Θεωρούµε δύο υλικά σηµεία µε µάζες m, m τα οποία αλληλοεπιδ ρούν µε βαρυτική δύναµη, που ακολουθεί τον νόµο της παγκόσµιας έλξεως του Νεύτωνα. i) Εάν είναι το διάνυσµα θέσεως του ενός υλικού σηµείου σε σχέση µε το άλλο, να δείξετε ότι ισχύει η διαφορική εξίσωση: µ d = - Gm m 3 όπου µ η λεγόµενη ανηγµένη µάζα των δύο υλικών σηµείων, για την οποία ισχύει η σχέση: µ = m + m ii) Να δείξετε ότι η στροφορµή του σύστήµατος ως προς το κέντρο µάζας του, προκύπτει από την σχέση: = µ ( v ) όπου v η σχετική ταχύτητα του ένος σωµατιδίου ως προς το άλλο. iii) Η µηχανική ενέργεια των δύο υλικών σηµείων στο σύστηµα ανα φοράς του κέντρου µάζας τους, ικανοποιεί την σχέση: E = µv - Gm m ΛΥΣΗ: i) Εάν R, R είναι τα διανύσµατα θέσεως των µαζών m, m αντι στοίχως ως προς την αρχή Ο ενός αδρανειακού συστήµατος αναφοράς (Σ), τότε ο δεύτερος νόµος κίνησης του Νεύτωνα δίνει για τις µάζες αυτές τις σχέσεις:
m (d R / ) = F m (d R / ) = F d R / = Gm / 3 d R / = - Gm / 3 m (d R / ) = Gm m / 3 m (d R / ) = - Gm m / 3 ( ) d ( R - R ) = G(m +m ) () 3 όπου οι Νευτώνειες δυνάµεις F, F ανάµεσα στα δύο υλικά σηµεία είναι αντί θετες. Όµως ισχύει η σχέση: R + = R R - R = - oπότε η () γράφεται: Σχήµα Σχήµα - d = G(m +m ) 3 m m & d m +m = - Gm m 3 µ d = - Gm m () 3 ii) Eάν, είναι τα διανύσµατα θέσεως των υλικών σηµείων µε µάζες m, m αντιστοίχως v, v οι ταχύτητές τους στο σύστηµα αναφοράς του κέν τρου µάζας τους, θα ισχύουν οι σχέσεις: m + m = m = - m m (d /) = - m (d /) (3) Η στροφορµή του συστήµατος των δύο σωµατιδίων περί το κέντρο µάζας τους στο σύστηµα του κέντρου µάζας, δίνεται από την σχέση: = d m ' + d (3) m ' & &
= d m ' - d m ' & & = - d ( ) m ' (4) & Όµως ισχύουν οι σχέσεις: - = d - d = d d - d = d - m m d - d = d m + & d m = - d d = - m m + m & d d m = -µ d d m = - m m m + m & d (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4) (5) παίρνουµε: =- - ( ) -µ d ' = µ d ' & & = µ ( v ) (6) iii) Η µηχανική ενέργεια του σύστήµατος των δύο υλικών σηµείων στο σύστη µα αναφοράς του κέντρου µάζας τους, δίνεται από την σχέση: E = m v + m v - Gm m (7) Ακόµη έχουµε την σχέση: m v = m ( v v ) = m - m όποτε η (7) γράφεται: v m ' - m & v m ' = m v & m ( v ) E = m v ( v ) + m ( v ) - Gm m v m E = m + m & v ' m ( v ) - Gm m ( )( v v ) - Gm m E = m m m + m (8) Επί πλέον έχουµε:
- = d - d = d d - d = - d v - v = - d v - -m m v & = - d m + m m & v = - d m v = - m + m & d v ( v ) = m d ' ' m + m & & (9) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (8) (9) παίρνουµε: ( ) E = m m m + m m d & & m + m - Gm m E = m m d & & m + m - Gm m = µ d & - Gm m Παρατηρήσεις: α) Aν οι Νευτώνειες δυνάµεις F, F αναχθούν στο κέντρο µάζας των δύο σωµατιδίων εφαρµοσθεί για το κέντρο µάζας ο δεύτερος νόµος κίνησης του Νεύτωνα, θα έχουµε την σχέση: (m + m ) d R = F + F (m + m ) d R = d R = η οποία εξασφαλίζει ότι η ταχύτητα του κέντρου µάζας στο αδρανειακό σύστη µα (Σ) είναι σταθερή, που σηµαίνει ότι το σύστηµα αναφοράς του κέντρου µά ζας είναι αδρανειακό σύστηµα. β) Υπάρχει δυνατότητα να συνδέσουµε τα κινητικά στοιχεία v που χαρακτηρίζουν την κίνηση της ενεργού µάζας µ των δύο υλικών σηµείων, µε τα κινητικά στοιχεία των υλικών αυτών σηµείων τόσο στο αδρανειακό σύστηµα (Σ) όσο στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας. Πράγµατι από το σχή µα () προκύπτει: Άρα = - = - m - m = - (m + m ) m m = - m = - m m + m m (m + m ) = - µ () m
= - m = µ () m m Επίσης από το ίδιο σχήµα έχουµε: R = R + () R = R - µ () m R = R + () R = R + µ (3) m Παραγωγίζοντας ως προς τον χρόνο τις () () παίρνουµε: d = - µ d m d = µ d m v = - µ v (4) m v = µ v (5) m Παραγωγίζοντας ακόµη τις () (3) παίρνουµε: d R d R = d R - µ d m V = V - µ v (6) m = d R + µ d m V = V + µ v (7) m όπου V η ταχύτητα του κέντρου µάζας V, V οι ταχύτητες των υλικών σηµείων στο αδρανειακό σύστηµα (Σ). Εξάλλου οι ορµές p, p των δύο υλι κών σηµείων στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας τους είναι: (4) p = m v (5) p = m v µ v p = -m = - µ m µ v p = m = µ m δηλαδή το ένα σωµατίδιο έχει ορµή ίση µε την ορµή της ενεργού µάζας µ το άλλο ορµή αντίθετη της ορµής της ενεργού µάζας, γεγονός συµβατό µε το ότι η συνολική ορµή του συστήµατος των δύο υλικών σηµείων στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας τους είναι µηδενική. Εξάλλου οι ορµές των υλι κών σηµείων στο αδρανειακό σύστηµα (Σ) είναι: v v P = m V (6) P = m V - µ v
(7) P = m V P = m V + µ v Προσθέτοντας κατά µέλη τις δύο παραπάνω σχέσεις παίρνουµε: P + P = (m + m ) V δηλαδή η συνολική ορµή των δύο υλικών σηµείων στο αδρανειακό σύστηµα (Σ) είναι ίση µε την ορµή του κέντρου µάζας τους, αν σ αυτό θεωρήσουµε συγκεν τρωµένη την συνολική τους µάζα. γ) Οι στροφορµές L, L των υλικών σηµείων περί το κέντρο µάζας τους, στο συστηµα αναφόράς του κέντρου µάζας, είναι: L = m (), (4) ( v ) L = m (), (5) ( v ) * L = - µ & ' - m, µ m +, m * µ L = & ' m µ, m +, m v () v () - & / = µ ' µ./ m ( v () ) - & / = µ ' µ./ m ( v () ) Προσθέτοντας κατά µέλη τις δύο παραπάνω σχέσεις παίρνουµε: L + L = µ µ m ( v ) + µ m L µ + L = + µ & m m ( ' µ v () ) ( µ v ) L = µ m + m & ( ' µ v () ) = ' µ ( v () ) δηλαδή επανευρίσκουµε την σχέση (6). Aς δούµε στην συνέχεια ένα χαρακτηρι στικό παράδειγµα εφαρµογής των προηγούµενων παρατηρήσεων. Δύο άστρα Α Α µε αντίστοιχες µάζες m, m κινούνται υπό την επίδραση των αµοιβαίων βαρυτικών τους έλξεων η δε σχετική κί νηση του ένός ως προς το άλλο είναι οµαλή κυκλική. Εάν το κέντρο µάζας των δύο άστρων είναι ακίνητο µέσα στο Σύµπαν, να καθο ριστουν οι κινήσεις των δύο άστρων στο σύστηµα αναφοράς του κέν τρου µάζας τους. Nα θεωρήσετε αµελητέα την βαρυτική έλξη που δέχονται τα δύο άστρα από τα γειτονικά προς αυτά ουράνια σώµατα. ΛYΣH: Επειδή τα δύο άστρα κινούνται υπό την επίδραση των αµοιβαίων βαρυτικών τους έλξεων (οι εξωτερικές δυνάµεις από τα γειτονικά άστρα θεω ρούνται ασήµαντες) η σχετική κίνηση του ενός ως προς το άλλο είναι ισοδύ ναµη µε την κίνηση ενός νοητού σωµατος µάζας ίσης προς την ενεργό µάζα µ
του συστήµατος, πάνω στο οποίο ενεργεί η αντίστοιχη δύναµη αλληλεπίδρασης. Όµως σύµφωνα µε το πρόβληµα το σώµα αυτό εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση που σηµαίνει ότι το διάνυσµα θέσεώς του (επιβατική ακτίνα) ως προς το κέν τρο της τροχιάς του περιστρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα, της οποίας το µέτρο θα βρέθεί από το γεγονός ότι η βαρυτική έλξη που δέχεται δρά ως κεντροµόλος δύναµη, δηλαδή ισχύει η σχέση: G m m = µv G m m = m m & ' m + m = G (m + m ) 3 = G(m + m ) 3 () όπου G η σταθερά της βαρύτητας v η γραµµική ταχύτητα της ενεργού µάζας, που αποτελεί την σχετική ταχύτητα του ενός άστρου ως προς το άλλο. Ας εξετάσουµε τώρα τις κινήσεις των δύο άστρων στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας τους. Εάν, είναι τα διανύσµατα θέσεως των άστρων Α (m ), A (m ) αντιστοίχως ως προς το, τότε σύµφωνα µε τις προηγούµενες παρατηρήσεις θα έχουµε τις σχέσεις: = µ = m m m m (m + m ) = m () m + m = - µ m = - m m m (m + m ) = - m (3) m + m Οι σχέσεις () (3) εξασφαλίζουν ότι τα διανύσµατα, ως συγγραµµικά του στρέφονται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα έχουν σταθερά µέτρα, που σηµαίνει ότι τα άστρα Α, Α διαγράφουν στο σύστηµα αναφοράς του κέν Σχήµα 3 Σχήµα 4 τρου µάζας τους οµόκεντρες περιφέρειες κέντρου ακτίνων,, µε >, µε την προυπόθεση ότι ισχύει m >m (σχ. 4), δηλαδή αποτελούν ένα διπλό άστρο. H όρµη p του διπλού άστρου είναι: p = p + p = µ v - µ v =
η δε στροφορµή του περί το κέντρο µάζας είναι: = µ ( v ) = µ ( v ) = µ m = m & ' m + m δ) Εάν οι δυνάµεις αλληλεπίδρασης µεταξύ δύο υλικών σηµείων δεν είναι Νευτώνειες δυνάµεις (λόγου χάρη είναι απωστικές δυνάµεις oulomb) αλλα πάντως δυνάµεις εξαρτώµενες από την απόστασή τους, τότε υπό την απουσία εξωτερικών δυνάµεων η σχετική κίνηση του ένος ως προς το άλλο ισοδυναµεί πάλι µε την κίνηση ενός υποθετικού υλικού σηµείου µε µάζα ίση προς την ενεργό µάζα µ των δύο υλικών σηµείων, όταν αυτό δέχεται την αντίστοιχη δύ ναµη αλληλεπίδρασης. Η διαφορική εξίσωση που καθορίζει την κίνηση της ενεργού µάζας έχει την µορφή: µ d = F() όπου το διάνυσµα θέσεως του ενός υλικού σηµείου ως προς το άλλο F() η συνάρτηση που καθορίζει την εξάρτηση της αντίστοιχης δύναµης αλληλεπίδ ρασης από την απόσταση. Oι προηγούµενες παρατηρήσεις (α), (β), (γ) ισχύουν στην περίπτωση αυτή γεγονός που θα κατανοηθεί µε το εξής παράδειγµα: Δύο σωµατίδια Σ, Σ µε αντίστοιχες µάζες m, m φέρουν θετικό φορτίο κάποια στιγµή βάλλεται το ένα εναντίον του άλλου από πολύ µεγάλη απόσταση οι δε φορείς των αρχικών τους ταχυτήτων εκτόξευσης δεν ανήκουν στην ευθεία που συνδέει τα δύο σωµατίδια. Εάν η αλληλεπίδραση των δύο σωµατιδίων σε συνδυασµό µε τις αρχι κές τους ταχύτητες διαµορφώνει σχετική κίνηση του ενός ως προς το άλλο επί της υπερβολικής τροχιάς (τ) του σχήµατος (5), να καθορισ θούν ποιοτικά οι τροχιές των δύο σωµατιδίων στο σύστηµα αναφοράς του κέντρου µάζας τους. ΛΥΣΗ: Η υπερβολική τροχιά (τ) που αντιστοιχεί στην σχετική κίνηση του ενός σωµατιδίου ως προς το άλλο είναι η τροχιά που διαγράφει η ενεργός µάζα µ των δύο σωµατιδίων υπό την επίδραση της απωστικής δύναµης oulomb F που περιγράφεται από την διανυσµατική σχέση: F = k q q 3 () όπου k θετική σταθερά, q, q τα ηλεκτρικά φορτία των σωµατιδίων Σ, Σ αντιστοίχως το διάνυσµα θέσεως του ενός ως προς το άλλο. Aναλύοντας τα στοιχεία της κίνησης παρατηρούµε ότι η ενεργός µάζα προσεγγίζει το απω στικό κέντρο Ο µε αρχική ορµή p της οποίας ο φορέας απέχει από το Ο από σταση b αφού φθάσει στο εγγύτερο σηµείο Μ αποµακρύνεται µε τελική ορµή p σκεδαζόµενη από την αρχική της διεύθυνση κατά γωνία φ (σχ. 5). Πρέπει να τονιστεί ότι η υπερβολική τροχιά της ενεργού µάζας προβλέπεται από την θεωρία της κεντρικής κίνησης, δηλαδή η ύπαρξή της είναι θέµα επί λυσης της διαφορικής εξίσωσης που περιγράφει την κίνηση της ενεργού µάζας.
Ας εξετάσουµε τώρα τις κινήσεις των δύο σωµατιδίων στο σύστηµα αναφοράς Σχήµα 5 του κέντρου µάζας τους. Εάν, είναι τα διανύσµατα θέσεως των σωµατι δίων Σ Σ αντιστοίχως ως προς το κέντρο µάζας τους, τότε σύµφωνα µε τις προηγούµενες παρατηρήσεις θα έχουµε τις σχέσεις: = µ = m m m m (m + m ) = m () m + m = - µ m = - m m m (m + m ) = - m (3) m + m Σχήµα 6 Από τις σχέσεις () (3) παρατηρούµε ότι τα διανύσµατα, είναι συγ γραµµικά του διανύσµατος αντίρροπα µεταξύ τους. Τα µέτρα οι διευ θύνσεις των διανυσµάτων αυτών µεταβάλλονται καθώς εξελίσσεται η κίνηση των δύο σωµατιδίων κατά τρόπο που οι άκρες τους να διαγράφουν στο σύστη µα αναφοράς του κέντρου µάζας τους τις υπερβολικές καµπύλες (τ ), (τ ) που αποτελούν τις τροχιές των δύο σωµατιδίων. Τα δύο σωµατίδια αρχικά κατευθύνονται προς το κέντρο µάζας τους µε αρχικές ορµές p - p αφού φθάσουν στα εγγύτερα προς το κέντρο µάζας σηµεία α, α αποµακρύ νονται µεταξύ τους µε τελικές ορµές p - p (σχ. 6). P.M. fysikoς
Υλικό σηµείο µάζας m κινείται υπό την επίδραση κεντρικής δύναµης F που εκπορεύεται από ελκτικό κέντρο Ο έχει την µορφή: F = f() e όπου f() µια συνάρτηση της απόστασης του υλικού σηµείου από το Ο e το µοναδιαίο διάνυσµα της επιβατικής του ακτίνας ως προς το Ο. Εάν η τροχιά του υλικού σηµείου είναι περιφέρεια κύκ λου ακτίνας, να βρείτε την αναγκαία συνθήκη ώστε η τροχιά αυτή να είναι ευσταθής, δηλαδή αν το υλικό σηµείο εκτραπεί λίγο από την κυκλική τροχιά του η νέα του κίνηση να είναι φραγµένη περί την κυκλική τροχιά. ΛΥΣΗ: Από την θεωρία της κεντρικής κίνησης είναι γνωστά τα εξής: Α) Εάν υλικό σηµείο κινείται υπό την επίδραση κεντρικής δύναµης, η στροφορ µή του L περί το κέντρο Ο από το οποίο εκπορεύεται η δύναµη διατηρείται σταθερή η δε κίνησή του είναι επίπεδη µε επίπεδο κίνησης που διέρχεται από το Ο είναι κάθετο στο σταθερό διάνυσµα της στροφορµής. Β) Η διαφορική εξίσωση της ακτινικής συνιστώσας της κίνησης έχει την µορ φή: m d - d ( + * ' - = f() d & ) *, - - d ' = f() () & m όπου dφ/ ο ρυθµός µεταβολής της πολικής γωνίας φ του υλικού σηµείου, κατα την στιγµή που το εξετάζουµε. Γ) Η διαφορική εξίσωση της κάθετης επί την ακτίνα συνιστώσας της κίνησης (εγκάρσια συνιστώσα) έχει την µορφή: m d + d d ' = m d & d + d ' = & m d d d ' = & = ct d = L m () Συνδυάζοντας τις σχέσεις () () παίρνουµε: d - L m 3 = f() m (3) Για κυκλική τροχιά ακτίνας η σχέση (3) γράφεται:
L - m = f( ) 3 m f( ) + L m = (4) 3 Aς φανταστούµε τώρα ότι το υλικό σηµείο εκτρέπεται πολύ λίγο από την κυκ λική του τροχία, οπότε η νέα κίνηση που προκύπτει για το υλικό σηµείο θα περιγράφεται από την διαφορική εξίσωση: d ( + x) L - m ( + x) = f( + x) 3 m d x - L m ( + x) 3 - f( + x) m = (5) µε x<<. Όµως έχουµε: ( + x) = 3 3 + x/ ( ) = - 3 3 ( + x/ ) -3 η οποία µε ανάπτυξη σε σειρά Taylo αφού παραλειφθούν οι όροι δευτέρας άνω τάξεως ως αµελητέοι, παίρνει την µορφή: ( + x) 3 3-3x ' (6) & Eπίσης για την συνάρτηση f( +x) µε ανάπτυξη σε σειρά Taylo έχουµε: f( + x) = f( ) + x df & d + x = d f d & +... = f( + x) f( ) + x df ' f( d ) + xf'( ) (7) & = H (5) µε βάση τις (6) (7) παίρνει την µορφή: d x - L m 3 d x - L m 3-3x & - f( ) m - xf'( ) m = + 3L x m 4 - f( ) m - xf'( ) m = (4) d x + 3L x m 4 - xf'( ) m = (8) Όµως στην περίπτωση της κυκλικής τροχιάς η κεντρική δύναµη είναι ελκτική [f( )<] αποτελεί για το υλικό σηµείο κεντροµόλο δύναµη, οπότε ισχύει:
-f( ) = m d ' & Έτσι η σχέση (8) γράφεται: -f( ) = m d x - 3f( )x - xf'( ) m m = L m & -f( ) m = L m 4 m d x - 3f( ) + f'( )& x = (9) Με την προυπόθεση ότι η εντός της αγγύλης ποσότητα είναι αρνητική, τότε η (9) µπορεί να πάρει την µορφή: m d x + kx = µε k = - 3f( ) - f'( ) > () Αν λοιπόν ισχύει: 3f( ) + f'( ) < τότε η διαφορική εξίσωση () θα έχει ηµιτονική λύση, δηλαδή η εκτροπή x θα µεταβάλλεται αρµονικά µε τον χρόνο, που σηµαίνει ότι νέα τροχιά του υλικού σηµείου θα είναι φραγµένη, δηλαδή θα διαφέρει λίγο από την αρχική κυκλική τροχιά υπό την έννοια αυτή η κυκλική τροχιά θεωρείται ευσταθής. Αν όµως ισχύει: 3f( ) + f'( ) τότε η διαφορική εξίσωση () θα έχει εκθετική λύση, δηλαδή η εκτροπή x θα αυξάνεται µε τον χρόνο που σηµαίνει ότι η νέα κίνηση του υλικού σηµείου δεν θα είναι φραγµένη, αλλά συνεχώς θα αποκλίνει από την αρχική κυκλική τρο χιά η οποία θεωρείται ασταθής. Ένας άλλος τρόπος για την αντιµετώπιση τoυ θέµατος της ευστάθειας κυκλι κής τροχιάς µέσα σε κεντρικό πεδίο δυνάµεων είναι να χρησιµοποιήσουµε την λεγόµενη ενεργό δυναµική ενέργεια του υλικού σηµείου. Πρίν αναφερθούµε στην έννοια αυτή ας θυµηθούµε ότι κατα την διάρκεια της κεντρικής κίνησης υλικού σηµείου η µηχανική του ενέργεια διατηρείται σταθερή, δηλαδή µπο ρούµε να γράψουµε την σχέση: mv / + U() = E () όπου Ε η σταθερή µηχανική ενέργεια του υλικού σηµείου, v η ταχύτητά του
την στιγµή που το εξετάζουµε U() η αντίστοιχη δυναµική του ενέργεια η σχετιζόµενη µε την κεντρική δύναµη που δέχεται. Όµως για το µέτρο της ταχύτητας v έχουµε την σχέση: v = v + v = d ' & d + ' & v = d & L + m & = d & + L m () όπου v, v η ακτινική η εγκάρσια συνιστώσα αντίστοιχα της ταχύτητας. Συνδυάζοντας τις σχέσεις () () παίρνουµε: m d & + L + U() = E (3) m To µονόµετρο µέγεθος U()+L /m ορίζεται ως ενεργός δυναµική ενέρ γεια του υλικού σηµείου συµβολίζεται µε U εν (), δηλαδή ισχύει: L U () = U() + m (4) Mε βάση την (4) η (3) γράφεται: m d & + U '( () = E (5) Η σχέση (5) περιέχει ως µεταβλητή µόνο την απόσταση ως εκ τούτου µας επιτρέπει να θεωρούµε την ακτινική συνιστώσα της κεντρικής κίνησης του υλικού σηµείου ως µια ανεξάρτητη µονοδιάστατη κίνηση που εξελίσσεται σε κεντρικό δυναµικό πεδίο, το οποίο απορρέει από µια εικονική συνάρτηση U εν () που εκφράζει την ενεργό δυναµική ενέργεια του υλικού σηµείου. Παρατήρηση: H ενεργός δυναµική ενέργεια αποτελείται από τον όρο U() που εκφράζει την συνήθη δυναµική ενέργεια, από την οποία απορρέει η κεντρική δύναµη F =f() e από τον όρο L /m, που ονοµάζεται φυγοκεντρική δυναµική ενέργεια, διότι από αυτήν απορρέει µια εικονική απωστική δύναµη που έχει τα χαρακτηρηστικά στοιχεία φυγόκεντρης δύναµης. Πράγµατι η δύναµη F που προκύπτει από την σχέση: F = - L & m ( = - d L & ' d m ( e '
F = - L m d ' e d = L & m ' e & 3 F = m 4 v m & ( ' 3 e = mv Παραγωγίζοντας την (4) ως προς παίρνουµε την σχέση: - U () d - du () d = - U() d e - d L & d m ( ' = f() + L m 3 (6) H (6) για κυκλική τροχιά ακτίνας γράφεται: - du ( ) d = f( ) + L m 3 (4) du ( ) d = (7) H σχέση (7) εκφράζει ότι στα σηµεία της κυκλικής τροχιάς η U εν () παρουσιά ζει ακρότατο, που σηµαίνει ότι η τροχιά είναι σε κατάσταση ισορροπίας. Αν η δεύτερη παράγωγος της U εν () στα σηµεία = είναι θετική η ισορροπία της κυκλικής τροχιάς είναι ευσταθής, δηλαδή µια µικρή εκτροπή απο την κυκλική τροχιά θα προκαλέσει νέα κίνηση που είναι φραγµένη εποµένως θα δια φέρει πολύ λίγο απο την αρχική κυκλική τροχιά. Αν όµως η δεύτερη παράγω γος της U εν () στα σηµεία = είναι αρνητική, η ισορροπία της κυκλικής τροχιάς είναι ασταθής που σηµαίνει ότι µια µικρή εκτροπή από την κυκλική τροχιά θα προκαλέσει νέα κίνηση που αποκλίνει από την κυκλική τροχιά. Το κριτήριο εποµένως ευστάθειας της κυκλικής τροχιάς είναι η σχέση: d U ()& d ( > (8) ' = Παραγωγίζοντας εξάλλου την (6) παίρνουµε: d U () = - f() d d - d L & d m 3 ( ' = - f() d + 3L m 4 d U ()& d ( = -f'( ) + 3L 4 ' m = Όµως στην περίπτωση της κυκλικής τροχιάς η κεντρική δύναµη είναι ελκτική [f( )<] αποτελεί για το υλικό σηµείο κεντροµόλο δύναµη, οπότε ισχύει: -f( ) = m d ' & -f( ) = m L m & -f( ) = L m 4
oπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται: d U ()& d ( = -f'( ) - 3f( (8) ) ' = -f'( ) - 3f( ) > f'( ) + 3f( ) < δηλαδή επανευρίσκουµε την συνθήκη ευστάθειας της κυκλικής τροχιάς. Ως εφαρµογή των παραπάνω ας εξετάσουµε το εξής παράδειγµα: Yλικό σηµείο µάζας m κινείται σε κεντρικό δυναµικό πεδίο που απορρέει από συνάρτηση δυναµικής ενέργειας U(), της µορφής: U() = -k/3 3 όπου k θετική σταθερή ποσότητα η απόσταση του υλικού σηµείου από το κεντρο Ο του πεδίου. i) Aν το υλικό σηµείο κινείται σε κυκλική τροχιά κέντρου Ο ακτί νας R, να βρεθεί η µηχανική του ενέργεια. ii) Nα εξετασθεί αν η κυκλική τροχιά είναι ευσταθής ή όχι. ΛΥΣΗ: i) Το υλικό σηµείο δέχεται από το πεδίο κεντρική δύναµη F (), που απορρέει από την συνάρτηση U() µέσω της σχέσεως: F () = - U() = - du() d e F () = - d d - k 3 3 & e = - k e () 4 δηλαδή η δύναµη F () είναι ελκτική µε µέτρο αντίστροφα ανάλογο της τέταρ της δύναµης της απόστασης του υλικού σηµείου από το ελκτικό κέντρο Ο. Όταν το υλικό σηµείο κινείται σε κυκλική τροχιά, η δύναµη αυτή ενεργεί ως κεντροµόλος δηλαδή ισχύει η σχέση: F (R) = mv R k R 4 = mv R v = k mr 3 () όπου v το σταθερό µέτρο της ταχύτητας του υλικού σηµείου. H µηχανική ενέρ γεια Ε του υλικού σηµείου είναι το άθροισµα της κινητικής του ενέργειας Κ της δυναµικής του ενέργειας U(R), δηλαδή ισχύει: E = K + U(R) = mv - k 3R 3 () E = k R 3 - k 3R 3 = k 6R 3 (3)
ii) Kριτήριο για την ευστάθεια ή µη της κυκλικής τροχιάς είναι το πρόσηµο της ποσότητας F (R)+3F(R)/R, δηλαδή θα έχουµε: F'(R) + 3F(R) R = - - 4k & + 3 R - k R 4 & R 5 = 4k R 5-3k R 5 F'(R) + 3F(R) R = k R 5 > δηλαδή η κυκλική τροχιά είναι ασταθής. P.M. fysikos