalseisu või ühtlase sirgjoonelise liikumise seni, kuni talle rakendatud tasakaalustamata jõud ei sunni teda seda olekut muutma. eine seadus e. Dünaamika põhiseadus Punktmassi kiirendus on võrdeline talle rakendatud jõuga ja on jõu suunaline. ma Kolmas seadus e. Mõju ja vastumõju seadus Kaks masspunkti mõjuvad teineteisele jõududega, mis on moodulilt võrdsed ja suunalt vastupidised ning mis mõjuvad mööda sama mõjusirget. 8

Newtoni gravitatsiooni seadus Kaks punktmassi massidega M ja m tõmbavad teineteist võrdvastupidiste jõududega mille suurus on arvutatav valemiga: Mm G r 2 kus: r kahe punktmassi tsentrite vaheline kaugus, G gravitatsiooni konstant. Maa pinnal olevale kehale mõjub maa külgetõmbe jõud mille saab arvutada eelnevat valemit teisendades järgmiselt: kus: g raskuskiirendus 9,81 m/s 2, valem g=gm/r 2 ; R Maa raadius, W raskusjõud e. raskus. W mg 9

3. Jõud. 10

P Jõud on vektoriaalne suurus mis väljendab ühe keha mõju teisele. Jõudu iseloomustab kolm suurust: rakenduspunkt suund moodul (arvväärtus) ' Jõu ühik: njuuton [N] Sirge mida mööda jõud mõjub on jõu mõjusirge. Jõud on nn libisev vektor, s.t. teda võib mööda tema mõjusirget nihutada mõnda teise punkti. 11

P Jõud on vektoriaalne suurus mis väljendab ühe keha mõju teisele. Jõudu iseloomustab kolm suurust: rakenduspunkt suund suurus (moodul, arvväärtus) ' Jõu ühik: njuuton [N] Sirge mida mööda jõud mõjub on jõu mõjusirge. Jõud on nn libisev vektor, s.t. teda võib mööda tema mõjusirget nihutada mõnda teise punkti. 11

Jõudu tohib nihutada ainult absoluutselt jäiga keha korral. Deformeeruva keha puhul ei tohi jõudu nihutada mööda oma mõjusirget! bsoluutselt jäik keha Deformeeruv keha 1 2 1 2 2 1 2 1 12

Välisjõududeks nimetatakse jõude millega vaadeldavale kehale mõjuvad teised kehad. Sisejõududeks nimetatakse jõude millega antud keha osad mõjutavad üksteist. Jaotatud jõududeks nim. jõude mis mõjuvad pinnaosa kõikidele punktidele. Koondatud jõududeks nim. jõude mis mõjuvad ühes punktis. jaotatud jõud q koondatud jõud Jõusüsteemiks nimetatakse kehale või kehade süsteemile mõjuvat jõudude kogumit. asakaalus olevaks jõusüsteemiks nimetatakse jõusüsteemi, mis rakendatuna paigalseisvale kehale ei kutsu esile muutust selle keha liikumises. Ekvivalentseks jõusüsteemiks nimetatakse jõusüsteemi, millega saab asendada kehale mõjuva algse jõusüsteemi ilma, et keha tasakaal sellest muutuks. 13

Jõu pöörav toime e. moment Jõud saab pöörata keha ümber punkti tasapinnal. Jõu mõjusirge kaugus h pööramispunktist on jõu õlg. M ( ) h h Momendi mõiste defineerime hiljem täpsemalt. Momendi ühik: njuuton*meeter [Nm] 14

Jõu pöörav toime e. moment Jõud saab pöörata keha ümber punkti tasapinnal. Jõu mõjusirge kaugus h pööramispunktist on jõu õlg. M ( ) h M h Momendi mõiste defineerime hiljem täpsemalt. Momendi ühik: njuuton*meeter [Nm] 14

4. ehted vektoritega. 15

Jõudude geomeetriline liitmine Rööpküliku reegel Q S S + Q = 16

Jõudude geomeetriline liitmine Rööpküliku reegel Kolmnurga reegel S Q Q S S + Q = = Q + S = S + Q 16

Jõudude geomeetriline liitmine Rööpküliku reegel Kolmnurga reegel S Q Q Q S S + Q = S = Q + S = S + Q 16

Jõudude jaotamine ja lahutamine Jõu jaotamine komponentideks Jõuvektorite lahutamine 17

Jõudude jaotamine ja lahutamine Jõu jaotamine komponentideks Jõuvektorite lahutamine S Q 17

Jõudude jaotamine ja lahutamine Jõu jaotamine komponentideks Jõuvektorite lahutamine S Q -S 17

Jõudude jaotamine ja lahutamine Jõu jaotamine komponentideks -S Jõuvektorite lahutamine S Q Q-S Q -S Q-S=Q+(-S) 17

Vektorkorrutis z P θ Q S Kahe vektori S ja Q vektorkorrutis annab tulemuseks kolmanda vektori P, mille suund on risti tasapinnaga millel asetsevad S ja Q ning mille suund on määratav parema käe kruvi reegli järgi. P SQ Moodul kus P SQsin 0 180 18

Skalaarkorrutis S Q Kahe vektori S ja Q skalaarkorrutis annab tulemuseks skalaarse suuruse, mida leitakse valemiga: SQ SQcos kus 0 180 19

5. Staatika aksioomid. 20

1. aksioom. asakaalu aksioom. Kaks absoluutselt jäigale kehale rakendatud jõudu on tasakaalus siis ja ainult siis, kui nad on võrdvastupidised ja mõjuvad piki sama sirget. 2. aksioom. Superpositsiooni aksioom. asakaalus olevate jõudude lisamine või ärajätmine ei mõjuta jäiga keha tasakaalu või liikumist. ' 3. aksioom. Jõurööpküliku aksioom. Keha ühes punktis rakendatud kahel jõul on resultant, mis rakendub samas punktis ja mida kujutab antud jõududele ehitatud rööpküliku diagonaal. 21

4. aksioom. Mõju ja vastumõju aksioom. Ühe keha mõjumisel teisele esineb alati võrdvastupidine vastumõju piki sama sirget. ' 5. aksioom. Jäiga keha aksioom. Deformeeruva keha tasakaal antud jõusüsteemi mõjul ei muutu, kui keha lugeda deformeerunud olekus absoluutselt jäigaks. 6. aksioom. Sidemete aksioom. Iga seotud keha võib vaadata vaba kehana, kui jätta ära kõik sidemed ja asendada nende mõju ekvivalentselt sidemete reaktsioonijõududega. 22

5. Sidemed. Sidemete reaktsioonid. 23

Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Pinna reaktsioon. N 24

Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Pinna reaktsioon. N N 24

Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Pinna reaktsioon. N N N 24

Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Pinna reaktsioon. Silinder liigend. N N N 24

Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Pinna reaktsioon. N N N Silinder liigend. 24

Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Pinna reaktsioon. Silinder liigend. N N N Y X 24

Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Pinna reaktsioon. Silinder liigend. N N N Y X Lihtne tugi (punkt). 24

Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Pinna reaktsioon. Silinder liigend. N N N Y X Lihtne tugi (punkt). N 24

Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Pinna reaktsioon. Silinder liigend. N N N Y X Lihtne tugi (punkt). ross (elastne tugi). N nöör, tross 24

Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Y X Müüritud varras. 25

Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Y X Y Müüritud varras. X 25

Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Y X Y Müüritud varras. M X 25

Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Liugur. n Y X Y Müüritud varras. M X 25

Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Liugur. n Y X Müüritud varras. M Y X N Rullikutel tugi. 25

Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Liugur. n Y X Müüritud varras. M Y X N Rullikutel tugi. N 25

Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Kerge varras. n 26

Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Kerge varras. n Kas saab olla tasakaalus? 26

Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Kerge varras. n Kas saab olla tasakaalus? Ei sest kui keha on tasakaalus ainult 2 jõu mõjul peavad need olema võrdsed ja vastupidised! 26

Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Kerge varras. n S S' 26

Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Kerge varras. n S S' n 26

Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Kerge varras. n S S' n S S' 26

Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Kerge varras. 2 rullikute paari. n S S' n S S' 26

Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Kerge varras. 2 rullikute paari. n n S S' n S S' 26

Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Kerge varras. n S 2 rullikute paari. N n S' n S S' 26

Sidemed on keha asendit ja liikumist piiravad tingimused. Sideme reaktsioon on jõud millega mõjub vaadeldavale kehale sidet moodustav keha. Kerge varras. n S 2 rullikute paari. N N 1 n S' n S S' 26

Näide 1 reaktsioonijõudude märkimise kohta. N 27

Näide 1 reaktsioonijõudude märkimise kohta. N 1. Millise keha tasakaalu uurime? 27

Näide 1 reaktsioonijõudude märkimise kohta. N 1. Millise keha tasakaalu uurime? 2. Märgime jõud joonisele nii nagu nad mõjuvad just sellele kehale. 27

Näide 1 reaktsioonijõudude märkimise kohta. 1. Millise keha tasakaalu uurime? 2. Märgime jõud joonisele nii nagu nad mõjuvad just sellele kehale. G 27

Näide 1 reaktsioonijõudude märkimise kohta. Y 1. Millise keha tasakaalu uurime? 2. Märgime jõud joonisele nii nagu nad mõjuvad just sellele kehale. X G 27

Näide 1 reaktsioonijõudude märkimise kohta. Y N 1. Millise keha tasakaalu uurime? 2. Märgime jõud joonisele nii nagu nad mõjuvad just sellele kehale. X G 27

Näide 2 reaktsioonijõudude märkimise kohta. 3 2 4 1 5 Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Kehad 2 ja 5 on kerged. 28

Näide 2 reaktsioonijõudude märkimise kohta. 3 2 4 1 4 1 5 2 5 Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Kehad 2 ja 5 on kerged. 28

Näide 2 reaktsioonijõudude märkimise kohta. 3 2 4 1 4 1 5 2 G 5 Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Kehad 2 ja 5 on kerged. 28

Näide 2 reaktsioonijõudude märkimise kohta. 3 2 4 1 =G 4 1 5 2 G 5 Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Kehad 2 ja 5 on kerged. 28

Näide 2 reaktsioonijõudude märkimise kohta. 3 2 4 1 =G 4 1 5 2 G 5 Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Kehad 2 ja 5 on kerged. ' 28

Näide 2 reaktsioonijõudude märkimise kohta. 3 2 4 1 =G 4 1 5 2 G 5 2 Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Kehad 2 ja 5 on kerged. ' 28

Näide 2 reaktsioonijõudude märkimise kohta. 3 2 4 1 =G 4 1 5 2 G 5 2 ' 2 Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Kehad 2 ja 5 on kerged. ' 28

Näide 2 reaktsioonijõudude märkimise kohta. 3 2 4 1 =G '' 2 4 1 5 2 G 5 2 ' 2 Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Kehad 2 ja 5 on kerged. ' 28

Näide 2 reaktsioonijõudude märkimise kohta. 3 2 4 1 =G '' 2 4 1 5 G 2 G 2 ' 2 5 Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Kehad 2 ja 5 on kerged. ' 28

Näide 2 reaktsioonijõudude märkimise kohta. 3 2 4 1 =G '' 2 4 1 5 G 2 G S 2 ' 2 5 Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Kehad 2 ja 5 on kerged. ' 28

Näide 2 reaktsioonijõudude märkimise kohta. 3 2 4 1 =G '' 2 4 1 5 G 2 G S 2 ' 2 5 X Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Kehad 2 ja 5 on kerged. ' Y 28

Näide 2 reaktsioonijõudude märkimise kohta. 3 2 4 1 =G '' 2 4 S' 1 5 G 2 G S 2 ' 2 5 S'' X Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Leida kehadele 1,2,4 ja 5 mõjuvad jõud. Kehad 2 ja 5 on kerged. ' Y 28

7. Jõu projektsioon. 29

Jõu projektsioon teljele. P Q 30

Jõu projektsioon teljele. P Q >0 P <0 30

Jõu projektsioon teljele. >0 P >0 P Q >0 P <0 30

Jõu projektsioon teljele. >0 β P >0 φ P Q >0 P <0 30

Jõu projektsioon teljele. >0 β P >0 φ P Q >0 P <0 cos P Pcos 0 Q sin P Psin Q Q 30

8. Jõuvektorite analüütiline liitmine. 31

P S Q Vektorkujul liitmine : S Q P S sin Q sin P sin S cos Q cos P cos nalüütiline liitmine : Jõu moodul: 2 2 Nurk -telje suhtes: arctan 32

P Q Vektorkujul liitmine : S S Q P S sin Q sin P sin S cos Q cos P cos nalüütiline liitmine : Jõu moodul: 2 2 Nurk -telje suhtes: arctan 32

P Q S Vektorkujul liitmine : S Q P S sin Q sin P sin S cos Q cos P cos nalüütiline liitmine : Jõu moodul: 2 2 Nurk -telje suhtes: arctan 32

9. Koonduv jõusüsteem. 33

Koonduvaks jõusüsteemiks nimetatakse sellist jõusüsteemi, mille jõudude mõjusirged lõikuvad ühes ja samas punktis. 34

Koonduvaks jõusüsteemiks nimetatakse sellist jõusüsteemi, mille jõudude mõjusirged lõikuvad ühes ja samas punktis. Võime nihutada kõik jõud sellesse punkti. 34

Koonduvaks jõusüsteemiks nimetatakse sellist jõusüsteemi, mille jõudude mõjusirged lõikuvad ühes ja samas punktis. Võime nihutada kõik jõud sellesse punkti. Liidame jõud kahekaupa kokku kasutades rööpküliku reeglit. 34

Koonduvaks jõusüsteemiks nimetatakse sellist jõusüsteemi, mille jõudude mõjusirged lõikuvad ühes ja samas punktis. Võime nihutada kõik jõud sellesse punkti. Liidame jõud kahekaupa kokku kasutades rööpküliku reeglit. Saadud jõud on koonduva jõusüsteemi resultant ja ta on rakendatud koondumispunkti. Koonduva jõusüsteemi vektoriaalne tasakaalu tingimus: 0 34

Kolme jõu teoreem. Kui jäik keha on tasakaalus kolme jõu mõjul, millest kahe jõu mõjusirged lõikuvad, siis need jõud moodustavad tasapinnalise koonduva jõusüsteemi. Q P S 35

Kolme jõu teoreem. Kui jäik keha on tasakaalus kolme jõu mõjul, millest kahe jõu mõjusirged lõikuvad, siis need jõud moodustavad tasapinnalise koonduva jõusüsteemi. Q Nihutame vektorid Q ja S mööda oma mõjusirgeid koondumispunkti. P S 35

Kolme jõu teoreem. Kui jäik keha on tasakaalus kolme jõu mõjul, millest kahe jõu mõjusirged lõikuvad, siis need jõud moodustavad tasapinnalise koonduva jõusüsteemi. Q Nihutame vektorid Q ja S mööda oma mõjusirgeid koondumispunkti. sendame nad rööpküliku reegli abil ühe vektoriga. P S 35

Kolme jõu teoreem. Kui jäik keha on tasakaalus kolme jõu mõjul, millest kahe jõu mõjusirged lõikuvad, siis need jõud moodustavad tasapinnalise koonduva jõusüsteemi. P Nihutame vektorid Q ja S mööda oma mõjusirgeid koondumispunkti. sendame nad rööpküliku reegli abil ühe vektoriga. Vektorid P ja saavad olla tasakaalus ainult siis, kui nad mõjuvad ühisel mõjusirgel, on suuruselt võrdsed ja suunalt vastupidised. Seega peavad tasakaalu puhul kõik kolm jõudu olema samal tasapinnal ja nende mõjusirged läbima ühist koondumispunkti. 35

10. Jõu moment punkti suhtes. Jõu moment telje suhtes. Jõupaar. 36

Jõu moment punkti suhtes z O 37

Jõu moment punkti suhtes z r θ O 37

Jõu moment punkti suhtes z O r θ Jõu momendiks punkti suhtes nimetatakse sellesse punkti rakendatud vektorit, mis võrdub sellest punktist jõu rakenduspunktini tõmmatud kohavektori ja jõu vektorkorrutisega. M O r Jõu moment punkti suhtes iseloomustab jõu pööravat toimet ümber selle punkti. 37

Jõu moment punkti suhtes z O θ r θ Jõu momendiks punkti suhtes nimetatakse sellesse punkti rakendatud vektorit, mis võrdub sellest punktist jõu rakenduspunktini tõmmatud kohavektori ja jõu vektorkorrutisega. M O r Jõu moment punkti suhtes iseloomustab jõu pööravat toimet ümber selle punkti. 37

Jõu moment punkti suhtes M O () z O r θ Jõu momendiks punkti suhtes nimetatakse sellesse punkti rakendatud vektorit, mis võrdub sellest punktist jõu rakenduspunktini tõmmatud kohavektori ja jõu vektorkorrutisega. M O r Jõu moment punkti suhtes iseloomustab jõu pööravat toimet ümber selle punkti. 37

Jõu moment punkti suhtes M O () z O d r θ Jõu momendiks punkti suhtes nimetatakse sellesse punkti rakendatud vektorit, mis võrdub sellest punktist jõu rakenduspunktini tõmmatud kohavektori ja jõu vektorkorrutisega. M O r Jõu moment punkti suhtes iseloomustab jõu pööravat toimet ümber selle punkti. 37

Jõu moment punkti suhtes M O () z O d r θ Jõu momendiks punkti suhtes nimetatakse sellesse punkti rakendatud vektorit, mis võrdub sellest punktist jõu rakenduspunktini tõmmatud kohavektori ja jõu vektorkorrutisega. M O M O r r sin d Jõu moment punkti suhtes iseloomustab jõu pööravat toimet ümber selle punkti. 37

Jõu moment telje suhtes M O () z M z Jõu moment telje suhtes on selle telje mistahes punkti suhtes võetud jõu momendi projektsioon teljel. O M d z () r d Jõu moment telje suhtes iseloomustab jõu pööravat toimet ümber selle telje. Jõu moment telje suhtes on skalaarne suurus. 38

Jõu moment telje suhtes z d β Võib öelda ka nii: jõu moment telje suhtes on skalaarne suurus, mis on võrdne selle teljega ristuval tasapinnal võetud jõu projektsiooni momendi mooduliga telje ja selle tasapinna lõikepunkti suhtes, võetuna vastava märgiga. M z () d 38

Jõupaar z - Jõupaariks nimetatakse jäigale kehale mõjuva kahe moodulilt võrdse antiparalleelse jõu süsteemi. O 39

Jõupaar r r r r r r r r r r r M M O O ) ( ) ( ) ( ) ( Jõupaari moodustavate üksikjõudude suvalise ruumipunkti suhtes võetud momentide geomeetriline summa ei sõltu selle punkti valikust ja on alati võrdne selle jõupaari momendiga. Vaatame jõupaari moodustavate jõudude summarset momenti punkti O suhtes. sest: Moodul: M d - d 39 z O -

Jõupaar r r r r r r r r r r r M M O O ) ( ) ( ) ( ) ( Jõupaari moodustavate üksikjõudude suvalise ruumipunkti suhtes võetud momentide geomeetriline summa ei sõltu selle punkti valikust ja on alati võrdne selle jõupaari momendiga. Vaatame jõupaari moodustavate jõudude summarset momenti punkti O suhtes. sest: Moodul: M d - d 39 z O - r

Jõupaar r r r r r r r r r r r M M O O ) ( ) ( ) ( ) ( Jõupaari moodustavate üksikjõudude suvalise ruumipunkti suhtes võetud momentide geomeetriline summa ei sõltu selle punkti valikust ja on alati võrdne selle jõupaari momendiga. Vaatame jõupaari moodustavate jõudude summarset momenti punkti O suhtes. sest: Moodul: M d - d 39 z O - r r

Jõupaar r r r r r r r r r r r M M O O ) ( ) ( ) ( ) ( Jõupaari moodustavate üksikjõudude suvalise ruumipunkti suhtes võetud momentide geomeetriline summa ei sõltu selle punkti valikust ja on alati võrdne selle jõupaari momendiga. Vaatame jõupaari moodustavate jõudude summarset momenti punkti O suhtes. Moodul: M d - d 39 z O - r r r

z O - r r M r Jõupaar r r r r r r r r r r r M M O O ) ( ) ( ) ( ) ( Jõupaari moodustavate üksikjõudude suvalise ruumipunkti suhtes võetud momentide geomeetriline summa ei sõltu selle punkti valikust ja on alati võrdne selle jõupaari momendiga. Vaatame jõupaari moodustavate jõudude summarset momenti punkti O suhtes. Moodul: M d - d 39

Jõupaar r r r r r r r r r r r M M O O ) ( ) ( ) ( ) ( Jõupaari moodustavate üksikjõudude suvalise ruumipunkti suhtes võetud momentide geomeetriline summa ei sõltu selle punkti valikust ja on alati võrdne selle jõupaari momendiga. Vaatame jõupaari moodustavate jõudude summarset momenti punkti O suhtes. Moodul: M d - d 39 z O - r r M r

- d Jõupaar r r r r r r r r r r r M M O O ) ( ) ( ) ( ) ( Jõupaari moodustavate üksikjõudude suvalise ruumipunkti suhtes võetud momentide geomeetriline summa ei sõltu selle punkti valikust ja on alati võrdne selle jõupaari momendiga. Vaatame jõupaari moodustavate jõudude summarset momenti punkti O suhtes. Moodul: M d 39 z O - r r M r

Jõupaar Olulist jõupaari kohta: Jõupaari momentvektor on vabavektor, selle võib vabalt paralleelselt iseendaga üle kanda keha suvalisse punkti. Jõupaaril pole resultanti. Jõupaari jõud pole tasakaalus. Jõupaar moodustab ühtse terviku ja seda enam ei saa lihtsustada. Jõupaari moment on vektoriaalne suurus. Jõupaare, mille mõju jäigale kehale on ühesugune, nimetatakse ekvivalentseteks. - d = M 40

11. Jõusüsteemi tasakaal. asakaalu tingimused. 41

Jõu paralleellüke O 42

Jõu paralleellüke O ' 42

Jõu paralleellüke O r M r ' 42

Jõu paralleellüke O M M r 42

Jõusüsteemi taandamine Kehale mõjub jõusüsteem. Lihtsuse mõttes on näitesse valitud tasapinnaline süsteem, kuid tulemused kehtivad ka ruumilise süsteemi korral. 2 3 1 4 5 43

Jõusüsteemi taandamine Kehale mõjub jõusüsteem. Lihtsuse mõttes on näitesse valitud tasapinnaline süsteem, kuid tulemused kehtivad ka ruumilise süsteemi korral. 2 3 1 5 4 3 2 4 1 5 43

Jõusüsteemi taandamine Kehale mõjub jõusüsteem. Lihtsuse mõttes on näitesse valitud tasapinnaline süsteem, kuid tulemused kehtivad ka ruumilise süsteemi korral. 3 2 1 5 4 3 2 4 1 5 43

Jõusüsteemi taandamine Kehale mõjub jõusüsteem. Lihtsuse mõttes on näitesse valitud tasapinnaline süsteem, kuid tulemused kehtivad ka ruumilise süsteemi korral. 4 2 1 5 3 3 2 4 1 5 M M i i 43

Jõusüsteemi taandamine Kehale mõjub jõusüsteem. Lihtsuse mõttes on näitesse valitud tasapinnaline süsteem, kuid tulemused kehtivad ka ruumilise süsteemi korral. 3 2 1 5 4 3 2 4 1 5 M M Peamoment i i Peavektor 43

Jõusüsteemi taandamine Vektoriaalset suurust, mis võrdub mingi süsteemi jõudude geomeetrilise summaga, nimetatakse selle jõusüsteemi peavektoriks. Vektoriaalset suurust, mis võrdub süsteemi jõudude momentide geomeetrilise summaga mingi tsentri suhtes, nimetatakse antud jõusüsteemi peamomendiks selle tsentri suhtes. Staatika põhiteoreem: Jäigale kehale mõjuv mistahes jõusüsteem asendub taandamisel meelevaldselt võetud tsentrisse ühe jõuga, mis võrdub süsteemi peavektoriga ja rakendub taandamistsentris, ning ühe jõupaariga, mille moment võrdub süsteemi peamomendiga taandamistsentri suhtes. Kõik jõusteemid, millel on sama peavektor ja mingi punkti suhtes sama peamoment, on ekvivalentsed. 44

asakaalu vektoriaalsed tingimused Peavektor 0 Peamoment M 0 asakaalu analüütilised tingimused 0, 0, 0 z M 0, M 0, M 0 z i Meelevaldne ruumiline juhtum: Jõusüsteemi tasakaaluks on tarvilik ja piisav, et kõikide jõudude projektsioonide summad kolmel koordinaatteljel võrduksid nulliga, ning ka kõikide jõudude momentide summad nende koordinaattelgede suhtes võrduksid nulliga. i i üüpiline tasapinnaline juhtum:,, M O 0 0 0 i 45

Ülesanne nr.1 Silinder massiga m = 9 kg toetub punktis nurgale ja punktis pinnale. Leida tugede reaktsioonid. 30 45 46

Ülesanne nr.1 Silinder massiga m = 9 kg toetub punktis nurgale ja punktis pinnale. Leida tugede reaktsioonid. 30 45 ntud: m = 9 kg Leida: N, N 46

Ülesanne nr.1 Silinder massiga m = 9 kg toetub punktis nurgale ja punktis pinnale. Leida tugede reaktsioonid. 30 45 ntud: m = 9 kg 99.81 88.29 N N, N Leida: G mg 46

Ülesanne nr.1 Silinder massiga m = 9 kg toetub punktis nurgale ja punktis pinnale. Leida tugede reaktsioonid. 30 G 45 ntud: m = 9 kg 99.81 88.29 N N, N Leida: G mg 46

Ülesanne nr.1 Silinder massiga m = 9 kg toetub punktis nurgale ja punktis pinnale. Leida tugede reaktsioonid. 30 N G 45 ntud: m = 9 kg 99.81 88.29 N N, N Leida: G mg 46

Ülesanne nr.1 Silinder massiga m = 9 kg toetub punktis nurgale ja punktis pinnale. Leida tugede reaktsioonid. 30 N N G 45 ntud: m = 9 kg 99.81 88.29 N N, N Leida: G mg 46

Ülesanne nr.1 Silinder massiga m = 9 kg toetub punktis nurgale ja punktis pinnale. Leida tugede reaktsioonid. 0 30 N N 0 G 45 ntud: m = 9 kg 99.81 88.29 N N, N Leida: G mg 46

Ülesanne nr.1 Silinder massiga m = 9 kg toetub punktis nurgale ja punktis pinnale. Leida tugede reaktsioonid. 0 N cos30 0 N sin 45 0 0 N sin 30 G N cos 45 0 30 N N G 45 ntud: m = 9 kg 99.81 88.29 N N, N Leida: G mg 46

Ülesanne nr.1 Silinder massiga m = 9 kg toetub punktis nurgale ja punktis pinnale. Leida tugede reaktsioonid. 0 N cos30 0 N sin 45 0 0 N sin 30 G N cos 45 0 30 N 45 N G 45 ntud: m = 9 kg 99.81 88.29 N N, N Leida: G mg 46

Ülesanne nr.1 Silinder massiga m = 9 kg toetub punktis nurgale ja punktis pinnale. Leida tugede reaktsioonid. 0 N cos30 0 N sin 45 0 0 N sin 30 G N cos 45 0 30 N 45 N Esimesest võrrandist: G 45 sin 45 0.707 N N N 0.817 N cos30 0.866 ntud: m = 9 kg 99.81 88.29 N N, N Leida: G mg 46

Ülesanne nr.1 Silinder massiga m = 9 kg toetub punktis nurgale ja punktis pinnale. Leida tugede reaktsioonid. 0 N cos30 0 N sin 45 0 0 N sin 30 G N cos 45 0 30 N 45 N Esimesest võrrandist: G 45 sin 45 0.707 N N N 0.817 N cos30 0.866 ntud: m = 9 kg 99.81 88.29 N N, N Leida: G mg eisest võrrandist: 0.817N sin 30 88.29 N cos 45 0 0.409N 0.707N 88.29 1.116N 88.29 N 79.15 N 46

Ülesanne nr.1 Silinder massiga m = 9 kg toetub punktis nurgale ja punktis pinnale. Leida tugede reaktsioonid. 0 N cos30 0 N sin 45 0 0 N sin 30 G N cos 45 0 30 N 45 N Esimesest võrrandist: G 45 sin 45 0.707 N N N 0.817 N cos30 0.866 ntud: m = 9 kg 99.81 88.29 N N, N Leida: G mg eisest võrrandist: 0.817N sin 30 88.29 N cos 45 0 0.409N 0.707N 88.29 1.116N 88.29 N 79.15 N N 0.817N 0.817 79.15 64.67 N 46

Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. C P M 60 47

Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. C P M 60 ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l Leida: 47

Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. S C M P 60 ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l Leida: 47

Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. S P C M P 60 ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l Leida: 47

Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. S P C M P G 60 ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l Leida: 47

Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. S P C M P G 60 Y X ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l Leida: 47

Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. S P C M P G 60 Y X ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l Leida: S, X, Y 47

Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. P C S G m g 309.81 294.3 N G P m g 10 9.81 98.1 N P M P G 60 Y X ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l Leida: S, X, Y 47

Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. P C S G m g 309.81 294.3 N G P m g 10 9.81 98.1 N P 0 S Pcos30 X 0 P G 60 M Y X 0 M 0 P sin 30 G Y 0 M G0.5l cos 60 P0.75l Sl sin 60 0 : l ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l Leida: S, X, Y 47

Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. P C S G m g 309.81 294.3 N G P m g 10 9.81 98.1 N P 0 S Pcos30 X 0 P G 60 M Y X 0 M 0 sin 30 G Y 0 M G0.5l cos 60 0.75l Sl sin 60 0 : l ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l Leida: S, X, Y 47

Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. P C S G m g 309.81 294.3 N G P m g 10 9.81 98.1 N P 0 S Pcos30 X 0 P G 60 M Y X 0 M 0 P sin 30 G Y 0 M G0.5l cos 60 0.75l Sl sin 60 0 : l ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l Leida: S, X, Y 47

Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. P C S G m g 309.81 294.3 N G P m g 10 9.81 98.1 N P 0 S Pcos30 X 0 P G 60 M Y X 0 M 0 P sin 30 G Y 0 M G0.5l cos 60 P0.75l Sl sin 60 0 : l ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l Leida: S, X, Y 47

Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. P C S G m g 309.81 294.3 N G P m g 10 9.81 98.1 N P 0 S Pcos30 X 0 P G 60 M Y X 0 M 0 P sin 30 G Y 0 M G0.5l cos 60 P0.75l Sl sin 60 0 : l ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l M / l G0.5cos60 P0.75 S sin 60 0 Leida: S, X, Y 47

Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. P C S G m g 309.81 294.3 N G P m g 10 9.81 98.1 N P 0 S Pcos30 X 0 P G 60 M Y X 0 M 0 P sin 30 G Y 0 M G0.5l cos 60 P0.75l Sl sin 60 0 : l ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l Leida: S, X, Y M / l G0.5cos60 P0.75 S sin 60 0 S M / l G0.5cos60 P0.75 sin60 47

Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. P C S S 180 /1 294.30.50.5 98.10.75 0.866 377.77 N M P G 60 Y X ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l Leida: S, X, Y 48

Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. P C S S 180 /1 294.30.50.5 98.10.75 0.866 377.77 N P G 60 M Y X Pcos30 S 98.1 0.866 377.77 292.8 N X ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l Leida: S, X, Y 48

Ülesanne nr.2 ala massiga m G = 30 kg ja pikkusega l = 1 m on toestatud punktis silinderliigendiga ja punktis kerge vardaga. Punktis C on kinnitatud nöör mille otsas on mass P, 10 kg. alale mõjub lisaks jõupaari moment M = 180 Nm. Pikkus C = 0.25 l. Leida tugede reaktsioonid. P C S S 180 /1 294.30.50.5 98.10.75 0.866 377.77 N P G 60 M Y X Pcos30 S 98.1 0.866 377.77 292.8 N ntud: m G = 30 kg, m P = 10 kg, l = 1 m, M = 180 Nm, C = 0.25 l X Y Psin30 G 98.10.5 294.3 343.4 N Leida: S, X, Y 48