δηµήτρη ποιµενίδη άλγεβρα α λυκείου

δηµήτρη ποιµενίδη άλγεβρ λυκείου Θεσσλονίκη 0

φιερωµένο στην ειρήνη

άλγεβρ λυκείου www.sonom.gr το λεξιλόγιο της µθηµτικής λογικής κι τ σύνολ

δηµήτρη ποιµενίδη paul gauguin (848-903) the midday nap (894)

άλγεβρ λυκείου www.sonom.gr 3 το λεξιλόγιο της µθηµτικής λογικής έστω P κι Q δύο ισχυρισµοί τέτοιοι ώστε ν µπορούν ν χρκτηρισθούν ως ληθείς ή ψευδείς ν ότν ληθεύει ο P τότε ληθεύει κι ο Q, τότε λέµε ότι ο P συνεπάγετι τον Q κι γράφουµε P Q ο ισχυρισµός «P Q» λέγετι συνεπγωγή κι διβάζετι «ν P, τότε Q» ή «ο P είνι ικνή συνθήκη γι τον Q» ο P λέγετι υπόθεση κι ο Q συµπέρσµ της συνεπγωγής γι πράδειγµ φού: ν - 4 τότε 6, γράφουµε: - 4 6 ν ότν ληθεύει ο P τότε ληθεύει κι ο Q κι ότν ληθεύει ο Q τότε ληθεύει κι ο P τότε λέµε ότι ο P συνεπάγετι τον Q κι ντιστρόφως ή λλιώς ο P είνι ισοδύνµος µε τον Q κι γράφουµε P Q ο ισχυρισµός «P Q» λέγετι ισοδυνµί κι διβάζετι «ν P, τότε Q κι ντιστρόφως» ή «P ν κι µόνο ν Q» ή «ο P είνι ικνή κι νγκί συνθήκη γι τον Q» γι πράδειγµ φού: ν έν τρίγωνο ΑΒΓ έχει δύο ίσες γωνίες τότε είνι ισοσκελές κι ντιστρόφως ν έν τρίγωνο ΑΒΓ είνι ισοσκελές τότε έχει δύο ίσες γωνίες, γράφουµε: (το τρίγωνο ΑΒΓ έχει δύο ίσες γωνίες) (το τρίγωνο ΑΒΓ είνι ισοσκελές) ο ισχυρισµός «P ή Q» ο οποίος ληθεύει ότν ληθεύει ένς τουλάχιστον πό τους P, Q λέγετι διάζευξη των P κι Q γι πράδειγµ ( -)( -)0-0 ή -0 (0 ή ) ή (- ή ) 0 ή ή - ο ισχυρισµός «P κι Q» ο οποίος ληθεύει ότν ληθεύουν τυτοχρόνως οι P, Q λέγετι σύζευξη των P κι Q +y0 γι πράδειγµ λύνοντς το σύστηµ (Σ): βρίσκουµε ότι: (Σ) - κι y -y-3 στο βιβλίο υτό ντί γι την έκφρση «γι κάθε» θ χρησιµοποιούµε το σύµβολο η ποδεικτική µέθοδος «εις άτοπον πγωγή» χρησιµοποιείτι γι την πόδειξη του ισχυρισµού («υπόθεση» «συµπέρσµ») ως εξής: υποθέτοντς ότι το «συµπέρσµ» δεν ισχύει κτλήγουµε σε άτοπο (δηλ. σε ισχυρισµό που ντιφάσκει µε την υπόθεση ή άλλον γνωστό γι την λήθει του ισχυρισµό) συµπερίνουµε λοιπόν λογικά ότι το συµπέρσµ ισχύει! γι πράδειγµ θέλουµε ν ποδείξουµε ότι: ( 0 κι β 0) (β 0) έστω ότι β0 τότε όµως θ είνι 0 ή β0 ΑΤΟΠΟ (φού σύµφων µε την υπόθεση είνι: 0 κι β 0) άρ: β 0

4 δηµήτρη ποιµενίδη σύνολο λέµε «µί συλλογή ντικειµένων ή επινοηµάτων της νόησής µς, σφώς ορισµένων κι µετξύ τους δικεκριµένων». Τ σύνολ συµβολίζοντι µε κεφλί γράµµτ. Γι πράδειγµ, ν Ε: είνι η συλλογή όλων των ψηλών νθρώπων Η: είνι η συλλογή όλων των κερίων ριθµών νάµεσ στον - κι τον L: είνι η συλλογή όλων των κινητών τηλεφώνων των µθητών του λυκείου µς D: είνι η συλλογή όλων των λύσεων της εξίσωσης 3-0 τότε: η Ε δεν είνι σύνολο στ Μθηµτικά φού δεν είνι κλά ορισµένη (πόσο ψηλοί;) η L δεν είνι σύνολο στ Μθηµτικά φού τ κινητά δεν είνι όλ διφορετικά µετξύ τους, ενώ: οι Η κι D, σύµφων µε τον ορισµό που δώσµε, είνι σύνολ στ Μθηµτικά. γι ν δηλώσουµε ότι έν ντικείµενο ή λλιώς στοιχείο νήκει (ντ. δεν νήκει) στο σύνολο Α γράφουµε A (ντ. Α) έτσι γι πράδειγµ 0 Η ενώ 3 D. Στο Λύκειο θ σχοληθούµε µε σύνολ ριθµών, ξεκινώντς πό τ ήδη γνωστά µς σύνολ: N (των φυσικών ριθµών), Z (των κερίων ριθµών), Q (των ρητών ριθµών) κι R (των πργµτικών ριθµών) Έν σύνολο πριστάνετι µε περιγρφή ή µε νγρφή των στοιχείων του, γι πράδειγµ D{ R/ 3-0}(διβάζουµε: το σύνολο των πργµτικών όπου (µε την ιδιότητ) 3-0)ή λλιώς:d{0,-,} Λέµε ότι τ σύνολ Α,Β είνι ίσ (συµβ. ΑΒ) ότν έχουν τ ίδι στοιχεί, γι πράδειγµ ΗD, ενώ λέµε ότι το σύνολο Α είνι υποσύνολο του Β (συµβ. Α Β) ότν κάθε στοιχείο του Α είνι κι στοιχείο του Β ή πιο πλά ότν τ στοιχεί του Α είνι µέρος των στοιχείων του Β γι πράδειγµ ν είνι Α{ R/ } κι Β{ R/ 7} τότε είνι Α Β γι σύνολ Α, Β, Γ προφνώς ισχύουν: i. Α Α ii. (Α Β κι Β Α) ΑΒ iii. (Α Β κι Β Γ) Α Γ Κενό (συµβ. ) ονοµάζουµε το σύνολο χωρίς στοιχεί δηλ. το { } κι δεχόµστε ότι γι κάθε σύνολο Α είνι Α, ενώ τ σύνολ στ οποί νφερόµστε τ θεωρούµε υποσύνολ ενός συνόλου που περιέχει βέβι όλ τ στοιχεί όλων των συνόλων κι το λέµε βσικό σύνολο (συµβ. Ω) ή σύνολο νφοράς (δουλεύοντς µε σύνολ ριθµών θ έχουµε συνήθως ΩR). Συµπληρωµτικό ή ντίθετο του Α (συµβ. Α ή Α c ) λέµε το σύνολο Α { Ω / A }. Τ σύνολ προυσιάζοντι εποπτικά στ διγράµµτ Venn, στ οποί το Ω πριστάνετι µε το εσωτερικό ενός ορθογωνίου ενώ τ υποσύνολά του µε χωρί τ οποί βρίσκοντι µέσ στο προηγούµενο ορθογώνιο.

άλγεβρ λυκείου www.sonom.gr 5 πράξεις συνόλων Ένωση δύο συνόλων Α,Β (συµβ. Α Β) ονοµάζουµε το σύνολο των στοιχείων που νήκουν σε έν τουλάχιστον π τ Α, Β Α Β { Ω / A ή B } Α Β Α A B Β Τοµή δύο συνόλων Α,Β (συµβ. Α Β) ονοµάζουµε το σύνολο των κοινών στοιχείων των Α κι Β Ω Α Β { Ω / A κι B } Αν Α Β, τότε τ Α,Β λέγοντι ξέν µετξύ τους Α Β Ω Αν ΒΑ, τότε τ Α,Β λέγοντι συµπληρωµτικά ή ντίθετ κι είνι προφνές ότι τ Α,Β είνι συµπληρωµτικά ότν ισχύουν Α Β κι Α Β Ω Α Β (Α ) Ω δύο σύνολ Α κι Β Α Β Α Β Α Β Α (Α Β ) Β (Α Β) Α Β Β Ω Ω Ω ότν Α Β ότν Α Β ότν Β Α οπότε: Α Β Β Α Β Α Α Β δες ότι πάντ ισχύουν οι σχέσεις: Α(Α Β ) (Α Β) κι Α Β (Α Β ) (Α Β) (Α Β)

6 δηµήτρη ποιµενίδη. < κι β< β<. + β 0 0 κι β0 3. 4. 0 0 5. β< 0 κι >0 β< 0 6. β β 7. 9 3 8. >0 0 9. το τρίγωνο ΑΒΓ είνι Aˆ Bˆ Γˆ το τρίγωνο ΑΒΓ είνι ισόπλευρο 0. Αντιστοίχισε τους ισοδύνµους ισχυρισµούς:. -. ή -. 3-7 β. (< 0 κι y >0) ή ( >0 κι y< 0) 3. 4 γ. - κι 4. 4 κι (+)0 δ. 4 5. (-)(+) 0 ε. - 6. 3 0 ζ. κι - 7. -3 5 η. - ή 3 8. θ. - 3 9. y < 0 ι. 0 ή ή -

άλγεβρ λυκείου www.sonom.gr 7. Αντιστοίχισε τ σύνολ που βλέπεις ριστερά στις εποπτικές τους προυσιάσεις που βλέπεις µε τη µορφή γκρι χωρίων στ διγράµµτ Venn δεξιά. Α Β. Α Β. Ω Α Β. Α Β β. Ω 3. Α Β γ. Α Β Ω 4. Ω δ. Α Β Ω 5. Β ε. Α Β Ω. Αν Α Β τότε Α Β ενώ Α Β κι Α Β 3. Ν γράψεις µε νγρφή τ κόλουθ σύνολ: Α { ρ Ζ / - ρ < 5 } Β { (, y) / R, y R κι + y 0 } Γ { R / -60 κι - 5 } 4. Έστω τ σύνολ Α {,,3,4,5 } κι Β { 4,5,6,7 } µε Ω { 0,,,3,4,5,6,7,8,9 } i. ν βρεις τ σύνολ Α Β κι Α Β κι ν προυσιάσεις εποπτικά σε έν διάγρµµ Venn τ σύνολ Α κι Β. ii. ν βρεις τ σύνολ Α, Β κι ν επληθεύσεις τις σχέσεις: (Α Β) Α Β κι (Α Β) Α Β (νόµοι De Morgan)

8 δηµήτρη ποιµενίδη 5. Α 6. Α 7. Α ΩΩ 8. Α ΩΑ 9. Α ΒΒ Α 0. Α ΒΒ Α. Α (Β Γ)(Α Β) Γ. Α (Β Γ)(Α Β) Γ 3. Α Β Α Β 4. Α ΒΩ ΑΒΩ 5. ν Α ΒΑ Β τότε ΑΒ 6. ν Α ΒΑ τότε Α Β 7. ν Α ΒΩ τότε τ Α,Β είνι συµπληρωµτικά 8. ν Α ΒΩ τότε τ Α,Β είνι συµπληρωµτικά 9. ν Α ΒΩ κι Α Β τότε τ Α,Β είνι συµπληρωµτικά 30. ν (Α Β ) (Α Β)Α Β τότε τ Α,Β είνι ξέν 3. Α Α 3. Στο διπλνό διάγρµµ Venn το γλάζιο χωρίο πριστάνει το σύνολο: Α Β. Α Β β. (Α Β) γ. (Α Β) δ. Α Ω 33. Στο διπλνό διάγρµµ Venn το γλάζιο χωρίο πριστάνει το σύνολο: Α Β. (Α Β) (Α Β) β. Α Β γ. Α Β δ. Β Ω 34. Αν Μ είνι το σύνολο των µονών κι Α το σύνολο των ζυγών ριθµών τότε ο ριθµός 4 δεν νήκει στο σύνολο:. Μ Α β. Μ γ. Μ Α δ. Μ Α 35. Αν (Α Β) τότε:. A β. A B γ. (Α Β) δ. B

άλγεβρ λυκείου www.sonom.gr 9 πιθνότητες

0 δηµήτρη ποιµενίδη wassily kandinsky (866-944) on white II (93)

άλγεβρ λυκείου www.sonom.gr ορισµοί πείρµ του οποίου η επνάληψη δεν έχει επκριβώς προβλέψιµο ποτέλεσµ το λέµε πείρµ τύχης, τ δυντά ποτελέσµτ (ω i ) ενός πειράµτος τύχης τ λέµε κι δυντές περιπτώσεις ή πλά (ή κι στοιχειώδη) ενδεχόµεν του πειράµτος κι το σύνολό τους (Ω) δειγµτικό χώρο του πειράµτος τύχης το σύνολο µε στοιχεί έν ή περισσότερ πό τ ω i λέγετι ενδεχόµενο (ή γεγονός), πλό ν είνι µονοµελές ή σύνθετο ν έχει περισσότερ στοιχεί. Ότν το ποτέλεσµ µις εκτέλεσης ενός πειράµτος είνι στοιχείο ενός ενδεχοµένου Α, τότε λέµε ότι το ενδεχόµενο Α πργµτοποιείτι (ή συµβίνει). Τ στοιχεί του Α λέγοντι κι ευνοϊκές περιπτώσεις γι την πργµτοποίηση του Α κι το πλήθος τους συµβολίζετι Ν(Α) ο δειγµτικός χώρος Ω ενός πειράµτος είνι το βέβιο ενδεχόµενο που πργµτοποιείτι πάντοτε, φού όποιο κι ν είνι το ποτέλεσµ του πειράµτος θ νήκει στο Ω ενώ δεχόµστε ως δύντο ενδεχόµενο το κενό σύνολο που δεν πργµτοποιείτι σε κµιά εκτέλεση του πειράµτος τύχης κλσικός ορισµός πιθνότητς: σε πείρµ τύχης µε ισοπίθν πλά ενδεχόµεν (που συµβίνουν ίδιο ριθµό φορών σε επρκές πλήθος επνλήψεων του πειράµτος) πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεων N(A) ορίzουµε ως πιθνότητ ενδεχοµένου Α: P (A) πλήθος δυντών περιπτώσεων N(Ω) ξιωµτικός ορισµός πιθνότητς: έστω Ω{ω, ω,, ω ν } ένς δ.χ. µε πεπερσµένο πλήθος στοιχείων σε κάθε πλό ενδεχόµενο {ω i } ντιστοιχίζουµε ένν πργµτικό Ρ(ω i ) (πιθνότητ του ω i), ώστε: 0 Ρ(ω i ) Ρ(ω ) + Ρ(ω ) + + Ρ(ω ν ) ως πιθνότητ ενός ενδεχοµένου Α {,,, κ } ορίζουµε τον πργµτικό: Ρ(Α) Ρ( ) + Ρ( ) + + Ρ( κ ) ενώ ορίζουµε: Ρ( ) 0 (ν τ ω i είνι ισοπίθν, τότε έχουµε τον κλσικό ορισµό της πιθνότητς ενός ενδεχοµένου) ν σε ν εκτελέσεις ενός πειράµτος τύχης έν ενδεχόµενο Α πργµτοποιείτι κ φορές τότε σχετική συχνότητ του Α ονοµάζουµε το λόγο: f Α ν κ στην πράξη, ιδιίτερ ν δεν ισχύει ο κλσικός ορισµός της πιθνότητς, πίρνουµε: Ρ(Α) lim f A (δηλ. πόσο περίπου είνι η σχετική συχνότητ σε πολύ µεγάλο ν + πλήθος εκτελέσεων του πειράµτος)

δηµήτρη ποιµενίδη πράξεις µε ενδεχόµεν Α Β Α Α-Β A B Β-Α Α Β Α Ω Ω Ω το ενδεχόµενο Α Β που πργµτοποιείτι ότν τ Α κι Β πργµτοποιούντι συγχρόνως διβάζετι κι «Α κι Β» ενώ ν Α Β (δηλ. τ Α, Β δεν πργµτοποιούντι συγχρόνως) τ Α, Β λέγοντι κι συµβίβστ ή µοιβίως ποκλειόµεν το ενδεχόµενο Α Β που πργµτοποιείτι ότν πργµτοποιείτι έν τουλάχιστον πό τ Α,Β διβάζετι κι «Α ή Β» το ενδεχόµενο Α-Β (Α Β ) που πργµτοποιείτι ότν πργµτοποιείτι το Α λλά όχι το Β διβάζετι «διφορά του Β πό το Α» (ή «Α κι όχι Β») το ενδεχόµενο Α που πργµτοποιείτι ότν δεν πργµτοποιείτι το Α διβάζετι κι «όχι Α» κνόνες λογισµού των πιθνοτήτων γι δύο ενδεχόµεν Α κι Β έχουµε: Ν(Α Β)Ν(Α)+Ν(Β)-Ν(Α Β) (φού στο άθροισµ Ν(Α)+Ν(Β) το Ν(Α Β) υπολογίστηκε δύο φορές!) N(A B) Ν(Ω) N(A) N(B) Ν(Α Β) + Ν(Ω) N(Ω( Ν(Ω) Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) (προσθετικός νόµος) ν Α Β (οπότε Ρ(Α Β)0) τότε Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) τ Α, Α είνι προφνώς συµβίβστ, συνεπώς: Α Α Ω Ρ(Α Α )Ρ(Ω) Ρ(Α)+Ρ(Α ) Ρ(Α )- Ρ(Α) τ Α-Β, Α Β είνι προφνώς συµβίβστ, συνεπώς: (Α-Β) (Α Β)Α Ρ[(Α-Β) (Α Β)]Ρ(Α) Ρ(Α-Β)+Ρ(Α Β)Ρ(Α) Ρ(Α-Β)Ρ(Α)-Ρ(Α Β) ν Α Β (οπότε η πργµτοποίηση του Α συνεπάγετι την πργµτοποίηση του Β), τότε: Ν(Α) Ν(Β) N(A) Ν(Β) Ν(Ω) Ν(Ω) Ρ(Α) Ρ(Β) Α Β Β Ω

άλγεβρ λυκείου www.sonom.gr 3 δύο ενδεχόµεν Α κι Β ότν δεν είνι ξέν δηλδή ότν Α Β Α Β Α Β Α Β Α Β Ω ότν η πργµτοποίηση του Β συνεπάγετι την πργµτοποίηση του Α δηλδή ότν Β Α οπότε: Ρ(Β) Ρ(Α) Α Β ΒΑ Β ΑΑ Β Ω ότν είνι ξέν (συµβίβστ) δηλδή ότν Α Β οπότε: Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) ΑΑ Β ΒΑ Β πάντ: Α (Α Β ) (Α Β) Α Β (Α Β ) (Α Β) (Α Β) Α Β Α Α Β Ω δύο συµπληρωµτικά ενδεχόµεν Α Β Α Β Ω Β A Α Β (Α ) Α (Β ) Β Α Β (κι βέβι: Ω ενώ Ω)

4 δηµήτρη ποιµενίδη ενδεχόµεν κι πιθνότητες λεκτική κι συµβολική διτύπωση διάγρµµ Venn πιθνότητ δεν πργµτοποιείτι το Α Α (όχι Α) (ντίθετο ή συµπληρωµτικό του Α) Ρ(Α ) - Ρ(Α) δεν πργµτοποιείτι το Β Β (όχι Β) (ντίθετο ή συµπληρωµτικό του Β) Ρ(Β ) - Ρ(Β) τ Α κι Β πργµτοποιούντι τυτόχρον Ρ(Α Β) Α Β (Α κι Β) (τοµή των Α κι Β) πργµτοποιείτι το Α ή το Β ή κι τ δύο Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) Α Β (Α ή Β) (ένωση των Α κι Β) τ Α κι Β δεν πργµτοποιούντι τυτόχρον (Α Β) ( Α Β ) (ν. de morgan) Ρ[(Α Β) ] - Ρ(Α Β) Ρ(Α Β ) δεν πργµτοποιείτι κνέν πό τ Α κι Β (Α Β) ( Α Β ) (ν. de morgan) Ρ[(Α Β) ] - Ρ(Α Β) Ρ(Α Β ) πργµτοποιείτι µόνο το Α Ρ(Α - Β) Ρ(Α) - Ρ(Α Β) Α - Β ( Α Β ) (διφορά του Β πό το Α) πργµτοποιείτι µόνο το Β Ρ(Β - Α) Ρ(Β) - Ρ(Α Β) Β - Α ( Α Β) (διφορά του Α πό το Β) πργµτοποιείτι κριβώς έν πό τ Α κι Β Ρ[(Α-Β) (Β-Α)] Ρ(Α Β)- Ρ(Α Β) (Α - Β) (Β - Α) ( (Α Β) (A B) ) Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(Α Β)

άλγεβρ λυκείου www.sonom.gr 5 στην πράξη τώρ ν Α κι Β είνι ενδεχόµεν ενός δειγµτικού χώρου Ω, ν ποδείξεις ότι: i. P(«πργµτοποιείτι το Α λλά όχι το Β») P(A) - P(A B) ii. P(«πργµτοποιείτι κριβώς έν π τ Α κι Β»)P(A) + P(B) - P(A B)P(A B) - P(A B) i. το ενδεχόµενο «πργµτοποιείτι το Α λλά όχι το Β» είνι το: Α Β ισχύει: Α (Α Β) (Α Β ) κι τ Α Β κι Α Β είνι προφνώς ξέν συνεπώς: P(A) P[(A B) (A B )] P(A B) + P(A B ) P(A B ) P(A) - P(A B) ii. το ενδεχόµενο «πργµτοποιείτι κριβώς έν π τ Α κι Β» είνι το: (Α Β ) (A B) P[(A B ) (A B)] P(A B ) + P(A B) φού τ A B κι Α Β είνι προφνώς ξέν P(A) - P(A B) + P(B) - P(A B) P(A) + P(B) - P(A B) P(A B) - P(A B) ν Α κι Β είνι ενδεχόµεν ενός δειγµτικού χώρου Ω µε: P(A) 5 κι P(B) 5 4, δείξε ότι: i. Ρ(Α Β) 5 ii. Ρ(Α Β) 5 iii. τ Α κι Β δεν είνι ξέν iv. Ρ(Α Β) 5 3 i. Ρ(Α Β) 5 Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) 5 Ρ(Α Β) Ρ(Β), που ισχύει φού: (Α Β) Β ii. Ρ(Α Β) 5 Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) 5 Ρ(Α Β), που ισχύει iii. φού Ρ(Α Β) 5 είνι: Ρ(Α Β) 0 συνεπώς τ Α κι Β δεν είνι ξέν iv. Ρ(Α Β) 5 3 Ρ(Β) - Ρ(Α Β) 5 3 Ρ(Α Β) 5, που ισχύει

6 δηµήτρη ποιµενίδη δύο πίκτες Α κι Β πίζουν πό 50 µε τη συµφωνί ν τ κερδίσει ο Α ν σε 5 διδοχικές ρίψεις ενός νοµίσµτος εµφνισθούν περισσότερες κεφλές (Κ) κι ο Β ν εµφνισθούν περισσότερ γράµµτ (Γ). Ρίχνουν το νόµισµ 3 φορές, εµφνίζοντι Κ κι Γ κι γι κάποιον λόγο υποχρεώνοντι ν στµτήσουν. Πώς πρέπει ν µοιρσθούν τ 50 ; θ πρέπει ν µοιρσθούν τ 00 νάλογ µε την πιθνότητ που έχει ο κθένς τους ν κερδίσει ν συνεχίσουν τις ρίψεις τ δυντά ποτελέσµτ των δύο ρίψεων είνι: ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ P(«κερδίζει ο Α») P(«τουλάχιστον Κ») 4 3 P(«κερδίζει ο Β») P(«Γ») 4 συνεπώς ο Α πρέπει ν πάρει: 4 3 00 75 κι ο Β: 4 00 5 πό τ εξρτήµτ που πράγει µί βιοµηχνί: 7% είνι ποδεκτά (Α) % είνι πολύ µεγάλ (Μ ) 8% είνι πολύ µικρά (Μ ) 5% έχουν λάθος ετικέτ (Ε ) % έχουν σωστή ετικέτ σε λάθος θέση (Ε ) Ν βρεις την πιθνότητ έν τυχίως επιλεγµένο εξάρτηµ: i. ν είνι ελττωµτικό λόγω µεγέθους (Μ) ii. ν µην είνι ελττωµτικό λόγω µεγέθους iii. ν είνι ελττωµτικό λόγω ετικέτς (Ε) iv. ν είνι ελττωµτικό λόγω µεγέθους ή λόγω ετικέτς v. ν είνι ελττωµτικό λόγω µεγέθους κι λόγω ετικέτς i. Ρ(Μ) Ρ(Μ Μ ) P(M ) + P(M ) φού προφνώς: Μ Μ % + 8% 0% ii. P(M ) - P(M) 0% iii. P(E) Ρ(Ε Ε ) P(E ) + P(E ) φού προφνώς: Ε Ε 5% + % 7% iv. ισχύουν προφνώς: (Μ Ε) Α Ω κι (Μ Ε) Α συνεπώς: (Μ Ε) Α άρ: Ρ(Μ Ε) - Ρ[(Μ Ε) ] - P(A) 8% v. Ρ(Μ Ε) Ρ(Μ) + Ρ(Ε) - Ρ(Μ Ε) 0% + 7% - 8% 9%

άλγεβρ λυκείου www.sonom.gr 7 σε µί έκθεση µετχειρισµένων υτοκινήτων, το 0% δεν έχει µηχνή, το 40% δεν έχει λάστιχ κι το 5% δεν έχει ούτε µηχνή ούτε λάστιχ. Ν βρεις την πιθνότητ έν τυχίως επιλεγµένο υτοκίνητο της έκθεσης ν έχει µηχνή κι λάστιχ. Ρ(Μ Λ) - Ρ[(Μ Λ) ] - Ρ(Μ Λ ) - [P(M ) + P(Λ ) - P(M Λ )] - (0. + 0.4-0.5) 0.55 δηλ. 55% ν 0 < Ρ(Α) <, ν ποδείξεις ότι + 4 P(A) P(A ) + 4 P(A) P(A ) + 4 P(A) - P(A) - P(A) + P(A) 4 P(A)[ - P(A)] 4Ρ(Α)[-Ρ(Α)] 4Ρ(Α)-4Ρ (Α) 4Ρ (Α)- 4Ρ(Α)+ 0 [Ρ(Α)-] 0 που ισχύει (η ισότητ ισχύει ότν Ρ(Α)/) ν Α κι Β είνι ενδεχόµεν ενός δειγµτικού χώρου Ω ν ποδείξεις ότι Ρ(Β)-Ρ(Α ) Ρ(Α Β) Ρ(Β)-Ρ(Α ) Ρ(Α Β) Ρ(Β)-[-Ρ(Α)] Ρ(Α Β) Ρ(Β)-+Ρ(Α) Ρ(Α)+Ρ(Β)-Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) που ισχύει (η ισότητ ισχύει ότν Α ΒΩ)

8 δηµήτρη ποιµενίδη. Αν γι το ενδεχόµενο Α ενός δειγµτικού χώρου Ω ισχύει: Ρ (Α) + Ρ (Α ), ν ποδείξεις ότι το Α είνι το βέβιο ή το δύντο ενδεχόµενο. Αν Α, Β είνι ενδεχόµεν ενός δειγµτικού χώρου Ω κι Α Β, ν ποδείξεις ότι: i. Ρ(Α Β) Ρ(Β) - Ρ(Α) ii. Ρ(Α Β ) 0 3. Αν Α,Β είνι ενδεχόµεν ενός δειγµτικού χώρου Ω ν δείξεις ότι: Ρ(Α - Β) + Ρ(Β - Α) 4. Αν Α, Β είνι ενδεχόµεν ενός δειγµτικού χώρου Ω µε Ρ(Α ) 0.5 κι Ρ(Β ) 0.65, ν ποδείξεις ότι: 0. Ρ(Α Β) 0.35 5. Σε ένν κουµπρά υπάρχουν 0 κέρµτ των 50λεπτών κι άγνωστο πλήθος κερµάτων του κι των. Αν η πιθνότητ ν πάρουµε στην τύχη έν κέρµ του είνι /3, ενώ η πιθνότητ ν πάρουµε στην τύχη έν κέρµ των είνι /4, ν βρεις πόσ υπάρχουν στον κουµπρά 6. Σε έν εργοστάσιο συσκευσίς ροδάκινων, ύστερ πό βλάβη ενός µηχνήµτος διλογής διπιστώθηκε ότι ο ριθµός των ροδάκινων µε µέγεθος σύµφωνο µε τις προδιγρφές είνι πλάσιος πό τον ριθµό των ροδάκινων µε µέγεθος µικρότερο (µ) κι 5πλάσιος πό τον ριθµό των ροδάκινων µε µέγεθος µεγλύτερο (Μ) του µεγέθους των προδιγρφών. Αν διλέξουµε στην τύχη έν ροδάκινο, ποι είνι η πιθνότητ ν έχει µέγεθος εκτός προδιγρφών; 7. Σε µί τάξη µε 30 µθητές, οι 5 έχουν ποδήλτο, οι 0 έχουν µηχνάκι κι 4 έχουν κι ποδήλτο κι µηχνάκι. Αν διλέξουµε στην τύχη ένν µθητή της τάξης, ν βρεις τις πιθνότητες των ενδεχοµένων: i. «ο µθητής δεν έχει ποδήλτο ούτε µηχνάκι» ii. «ο µθητής έχει µόνο ποδήλτο» 8. Ένς τυχί επιλεγµένος κάτοικος ενός χωριού οδηγεί υτοκίνητο µε πιθνότητ /3, οδηγεί µηχνάκι µε πιθνότητ /5, ενώ η πιθνότητ ν µην οδηγεί ούτε υτοκίνητο ούτε µηχνάκι είνι 8/5. Αν 00 κάτοικοι του χωριού οδηγούν κι υτοκίνητο κι µηχνάκι πόσους κτοίκους έχει το χωριό; 9. Από τους σπόρους που σπέρνει ένς γεωργός φυτρώνει µόνο το 90% κι π τ φυτά υτά κρποφορεί µόνο το 80%. Αν ο γεωργός φυτέψει έν σπόρο, ν βρεις τις πιθνότητες των ενδεχοµένων i. «ο σπόρος ν φυτρώσει λλά ν µην κρποφορήσει» ii. «ο σπόρος ν κρποφορήσει»

άλγεβρ λυκείου www.sonom.gr 9 οι πργµτικοί ριθµοί

0 δηµήτρη ποιµενίδη m.c. escher (898 97) waterfall (96)

άλγεβρ λυκείου www.sonom.gr ριθµοί - 3,4,599-5 3 π3,4-73 9,8 - -453 6,03. 0 3 4 00 5-3 -0 3 e,7-7% - - 4 8 0,7 9-0 3 0 79 ν -30% -ν 6 0 9 967-65 κ λ N Z Q R -, 3 + y 3-5 y Ν Ζ Q R C πργµτικούς ριθµούς λέµε τους: ρητούς, δηλ. τους ριθµούς κλσµτικής µορφής: κ/λ όπου κ, λ είνι κέριοι ριθµοί (µετξύ υτών είνι βέβι οι κέριοι κι ειδικότερ οι θετικοί κέριοι (φυσικοί) ριθµοί που πρώτους επινοήσµε στην προσπάθειά µς γι πρίθµηση, οι δεκδικοί κι οι περιοδικοί δεκδικοί ριθµοί) µζί µε τους άρρητους, δηλ. τους ριθµούς που δεν γράφοντι σε κλσµτική µορφή όπως γι πράδειγµ είνι ο (που πριστάνει το µήκος της διγωνίου τετργώνου πλευράς ) κι γενικά κάθε ρίζ ριθµού που δεν είνι τετράγωνο κερίου, ο π3.45 (που πριστάνει τον λόγο του µήκους ενός κύκλου προς το µήκος µις διµέτρου του) κ.. κι τους πριστάνουµε µε τ σηµεί του άξον των πργµτικών ριθµών: O - 0 + -5.5-7 + - 3 e π µε τη συµφωνί, γι λόγους πλότητς κι µόνο, ν λέµε: τ σηµεί 0, κ.λ.π., ντί ν λέµε: τ σηµεί Ο(0), Α() κ.λ.π. στ επόµεν όπου µιλάµε γι ριθµούς θ εννοούµε πργµτικούς! (λλιώς θ τονίζουµε το είδος τους!) τ σύνολ των φυσικών, κερίων, ρητών, πργµτικών πριστάνοντι µε N, Z, Q, R ντιστοίχως N *, Z *, Q *, R * είνι τ ντίστοιχ σύνολ χωρίς το 0 ενώ µε Z -, Q -, R - ή Z +, Q +, R + πριστάνουµε τ σύνολ που περιέχουν τους ρνητικούς ή θετικούς µόνο ντίστοιχους ριθµούς

δηµήτρη ποιµενίδη κι πράξεις έχουµε ήδη ορίσει τις πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισµού µε τις ιδιότητες: i.ντιµετθετική +ββ+ ββ ii.προσετιριστική +(β+γ)(+β)+γ (+β+γ) (βγ)(β)γ (βγ) iii.επιµεριστική (β+γ)β+γ iv.ύπρξης (µονδικού) ουδετέρου στοιχείου +0 v.ύπρξης (µονδικού) συµµετρικού στοιχείου +(-)0 - ( 0) ο ριθµός λέγετι ντίθετος του κι προφνώς ισχύει: (-) ενώ, δύο ριθµοί κι β λέγοντι ντίθετοι ότν +β0 ο ριθµός - λέγετι ντίστροφος του, συµβολίζετι κι ως κι προφνώς ισχύει: ( - ) - ενώ, δύο ριθµοί κι β λέγοντι ντίστροφοι ότν β ορίσµε επίσης τις πράξεις της φίρεσης: -β+(-β) κι της διίρεσης ενώ άµεσες συνέπειες της µονδικότητς των ποτελεσµάτων των πράξεων της πρόσθεσης κι του πολλπλσισµού (ντ. θροίσµτος κι γινοµένου) είνι οι ιδιότητες: -β+(-β) :β β β β β vi. +γβ+δ κι γβδ γδ γδ vii. β +γβ+γ β γβγ όπου η ισχύει µόνο ότν γ 0 (νόµοι διγρφής) ς ποδείξουµε τώρ τις ιδιότητες: viii. 00 i. β0 0 ή β0 (χρκτηριστική του R). β 0 0 κι β 0 πρώτ την viii.: 00 0+00+0 (σύµφων µε το ν. διγρφής) (0+0)0 (επιµεριστική ιδιότητ _το 0 είνι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης) 00 (το 0 είνι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης) που ισχύει τώρ την i.: ν β0 τότε: ν 0 η ισότητ β0 γράφετι β0 (σύµφων µε την viii.) άρ β0 (σύµφων µε το ν. διγρφής) ν 0 προφνώς το ζητούµενο ισχύει, άρ σε κάθε περίπτωση είνι 0 ή β0 ν 0 ή β0 τότε: προφνώς β0 (σύµφων µε την viii.) µπορείς ν ποδείξεις την. χρησιµοποιώντς τη µέθοδο της «εις άτοπο πγωγής»;

άλγεβρ λυκείου www.sonom.gr 3 επίσης ισχύουν οι ιδιότητες: i. (-)β -(β) (-)(-β)β (κνόνες των προσήµων) ii. (+β) --β (β) - - β - δηλ. β β (κνόνες πλοιφής πρενθέσεων) ς ποδείξουµε την i. φού: (-)β+β[(-)+]β0β0, είνι: (-)β -(β) φού: (-)(-β)+[-(β)](-)(-β)+(-)β(-)[(-β)+β](-)00, είνι: (-)(-β)β ενώ συνέπει των ιδιοτήτων των ριθµών είνι κι ο τρόπος εκτέλεσης των πράξεων µετξύ κλσµάτων που βλέπεις δίπλ: iii. β + β + γ γ γ ενώ κι γ γ β δ βδ γ δ +βγ + β δ βδ ς δούµε την πόδειξη της δεύτερης σχέσης σύµφων µε τις προηγούµενες ιδιότητες: γ + β δ β + γ δ (ορισµός της διίρεσης) + γ β δ (ιδιότητ iv.) δ + γβ δ β β δ (ιδιότητ v.) δ + βγ βδ βδ (ιδιότητ ii.) (δ +βγ) βδ (ιδιότητ iii.) δ +βγ βδ (ορισµός της διίρεσης) οι νλογίες (δηλ. οι ισότητες λόγων) έχουν τις κόλουθες ιδιότητες: iv. v. vi. γ β δ γ ε... β δ ζ γ ε... β δ ζ δβγ β γ δ ± β β γ β γ ± δ δ ε... δ ζ ε ± ζ... ζ + γ +... + ε β + δ +... + ζ ς ποδείξουµε την vi. ν γ ε... λ β δ ζ τότε είνι: λβ, γλδ,, ελζ συνεπώς: + γ +... +ε β + δ +... + ζ λβ + λδ +... + λζ β + δ +... + ζ λ(β + δ +... + ζ) β + δ +... + ζ λ ν ποδείξεις τις iv. κι v.

4 δηµήτρη ποιµενίδη δυνάµεις ορίσµε R κι ν Ν µε ν τη δύνµη µε βάση κι εκθέτη ν ή λλιώς δύνµη του µε εκθέτη ν (συµβ. ν ): ν ν πράγοντες ορίσµε επίσης: κι γι 0: 0 κι ν ν (δηλ. ορίσµε κι δυνάµεις µε εκθέτη κέριο ενώ 0 0 δεν ορίσµε κι ούτε πρόκειτι!) ειδικά τις δυνάµεις κι 3 τις λέµε ντίστοιχ τετράγωνο κι κύβο του κι τις διβάζουµε τετράγωνο κι κύβος ντιστοίχως. είδµε κόµ τις διπλνές ιδιότητες των δυνάµεων: i. κ λ κ+λ κ κ-λ ii. λ iii. ν β ν (β) ν ν iv. ν ( ) ν β β v. ( κ ) λ κλ vi. ν 0 τι σηµίνει όµως (σύµφων µε τον ορισµό της δύνµης) ( κ ) λ ; ( κ ) λ ( ). ( ) ( ) ( ) κλ κ πράγοντες κ πράγοντες κ πράγοντες κ πράγοντες λκ πράγοντες λ πράγοντες µόλις ποδείξµε την ιδιότητ v. (ν ποδείξεις τις υπόλοιπες ιδιότητες µόνος σου!) δέξου (χωρίς πόδειξη προς το πρόν) ότι: ν β ν β, ν ν περιττός β ή -β, ν ν άρτιος ς θυµηθούµε τις προηγούµενες ιδιότητες µε µερικά πρδείγµτ: 6 5 6 ( 5) 6 0 6 000000 360 80 90 45 3 5 3 3 5 3 3 5 8 0 9 73,809 7 00+ 0+3 + + + 7 0 + 0 +3 0 o +8 0 - +0 0 - +9 0-3 0 00 000 (,4 0 - )(4,5 0 37 )0,08 0 -+37 0,08. 0 6 ή σε τυποποιηµένη µορφή:,008 0 7 5 4 4 (-) 4 (θυµήσου πως κοινός πράγοντς βγίνει η δύνµη µε τον µικρότερο εκθέτη) 3 3 3 3 3 ( ) ( ) 3 3 6 6-3 (-) +(y+3) 4 0-0 κι y+30 κι y-3(φού ν 0 κι η ισότητ ισχύει προφνώς ότν 0) ν+(-ν) ο 5 3 3 0-6 -3 5-4 - 3 5 ν -ν 3 ( ) - 5 0 5 6 3-3 ν 3 5 ν 3 6-5 3 5

άλγεβρ λυκείου www.sonom.gr 5 τυτότητες λέµε τις ισότητες που ισχύουν γι όλες τις τιµές των µετβλητών που περιέχουν, σηµντικότερες (κι ήδη γνωστές σου οι περισσότερες) είνι οι κόλουθες: i. (±β) ±β+β ii. (±β) 3 3 ±3 β+3β ±β 3 iii. (+β+γ) +β +γ +β+βγ+γ iv. -β (-β)(+β) v. 3 ±β 3 (±β)( m β+β ) vi. ν β ν (-β)( ν- + ν- β+ ν-3 β + + β ν-3 +β ν- +β ν- ), ν Ν µε ν vii. ν +β ν (+β)( ν- - ν- β+ ν-3 β - + β ν-3 -β ν- +β ν- ), ειδικά ν ν περιττός τις οποίες µπορείς ν ποδείξεις ξιοποιώντς την επιµεριστική ιδιότητ κι τις ιδιότητες των δυνάµεων όπως στην πόδειξη της vi. (-β)( ν- + ν- β+ ν-3 β + + β ν-3 +β ν- +β ν- ) ν- +( ν- β+ ν-3 β + + β ν-3 +β ν- +β ν- )-β( ν- + ν- β+ ν-3 β + + β ν-3 +β ν- )-ββ ν- ν -β ν κι ν, στην περίπτωση που ο ν είνι περιττός, βάλεις στην vi. όπου β τον β, θ δεις ότι: ν (-β) ν (-(-β))( ν- + ν- (-β)+ ν-3 (-β) + + (-β) ν-3 +(-β) ν- +(-β) ν- ), δηλδή ότι: ν +β ν (+β)( ν- - ν- β+ ν-3 β - + β ν-3 -β ν- +β ν- ) δηλ. την vii. (φού οι περιττοί εκθέτες διτηρούν στη δύνµη το πρόσηµο της βάσης!) γι ν ποδείξω µί τυτότητ κάνω πράξεις στο έν µέλος (το πιο σύνθετο) µέχρι ν κτλήξω στο άλλο ( ) ή σε κάθε µέλος ξεχωριστά µέχρι ν κτλήξω στο ίδιο ποτέλεσµ ( ) ή κι στ δύο µέλη τυτοχρόνως (προχωρώντς ισοδύνµ) µέχρι ν κτλήξω σε µί ισότητ η οποί ν είνι φνερό ότι ισχύει ( ) γι πράδειγµ θ ποδείξουµε ότι : ( +β )( +y ) (+βy) +(y-β) (τυτότητ του Lagrange) ος τρόπος: (+βy) +(y-β) +βy+β y + y -yβ+β ( +y )+β (y + ) ( +y )( +β ) τέλος! ος τρόπος: ( +β )( +y ) + y +β +β y (+βy) +(y-β) +βy+β y + y -yβ+β άρ : ( +β )( +y ) (+βy) +(y-β) 3 ος τρόπος: ( +β )( +y ) (+βy) +(y-β) + y +β +β y +βy+β y + y -yβ+β που ισχύει! ν ποδείξεις την τυτότητ: 3 +β 3 +γ 3-3βγ (+β+γ)[(-β) +(β-γ) +(γ-) ] (τυτότητ του Euler)

6 δηµήτρη ποιµενίδη άλγεβρ κι γεωµετρί y (+β)(+y)+y+β+βy β β (+β) +β +β β β γ (+β+γ) +β +γ +β+βγ+γ β γ -β (+β)(-β) -β β -β β -β β -β β φτιάξε µί δική σου τυτότητ κι έν σχήµ που ν την «ποδεικνύει»!

άλγεβρ λυκείου www.sonom.gr 7 δύο σκήσεις θ ποδείξω ότι,β,γ R: ν +β+γ0 τότε 3 +β 3 +γ 3 3βγ (δηλδή ότι: +β+γ0 3 +β 3 +γ 3 3βγ) +β+γ 0 +β -γ (+β) 3 (-γ) 3 3 +3 β+3β +β 3 -γ 3 3 +β 3 +γ 3-3 β-3β 3 +β 3 +γ 3-3β(+β) 3 +β 3 +γ 3-3β(-γ) 3 +β 3 +γ 3 3βγ ξιοποίησε την τυτότητ του Euler γι ν βγάλεις άµεσ το προηγούµενο συµπέρσµ! ν 3 +β 3 +γ 3 3βγ µπορούµε ν συµπεράνουµε ότι +β+γ0; θ ποδείξω ότι,β,γ R: ν +β +γ -β-βγ-γ0 τότε βγ κι ντιστρόφως (δηλδή ότι: +β +γ -β-βγ-γ0 βγ) «βλέπω» την υπόθεση κι λέω: «ν είχ β,βγ,γ το πρώτο µέλος θ µου θύµιζε τυτότητ» γι υτό «βλέπω» ότι: +β +γ -β-βγ-γ 0 (πολλπλσίσ κι τ µέλη µε ) δηλ. -β+β +β -βγ+γ +γ -γ+ 0 δηλ. (-β) + (β-γ) + (γ-) 0 (*) λλά είνι: (-β) 0 κι (β-γ) 0 κι (γ-) 0 συνεπώς πό τη σχέση (*) συµπερίνω ότι : (-β) 0 κι (β-γ) 0 κι (γ-) 0 δηλ. -β0 κι β-γ0 κι γ-0 δηλ. β κι βγ κι γ άρ: βγ. ντιστρόφως τώρ ν βγ τότε: +β +γ -β-βγ-γ + + - - - 0 λλιώς: µπορώ ν ποδείξω την ισοδυνµί των προτάσεων «+β +γ -β-βγ-γ0» κι «βγ» µε µί ντιστρεπτή πορεί +β +γ -β-βγ-γ 0 +β +γ -β-βγ-γ 0 -β+β +β -βγ+γ +γ -γ+ 0 (-β) + (β-γ) + (γ-) 0 (-β) 0 κι (β-γ) 0 κι (γ-) 0 -β0 κι β-γ0 κι γ-0 β κι βγ κι γ βγ

8 δηµήτρη ποιµενίδη µί τελευτί προσπάθει γι τις τυτότητες ( Α + Β ) Α + ΑΒ + Β ( Α Β ) Α ΑΒ + Β π.χ. (3+µ) (3) + 3µ + µ π.χ. (κ µ ) (κ) - κµ+µ 9 +6µ+µ 4κ 4κµ+µ Α + ΑΒ + Β ( Α + Β ) Α ΑΒ + Β ( Α Β ) π.χ. +3+ 4 9 + 3 +( 3 ) (+ 3 ) π.χ. 9ρ 6ρ + (3ρ) - 3ρ + (3ρ ) ( Α + Β ) 3 Α 3 + 3Α Β + 3ΑΒ + Β 3 ( Α Β ) 3 Α 3 3Α Β + 3ΑΒ Β 3 π.χ. (3κ+y) 3 (3κ) 3 +3(3κ) y+3 3κ(y) +(y) 3 π.χ. ( λ) 3 3 3 λ+3(λ) (λ) 3 7κ 3 +54κ y+36κy +8y 3 3 6 λ+λ 8λ 3 Α - Β ( Α Β )( Α + Β ) ( Α+Β+Γ ) Α +Β +Γ +ΑΒ+ΒΓ+ΓΑ π.χ. 4κ 5ν π.χ. (-β+γ) (κ) (5ν) (κ 5ν)(κ+5 ν) (+(-β)+γ) +β +γ -β-βγ+γ Α 3 - Β 3 ( Α - Β )( Α + ΑΒ + Β ) Α 3 + Β 3 ( Α + Β )( Α ΑΒ + Β ) π.χ. κ 3 5 π.χ. 8+γ 3 κ 3 5 3 (κ 5)(κ +5κ+5) 3 +γ 3 (+γ)(4 γ+γ ) Α ν Β ν (Α-Β)(Α ν- +Α ν- Β+ +ΑΒ ν- +Β ν- ) Α ν +Β ν (Α+Β)(Α ν- -Α ν- Β+ -ΑΒ ν- +Β ν- ) π.χ. 5-3 π.χ. 5 + 5-5 (-)( 4 + 3 +4 +8+6) 5 + 5 (+)( 4-3 + -+) κι άλλες (; ) τυτότητες (Α+Β) 3 Α 3 +Β 3 +3ΑΒ(Α+Β) (Α Β) 3 Α 3 -Β 3-3ΑΒ(Α Β) Α +Β (Α+Β) ΑΒ Α +Β (Α Β) +ΑΒ Α 3 +Β 3 (Α+Β) 3 3ΑΒ(Α+Β) Α 3 Β 3 (Α Β) 3 +3ΑΒ(Α Β)

άλγεβρ λυκείου www.sonom.gr 9 πργοντοποίηση πολυωνύµων γιτί επίλυση εξισώσεων κι νισώσεων, όπως στο πράδειγµ: -0 (-)0 0 ή -0 0 ή πλοποίηση κλσµτικών (ρητών) λγεβρικών πρστάσεων, όπως στο πράδειγµ: 7-7β -β 7( -β) ( -β)( +β) 7 +β εύρεση ΕΚΠ πολυωνύµων κι πράξεις µε ρητές πρστάσεις, όπως στο πράδειγµ: - - - + ( -) - ( -) πώς ( -) ( -) - ( -) - - ( - ) - ( -) άµεσ, όπως στο πράδειγµ: 3ω 6-6ω 5 +3ω 3ω (ω 4 -ω 3 +) µε οµδοποίηση, όπως στο πράδειγµ: κ 3 -κ +κ- κ (κ-)+(κ-) (κ-)(κ +) ή λλιώς : κ 3 -κ +κ- κ(κ +)-(κ +) (κ +)(κ-) ή λλιώς : κ 3 -κ +κ- (κ-)(κ +κ+)-κ(κ-) (κ-)(κ +κ+-κ) (κ-)(κ +) ξιοποιώντς τις τυτότητες Α +Β ± ΑΒ (Α± Β) Α 3 ± Β 3 ± 3Α Β+3ΑΒ (Α± Β) 3 Α Β (Α Β) (Α+Β) Α 3 ± Β 3 (Α± Β) (Α m ΑΒ+Β ) µε συνδυσµό των προηγουµένων µεθόδων, όπως στ πρδείγµτ: 4(-y)+(y-)(+β) 5 + 4 + 3-7 -54-7 4(-y)-(-y)(+β) 3 ( ++)-7( ++) (-y)( -(+β) ) (+) ( 3-3 3 ) (-y)(--β)(++β) (+) (-3)( +3+9) ( +y -ω ) -4 y 9 +β 9 ( +y -ω ) -(y) ( 3 ) 3 +(β 3 ) 3 ( +y -ω -y)( +y -ω +y) ( 3 +β 3 )( 6-3 β 3 +β 6 ) [(-y) -ω ][(+y) -ω ] (+β)( -β+β )( 6-3 β 3 +β 6 ) (-y-ω)(-y+ω)(+y-ω)(+y+ω)

30 δηµήτρη ποιµενίδη το ΕΚΠ πολυωνύµων είνι το γινόµενο όλων των πρώτων (δηλ. υτών που δεν πργοντοποιούντι περισσότερο) πργόντων τους, µε τον µεγλύτερο εµφνιζόµενο εκθέτη γι πράδειγµ φού: 4 4-4 3 4 3 (-) 3 (-) -+ (-) - (-) είνι: ΕΚΠ (4 4-4 3, -+, -) 3 (-) κι οι πράξεις µε ρητές πρστάσεις πολλπλσισµός-πλοποίηση όπως στ πρδείγµτ: ω 3 4 ω - + ( - +) ( -) - 3 - ( -) ( -)( + ) + 4 - ( -) ( -)( - + ( - )( + ) ( -)( - 4 - ω ω - + 5ω + 6 (ω - )(ω + ) (ω -)(ω +) + ) +) ω - (ω + )(ω + 3) ( -)( +) ( -) ω - (ω + )(ω + 3) 3 3 + 8-4 + 8 - ( + )( - + 4)( - ) : - - 4 ( - )( + ) + ( +)( + ) 3 + 3 + 3 + πρόσθεση όπως στ πρδείγµτ: + - + + - ( -) + - - + + - + - - - + - 4 + 4 - (ΕΚΠ : -) + - + 4 - - + - ( - ) - ( - ) ( -) ( -) - - + ( -) ( -) ( -) (ΕΚΠ : (-) ) ( -) - ( -) + - ( -) 3 - - + 3 ( -) - + 3 ( - ) - + -

άλγεβρ λυκείου www.sonom.gr 3 η διάτξη των πργµτικών ριθµών λέµε ότι ο ριθµός είνι µικρότερος (ντ. µεγλύτερος) πό τον ριθµό β ότν η διφορά -β είνι ρνητικός (ντ. θετικός) ριθµός κι γράφουµε τότε < β (ντ. > β).σύµφων µε τον ορισµό υτό κάθε ρνητικός (ντ. θετικός) ριθµός είνι µικρότερος (ντ. µεγλύτερος) του µηδενός συνεπώς ο προηγούµενος ορισµός διτυπώνετι συµβολικά: < β -β < 0 (ντ. > β -β > 0) κι θυµήσου ότι: β -β 0 ενώ είνι προφνής η ισοδυνµί: <β β> Αν < β ή β (ντ. > β ή β) τότε γράφουµε: β (ντ. β) γι δύο ριθµούς κι β ισχύει µι κριβώς π τις σχέσεις: <β, β, >β (ρχή της τριχοτοµίς) δες δίπλ την τοποθέτηση τριών ριθµών, β, γ µε < β < γ πάνω - β γ + στον άξον των πργµτικών. Από τον τρόπο εκτέλεσης των πράξεων της πρόσθεσης κι του πολλπλσισµού, προκύπτει ότι: ν >0 κι β>0 τότε +β>0, ενώ ν <0 κι β<0 τότε +β<0 ν οι,β είνι οµόσηµοι τότε β>0 κι β >0, ενώ ν οι,β είνι ετερόσηµοι τότε β<0 κι β <0 κι ντιστρόφως επίσης ισχύουν οι κόλουθες ιδιότητες: <β i. <γ (µετβτική ιδιότητ της διάτξης) β<γ ν γ<0 γ>βγ ii. <β +γ<β+γ iii. <β iv. ν β>0 τότε: <β > β ν γ>0 γ<βγ <β,β,γ,δ θετικοί v. +γ<β+δ vi. <β γ<βδ γ<δ γ<δ ς δούµε δύο ποδείξεις της v. µί «ευθεί» σύµφων µε την ii. <β +γ<β+γ ενώ γ<δ β+γ<β+δ,συνεπώς σύµφων µε την i. +γ<β+δ κι µί «πλάγι» (γι ν ποδείξω ότι:) +γ<β+δ (ρκεί ν ποδείξω ότι:) -β<δ-γ που ισχύει φού -β<0 γιτί <β κι δ-γ>0 γιτί δ>γ ν ποδείξεις (µε όσους περισσότερους τρόπους µπορείς!) τις υπόλοιπες ιδιότητες.

3 δηµήτρη ποιµενίδη θ ποδείξουµε ότι: γι θετικούς,β κι µη µηδενικό φυσικό ν: i. β ν β ν ii. <β ν <β ν (µε «ευθεί πόδειξη») i. ν β τότε: ν... β β... β β ν ν πράγοντες ν πράγοντες ii. ν <β τότε <β <β ν <β ν ( σύµφων µε την vi). ) <β (µε «εις άτοπον πγωγή») i. ν ν β ν τότε: β <β ή β< ν <β ν ή β ν < ν ( σύµφων µε την ii). ) ΑΤΟΠΟ φού ν β ν άρ: β ii. ν ν <β ν τότε: β β ή β< ν β ν ή β ν < ν ( σύµφων µε τις i). κι ii). ) ΑΤΟΠΟ φού ν <β ν άρ: <β γι την πόδειξη µίς νισότητς προτιµάµε ν δουλέψουµε «πλάγι», νάγοντς συνήθως την πόδειξή της στην πόδειξη µίς άλλης ισοδύνµής της, χρησιµοποιώντς τις υποθέσεις, ιδιότητες ή άλλες γνωστές σχέσεις γι πράδειγµ: θ ποδείξουµε ότι: +β β πργµτικά: +β β +β -β 0 (-β) 0 που ισχύει (η ισότητ ισχύει ν κι µόνο ν β) λλιώς: «γνωρίζουµε ότι (-β) 0 συνεπώς +β -β 0 άρ +β β» θ ποδείξουµε ότι: ν - τότε 3 + + πργµτικά: 3 + + 3 +- - 0 (-)-(-) 0 (-)( -) 0 (-) (+) 0 που ισχύει γιτί (-) 0 κι + 0 φού - (η ισότητ ισχύει ν κι µόνο ν ή -)

άλγεβρ λυκείου www.sonom.gr 33 τ διστήµτ των πργµτικών ριθµών κλειστό διάστηµ (συµβ. [, β] ) πό το µέχρι το β λέµε το ευθύγρµµο τµήµ της ευθείς των πργµτικών µε άκρ τις εικόνες των ριθµών κι β, δηλ. όλους τους πργµτικούς ριθµούς µε β ενώ, νοικτό διάστηµ (συµβ. (, β)) π το µέχρι το β λέµε το [, β] χωρίς τους κι β. Κάθε ριθµός ενός διστήµτος Δ διφορετικός πό τ άκρ του λέµε ότι νήκει στο εσωτερικό του Δ. Με νάλογο τρόπο ορίζουµε τ υπόλοιπ πό τ διστήµτ που βλέπουµε δίπλ: έν διάστηµ Δ είνι έν σύνολο πργµτικών ριθµών µε την χρκτηριστική ιδιότητ: «γι οποιουσδήποτε, Δ, κάθε ενδιάµεσός τους ριθµός, νήκει επίσης στο Δ» έτσι γι πράδειγµ είνι: (-,5] { R/ 5 }, [-,7) { R/ - < 7 } κλπ. - ( - ( το διάστηµ Δ [ ] ( ) [ ) ( [ ( β β β β ] ] ) που περιέχει τους ριθµούς µε + + ) ) β <<β <β < β < < πόλυτη τιµή ενός πργµτικού ριθµού (συµβ. ) λέµε την πόστση της εικόνς του πάνω στον άξον των πργµτικών πό την ρχή του άξον (δηλ. πό την εικόν του 0),, ν 0 0 συνεπώς: 0 0 -, ν 0 άµεσες συνέπειες του προηγούµενου ορισµού είνι οι κόλουθες ιδιότητες: i. 0 (η ισότητ ισχύει µόνο ότν 0) ii. κι - iii. iv. ή - ενώ µε προφνή γεωµετρική ερµηνεί κι πολύ χρήσιµες στην επίλυση εξισώσεων κι νισώσεων είνι οι ιδιότητες: ν θ είνι θετικός ριθµός v. θ -θ ή θ vi. < θ -θ < < θ -θ -θ 0 0 θ θ vii. > θ < -θ ή > θ -θ 0 θ

34 δηµήτρη ποιµενίδη ς ποδείξουµε την vi. ν 0: < θ 0 < θ ν < 0: < θ 0 < - < θ 0 > > -θ -θ < < 0 άρ R: < θ -θ < < θ λλιώς: < θ < θ -θ < 0 (+θ)(-θ) < 0 ( +θ > 0 κι -θ < 0) ή ( +θ < 0 κι -θ > 0) ( > -θ κι < θ ) ή ( < -θ κι > θ ) -θ < < θ (οι νισώσεις <-θ κι > θ δεν συνληθεύουν) ν ποδείξεις την ιδιότητ vii. πόλυτη τιµή κι πράξεις µπορείς ν πολλπλσιάσεις (διιρέσεις) πόλυτες τιµές, όχι όµως ν προσθέσεις (φιρέσεις) φού ισχύουν οι ιδιότητες: viii. β β i. β β. - β +β + β ς ποδείξουµε την viii. β β β ( β ) (β) β (β) β που ισχύει! λλιώς: ν β 0 δηλ. ν 0 ή β0 η viii. προφνώς ισχύει ν β > 0 τότε ν > 0 κι β > 0: β β β ν < 0 κι β < 0: β β(-)(-β) β ν β < 0 τότε ν > 0 κι β < 0: β -β(-β) β ν < 0 κι β > 0: β -β(-)β β άρ σε κάθε περίπτωση δηλ.,β R: β β ς ποδείξουµε το δεξιό σκέλος της. +β + β ( +β ) ( + β ) +β + β + β (+β) +β + β +β +β +β + β β β που ισχύει (η ισότητ ισχύει ν κι µόνο ν β β δηλ. ν κι µόνο ν β 0) ν ποδείξεις το ριστερό σκέλος της. πότε ισχύουν οι ισότητες κι στ δύο σκέλη της. ;

άλγεβρ λυκείου www.sonom.gr 35 πόστση δύο ριθµών κι β (συµβ. d(,β)) λέµε την πόστση των εικόνων τους στον πργµτικό άξον κι όπως µπορείς εύκολ ν διπιστώσεις γεωµετρικά, ν β: d(,β)β- ενώ ν >β: d(,β)-β 0 0 β β δηλ. σε κάθε περίπτωση: d(,β) β- β 0 γι πράδειγµ: d(-,-7) -7-(-) 5 χωρίς πόλυτες τιµές µπορείς ν γράψεις µί πράστση µε πόλυτες τιµές χωρίς υτές (ότν βέβι υπάρχουν λόγοι πιο σηµντικοί πό την ντιπάθειά σου γι υτές) ότν θέλεις ν την πλοποιήσεις ή ν λύσεις µί εξίσωση ή νίσωση ή κόµ ότν ς φήσουµε κλύτερ κάποι πράγµτ γι ργότερ κι ς δούµε γι πράδειγµ: την Α + - 4 - χωρίς πόλυτες τιµές -40 4-4>0 >4-0 κι επειδή πρέπει - 0 είνι - 0 δηλ. ->0 > - 0 4 + - o + + + -4 - - - o + - - - + + συνεπώς: Α - -( - 4) 3-8 -( -) - -(- 4) - 8 -( -) - -( - 4) - + 8 - - + ( - 4) 3-8 - -, (-,0), [0,), (,4), [4,+ ) την νίσωση: - > 4+ (- > 4+ κι - 0) ή (-(-) > 4+ κι - < 0) ( < - κι ) ή ( < - κι < ) 5 < - 5

36 δηµήτρη ποιµενίδη ρίζες πργµτικών ριθµών τετργωνική ρίζ ενός µη ρνητικού ριθµού (συµβ. ) ονοµάσµε τον µη ρνητικό ριθµό που ν υψωθεί στο τετράγωνο µς δίνει τον δηλ. την µη ρνητική λύση της εξίσωσης, συνεπώς: ή - γι πράδειγµ: 4 4 ή - 4 - σύµφων µε τον προηγούµενο ορισµό: επίσης: i. ( ) ii. (!) iii. β β iv. β β φού: ( β ) ( ) ( β ) β γενικεύοντς τώρ, ν ν Ν, ορίζουµε ως νιοστή ρίζ του ή λλιώς νιοστής τάξης ρίζ του (συµβολικά: ν ) τον µη ρνητικό ριθµό που ν υψωθεί στην ν µς δίνει τον δηλδή την µη ρνητική λύση της εξίσωσης ν, έτσι: ενώ: γι πράδειγµ: 6 64 φού 6 64 6 σύµφων µε τον προηγούµενο ορισµό: 6 64 64 v. ( ν ) ν vi. ν 0: ν ν vii. ν < 0 κι ν άρτιος: ν ν - κι viii. ν ν β ν β i. β ν ν ν κ ν ν. ( ) κ β φού: ( ν ν β ) ν ( ν ) ν ( ν β ) ν β, i. µ ν µν ii. νκ µκ ν µ φού: ( ) µν µ ν [( µ ν ) µ ] ν ( ν ) ν νκ µκ ν κ µ ν µ κι ( ) κ επίσης ορίζουµε γι >0, µ κέριο κι ν θετικό κέριο: µ ν ν µ κι γι µ, ν θετικούς κερίους: 0 ν µ 0 ν ποδείξεις τις ιδιότητες ii, iv, vii, i κι

άλγεβρ λυκείου www.sonom.gr 37 γι πράδειγµ: 3 3 6 3 3 6 3 6 3 6 3 3 36 3 3 6 3 36 ( 3 +) ( 3 +) - - - 3 + - 3 3 - ( 3 -)( 3 +) ( 3) - η µεττροπή των κλσµάτων µε άρρητους προνοµστές σε ισοδύνµ µε ρητούς προνοµστές διευκολύνει την κτνόησή τους κι τον λογισµό µε υτά! - 3 + 3-3 3( 3 -) ή λλιώς: - 3 3-3 - 3-3 - + - ( + + + - )( + + ) ( + + +) - ( ) + + ν ν β ν ν ν ) ν ( ) ( β β ν < ν β ( ν ) ν < ( ν β ) ν < β 3 4 8 3 4 4 6 6 4 3 3 3 ( ) λλιώς: 4 6 9 7 7 9 3 4 3 3 8 ( ) 4 3 3 3 + + 4 6 9 + + 4 3 4 9 7 + 7

38 δηµήτρη ποιµενίδη -3 - -. Γι ποιες τιµές του : i. ορίζετι ο ριθµός ρ + ii. ο ρ ισούτι µε τον ντίστροφό του;. Αν -β -3, ν υπολογίσεις την τιµή της πράστσης: Α 4(+β)-6β+(5-). 3. Ν ποδείξεις ότι ν το τετράγωνο ενός κερίου είνι άρτιος τότε κι ο είνι άρτιος. 4. Ν ποδείξεις ότι: i. το γινόµενο δύο διδοχικών κερίων είνι άρτιος ριθµός ii. το γινόµενο τεσσάρων διδοχικών κερίων διιρείτι µε το 4 κι µε το 8. 5. Αν γ β δ (γ 0), ν ποδείξεις ότι: + γ. β + γδ β 6. Ένς πτέρς άφησε κληρονοµιά 00000 στ τρί του πιδιά ηλικίς 8, κι 0 ετών υπό τον όρο ν τ µοιρσθούν νάλογ µε την ηλικί τους. Πόσ ευρώ θ πάρει το κάθε πιδί; 7. Ν βρεις την τιµή της πράστσης: Α 3 6 ( - )( - ) ( - )...( - ). 3 3 (β γ) (γ) 8. Ν βρεις την τιµή της πράστσης: Α - 5 ( β) -7, ν, β0 - κι γ0.5. 5 9. Αν 0.0005 κι y7500000, ν γράψεις στην τυποποιηµένη τους µορφή τους ριθµούς y - κι β(y - ) -. 0. Ν ποδείξεις ότι ο ριθµός 0 5 5 6 διιρείτι µε τον 9.. Ν λύσεις τις κόλουθες εξισώσεις: 6 i. ( ) ii. 5-3 3 0 iii. 8 4-3 3- ( ) ( ). 3 4. Ν ποδείξεις ότι: (+y) 3 (-y)-( 4 -y 4 ) y( -y ). 3. Ν ποδείξεις την τυτότητ: 4 +β 4 +γ 4 - β - β γ - γ (+β+γ)(-β+γ)(+β-γ)(-β-γ) (De Moivre)

άλγεβρ λυκείου www.sonom.gr 39 4. Αν γι τις πλευρές τριγώνου ΑΒΓ ισχύει η σχέση: (+β) +(β+γ) +(γ+) 4(β+βγ+γ) ν ποδείξεις ότι υτό είνι ισόπλευρο. y z 5. Ν ποδείξεις ότι ν yz τότε: + +. y + + yz + y + z + z + 6. Ν ποδείξεις ότι ν +y+z0 τότε: +y +z (y -z). - y -yz y - z -z z - -y 7. Ν ποδείξεις ότι ν +y+z0 τότε: + + 0. + y y + z z + 8. Αν y z ν δείξεις ότι η πράστση: έχει τιµή νεξάρτητη των, y, z. y z + - ( - y)( - z) (y - )(y - z) (z - )(z - y) 9. Ν γράψεις τις κόλουθες πρστάσεις στην πλούστερη δυντή µορφή: + y - y Α ( - ) : ( - )( ) 3 3 y y + y Β - + - - - 4 + 4 Γ + - - -. 4 -β -β 0. Αν 0<<β, ν συγκρίνεις τους ριθµούς κι + β + β.. Αν 5< < 6 κι - y, µετξύ ποιων ριθµών βρίσκοντι οι ριθµοί +y, -y κι 4y ;. Αν,β > ν ποδείξεις ότι: +β < β. 3. i. ν ποδείξεις ότι ν > 0: +, ενώ ν < 0: + - ii. ν ποδείξεις ότι ν, β, γ > 0 κι ( +β + γ)( + + ) 9 τότε: βγ. β γ 4. Δείξε ότι γι τις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ (Â 90 ο ) ισχύει: 3 > β 3 +γ 3. y 5. Αν,y > 0 ν ποδείξεις ότι: + y +. y 6. Αν +β+γ0, δείξε ότι: β+βγ+γ 0.

40 δηµήτρη ποιµενίδη 7. Αν +β, ν ποδείξεις ότι: i. β 4 ii. +β iii. 3 + β 3 4 iv. 4 +β 4 8. 8. Αν β γ β γ δ, ν ποδείξεις ότι: +δ β +γ. 9. Γι τις πλευρές, β, γ τριγώνου ΑΒΓ, ν ποδείξεις ότι: i. +β +γ < (β+βγ+γ) ii. ν (+β) +(β+γ) +(γ+) 4(β+βγ+γ) τότε το ΑΒΓ είνι ισόπλευρο. 30. Αν +β κι +y, ν ποδείξεις ότι +βy. 40. Βρες το µέσο (κέντρο) του διστήµτος [, β]. 44. Αν + β κι - β, ν ποδείξεις ότι β. 45. Βρες τους πργµτικούς, y γι τους οποίους ισχύει: 3-y + y 9 0. 46. Γράψε χωρίς πόλυτες τιµές τις κόλουθες πρστάσεις: i. Α 6-5-3 ii. Β - - -β, όπου < β + - iii. Γ + - - iv. Δ - -3 + +7 47. Αν,β R * κι β +β 0, ν ποδείξεις ότι: β< 0. 48. Λύσε τις εξισώσεις: i. 5+3 +5 κι ii. - - - +3 5. Αν + y + y, ν ποδείξεις ότι: y. 53. Αν -β κι β-γ 3, ν ποδείξεις ότι: -γ 5. 54. Αν y, ν ποδείξεις ότι: + y + y - y. 55. i. Βρες τον ριθµό που ισπέχει πό τους κι. ii. Βρες τους ριθµούς που πέχουν πό τον λιγότερο πό όσο πέχουν πό τον. 56. Ν λύσεις τις εξισώσεις: i. - 7 κι ii. - 4 + - 5 + 6 0

άλγεβρ λυκείου www.sonom.gr 4 57. Μπορείς ν ξνγράψεις τις κόλουθες πρστάσεις χρησιµοποιώντς µί το πολύ ρίζ; 3 i. A 8-3 8 + 7 ii. B - 5 3 + 4 iii. C 4-3 iv. D 6 3 ( - 5) v. E ( + )( 3-4) vi. F 8 3 4 6 vii. G 3 6 3 viii. H 6 3 i. I - + 58. Ν γράψεις τις κόλουθες πρστάσεις στην πλούστερη δυντή µορφή: i. Α ( 3 - ) ii. Γ 8-7 - 7-6 + 6-5 - 5-4 iii. Β 5-6 + 5 + 6 7 3 iv. Δ + 3-7 3 + 7 59. Πρέπει ν στρώσεις µε πλκάκι κι ν περιφράξεις µι τετργωνική πίστ η οποί σύµφων µε το µθηµτικό κ. Φευγάτο έχει πλευρά 9 + 0-9 - 0. Μπορείς ν βρεις το εµβδόν κι την περίµετρό της; 60. Ν µεττρέψεις τ κόλουθ κλάσµτ σε ισοδύνµ µε ρητούς προνοµστές: vii. 3 i. 7 9 -β + β 4 ii. 4 8 viii. iii. - 9 3-3 3 8 i. iv. 8 5 + + 3-5 v.. + 4 3 - z 3 3 - z vi. 6-6. Ν συγκρίνεις τους ριθµούς: i. 3 30 κι 4 80 ii. 7-3 κι iii. + κι 3 + iv. κι 3-8 6. Αν, β (0, + ), ν ποδείξεις ότι: β β + β + β. 63. Ν ποδείξεις ότι: - γ +βδ +β γ + δ. 64. Αν, β, γ είνι άνισοι νά δύο θετικοί πργµτικοί ριθµοί µε +β+γ, ν ποδείξεις ότι: i. - > βγ ii. ( -)( -)( -) > 8. β γ 65. Ο ριθµός π είνι ------------------

4 δηµήτρη ποιµενίδη 66. Αν β 0 τότε --------- κι β --------- 67. Αν + τότε + ------ 68. Συµπλήρωσε τ κενά ώστε ν ισχύουν οι ισότητες: i. ( - ----- ) ----- - + ----- ii. - ----- ( ----- + 3 )( ----- - ----- ) iii. ( - ----- ) 3 ----- - + ----- - ----- iv. 8 3 - ----- ( - ----- )( ----- + + ----- ) v. 6 + ----- ( + )( ----- - ----- + ----- ) 69. ΕΚΠ( 4 -, 3 -, 3, +) ---------------------------------- 70. Αν -3 < < κι - < 0 τότε ------- 7. - 0 ----- 7. Συµπλήρωσε τον κόλουθο πίνκ: πόλυτη τιµή πόστση νίσωση - < d(,) < - < < 3 + < d(,3) < 5 o -δ < < o +δ ( δ > 0) 3 < < 4 73. -β ( + β )( ----- - ----- ) 74. Γράψε στην πλούστερη δυντή µορφή τον ριθµό: ( 3 -) ---------- 75. (- ) ----- 76. - β -----... 77. - + + 0 -----

άλγεβρ λυκείου www.sonom.gr 43 78. Αντιστοίχισε τις ισότητες στις τιµές του ν γι τις οποίες υτές ισχύουν:.. ( ) 3 -ν 3 ( ) ν 6 8 β. 3. ( 3ν- ) - ν-5 γ. 0 3. (3 - ) ν-3 δ. - ε. -3 79. Εξίσωσε τις πρστάσεις των δύο στηλών:. (-β) 8. β ( - ) β. +4β -4β β. (-β)(+β)( +β )( 4 +β 4 ) γ. -4β +4β 3. (-+β) δ. 8 -β 8 + β - β 4. (-β) 3 +3β(-β) ε. β 4 4 5. (-β)( +β+β ) στ. 3 -β 3 ζ. 3 +β 3

44 δηµήτρη ποιµενίδη 80. Αν < < 5 κι - < β < 3, ν ντιστοιχίσεις τις κόλουθες πρστάσεις στ διστήµτ στ οποί υτές πίρνουν τις τιµές τους:. (-4,). -β β. (-,4). -β γ. (,5) 3. +β δ. (-8,8) 4. -3β ε. (-3,-) 5. στ. (-8,0) ζ. (0,8) 8. Αντιστοίχισε τις νισώσεις στις λύσεις τους:. -4 4 κι 0. β. 0 ή 4. - 3 γ. -4 ή 4 3. 4 δ. 4 4. 0 < 4 ε. 0 4 5. 6 στ. - 4 ζ. -4 4

άλγεβρ λυκείου www.sonom.gr 45 8. Αντιστοίχισε τις πρστάσεις στις πλοποιηµένες τους µορφές:. 6 6.. β. 3. 4 γ. 4. ( ) 4 δ. 5. ε. 83. Αντιστοίχισε τις πρστάσεις στις πλοποιηµένες τους µορφές:. 7. 3 β.. 4 64 γ. 3. - 8 + 8 δ. 8 4. 8-5 8 + 5 ε. 5 5. 5-3 - 5-6 στ. 4 ζ. 3 84. Αν 0 < < β, ν διτάξεις πό το µικρότερο προς το µεγλύτερο τους ριθµούς:, β κι β. 85. Αν 0< <, ν διτάξεις πό το µικρότερο προς το µεγλύτερο τους ριθµούς: +,, 0, -, κι. 86. Ν διτάξεις πό το µικρότερο προς το µεγλύτερο τους ριθµούς:, 3 3, 3 + κι 6 +.

46 δηµήτρη ποιµενίδη 87. Ο ριθµός 5 είνι άρρητος 88. Αν γβγ τότε σίγουρ β 89. Ισχύει: β 0 0 ή β 0 90. Ισχύει: β 0 0 κι β 0 9. Ισχύει: +γβ+δ β κι γδ 9. Οι ντίστροφοι ριθµοί είνι ετερόσηµοι 93. Ισχύει: (-β) -(β-) 94. Αν +β 0 τότε ο +β ο 95. Ισχύει: ν β ν β (ν Ν) 96. Αν ν β ν κι ο ν είνι περιττός τότε β 97. Ισχύει: 8 3 5 9 000000000 98. Ισχύει: [( ) 3 ] 64 99. Ισχύει: (-3) - 9-00. Ισχύει: -3 3 5 0 0. Ισχύει: (-) ν (-) ν ν 0. Ισχύει: (-β) +(β-γ) 0 βγ0 03. Ισχύει: (+β)(β-) -β 04. Ισχύει: (--β) (+β) 05. Ισχύει: + - 06. Ισχύει: > β > β 07. Ισχύει: > β γ > βγ 08. Ισχύει: > β < β (β 0) 09. Αν > β κι γ > δ τότε -γ > β-δ 0. Αν < 0 τότε - < -3. Αν > 0 κι β < 0 τότε -β > 0. Αν ο είνι µη ρνητικός πργµτικός τότε (0,+ ) 3. Ισχύει: 0 0 4. Αν - - τότε είνι < 0 5. Ισχύει: -β β-

άλγεβρ λυκείου www.sonom.gr 47 6. R: - - 7. Η νίσωση - 0 ληθεύει R 8. - [-,3] 9. Ισχύει: 0. Ισχύει: ( ). Γι κάθε ή ισχύει: ( -)( -) - -. Ισχύει: 3. Ισχύει: 4. Ισχύει: 6 3 ν ν 5. Αν -yy- τότε:. y β. +y γ. -y δ. -y0 6. Αν 3λ κι λβ τότε ο λόγος β. 6 β. 6 είνι ίσος µε: γ. 3 δ. 3 7. Αν y τότε ο -3 είνι ο:. y 3 β. y-3 γ. 8 y δ. 3-y 8. Ο ριθµός ( ) 3 είνι ο:. β. 64 γ. 6 δ. 4 6 9. Αν ο κ είνι άρτιος τότε ο ριθµός (-) κ + κ είνι ίσος µε:. β. (-) κ+ γ. 0 δ. κ+ 30. Αν +3 τότε ο 3 είνι ίσος µε:. +7 β. +6 γ. +3+3 δ. +4 3. Αν + τότε ο 3 + 3 ισούτι µε:. 3 β. 8 γ. δ. 5 3. Αν -y τότε ο -y ισούτι µε:. β. +y γ. 0 δ. y

48 δηµήτρη ποιµενίδη 33. Αν +y3 κι y τότε ο +y ισούτι µε:. β. 5 γ. 9 δ. 7 34. Ποιος πό τους κόλουθους ριθµούς είνι πολλπλάσιο του 6;. 6 ν+ - β. 7 ν+ - γ. 4 ν - δ. 8 ν- + 35. Αν ισχύει -β > +β τότε:. > 0 β. β > 0 γ. > β δ. β < 0 36. Αν < β < 0 τότε:. β < β < β. β > β > γ. β < < β δ. β < < β 37. Ισχύει: > β < β. ότν οι,β είνι ετερόσηµοι β. µόνο ότν οι,β είνι ρνητικοί γ. µόνο ότν οι,β είνι θετικοί δ. ότν οι,β είνι οµόσηµοι 38. Η σχέση - ισχύει:. R β. γι < 0 γ. γι 0 δ. γι κµί τιµή του 39. Αν y y 0 τότε:. οι,y είνι θετικοί β. οι,y είνι οµόσηµοι γ. οι,y είνι ρνητικοί δ. οι,y είνι ντίθετοι 40. Αν +y 0 τότε:. y0 β. 0 ή y0 γ. 0 κι y 0 δ. οι,y είνι ντίθετοι 4. Αν +y -y τότε:. y β. +y0 γ. 0 ή y0 δ. (+y)(-y) > 0 4. Ισχύει - β +β + β ότν:. β > 0 β. β < 0 γ. β0 δ. ποτέ 4 43. Το κλάσµ 3 + 5 ισούτι µε:. -3+ 5 β. 3-5 γ. -3-5 δ. 3+ 5 44. Αν 3 τότε η πράστση Α ( -) + ( -3) είνι ίση µε:. 0 β. γ. -5 δ. 5

άλγεβρ λυκείου www.sonom.gr 49 εξισώσεις

50 δηµήτρη ποιµενίδη pablo picasso (88-973) quernica (937)

άλγεβρ λυκείου www.sonom.gr 5 η επίλυση των εξισώσεων ου βθµού µετά πό πλοιφή προνοµστών κι πρενθέσεων κάθε εξίσωση ου βθµού µπορεί ν έρθει ν 0 β - δηλ. έχει µονδική λύση στη µορφή: +β0, οπότε: κι β 0 είνι δύντη δηλ. δεν έχει κµί λύση ν 0 κι β0 ισχύει R δηλ. έχει άπειρες λύσεις είνι όπως λέµε όριστη ή λλιώς τυτότητ (φού επληθεύετι πό όλους τους πργµτικούς) γι πράδειγµ: - 4 5-4 + - 4 + - 4 0 5 + 4-4 5 ( - ) 0( + ) 5 4 0 4 ( - 4) - 5( + ) - 4 + 5 0 γι ν πλείψουµε τους προνοµστές πολλπλσιάζουµε µε το 4 ΕΚΠ(4,5,0) δηλ. µε το 0 4-6 -5-5 + πλοιφή πρενθέσεων -6-5- -4+5 χωρισµός γνωστών-γνώστων (+ -) - νγωγή οµοίων όρων - - ( :) - (3- ) 3-6 6[-(3-)](3-) πλοιφή προνοµστών ( χιστί ) ( :) 6-8+66-4 πλοιφή πρενθέσεων 6-6-4+ χωρισµός γνωστών-γνώστων (+ -) 08 νγωγή οµοίων όρων άρ η εξίσωση είνι δύντη + 5 +5 ή + -5 3 ή -7-3 3- () ν 3- < 0 δηλ. ν < /3 η () είνι δύντη ν 3-0 δηλ. ν /3 η () είνι δύντη ν 3- > 0 δηλ. ν > /3 : () -3 3- ή -3-3+ - (πορρίπτετι) ή 4/5

5 δηµήτρη ποιµενίδη εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος εµφνίζετι στους προνοµστές κλσµάτων τις λέµε ρητές. Γι ν τις λύσουµε πρέπει πρώτ ν βρούµε γι ποιες τιµές του γνώστου έχει νόηµ η νζήτηση λύσεών τους, δηλδή γι ποιες τιµές του γνώστου ορίζοντι τ κλάσµτ. η + 3 (*) ορίζετι γι, τότε (*) - - + 3 -+3-3 -4+40 - η - (*) ορίζετι γι 0 κι, τότε (*) (-)- (-)( -)0 - - (φού είνι ) εκτός πό τον άγνωστο µις εξίσωσης, που στ µθηµτικά συνήθως τον πριστάνουµε µε το, είνι δυντόν στην εξίσωση ν εµφνίζοντι κι άλλες µετβλητές (που τις λέµε πρµέτρους) πό τις τιµές των οποίων εξρτάτι η ύπρξη κι το πλήθος των λύσεων (ριζών) της εξίσωσης όπως θ δούµε στ πρδείγµτ: λ 3 -λ λ+λ λ 3 -λλ +λ (λ 3 -λ)λ +λ λ(λ+)(λ-)λ(λ+) () ν λ(λ+)(λ-) 0 δηλ. ν λ 0 κι λ - κι λ, η () έχει µονδική λύση () λ(λ +) λ(λ +)(λ -) λ - ν λ(λ+)(λ-) 0 δηλ. ν λ0 ή λ- ή λ, η () είνι δύντη ή όριστη () 0λ(λ+) ν λ0: () 00 που ισχύει R (όριστη) ν λ-: () 00 που ισχύει R (όριστη) ν λ: () 0 που είνι δύντη (-β)(β-) -β(β-) -(β-)β (-β+)β () ν -β+ 0 δηλ. ν β +, η () έχει µονδική λύση () β -β + ν -β+ 0 δηλ. ν β+, η () είνι δύντη ή όριστη () 0(+) ν (+) 0 δηλ. ν 0 κι - η () είνι δύντη ν (+)0 δηλ. ν 0 ή - η () ισχύει R (όριστη)

άλγεβρ λυκείου www.sonom.gr 53 η εξίσωση ν (ν Ν) ν > 0 κι ο ν είνι περιττός σύµφων µε τον ορισµό της ν, έχει µονδική θετική ρίζ την ν µη θετική ρίζ ρ δεν έχει γιτί ν ρ 0 είνι ρ ν 0, δηλ. ρ ν, συνεπώς: ν ν ν > 0 κι ο ν είνι άρτιος ν ρ είνι ρίζ της, δηλ. ρ ν τότε φού (-ρ) ν κι ο ρ είνι ρίζ της κι επειδή σύµφων µε τον ορισµό της ν έχει µονδική θετική ρίζ την ν, συµπερίνουµε ότι: ν ν ή - ν ν < 0 κι ο ν είνι άρτιος φού R: ν 0, δηλ. ν, η ν είνι δύντη ν < 0 κι ο ν είνι περιττός ν - ν - (-) ν - - ν -, δηλδή: ν - ν - ς λύσουµε γι πράδειγµ µερικές εξισώσεις 4-40 ( 3 -)0 0 ή 3 0 ή 3 4 6-4 6 - ή 4 6 6 +0 6 - δύντη ( λλιώς: η 6 +0 είνι προφνώς δύντη φού έχει ο µέλος πάντ θετικό) 3 +540 3-7 - 3 7-3 ν ο ν είνι άρτιος, χρησιµοποίησε την τυτότητ: ν -(-)( ν- + ν- + ++) γι ν λύσεις την εξίσωση: ν- + ν- + ++0

54 δηµήτρη ποιµενίδη η εξίσωση ου βθµού: +β+γ0 ( 0) + β + γ 0 β γ + - β β + +( ) β γ - 4 β β - 4γ (+ ) 4 () ν β -4γ < 0 η () είνι δύντη φού: ( ο µέλος) 0 ενώ ( ο µέλος)< 0 ν β β -4γ 0 η () γράφετι ισοδύνµ: (+ ) ( β (+ ) - ( β - 4γ ) 0 β β - 4γ β β - 4γ (+ + )( + - ) 0 β β - 4γ β β - 4γ + + 0 ή + - 0 -β - β - 4γ ή -β + β - 4γ β - 4γ ) ν β β -4γ0 οι λύσεις είνι ίσες, γι υτό τότε λέµε ότι η () έχει µί διπλή λύση, την - (η πράστση β -4γ λέγετι δικρίνουσ της εξίσωσης κι συµβολίζετι µε το γράµµ Δ) στην πράξη τώρ 3 +50 (3+5)0 0 ή -5/3-30 3/ - 3 / ή 3 / η 5 +0 είνι δύντη στο R, φού R: ( ο µέλος) > 0 (όπως φάνηκε στ τρί πρώτ πρδείγµτ ότν β0 ή γ0 δε χρειάζετι ν δουλέψουµε µε τους τύπους!) η +-0 - + έχει Δ -4.. (-)5 - ± 5 συνεπώς:. ή - - 5 5

άλγεβρ λυκείου www.sonom.gr 55 η 3 -+0 έχει Δ(-) -4. 3. -8< 0 συνεπώς είνι δύντη η 5 +0+40 έχει Δ0-4. 5. -0 40 συνεπώς έχει µί (διπλή) ρίζ:. - 5 5 στην περίπτωση που είνι Δ0 (όπως εδώ) µπορούµε ν δουλέψουµε κι λλιώς: 5 +0+40 (5+) 0 (5+)(5+)0 -/5 ή -/5 τότε η (*) (+)(-)[ η -3 6 6 - + (*) ορίζετι γι - κι κι, + - ( )( -) -3 + -3 + + + 6 ( + )( -) 6 ( + )( -) 6( -) ( + )( -)( -) 6 ] (+)(-) ( +)( -) (-)( -3)+66 (-)( -3)+6(-)0 (-)( -3+6)0-3+60 (φού ) που είνι δύντη γιτί έχει Δ-5< 0, άρ η (*) είνι δύντη. -5-60 5± 49-5 -60 ή 6-6 ή 6 - (δύντη) -5 +40 ( ) 5± -5 +40 9 ή 4 6 4-3 +0 ( ) -3 +0 3± - ή ή - ή - ( -) - - 0-0 - 0 0-0 κι 0 - - ή - Σωστό ή Λάθος;

56 δηµήτρη ποιµενίδη κι η χρυσή τοµή δηλ. η διίρεση ευθυγράµµου τµήµτος σε µέσο κι άκρο λόγο η χρυσή τοµή του επιτυγχάνετι ότν: - δηλδή ότν: +- 0 - ( 5 -) δηλδή ότν: (φού:, > 0) + 5 οπότε: φ.68033989 5 - - κι: φ - - 0.68033989 φ οι τύποι του Vieta ν, είνι οι ρίζες της εξίσωσης +β+γ0 ( 0) (), τότε: + -β - Δ -β + Δ + -β β - -β - Δ -β + Δ (-β) - ( β 4-4γ ) 4γ 4 γ οπότε ν θέσουµε + S κι P έχουµε: S β γ - κι P κι φού: () + β + γ 0 S+P0 () (δηλ. οι ρίζες της () είνι οι ρίζες της ()) µπορούµε: γνωρίζοντς το άθροισµ S κι το γινόµενο P δύο ριθµών ν σχηµτίσουµε την εξίσωση () της οποίς υτοί είνι ρίζες γνωρίζοντς το άθροισµ S κι το γινόµενο P δύο ριθµών ν τους βρούµε είτε λύνοντς την () είτε µε δοκιµές (φού η () δεν µπορεί ν έχει άλλες ρίζες) βλέποντς την () ν δούµε το άθροισµ S κι το γινόµενο P των ριζών της γι πράδειγµ: ν +y-β κι y-β οι,y είνι οι ρίζες της w (-β)w-β0 ( * ) (ν υτή έχει ρίζες!) ν +y-β κι y-β βρίσκουµε, «µε το µάτι» ή λύνοντς την ( * ), ότι:, y-β (ή y, -β) η εξίσωση 3 0 0+30, έχει S κι P συνεπώς έχει ρίζες:, 3 3 η εξίσωση 96+9600, έχει προφνή ρίζ το κι P960 συνεπώς έχει ρίζες:,960 η εξίσωση 3+30, έχει S3 κι P3 λλά δεν έχει ρίζες! (φού έχει Δ9-< 0)

άλγεβρ λυκείου www.sonom.gr 57. Ν λύσεις τις κόλουθες εξισώσεις: i. 3(-)-5(-)(3-4)+7 ii. 5(-) (-)(+)+4(- )0 iii. - 8 + 3 - - + 3 5-5 4 5 - - 6 5 - - 7 iv. - + 4. Ν λύσεις τις κόλουθες εξισώσεις: i. λ (-)+(λ+) 0 ii. λ (-)+λµµ (+) (λ,µ R). 3. Λύσε την εξίσωση: - - + 45 45 + 453 + + + 454 455 + 3 + 456 4. Μπορείς ν βρεις έν διψήφιο ριθµό µε άθροισµ ψηφίων, ο οποίος ν είνι κτά 6 µεγλύτερος πό τον ριθµό που προκύπτει ν ενλλάξουµε τ ψηφί του;. 5. Πέρυσι η ηλικί της Ειρήνης ήτν τριπλάσι πό την ηλικί της µητέρς της η οποί τη γέννησε στ 4. Ποι είνι η ηλικί της Ειρήνης; 6. Πόσ κιλά κράµτος σηµιού περιεκτικότητς 95% κ.β. πρέπει ν νµείξουµε µε 5 κιλά κράµτος σηµιού περιεκτικότητς 80% κ.β. γι ν πάρουµε κράµ σηµιού µε περιεκτικότητ 90% κ.β.; 7. Δύο εργάτες τελείωσν έν έργο δουλεύοντς µέρες ο πρώτος κι 5 µέρες o δεύτερος. Το µεροκάµτο του πρώτου ήτν µικρότερο πό το µεροκάµτο του δευτέρου. Αν η συνολική τους µοιβή ήτν 35, βρες το µεροκάµτο του κάθε εργάτη. 8. Το προηγούµενο έτος η µετοχή Α προυσίσε κέρδη 5% ενώ η µετοχή Β ζηµίες 5%. Εφέτος ένς επενδυτής ποκόµισε πό τις δύο υτές µετοχές ετήσιο κέρδος 000, έχοντς επενδύσει κεφάλιο 50000. Τι κεφάλιο επένδυσε σε κάθε µί; 9. Ο Χρήστος γι ν µζέψει τις ελιές του µπρµπa-αυγουστή, χρειάζετι 5 ηµέρες περισσότερες πό όσες χρειάζετι ο Αρτάν. Δουλεύοντς κι οι δυο µζί µζεύουν τις ελιές σε 6 ηµέρες. Σε πόσες ηµέρες µζεύει τις ελιές ο Αρτάν κι σε πόσες ο Χρήστος; 0. Ν λύσεις τις κόλουθες εξισώσεις: i. 5 - -0 ii. +3-3 - 0 iii. + 7 6+5 0 - -3 iv. + 0 3 5 3 - - v. + + 0 3 + + - vi. - 3 5

58 δηµήτρη ποιµενίδη. Ν λύσεις τις κόλουθες εξισώσεις: i. 7 +0 ii. 6 6 3 iii. 5 +3 0 iv. 0 7 +5 3 0. Ν λύσεις τις κόλουθες εξισώσεις: i. 3 5 ii. 4 30 iii. 3 +70 iv. w 3w+50 v. 4s +4s+0 vi. 0 7-30 vii. d +d -40 viii. (+)440 i. λ+λ µ0 3. Ν βρεις το πλήθος των ριζών των κολούθων εξισώσεων: i. -λ-0 ii. -β+β 0 iii. -++ β 0 ( 0) 4. Ν βρεις τις τιµές του θετικού πργµτικού ριθµού κ γι τις οποίες έχει ρίζες η εξίσωση κ κ +0. 5. Ν βρεις τον πργµτικό ριθµό λ ώστε η εξίσωση (λ-) -(λ-) -0 ν έχει δύο ίσες ρίζες. 6. Γι ν στµτήσει έν υτοκίνητο που κινείτι µε στθερή τχύτητ 0 Km/h σε µι ευθεί οδό χρειάζετι 3m πό το σηµείο που ο οδηγός πάτησε το φρένο. Πόση ώρ χρειάζετι γι ν κινητοποιηθεί το υτοκίνητο; 7. i. Πίνοντς τ τσιπουράκι τους µι πρέ µθηµτικών τσουγκρίζουν νά δύο τ ποτήρι τους κι κούγοντι 0 τσουγκρίσµτ. Πόσοι ήτν οι µθηµτικοί; ii. Ο πλέον νηφάλιος π υτούς κτάφερε ν βρει πόσες πλευρές έχει το κυρτό πολύγωνο που έχει 0 διγώνιες. Μπορείς κι εσύ; 8. Μπορείς ν βρεις τον διψήφιο που έχει δεκάδες τρεις λιγότερες πό τις µονάδες του κι ισούτι µε τον διπλάσιο του γινοµένου των ψηφίων του; 9. Ένς ποδηλάτης δινύει 60km, ξεκουράζετι κι επιστρέφει µε µέση τχύτητ 5km/h µικρότερη πό τη µέση τχύτητ µετάβσης ποδηλτώντς µί ώρ πρπάνω πό όσο στη µετάβση. Μπορείς ν βρεις τον χρόνο κι την τχύτητ µετάβσης; 0. Ν λύσεις τις κόλουθες εξισώσεις: i. 4-3 -40 ii. 4 + +0 iii. 6 4 0 iv. 6 3 60 v. +3 +40 vi. +5-60 3 3 vii. + - 0 0 viii. - 3 i. - + 0. ( - ) - 7( - ) + 6 0 i. + 5 ii. + - 4( + ) -3 0