EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΙΙ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΙΙ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΩ Η ΣΩΜΑΤΙΑ Χ. ΒΑΡΒΟΓΛΗΣ Χ. ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ ΗΣ Α. ΝΙΚΟΛΑΪ ΗΣ Ν. ΣΤΕΡΓΙΟΥΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ. ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 5

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το µάθηµα «Εφαρµογές Υπολογιστικής Φυσικής ΙΙ» διδάσκεται στους φοιτητές του Τµήµατος Φυσικής του ΑΠΘ στο πλαίσιο της κατεύθυνσης «Υπολογιστική Φυσική». Οι φοιτητές θα διδαχθούν τις µεθόδους επίλυσης συγκεκριµένων προβληµάτων στην Αστροφυσική την Κοσµολογία και τη Φυσική Στοιχειωδών Σωµατιδίων. Τα προβλήµατα αυτά έχουν επιλεγεί έτσι ώστε από τη µια να αποτελούν χαρακτηριστικά παραδείγµατα των προβληµάτων που έχει να αντιµετωπίσει κανείς στα αντίστοιχα πεδία της Φυσικής και από την άλλη να αποτελούν χαρακτηριστικά παραδείγµατα της χρήσεως συγκεκριµένων υπολογιστικών µεθόδων. Στο ο Κεφάλαιο θα διδαχθεί ο υπολογισµός της ευσταθούς ισορροπίας αστέρων µέσω της επίλυσης ενός συστήµατος διαφορικών εξισώσεων. Στο ο Κεφάλαιο θα µελετηθούν οι αστρικές ταλαντώσεις µέσω της επίλυσης των γραµµικοποιηµένων εξισώσεων διαταραχών ως πρόβληµα εύρεσης ιδιοτιµών και ως πρόβληµα χρονικής εξέλιξης κυµατικών εξισώσεων. Στο 3 ο Κεφάλαιο θα µελετηθούν οι αδιάστατες κοσµολογικές παράµετροι οι οποίες χαρακτηρίζουν τη γεωµετρία του Σύµπαντος. Στα επόµενα Κεφάλαια θα αντιµετωπισθούν θέµατα της Φυσική Στοιχειωδών Σωµατιδίων. Προϋπόθεση για την επιτυχή παρακολούθηση του µαθήµατος είναι οι φοιτητές να έχουν παρακολουθήσει προηγουµένως τα υποχρεωτικά και κατ επολογήν µαθήµατα που καλύπτουν έως ένα βαθµό τόσο τη θεωρία όσο και τις αριθµητικές µεθόδους που χρησιµοποιούνται στα διάφορα παραδείγµατα και να είναι εξοικειωµένοι µε µια γλώσσα προγραµµατισµού. Οι αλγόριθµοι επίλυσης των διαφόρων προβληµάτων αναπτύσσονται στα αντίστοιχα κεφάλαια και στη συνέχεια ο φοιτητής καλείται να υλοποιήσει τον κάθε αλγόριθµο γράφοντας δικό του πρόγραµµα. Ως κοινή βάση συζήτησης της υλοποίησης των αλγορίθµων θα χρησιµοποιηθεί το µαθηµατικό λογισµικό Mathematica οι φοιτητές όµως ενθαρρύνονται να υλοποιήσουν τους αλγόριθµους που θα διδαχθούν και σε άλλες γλώσσες προγραµµατισµού όπως η Fortran/Fortran95 ή η C/C++ που ενδεχοµένως γνωρίζουν από άλλα µαθήµατα. Χ. Βάρβογλης Χ. Ελευθεριάδης Α. Νικολαϊδης Ν. Στεργιούλας Θεσσαλονίκη Ιανουάριος 5

ΚΕΦ. ο ΟΜΗ ΑΣΤΕΡΩΝ ΣΕ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ισορροπία των αστέρων είναι αποτέλεσµα της αλληλοεξουδετέρωσης ελκτικών δυνάµεων και απωστικών δυνάµεων σε κάθε σηµείο του αστέρα. Η βασική ελκτική δύναµη είναι η δύναµη της βαρύτητας ενώ σε ειδικές περιπτώσης εµφανίζονται και ασθενέστερες δυνάµεις συνοχής π.χ. στον στερεό φλοιό ενός αστέρα νετρονίων. Οι απωστικές δυνάµεις είναι πολλών ειδών και διαφέρουν σε ένταση και σηµασία στα διάφορα είδη αστέρων. Στους κανονικούς αστέρες οι βασικότερες απωστικές δυνάµεις προέρχεται από την θερµική πίεση του αερίου και την πίεση της ακτινοβολίας που παράγεται στο εσωτερικό του αστέρα. Στου λευκούς νάνους η κυρίαρχη απωστική δύναµη προέρχεται από την πίεση του αερίου εκφυλισµένων ηλεκτρονίων ενώ στους αστέρες νετρονίων είναι η πίεση των εκφυλισµένων νετρονίων που αντιστέκεται στη βαρύτητα. Επίσης σε περιστρεφόµενους αστέρες υπάρχει και η κεντρόφυγος δύναµη η οποία δρα αντίθετα προς τη βαρύτητα. Ο υπολογισµός της ευσταθούς δοµής ενός αστέρα προϋποθέτει τη γνώση της εσωτερικής τους κατάστασης δηλαδή της εξάρτησης της ολικής ισοτροπικής πίεσης P από την πυκνότητα µάζας ρ και την θερµοκρασία T. Η σχέση αυτή δεν είναι µοναδική αλλά διαφέρει σηµαντικά ανάλογα µε τον τύπο του αστέρα που εξετάζουµε εξαρτάται δηλαδή από τα φαινόµενα που είναι σηµαντικά στις διάφορες περιοχές τιµών της πυκνότητας ύλης. Βασιζόµενοι σε αστρονοµικές παρατηρήσεις και στη Θεωρητική Φυσική µπορούµε να κάνουµε µια υπόθεση για την παραπάνω σχέση και στη συνέχεια να λύσουµε το σύνολο των εξισώσεων που περιγράφουν την υδροστατική ισορροπία και την ισορροπία ακτινοβολίας του συγκεκριµένου µοντέλου αστέρα που εξετάζουµε. Στους κανονικούς αστέρες η ακριβής αναλογία θερµικής πίεσης και πίεσης ακτινοβολίας είναι σηµαντική για τη λεπτοµερή περιγραφή της δοµής των. Υπάρχουν όµως αρκετές ειδικές περιπτώσεις όπου η εξάρτηση της ολικής πίεσης από την πυκνότητα µάζας µπορεί να προσεγγισθεί από ένα απλό πολυωνυµικό νόµο της µορφής P= Kρ γ (.) όπου K και γ σταθερές. Η εξίσωση αυτή έχει επικρατήσει να ονοµάζεται πολυτροπική καταστατική εξίσωση και έχει ευρεία εφαρµογή στην Αστροφυσική. Παραδείγµατα όπου η πολυτροπική καταστατική εξίσωση αποτελεί καλή προσέγγιση είναι τα εξής:

3 Στους κανονικούς αστέρες πολύ µεγάλης µάζας η πίεση της ακτινοβολίας είναι πολύ ισχυρή έτσι ώστε η ολική πίεση να δίνεται 4/3 από τη σχέση P= Kρ. Στους κανονικούς αστέρες που βρίσκονται στο στάδιο του ερυθρού γίγαντα η πίεση της ακτινοβολίας είναι αµελητέα σε σχέση µε τη θερµική πίεση έτσι ώστε η ολική πίεση να ικανοποιεί τη σχέση 5/3 P= Kρ. 5/3 Στους λευκούς νάνους η πίεση περιγράφεται από τη σχέση P= Kρ ή 4/3 P= Kρ ανάλογα µε τον αν ο αστέρας έχει αντιστοίχως µικρή ή µεγάλη µάζα. Στους αστέρες νετρονίων η ακριβής καταστατική εξίσωση δεν είναι ακόµη γνωστή όµως ένας µέσος όρος των διάφορων ανταγωνιστικών θεωριών είναι η σχέση P= Kρ. Τέλος ακόµη και σε κανονικούς αστέρες όπως ο Ήλιος η υπόθεση 4/3 P= Kρ οδηγεί σε αρκετά καλή εκτίµηση ορισµένων ιδιότητων (όχι όµως όλων). Είναι φανερό ότι µε χρήση της σχέσης (.) µπορούµε να υπολογίσουµε τη δοµή ενός αστέρα σε αρκετές ενδιαφέρουσες περιπτώσεις επιλύοντας τον ελάχιστο αριθµό απαιτούµενων εξισώσεων.. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Υ ΡΟΣΤΑΤΙΚΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ Το σύστηµα των εξισώσεων που περιγράφει την υδροστατική ισορροπία ενός αστέρα εάν υποθέσουµε ότι ο αστέρας είναι σφαιρικά συµµετρικός και η ολική πίεση είναι µόνο συνάρτηση της πυκνότητας (όπως στην περίπτωση της πολυτροπικής καταστατικής εξίσωσης (.)) είναι και dp Gmρ = (.) dr r dm dr = 4π r ρ (.3) όπου r είναι η ακτινική συντεταγµένη (στο σύστηµα σφαιρικών πολικών συντεταγµένων) m είναι µάζα που περιέχεται εσωτερικά σε κάποια απόσταση r και G είναι η παγκόσµια σταθερά της βαρύτητας. Εάν επιλύσουµε αριθµητικά το παραπάνω σύστηµα διαφορικών εξισώσεων µε αρχή το κέντρο του αστέρα r = χρησιµοποιώντας κάποιες αρχικές συνθήκες P() και m() έως την επιφάνειά του r = R όπου εξ ορισµού µηδενίζονται η πίεση και η πυκνότητα τότε προκύπτουν η πίεση η πυκνότητας και η περιεχόµενη µάζα ως συναρτήσεις της ακτινικής συντεταγµένης Pr () ρ() r και mr () οι οποίες

4 περιγράφουν πλήρως τον αστέρα (υπό τις προϋποθέσεις που θέσαµε). Άλλες παράγωγες ποσότητες όπως η ακτίνα R η συνολική µάζα M και το βαρυτικό δυναµικό Φ µπορούν να υπολογισθούν στη συνέχεια από τις σχέσεις R = r ρ = (.4) και M = mr ( ) (.5) Φ= 4π Gρ. (.6) Είναι ενδιαφέρον ότι το σύστηµα των δύο διαφορικών εξισώσεων ου βαθµού (.) (.3) µπορεί εύκολα να γραφεί ως µία διαφορική εξίσωση ου βαθµού d r dp = 4π Gr ρ. (.7) dr ρ dr Η εξίσωση αυτή µπορεί να αναχθεί σε γνωστή διαφορική εξίσωση ου βαθµού εάν χρησιµοποιηθούν αδιάστατες µεταβλητές ξ και θ στη θέση των r και ρ αντιστοίχως οριζόµενες από τις σχέσεις r = aξ (.8) γ ρ= ρcϑ όπου a είναι µια σταθερά αναλογίας µε διαστάσεις µήκους και ρ c είναι η κεντρική πυκνότητα του αστέρα. Εάν η σταθερά αναλογίας a επιλεγεί να είναι ίση µε γ Kγρc a = (.9) 4 πg( γ ) τότε η αδιάστατη εξίσωση που προκύπτει είναι η γνωστή εξίσωση Lane-Emden ξ dϑ γ d ξ + ϑ =. (.) dξ dξ Οι λύσεις της παραπάνω εξίσωσης για συγκεκριµένες τιµές του πολυτροπικού εκθέτη γ πρέπει να βρεθούν αριθµητικά είναι όµως διαθέσιµες υπό µορφή πινάκων στη βιβλιογραφία. Για ορισµένες τιµές γ = 6/5 γ = και γ = (η τελευταία αντιστοιχεί σε ρ = σταθ.) η λύση θ = θξ ( ) είναι αναλυτική π.χ. για γ = είναι θ = ηµ ξ / ξ. Εάν ξ είναι η τιµή της ξ στην επιφάνεια του αστέρα (στην οποία η λύση θ = θξ ( ) µηδενίζεται για πρώτη φορά) τότε η ακτίνα είναι ίση µε

5 R = γ Kγρc ξ 4 πg( γ ) (.) ενώ η µάζα του αστέρα προκύπτει από το ολοκλήρωµα R M = 4πr ρdr ξ 3 γ c = 4πa ρ ξ θ dξ 3 d dθ = 4πa ρc ξ dξ dξ dξ ξ 3 dθ 4 πa ρc ξ = dξ ξ ξ = (.) M 3/ γ Kγρ c dθ ( ξ) = 4π ρcξ 4 πg( γ ) dξ (.3) όπου θεωρήσαµε ότι στο κέντρο του αστέρα όπου η θ ( ξ ) παίρνει µέγιστη τιµή η παράγωγός της µηδενίζεται dθ / dξ = συνθήκη η οποία επιβάλλεται από τη συµµετρία του προβλήµατος και την υπόθεση της ισορροπίας. Στη συνέχεια θα δούµε πως µπορεί να επιλυθεί αριθµητικά η εξίσωση Lane- Emden όταν δεν έχει αναλυτική λύση. 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ Για να λύσουµε αριθµητικά την εξίσωση Lane-Emden πρέπει πρώτα να την αναγάγουµε πάλι σε ένα σύστηµα δύο διαφορικών εξισώσεων ου βαθµού. Σηµειώνουµε ότι αυτός δεν είναι ο µοναδικός τρόπος που µπορούµε να ακολουθήσουµε. Θα µπορούσαµε π.χ. να λύσουµε απ ευθείας το σύστηµα διαφορικών εξισώσεων ου βαθµού βαθµού (.) (.3) αφού πρώτα ορίσουµε κατάλληλες αδιάστατες µεταβλητές. Εδώ όµως θα λύσουµε την (.) ώστε να µπορούµε να συγκρίνουµε άµεσα τα αποτελέσµατα µε γνωστά αποτελέσµατα από τη βιβλιογραφία. Ορίζουµε µια νέα µεταβλητή q = dθ / dξ ώστε η (.) να γίνει ισοδύναµη µε το σύστηµα

6 dθ = q dξ dq = q θ dξ ξ γ. (.4) Το παραπάνω σύστηµα µπορεί να επιλυθεί αριθµητικά µε διάφορες µεθόδους όπως οι µέθοδοι ενός βήµατος Taylor Euler και Runge-Kutta η µέθοδος πολλαπλών βηµάτων Adams και οι µέθοδοι πρόβλεψης-διόρθωσης Milne Hamming και Adams-Multon. Η κάθε µέθοδος µπορεί να έχει παραλλαγές που διαφέρουν ως προς την ακρίβεια π.χ. υπάρχουν οι µέθοδοι Runge-Kutta ης τάξης αλλά και 4 ης τάξης κ.ο.κ. Όλες οι παραπάνω µέθοδοι είναι σταθερού βήµατος. Υπάρχουν όµως και γενικεύσεις των παραπάνω µεθόδων στις οποίες χρησιµοποιείται µεταβλητό βήµα οι οποίες επιτρέπουν να προσαρµόζεται το βήµα κατά την επίλυση του συστήµατος ανάλογα µε το πόσο αργά ή γρήγορα µεταβάλλεται η λύση σε κάποια περιοχή. Αυτό οδηγεί στην επίλυση του συστήµατος µε δεδοµένη ακρίβεια στο συντοµότερο δυνατό χρόνο γεγονός το οποίο είναι σηµαντικό για πολυδιάστατα προβλήµατα όχι όµως τόσο για µονοδιάστατα προβλήµατα όπως αυτό που αντιµετωπίζουµε στο παρόν κεφάλαιο. Καθώς ο χρόνος υπολογισµού για µονοδιάστατα προβλήµατα δεν αποτελεί πλέον πρόβληµα αρκεί να χρησιµοποιήσουµε κάποια µέθοδο ενός σταθερού βήµατος (ακόµη και χαµηλής τάξης αρκεί να χρησιµοποιήσουµε αρκετά µεγάλο αριθµό βηµάτων). Ειδικότερα θα χρησιµοποιήσουµε τις µεθόδους Runge-Kutta ης και 4 ης τάξης καθώς είναι από τις πιο διαδεδοµένες. Για ένα σύστηµα διαφορικών εξισώσεων της µορφής dy = f ( xyz ) dx dz = gxyz ( ) dx (.5) χρησιµοποιούµε µια ακολουθία διακριτών σηµείων (µονοδιάστατο πλέγµα) x x x n όπου n + είναι ο συνολικός αριθµός των σηµείων µε σταθερό βήµα h= xn xn. ίνοντας αρχικές τιµές και στο σηµείο y z x η λύση στο αµέσως επόµενο σηµείο µπορεί να βρεθεί από αναδροµικούς τύπους. Για τη µέθοδο Runge-Kutta ης τάξης οι αναδροµικοί τύποι είναι οι όπου yn+ = yn + ( k + k) zn+ = zn + ( l + l) (.6)

7 ( n n n) ( n n n) ( n n n ) ( ) k = h f x y z l = hg x y z k = h f x + h y + k z + l l = hg x + h y + k z + l n n n. (.7) Αντιστοίχως για τη µέθοδο Runge-Kutta 4 ης τάξης οι αναδροµικοί τύποι είναι οι όπου yn+ = yn + k + k + k3 + k 6 zn+ = zn + ( l + l + l3 + l4) 6 ( ) 4 (.8) ( n n n) ( n n n) ( n n n ) ( n n n ) h ( n n n ) ( n n n ) ( n n n 3) ( ). k = h f x y z l = hg x y z k = h f x + h y + k z + l l = hg x + h y + k z + l k = h f x + y + k z + l 3 l = hg x + h y + k z + l 3 k = h f x + h y + k z + l 4 3 l = hg x + h y + k z + l 4 n n 3 n 3 (.9) Για το συγκεκριµένο σύστηµα (.4) οι αρχικές συνθήκες στο κέντρο ( x = ) του αστέρα είναι: ρ = ρ c θ = yx ( ) = y = d ρ dθ (.) = = zx ( ) = z = dr dξ Επίσης η δεύτερη εξίσωση του συστήµατος (.4) παρουσιάζει πόλο στο ξ =. Για να αντιµετωπισθεί αυτό το πρόβληµα θα µπορούσαµε να θεωρήσουµε ότι κατά προσέγγιση και στο x = x + h είναι zx ( ώστε να αποφύγουµε τον υπολογισµό της ποσότητας στο ) = z = l x =. Αυτή η αντιµετώπιση όµως εισάγει ένα σφάλµα στο πρώτο βήµα το οποίο είναι µεγαλύτερο της ακρίβειας που µπορεί να επιτευχθεί µε τη µέθοδο Runge- Kutta. Για να µπορέσουµε να αξιοποιήσουµε πλήρως την ακρίβεια της µεθόδου και να έχουµε την αναµενόµενη σύγκλιση της λύσης όταν αυξάνουµε τον αριθµό των βηµάτων η σωστή αντιµετώπιση του πόλου στο ξ = είναι να γίνει ένα ανάπτυγµα κατά Taylor γύρω από αυτό το σηµείο των διαφορικών εξισώσεων το οποίο θα δώσει το σωστό αρχικό βήµα. Έχοντας υπολογίσει τη λύση θ = θξ ( ) µπορούµε να βρούµε το σηµείο ξ όπου η λύση µηδενίζεται για πρώτη φορά (επιφάνεια του αστέρα)

8 χρησιµοποιώντας τη µέθοδο της γραµµικής παρεµβολή µεταξύ των δύο σηµείων στα οποία η λύση αλλάζει πρόσηµο. 4. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να υπολογιστεί η λύση της εξίσωσης Lane-Emden για γ = 4/3 µε τη µέθοδο Runge-Kutta ης τάξης και να επαληθευθεί ότι η επιφάνεια ενός αστέρα αντιστοιχεί στο ξ = 6.89685 και ότι ξ θ ( ξ) =.84. Πόσα βήµατα χρειάζονται για να επιτευχθεί ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηφίων στον υπολογισµό του ξ ; Συγκρίνοντας τη λύση στο ξ = 6 για διαφορετικό αριθµό βηµάτων δείξτε ότι η µέθοδος πράγµατι συγκλίνει µε ρυθµό Oh ( ).. Οι λευκοί νάνοι που βρίσκονται στο όριο της µέγιστης µάζας (όριο Chandrasekhar) περιγράφονται από την καταστατική εξίσωση P όπου / 3 hc K = 8 π µ m 4/3 = Kρ (.) ( e p) Χρησιµοποιώντας τις εξής τιµές για τις φυσικές σταθερές h = c = 34 6.63 J s 8 3 m/s 4/3 G = 6.67 m kg s m p = 3 - - 7.67 kg 3 M kg. (.) και προσεγγίζοντας µ e υπολογίστε την τιµή του ορίου µάζας Chandrasekhar το οποίο προκύπτει ανεξάρτητα από την κεντρική πυκνότητα του λευκού νάνου. 3. Να υπολογιστεί η λύση της εξίσωσης Lane-Emden για γ = µε τη µέθοδο Runge-Kutta 4 ης τάξης. Χρησιµοποιώντας τη γνωστή αναλυτική λύση της εξίσωσης στο ξ = 3 να βρείτε τον αριθµό των βηµάτων που απαιτούνται για επίτευξη ακρίβειας δεκαδικών ψηφίων και να δείξετε ότι η µέθοδος 4 πράγµατι συγκλίνει µε ρυθµό Oh ( ). 4. Η καταστατική εξίσωση που περιγράφει την κεντρική περιοχή ενός αστέρα νετρονίων µπορεί να προσεγγισθεί από τη σχέση P= Kρ. Υπολογίστε τη µάζα ενός αστέρα νετρονίων ακτίνας R = km και κεντρικής πυκνότητας 5 3 ρ = g/cm. c

9 ΚΕΦ. ο ΑΣΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ (υπό κατασκευή) ΚΕΦ. 3 ο ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ 3. ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ ΚΛΙΜΑΚΑΣ Η κατασκευή και µελέτη προτύπων του Σύµπαντος στο πλαίσιο της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας επιστηµονικό πεδίο που ονοµάζεται Σχετικιστική Κοσµολογία (Relativistic Cosmology) προϋποθέτει τη γνώση των µαθηµατικών εργαλείων στα οποία στηρίζεται αυτή η θεωρία δηλαδή των τανυστών (tensors που είναι γενίκευση των διανυσµάτων) και της ιαφορικής Γεωµετρίας (Differential Geometry που είναι γενίκευση της Γεωµετρίας σε τυχαία συστήµατα συντεταγµένων). Οι αστρονόµοι Milne και MacCrea όµως έδειξαν το 934 ότι όλα τα οµογενή και ισότροπα πρότυπα του Σύµπαντος της Σχετικιστικής Κοσµολογίας µπορούν να περιγραφούν και στο πλαίσιο της Νευτώνειας Κοσµολογίας µε την επιπλέον παραδοχή ότι ο χώρος στον οποίο οι γαλαξίες διαστέλλονται είναι άπειρος και ότι υπήρξε µια «αρχική» ταχύτητα διαστολής των γαλαξιών τη στιγµή της Μεγάλης Έκρηξης. Επειδή η Νευτώνεια Κοσµολογία δεν απαιτεί τη γνώση νέων µαθηµατικών εργαλείων ούτε κρύβει τις «παγίδες» που οφείλονται στη σχετικότητα χώρου και χρόνου καθώς και στην ισοδυναµία µάζας-ενέργειας συνήθως τα οµογενή και ισότροπα πρότυπα του Σύµπαντος εξετάζονται στο πλαίσιο αυτής της απλούστερης θεωρίας. Οι αστρονοµικές παρατηρήσεις δείχνουν ότι όλοι οι αποµακρυσµένοι γαλαξίες αποµακρύνονται από τον δικό µας σύµφωνα µε το νόµο v= Hr (3.) γεγονός που υποδηλώνει ότι το Σύµπαν διαστέλλεται. Αυτό σηµαίνει ότι οι διαστάσεις του πλέγµατος οποιουδήποτε οµοκινούµενου συστήµατος συντεταγµένων αυξάνουν έτσι ώστε έστω και αν δύο γαλαξίες είναι ακίνητοι ως προς ένα οµοκινούµενο σύστηµα συντεταγµένων η µεταξύ τους απόσταση rt () αυξάνει ως συνάρτηση του χρόνου λόγω της «διαστολής» του συστήµατος συνεταγµένων. Μαθηµατικά το φαινόµενο αυτό γράφεται µε τη σχέση rt () = Rt () r (3.) όπου r είναι η απόσταση στο σύστηµα συνεταγµένων και η συνάρτηση R() t που ονοµάζεται παράγοντας κλίµακας παριστάνει τη διαστολή του συστήµατος συντεταγµένων. Αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση R() t είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης

π Gρ ΛR dr 4 = k (3.3) dt 3 R 6 όπου η σταθερά Λ ονοµάζεται κοσµολογική σταθερά και η σταθερά k παίζει το ρόλο της συνολικής µηχανικής ενέργειας του συστήµατος (κινητική + βαρυτική δυναµική ενέργεια). Μέχρι το υπήρχε η αντίληψη ότι η κοσµολογική σταθερά είναι µηδέν. Για το λόγο αυτό τα εισαγωγικά µαθήµατα Κοσµολογίας περιορίζονταν συνήθως στην περίπτωση Λ =. Τότε το Σύµπαν χαρακτηρίζεται αποκλειστικά από την τιµή της «µηχανικής του ενέργειας» k. Εποµένως σύµφωνα µε τους Milne και McCrea υπάρχει πλήρης ισοδυναµία του προβλήµατος της αποµάκρυνσης ενός γαλαξία από τους υπόλοιπους µε το πρόβληµα της κίνησης ενός δοκιµαστικού σωµατιδίου σε κεντρικό πεδίο δυνάµεων. (α) Στην περίπτωση που k = η συνολική ενέργεια του κινητού είναι µηδέν δηλαδή η κινητική ενέργεια είναι αντίθετη της δυναµικής. Στην περίπτωση αυτή η διαστολή του Σύµπαντος επιβραδύνεται συνεχώς και για t έχουµε ότι R αλλά dr / dt. Ολοκληρώνοντας µία ακόµη φορά τη σχ. (3.3) βρίσκουµε ( ) /3 /3 /3 6π ρ R = G t t. (3.4) Το αντίστοιχο σχετικιστικό πρότυπο που ονοµάζεται πρότυπο Einstein-de Sitter (Einstein-de Sitter Universe) είναι άπειρο και έχει ευκλείδια γεωµετρία δηλαδή το άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου ισούται ακριβώς µε δύο ορθές. Για το λόγο αυτό το Σύµπαν στην περίπτωση k = ονοµάζεται επίπεδο (flat) και λέµε ότι έχει µηδενική καµπυλότητα. (β) Στην περίπτωση που k > η συνολική ενέργεια του δοκιµαστικού σωµατιδίου ("κινητού") είναι αρνητική γεγονός που σηµαίνει ότι η επιβράδυνση είναι τόσο έντονη ώστε η ταχύτητα διαστολής µηδενίζεται σε πεπερασµένο χρόνο και στη συνέχεια το Σύµπαν αρχίζει να συστέλλεται. Για το λόγο αυτό δεν µπορεί να ορισθεί ασυµπτωτικός ρυθµός διαστολής. Το αντίστοιχο σχετικιστικό πρότυπο έχει πεπερασµένο όγκο (άρα είναι κλειστό) και έχει γεωµετρία Riemann δηλαδή το άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου είναι µεγαλύτερο από δύο ορθές γωνίες. Για το λόγο αυτό το πρότυπο του Σύµπαντος για k > ονοµάζεται κλειστό (closed) και λέµε ότι έχει θετική καµπυλότητα. (γ) Τέλος στην περίπτωση που k < η συνολική ενέργεια του κινητού είναι θετική και η ταχύτητα διαστολής τείνει σε µια θετική τιµή καθώς ο χρόνος τείνει στο άπειρο. Το αντίστοιχο σχετικιστικό πρότυπο έχει άπειρο όγκο και έχει γεωµετρία Lobatchevsky (δηλαδή το άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου είναι µικρότερο από δύο ορθές γωνίες). Επειδή αυτή είναι ιδιότητα µιας επιφάνειας αρνητικής καµπυλότητας

που µοιάζει µε σέλα και ονοµάζεται υπερβολοειδές λέµε ότι αυτό το πρότυπο έχει αρνητική καµπυλότητα και το ονοµάζουµε ανοικτό (open). Ο παράγοντας κλίµακας στη αρχή αυξάνει όπως και στο /3 επίπεδο Σύµπαν R t αλλά καθώς ο χρόνος τείνει στο άπειρο t ο παράγοντας κλίµακας αυξάνει µε ταχύτερο ρυθµό R t. Τα τρία παραπάνω κοσµολογικά πρότυπα ονοµάζονται πρότυπα Friedmann (Friedmann universes) Το γεγονός ότι δεν υπάρχει στατικό πρότυπο του Σύµπαντος ούτε στο πλαίσιο της Νευτώνειας βαρύτητας ούτε στο πλαίσιο της Γενικής Θεωρίας Σχετικότητας οδήγησε τον Einstein να υποθέσει την ύπαρξη µιας απωστικής δύναµης ανάλογης της απόστασης η οποία θα µπορούσε να εξισορροπήσει τη βαρυτική έλξη των γαλαξιών. Η δύναµη αυτή προκύπτει από τον όρο της εξίσωσης (3.3) που περιέχει την κοσµολογική σταθερά. Αν η τιµή της κοσµολογικής σταθεράς τεθεί ίση µε 6k 8π Gρ Λ=. (3.5) 3 R R και θέσουµε dr/dt = για t = t τότε προκύπτει ότι η λύση της εξίσωσης (3.3) δίνει R = σταθερό οπότε η απωστική δύναµη λόγω της ύπαρξης της κοσµολογικής σταθεράς εξισορροπεί ακριβώς τη βαρυτική έλξη µεταξύ των γαλαξιών. Η µορφή της συνάρτησης R(t) για Λ είναι πολύ απλή σε ένα επίπεδο πρότυπο του Σύµπαντος στο οποίο θεωρούµε ότι ρ = k =. Στο πρότυπο αυτό αποδεικνύεται εύκολα ότι αν ορίσουµε τη συνάρτηση H(t) µε τη σχέση τότε Ht () / Λ = H = R e 3 (3.6) Ht. (3.7) 3. Α ΙΑΣΤΑΤΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΙΣΙΜΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ (α) Η σταθερά του Hubble Η συνάρτηση R() t είναι κατάλληλη για να περιγράψει κανείς θεωρητικά τη χρονική εξέλιξη του Σύµπαντος. εν µπορεί να χρησιµοποιηθεί όµως για σύγκριση της θεωρίας µε παρατηρησιακά δεδοµένα επειδή παριστάνοντας τη µεταβολή της απόστασης µεταξύ δύο αυθαίρετων σηµείων ορίζεται µόνο κατά προσέγγιση ενός πολλαπλασιαστικού παράγοντα. Για το λόγο αυτό προσπαθούµε να ορίσουµε µεταβλητές η τιµή των οποίων δεν εξαρτάται από την τιµή αυτού του πολλαπλασιαστικού παράγοντα. Μία τέτοια µεταβλητή είναι η συνάρτηση του Hubble H () t την οποία χρησιµοποιήσαµε ήδη στη σχ. (3.6) και η οποία στη γενική περίπτωση ορίζεται από τη σχέση

dr( t Ht () = ) R() t dt. (3.8) Από τη σχέση αυτή προκύπτει αµέσως ότι η συνάρτηση του Hubble έχει διαστάσεις αντίστροφου χρόνου και ότι η τιµή της H () t δεν αλλάζει αν αντί για R θέσουµε στη σχ.(3.8) ar. Έτσι η H () t είναι µία ποσότητα η τιµή της οποίας µπορεί να ελεγχθεί παρατηρησιακά. Η τιµή της συνάρτησης Hubble στη σηµερινή εποχή t = t είναι η «σταθερά» του Hubble Ht ( ) 65km/s/Mpc. Από τη σχ. (3.3) είναι φανερό ότι µπορούµε να υπολογίσουµε την τιµή της «σταθεράς» του Hubble αν γνωρίζαµε τη συναρτησιακή µορφή του παράγοντα κλίµακας R() t η οποία µε τη σειρά της προκύπτει ως λύση της εξίσωσης (3.3). (β) Ο παράγοντας επιβράδυνσης Μία άλλη ποσότητα ανεξάρτητη πολλαπλασιαστικού παράγοντα είναι η παράµετρος επιβράδυνσης (deceleration parameter) qt () η οποία ορίζεται από τη σχέση d R/ dt qt () = R ( dr / dt ) (3.9) d R/ dt = H () t R() t και εκφράζει το ρυθµό µεταβολής του παράγοντα κλίµακας R() t. Για τη σηµερινή εποχή κατά την οποία θεωρούµε t = t η παράµετρος επιβράδυνσης έχει την τιµή q = q( t ). Οι πλέον πρόσφατες µετρήσεις () δίνουν στο q την τιµή / ±.5. Θα πρέπει να επισηµανθεί το γεγονός ότι στα τρία κοσµολογικά πρότυπα του Friedmann οι συναρτήσεις H () t και qt () έχουν εντελώς διαφορετική συναρτησιακή µορφή. Έτσι στο επίπεδο σύµπαν q= q = / και Ht ( ) =. Στο ανοικτό σύµπαν < qt) ( < / και Ht ( ) =. Τέλος στο κλειστό σύµπαν το q ξεκινά από την τιµή q () = / φτάνει σε άπειρη τιµή για R = Rmax και καταλήγει πάλι στην τιµή / καθώς η συνάρτηση R() t µεταβάλλεται από σε R max και επιστρέφει στο. Στην περίπτωση αυτή το H () t ξεκινάει από µια θετική τιµή H και έχει φθίνουσα εξέλιξη φθάνοντας στην τιµή όταν R = Rmax. Στη συνέχεια παίρνει αρνητικές τιµές (κατά τη διάρκεια της συστολής) µέχρις ότου φθάσει στην τιµή H τη στιγµή που ο παράγοντας κλίµακας αποκτήσει και πάλι τιµή ίση µε. Στο πρότυπο de Sitter η σταθερά του Hubble είναι ανεξάρτητη του χρόνου και η παράµετρος επιβράδυνσης είναι ίση µε. Από τις σχέσεις (3.3) (3.8) και (3.9) διαπιστώνουµε ότι µπορούµε να ελέγξουµε αν ζούµε σε επίπεδο σφαιρικό ή υπερβολικό Σύµπαν µετρώντας µόνο την παράµετρο επιβράδυνσης επειδή τότε το k θα είναι µικρότερο ίσο ή µεγαλύτερο του αν το q είναι µικρότερο ίσο ή µεγαλύτερο του /. Οι πλέον πρόσφατες µετρήσεις δίνουν τιµές του q πολύ κοντά στην τιµή q = / οπότε µε την προϋπόθεση ότι η κοσµολογική σταθερά είναι µπορούµε να συµπεράνουµε ότι το Σύµπαν στο οποίο ζούµε είναι επίπεδο και άρα

3 άπειρο. Επιπλέον µπορούµε να συνδέσουµε την τιµή του q και µε τη µέση πυκνότητα του Σύµπαντος σήµερα ρ ως εξής. Αν k = τότε q = / οπότε παραγωγίζοντας τη σχ.(3.3) µια φορά και αντικαθιστώντας στη σχ.(3.9) την προκύπτουσα συνάρτηση d R/dt βρίσκουµε 3H ρ = 8π G (3.) Εποµένως θέτοντας στη σχ. (3.) την πειραµατικά µετρούµενη τιµή της σταθεράς του Hubble µπορούµε να υπολογίσουµε τη µέση πυκνότητα του Σύµπαντος. Για H = 65 km/s/mpc =.66x - years προκύπτει ότι 3 ρ = 8.5 g/cm 3. Η πυκνότητα αυτή ονοµάζεται κρίσιµη (critical) επειδή αν η πυκνότητα του Σύµπαντος ισούται µε την κρίσιµη τότε k = και το Σύµπαν είναι επίπεδο ενώ αν είναι µικρότερη τότε k < και το Σύµπαν είναι ανοικτό και αν είναι µεγαλύτερη τότε k = και το Σύµπαν είναι κλειστό. 3.3 Η ΗΛΙΚΙΑ ΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ Ο υπολογισµός της πραγµατικής ηλικίας του Σύµπαντος T εξαρτάται από το πρότυπο του Σύµπαντος που χρησιµοποιούµε. Για παράδειγµα στα τρία πρότυπα του Friedmann (στα οποία Λ = ) η ηλικία µπορεί να υπολογιστεί εύκολα µε απλή ολοκλήρωση της σχ. (3.8). Αποδεικνύεται ότι αν το Σύµπαν είναι κλειστό T /3H < αν είναι επίπεδο T = /3H και αν είναι υπερβολικό /3H < T < H. Επειδή οι υπάρχουσες ενδείξεις συµφωνούν µε την υπόθεση ότι το Σύµπαν είναι επίπεδο καταλήγουµε ότι η καλύτερη εκτίµηση της ηλικίας του Σύµπαντος στο πλαίσιο του πρότυπου Einstein-de Sitter φαίνεται να είναι T = /3H = δισεκατοµµύρια έτη. Προφανώς η ακριβής αριθµητική τιµή του T εξαρτάται σε κάθε περίπτωση από την τιµή του H η οποία µε τη σειρά της εξαρτάται από την αριθµητική τιµή της σταθεράς του Hubble και από το πρότυπο του Σύµπαντος που χρησιµοποιούµε. Για τη σηµερινή τιµή του H = 7 km/sec/mpc και για την τιµή του Λ που προέρχεται από τις πρόσφατες µετρήσεις του διαστηµοπλοίου MAP προκύπτει ηλικία ίση µε 3.8x years. ΑΣΚΗΣΗ. Υπολογίστε τη συνάρτηση του Hubble H () t µέσω της σχ. (3.8) ολοκληρώνοντας αριθµητικά τη διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης που προκύπτει αν παραγωγίσετε ως προς το χρόνο την σχ. (3.3) για τα τέσσερα πρότυπα του Σύµπαντος (τα τρία πρότυπα του Friedman και το πρότυπο του de Sitter). Να υπολογίσετε στη συνέχεια την ηλικία του Σύµπαντος ως το χρονικό

4 διάστηµα που παρήλθε από την εποχή t = µέχρι την εποχή που H = H = 65 km/s/mpc. ΑΚΣΗΣΗ. Να υπολογίσετε την παράµετρο επιβράδυνσης για τα τέσσερα µοντέλα χρησιµοποιώντας τη σχ. (3.9) ολοκληρώνοντας και πάλι τις διαφορικές εξισώσεις που χρησιµοποιήσατε για την Άσκηση. Να κατασκευάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης q = q() t.