Πεπερσµέν στοιχεί γι τη µελέτη λεπτότοιχων κτσκευών. Εισγωγή Στο κεφάλιο υτό θ θεωρηθούν µόνο διδιάσττ στοιχεί επίπεδης ενττικής κτάστσης, διότι υτά είνι τ πλέον ενδεδειγµέν γι την νάλυση λεπτότοιχων κτσκευών (πλά κι ενισχυµέν ελάσµτ) κι κτ επέκτση γι τη µελέτη της γάστρς του πλοίου. Τρισδιάσττ στοιχεί πιτούντι µόνο γι την τοπική ή την λεπτοµερή µελέτη ενττικών πεδίων. Στοιχεί κελυφών δεν εξετάζοντι διότι σπνίως χρησιµοποιούντι κθώς τ στοιχεί επίπεδης ενττικής κτάστσης επρκούν γι την νάλυση ελσµάτων κι κελυφών µε µικρή κµπυλότητ. Υπάρχουν ειδικά στοιχεί επίπεδης ενττικής κτάστσης γι την νάλυση ξονοσυµµετρικών κι σφιρικών κελυφών, επίσης δε υπάρχουν γενικά στοιχεί κελυφών τ οποί µπορούν ν λάουν υπόψη επίπεδη ενττική κτάστση κι κάµψη ελσµάτων. Όµως τ στοιχεί υτά πιτούντι µόνο ότν τ ελάσµτ της γάστρς έχουν µεγάλη κµπυλότητ ή συνέχειες της γεωµετρίς, της φόρτισης, ή των ορικών συνθηκών έτσι ώστε η πλή θεωρί κελυφών ν µην ισχύει. Οι κτστάσεις υτές δεν προκύπτουν συχνά, κι σε κάθε περίπτωση τ µητρώ κµψιών των στοιχείων κι τ άλλ χρκτηριστικά στοιχείων γενικών κελυφών δίνοντι στην ιλιογρφί.. Θεωρί Kirchhoff λεπτών ορθογώνιων ελσµάτων Η πρµόρφωση ενός ελάσµτος περιγράφετι επρκώς µε νφορά στη γεω µετρί του µέσου επιπέδου (ουδέτερης επιφάνεις) στην οποί δεν νπτύσσοντι τάσεις ότν σκείτι κθρά κµπτική φόρτιση. Η γρµµική θεωρί πόκρισης λεπτών ορθογωνίων ελσµάτων που νπτύχθηκε πό τους Loe κι Kirchhoff σίζετι στις πρκάτω πρδοχές: κλείτι κι θεωρί µικρών µεττοπίσεων, διότι έχει εφρµογή γι µεττοπίσεις µικρότερες του µισού του πάχους του ελάσµτος (ή µικρότερες του b/5 όπου b µήκος κοντύτερης πλευράς) 5
6 Υπολογιστικές µέθοδοι κι εφρµογές σε λεπτότοιχες κτσκευές. Το υλικό είνι ελστικό, οµοιογενές κι ισοτροπικό. Το έλσµ έχει µηδενικές ρχικές µεττοπίσεις. Το πάχος είνι µικρό σε σχέση µε τις άλλες διστάσεις (ως άνω όριο εφρµογής λµάνετι η τιµή b/5, όπου b είνι το µήκος της µικρότερης πλευράς). Οι κλίσεις της πρµορφωµένης µέσης επιφάνεις είνι κτά πολύ µικρότερες της µονάδς 5. Οι πρµορφώσεις είνι τέτοιες, ώστε ευθείες που είνι ρχικά κάθετες στο ουδέτερο επίπεδο, πρµένουν ευθείες κι κάθετες σε υτό (µελούντι δηλδή µεττοπίσεις λόγω διάτµησης) 6. Η µεττόπιση του ελάσµτος φορά µεττοπίσεις σηµείων στο µέσο επίπεδο κάθετ στο ρχικό επίπεδο 7. Οι τάσεις κάθετ στην ουδέτερη επιφάνει είνι µελητέες Γι ορθογώνι ελάσµτ, το κρτεσινό, ορθογώνιο σύστηµ συντετγµένων είνι το ενδεδειγµένο. Οι µεττοπίσεις,, w κι οι εξωτερικές κι εσωτερικές δυνάµεις έχουν θετικό πρόσηµο κτά την κτεύθυνση των ξόνων του συστήµτος νφοράς O, Ο κι Oz. Οι κµπτικές ροπές µε θετικό πρόσηµο προκλούν εφελκυσµό των κάτω εξωτερικών ινών, ότν η φόρτιση σκείτι στην άνω επιφάνει. Θεωρούµε έν στοιχείο του ελάσµτος, όπως δείχνετι στο Σχήµ. Στο σχήµ δείχνοντι οι ροπές κι δυνάµεις που έχουν θετικό πρόσηµο. p(,) Στοιχείο ελάσµτος Χ, b t t Ουδέτερη επιφάνει Y, Ζ, w Σχήµ Ορθογώνιο έλσµ υπό κµπτική φόρτιση
Πεπερσµέν στοιχεί γι τη µελέτη λεπτότοιχων κτσκευών 7 Z, w M Q Q M Y M Μ t t M P M Ουδέτερη επιφάνει cm M c Q Q c Q Q c M M cm M c Σχήµ Εξωτερικές κι εσωτερικές δυνάµεις σε στοιχείο της ουδέτερης επιφάνεις ελάσµτος Γι ισορροπί του στοιχείου υπό την επίδρση κάθετης κµπτικής φόρτισης, πό τις έξι θεµελιώδεις εξισώσεις ισορροπίς ρκούν οι πρκάτω τρεις: z F M M (γ) Η πρώτη πό υτές εξσφλίζει ισορροπί κάθετ στην επιφάνει του ελάσµτος ενώ οι άλλες δύο περί τους άξονες νφοράς O, O ντίστοιχ. Από την πρώτη σχέση προκύπτει ότι: Q Q Q Q Q Q p () όπου Q, Q είνι οι εφπτοµενικές δυνάµεις κτά µήκος των πλευρών του στοιχείου του ελάσµτος (Σχήµ ). ιιρώντς µε το εµδόν του στοιχείου του ελάσµτος,, ποκτάτι η πρκάτω σχέση: Q Q p ()
8 Υπολογιστικές µέθοδοι κι εφρµογές σε λεπτότοιχες κτσκευές Σχήµ Ροπές κι τέµνουσες δυνάµεις σε στοιχείο ελάσµτος Η εφρµογή της σχέσης () ποδίδει την πρκάτω εξίσωση: M M M M M ( M ) Q Q ( Q ) () Σηµειώνουµε ότι oι ροπές του φορτίου Q κι της µετολής του φορτίου Q, Q θεωρούντι µελητέες ποσότητες νώτερου θµού. Απλοποιώντς, έχουµε: M M Q (5) Ανάλογ γι τις ροπές ως προς τον άξον Ο θ έχουµε: M M Q (6) Από την ρχή της συµπληρωµτικής διτµητικής τάσης έχουµε Μ Μ. Άρ η (6) γίνετι: M M Q (7)
Πεπερσµέν στοιχεί γι τη µελέτη λεπτότοιχων κτσκευών 9 w ελεύθερη πλευρά πλάγι όψη κάτοψη () Πάκτωση () Ελεύθερο άκρο (γ) Απλή στήριξη ρ () ρ () ρ() ρ() (δ) Ελστική στήριξη (ε) Ελστικός περιορισµός (στ) Ελστική στήριξη κι περιορισµός Σχήµ Συνορικές συνθήκες ελσµάτων κι ντικθιστώντς τις (5) κι (7) στην () έχουµε: M M M p (8) Η (8) είνι η εξίσωση ισορροπίς ενός λεπτού ορθογώνιου ελάσµτος που φέρει φορτίο κάθετ στη επιφάνειά του. Η εξίσωση υτή ισχύει στη γρµµική ελστική περιοχή. Στο Σχήµ δείχνοντι διάφοροι τρόποι στήριξης ελσµάτων. Η επίλυση της (8) θ πρέπει ν γίνει τότε σε συνδυσµό µε κάποιες πό τις ορικές συνθήκες που δείχνοντι στο Σχήµ. Θ έχουµε τότε τιµές γι τις µετλητές σε όλ τ σηµεί που περικλείοντι πό κι που συµπίπτουν µε το σύνορο του ελάσµτος.
Υπολογιστικές µέθοδοι κι εφρµογές σε λεπτότοιχες κτσκευές Η ριθµητική επίλυση του προλήµτος, ντιθέτως, θ δώσει λύσεις σε έν πεπερσµένο ριθµό σηµείων, µετξύ των οποίων η συµπεριφορά θ εξρτηθεί πό τις συνρτήσεις που επιλέγουµε γι τον τρόπο µετολής τους. Στο πρκάτω εδάφιο θ δούµε την εφρµογή πολυωνυµικών συνρτήσεων ενώ στη θεωρί ισοπρµετρικών στοιχείων θ δούµε την εφρµογή των συνρτήσεων µορφής (Κεφάλιο 5).. ιτύπωση ιδιοτήτων πεπερσµένων στοιχείων Έχοντς δώσει µι σύντοµη εισγωγή στη θεωρί κάµψης των ορθογωνίων ελσµάτων, θ στρφούµε στη διτύπωση του ντίστοιχου ριθµητικού προλήµτος. Η συµπεριφορά ενός πεπερσµένου στοιχείου κθορίζετι πλήρως πό το µητρώο κµψίς του. Έτσι, το ζητούµενο είνι ν ποκτηθούν µητρώ κµψίς γι (ορισµέν πλά) στοιχεί που θ ποούν χρήσιµ κτά τη µελέτη των λεπτότοιχων (νυπηγικών) κτσκευών. Τ στοιχεί που θ θεωρηθούν σίζοντι σε προσεγγιστικά πεδί των µεττοπίσεων, πρ όλο που έχουν επίσης νπτυχθεί κι στοιχεί που σίζοντι σε προσεγγίσεις στ πεδί των τάσεων, τ οποί είνι εξίσου ικνοποιητικά, όχι όµως τόσο διδεδοµέν. Η διδικσί διτύπωσης του µητρώου κµψίς περιλµάνει τ πρκάτω ήµτ:. Επιλογή συστήµτος νφοράς κι ρίθµηση κόµων στοιχείου. Επιλογή συνάρτησης συµιστού των µεττοπίσεων (πεδίουκόµων). Προσδιορισµός των µεττοπίσεων πεδίου συνρτήσει των µεττοπίσεων στους κόµους. Σχέσεις πρµορφώσεων πεδίου µε µεττοπίσεις στους κόµους µέσω µεττοπίσεων πεδίου 5. Σχέση τάσεων πεδίου µε πρµορφώσεις πεδίου κι µεττοπίσεις στους κόµους 6. Αντικτάστση τάσεων πεδίου µε σττικά ισοδύνµες δυνάµεις στους κόµους 7. Σχέση δυνάµεων στους κόµους µε µεττοπίσεις στους κόµους. Σύντξη µητρώου κµψίς στοιχείου 8. ιτύπωση µητρώου συµιστού των µεττοπίσεων Τ στοιχεί που περιγράφοντι σε υτό το εδάφιο δεν ποτελούν το τελευτίο στάδιο εξέλιξης της έρευνς στο συγκεκριµένο θέµ. Αντιθέτως, είνι σχετικά πλές εφρµογές της θεωρίς πεπερσµένων στοιχείων πό τις οποίες όµως διφίνοντι µε σφήνει τ σικά στάδι νάπτυξης του µητρώου κµψίς. Επιπρόσθετ, ορισµέν πό υτά συνεχίζουν ν χρησιµοποιούντι
Πεπερσµέν στοιχεί γι τη µελέτη λεπτότοιχων κτσκευών σε προγράµµτ ΠΣ γι τη µελέτη λεπτότοιχων κτσκευών. Πιο ολοκληρωµένες διτυπώσεις, που λµάνουν υπόψη προλήµτ συνέχεις κτά µήκος των συνόρων των στοιχείων, περιγράφοντι στο τελευτίο εδάφιο του πρόντος κεφλίου κι στη θεωρί των ισοπρµετρικών στοιχείων.. Τριγωνικό στοιχείο στθερών πρµορφώσεων (τάσεων) f, f, Σχήµ 5 Το τριγωνικό στοιχείο CST Ως πρώτο πράδειγµ θ θεωρηθεί το επίπεδο τριγωνικό ισοτροπικό στοιχείο στθερού πάχους. Το στοιχείο υτό είνι σηµντικό διότι λόγω του σχήµτός του είνι πολύ εύχρηστο κθώς οι περισσότερες διδιάσττες κτσκευές µπορούν ν νπρστθούν µε θροίσµτ τριγώνων. Επίσης, οι κµπύλες επιφάνειες στον τρισδιάσττο χώρο µπορούν ν θεωρηθούν ότι ποτελούντι πό τριγωνικά στοιχεί εφόσον η κµπυλότητ δεν προυσιάζει συνέχειες κι το ύψος τους είνι µικρό (δηλδή ο λόγος του πργµτικού εµδού προς το εµδόν της προολής του είνι περίπου ίσος µε τη µονάδ). Πρκάτω περιγράφετι η διτύπωση του µητρώου κµψίς του τριγωνικού στοιχείου, κολουθώντς τη διδικσί που νφέρθηκε στο προηγούµενο εδάφιο. Το σύστηµ νφοράς κι η ρίθµηση των κόµων δίνοντι στο Σχήµ 5. Οι συντετγµένες των κόµων είνι (, ), (, ), (, ). Επειδή θεωρού το πρόγρµµ MAESTRO, ποτελέσµτ του οποίου περιγράφοντι σε επόµεν κεφάλι του ιλίου, περιλµάνει το τριγωνικό στοιχείο στθερών πρµορφώσεων κι το ορθογώνιο στοιχείο στθερών διτµητικών τάσεων που εξετάζοντι πρκάτω η ερευνητική κοινότητ έχει σχοληθεί εκτενώς µε προλήµτ συνέχεις, µε πολλές σχετικές δηµοσιεύσεις. Γι µι πρωτότυπη ντιµετώπιση λέπε Irons B., Ahm S. Techniqes of Finite Elements. Ellis Horwoo Series in Engineering Science, 986. τριγωνικό στοιχείο στθερών πρµορφώσεων constnt strin tringle (CST)
Υπολογιστικές µέθοδοι κι εφρµογές σε λεπτότοιχες κτσκευές ντι µόνο οµοεπίπεδες µεττοπίσεις το στοιχείο έχει δύο θµούς ελευθερίς σε κάθε κόµο κι συνεπώς έχει συνολικά έξι θµούς ελευθερίς. ΒΗΜΑ ο Επιλογή συστήµτος νφοράς κι ρίθµηση κόµων f f f f f f ) Μεττοπίσεις ) υνάµεις Σχήµ 6 Ορισµός µετλητών στους κόµους του στοιχείου CST Τ δινύσµτ των µεττοπίσεων κι των δυνάµεων στους κόµους είνι τότε: f f f f f f (9) f f f f Τ µητρώ κι f περιλµάνουν έξι όρους, κι συνεπώς το µητρώο κµψίς k έχει διστάσεις 66, κθώς ορίζετι πό τη σχέση k f. ΒΗΜΑ ο Επιλογή συνάρτησης συµιστού των µεττοπίσεων (πεδίουκόµων) Όπως έχει ήδη λεχθεί, ο προσδιορισµός των πρµορφώσεων συνρτήσει κάποις λγερικής πράστσης ποτελεί σικό χρκτηριστικό της µεθόδου των πεπερσµένων στοιχείων. Τ πολυώνυµ είνι πλές κι εύχρηστες συνρτήσεις κθώς έχουν τη δυντότητ ν είνι πολυδιάσττ (γι επίπεδες ενττικές κτστάσεις πιτούντι µόνο δύο διστάσεις,, ). Επίσης, µπο
Πεπερσµέν στοιχεί γι τη µελέτη λεπτότοιχων κτσκευών ρούν ν περιέχουν οποιοδήποτε ριθµό νεξρτήτων συντελεστών που εξρτώντι πό το θµό του πολυωνύµου. Συνεπώς µπορεί ν επιλεγεί έν κτάλληλο πολυώνυµο γι ν περιγρφούν οι µεττοπίσεις στο πεδίο του τριγωνικού στοιχείου. Επειδή το τριγωνικό στοιχείο έχει έξι θµούς ελευθερίς επιλέγετι πολυώνυµο µε έξι νεξάρτητους συντελεστές. Επίσης, επειδή δεν πρέπει ν δοθεί προτίµηση σε κµιά κτεύθυνση, γίνετι χρήση τριών συντελεστών γι τη µεττόπιση κι τριών γι τη µεττόπιση. Μί λογική µορφή γι τις µεττοπίσεις κι είνι, τότε: 5 6 () () Με υτό τον τρόπο οι µεττοπίσεις µετάλλοντι γρµµικά στις διευθύνσεις Ο κι Ο, κι συνεπώς κι κτά το µήκος των πλευρών κάθε στοιχείου. Επειδή δε οι µεττοπίσεις στους κόµους γειτονικών στοιχείων είνι ίσες, πρµένουν ίσες κι κθ όλο το µήκος των συνόρων των σχετικών στοιχείων. Η επιλογή των γρµµικών συνρτήσεων εξσφλίζει συνεπώς τη συνέχει των µεττοπίσεων σε όλο το µήκος των συνόρων των στοιχείων. Όπως θ διφνεί ργότερ, υτό δεν εξσφλίζει ισορροπί πρά µόνο στους κόµους. Υπάρχει δηλδή νπόφευκτ έν σφάλµ το οποίο µπορεί ν περιορισθεί κάνοντς χρήση µικρότερων στοιχείων. Οι εξισώσεις () γράφοντι ως εξής: (, ) 5 6 () ή (, ) Φ (, ) () ΒΗΜΑ ο Προσδιορισµός των µεττοπίσεων πεδίου συνρτήσει των µεττοπίσεων στους κόµους Εάν ντικτστθούν οι συντετγµένες των κοµικών µεττοπίσεων στην σχέση () λµάνοντι σχέσεις οι οποίες επιλύνοντι ως προς τους γνώστους συντελεστές. Γι πράδειγµ, στον κόµο ισχύει: (, ) Φ (, )
Υπολογιστικές µέθοδοι κι εφρµογές σε λεπτότοιχες κτσκευές κι γι τους κόµους κι : ; Γίνετι ντικτάστση των πρστάσεων υτών στη σχέση (): 6 5 Το µητρώο των συντετγµένων των κόµων συµολίζετι µε το Α. Συνεπώς: A () Οι άγνωστοι πολυωνυµικοί συντελεστές προσδιορίζοντι τώρ πό τη σχέση () µε ντιστροφή του µητρώου Α: Α () Γι το σχετικά µικρού µεγέθους µητρώο του στοιχείου υτού η ντιστροφή γίνετι ευχερώς χωρίς τη χρήση υπολογιστού. Γι µητρώ όµως µεγλυτέρου µεγέθους πιτείτι η χρήση υπολογιστού. Στην προκειµένη περίπτωση το ντίστροφο του µητρώου Α είνι:
Πεπερσµέν στοιχεί γι τη µελέτη λεπτότοιχων κτσκευών 5 A A (5) όπου A et ( ) ( ) ( ).(εµδόν του τριγώνου ) Οι έξι άγνωστοι συντελεστές του µητρώου δίνοντι πό τη σχέση () συνρτήσει των κοµικών µεττοπίσεων. Χρησιµοποιώντς τη σχέση () οι µεττοπίσεις (, ) σε κάθε σηµείο (, ) στο εσωτερικό του στοιχείου εκφράζοντι συνρτήσει των µεττοπίσεων στους κόµους, ντικθιστώντς το µητρώο. Η σχέση είνι: ( ) Φ(,) A, (6) ΒΗΜΑ o Σχέσεις πρµορφώσεων πεδίου µε µεττοπίσεις στους κόµους µέσω µεττοπίσεων πεδίου Κτά κνόν, οι πρµορφώσεις στο εσωτερικό του στοιχείου ορίζοντι ως πράγωγοι των µεττοπίσεων. Στην περίπτωση της µεττόπισης άκµπτων σωµάτων οι µεττοπίσεις (γρµµικές ή περιστροφικές) είνι πντού στθερές κι συνεπώς οι πρµορφώσεις είνι πντού µηδενικές. Το διδιάσττο συνεχές έχει τρεις συνιστώσες πρµορφώσεων κι το διάνυσµά τους ορίζετι ως εξής: ε ε (, ) ε (7) γ όπου ε, ε είνι ορθές πρµορφώσεις κι γ είνι η διτµητική πρµόρφωση. Από τη θεωρί ελστικότητς έχουµε τις σχέσεις γεωµετρικού συµι
6 Υπολογιστικές µέθοδοι κι εφρµογές σε λεπτότοιχες κτσκευές στού (σχέσεις (), () κι (δ) Κεφλίου ). Αντικθιστώντς στις σχέσεις υτές πό τις (), () λµάνουµε: ( ) ε (8) ( ) 6 6 5 ε (8) ( ) ( ) 5 6 5 γ (8γ) Συνεπώς, ( ) 5 6 γ ε ε, ε (9) Σηµειώνετι ότι επειδή η συνάρτηση των µεττοπίσεων είνι γρµµική, οι πρ µορφώσεις πρµένουν στθερές στο εσωτερικό του στοιχείου. Εν τούτοις, η σχέση ορίζετι ως ε(, ) γι ν διευκρινισθεί ότι ισχύει σε όλο το στοιχείο κι όχι µόνο στους κόµους. Ανλυτικά η σχέση γράφετι: ( ) 6 5, γ ε ε ε () ή ε(, ) G () Αντικθιστώντς το µητρώο πό τη σχέση (6), η πρµόρφωση εκφράζετι συνρτήσει των κοµικών µεττοπίσεων: ε ( ) GA, ()
Πεπερσµέν στοιχεί γι τη µελέτη λεπτότοιχων κτσκευών 7 Άρ, το µητρώο συµιστού των πρµορφώσεων, Β, ισούτι µε (σχέση (), Κεφάλιο ): 5 B GA () Η προηγούµενη σχέση γίνετι: ε ( ) B, () όπου κι B (5) A Α εµδόν του στοιχείου ΒΗΜΑ 5ο Σχέση τάσεων πεδίου µε πρµορφώσεις πεδίου κι µεττοπίσεις στους κόµους Σε διδιάσττ ελστικά συνεχή µέσ το διάνυσµ των τάσεων είνι: σ σ σ (6) τ Γι επίπεδες ενττικές κτστάσεις οι σχέσεις πρµορφώσεωντάσεων είνι: σ σ ε (7) E E σ σ ε (7) E E τ ( ) γ τ (7γ) G E όπου Ε µέτρο ελστικότητς, G µέτρο διάτµησης κι ν λόγος του Poisson. Η µητρωική µορφή της πρπάνω σχέσης είνι: 5 λέπε επίσης Κεφάλιο, Πράδειγµ, σχέση (58)
8 Υπολογιστικές µέθοδοι κι εφρµογές σε λεπτότοιχες κτσκευές ε σ ( ) ( ) ε, ε σ (8) E γ τ Το ντίστροφο του πρπάνω µητρώου είνι: σ ε E ( ) ( ) σ, σ ε (9) τ / τ ή σ(, ) Dε(, ) Αντικθιστώντς τέλος τις πρµορφώσεις ε(, ), πό τη σχέση () του Κεφλίου, οι τάσεις εκφράζοντι συνρτήσει των κοµικών µεττοπίσεων: (, ) DB σ () Εφόσον τ µητρώ Β κι D είνι δεδοµέν, οι τάσεις µπορούν ν εκφρσθούν συνρτήσει των κοµικών µεττοπίσεων. Εάν τότε S DB, θ έχουµε: S A E ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () όπου ij i j ij i j ΒΗΜΑ 6ο Αντικτάστση τάσεων πεδίου µε σττικά ισοδύνµες δυνάµεις στους κόµους. Σχέση δυνάµεων στους κόµους µε µεττοπίσεις στους κόµους. Σύντξη µητρώου κµψίς στοιχείου Στο ήµ υτό επιάλλοντι δυντές µεττοπίσεις, κι το εξωτερικό έργο των δυνάµεων f στους κόµους εξισώνετι µε το εσωτερικό έργο (ενέργει πρµόρφωσης) που εκφράζετι συνρτήσει των δυντών πρµορφώσεων ε κι των τάσεων σ. Οι δυντές µεττοπίσεις στους κόµους τίθεντι (γι λό
Πεπερσµέν στοιχεί γι τη µελέτη λεπτότοιχων κτσκευών 9 γους ευκολίς) ίσες µε τη µονάδ. Το ζητούµενο είνι τότε το µητρώο που συνδέει τις δυνάµεις f µε τις δυντές µεττοπίσεις. Το εξωτερικό δυντό έργο είνι: W f () T ενώ το εσωτερικό δυντό έργο είνι: U ε V Τ V Τ σ V ε Eε V () Η ολοκλήρωση γίνετι σε όλο τον όγκο του στοιχείου. Αντικθιστώντς τ µητρώ των δυντών πρµορφώσεων ε (, ) κι των τάσεων σ(, ), λµάνετι η πρκάτω µορφή: U T [ B] Dε V V V T B T D B V Η δυντή µεττόπιση τίθετι ίση µε τη µονάδ. Εξισώνοντς το εσωτερικό µε το εξωτερικό έργο λµάνουµε την πρκάτω σχέση: f B V T DB V Τ µητρώ Β κι D περιέχουν µόνο στθερούς όρους κι συνεπώς δεν χρειάζετι ν συµπεριληφθούν στην ολοκλήρωση. Ο όρος που ποµένει ντιπροσωπεύει τον όγκο του στοιχείου που στην περίπτωση υτή ισούτι µε το πάχος πολλπλσιζόµενο επί το εµδόν (Α ). Συνεπώς, T k B DB A t () όπου A et Το γινόµενο DB είνι τότε ίσο µε:
Υπολογιστικές µέθοδοι κι εφρµογές σε λεπτότοιχες κτσκευές ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A όπου, γι επίπεδες ενττικές κτστάσεις ( ) ν E ( ) ν νe ( ) ν E Το µητρώο κµψίς του στοιχείου, k, λµάνετι τότε πολλπλσιάζοντς µε το νάστροφο του Β: A T B (5) Το ποτέλεσµ δίνετι στην επόµενη σελίδ. Ισορροπί κι συµτότητ Εξετάζετι τώρ κτά πόσο οι συνθήκες ισορροπίς κι συµτότητς ικνοποιούντι στο εσωτερικό κάθε στοιχείου κι µετξύ των στοιχείων. Κτά πρώτον, εφόσον το πεδίο των µεττοπίσεων είνι συνεχές, υτοµάτως υπάρχει συµτότητ στο εσωτερικό κάθε στοιχείου. Κτά δεύτερο λόγο, η ισορροπί του διδιάσττου ενττικού πεδίου στο εσωτερικό κάθε στοιχείου εξσφλίζετι ότν ικνοποιούντι οι πρκάτω εξισώσεις: σ τ σ τ (7) Οι πρµορφώσεις στο εσωτερικό του στοιχείου είνι στθερές διότι λµάνοντι µε πργώγιση του πεδίου των µεττοπίσεων που είνι γρµµικό. Κτά συνέπει, οι τάσεις οι οποίες είνι νάλογες των πρµορφώσεων, θ
Πεπερσµέν στοιχεί γι τη µελέτη λεπτότοιχων κτσκευών Β Α Σχήµ 7 ιάτξη γειτονικών στοιχείων µε κοινό σύνορο είνι επίσης στθερές στο εσωτερικό κάθε στοιχείου κι έτσι ικνοποιούντι οι συνθήκες ισορροπίς στο εσωτερικό κάθε στοιχείου. Κθίσττι πλέον φνερό ότι η επιλογή γρµµικού πεδίου µεττοπίσεων δισφλίζει τη συµτότητ των στοιχείων µετξύ τους. Αποµένει συνεπώς ν εξετσθεί η ισορροπί κτά µήκος των συνόρων των στοιχείων. Στο Σχήµ 7 δικρίνετι το σύνορο δύο στοιχείων, Α κι Β. Το µητρώο S, δίνετι πό τη σχέση () πό την οποί διφίνετι ότι οι συνιστώσες της τάσης είνι συνρτήσεις των µεττοπίσεων κι στους τρεις κόµους κάθε στοιχείου. Συνεπώς, πρ όλο που κι η σ Α (στοιχείο Α) κι η σ Β (στοιχείο Β) είνι συνρτήσεις των,, κι, η τάση σ A είνι συνάρτηση κι των κι, ενώ η σ B είνι συνάρτηση κι των κι. Άρ οι τάσεις κτά µήκος των συνόρων γενικά δεν είνι ίσες. Συµπερίνοµε λοιπόν ότι γι το τριγωνικό στοιχείο επίπεδης ενττικής κτάστσης οι συνθήκες ισορροπίς κι συµτότητς ικνοποιούντι στο εσωτερικό του στοιχείου. Επίσης, η συµτότητ ικνοποιείτι κι κτά µήκος των συνόρων των στοιχείων, σε ντιδιστολή µε την ισορροπί η οποί ικνοποιείτι µόνο στους κόµους. Έτσι, εξσφλίζετι η ισορροπί της κτσκευής συνολικά. Συνεπώς το σφάλµ που προκύπτει λόγω υτής της τοπικής νισορροπίς ελττώνετι ότν µειωθούν οι διστάσεις των στοιχείων κι υξηθεί ο ριθµός τους. Αυτό θ διφνεί πό το πράδειγµ που κολουθεί. Πράδειγµ Ν διερευνηθεί η επίδρση του θµού δικριτοποίησης κάνοντς χρήση του τριγωνικού στοιχείου στθερών πρµορφώσεων στ πεδί ) των µεττοπίσεων ) των τάσεων, σε µφιέρειστη δοκό υπό κτνεµηµένη στθερή φόρτιση. Η ριθµητική λύση ν συγκριθεί µε τη λύση της πλής θεωρίς δοκών κι υτή της θεωρίς ελστικότητς.
Υπολογιστικές µέθοδοι κι εφρµογές σε λεπτότοιχες κτσκευές Λύση Σχήµ 8 Ενλλκτικές διτάξεις πλεγµάτων 5 5 5 5 5 5 55 6 65 6 6 6 6 () 65 κόµοι, 96 στοιχεί 8 6 8 5 6 66 7 78 8 9 6 96 5 95 9 9 9 9 () 96 κόµοι, 5 στοιχεί 9 9 8 7 7 5 6 5 (γ) κόµοι, 6 στοιχεί Σχήµ 9 ιάφορ πλέγµτ τριγωνικών πεπερσµένων στοιχείων
Πεπερσµέν στοιχεί γι τη µελέτη λεπτότοιχων κτσκευών Εφόσον υπάρχει λύση της θεωρίς της ελστικότητς µπορεί ν ελεγχθεί η κρίει του στοιχείου κι ο θµός ελάττωσης του σφάλµτος ότν µειώνετι το µέγεθος των στοιχείων. Στο Σχήµ 8 εικονίζοντι δύο διφορετικές διτάξεις. Μι σειρά ριθµητικών µελετών έχει δείξει ότι η πρώτη διάτξη ποδίδει κριέστερ ποτελέσµτ. Επιπρόσθετ, η υτόµτη νάπτυξη του πλέγµτος γίνετι ευκολότερ. Η κρίει της λύσης χρησιµοποιώντς τριγωνικά στοιχεί υξάνετι ότν ποφεύγοντι οξείες γωνίες στ τρίγων. Στο Σχήµ 9 δίνοντι πλέγµτ γι τ οποί οι ντίστοιχες λύσεις εικονίζοντι στ Σχή µτ κι. Οι διστάσεις των στοιχείων ελττώνοντι κτά τους λόγους, :,8 :, κι ο ντίστοιχος ριθµός τους υξάνετι πό 96 σε 5 σε 6. Η προσοµοίωση πλής έδρσης γίνετι θέτοντς µηδενικές κτκόρυφες µεττοπίσεις σε όλους τους κόµους στ άκρ της δοκού. Στο Σχήµ δίνετι η κτκόρυφη µεττόπιση της δοκού γι ) την λύση της πλής θεωρίς δοκών, ) της κριούς λύσης της θεωρίς της ελστικότητς κι (γ) γι ριθµητικές λύσεις µε υξνόµενο ριθµό κόµων. Είνι προφνές ότι σε κάθε περίπτωση οι τιµές των λύσεων µε πεπερσµέν στοιχεί είνι µικρότερες των τι µών της θεωρίς ελστικότητς, τις πλησιάζουν όµως όσο υξάνετι ο ριθ µός των στοιχείων. Οι διφορές υτές προκύπτουν διότι κτά τη µητρωική νάλυση η χρήση συνάρτησης µεττοπίσεων προκλεί µεγλύτερη κµψί της κτσκευής πό την πργµτική. Το σφάλµ µπορεί ν περιορισθεί ν η συνθήκη συµτότητς δεν τηρηθεί υστηρά. Στο Σχήµ εικονίζετι η εγκάρσι κτνοµή των διµήκων τάσεων στο µέσο της δοκού γι τις ίδιες περιπτώσεις δικριτοποίησης. Επειδή οι τάσεις γι κάθε στοιχείο είνι στθερές, οι τιµές δίνοντι στο κέντρο άρους κάθε στοιχείου. Πρέπει επίσης ν νφερθεί ότι τ τριγωνικά στοιχεί µπορούν ν χρησιµοποιηθούν γι πολλών ειδών κτσκευές. Έτσι, η σχέση σφάλµτοςµεγέθους στοιχείου έχει µελετηθεί εκτενώς κι υπάρχει πλούσι σχετική ιλιογρφί. Μεττόπιση θεωρί δοκών 65 κόµοι 96 κόµοι κόµοι θεωρί ελστικότητς Aπόστση πό το έν άκρο Σχήµ Μεττοπίσεις δοκού µε οµοιόµορφ κτνεµηµένο φορτίο
Υπολογιστικές µέθοδοι κι εφρµογές σε λεπτότοιχες κτσκευές t/ σ () () Σχήµ Εγκάρσι κτνοµή διµήκων ορθών τάσεων. Ορθογώνιο στοιχείο γρµµικών πρµορφώσεων 6 Το στοιχείο υτό ρίσκει εφρµογή σε προλήµτ επίπεδης ελστικότητς (ενττικές κι πρµορφωσικές κτστάσεις). Εφόσον έχουµε κόµους µε θµούς ελευθερίς στον κθέν, ο συνολικός ριθµός των θµών ελευθερίς είνι 8. Κτάλληλες συνρτήσεις συνεπώς είνι οι πρκάτω: 5 6 7 8 (8) (8) b t ) Κόµοι κι διστάσεις ) Βθµοί ελευθερίς Σχήµ Ορθογώνιο στοιχείο γρµµικών πρµορφώσεων 6 oρθογώνιο στοιχείο γρµµικών πρµορφώσεων liner strin rectngle element (LSR)
Πεπερσµέν στοιχεί γι τη µελέτη λεπτότοιχων κτσκευών 5 Η ίδι διδικσί που εφρµόσθηκε στο προηγούµενο πράδειγµ κολουθείτι κι σε υτή την περίπτωση. Το µητρώο κµψίς του στοιχείου υτού ποτελείτι τότε πό τoυς πρκάτω όρους: [ ] ν ν ν / ν / ν / / Et / / ν / ν / / ν / ν k ε (9) ( ) / / / / / / / / / / Et γ k (9) όπου /b. Το µητρώο µετσχηµτισµού είνι: o o o R R R R T o () όπου R o, το µητρώο περιστροφών, δίνετι πό την πρκάτω σχέση: ' cos ' cos ' cos ' cos o θ θ θ θ R () Στη σχέση υτή η γωνί θ µετριέτι µετξύ των ντίστοιχων ξόνων στο τοπικό κι στο γενικό σύστηµ νφοράς.
6 Υπολογιστικές µέθοδοι κι εφρµογές σε λεπτότοιχες κτσκευές. Ορθογώνιο στοιχείο στθερής διτµητικής τάσης 7 σ τ σ b τ Σχήµ Ορθογώνιο στοιχείο στθερής διτµητικής τάσης (CSSR) Το στοιχείο υτό προυσιάσθηκε στην εργσί των Trner, Clogh, Mrtin κι Topp που δηµοσιεύθηκε το 956 κι είνι συνεπώς έν πό τ πρώτ πεπερσµέν στοιχεί. Υπερτερεί ως προς το ορθογώνιο στοιχείο γρµµικών πρµορφώσεων κι διφέρει στο ότι ντί ν γίνει χρήση συνάρτησης µεττοπίσεων, χρησιµοποιείτι συγκεκριµένη κτνοµή τάσεων στο στοιχείο. Επιλέγετι µί πλή κτνοµή στην οποί οι ορθές τάσεις µετάλλοντι γρµµικά ενώ η διτµητική τάση πρµένει στθερή (Σχήµ 9): σ () σ () τ 5 (γ) όπου,..., 5 είνι στθεροί συντελεστές, οι οποίοι ρχικά είνι άγνωστοι. Οι κτνοµές υτές ικνοποιούν τις συνθήκες ισορροπίς των τάσεων στο εσωτερικό του στοιχείου, δεν ικνοποιείτι όµως η ισορροπί των µεττοπί 7 ορθογώνιο στοιχείο στθερής διτµητικής τάσης constnt sher stress rectngle element (CSSR)
Πεπερσµέν στοιχεί γι τη µελέτη λεπτότοιχων κτσκευών 7 σεων µετξύ των στοιχείων. Οι γενικές µεττοπίσεις (, ) λµάνοντι κολουθώντς την πρκάτω διδικσί:. Αντικτάστση των τσικών συνρτήσεων στις σχέσεις επίπεδης ενττικής κτάστσης. Ολοκλήρωση των σχέσεων υτών ως προς τις µεττοπίσεις,.. Υπολογισµός των στθερών ολοκλήρωσης συνρτήσει των στθερών,,... 5.. Αντικτάστση των στθερών ολοκλήρωσης στις σχέσεις των µεττοπίσεων Η τελική µορφή είνι η εξής: όπου (, ) Φ(, ) () Φ E ( ) ( ) ( ) ( ) () Η εξίσωση () είνι η συνάρτηση µεττοπίσεων του στοιχείου γι τη δεδο µένη κτνοµή τάσεων κι σύµφων µε υτή ικνοποιείτι η γεωµετρική συµτότητ στο εσωτερικό του στοιχείου. Τ στάδι τ οποί πιτούντι γι την διτύπωση του µητρώου κµψίς του στοιχείου είνι. Γίνετι ντιστροφή του Α γι ν υπολογισθούν οι συντελεστές,... n. Εκφράζοντι οι συντελεστές,... n συνρτήσει των µεττοπίσεων στους κόµους ( Α ). Εκφράζοντι οι εσωτερικές πρµορφώσεις του στοιχείου συνρτήσει των κοµικών µεττοπίσεων.. Εκφράζοντι οι εσωτερικές τάσεις του στοιχείου σ(,) µέσω των πρµορφώσεων, σ Dε, συνρτήσει των κοµικών µεττοπίσεων (σ(,) DΒ ). Το µητρώο των τάσεων δίνετι πό το γινόµενο DΒ. 5. Εκφράζοντι οι τάσεις στους κόµους συνρτήσει των µεττοπίσεων στους κόµους. Στο στάδιο υτό επιάλλοντι δυντές µεττοπίσεις στους κόµους, εξισώνετι το εσωτερικό έργο µε το εξωτερικό έργο κι ποκτάτι η σχέση δυνάµεωνµεττοπίσεων στους κόµους.
8 Υπολογιστικές µέθοδοι κι εφρµογές σε λεπτότοιχες κτσκευές Γι το ορθογώνιο στοιχείο στθερής διτµητικής τάσης το µητρώο κµψιών k είνι: A/ D B A/ E C E A/ B D A/ C A D/ C D/ A B E/ A C A E/ A/ D B D A/ C E A/ B A D/ C A E/ B E/ A A/ D B A/ E C A D/ C D/ A A/ D B A D/ Et e k (5) όπου A B C D E /b κι ( ) ( ) ( ) ( ) b E σ σ ( ) ( ) ( ) ( ) b E σ σ ( ) ( ) ( ) ( ) b b E σ σ ( ) ( ) ( ) ( ) b E σ σ ( ) b E τ (6ε) Χρήση κι σχετική κρίει του στοιχείου CSSR
Πεπερσµέν στοιχεί γι τη µελέτη λεπτότοιχων κτσκευών 9 Πίνκς Σύγκριση επίδοσης στοιχείων (µεττοπίσεις) Αριθµός στοιχείων Σχετικό σφάλµ (δ c δ E /δ E ) ιµήκως Εγκρσίως LSR CSSR,86,5,6,6,6,9,6,9,,,,,9, 8,7 >,, >,, >. 6, >,,6 >,, >, Πίνκς Σύγκριση επίδοσης στοιχείων (τάσεις) Αριθµός στοιχείων Σχετικό σφάλµ (δ c δ E /δ E ) ιµήκως Εγκρσίως LSR CSSR,9,5,69,7,68,5,68,5,6,,,,, 8,,8,,7,8.5 6,6,5,,,, Η συνάρτηση τάσεων του στοιχείου CSSR επιτρέπει την προσοµοίωση της οµοεπίπεδης κάµψης µις κτσκευής κι έτσι το στοιχείο είνι ιδιίτερ χρήσιµο στην νάλυση των πλευρικών ελσµάτων κι των διµήκων φρκτών
5 Υπολογιστικές µέθοδοι κι εφρµογές σε λεπτότοιχες κτσκευές A m στοιχεί n στοιχεί φορτίο Πρόολος Σχήµ Κτσκευή γι τη σύγκριση κρίεις των στοιχείων LSR κι CSSR των πλοίων, κθώς υτά υποάλλοντι σε οµοεπίπεδη κάµψη κι σε σχεδόν οµοιόµορφη διτµητική τάση. Το στοιχείο υτό µπορεί επίσης ν χρησιµοποιηθεί γι την προσοµοίωση της πόκρισης κι των επίπεδων ελσµάτων των κτστρωµάτων διότι, πρ όλο που η διτµητική τάση δεν είνι στθερή, η χρήση µις µέσης τιµής που ντιστοιχεί σε κάθε τµήµ (στοιχείο) ποδίδει επρκή κρίει σε σχέση µε το κόστος χρήσης περισσότερο περίπλοκου στοιχείου. Γενικά το στοιχείο CSSR µπορεί ν χρησιµοποιηθεί γι την προσοµοίωση µεγάλων τµηµάτων επίπεδων κτσκευών. Η σχετική κρίει δίνετι στους Πίνκες κι κι συµπερίνετι ότι το σφάλµ είνι µικρότερο πό εκείνο του στοιχείου LSR. Στους πίνκες δίνοντι συγκριτικά ποτελέσµτ γι τ δύο στοιχεί σε σχέση µε τη λύση της θεωρίς της ελστικότητς. Το πρόληµ είνι η επίλυση του κορµού δοκού (προόλου) υπό κάθετη σηµεική φόρτιση στο ελεύθερο άκρο (Σχήµ ). Από την φόρτιση υτή προκύπτει κάµψη κι διάτµηση στη δοκό, η δε γεω µετρί της δοκού (λόγος µήκουςπλάτους) είνι νάλογη µε εκείνη των πλευρικών ελσµάτων πλοίου.από τον Πίνκ συµπερίνετι ότι κι µε τη χρήση τεσσάρων µόνο στοιχείων (m, n ) το σφάλµ στις µεττοπίσεις γι το στοιχείο CSSR είνι της τάξης µερικών ποσοστιίων µονάδων, ενώ η λύση του στοιχείου LSR ποκλίνει πό την νλυτική λύση κτά %. Κτά τη µελέτη κτσκευών οι τάσεις έχουν µεγλύτερη σηµσί πό τις µεττοπίσεις. Ο Πίνκς περιλµάνει ντίστοιχ ποτελέσµτ γι τις τάσεις κι είνι προφνές ότι κι σ υτή την περίπτωση το στοιχείο CSSR υπερτερεί. Τ ελάσµτ της γάστρς του πλοίου είνι κτά κνόν ενισχυµέν, κι πρέπει ν ληφθεί υπόψη η επίδρση των ενισχυτικών στις κτνοµές των τάσεων κι των µεττοπίσεων. Το στοιχείο CSSR έχει ποδειχθεί ιδιίτερ χρήσιµο κι στην περίπτωση υτή.
Πεπερσµέν στοιχεί γι τη µελέτη λεπτότοιχων κτσκευών 5. Ορθογώνιο στοιχείο κάµψης Σχήµ 5 Ορθογώνιο στοιχείο κάµψης Όπως δείχνει το πρπάνω σχήµ, το στοιχείο υτό διθέτει τρεις θµούς ελευθερίς σε κάθε κόµο. Απιτούντι συνεπώς γενικευµένες µεττοπίσεις,,... στο πολυώνυµο που συντάσσετι γι το έλος κάµψης. Το πολυώνυµο είνι: w 5 6 7 8 9 (7) Συνεπώς, φ (, ) [ ] Υπολογίζουµε τώρ τις πργώγους: w 5 7 8 9 w 5 6 8 9 Το µητρώο συντετγµένων των κόµων Α υπολογίζετι τότε κάνοντς χρήση των σχέσεων:
5 Υπολογιστικές µέθοδοι κι εφρµογές σε λεπτότοιχες κτσκευές ( ) i i i w w, i i i w, θ i i i w, θ (8) κι ντικθιστώντς στην A. Έχουµε τότε: Α.................. Γι ν υπολογισθεί το µητρώο Ε, υπενθυµίζουµε ότι κτά την µελέτη ελσµάτων υπό κάµψη, οι κµπυλότητες κι οι ροπές εκφράζοντι ως γενικευµένες πρµορφώσεις κι τάσεις ντίστοιχ. Απιτούντι οι πρκάτω ποσότητες: w 8 7 6 6 6 w 9 6 6 w 5 9 6 6 Έχουµε λοιπόν
Πεπερσµέν στοιχεί γι τη µελέτη λεπτότοιχων κτσκευών 5 Ε 6 6 6 6 6 Τ µητρώ C, Φ, Α κι Ε χρησιµοποιούντι σε επόµενο στάδιο γι τον υπολογισµό ) του µητρώου κµψίς του στοιχείου, k, ) του µητρώου µάζς του στοιχείου κι των δινυσµάτων των φορτίων..5 Ορθογώνιο επίπεδο στοιχείοκέλυφος Σχήµ 6 Ορθογώνιο επίπεδο στοιχείοκέλυφος Μπορούµε ν νπτύξουµε έν επίπεδο στοιχείοκέλυφος µε υπέρθεση της κ µπτικής συµπεριφοράς του ορθογώνιου στοιχείουκάµψης στο ορθογώνιο στοιχείο επίπεδης ενττικής κτάστσης, που προυσιάσθηκε στο προηγού µενο εδάφιο. Το ποτέλεσµ δείχνετι στο Σχήµ 6. Εάν τ µητρώ κµψίς σε κάµψη κι επίπεδη ενττική κτάστση είνι K B κι K M ντίστοιχ, ~ ~ στο τοπικό σύστηµ νφοράς, το µητρώο κµψίς του στοιχείουκελύφους είνι: ~ K ~ B K S ~ K M (9) ~ Στη σχέση υτή το µητρώο K S έχει διστάσεις ενώ τ µητρώ ~ ~ K B κι K M έχουν διστάσεις κι 88 ντίστοιχ. Γι τη µεττροπή στο γενικό σύστηµ νφοράς της κτσκευής πιτείτι ο µετσχηµτισµός T ~ * K S T K T. S
5 Υπολογιστικές µέθοδοι κι εφρµογές σε λεπτότοιχες κτσκευές. Θεωρί Minlin ορθογώνιων ελσµάτων. Εισγωγή Στ εδάφι που κολουθούν θ εξετσθούν ορθογώνι στοιχεί που ρίσκουν εκτενή εφρµογή κτά τη µελέτη των λεπτότοιχων κτσκευών. Ευθύς µέσως θ πρέπει ν τονίσουµε ότι είνι πρίτητη η εξοικείωση µε τη θεωρί λεπτότοιχων ) Πρδοχή Kirchhoff ) Επίδρση εγκάρσις διάτµησης Σχήµ 7 Μεττόπιση στοιχείου κτσκευών κι ειδικά µε υτή των λεπτών ελσµάτων 8, γι ν γίνει κτνοητή η διτύπωση των ντίστοιχων πεπερσµένων στοιχείων. Η νάπτυξη ορθογώνιων πεπερσµένων στοιχείων εξ ρχής συνάντησε δυσκολίες, οι οποίες οφείλοντι στη φύση των διφορικών εξισώσεων που διέπουν τη συµπεριφορά των λεπτών ελσµάτων. Η θεωρί των λεπτών ελσµάτων σίσθηκε στις πρδοχές που πρότεινε ο Kirchhoff το 85 (µετά τις µελέτες της Sophie Germin το 8), σύµφων µε τις οποίες τ επίπεδ που ρχικά είνι κάθετ στο ουδέτερο επίπεδο του ελάσµτος: ) ιτηρούν τη µορφή τους (δηλδή δεν πρµορφώνοντι) κι ) Πρµένουν κάθετ στο ουδέτερο επίπεδο κι µετά την επιολή του εξωτερικού φορτίου. 8 π.χ. S. Timoshenko & S. WoinowskKrieger Theor of Pltes n Shells κι S.P. Timoshenko & J.M. Gere Theor of Elstic Stbilit. Στ ελληνικά λέπε Π.Α. Κρύδη Η Μετλλική Κτσκευή του Πλοίου Θέµτ Τοπικής Αντοχής, Αθήν (Κεφάλι, 6).
Πεπερσµέν στοιχεί γι τη µελέτη λεπτότοιχων κτσκευών 55 Οι πρδοχές υτές συνέλν σηµντικά στην πλοποίηση της διδικσίς πόκτησης λύσης της διφορικής εξίσωσης του λεπτού ελάσµτος, ότν όµως κλούµστε ν διτυπώσουµε τις ιδιότητες ενός ντίστοιχου πεπερσµένου στοιχείου, νκύπτουν συγκεκριµένες δυσκολίες. ιπιστώθηκε, µετά πό µελέτες ελσµάτων κτά τις οποίες δεν είχν εισχθεί οι πρδοχές Kirchhoff, ότι πεπερσµέν στοιχεί που έχουν γενικότερη εφρµογή (γι λεπτά λλά κι γι πχιά ελάσµτ) συµπεριφέροντι κλύτερ πό υτά που σίζοντι στη θεωρί λεπτότοιχων κτσκευών. Αυτό οφείλετι στο ότι πρέπει ν ικνοποιούντι οι πιτήσεις σύγκλισης του στοιχείου λλά κι ν είνι υτό ποτελεσµτικά στο επίπεδο της εφρµογής. Το θέµ της σύγκλισης πεπερσµένων στοιχείων εξετάζετι λεπτοµερώς στο Κεφάλιο (εδάφιο 6). Γι ν γίνει κτνοητό το πρόληµ που νκύπτει κτά τη χρήση στοιχείων λεπτών ελσµάτων, πρέπει ν ντρέξουµε στη διφορική εξίσωση κάµψης λεπτών ορθογωνίων ελσµάτων (σχέση (8)) όπου: 9 M ( ν ) w D (5) Από πλευράς συµπεριφοράς των στοιχείων, πιτείτι συνέχει κτά µήκος του συνόρου δύο γειτονικών στοιχείων. Η συνέχει φορά τη πρµορφωµένη µορφή της κτσκευής, κι εξσφλίζετι µε ισότητ µεττοπίσεων κι κλίσεων κάθετ στο σύνορο σε όλο του το µήκος, γι τ δύο στοιχεί (έστω πλευρά ). Θ πρέπει δηλδή οι ποσότητες w κι w/n ν είνι ίσες γι τ δύο στοιχεί. Ακολουθώντς την πρκτική που έχει περιγρφεί σε προγενέστερ κεφάλι, µπορούµε ν κάνουµε χρήση των πρκάτω νπτυγµάτων πολυωνυµικής µορφής: w A A A... (5) w B B B... (5) Ο ριθµός των στθερών που χρησιµοποιείτι στις πρπάνω µορφές θ πρέπει ν επρκεί γι την πλήρη περιγρφή της µετολής της συγκεκριµένης µετλητής κτά µήκος του συνόρου, συνρτήσει των τιµών στους κόµους. Γι πράδειγµ, ν υπάρχουν µόνο δύο κόµοι, πιτείτι πολυώνυµο τρίτου θµού γι την περιγρφή της µεττόπισης w εφόσον τ w κι w/ ορίζο 9 Κρύδη Π.Α. op. cit, Κεφάλιο.
56 Υπολογιστικές µέθοδοι κι εφρµογές σε λεπτότοιχες κτσκευές ντι στους δύο κόµους. Η µετολή της κλίσης w/ είνι τότε γρµµική κι περιγράφετι µε δύο µόνο όρους. Η ίδι διδικσί θ µπορούσε ν γίνει κι γι την πλευρά του στοιχείου που γειτονεύει µε υτή κι µε την οποί συνντιέτι στην κοινή κµή (πλευρά ). Στη δεύτερη περίπτωση η συνέχει προϋποθέτει την ισότητ κλίσεων w/. Η κλίση υτή εξρτάτι πό κοµικές πρµέτρους της πλευράς κι µόνο. Η διρµονική εξίσωση περιλµάνει τον όρο w/. Στην κµή όµως, ο όρος υτός µπορεί ν υπολογισθεί είτε πργωγίζοντς τη µετλητή w/ που υπολογίζετι µε άση την πλευρά () ως προς, είτε πργωγίζοντς τη µετλητή w/ που υπολογίζετι µε άση την πλευρά () ως προς. Επειδή όµως οι κλίσεις εξρτώντι µόνο πό τις µετλητές των κόµων της κάθε πλευράς, θ έχουµε: w w Προκύπτει λοιπόν µι συµτότητ, κι συµπερίνοµε ότι είνι δύντη η χρήση πλών πολυωνυµικών µορφών γι τον ορισµό των συνρτήσεων µορφής, ότν στους κόµους κµών ορίζοντι µόνο η µεττόπιση κι οι πράγωγοί της. Οι µελετητές του προλήµτος έχουν προτείνει διάφορους τρόπους γι ν ξεπερσθεί το πρόληµ υτό, δεν κρίνετι όµως σκόπιµο ν επεκτθούµε περισσότερο στο σηµείο υτό.. Στοιχείελάσµτ θεωρίς Minlin Γι ν γίνει σφής η διτύπωση των ιδιοτήτων των πεπερσµένων στοιχείων ορθογωνίων ελσµάτων που σίζοντι στη θεωρί Minlin, θ προυσιάσουµε πρώτ τις σχετικές εξισώσεις της νλυτικής θεωρίς. Η σική πρδοχή της διτύπωσης κτά Minlin είνι ότι σηµεί του ελάσµτος που ρίσκοντι σε ευθεί η οποί είνι κάθετη στην ουδέτερη επιφάνει του ελάσµτος, συνεχίζουν ν ρίσκοντι σε ευθεί κι µετά την επιολή του φορτίου. Η ευθεί υτή δεν πιτείτι όµως ν πρµείνει κάθετη στην ουδέτερη επιφάνει του ελάσµτος. Βλέπουµε λοιπόν ότι ίρετι η πρδοχή () που έγινε κτά την διτύπωση της θεωρίς Kirchhoff. Σύµφων µε τ πρπάνω, οι µεττοπίσεις ενός σηµείου µε συντετγµένες (,, z) κτά τη θεωρί µικρών µεττοπίσεων είνι: z (, ) z (, ) w(, ) w (5γ)
Πεπερσµέν στοιχεί γι τη µελέτη λεπτότοιχων κτσκευών 57 Σχήµ 8 Η πρµόρφωση ελάσµτος µε µηµηδενικές εγκάρσιες διτµητικές τάσεις όπου w είνι η µεττόπιση κάθετ την ουδέτερη επιφάνει του ελάσµτος, κι, είνι οι κλίσεις της κθέτου προς την πρµόρφωτη ουδέτερη επιφάνει του ελάσµτος στ επίπεδ Oz κι Oz ντίστοιχ. Εάν δε ληφθούν υπόψη οι εγκάρσιες διτµητικές τάσεις, κτά τη θεωρί Kirchhoff, θ έχουµε: w κι w (5) Οι κµπτικές κι διτµητικές πρµορφώσεις ε, ε κι γ µετάλλοντι γρµµικά κτά το πάχος του ελάσµτος κι, κάνοντς χρήση των (5) κι (5), δίνοντι πό τις πρκάτω σχέσεις: ε ε γ z (55) ενώ οι εγκάρσιες διτµητικές πρµορφώσεις θεωρούντι στθερές κτά το πάχος του ελάσµτος:
58 Υπολογιστικές µέθοδοι κι εφρµογές σε λεπτότοιχες κτσκευές z z w w γ γ (56) Γι επίπεδη ενττική κτάστση ισοτροπικού υλικού (σ zz ) έχουµε: ν ν ν ν E z τ σ σ (57) ( ) z z w w ν Ε τ τ (58) Το µητρώο κµψίς ενός ντίστοιχου στοιχείουελάσµτος διτυπώνετι εξισώνοντς το έργο των εξωτερικών δυνάµεων µε την εσωτερική ενέργει πρµόρφωσης U. Εάν το εµδόν της µέσης (ουδέτερης) επιφάνεις είνι Α, η εσωτερική ενέργει πρµόρφωσης U δίνετι πό τη σχέση: za U t t A Eε ε Τ / / (59) Στη σχέση υτή ε είνι ο τνυστής των πρµορφώσεων. Οι πρµορφώσεις εκφράζοντι συνρτήσει των µεττοπίσεων (σχέσεις (5), (7) κι (8)). Ολοκληρώνοντς κτά το πάχος, λµάνοµε: A U M A κ D κ Τ (6) όπου M D κι κ ορίζοντι πό τις πρκάτω σχέσεις:
Πεπερσµέν στοιχεί γι τη µελέτη λεπτότοιχων κτσκευών 59 w w κ t G t G z z M D K D (6, ) κι ( ) ( ) ν ν ν ν Et K D (6) όπου o πρώτος όρος του γινοµένου της σχέσης (6) συνήθως συµολίζετι µε το D κι κλείτι κµπτική κµψί του ελάσµτος. Γενικά ισχύει: κ w w t G t G Q Q M M M z z D K ( ) κ κ ο M D (6) Εάν σε κάθε κόµο ορίζοντι οι τρεις θµοί ελευθερίς w,, κι µπορούµε ν χρησιµοποιήσουµε τις ίδιες συνρτήσεις µορφής Ν i γι την πρεµολή των ποσοτήτων υτών πό τις ντίστοιχες τιµές στους κόµους. ηλδή, i i i N i i i i w N N N w (6)
6 Υπολογιστικές µέθοδοι κι εφρµογές σε λεπτότοιχες κτσκευές ή N (65) Από τ πρπάνω έχουµε: κ (66) κι (67) Οι σχέσεις (7), (9) κι () δίνουν: B κ (68) όπου:... N N... N N... N N... N... N N B (69) κι τέλος, πό τις σχέσεις (), () κι (), λµάνουµε: U T k όπου A B D B k A M T (7) Γι ορθογώνιο έλσµ, οι συνρτήσεις µορφής Ν i εκφράζοντι συνρτήσει των κι. Τότε A. Γι τετράπλευρο γενικότερης µορφής χρησιµοποιείτι ισοπρµετρική διτύπωση γι ν εκφρσθούν οι συνρτήσεις µορφής, όπως περιγράφετι στο Κεφάλιο 5 (εδάφιο.).
Πεπερσµέν στοιχεί γι τη µελέτη λεπτότοιχων κτσκευών 6 Τ στοιχεί τύπου Minlin πρέπει ν θεωρούντι ως µι ειδική κτηγορί τρισδιάσττων στοιχείων, που γι λόγους οικονοµίς κι ριθµητικής ευστάθεις δεν θ πρέπει ν χρησιµοποιούντι γι τη δικριτοποίηση λεπτών ελσµάτων. Βιλιογρφί. Wlz J.E., Flton R.E., Crs N.J. Accrc n conergence of finite element pproimtions. Proceeings of the Secon Conference on Mtri Methos in Strctrl Mechnics. WrightPtterson Air Force Bse, U.S.A., 968.. Rocke K.C., Ens H.R., Griffiths D.W., Nethercot D.A., The Finite Element Metho Bsic Introction. Blckwell Scientific Professionl Books (BSP), Ofor, 98.. Bthe K.J. Finite Element Proceres. Prentice Hll, New Jerse, 996.. Zienkiewicz O.C. Tlor R.L. The Finite Element Metho, Vol. Soli n Fli Mechnics, Dnmics n Mchiner. th eition, McGrw Hill, 99. 5. Hghes O.F. Ship Strctrl Design: A RtionllBse, CompterAie Optimiztion Approch. SNAME, New Jerse, 988.