Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι
Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Θεωρία γράφων Εύκολο Πρόβληµα Αποδοτικοί Αλγόριθµοι ύσκολο Πρόβληµα Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι
Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Θεωρία γράφων Εύκολο Πρόβληµα Αποδοτικοί Αλγόριθµοι ύσκολο Πρόβληµα Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Αλγοριθµική Επιχειρησιακή Ερευνα...
Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Θεωρία γράφων Εύκολο Πρόβληµα Αποδοτικοί Αλγόριθµοι ύσκολο Πρόβληµα Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Αλγοριθµική Επιχειρησιακή Ερευνα... Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Προσεγγιστικοί Αλγόριθµοι
Κλάσεις Πολυπλοκότητας Πρόβληµα Πλανόδιου Πωλητή NP-hard NP-complete NP Ισοµορφισµός Γράφων Ελάχιστο ένδρο Επικάλυψης P
Αλγοριθµική Επιχειρησιακή Ερευνα Φυσικό πρόβληµα Αρχική διατύπωση Μοντελοποίηση {αυστηρή περιγραφή µε µαθηµατική γλώσσα του προβλήµατος} Επιλογή και ανάπτυξη µεθόδου επίλυσης µοντέλου if Μοντέλο είναι επιτυχές then Υλοποίηση της λύσης else Επανεκτίµηση µοντελοποίησης και µεθόδου επίλυσης {Βήµατα 2 και 3} end if
Βασικές Εννοιες Βασικές Εννοιες Μαθηµατικό µοντέλο Προσοµοίωση
Βασικές Εννοιες Βασικές Εννοιες Μαθηµατικό µοντέλο Προσοµοίωση
Βασικές Εννοιες Βασικές Εννοιες Μαθηµατικό µοντέλο Προσοµοίωση Μαθηµατικό Μοντέλο Μεταβλητές απόφασης (Decision Variables) Περιορισµοί (Constraints) Αντικειµενική Συνάρτηση (Objective Function)
Μαθηµατικό µοντέλο - Γενική µορφή opt (max or min) f(x 1, x 2,..., x n ) s.t H i (x 1, x 2,..., x n ) = 0, i = 1,..., m G j (x 1, x 2,..., x n ) 0, j = 1,..., k (x 1, x 2,..., x n ) =?
Παραδείγµατα Πρόβληµα αναθέσεων Σύνολο υπαλλήλων Σύνολο εργασιών Κάθε υπάλληλος το πολύ a i εργασίες Κάθε εργασία τουλάχιστον b j υπαλλήλους
Παραδείγµατα Πρόβληµα αναθέσεων Σύνολο υπαλλήλων Σύνολο εργασιών Κάθε υπάλληλος το πολύ a i εργασίες Κάθε εργασία τουλάχιστον b j υπαλλήλους Λύση Ανάθεση σε κάθε υπάλληλο ενα αριθµό εργασιών χωρίς να παραβιάζονται οι περιορισµοί
Παραδείγµατα Πρόβληµα αναθέσεων Σύνολο υπαλλήλων Σύνολο εργασιών Κάθε υπάλληλος το πολύ a i εργασίες Κάθε εργασία τουλάχιστον b j υπαλλήλους Λύση Ανάθεση σε κάθε υπάλληλο ενα αριθµό εργασιών χωρίς να παραβιάζονται οι περιορισµοί Βέλτιστη Λύση Μια λύση µε ελάχιστο κόστος
Παραδείγµατα Σύνδεση τερµατικών-υπολογιστών Σύνολο m Τερµατικών που ϑέλουν να συνδεθούν στο δίκτυο Σύνολο n Υπολογιστών του δικτύου Κάθε Τερµατικό ϑέλει να συνδεθεί τουλάχιστον µε a i υπολογιστές Κάθε Υπολογιστής µπορεί να εξυπηρετήσει το πολύ b j τερµατικά Η σύνδεση τερµατικού T i µε υπολογιστή Y j έχει κόστος c ij
Παραδείγµατα Σύνδεση τερµατικών-υπολογιστών Σύνολο m Τερµατικών που ϑέλουν να συνδεθούν στο δίκτυο Σύνολο n Υπολογιστών του δικτύου Κάθε Τερµατικό ϑέλει να συνδεθεί τουλάχιστον µε a i υπολογιστές Κάθε Υπολογιστής µπορεί να εξυπηρετήσει το πολύ b j τερµατικά Η σύνδεση τερµατικού T i µε υπολογιστή Y j έχει κόστος c ij Μεταβλητές { απόφασης 1 Αν συνδεθεί το τερµατικό ti µε τον υπολογιστή y x ij = j 0 ιαφορετικά Περιορισµοί x i1 + x i2 + + x im a i, i = 1,..., m x 1j + x 2j + + x mj b j, j = 1,..., n Αντικειµενική συνάρτηση m n min z = c ij x ij i=1 j=1
Σύνδεση τερµατικών-υπολογιστών T 1 Y 1 T 2. T i a i. T m b j Y 2. Y j. Y n Επίλυση µε τεχνικές Θεωρίας Γράφων
Οικογένειες µοντέλων Γραµµικού προγραµµατισµού (Linear Programming)
Οικογένειες µοντέλων Γραµµικού προγραµµατισµού (Linear Programming) Μη Γραµµικού προγραµµατισµού (Non Linear Programming)
Οικογένειες µοντέλων Γραµµικού προγραµµατισµού (Linear Programming) Μη Γραµµικού προγραµµατισµού (Non Linear Programming) Τετραγωνικού προγραµµατισµού (Quadratic Programming)
Γραµµικός προγραµµατισµός max z = 100x 1 +150x 2 +200x 3 +400x 4 s.t. 2x 1 +4x 2 +8x 3 +10x 4 150 10x 1 +12x 2 +25x 3 +20x 4 1000 x i 0 { Z Ακέραιος Γραµµικός Προγραµµατισµός x i R Γραµµικός Προγραµµατισµός
Μη Γραµµικός Προγραµµατισµός min f(x, y) = n [(x x i ) 2 + (y y j ) 2 ] 1 2 i=1 s.t. (x 1) 2 + (y 3) 2 0.5 2 y + 2x 4 x, y: µεταβλητές απόφασης
Τετραγωνικός Προγραµµατισµός max q(x) = r t x µx t Ax n s.t. x i = 1, i = 1,..., n i=1 x i 0, i = 1,..., n x = x 1.. x n, µ ένας συντελεστής ϐαρύτητας και A ένας τετραγωνικός πίνακας n n (ϐέλτιστη διαχείριση χαρτοφυλακίων Markowitz, ϐραβείο Νόµπελ οικονοµίας 1990).
Παράδειγµα Υπογραφής Συµβολαίων Εταιρία
Παράδειγµα Υπογραφής Συµβολαίων Εταιρία ιαθέσιµοι πόροι 30 µηχανικοί 24 τεχνικοί 18 ώρες τη µέρα λειτουργίας
Παράδειγµα Υπογραφής Συµβολαίων Εταιρία ιαθέσιµοι πόροι 30 µηχανικοί 24 τεχνικοί 18 ώρες τη µέρα λειτουργίας Συµβόλαια 1 5 µηχανικούς, 2 τεχνικούς, 1 ώρα λειτουργίας την ηµέρα, κέρδος 8 χιλίαδες ευρώ 2 3 µηχανικούς, 3 τεχνικούς, 3 ώρες λειτουργίας την ηµέρα, κέρδος 6 χιλίαδες ευρώ
Παράδειγµα Υπογραφής Συµβολαίων Εταιρία ιαθέσιµοι πόροι 30 µηχανικοί 24 τεχνικοί 18 ώρες τη µέρα λειτουργίας Συµβόλαια 1 5 µηχανικούς, 2 τεχνικούς, 1 ώρα λειτουργίας την ηµέρα, κέρδος 8 χιλίαδες ευρώ 2 3 µηχανικούς, 3 τεχνικούς, 3 ώρες λειτουργίας την ηµέρα, κέρδος 6 χιλίαδες ευρώ Βέλτιστο πλάνο παραγωγής Ανάλυση (διαταραχή)
Παράδειγµα Υπογραφής Συµβολαίων Ποσοτικοποίηση στόχου
Παράδειγµα Υπογραφής Συµβολαίων Ποσοτικοποίηση στόχου Περιγραφή περιορισµών Μεταβλητές Περιορισµοί δραστηριοτήτων Συνάρτηση κόστους
Παράδειγµα Υπογραφής Συµβολαίων Ποσοτικοποίηση στόχου Περιγραφή περιορισµών Μεταβλητές Περιορισµοί δραστηριοτήτων Συνάρτηση κόστους } ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ!
Παράδειγµα Υπογραφής Συµβολαίων x 1 = Αριθµός Συµβολαίων 1 x 2 = Αριθµός Συµβολαίων 2 x 1, x 2 N, (x 1, x 2 R + ) max f(x) = 8x 1 +6x 2 s.t. 2x 1 +3x 2 24 5x 1 +3x 2 30 x 1 +3x 2 18 x i 0
Παράδειγµα Παραγωγής Εργοστάσιο
Παράδειγµα Παραγωγής Εργοστάσιο Πρώτες ύλες Ποσότητα M 1 = 18 Ποσότητα M 2 = 8 Ποσότητα M 3 = 14
Παράδειγµα Παραγωγής Εργοστάσιο Πρώτες ύλες Ποσότητα M 1 = 18 Ποσότητα M 2 = 8 Ποσότητα M 3 = 14 Προϊόντα 1 P 1 : απαίτηση 1M 1, 1M 2, 2M 3, κέρδος c 1 2 P 2 : απαίτηση 3M 1, 1M 2, 1M 3, κέρδος c 2
Παράδειγµα Παραγωγής Εργοστάσιο Πρώτες ύλες Ποσότητα M 1 = 18 Ποσότητα M 2 = 8 Ποσότητα M 3 = 14 Προϊόντα 1 P 1 : απαίτηση 1M 1, 1M 2, 2M 3, κέρδος c 1 2 P 2 : απαίτηση 3M 1, 1M 2, 1M 3, κέρδος c 2 Ικανοποίηση διαθέσιµων πρώτων υλών και µέγιστο κέρδος
Παράδειγµα Παραγωγής x 1 = Ποσότητα P 1 M 1 (x 1 ) = x 1, M 2 (x 1 ) = x 1, M 3 (x 1 ) = 2x 1 x 2 = Ποσότητα P 2 M 1 (x 2 ) = 3x 2, M 2 (x 2 ) = x 2, M 3 (x 2 ) = x 2 max f(x) = c 1 x 1 +c 2 x 2 s.t. x 1 +3x 2 18 x 1 +x 2 8 2x 1 +x 2 14 x i 0