Κφάλαιο Λύση 0 Απάντηση: f0545cm Λύση 5 α) Απάντηση: f ( 485)44cm, f ( 50)40cm β) Απάντηση: f 577cm Λύση 6 Απάντηση: f909cm Λύση 9 Το ΣχΠa δίχνι τον προσανατολισµό (γωνία θ) του οπτικού άξονα νός πλακιδίου ως προς πίπδο που πριέχι τη z διάδοση της φωτινής δέσµης Το ΣχΠb δίχνι το µτασχηµατισµό νός ανύσµατος από το σύστηµα συντταγµένων ΧΟΨ στο σύστηµα Χ OΨ Κατά τη στροφή του συστήµατος κατά γωνία ω έχουµ: 0 cosω siω 0 siω cosω Ο πίνακας που πριγράφι τη διάδοση της δέσµης διαµέσου του πλακιδίου ίναι το γινόµνο τριών πιµέρους πινάκων Μ, Μ και Μ 3, όπου Μ ίναι ο πίνακας µτασχηµατισµού ΧΟΨ στο νέο σύστηµα Χ(θ)ΟΨ(θ) Μ πριγράφι τη διαφορά φάσης φ και τέλος Μ 3 το µτασχηµατισµό στο αρχικό σύστηµα συντταγµένων Ισχύι ποµένως η σχέση: cosθ siθ i ϕ e 0 cosθ siθ M siθ cosθ 0 siθ cosθ i ϕ i ϕ cos θ e + si θ siθ cos θ( e ) i ϕ i ϕ siθ cos θ( e ) si θ e + cos θ Αν θωρήσουµ την ισρχόµνη δέσµη ως γραµµικά πολωµένη κατά τον άξονα x, τότ η ξρχόµνη από το πλακίδιο δέσµη θα πριγράφται ως ξής: i ϕ E x cos θ e + si θ M θ E y 0 i ϕ siθ cos θ ( e ) E x Για ένα γραµµικό πολωτή µ θπ/4 και φ0 η παραπάνω σχέση γράφται: Εποµένως, για ένα πλακίδιο E y 0 καθυστέρησης φάσης, πχ θπ/4 και φπ/ έχουµ: E ( i + ) x + i E y i ( i ) Αυτή ίναι η πρίπτωση πλακιδίου που δηµιουργί αριστρόστροφα κυκλικά πολωµένο φως ΣχΠ
Κφάλαιο Λύση Απάντηση: αν το φασµατικό πλάτος µίας στνής γραµµής κποµπής Laser (λ488m) ίναι dνghz, τότ dλ00008m Λύση 3 Η σχέση [9α] γράφται 3 dσ 4ω 0 Α dω σ 4 ω A ω ω + γ ω ( 0 ) Sc [( ω ω ) + ω γ ] 0 ( ω0 ω ) + ω γ + ω ( ω0 ω ) γ ω 0 ω ω 0 ίναι η συχνότητα συντονισµού του ταλαντούµνου διπόλου Β 4 ω 4 ω( ω0 ω ) ω γ + Β max 0 ω ω 0 γ γ ω 0 ω Λύση 4 Ένα φορτισµένο σωµάτιο (που κινίται µ οµαλή υθύγραµµη κίνηση) αντιστοιχί στην µφάνιση νός ηλκτρικού ρύµατος και παράγι ένα σταθρό µαγνητικό πδίο Ένα τέτοιο σωµάτιο δν κπέµπι καµία ηλκτροµαγνητική ακτινοβολία Αντίθτα, τα πιταχυνόµνα ηλκτρικά φορτία µπορούν να προκαλέσουν κποµπή ακτινοβολίας Πχ αν σ µία κραία φαρµόσουµ ναλλασσόµνη τάση, τότ τα ηλκτρικά της φορτία ξαναγκάζονται να ταλαντωθούν Υποθέτουµ ότι ένα στοιχιώδς φορτίο dq κινίται µ ταχύτητα u(t) και πιτάχυ νση du κάθτα προς τη διατοµή Α dt νός ηλκτρικού αγωγού (ΣχΠ) και δηµιουργί ένα στοιχιώδς ρύµα : dq I q dt όπου q L ίναι η γραµµική πυκνότητα φορτίου Αν L ίναι το µήκος διαδροµής του φορτίου µταξύ δύο διατοµών, τότ προκύπτι ότι L dx dt dx dx I L ql L Q dt dt όπου Q ίναι ο συνολικός αριθµός του φορτίου, που βρίσκται ντός του χώρου A L Αν παραγωγίσουµ την προηγούµνη σχέση, λαµβάνουµ τη βασική ξίσωση: I L Q u, που συνδέι τα µγέθη του ηλκτρικού ρύµατος και του φορτίου στην πρίπτωση κποµπής ηλκτροµαγνητικής ακτινοβολίας I ίναι η χρονική µταβολή του ρύµατος σ A s Το γινόµνο I L ίναι η δύτρη παράγωγος της διπολικής ροπής p, που προκαλίται από την κίνηση του φορτίου κατά µήκος της διαδροµής L Αναλυτικότρα, d q p q L p L I L p I L dt Πχ στην πρίπτωση νός ναλλασσόµνου ηλκτρικού ρύµατος: I I siωt I I ω cosωt 0 0 Προκύπτι p I0ω L cosωt Από το ταλαντούµνο ηλκτρικό δίπολο λαµβάνουµ τη σχέση: 0 0 pt () p cos ωt pt () pω cosωt όπου p 0 ql ίναι η µέγιστη διπολική ροπή Συγκρίνοντας τις σχέσις προκύπτι τλικά ότι I 0 qω Η νέργια που α- κτινοβολίται από ένα ταλαντούµνο δίπολο καθορίζται από το διάνυσµα Poytig 0 S 0 c E (, r θ,) t, όπου E(r,θ,t)
παριστά το µέτρο της έντασης της ακτινοβολίας σ σηµίο P (x,y,z) του χώρου µ γωνιακή κατανοµή θ και πριστροφή του σηµίου γύρω από τον άξονα z κατά γωνία φ, ΣχΠ 3 ΣχΠ ΣχΠ Τέτοιου ίδους κατανοµές έχουν τη µορφή σαµπρέλας, µ µέγιστς τιµές να κίνται πί του ισηµρινού πιπέδου Από τη θωρία του Ηλκτροµαγνητισµού υπολογίζουµ τη µέση τιµή της κπµπόµνης νέργιας: λαµβάνοντας υπόψη ότι Μ αντικατάσταση του p προκύπτι: < p > si θ < S > 6π cr 3 0 < p > si Erθ (,,) t 4π0cr I0 ω L < cos ωt > si θ < S > 3 6π 0cr θ I0 ω L si θ 3 3π 0cr 4 q ω L si θ, 3 3π 0cr πιδή < cos ωt > < + cos ωt > Για να λάβουµ τη συνολική ακτινοβολούµνη ισχύ σ όλο το χώρο ολοκληρώνουµ µία στοιχιώδη πιφάνια dfr siθdθdφ ως προς όλς τις πολικές γωνίς θ και τις αζιµούθις γωνίς φ του ισηµρινού πιπέδου: Μ αντικατάσταση προκύπτι: θ φ <S> d F S r siθ dθ dϕ 0 0 I < P > < > 3 0ω 8π 0ω P 3 3 3 π 0c π0c I L I L 3 4 q ω L P π c 0 3 (Watt) π π 0ω L 3 π 0c 0 0 (Watt) 3 si θ dθ dϕ δηλαδή η συνολική ακτινοβολούµνη ισχύς σ όλο το χώρο ξαρτάται από την τέταρτη δύναµη της συχνότητας και ίναι ανξάρτητη της απόστασης r Λύση 5 Απάντηση: ( ) 46 0 4 Λύση 8 Απάντηση: α73 ο Λύση 9
4 Απαντήσις: α) ν599thz, β) λ 0µm, γ) το ακριβές µήκος κύµατος της ακτινοβολίας ίναι 49986m 9 λvac 500 0 m λ 00079 Λύση 6 Σ ένα γραµµικά πολωµένο κύµα, η ένταση του ηλκτρικού πδίου κφράζται ως i( t kx) 0 x e ω E E e, όπου ex ίναι το µοναδιαίο διάνυσµα κατά τον άξονα x Αν στο διάνυσµα E φαρµόσουµ το διαφορικό τλστή rot, τότ λαµβάνουµ: e e e x y z ( E) / x / y / z ( E) x ( E) z 0 και E E E x y z E ( ) x Ez E E x y z x z Από την 3 η ξίσωση του Maxwell λαµβάνουµ ότι B ( E) t Επιδή Β{0,Β y,0} προκύπτι ότι Bx B B z y Ex ωt kx k ω 0 και ikex By ike0 e dt E0 e t t t z ω i( ) i( t kx) Από τη σχέση ω c λαµβάνουµ τλικά B E Επιδή Ε{Ε x,0,0} και Β{0,Β y,0}, τα διανύσµατα των δύο πδίων k c θα κίνται κάθτα µταξύ τους, θα ταλαντώνονται σ φάση και θα ίναι πίσης κάθτα και προς το διάνυσµα κατύθυνσης k ιανυσµατικά ξάγουµ τη σχέση B ( k E) ω Λύση 8 o Για να συµβί ολική ανάκλαση πρέπι να ισχύι siαορ αορ > 4 Η φωτινή δέσµη προσπίπτι στην 59 υποτίνουσα και κατά την ανάκλασή της σχηµατίζι γωνία 45, που ίναι µγαλύτρη από τη γωνία α ορ Εποµένως η ακτίνα υφίσταται ολική ανάκλαση και η υποτίνουσα του πρίσµατος λιτουργί σαν κατοπτρική πιφάνια Η δύτρη πρίπτωση προκύπτι µ παρόµοιους υπολογισµούς µ τη διαφορά όµως ότι 33, οπότ α ορ >6 ο Αυτό σηµαίνι ότι η ακτίνα µρικώς θα ανακλαστί νώ θα υποστί και διάθλαση Το πλονέκτηµα που παρουσιάζι ένα ανακλαστικό πρίσµα (σ σχέση µ ένα κάτοπτρο) ίναι ότι το φως ανακλάται πλήρως, νώ στα κάτοπτρα (µ πίστρωση αλουµινίου) η ανακλαστικότητά τους ίναι µικρότρη του 98% Επίσης οι ανακλαστικές ιδιότητς του πρίσµατος ίναι µόνιµς και δν πηράζονται από τυχόν αµαυρώσις της µταλλικής του πίστρωσης Λύση 9 Απάντηση: για 59 58 ο Λύση 4 Από το νόµο της διάθλασης προκύπτι cos β - si a Για γωνία Brewster αα Βr + ισχύι: cos β si a si ( abr + ) si abr cos + cos abr si abr cos si cos abr si cos αbr cos + cos αbr cossi cos αbr si
5 [ ] cos Br cos si α cos αbr cos αbr cos si + si Για τιµές του << ισχύουν προσγγιστικά οι ξής σχέσις: 4 0, si, si και cos, οπότ! cos αbr cos β cos αbr + Επίσης ισχύουν οι ξής τριγωνοµτρικές σχέσις: cos αbr ( + ) + si si( abr + ) cos Br cos + cos Br si cos Br + α α α α, cos cos( Br + ) cos Br cos cos Br si cos abr α α α α, + cos β cosα 4 Br + + cosα cosα 4 Br + Αναπτύσσοντας την τλυταία σχέση σ σιρά Taylor λαµβάνουµ: cosβ + () + () + + cosα 4 8 8 4 Μ παρόµοιο τρόπο καταλήγουµ πίσης και στη σχέση: ( ) + 4 + 3 + + 4 6 4 cosα ( ) 3 + cos β 3 + 4 6 Οι ξισώσις Fresel για την ανάκλαση και διάθλαση και για την πρίπτωση όπου 0 γράφονται ως ξής: cos β + 3 q cosα r cos β + + cosα + 3 και qt cos β + + cosα + 3 Λύση 3 Απάντηση: για Ν3 προκύπτι Τ ολ (096) 6 783% Λύση 33 Απάντηση: µτά 68m ο παλµός θα έχι πλάτος ps Λύση 34 Απάντηση: I8 0 W/m και Ε549V/m
6 Κφάλαιο 3 Λύση 35 Απάντηση: Ι3 0 8 W/m (Σηµίωση: ένα διαστηµόπλοιο χρησιµοποιώντας ηλιακά πτρύγια (πχ διαστάσων Α0 4 m ) µπορί να πτύχι πιταχύνσις 66 0 5 m/s για ηλιακή ακτινοβολία έντασης Ι0 3 W/m ) Λύση 37 Απάντηση: το µγαλύτρο µήκος κύµατος που προκύπτι για ίναι λ max 566cm Λύση 39 E Από την ξίσωση του Maxwell x B προκύπτουν οι ξής σχέσις: c t B B z y E x y z c t, Bx Bz Ey B B E και z x c t x y c t y x z και κ των οριακών συνθηκών του συγκκριµένου προβλήµατος ( Bx 0, Bz 0) λαµβάνουµ : Από τη σχέση [] προκύπτι: ω By z και από τη σχέση [] λαµβάνουµ ανάλογα: c Ex t [] και By Ez x c t Ex c k ze0cos( kxx) si( ωt kzz)d t E0cos( kxx)cos( ωt kzz ) kc z [] By c ωk E x z c dt E 0si( kxx) cos( ωt k z t x kc z z )d k E x z E0si( kxx) si( ωt k z z) kz Κφάλαιο 4 Λύση 46 Από τη σχέση taθ υπολογίζουµ το δδ νός υλικού Ο προσδιορισµός της γωνίας θ γίνται από την ανακλώµνη δέσµη, που σ συγκκριµένη γωνία παρουσιάζι µηδνική τιµή διέλυσης από έναν πολωτή κάθτα προσανατολισµένο (δηµιουργία διασταυρούµνων πολωτών) Μία µόνο µέτρηση δν δίνι ακριβές αποτέλσµα, πιδή ίναι άγνωστο το σφάλµα προσδιορισµού της γωνίας θ Γι αυτόν το λόγο µταβάλλουµ τη γωνία θ και λαµβάνουµ διάγραµµα τιµών, που παρουσιάζι λάχιστο γύρω από τη γωνία Brewster Μ τη βοήθια της µθόδου λάχιστων ττραγώνων δύτρης τάξης ίναι δυνατό να προσδιοριστί η τιµή της γωνίας θ µ µγάλη ακρίβια Λύση 49 Η ανοιγµένη διάταξη του οπτικού διαχωριστή µαζί µ το πριστρφόµνο πλακίδιο λ/4 φαίνται στο ΣχΠ4 Στο ν λόγω σχήµα διακρίνονται οι θέσις των οπτικών αξόνων κάθ στοιχίου (µαύρο βέλος) και η θέση πόλωσης της φωτινής δέσµης (κόκκινο βέλος) στις νδιάµσς θέσις µέχρι 7 Μλτούµ τέσσρις διαφορτικές πριπτώσις, ανάλογα µ τον προσανατολισµό του πλακιδίου λ/4: 0 o, 45 ο, 90 ο και 35 ο (βλ αντίστοιχα στο ΣχΠ4 θέσις b, b, b και b3) Ενδιαφέρον παρουσιάζι ο προσανατολισµός στις πριπτώσις b και b3, όπου στη θέση 6 έχουµ διασταυρούµ να πολωτών
7 ΣχΠ4 Λύση 40 Απάντηση: για 5 προκύπτι d 454mm Λύση 4 Ο βαθµός πόλωσης µίας µονοχρωµατικής φωτινής δέσµης χαρακτηρίζται από τέσσρις ποσότητς (καλούνται παράµτροι Stokes), οι οποίς έχουν τις ξής τιµές: 0 x + y, S x y, S * * * * Im( ) cosϕ και ( ) S x y x y S 3 Re x y x ysiϕ όπου x,y ίναι οι συντταγµένς του πιπέδου πόλωσης της δέσµης και φ η διαφορά φάσης, που µφανίζι ο πολωτής ή τα πλακίδια (λ/, λ/4) Η σχέση µταξύ των παραµέτρων Stokes δίνται ως ξής: S0 S + S + S3 (Πριπτώσις,) γραµµικά πολωµένο φως µ θ0 ο και θ90 ο : { x, y 0} και { x 0, y } {S 0 S x, S 0, S 3 0}, {S 0 S y, S 0, S 3 0} (Πρίπτωση 3) γραµµικά πολωµένο φως µ θ45 ο : x y {S 0 x, S 0, S x, S 3 0} (Πρίπτωση 4,5) δξιόστροφο και αριστρόστροφο κυκλικά πολωµένο φως {S 0 x, S 0, S 0, S 3 x } και {S 0 x, S 0, S 0, S 3 x } (Πρίπτωση 6) φυσικό φως {S 0 < x >, S 0, S 0, S 3 0} Λύση 4 Ο µτασχηµατισµός νός ανύσµατος από το σύστηµα συντταγµένων ΧΟΨ στο σύστηµα Χ OΨ (στροφή κατά γωνία ω, βλ Σχ Π4) κφράζται ως ξής : 0 cosω siω 0 siω cosω Ο προσανατολισµός του οπτικού άξονα του πλακιδίου γίνται κατά γωνία θ ως προς τη διάδοση φωτινής δέσµης κατά µήκος του άξονα z Ο πίνακας που πριγράφι τη διάδοση της δέσµης διαµέσου του πλακιδίου ίναι το γινόµνο τριών πιµέρους πινάκων Μ, Μ και Μ 3, όπου Μ ίναι ο πίνακας µτασχηµατισµού ΧΟΨ στο νέο σύστηµα Χ(θ)ΟΨ(θ) Μ πριγράφι τη διαφορά φάσης και Μ 3 το µτασχηµατισµό στο αρχικό σύστηµα συντταγµένων: cosθ siθ i e ϕ 0 cosθ siθ i ϕ i ϕ cos θ e + si θ siθ cos θ( e ) siθ cosθ 0 siθ cos θ i ϕ i ϕ siθ cos θ( e ) si θ e + cos θ Θωρούµ µία διρχόµνη δέσµη γραµµικά πολωµένη (ως προς τον άξονα X), οπότ η ξρχόµνη δέσµη από το πλακίδιο πριγράφται ως ξής:,
8 Οι αντίστοιχοι παράµτροι Stokes γράφονται ως ξής: E x i ϕ cos θ e si θ M E y 0 i ϕ siθ cos θ ( e ) θ ( ϕ ) si 4 cos S S si θ si ϕ ϕ ( θ ) + cos4θ cos cos 4 S3 + Στην ιδική πρίπτωση όπου θ45 π/4 και φπ/ οι παράµτροι Stokes ίναι: {S 0; S ; S 3 0} η ξρχόµνη δέσµη θα ίναι 00% κυκλικά πολωµένη ΣχΠ4 Λύση 43 Η παράµτρος S προσδιορίζι τη διαφορά φάσης φ που κατέχι το πλακίδιο και ιδίως την απόκλιση από την ιδανική τιµή Για τη µέτρηση χρησιµοποιούµ τη διάταξη του ΣχΠ43a, που αποτλίται από δύο πολωτές P και A κατέρωθν του πλακιδίου λ/4 Το πλακίδιο τίθται σ πριστροφή Εξτάζουµ τις πριπτώσις P A και P A Ο πίνακας µταφοράς της δέσµης ίναι: cosθ siθ 0 cosθ siθ M siθ cosθ 0 i e ϕ siθ cosθ (βλ άσκηση 4) ιαµέσου του πολωτή Ρ η ισρχόµνη δέσµη ίναι γραµµικά πολωµένη και πριγράφται από το άνυσµα Οι ξρ- 0 χόµνς από το πλακίδιο συνιστώσς του ηλκτρικού πδίου ίναι: i ϕ x cos θ e + si θ M y 0 i ϕ siθ cos θ( e ) Για τις πριπτώσις P A και P A οι ξρχόµνς (από τον αναλυτή Α) συνιστώσς θα πηράζονται από τα ανύσµατα 0 και αντίστοιχα 0 Πρίπτωση P A: i ϕ x cos θ e + si θ i ϕ cos θ e + si θ M y 0 i ϕ siθ cos θ( e ) 0 0 x cos θ(cos ϕ + isi ϕ) + si θ y cos θ(cos ϕ i si ϕ) + si θ,,
si * οπότ I I ( cos ϕ) I ( cos ϕ ) I I0 x y 0 I I0 cos ϕ, όπου θ cos4θ Για θπ/4 προκύπτι 4 9 ΣχΠ43 Όταν έχουµ ένα ιδανικό πλακίδιο λ/4, τότ η διαφορά φάσης φ έχι ακριβώς την τιµή π/, οπότ / Αν φαρµόσουµ τους συλλογισµούς µας στο ΣχΠ43b αναµένουµ το πλάτος να κυµαίνται από τις τιµές 05 Εξαιτίας των ατλιών στον κρύσταλλο, η τιµή παρουσιάζι αποκλίσις Τυπική απόκλιση δίνι 05304887 Για την πρίπτωση νός πλακιδίου λ/4 και για αποκλίσις στη φάση (π/) έχουµ: cos(90 o φ) si φ si φ φarcsi( ) Αν δ( φ) ίναι το σφάλµα που υπισέρχται κατά τη διάρκια των µτρήσων και δ<> το σφάλµα της µέσης τιµής, τότ υπολογίζουµ τις τιµές τους ως ξής: όπου ( ϕ) 6 ( ) < > 04987 3805 0 00 δ ϕ δ ( ) ( ϕ) ( ) ϕ ( ) 04987 ( ) Το σφάλµα δ< > της µέσης τιµής προέρχται από την παναληπτικότητα των µτρήσων και δν υπρβαίνι (σ µτρήσις µέγιστης ακρίβιας) το µέγθος του 5% Άρα δ< > 005 0044 Τλικά προκύπτι: φ ±δ( φ)[ ο 3 7 ] ±[0 ο 0 4 ] Πρίπτωση P A: και αναλογικά προκύπτι: i ϕ x 0 cos θ e + si θ 0 0 M y i ϕ si cos ( ) i ϕ θ θ e siθ cos θ( e ) * I cos4 I xy I 0 si θ si ( cos ϕ) I0 4 ϕ θ, Λύση 44 0 Αν η προσπίπτουσα ακτινοβολία πριγράφται από το άνυσµα, τότ για την ξρχόµνη ακτινοβολία ισχύι: 0 x M y, βλ προηγούµνς ασκήσις Πιο αναλυτικά: i ϕ i ϕ i ϕ c + s e sc( e ) 0 sc( e ) i ϕ i ϕ sc( e ) s + c e i s + c e ϕ όπου c, s ίναι οι συντοµογραφίς για το cosθ και siθ αντίστοιχα Οι παράµτροι Stokes έχουν τη µορφή:
ή σ ανυσµατική µορφή: Αν θωρήσουµ τις προσγγίσις: τότ 4 S 0 x + y s c ( cos ϕ ) si ϕ s + c cos ϕ + + + c si ϕ * ϕ S Re x y sc(s cos ϕ) + (c s c cos ϕ) si 4θ si S ϕ ϕ θ ϕ * Im x y sc( s si c si ) si si 4 4 S3 x + y sc( cos ϕ) s c sc cos ϕ si θ si π ϕ δϕ ϕ si 4 si S θ s S si θ si ϕ S 3 ϕ si θ si δϕ si ϕ cos δϕ και ϕ si δ ϕ θ π θ si 4θ si ( π 4 θ) si(4 θ) 4 θ 4 π si4θ 4 θ si θ si θ cos θ θ siθ θ Η ανυσµατική µορφή των παραµέτρων Stokes έχι ποµένως την ξής προσγγιστική µορφή: θ ( δ ϕ) S δϕ S S θ S 3 4 θ δϕ όπου οι όροι θ 4, θ 4 δφ, θ δφ και θ δφ θωρούνται αµλητέοι Στην πρίπτωση όπου ο άξονας σχηµατίζι γωνία θπ/4, τότ σ πρώτη προσέγγιση το S ίναι ανξάρτητο από την απόκλιση της διαφοράς φάσης δφ: S S S + S 3 d Κφάλαιο 5 θ ϕ ϕ 0 Λύση 55 dν dν d α) d p d d p όπου p p ( ) + α και α ίναι ο γραµµικός θρµικός συντλστής του υλικού µ τυπική τιµή p 0 α3 0 4 και p 0 760Torr, οπότ α d 7 40 Torr d p p0 και ώστ τλικά προκύπτι: dν MHz 7 d p Torr d d d d MHz (Torr) β) ν p p p ν ν 7 dv d p dv d p V Torr V(mol) ν d ν m 4 ν m 545 0 Hz d
Για όγκο V00ml dν p M Hz dv m ol Για ptorr dν MHz/mol dν και για p760torr 5GHz / mol dv dv γ) d ν d ν d p, pv RT dt d p dt οπότ Για την πρίπτωση του χάλυβα προκύπτι: d p p p V p + pa p a dt Τ V T T T, dν d d p ν p a ν dt d p T d p T α6 0 5 Εφόσον η θρµοκρασία παραµένι σταθρή (πχ Τ300Κ) Για patm προκύπτι ότι dν/dt 500MHz/K Λύση 56 dν MHz p(torr) 7 dt Torr T( K) d ν 7MHz MHz p 07 p dt 300 K K Το ΣχΠ5a δίχνι ένα πλακίδιο που συνχώς θρµαίνται Εξαιτίας της συνχούς θρµοκρασιακής τροφοδοσίας αλλάζι η διαφορά του οπτικού δρόµου δύο γιτονικών ακτίνων µ αποτέλσµα να µφανίζται µταβολή στην ξρχόµνη ένταση Στη γνική πρίπτωση, η διαπρατότητα Τ της δέσµης του φωτός πριγράφται από τους τύπους του Airy και παρουσιάζι: µέγιστα [si ( /)0] για Τ max και λάχιστα [si ( /)] για Τ mi 0 Το βάθος διαµόρφωσης της δέσµης δίνται από τη σχέση: Μ Tmax Tmi F T max +F Για πλακίδιο από ένα υλικό µ δδ 474 και από τη σχέση: R + υπολογίζουµ ότι R367% και F058, οπότ το βάθος διαµόρφωσης ίναι Μ36%, ΣχΠ5b Το παράδιγµα αυτό χρησιµοποιίται συχνά στην πράξη για να δίξι την πλήρη σύµπτωση µταξύ των θωρητικών και πιραµατικών υπολογισµών Μταξύ των µγθών R και F ισχύι η ακόλουθη σχέση: R + F F + F ΣχΠ5 Λύση 55 5 43 Απάντηση: x4493443π και η σχτική απόκλιση 467% 5
Κφάλαιο 6 Λύση 6 Απάντηση: µόνο για το σκληρό πριτύαλο µπορί να γίνι η διάκριση των φασµατικών γραµµών του νατρίου Λύση 65 Απάντηση: οι τάξις φράγµατος που µφανίζονται ίναι µέχρι και τέταρτη Λύση 68 Απάντηση: µόνο ο πρώτος, πέµπτος και έκτος συνδυασµός ίναι δυνατόν να πραγµατοποιηθούν Λύση 6 Σ διάταξη Littrow ισχύι η σχέση αβ και /d, οπότ dsiαmλ siαmλ/03 α 7 ο Ισχύι η σχέση siα+siβmλ siβmλ siα06m 03 Όπως διακρίνουµ και στον παρακάτω πίνακα υπάρχουν µόνο τέσσρις τάξις m για τις οποίς το φράγµα λιτουργί υπό γωνία blazed για λ500m τάξη γωνία ανάκλασης τάξη γωνία ανάκλασης m siβ 09 β 64 ο m siβ+09 β+64 ο m 0 siβ 03 β 7 ο m 3 siβ+5 β0 m siβ+03 β+7 ο Κφάλαιο 7 Λύση 7 α) Για οπτικές ακτινοβολίς, η µτατροπή του µήκους κύµατος λ σ νέργια φωτονίου δίνται από τη σχέση: 4 h ν[ev] λ[µm] Έτσι σ µία κλασική πηγή ακτινοβολίας (λ0555µm) αντιστοιχί νέργια φωτονίου ίση προς 34eV Από τη σχέση JWs64 0 8 ev αντιστοιχούµ την ακτινοβολούµνη ισχύ W σ κποµπή 8 0 8 φωτόνια β) Η µονάδα cm χρησιµοποιίται συνήθως στη φασµατοσκοπία και ίναι µονάδα του αντίστροφου µήκους κύµατος Επιδή ισχύι η σχέση /λν/c, µία µέτρηση σ µονάδς cm ίναι ανάλογη της συχνότητας ή της νέργιας Η σύνδση µ τη µονάδα ev γίνται αν πολλαπλασιάσουµ τη µέτρηση µ την ταχύτητα c, οπότ προκύπτουν Hz ή µ τον παράγοντα hc4 0 4 evcm, προκύπτουν ev Λύση 73 β) Ο αριθµός των φωτονίων (σ ένα παλµικό σύστηµα Laser) υπολογίζται από τις σχέσις: (mw) (m) 9 0 φωτόνια/s 3 987 0 Φ λ Λύση 75, Q(mJ) λ(m) 5 0 φωτόνια/παλµό 3 987 0 4lm 400lm 400cd Η ένταση µρικών χαρακτηριστικών πηγών σ lm/sr ή cd φαίνται στον παρακάτω πίνακα: 00sr sr Λάµπα φωτισµού 40W 40cd Φθορίζουσα λάµπα φωτισµού 40W 00cd Λάµπα φωτισµού 00W 30cd Λάµπα φωτισµού οδοστρώµατος 00W 500cd Λύση 77 x+ d Φ(lm) d I(cd sr) cosθ dx dεv Ε v dεv I r (m) r (m) x r
3 Επιδή R r x + R, cosθ, µ αντικατάσταση προκύπτι: r Ε x+ R dx v I 3 x ( x + R ) Ε x+ Rx I v I Ε / v R ( x + R ) R x Λύση 78 Η ένταση της ηλιακής ακτινοβολίας λίγο έξω από την ατµόσφαιρα της γης (Γ) όταν αυτή προσπίπτι κάθτα σ γήινη πιφάνια dαm, ίναι Ι e,γ 350kW/m (καλίται ηλιακή σταθρά) Η απόσταση γης ηλίου ίναι R Γ Η 5 0 m και η ατµόσφαιρα της γης ίναι αµλητέου πάχους συγκρινόµνη µ την απόσταση R Γ Η Η παραλλακτική γωνία κάτω από την οποία ο ήλιος φαίνται από τη γη ίναι taθr H /R Γ Η 98 0 3 και ποµένως siθ47 0 3 Φωτινές πηγές µγάλων διαστάσων µ ισότροπη κατανοµή κατέχουν λαµπρότητα (βλ σχέση 76β) ίση προς: Ie Le π si θ d A H λαµπρότητα της συνολικής πιφάνιας του ηλίου υπολογίζται ως ξής: 350 7 W Le,H 0 3 34(47 0 ) m sr Λύση 79 Υποθέτουµ ότι η ακτίνα Laser (L) µ ισχύ Ι e,l mw κπέµπται από πιφάνια damm και από στρά γωνία Ω 0 6 sr Η λαµπρότητα της δέσµης δίνται από τη σχέση: I 3 e,l 0 9 W Le,L 0 Ω d A 6 6 0 0 m sr Συγκρίνοντας την λαµπρότητα του ηλίου (άσκηση 78) και της πηγής Laser παρατηρούµ ότι το Laser ίναι κατά 50 φορές λαµπρότρο! Κοιτώντας τον Ήλιο µ γυµνό µάτι, ο αµφιβληστροιδής χιτώνας δέχται µία ισχύ πρίπου mw, την ίδια ισχύ που κπέµπι και ένα συνηθισµένο Laser Ηλίου Νέου Το ίδωλο του ηλίου που στιάζται στον αµφιβληστροιδή ίναι κατά 00 πρίπου φορές µγαλύτρο από κίνο της δέσµης Laser, έτσι ώστ η νέργια φωτισµού [W/m ] της δέσµης Laser να υπρβαίνι το πολλαπλάσιο της αντίστοιχης νέργιας φωτισµού του ηλίου! Το αποτέλσµα αυτής της έκθσης σ δέσµη Laser µπορί να προκαλέσι στο µάτι απλό τσούξιµο, µρική αλλά και ολική απώλια της όρασης {77} Σ συγκριτική µλέτη των δύο φωτινών πηγών θα πρέπι να λάβουµ υπόψη και τη φασµατική κατανοµή τους Το φως του ηλίου θωρίται πολυχρωµατικό και καλύπτι µία κτταµένη πριοχή ( λ300m) του φάσµατος κποµπής Αντίθτα, η δέσµη Laser έχι στνό φασµατικό ύρος πρίπου λ000m Το παράδιγµα αυτό δίνι και την πραγµατική ικόνα σύγκρισης της λαµπρότητας των δύο πηγών! Λύση 73 Η λάχιστη απαιτούµνη για τον άνθρωπο νέργια φωτισµού σ χώρους ργασίας ίναι: α) για το αναγνωστήριο 00lx, β) σ χώρους µηχανικής ργασίας 500lx και γ) σ χώρους µτρήσων µγάλης ακρίβιας 000lx Σηµίωση: Η νέργια φωτισµού της σλήνης πί της γης ίναι µόνο 0lx, νώ η αντίστοιχη για τον ήλιο κυµαίνται µταξύ 6000 7000lx ανάλογα µ την ποχή του έτους Λύση 79 α) Το ποσοστό του φωτός που διέρχται διαµέσου υλικού καλίται διαπρατότητα και η µίωση της αρχικής έντασης οφίλται σ φαινόµνα απορρόφησης Κατά τη διέλυση µίας φωτινής δέσµης, µπορί η νέργιά της να απορροφηθί από έναν αριθµό µορίων του υλικού, προκαλώντας έτσι τη µίωσή της Το ποσοστό απορρόφησης ξαρτάται από τη συγκέντρωση της ουσίας και το µήκος (πάχος) διέλυσης Το ποσοστό διέλυσης θα ίναι 50% όταν το πάχος νός υλικού θα πιτρέπι τη διέλυση µόνον της µισής τιµής της προσπίπτουσας ακτινοβολίας, ανξάρτητα από την αρχική της τιµή (στην πρίπτωση µη µφάνισης φαινοµένων κορσµού) Σ αυτήν την πρίπτωση ορίζται το πάχος ηµίσιας τιµής x / Aν το υλικό αποτλίται από διαδοχικά πάχη x /, τότ καθένα πιτρέπι τη διέλυση της µισής ακτινοβολίας Αν διαθέτουµ πάχη τότ η ξρχόµνη ακτινοβολία θα ίναι ΙΙ 0 / και η διαπρατότητα: ΤΙ/Ι 0
4 Αν x ίναι το ολικό πάχος του υλικού, τότ ισχύι: x/x / Λογαριθµίζοντας τη σχέση λαµβάνουµ: logt log [x/x / ]( log) kx όπου klog/x / ξαρτάται µόνο από το υλικό που προκαλί την απορρόφηση και καλίται συντλστής απορρόφησης β) Εφαρµόζοντας τη µέθοδο λάχιστων ττραγώνων (βλ Παράρτηµα 3), η παραπάνω ξίσωση έχι τη µορφή: logtax Τις τιµές της σταθράς Α προσδιορίζουµ ως ξής: όπου ( i i) ( i) ( i) x y x y A d ( ) ( ) i i d x x και ίναι το πλήθος των µτρήσων Μ αντικατάσταση προκύπτι Α 0309 Επιδή Α k k0309 και x / 3mm T i y i logt i x i y i x i x i 05 978 95 0967 005 087 875 75 7450 07569 5 83 665 787 565 90 73 54 3908 3600 09 708 5 35697 4368 35 667 465 3974 555 400 43 7 5740 60 788 0903 8 7564 60944 00 0690 49 69069 0000 475 0045 09 066375 7565 Σ376 Σ455 Σ35809 Σ46995 Κφάλαιο 8 Λύση 84 α) Για λ638m, Τ600Κ και Μ0g/mol προκύπτι: / mol νd 76 ν0 T / M g K c β) δν 50MHz Το πλήθος των ιδιοσυχνοτήτων που πάλλονται άνω του κατωφλίου νίσχυσης θα ίναι: d 86GHz m 50MHz Λύση 88 α) Εκ του θωρήµατος Fourier ν 05/ Τ ν 05 0 4 5 0 3 s ή για λ600m προκύπτι λ60m β) Το αρχικό πλάτος του παλµού ίναι c T s µm Μτά από διέλυση διαδροµής L, ισχύι για τον οπτικό δρόµο η διαφορά: d 3 ( L) L λ 64 0 L d λ
Για να γίνι διπλασιασµός του ύρους, θα πρέπι s4µm, δηλαδή L ( L) µm L mm Το ύρος του παλµού διπλασιάζται κατά τη διέλυση του παλµού διαµέσου νός υλικού (γυάλινου πλακιδίου, φακού, κά) µ πάχος mm!! Λύση 89 α) Από την 87 λαµβάνουµ όπου ξαιτίας των απωλιών ξασθνίζι κατά Εποµένως dek dt E Q πν k d Ek /dt t Εk () t E(0) e γ γ Ε πν γ k Q / γ c όπου γ γ και γ ίναι οι απώλις του αντηχίου ανά πριφορά, βλ 84 T d Οι συνολικές απώλις του αντηχίου ανά πριφορά θα ίναι: γ γ R +γ(υπόλοιπς) l(r R) +%00+00004 Οπότ γ c 6 8 004 6 0 s Q 5 0 d β) Η αποθηκυµένη νέργια στο αντηχίο λαττώνται ντός µίας πριόδου κατά το κλάσµα η π 8 0 8 5 0 Μέχρι να λαττωθί κατά /e θα έχι παρέλθι χρόνος / γ 7 0 s 7 5 Παράρτηµα 3, Λύση Πίνακας 3 Μτρήσις τιµών θρµοκρασίας αντίστασης Τ i ( ο C) 0 0 30 40 45 R i (Ohm) 376 335 3358 34704 359 Η αντίσταση R του υλικού νός αγωγού ίναι ανάλογη προς την ιδική αντίσταση του υλικού της και συνπώς ξαρτάται από τη θρµοκρασία Τ του πριβάλλοντος χώρου Ισχύι η σχέση RR 0 [+γ T], όπου R 0 και γ ίναι η αντίσταση του αγωγού για τη T0 ο C και ο θρµικός συντλστής ιδικής αντίστασης αντίστοιχα Η ξίσωση της αντίστασης γράφται ως RR 0 +γr 0 T και ίναι γραµµική της µορφής yax+b, όπου y R, A γr 0, B R 0 και x T Για τον υπολογισµό των Α και Β σχηµατίζουµ αρχικά τα ξής αθροίσµατα: y i 6705, x i 45 x i 05 και x i 505, ( ) xi yi (376 + 64704 + 00584 + 3886 + 5884) 494094 Αντικαθιστούµ στις ξισώσις και υπολογίζουµ : d 5 505 05 400 5 ( 494094) ( 45) ( 6705) A 076, 400 ( 505) ( 6705) ( 45) ( 494094) B 30 400 Τλικά προκύπτι R 0 Β30Ω και γa/r 0 39 0 3 ( o C)
6 Παράρτηµα 3, Λύση Πίνακας 3 Μτρήσις τιµών χρόνου πλάτους ταλάντωσης t i (s) 0 0 0 50 50 y i (m) 853 4 6464 06694 00333 Λογαριθµίζοντας τη µαθηµατική συνάρτηση (που πριγράφι την ταλάντωση) προκύπτι η γραµµική σχέση ly i ly 0 kt i, όπου B ly 0 και A k Για τον υπολογισµό των Α και Β σχηµατίζουµ αρχικά τα ξής αθροίσµατα: l yx i i (0386 + 079859 + 04986 04037 340) 46778, i i ( ) t i 30 t i 5384 t i 5504, t l y (0077 + 079859 + 09970 00685 5033) 503634 Αντικαθιστώντας στις ξισώσις d 5 5504 5384 736 96, 5 ( 503634) 30 ( 46778) A 030, ( 5504) ( 46778) ( 30)( 503634) B 73696 και τλικά προκύπτι: y 0 e B e 06 3m και k 03s 73696 06 Παράρτηµα 3, Λύση 3 Πίνακας 33 Μτρήσις τιµών ηλκτροστατικής δύναµης F I (N) 005 003 004 0056 008 06 05 Για να ισχύι ο νόµος του Coulomb θα πρέπι µταξύ της δύναµης F και της απόστασης r των ηλκτρικών φορτίων να ισχύι η ξίσωση: FK 0 (q q )/r όπου K 0 89875 0 9 Nm C ίναι η σταθρά του Coulomb Η σχέση γράφται ως ξής: y i kx i N όπου y i F i, k K 0 (q q ) και x i r i Αρκί η απόδιξη ότι k(89875 0 9 Nm C ) (67 0 6 C) ( 84 0 6 C)05058Nm και N Ακολουθώντας το προηγούµνο παράδιγµα λογαριθµίζουµ τη σχέση του νόµου του Coulomb και προκύπτι: logy i logk+nlogx i, όπου αναλογικά έχουµ B logk και A N Για ύρση των Α και Β σχηµατίζουµ τα αθροίσµατα: log y ( 695 6006 50864 387 58 095 08996 06478) 008 i log x i (0699 + 0653 + 060 + 0544 + 0477 + 039794 + 030 + 076) 38505 Αντικαθιστώντας στις ξισώσις: i i ( ) log xi 487, log xi 084, logx log y ( 83 0465 09083 07548 0597 04343 0708 04) 5309 8 ( 084) 487 84 ( 5309) ( 38505) ( 008) d, 8 A 0034 84 ( 084) ( 008) ( 38505) ( 5309) B 0964 84 Εποµένως k0 B 0 0964 05054 05Nm και N Το σχτικό σφάλµα στον υπολογισµό της σταθράς του Coulomb ίναι: k (05058 05054) 00% 00% 008 < 0% K0 05058 Παράρτηµα 3, Λύση 4 Από την 3 λαµβάνουµ τις ισότητς:
και τλικά προκύπτι: ΟΑΑF+OF sx+f και ΟBBF+OF s x +f f f f xx, x, x x x H τλυταία σχέση καλίται τύπος του Νύτωνα για την ξίσωση των κατόπτρων και ισχύι πίσης και στους φακούς Η γραφική παράσταση στο Σχ3 δίνι τη µταβολή της θέσης του ιδώλου x ως συνάρτηση των αποστάσων x του αντικιµένου από ένα σφαιρικό κάτοπτρο, στιακής απόστασης f 7 Σχ3 Γραφική παράσταση της ξίσωσης των κατόπτρων για σφαιρικό κάτοπτρο Παράρτηµα 3, Λύση 5 Οι τιµές του Πίνακα 3 µταφέρονται σ γραµµικό χαρτί (mm mm), Σχ3a Η τιµή του R 0 προσδιορίζται γραφικά από το σηµίο τοµής µ τον κάθτο άξονα (T0) στην τιµή R 0 30Ω Ο συντλστής ιδικής αντίστασης υπολογίζται από την κλίση της υθίας: 335 375 ta ω 067 30 5 και ποµένως γtaω/r 0 39 0 3 ( o C) Παράρτηµα 3, Λύση 6 Τα ζύγη των τιµών µταφέρονται σ λογαριθµικό χαρτί (log log), Σχ3b Η τιµή του k προσδιορίζται γραφικά από το σηµίο τοµής της υθίας µ τον κάθτο άξονα (logx), από όπου και βρίσκουµ k05 Ο κθέτης Ν υπολογίζται από την κλίση της υθίας: log 08 log 00 taω 04 log7 log5 Σχ3 (a) Γραµµική συνάρτηση της µορφής yax+b Από το σηµίο τοµής της υθίας µ τον άξονα (Τ0) υπολογίζουµ τη σταθρά Β30, νώ από την κλίση της υθίας τη σταθρά Α Ισχύι taω067 (b) Λογαριθµική συνάρτηση της µορφής logyalogx+logb Από το σηµίο τοµής της υθίας µ τον άξονα (logx) υπολογίζουµ τη σταθρά k 05 και από την κλίση της υθίας τη σταθρά N Ισχύι taω 04