Νικόλαος. Ατρέας. Aριθµητική Ανάλυση Α.Π.Θ. Τµήµα πληροφορικής Α.Π.Θ.

Νικόλαος. Ατρέας Aριθµητική Ανάλυση Α.Π.Θ. Τµήµα πληροφορικής Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη 007

Περιεχόµενα Εισαγωγή. σελ. 4 Κεφάλαιο : Αριθµητική πεπερασµένης ακρίβειας. Σφάλµατα. σελ. 6.. Αναπαράσταση αριθµών σε οποιαδήποτε βάση... Αριθµοί µηχανής..3. Ιδιότητες αριθµών µηχανής..4. Σφάλµατα στρογγύλευσης και αποκοπής..5. ιαδιδόµενα σφάλµατα σε αριθµητικούς υπολογισµούς..6. Ευστάθεια αλγορίθµων. Λυµένες και άλυτες ασκήσεις. Κεφάλαιο : Μη γραµµικές εξισώσεις. σελ. 7.. Η µέθοδος διχοτόµησης... Επαναληπτικές µέθοδοι. Η µέθοδος Newto-Raphso..3. Mέθοδος τέµνουσας. Ασκήσεις. Κεφάλαιο 3: Αριθµητική επίλυση γραµµικών συστηµάτων. σελ. 47 3.. Ο αλγόριθµος Gauss. 3.. είκτης κατάστασης πίνακα. 3.3. Επαναληπτικές µέθοδοι επίλυσης γραµµικών συστηµάτων (αλγόριθµοι Jacobi και Gauss-Seidel). Aσκήσεις. Κεφάλαιο 4: Αριθµητικές µέθοδοι εύρεσης πραγµατικών ιδιοτιµών. σελ. 69 4.. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί. Ιδιοτιµές. Ιδιοδιανύσµατα. 4.. Αριθµητική εύρεση της απόλυτα µεγαλύτερης ιδιοτιµής. Κεφάλαιο 5: Παρεµβολή. σελ. 77 5.. Πολυωνυµική παρεµβολή.

5.. Κατασκευή πολυωνύµων παρεµβολής (πολυώνυµα Lagrage και Newto). 5.3. Παρεµβολή Hermitte. 5.4. Splies. Aσκήσεις. Κεφάλαιο 6: Ελάχιστα τετράγωνα. σελ. 9 6.. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδιους χώρους. 6.. Πολυώνυµα ελαχίστων τετραγώνων. Aσκήσεις. Κεφάλαιο 7: Προσεγγιστική ολοκλήρωση. σελ. 97 7.. Μέθοδος τραπεζίου. 7.. Μέθοδος Simpso. 7.3. Mέθοδος Romberg. Aσκήσεις. Κεφάλαιο 8: Αριθµητικές µέθοδοι επίλυσης συνήθων διαφορικών εξισώσεων. σελ. 07 8. Μέθοδος Euler. 8. Μέθοδος Ruge-Kutta. 3

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ανάπτυξη πολύπλοκων υπολογιστικών συστηµάτων, έκανε επιτακτική την ανάγκη οργάνωσης αριθµητικών µεθόδων, για την επίλυση πολύπλοκων προβληµάτων επιστηµονικών εφαρµογών. Για την επίλυση ενός πολύπλοκου προβλήµατος ακολουθούµε τα παρακάτω βήµατα: ΦΥΣΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ (χαρακτηρίζεται συνήθως από ένα µεγάλο πλήθος εξισώσεων και αγνώστων, που καθιστούν την ακριβή επίλυση του προβλήµατος πρακτικά αδύνατη, λόγω του τεράστιου όγκου πράξεων που απαιτούνται.) ΜΕΛΕΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ (Μελέτη δείκτη κατάστασης προβλήµατος (βλέπε.6)) ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ ΥΠΟΛ. ΜΟΝΤΕΛΟΥ (χαρακτηρίζεται συνήθως από ένα πεπερασµένο πλήθος πράξεων και βηµάτων, που καθιστά εφικτή µία λύση του προβλήµατος κατά προσέγγιση). ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ (πεπερασµένος αριθµός στοιχειωδών πράξεων, που κάποιος που δε γνωρίζει καθόλου το πρόβληµα να µπορεί να τις εκτελέσει, π.χ. ο Η.Υ.). ΜΕΛΕΤΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΩΝ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 4

(Καθορισµός ακρίβειας και ανοχής, µελέτη ευστάθειας αλγορίθµου, επίδραση σφαλµάτων στρογγύλευσης και αποκοπής στους υπολογισµούς). ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΛΥΣΗ Η εύρεση µιας προσεγγιστικής λύσης ενός µαθηµατικού µοντέλου (cotiuous Mathematics) µε χρήση ενός Αριθµητικού µοντέλου µέσω της ανάπτυξης κατάλληλου αλγορίθµου, είναι το αντικείµενο της υπολογιστικής (αριθµητικής) ανάλυσης. Ανέκαθεν υπήρξε η ανάγκη πρακτικών µαθηµατικών υπολογισµών. Ένα από τα παλαιότερα µαθηµατικά «κείµενα» είναι η πλάκα των Βαβυλωνίων YBC 789, που δίνει µία αριθµητική προσέγγιση της στο 60-αδικό σύστηµα αρίθµησης. Ετσι λοιπόν, η σύγχρονη αριθµητική ανάλυση δεν ψάχνει ακριβείς απαντήσεις, όταν αυτές δεν είναι δυνατόν να επιτευχθούν, αλλά προσεγγιστικές λύσεις µε µελέτη των σφαλµάτων. Η Αριθµητική Ανάλυση έχει εφαρµογές στις θετικές και φυσικές επιστήµες, όπως στη µηχανική µε την επίλυση διαφορικών εξισώσεων, στη βελτιστοποίηση, στη γραµµική άλγεβρα κλπ. Από τα προαναφερθέντα, φαίνεται ότι το πεδίο της αριθµητικής Ανάλυσης αναπτύχθηκε πολύ πριν την ανακάλυψη των Η/Υ. Η γραµµική παρεµβολή ήδη χρησιµοποιούνταν 000 χρόνια πριν. Μεγάλοι µαθηµατικοί είχαν αναπτύξει µεθόδους της αριθµητικής Ανάλυσης, όπως φαίνεται και από τα ονόµατα σηµαντικών αλγορίθµων, όπως της απαλοιφής Gauss, µεθόδου Euler και Newto κλπ. Είναι όµως σαφές ότι η ανακάλυψη των Η/Υ έδωσε τεράστια ώθηση στην Αριθµητική Ανάλυση, διότι επέτρεψε την υλοποίηση πολύπλοκων υπολογισµών. Από τα παραπάνω, γίνεται σαφές ότι στα υπολογιστικά µαθηµατικά ο στόχος είναι διττός: µας ενδιαφέρει τόσο η εύρεση της προσεγγιστικής λύσης ενός πολύπλοκου προβλήµατος µέσω της ανάπτυξης κατάλληλου αλγορίθµου, όσο και ο υπολογισµός του σφάλµατος ως µέσο εκτίµησης της χρησιµότητας του αριθµητικού µας µοντέλου. 5

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ - ΣΦΑΛΜΑΤΑ. Αναπαράσταση αριθµών σε οποιαδήποτε βάση Ορισµός.. Εστω p=, 3, 4,, N = 0,,, τότε στο p-αδικό σύστηµα αρίθµησης, κάθε ακέραιος αριθµός m τέτοιος ώστε m < p N+ εκφράζεται µονοσήµαντα ως ένα πολυώνυµο µε βάση τον αριθµό p και συντελεστές a {0,,..., p }, i= 0,,..., ως εξής: i m N i =± ai p. (.) i= 0 Η σχέση (.) καλείται p-αδική αναπαράσταση του m και οι συντελεστές a i καλούνται ψηφία του αριθµού m ως προς τη βάση p. Στο εξής για συντοµία, αντί της σχέσης (.) θα γράφουµε: (... ) m= ± a a a. N N 0 p Ορισµός.. Στο p-αδικό σύστηµα αρίθµησης, κάθε πραγµατικός αριθµός x (0,) εκφράζεται ως εξής: x i = ap, (.) i i= όπου ai {0,,..., p }, i=,,... Η σχέση (.) καλείται p-αδική αναπαράσταση του x και οι συντελεστές a i καλούνται ψηφία του αριθµού x ως προς τη βάση p. Στο εξής αντί της σχέσης (.) θα γράφουµε: ( a a ) x=. 0.... p Θεώρηµα.. Kάθε πραγµατικός αριθµός y τέτοιος ώστε y < p N+ εκφράζεται στο p-αδικό σύστηµα αρίθµησης ως εξής: N i y = ± aip =± ( anan... a0. a a... ). (.3) p i= 6

Παρατήρηση Επειδή οι Η/Υ χρησιµοποιούν το δυαδικό ή δεκαεξαδικό σύστηµα αρίθµησης, ενώ τα εισερχόµενα δεδοµένα και τα εξαγόµενα αποτελέσµατα παρουσιάζονται στο δεκαδικό σύστηµα που εµείς αντιλαµβανόµαστε, η µετατροπή ενός αριθµού από ένα σύστηµα αρίθµησης σε άλλο γίνεται εσωτερικά από τον υπολογιστή. Παράδειγµα Να µετατραπεί ο αριθµός (4.73) 0 σε σύστηµα µε βάση το p. Λύση Θα µετατρέψουµε πρώτα τo ακέραιο µέρος του αριθµού και στη συνέχεια το κλασµατικό µέρος. (α) Θέλουµε να υπολογίσουµε τα ψηφία a0, a,..., an {0,..., p } έτσι ώστε: 4 = a + a p+... + a p = a + p( a + a p+... + a p ) = a + p π (4), N N 0 N 0 N 0 0 N- όπου π 0(4)= a + ap +...+ anp. Aπό την παραπάνω σχέση παρατηρούµε ότι και π 0(4) = πηλίκο της διαίρεσης 4/p α 0 = υπόλοιπο της διαίρεσης 4/p. N-(+) Εστω π (4) = a ++ a+p +...+ an p, =,, N-, συνεχίζοντας µε τον ίδιο τρόπο αναδροµικά είναι εύκολο να δει κανείς ότι: και π (4) = πηλίκο της διαίρεσης π - (4)/p α = υπόλοιπο της διαίρεσης π -(4)/p. (β) Θέλουµε να υπολογίσουµε τα ψηφία a, a,..., {0,..., p } έτσι ώστε: 0.73 = a p + a p +... Πολλαπλασιάζουµε και τα δύο µέλη µε p και έχουµε: p 0.73 = a + a p + a p +..., 3 7

άρα αν και - - k -(0.73)= a- p + a-3 p +..., τότε: k -(0.73) = κλασµατικό µέρος του αριθµού (p 0.73) α - = [0.73 p] = ακέραιο µέρος του αριθµού (p 0.73). - - Εστω k (0.73) = a-p + a-p +..., = -, -3,, συνεχίζοντας µε τον ίδιο τρόπο αναδροµικά, είναι εύκολο να δει κανείς ότι: και k (0.73) = κλασµατικό µέρος του αριθµού (p k +(0.73)) k (0.73) p = ακέραιο µέρος του αριθµού ( p k +(0.73)). α = [ ] + Παρατήρηση Kατά τη µετατροπή ενός αριθµού από ένα σύστηµα αρίθµησης σε ένα άλλο, το πλήθος των ψηφίων του κλασµατικού µέρους του µπορεί από πεπερασµένο να γίνει άπειρο ή και αντίστροφα. Παρατήρηση 3 Η µετατροπή ενός αριθµού από ένα p-αδικό σύστηµα αρίθµησης στο δεκαδικό σύστηµα γίνεται άµεσα µε χρήση της σχέσης (.3).. Αριθµοί µηχανής Εφ όσον χρησιµοποιούµε ηλεκτρονικούς υπολογιστές για την επίλυση προβληµάτων αριθµητικής φύσεως, πρέπει να έχουµε έναν τρόπο να αναπαραστήσουµε αριθµούς σε υπολογιστή, διότι ενώ οι αριθµοί µπορεί να είναι άπειροι σε πλήθος ή µέγεθος, ο ηλεκτρονικός υπολογιστής έχει πεπερασµένες δυνατότητες µνήµης. Αυτή λοιπόν η αναπαράσταση, που καλείται αριθµητική πεπερασµένης ακρίβειας επιφέρει σφάλµατα στους υπολογισµούς. Χωρίς περιορισµό της γενικότητας, υποθέτουµε ότι y είναι ένας πραγµατικός αριθµός τέτοιος ώστε p N y < p N+, τότε από τη σχέση (.3) έχουµε: N i= N+ j i ( N+ ) j N+ j i N+ j N+ j i= j= j= y=± a p = ± a p =± p a p 8

Έχουµε λοιπόν: b j= an+ j N+ j N+ j j= ( ) = ± p b p =± p 0. bb..., Ορισµός.. Κάθε µη µηδενικός πραγµατικός αριθµός x είναι δυνατόν να γραφεί στη λεγόµενη κανονική µορφή κινητής υποδιαστολής: p x=± (0. bb...) p, b 0, e όπου e είναι θετικός ακέραιος που καλείται εκθέτης και ± (0. bb...) είναι το µη ακέραιο (δεκαδικό) τµήµα του αριθµού το οποίο καλείται βάση (matissa). Πρακτικά, η κανονική µορφή κινητής υποδιαστολής σηµαίνει ότι η δεκαδική τελεία µετατοπίζεται, έτσι ώστε όλα τα ψηφία του αριθµού να βρίσκονται στα δεξιά της δεκαδικής τελείας και το πρώτο δεκαδικό ψηφίο b να είναι διάφορο του µηδενός. Τα b, b,... είναι όλα ψηφία του p-αδικού συστήµατος αρίθµησης. Για την παράσταση ενός πραγµατικού αριθµού, χρειάζονται συνήθως άπειρα ψηφία (βλέπε (.3)), που δεν είναι δυνατόν να αποθηκευτούν στην πεπερασµένη µνήµη ενός Η/Υ. Εποµένως, προσεγγίζουµε έναν πραγµατικό αριθµό από τους λεγόµενους αριθµούς µηχανής: Oρισµός.. Κάθε αριθµός κινητής υποδιαστολής της µορφής: όπου x e = x p, (i) x = ± (0. bb... b) και το δηλώνει την ακρίβεια, δηλαδή το πλήθος των ψηφίων του κλασµατικού µέρους του αριθµού, (ii) ο εκθέτης e παίρνει τις τιµές e = -c,-c+,,c-,c για κάποιο θετικό ακέραιο c, καλείται αριθµός µηχανής (floatig poit). To σύνολο e { 0. b... b p : 0 bi p, b 0, e c} Α Μ (p,,c) ( ) = ± καλείται σύνολο των αριθµών µηχανής ως προς τις παραµέτρους p,,c. 9

Παρακάτω δίδεται σχηµατικά ο τρόπος αποθήκευσης ενός πραγµατικού αριθµού σε λέξη µε 3 bits. bit (πρόσηµο) Bits -4 (matissa) bits 5-3 Eκθέτης e Παράσταση στη µνήµη πραγµατικού αριθµού σε Η/Υ µε λέξη 3 bits στο δυαδικό σύστηµα αρίθµησης. Το ο bit είναι 0 αν ο αριθµός είναι θετικός και αν είναι αρνητικός. Ακρίβεια = 4, M = 8..3 Ιδιότητες αριθµών µηχανής Πρόταση.3. Αν Απόδειξη Επειδή: x e = x p είναι αριθµός µηχανής, τότε ισχύει: e e. p x p p = (.0...0) x = (. b... b ) (. aa... a) = ( p ) p = p p ψηφια i p p i= p ψηφια, a= p- πολλαπλασιάζοντας µε p e παίρνουµε το ζητούµενο. Πόρισµα.3. Eστω Α Μ (p,,c) το σύνολο των αριθµών µηχανής ως προς τις παραµέτρους p,,c, τότε:, (i) το σύνολο Α Μ (p,,c), αριθµεί (c+) (p-) p - + στοιχεία, (ii) έχει ελάχιστο στοιχείο mi A M c = p και µέγιστο στοιχείο max = M p c A p. Απόδειξη Άµεση συνέπεια της Πρότασης.3. και της ανισότητας e c. Ορισµός.3. Οποιοσδήποτε αριθµός x απολύτως µικρότερος του ελαχίστου στοιχείου του συνόλου των αριθµών µηχανής Α Μ (p,,c), δηλαδή x < c p 0

δεν µπορεί να αποθηκευθεί στη µνήµη και καλείται υποχείλιση (uderflow). Oµοια, οποιοσδήποτε αριθµός x απολύτως µεγαλύτερος του µεγίστου στοιχείου του συνόλου των αριθµών µηχανής Α Μ (p,,c), δηλαδή x > p p c επίσης δεν µπορεί να αποθηκευθεί στη µνήµη και καλείται υπερχείλιση (οverflow). Σηµείωση (Κατανοµή των αριθµών µηχανής) Aπό το Πόρισµα.3. είναι σαφές ότι όλοι οι αριθµοί µηχανής κατανέµονται εντός των διαστηµάτων c c c c I = p, p, I p, p = p p. (.4) Xωρίς περιορισµό της γενικότητας ας θεωρήσουµε το διάστηµα I. Για όλες τις τιµές του εκθέτη e = -c,-c+,,c-,c, είναι φανερό ότι το διάστηµα Ι διαµερίζεται σε c+ υποδιαστήµατα ξένα µεταξύ τους ανά δύο: c c c c c c+ c c p, p p, p p, p... p, p = p p p p Σε κάθε ένα από τα υποδιαστήµατα e e p, p, e= c,..., c. p αντιστοιχούν (p-)p - αριθµοί µηχανής ισοκατανεµηµένοι. Οσο αυξάνεται ο εκθέτης κατά, p-πλασιάζεται το µήκος του επόµενου υποδιαστήµατος, συνεπώς οι αριθµοί µηχανής δεν είναι όλοι µεταξύ τους ισοκατανεµηµένοι. Πιο συγκεκριµένα, είναι πυκνά κατανεµηµένοι πλησίον του µηδενός και αραιά κατανεµηµένoι µακριά του µηδενός. Παράδειγµα Αν p =, = 3, e = -,, να βρεθούν και να παρασταθούν οι αριθµοί µηχανής.

Λύση Προφανώς οι αριθµοί µηχανής έχουν τη µορφή x=± (0. bbb 3) e, όπου b i = 0,, b 0. οθέντος εκθέτη e και λαµβάνοντας υπόψην ότι b = έχουµε: 5 3 7 (0. bb 3) = {(0. 00),(0. 0),(0. 0),(0. ) } =,,, 8 4 8. Αρα το σύνολο των αριθµών µηχανής είναι: e e e e e 5 3 7 x=± (0. bbb 3) =±,,, : e=,...,, 8 4 8 5 3 7 5 3 7 5 3 7 5 3 7 5 7 =±,,,,,,,,,,,,,,,,,,3, 8 3 6 3 4 6 8 6 8 4 8 4 4 Επιπλέον υπάρχει και το µηδέν. Παρατηρούµε ότι δεν υπάρχουν αριθµοί στα διαστήµατα (0, /8) και (-/8, 0). Παρατήρηση 4 Το σύνολο των αριθµών µηχανής Α Μ (p,,c) δεν έχει τις συνήθεις ιδιότητες των πραγµατικών αριθµών π.χ. δεν είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση και τον πολ/σµό. Για παράδειγµα το γινόµενο των ελαχίστων στοιχείων του συνόλου Α Μ (p,,c) δεν είναι στοιχείο του Α Μ (p,,c)..4 Σφάλµατα στρογγύλευσης και αποκοπής Ορισµός.4. Αν x είναι µία προσέγγιση του x, καλούµε σφάλµα την ποσότητα και σχετικό σφάλµα την ποσότητα ex = x x x x ρx =, x 0. x Οι ποσότητες ε x και ρ x καλούνται απόλυτο σφάλµα και απόλυτο σχετικό σφάλµα αντίστοιχα.

Αν λοιπόν υποθέσουµε ότι x= ± (0. bb...) p e, b 0 είναι ένας πραγµατικός αριθµός κινητής υποδιαστολής εντός των διαστηµάτων Ι ή Ι (βλέπε (.4)) και εάν ο µέγιστος αριθµός ψηφίων που µπορούν να αποθηκευτούν στη µνήµη είναι (βλέπε ορισµό..), το ερώτηµα που τίθεται είναι: ποιος ο πλησιέστερος αριθµός µηχανής fl(x) προς τον x; Υπάρχουν δύο τρόποι υπολογισµού του αριθµού fl(x): (α) στρογγύλευση του νιοστού ψηφίου του x προς τα πάνω ή προς τα κάτω (π.χ. ο 3.3456 γίνεται 3.35 µε στρογγύλευση στο ο δεκαδικό ψηφίο ενώ γίνεται 3.3 µε στρογγύλευση στο ο δεκαδικό ψηφίο), (β) αποκοπή όλων των ψηφίων µετά το νιοστό (π.χ. ο 3.345675 γίνεται 3.3456 µε αποκοπή όλων των ψηφίων µετά το 4 ο ). x fl( x) Θεώρηµα.4. Για το σχετικό σφάλµα, x 0, το οποίο x καλείται µοναδιαίο σφάλµα στρογγύλευσης ισχύει: x fl x p x p ( ), για στρογγυλευση, για αποκοπη. Aπόδειξη (a) Eστω ότι ο x δεν είναι αριθµός µηχανής και ο fl(x) υπολογίζεται µε στρογγύλευση. Έστω x, x οι πλησιέστεροι προς τον x αριθµοί µηχανής έτσι ώστε x < x< x, τότε x fl( x) x x. x x k Αν λοιπόν x = ( 0. b... b b...) p, c k c, τότε ( 0.... ) + k = και x b b p k k εφόσον x, x p, p, όπου οι αριθµοί µηχανής είναι p ισοκατανεµηµένοι (βλέπε σηµείωση ), έχουµε. k k x x = x x p = p 3

k k Εφόσον x p, p, δηλαδή x p k-,έχουµε p x fl( x) x x p x x p k = p. k (β) Eστω ότι ο x δεν είναι αριθµός µηχανής και ο fl(x) υπολογίζεται µε αποκοπή, τότε: x fl( x) x x k p x x p = p. k Σηµαντικά ψηφία ενός δεκαδικού αριθµού είναι όλα τα ψηφία του αριθµού που βρίσκονται δεξιά του ου µη µηδενικού ψηφίου (συµπεριλαµβανοµένου και αυτού). Ορισµός.4. Το σφάλµα που προκύπτει όταν χρησιµοποιούµε πεπερασµένο πλήθος βηµάτων, αντί απείρου πλήθους βηµάτων που απαιτείται για την επίτευξη ακριβούς αποτελέσµατος καλείται σφάλµα αποκοπής (trucatio error). Παράδειγµα 3 Oταν η ποσότητα S υπολογισµό του αριθµού π 6 k k = N N = χρησιµοποιείται για τον k k = =, τότε έχουµε ένα σφάλµα αποκοπής όλων των όρων της σειράς µετά τον νιοστό όρο. Τέτοια σφάλµατα εµφανίζονται πολύ συχνά σε αριθµητικούς υπολογισµούς ορισµένων ολοκληρωµάτων, σειρών κλπ..5 ιαδιδόµενα σφάλµατα σε αριθµητικούς υπολογισµούς Στο εξής θα δεχθούµε ότι οι πράξεις στον υπολογιστή γίνονται µε βάση τον ακόλουθο κανόνα, που αποτελεί αρκετά ρεαλιστικό µοντέλο του πραγµατικού µηχανισµού των πράξεων στο Η/Υ: Aν µε συµβολίσουµε οποιαδήποτε από τις γνωστές πράξεις της αριθµητικής και αν x, y είναι πραγµατικοί αριθµοί που µπορούν να 4

παρασταθούν κατά προσέγγιση από αριθµούς µηχανής, θα θεωρούµε ότι το αποτέλεσµα της πράξης x y στον υπολογιστή, είναι ο αριθµός ( ( ) ( )) x y= fl fl x fl y. Υποθέτουµε δηλαδή, ότι πρώτα γίνεται η παράσταση των x, y σε αριθµούς µηχανής fl( x), fly, ( ) έπειτα γίνεται η πράξη fl( x) fly ( ) µε άπειρη ακρίβεια (στην πράξη µε ακρίβεια ψηφίων κλάσµατος) και το αποτέλεσµα της πράξης αυτής προσεγγίζεται από έναν αριθµό µηχανής. Έστω: x= fl( x) + ε, y = fl( y) + ε, fl( x) fl( y) = fl ( fl( x) fl( y) ) + ε fl( x) fl( y), x y (βλέπε ορισµό.4.), τότε µε προσθαφαίρεση του ιδίου όρου, το σφάλµα ( ) ε = x y - x y= ( x y flx ( ) fly ( )) + flx ( ) fly ( ) fl( flx ( ) fly ( )) = ε + ε. (.5) x y fl( x) fl( y) O oς όρος στο δεξιό µέλος της (.5) είναι το διαδιδόµενο σφάλµα και ο ος όρος είναι το σφάλµα στρογγύλευσης κατά τον υπολογισµό της ποσότητας fl( x) fly ( ). Υποθέτοντας ότι το σφάλµα στρογγύλευσης είναι µικρό (βλέπε πρόταση.4.), θα µελετήσουµε το διαδιδόµενο σφάλµα. Πρόταση.5. Η µέγιστη τιµή του απολύτου σφάλµατος του αθροίσµατος ή της διαφοράς δύο αριθµών, ισούται µε το άθροισµα των απολύτων σφαλµάτων των αριθµών αυτών. Απόδειξη Έστω x x ε x, y y εy, x y x y ε x ± y ε ( x y) ( x y) ( x x) ( y y) ε ε άρα ε ± ε + ε. = + = + ± = ± +, τότε: x y x y ± = ± ± = ± = ±, x y x y Πρόταση.5. ε x y x εy + y εx y ε x x ε y ε και. y x/ y 5

Απόδειξη ε xy xy xy ( x ε ) ( y ε ) xε yε ε ε = = = +. x y x y y x y x Λαµβάνοντας υπόψη ότι ο όρος ε yε x είναι µικρός, παίρνουµε το ζητούµενο. Όµοια: ε x/ y x x x x ε y ε x x x ε y = = = y y y y ε y( y ε ) y y. Λαµβάνοντας υπόψη ότι ο όρος ε y είναι µικρός παίρνουµε το ζητούµενο. Aπό την Πρόταση.5. συµπεραίνουµε, ότι µεγάλες τιµές του x και y ενδέχεται να αυξήσουν το σφάλµα γινοµένου, ενώ µικρές τιµές του διαιρέτη y και µεγάλες τιµές του διαιρετέου x ενδέχεται να αυξήσουν το σφάλµα της διαίρεσης. Τέτοιου είδους καταστάσεις θα πρέπει να αποφεύγονται, µε αναδιάταξη υπολογισµών. Πόρισµα.5. Η µέγιστη τιµή του απόλυτου σχετικού σφάλµατος του γινοµένου ή του πηλίκου δύο αριθµών, ισούται κατά προσέγγιση µε το άθροισµα των απολύτων σχετικών σφαλµάτων των αριθµών αυτών. Απόδειξη Από την πρόταση.5. και τον ορισµό.4. του σχετικού σφάλµατος έχουµε: ε xy x εy+ y εx εy εx ρx y = = = ρy + ρx ρx ρy. xy xy Mε την προϋπόθεση ότι ρ, ρ <<, έχουµε ρ ρ + ρ, ή ρ ρ + ρ. Όµοια για το πηλίκο έχουµε: x y y x y x x y y x ρ x/ y y ε x ε x ε x / y yy ( εy) yεx xεy = = = x/ y x/ y x( y ε ) y y. Mε την προϋπόθεση ότι ρ y <<, δηλαδή ε y << y, έχουµε y ε x ε y ε x ε ρ = = ρ ρ, x y x y x / y x y xy ( ε y) xy 6

ή ρx / y ρy ρx +. Τέλος παρατηρούµε ότι εx± y εx± εy x y ρx± y = = ρx ± ρy x± y x ± y x ± y x ± y. Η παραπάνω σχέση δηλώνει ότι θα πρέπει να αποφεύγεται η πρόσθεση ενός πολύ µεγάλου και ενός πολύ µικρού αριθµού ή η αφαίρεση δύο περίπου ίσων αριθµών. Παράδειγµα 4 (Μελέτη σφαλµάτων στον υπολογισµό αθροισµάτων) Εστω ότι θέλουµε να υπολογίσουµε το άθροισµα S N = x, όπου k x k k= είναι αριθµοί κινητής υποδιαστολής που έχουν ήδη αποθηκευτεί στη µνήµη. Προσθέτουµε λοιπόν τους πρώτους, στο αποτέλεσµα προσθέτουµε τον 3 ο κλπ, άρα: S = fl( x + x ) και επειδή από τον ορισµό.4. προκύπτει ο τύπος: έχουµε: x= x( ρ x ), S = fl( x + x ) = ( x + x )( ρ ) = ( x + x ) ( x + x ) ρ. (.6) x + x x + x όπου ρ x x p + (βλέπε Θεώρηµα.4.). Συνεχίζοντας έχουµε: S = fl( S + x ) 3 3 = ( + )( ), S x3 ρ S + x 3 όπου ρ S x p 3 σχέση (.6), παίρνουµε: + και αντικαθιστώντας την τιµή της S από τη S 3 = (( x + x ) ( x + x ) ρ + x )( ρ ) x + x 3 S + x 3 = ( x + x + x ) ( x + x ) ρ ( x + x + x ) ρ 3 x + x 3 S + x 3 7

+ ( x+ x) ρx + x ρs + x 3 ( x + x + x ) ( x + x ) ρ ( x + x + x ) ρ, 3 x + x 3 S + x 3 αγνοώντας ως αµελητέο τον τελευταίο όρο. Αναγωγικά υπολογίζουµε: N ( ) ρ ( ) + 3 ρ +... (... ) 3 N S x x + x x + x + x ή N k x x S x k= x + + xn ρs, + x ( )( ρ +... ρ + ) 3( ρ +... ρ + ) S S x + x + + x + + N x x S x S x S x άρα: ( ) N N 3 N N x4 ρs + x +... + ρs + x... xnρs + x, 3 4 N N N N ( )( ρ + ρ + ) 3 ( ρ + ρ + ) S S x + x +... + + x +... + N x x SN xn S x3 SN xn 4 ( ) + x ρ +... + ρ +... + x ρ. S + x S + x N S + x 3 4 N N N N Παρατηρούµε ότι για να ελαχιστοποιηθεί το απόλυτο σφάλµα SN S, πρέπει εκ των προτέρων οι όροι του αθροίσµατος να διαταχθούν έτσι ώστε.... x x x N N.6 Eυστάθεια αλγορίθµων Ενας αλγόριθµος που είναι ευαίσθητος σε σφάλµατα στρογγύλευσης, δηλαδή όταν µικρά σφάλµατα επιφέρουν µεγάλες αλλαγές στα τελικά αποτελέσµατα, καλείται ασταθής, διαφορετικά καλείται ευσταθής. Θα λέµε επίσης ότι ένα πρόβληµα είναι σε καλή κατάσταση, όταν µικρές µεταβολές των δεδοµένων προκαλούν µικρές µεταβολές στα 8

αποτελέσµατα, διαφορετικά θα λέµε ότι το πρόβληµα είναι σε κακή κατάσταση. Ο δείκτης κατάστασης ενός προβλήµατος ορίζεται ως εξής: K p aπολυτο σχετικο σφαλµα αποτελεσµατων =. aπολυτο σχετικο σφαλµα δεδοµενων Παράδειγµα 5 H λύση της πολυωνυµικής εξίσωσης (x-) 6 = 0 είναι προφανώς η x = πολλαπλότητας 6. Μεταβάλλοντας όµως ελάχιστα το σταθερό συντελεστή του πολυωνύµου, π.χ. αντικαθιστώντας το 0 µε το 0-6 παίρνουµε την εξίσωση (x-) 6 = 0-6 η οποία έχει τις (µιγαδικές) ρίζες πik /6 xk = + e, k = 0,...,5. 0 ηλαδή µία µικρή διαταραχή στα δεδοµένα του προβλήµατος, επιφέρει µία αρκετά µεγάλη διαταραχή στη λύση, αφού xk =. Το 0 πρόβληµά µας είναι δηλαδή σε κακή κατάσταση. Είναι προφανές ότι όταν ένα πρόβληµα είναι σε κακή κατάσταση, τότε κάθε µέθοδος για την επίλυσή του είναι ασταθής, λόγω της παρουσίας σφαλµάτων στρογγύλευσης. k π Παράδειγµα 6 Εστω y = εφ, k =,... k k. (α) Ν Ο η ακολουθία y k παράγεται από την αναδροµική σχέση: y k+ 4, k = = k + ( y ) k k+ > yk (β) Aν κάνουµε τις πράξεις µε αριθµητική κινητής υποδιαστολής, παρατηρούµε ότι ο αλγόριθµος είναι ασταθής. Εξηγήστε την αιτία της αστάθειας και βρείτε έναν ευσταθή αλγόριθµο για τον υπολογισµό των τιµών της ακολουθίας y k. k. Λύση: (α) Επειδή lim x εφ ( ax) a 0 =, έχουµε ότι lim k k x y = π. 9

π π ηµ ηµ k k k π + + + k+ k+ k+ = εφ k+ = = π π π συν ηµ συν k+ k+ k+ y π συν k π π π συν k συν k συν k k+ k+ k+ = = = π π y ηµ εφ k k k π π συν k + εφ k k ( ) k k y + + + k+ k = = =. y y y k k k k (β) Προφανώς επειδή yk 0, k στον αριθµητή της αναδροµικής σχέσης έχουµε αφαίρεση σχεδόν ίσων αριθµών, που καλό είναι να αποφεύγεται σε αριθµητική πεπερασµένης ακρίβειας. Για να αποφύγουµε λοιπόν ενδεχόµενη καταστροφή σηµαντικών ψηφίων, πολ/ζουµε και διαιρούµε µε τη συζυγή παράσταση: y k+ k k k ( y ) ( yk) ( yk) k + = = y k+ k+ y k+ k + + + k yk + ( yk) + k ( yk ) yk k k + ( yk) + ( yk ) = = yk k+. + + 0

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ύπάρχουν αριθµοί µηχανής που ικανοποιούν την εξίσωση x+ = x; Προσδιορίστε µία καλή προσέγγιση του µεγαλύτερου αριθµού x τέτοιου ώστε si(x) = x. e Λύση Εστω x = (0. b... b) p p αριθµός µηχανής, τότε για να µην είναι ο x + αριθµός µηχανής θα πρέπει x x > όπου x ο πλησιέστερος του x αριθµός µηχανής. Εφόσον x = (0. b... b + p ) p = x+ p e e p θα πρέπει να ισχύει x x >, δηλαδή log e e p p > p > p e> + log, p Για όλους λοιπόν τους αριθµούς µηχανής e x = (0. b... b ) p : e +log p + p έχουµε ότι ο x + δεν είναι αριθµός µηχανής και fl(x+) = x. (β) Eπειδή η µοναδική ρίζα της εξίσωσης si(x) = x είναι η τιµή x = 0, ο πλησιέστερος αριθµός µηχανής είναι ο p -c- (βλέπε σηµείωση ).. Βρείτε κατάλληλους τρόπους ώστε να µην χάνεται ακρίβεια όταν οι πράξεις γίνονται µε αριθµητική κινητής υποδιαστολής πεπερασµένης ακρίβειας. (α) -cos(x) για µικρό x (β) e x-y, x, y θετικοί (γ) log(x) log(y) για µεγάλα θετικά x,y (δ) si(α+x) si(α) για µικρό x (ε) τοξεφ(x) τοξεφ(y) για µεγάλα θετικά x,y Λύση (α) -cos(x) = si (x/).

k N k N k x x x (β) e x-y x x e k 0 k! + ε k 0 k! = = k= 0 k! = = = (βλέπε επίσης Πρόταση y k N k N k e y y y ε y k= 0 k! + k= 0 k! k= 0 k!.5., πόρισµα.5. για το σφάλµα και σχετικό σφάλµα πηλίκου). (γ) log(x) log(y) = log(x/y) (ιδιότητα λογαρίθµου). (δ) si(α+x) si(α) = cos(a + x/)si(x/) (τύπος τριγωνοµετρίας) (ε) Εστω x > y τότε: x N τοξεφ(x) τοξεφ(y) = dt = + ε N + t, y k= 0 x y N + y+ k N όπου ε N. N 3. Θεωρείστε τη δευτεροβάθµια εξίσωση + = 0,, > 0, >>. x ax b a b a b ώστε έναν ευσταθή αλγόριθµο για τον υπολογισµό των ριζών της. Λύση Προφανώς ρ, = a± a b. Επειδή a >> b, a b a, οπότε έχουµε αστάθεια που προκαλείται από την αφαίρεση δύο σχεδόν ίσων αριθµών σε µία από τις δύο ρίζες. Υπολογίζουµε λοιπόν τη ρίζα ρ = a+ a b για την οποία δεν παρατηρείται καµία αστάθεια και στη συνέχεια για τον υπολογισµό της ρίζας ρ = a a bχρησιµοποιούµε b b τον τύπο του γινοµένου ριζών ρρ = b ρ = =. ρ a + a b 4. Σε αριθµητικό σύστηµα µε βάση p = 0, = 4 και c = 4 να βρεθούν: (α) η µονάδα µηχανής ε (β) το µοναδιαίο σφάλµα στρογγύλευσης (γ) πότε συµβαίνει υποχείλιση και υπερχείλιση. Λύση (α) Η µονάδα µηχανής είναι µία ποσότητα ε, που αν προσθεθεί στον αριθµό τον αφήνει αναλλοίωτο. ηλαδή όλοι οι αριθµοί εντός του

διαστήµατος (-ε,ε) παίζουν το ρόλο του «µηδενός» του Η/Υ. 4 Υπολογίζεται από τη σχέση ε p = 0 = 0.0005 (βλέπε Θεώρηµα.4.). (β)-(γ) Αµεσες συνέπειας της θεωρίας. 5. Εστω x, y αριθµοί µηχανής µε x y. (α) Εκτιµήστε το σχετικό σφάλµα κατά την αφαίρεση x-y. (β) Πως θα υπολογίζατε το x -y : ως (x-y) (x+y) ή ως x x- y y;, αν εχουµε υποχειλιση fl( x y) ( x y) x y p, αν δεν εχουµε υποχειλιση (βλεπε Θεωρηµα.4.) Λύση (α) ρ = (β) Στην η περίπτωση, πρώτα θα γίνει η πράξη x-y µε άπειρη ακρίβεια, µετά θα µετατραπεί η ποσότητα x-y σε αριθµό µηχανής, στη συνέχεια θα γίνει ο πολ\σµός των αριθµών µηχανής fl(x-y) fl(x-y) µε άπειρη ακρίβεια και τέλος το αποτέλεσµα θα µετατραπεί σε αριθµό µηχανής. Λαµβάνοντας υπόψη τoν ορισµό του σχετικού σφάλµατος: και το ακόλουθο: x x ρx = x = x( ρx), x Θεώρηµα A: Aν ρ c <, i =,,m τότε υπάρχει ρ c < : έχουµε: ( ) ( ) i m i= ( ) ( ) ρ c < : + ρ = + ρ, ( + ) = ( ) ( + )( ) fl fl x y fl x y fl x y fl x y ρ i m ( x y)( ρ )( x y)( ρ )( ρ ) ( x y )( ρ) 3 = + =, 3 (βλέπε Θεώρηµα Α) ( x y )( 3ρ 3ρ ρ 3 ) = +. Αρα:. 3 ρ( x y)( x+ y) 3 ρ, θεωρωντας οτι ρ, ρ << 3

Οµοια εργαζόµαστε για την άλλη περίπτωση και παίρνουµε: ( ( )- ( )) = ( ( )- ( ))( ) fl fl x x fl y y fl x x fl y y ρ ( x ( ρ ) y ( ρ3) )( ρ) = ( ρ ) y ( ρ ) = x, Για το σχετικό σφάλµα έχουµε λοιπόν ( ( ) ( )) ( ) fl fl x x - fl y y x y x ρ ( ρ + ) y ρ ( ρ + ) = ( x y ) ( x y ), το οποίο λόγω παρανοµαστή ενδέχεται να οδηγήσει σε µεγάλα σφάλµατα. Αρα προτιµούµε την η µέθοδο. ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να µετατραπεί ο αριθµός (7.0565) 0 στο δυαδικό σύστηµα αρίθµησης.. Να γίνει (α) αποκοπή και (β) στρογγυλοποίηση, µε 6 σηµαντικά ψηφία στους ακόλουθους αριθµούς: 0.6745958, 0.00374534, 0.3455578. Στην κάθε περίπτωση υπολογίστε το απόλυτο και τo σχετικό σφάλµα. 3. Να γίνουν οι παρακάτω πράξεις: (α) ακριβώς (β) µε αποκοπή διατηρώντας 3 σηµαντικά ψηφία (γ) µε στρογγυλοποίηση διατηρώντας 3 σηµαντικά ψηφία σωστά. (+). (i) 3. + 0.084 (ii) 0.034 * 9 (iii) (3+0.73) - 4. Έστω q = 000. Να βρεθεί µεταξύ ποιών τιµών βρίσκεται η * προσέγγιση q, όταν το φράγµα του σχετικού σφάλµατος µε στρογγυλοποίηση είναι 0.5x0-4. 4

5. Αν p =, = 4, e = -3,,3 να βρεθούν και να παρασταθούν οι αριθµοί µηχανής. 6. Θεωρείστε το σύνολο των αριθµών µηχανής του Παραδείγµατος (σελ. 8). Επιλέξτε 3 οποιουσδήποτε αριθµούς µηχανής x, y, z και εξετάστε αν ισχύουν οι ισότητες: (x + y) + z = x + (y + z) (x y) z = x (y z) x (y + z) = x y + x z. Υπόδειξη: Θεωρείστε ότι οι πράξεις γίνονται στον Η/Υ (βλέπε σελ. και λυµένη άσκηση 5). 7. ιερευνήστε την κατάσταση επίλυσης του προβλήµατος: 8. Θεωρούµε την ακολουθία: x+ y = x + ( a) y = 0 y = x x+ a =. dx, 0,,..., α > >. 0 (α) είξτε ότι η ακολουθία y είναι γνησίως φθίνουσα και τείνει στο µηδέν. (β) Υπολογίστε τον τύπο της ακολουθίας y (γ) Προσδιορίστε αναδροµικό τύπο για τον προσδιορισµό της ακολουθίας συναρτήσει της y - και δείξτε ότι ο αλγόριθµος που προκύπτει είναι ασταθής. (δ) ώστε ένα ευσταθή αλγόριθµο για τον υπολογισµό της y. Υπόδειξη: (όπως παράδειγµα. σελ. 8 βιβλίου). (α) Χρησιµοποιήστε το Θεώρηµα Μέσης Τιµής του Ολοκληρωτικού Λογισµού, τότε: x y = dx= ξ dx, ξ (0,) 0 x+ a 0 x+ a. (β) Κάντε τη διαίρεση x διά (x+α) και υπολογίστε το ολοκλήρωµα. 5

( )... ( ) ( ) ( ) x = x+ a x a x + + a + a. (γ) Παρατηρήστε ότι x x x y = dx = x dx = ( x + a a) dx 0 x+ a 0 x+ a 0 x+ a x = = x+ a x dx a dx a y. 0 0 Εχουµε λοιπόν: fl( y ) = a fl( y ) y ε = a y ( ε ) ( ) a a... a 0 ε = ε = ε = ε, και εφόσον α >> το σφάλµα αυξάνεται εκθετικά, άρα ο αλγόριθµος είναι ασταθής. (δ) γιατί;). y y = a y y = (ευσταθής αλγόριθµος, a 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν(x) = x, ηµ(x )-x-0. = 0, 3 5 x x 5x 0, x 0 + = >, κλπ.. Η µέθοδος διχοτόµησης Η µέθοδος διχοτόµησης βασίζεται στο ακόλουθο Θεώρηµα: Θεώρηµα (Βοlzao): Eστω α,b R, α < b και f(x):[a,b] R είναι µία συνεχής συνάρτηση στο κλειστό διάστηµα [α,b], µε f(α) f(b)<0. Τότε, υπάρχει µία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f(x)=0 στο ανοικτό διάστηµα (α,b). Με χρήση του παραπάνω θεωρήµατος, δεν γνωρίζουµε αν υπάρχουν περισσότερες της µίας ρίζες, ούτε ποια είναι η τιµή τους. Η µέθοδος: Χωρίς περιορισµό της γενικότητας, θεωρούµε µία πραγµατική συνάρτηση f(x), συνεχή στο κλειστό διάστηµα [α,b], α < b, µε f(α)<0 και f(b)>0. Εστω ρ µία ρίζα της εξίσωσης f(x) = 0. Κατασκευάζουµε µία ακολουθία προσεγγίσεων,,,... m = της ρίζας ρ ως εξής: Βήµα ο : Oρίζουµε ως αρχικό διάστηµα το Ι = [α,b] και υπολογίζουµε m να είναι το µέσον του διαστήµατος Ι. a+ b =, ( η προσέγγιση της ρίζας) Βήµα ο : Υπολογίζουµε το πρόσηµο της τιµής f ( m ). Αν f ( m ) = 0, τότε έχουµε βρει µία ρίζα και σταµατούµε, αλλιώς συνεχίζουµε στο επόµενο βήµα. Βήµα 3 ο Oρίζουµε ένα νέο διάστηµα 7

I ( a, m), οταν f( m) f( a) < 0 = ( m, b), οταν f( m) f( a) 0, εντός του οποίου η συνάρτηση f(x) ικανοποιεί τις συνθήκες του θεωρήµατος Bolzao και ως εκ τούτου υπάρχει µία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f(x) = 0 στο Ι. Για να βούµε την η προσέγγιση m της ρίζας ρ, επιστρέφουµε στο ο βήµα και επαναλαµβάνουµε τα βήµατα -3 θεωρώντας πλέον ως αρχικό διάστηµα το Ι κλπ. Αποδεικνύεται ότι το lim m = ρ. Είναι φανερό ότι σε κάθε επανάληψη των βηµάτων -3, το εύρος του αρχικού διαστήµατος όπου υπάρχει η ρίζα υποδιπλασιάζεται, διότι το ένα από τα δύο άκρα του νέου διαστήµατος, µεταφέρεται ακριβώς στο µέσον του ακριβώς προηγούµενου διαστήµατος. Συνεπώς, µετά από Ν επαναλήψεις των βηµάτων -3, το εύρος (µήκος) l(ν) του διαστήµατος Ι Ν είναι: b a ln ( ) =. N Αν λοιπόν τερµατίσουµε τη διαδικασία µετά από Ν επαναλήψεις, δεν θα έχουµε υπολογίσει την ακριβή ρίζα ρ, αλλά µία προσέγγισή της m N. Επειδή όµως και οι δύο τιµές ρ, m N θα βρίσκονται εντός του διαστήµατος Ι Ν (µάλιστα η m Ν είναι το µέσον του Ι Ν ), θα ισχύει: 8

ln ( ) b a ερ = ρ mn =, N που προφανώς είναι ένα άνω φράγµα για το απόλυτο σφάλµα. Συνήθως τερµατίζουµε τη διαδικασία όταν το εύρος του διαστήµατος Ι Ν γίνει µικρότερο από µία θετική παράµετρο ανοχής ε. Θέτουµε λοιπόν b a ε < ε < ε ρ και λύνοντας την παραπάνω ανίσωση ως προς Ν προσδιορίζουµε εκ των προτέρων το πλήθος των επαναλήψεων που απαιτούνται, ώστε να έχουµε αποτέλεσµα µε την επιθυµητή ακρίβεια ε: N N > l ( b a) lε. l Παράδειγµα Εστω f(x) συνεχής συνάρτηση στο κλειστό διάστηµα [α,b], α < b και έστω ότι δίνεται ο ακόλουθος πίνακας: X α b (α+b)/ (α+3b)/4 Πρόσηµο των τιµών f(x) + + Να υπολογίσετε µε τη µέθοδο διχοτόµησης µία ρίζα της εξίσωσης f(x) = 0 για Ν = 3 επαναλήψεις και να υπολογίσετε το σφάλµα, εάν b-α = 0.4. Λύση η επανάληψη: ο βήµα: Oρίζουµε ως αρχικό διάστηµα το Ι = (α,b). Yπολογίζουµε το µέσον του διαστήµατος Ι a+ b m =, ( η προσέγγιση της ρίζας). Βήµα ο : Υπολογίζουµε το πρόσηµο της τιµής f ( m ). Από τον παραπάνω πίνακα τιµών έχουµε ότι f( m ) < 0. 9

Βήµα 3 ο Υπολογίζουµε το γινόµενο του προσήµου της τιµής f ( m ) µε το πρόσηµο των τιµών της συνάρτησης f στα άκρα του διαστήµατος I. Επειδή f( m ) f( b ) < 0, oρίζουµε ένα νέο διάστηµα I : I a+ b = b., η επανάληψη: ο βήµα: Oρίζουµε ως αρχικό διάστηµα το a+ b I =, b. Yπολογίζουµε το µέσον του διαστήµατος Ι m a+ b + b a+ 3b = =, ( η προσέγγιση της ρίζας). 4 Βήµα ο : Υπολογίζουµε το πρόσηµο της τιµής f ( m ). Από τον παραπάνω πίνακα τιµών έχουµε ότι f( m ) > 0. Βήµα 3 ο Υπολογίζουµε το γινόµενο του προσήµου της τιµής f ( m ) µε το πρόσηµο των τιµών της συνάρτησης f στα άκρα του διαστήµατος I. a+ b Επειδή f f( m ) < 0 oρίζουµε ένα νέο διάστηµα I 3 : I 3 a+ 3 b a+ b =, 4. 3 η επανάληψη: ο βήµα: Oρίζουµε ως αρχικό διάστηµα το I3 Yπολογίζουµε το µέσον του διαστήµατος Ι 3 a+ 3 b a+ b =, 4. m 3 a+ 3b a+ b + 4 3a+ 5b = =, 8 η οποία τιµή m 3, εφόσον η 3 η επανάληψη είναι και η τελευταία, µας δίνει την προσεγγιστική ρίζα της εξίσωσης f(x) = 0. Για το σφάλµα έχουµε: 30

ε ρ b a 0.4 = =. N 3 3 Παράδειγµα Να υπολογίσετε µε τη µέθοδο διχοτόµησης τη µοναδική ρίζα της εξίσωσης x + = e x στο διάστηµα (,). Η διαδικασία να σταµατήσει όταν το εύρος του τελικού διαστήµατος γίνει µικρότερο του 0.04. Λύση Εφόσον b a N ε ρ 0.04 0.04 5 l l 5 N N N ( ) ( ) N l 5 4.64 N = 5, l άρα χρειαζόµαστε τουλάχιστον 5 επαναλήψεις, ώστε το σφάλµα να γίνει µικρότερο του 0.04. Παρατηρούµε ότι f(x) = x+-e x και f() =, f()<0, άρα υπάρχει µία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f(x) = 0 στο ανοικτό διάστηµα (0,). η επανάληψη: ο βήµα: Oρίζουµε ως αρχικό διάστηµα το Ι = (,). Yπολογίζουµε το µέσον του διαστήµατος Ι m + = =.5. Βήµα ο : Υπολογίζουµε το πρόσηµο της τιµής.5 f(.5) =.5 + e = 3 + 4.4869 < 0. Βήµα 3 ο Υπολογίζουµε το γινόµενο του προσήµου της τιµής f( m ) = f(.5) µε το πρόσηµο των τιµών της συνάρτησης f στα άκρα του διαστήµατος I. Επειδή f (.5) f () < 0 oρίζουµε ένα νέο διάστηµα I : I = (.5,). η επανάληψη: 3

ο βήµα: Oρίζουµε ως αρχικό διάστηµα το Ι = (.5, ). Yπολογίζουµε το µέσον του διαστήµατος Ι m.5 + = =.75. Βήµα ο : Υπολογίζουµε το πρόσηµο της τιµής (.75) 3.5 5.7546 0. f = + < Βήµα 3 ο Υπολογίζουµε το γινόµενο του προσήµου της τιµής f( m ) = f(.75) µε το πρόσηµο των τιµών της συνάρτησης f στα άκρα του διαστήµατος I. Επειδή f (.5) f (.75) < 0, oρίζουµε ένα νέο διάστηµα I 3 : I 3 = (.5,.75). Συνεχίζοντας µε τον ίδιο τρόπο, εκτελέστε τις υπόλοιπες 3 επαναλήψεις και διαπιστώστε ότι η προσεγγιστική ρίζα είναι η m 5 =.67835.. Επαναληπτικές µέθοδοι. Μέθοδος Νewto-Raphso Kάθε εξίσωση της µορφής f(x) = 0, µπορεί να γραφεί ισοδύναµα στη µορφή x = φ(x) µε πολλούς τρόπους. Σε τέτοιες παραστάσεις βασίζονται οι λεγόµενες επαναληπτικές µέθοδοι. Ορισµός.. Ένα σηµείο x* του πεδίου ορισµού µιας συνάρτησης φ καλείται σταθερό σηµείο της, αν ισχύει φ(x*) = x*. Στις επαναληπτικές µεθόδους, γράφουµε την εξίσωση f(x) = 0 στη µορφή x = φ(x) και ξεκινώντας από µία αρχική τιµή x 0, υπολογίζουµε µία ακολουθία προσεγγίσεων ενός σταθερού σηµείου της φ από τη σχέση x = φ(x - ). Aν λοιπόν x x* και αν η φ(x) είναι συνεχής στο σηµείο x*, τότε το x* είναι σταθερό σηµείο της φ. Πράγµατι: ( ) ( ) x* = lim x = lim ϕ( x ) = ϕ lim x = ϕ x*. Υπαρξη και µοναδικότητα σταθερού σηµείου Θεώρηµα.. Εστω φ:[a,b] [a,b] συνεχής πραγµατική συνάρτηση τέτοια ώστε: 3

υπαρχει 0< C < : ϕ( x) ϕ( y) C x y x, y [ a, b], (µία τέτοια συνάρτηση καλείται συστολή), τότε η συνάρτηση φ έχει µοναδικό σταθερό σηµείο x*. Eπιπλέον, για οποιαδήποτε αρχική τιµή x 0 [α,b], η ακολουθία x µε αναδροµικό τύπο x = φ(x - ) συγκλίνει προς το x*. Τέλος, για κάθε φυσικό αριθµό ισχύει: Tάξη σύγκλισης ακολουθίας x x* C x x*. (.) H σχέση (.), υπονοεί ότι η ακολουθία x συγκλίνει (τουλάχιστον) γραµµικά στο σταθερό σηµείο x* της φ(x). Γενικότερα, θα λέµε ότι η σύγκλιση είναι (τουλάχιστον) τάξης p, p >, αν ισχύει p x x* C x x*, για κάθε φυσικό αριθµό. Προσδιορισµός της τάξης σύγκλισης µιας ακολουθίας Για τον προσδιορισµό της τάξης σύγκλισης µιας ακολουθίας x που είναι γενικά µία δύσκολη υπόθεση, πολύ χρήσιµο είναι το ακόλουθο: Θεώρηµα.. Εστω ότι x x* για κάθε φυσικό αριθµό και έστω ότι ισχύει: x lim = a 0, + x* p ( x x* ) τότε η τάξη σύγκλισης της ακολουθίας x είναι ακριβώς p. Ας υποθέσουµε τώρα ότι πλέον των υποθέσεων του θεωρήµατος συστολής.., έχουµε ότι η συνάρτηση φ(x) είναι συνεχώς παραγωγίσιµη στο [α,b]. Tότε, από το θεώρηµα µέσης τιµής του διαφορικού λογισµού, υπάρχει τιµή ξ µεταξύ των x και x: ( ) ( ) ( )( ) x x* = ϕ x ϕ x* = ϕ ξ x x*. + Eφόσον x x*, θα ισχύει ότι ξ x* και λόγω συνέχειας της φ (x) έχουµε: 33

Αν λοιπόν ϕ ( x ) x+ x* lim = ϕ * x x* ( x ) 0 < * <, τότε η τάξη σύγκλισης που παράγει η επαναληπτική µέθοδος x = φ(x - ) είναι ακριβώς ένα. Για να πάρουµε λοιπόν επαναληπτικές µεθόδους x = φ(x - ) µε τάξη σύγκλισης µεγαλύτερη του, θα πρέπει να αναζητήσουµε µεθόδους για τις οποίες ισχύει ϕ ( x *) = 0. Μία τέτοια είναι και η µέθοδος Newto-Raphso που θα αναπτύξουµε στη συνέχεια. Παράδειγµα 3 Εστω πραγµατική συνάρτηση f, τέτοια ώστε x* είναι απλή ρίζα της f (x) = 0 και η f είναι δύο φορές συνεχώς παραγωγίσιµη σε µία περιοχή του x*. Να δειχθεί ότι η επαναληπτική µέθοδος. f ( x) x = x +, f ( x ) συγκλίνει στο x* και να υπολογισθεί η τάξη σύγκλισης. Λύση Θεωρούµε την επαναληπτική µέθοδο x = φ(x), όπου ϕ f ( x) ( x) = x f ( x). Παραγωγίζουµε και βρίσκουµε: f( x) f ( x) ϕ ( x) = ϕ ( x*) = 0 ( f ( x) ) άρα υπάρχει µία περιοχή Ι του x* τέτοια ώστε ϕ ( x) C <, οπότε ϕ( x) ϕ( y) ϕ ( ξ) x y C x y, x, y I, οπότε από το θεώρηµα.. της συστολής η φ(x) έχει µοναδικό σταθερό σηµείο x*, και η ακολουθία (x ) µε αναδροµικό τύπο x = φ(x - ) x*,. Για να υπολογίσουµε την τάξη σύγκλισης θα χρησιµοποιήσουµε το Θεώρηµα... Από τον τύπο του Τaylor µε κέντρο το σηµείο x* έχουµε:, 34

f ( ξ ) f x f x f x x x x x x x x x f ( x ) = f (*) x + f ( ξ )( x x*), ξ (*, x x ) η ξ ( x, x*) ( ) = (*) + (*)( *) + ( *), ξ (*, ) η ξ (, *). Aντικαθιστούµε τις τιµές f ( x ), f ( x ) στον αναδροµικό τύπο f ( x ) x = x +, f ( x ) και παίρνουµε: x + = x f ( ξ ) f( x*) + f ( x*)( x x*) + ( x x*), f (*) x + f ( ξ )( x x*) x x* = ( x x*) + f ( ξ) f (*)( x x x*) + ( x x*) f (*) x + f ( ξ )( x x*) x x* = ( x x*) + f ( ξ ) f ( ξ ) f (*) x + f ( ξ )( x x*), άρα: x x* f ( x* ) + lim = 0 ( x x*) f ( x*), άρα η τάξη σύγκλισης είναι. Η µέθοδος Newto-Raphso Η µέθοδος Newto-Raphso βασίζεται στο ακόλουθο: Θεώρηµα..3 Εστω µία πραγµατική συνάρτηση f(x): (α) η f(x) είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο διάστηµα [α,b], µε f ( x), f ( x) 0 για κάθε x [α,b], (β) f(α) f(b)<0, τότε υπάρχει µοναδική ρίζα x* της εξίσωσης f(x)=0 στο ανοικτό διάστηµα (α,b), η οποία είναι το όριο της αναδροµικής ακολουθίας: ( x ) ( x ) f x = x, =,,..., f 35

όπου το αρχικό σηµείο x 0 της αναδροµικής σχέσης εκλέγεται έτσι ώστε f( x ) f ( x ) > 0. 0 0 Απόδειξη Από τη συνθήκη (β) και την παραγωγισιµότητα της f(x) προκύπτει ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει µία τουλάχιστον ρίζα x* στο ανοικτό διάστηµα (α,b). Εφόσον δε f ( x) 0 για κάθε x [α,b], προκύπτει ότι η συνάρτηση f(x) είναι γνησίως µονότονη στο [α,b], άρα η ρίζα x* είναι µοναδική. Xωρίς περιορισµό της γενικότητας υποθέτουµε ότι f(α) < 0, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα. Επιπλέον, έστω x 0 : f( x 0) > 0, τότε από τη συνθήκη f( x0) f ( x0) > 0 προκύπτει ότι f ( x0) > 0 και εφόσον ισχύει f ( x) 0 για κάθε x [α,b] θα έχουµε f ( x) > 0 για κάθε x [α,b], δηλαδή η f είναι κυρτή στο [α,b]. f ( x ) Θεωρούµε τώρα την ακολουθία x = x, =,,... f x ( ) Με τη µέθοδο της επαγωγής θα δείξουµε ότι η ( x ) είναι κάτω φραγµένη από τη ρίζα x*. Αφού η f (x) είναι γνησίως αύξουσα και f ( x0) > 0 = f( x*), προκύπτει ότι x0 > x *.Υποθέτουµε ότι x > x *, θα δείξουµε ότι x+ > x *. Aπό το ανάπτυγµα Τaylor της f(x) µε κέντρο το σηµείο x έχουµε: ( ξ ) ( ) ξ ( ) f f ( x) = f( x) + f ( x)( x x) + x x, x, x, oπότε για x = x* έχουµε: ( ξ ) ( ) ξ ( ) f 0 = f ( x*) = f( x ) + f ( x )( x* x ) + x* x, x, x άρα f x f ( x )( x x ) ( ) + * < 0, (αφού υποθέσαµε ότι η f είναι κυρτή) και κάνοντας τις πράξεις παίρνουµε f( x) x > x* x+ > x*. f ( x ) Aρα η ακολουθία (x ) είναι κάτω φραγµένη. 36

Aπό την παραπάνω ανισότητα και τη µονοτονία της f ισχύει ότι f( x+ ) > f( x*) = 0 για κάθε άρα: f( x ) x = x < x f ( x ) για κάθε, δηλαδή η ακολουθία (x ) είναι γνησίως φθίνουσα. Αφού είναι και κάτω φραγµένη συγκλίνει σε έναν αριθµό x. Tότε: lim f( x ) f( x) = = = lim x lim x x x f( x) 0 lim f ( x ) lim f ( x ) άρα το όριο της ακολουθίας x είναι η µοναδική ρίζα της εξίσωσης f(x) = 0. Πόρισµα.. Με τις προϋποθέσεις του προηγούµενου θεωρήµατος, το σφάλµα κατά την προσέγγιση της µοναδικής ρίζας της εξίσωσης f(x) = 0 µε τη µέθοδο Νewto-Raphso από τον όρο x δίνεται από τη σχέση M x x* x x, m m= mi f ( x), M = max f ( x). όπου x [ a, b] x [ a, b], Απόδειξη Εστω x* η µοναδική ρίζα της εξίσωσης f(x) = 0, από το θεώρηµα µέσης τιµής του διαφορικού λογισµού ισχύει: ( )( ) ( ) f (*) x f( x ) = f c x* x, c x, x, άρα 0 f ( x ) f ( c )( x* x ) =, συνεπώς: f( x) f( x) x* x =, f ( c ) m (.) όπου m= mi x [ a, b] f ( x). Aπό το ανάπτυγµα Τaylor της f(x) µε κέντρο το σηµείο x - έχουµε: 37

( ξ ) ( ) ξ ( ) f f ( x) = f( x ) + f ( x )( x x ) + x x, x, x, oπότε για x = x έχουµε: ( ξ ) ( ) ξ ( ) f f ( x ) = f( x ) + f ( x )( x x ) + x x, x, x + ( ξ ) ( ) f = x x, (.3) διότι f( x ) x = x f( x ) + f x x x = 0. ( )( ) f ( x ) Αντικαθιστούµε την (.3) στην (.) και παίρνουµε το ζητούµενο. Γεωµετρική ερµηνεία Η γεωµετρική ερµηνεία της µεθόδου γίνεται σαφής µε τη βοήθεια του ακόλουθου σχήµατος: Eστω x f ( x ) Σχήµα : H µέθοδος Newto = 0 x 0 f ( x0 ) η η προσέγγιση της ρίζας στην η επανάληψη. Η εξίσωση της εφαπτόµενης της συνάρτησης f(x) στο σηµείο (x, f(x )) είναι: 38

y f( x ) = f ( x )( x x ). H εφαπτόµενη ευθεία τέµνει τον άξονα των x σε ένα σηµείο x το οποίο υπολογίζεται εύκολα αν θέσουµε στην εξίσωση της εφαπτόµενης ευθείας y = 0, x = x, οπότε βρίσκουµε: x f ( x ) = x f ( x ), η οποία είναι ακριβώς η αναδροµική σχέση του Θεωρήµατος..3 για =. Συνεχίζοντας, διαπιστώνουµε η κάθε επόµενη προσέγγιση x + είναι το σηµείο τοµής της γραφικής παράστασης της εφαπτόµενης της f(x) στο σηµείο (x,f(x )) µε τον άξονα των x. Παράδειγµα 4 Να προσεγγισθεί µε τη µέθοδο Newto Raphso η µοναδική ρίζα της εξίσωσης x - e -x = 0 στο ανοικτό διάστηµα (0,) για Ν = 3 επαναλήψεις και να υπολογισθεί το σφάλµα της µεθόδου. Λύση Oρίζουµε f(x) = x - e -x, και υπολογίζουµε x x f ( x) = + e, f ( x) = e. Προφανώς f ( x), f ( x) 0 για κάθε x (0,), f(0) = -, f()=.63, άρα ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θεωρήµατος..3 και συνεπώς υπάρχει µοναδική ρίζα της εξίσωσης f(x) = 0, η οποία είναι το όριο της f( x ) αναδροµικής ακολουθίας x = x, = 0,,... f ( x ) Επιλέγουµε ως αρχικό σηµείο εκκίνησης το x 0 = 0, ή x 0 = (ένα από τα δύο άκρα του αρχικού διαστήµατος (0,)) βάσει της συνθήκης f( x0) f ( x0) > 0 του Θεωρήµατος..3. Είναι εύκολο να δει κανείς ότι f(0) f (0) > 0, ενω f() f () < 0, άρα η επανάληψη: x x 0 = 0. f( x ) f(0) = x = 0 = 0 =. ( ) (0) 3 0 0 0 f x0 f + e 39

η επανάληψη: x x f f( x ) 3 = = = f ( x ) 3 f 3 0.35689. 3 η επανάληψη: x f( x ) f(0.35689) 0.35689 0.35734, 3 = x = = f ( x) f (0.35689) η οποία είναι και η προσεγγιστική τιµή της ρίζας. Το σφάλµα υπολογίζεται από το Πόρισµα.. για = 3: M M x 3 x* x3 x 0.35734 0.35689 m = m, m= mi f ( x), M = max f ( x). Eπειδή όπου x [0,] x [ a, b] x [0,] x [0,] x ( ) m= mi f ( x) = mi + e = + e =.36788, M = f x = e = e =, x 0 max x [0,] ( ) max x [0,] έχουµε: x 3 0 x* 0.35734 0.35689 = 4.7598 0..36788 Παρατήρηση: Είναι σαφές από η µέθοδος Newto Raphso είναι ειδική περίπτωση επαναληπτικής µεθόδου της µορφής x = φ(x - ), όπoυ η συνάρτηση επανάληψης είναι της µορφής: Eπειδή ϕ ( x) = f ( x) f ( x) ( f ( x) ) ϕ f ( x) ( x) = x f. ( x), µε την προϋπόθεση ότι f ( x* ) 0 (δηλαδή x* απλή ρίζα της εξίσωσης f(x) = 0), προκύπτει ότι ϕ (*) x = 0, άρα η 40

τάξη σύγκλισης είναι µεγαλύτερη του. στο Θεώρηµα..3 είδαµε ότι η σύγκλιση είναι τετραγωνική. Γενίκευση της µεθόδου Newto-Raphso σε συστήµατα εξισώσεων f( x, y) = 0 ίδεται το σύστηµα εξισώσεων, όπου f, g πραγµατικές gxy (, ) = 0 συναρτήσεις δύο µεταβλητών και έστω (x*,y*) µία λύση του. Υποθέτοντας ότι σε µία περιοχή του πεδίου ορισµού υπάρχουν οι δεύτερες µερικές παράγωγοι των f,g και είναι συνεχείς, έχουµε από το Θεώρηµα Τaylor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών: ( ) f f 0 = f x*, y* = f( x, y) + x x* + y y* + O x x* + y y* x y g g 0 = g x*, y* = g( x, y) + x x* + y y* + O x x* + y y* x y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Παραλείποντας τους τετραγωνικούς όρους γράφουµε: f( x, y) f( x, y) x y x x* f( x, y) gxy (, ) gxy (, ) y y* g( x, y). x x Oδηγούµαστε λοιπόν υπό κατάλληλες προϋποθέσεις (η ιακωβιανή ορίζουσα είναι διάφορη του µηδενός και x, y αρκετά κοντά στα x*, y*), σε µία επαναληπτική µέθοδο της µορφής:. f( x, y) f( x, y) x y x+ x f( x, y) gx (, ) (, ) y y g( x, y) y gx y + x x όπου µάλιστα η σύγκλιση είναι τετραγωνική..3 Μέθοδος τέµνουσας (secat method) 4

Η µέθοδος Newto-Raphso απαιτεί γνώση της f (x). Στην περίπτωση που η παράγωγος δεν είναι γνωστή ή είναι δύσκολο να υπολογισθεί, καταφεύγουµε συνήθως στη µέθοδο της τέµνουσας. Aς θεωρήσουµε τον αναδροµικό τύπο της µεθόδου Newto-Raphso: f( x) x = x, 0,,... + f ( x ) = και ας θυµηθούµε ότι Για x = x, x + = x + h, έχουµε: ( ) f( x+ h) f x f ( x), h µικρο. ( x+ h) x f ( ) f ( x ) f x + ( x). x+ x Αν λοιπόν στον αναδροµικό τύπο Newto-Raphso αντικαταστήσουµε αντί της παραγώγου f ( x ), το δεξιό µέλος της παραπάνω ισότητας, προκύπτει η µέθοδος της τέµνουσας ( ) f( x ) x x =, =,..., x+ x f( x) f( x ) η οποία χρειάζεται προφανώς δύο αρχικές συνθήκες x 0,x. Η µέθοδος βασίζεται στο ακόλουθο: Θεώρηµα.3. Εστω µία πραγµατική συνάρτηση f(x): (α) η f(x) είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο διάστηµα [α,b], µε f ( x), f ( x) 0 για κάθε x [α,b], (β) f(α) f(b)<0, τότε υπάρχει µοναδική ρίζα x* της εξίσωσης f(x)=0 στο ανοικτό διάστηµα (α,b), η οποία είναι το όριο της αναδροµικής ακολουθίας: 4

( ) f( x ) x x =, =,..., x+ x f( x) f( x ) όπου ως αρχικά σηµεία x 0, x της αναδροµικής σχέσης µπορούν να θεωρηθούν για ευκολία τα άκρα του διαστήµατος (α,b), δηλαδή x 0 = α, + 5 x =b. H τάξη σύγκλισης της µεθόδου είναι p =.6. Γραφική επίλυση Σχήµα 3 Η µέθοδος τέµνουσας Παράδειγµα 5 Να προσεγγισθεί µε τη µέθοδο τέµνουσας µία προσέγγιση της 3 στο ανοικτό διάστηµα (,), για Ν = 3 επαναλήψεις. Λύση Oρίζουµε f(x) = x - 3 και εφόσον f ( x), f ( x) 0 για κάθε x (,), f() = -, f() =, ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θεωρήµατος.3. και συνεπώς υπάρχει µοναδική ρίζα της εξίσωσης f(x) = 0, η οποία είναι το όριο της αναδροµικής ακολουθίας ( ) f( x ) x x =, =,... x+ x f( x) f( x ) Εκλέγουµε x 0 =, x = (τα δύο άκρα του αρχικού διαστήµατος (,)) και υπολογίζουµε η επανάληψη: 43

x x η επανάληψη: x ( ) ( ) f( x ) x x f ().6. 0 = = = = f( x) f( x0) f() f() 3 x 3 η επανάληψη: x ( ) f (.6) (.6 ) f( x ) x x.6.777. 3 = = = f( x) f( x) f(.6) f() ( ) f (.777) (.777.6) f( x ) x x.777.734, 3 3 4 = x3 = = f( x3) f( x) f(.777) f(.6) η οποία είναι και η προσεγγιστική τιµή της ρίζας. ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίνονται οι συναρτήσεις: (α) f(x) = e x + x+, x [-,0], (β) g(x) = x -5 x+, x [0,], (γ) h(x) = x 3 -x-, x [,]. Α. Αφού δείξετε ότι κάθε µία από τις ανωτέρω συναρτήσεις έχει µοναδική πραγµατική ρίζα στα αντίστοιχα διαστήµατα, να υπολογίσετε µε τη µέθοδο διχοτόµησης µία προσέγγιση της ρίζας για κάθε µία εξ αυτών, ώστε το σφάλµα από την ακριβή τιµή της ρίζας να είναι µικρότερο του 0.06. Aπάντηση: (α) N = 6 επαναλήψεις {m = -0.5, m = -0.75, m 3 = -0.65, m 4 = -0.6875, m 5 = -0.6565, m 6 =-0.64063} (β) N = 6 επαναλήψεις {m =0.5, m =0.75, m 3 =0.65, m 4 =0.6875, m 5 =0.7875, m 6 =0.73438} (γ) N = 6 επαναλήψεις {m =.5, m =.5, m 3 =.375, m 4 =.35, m 5 =.34375, m 6 =.383} 44

Β. Να υπολογίσετε µε τη µέθοδο Newto-Raphso µία προσέγγιση της ρίζας για κάθε µία από τις συναρτήσεις (α)-(γ), για Ν = 4 επαναλήψεις και να υπολογίσετε το σφάλµα. Aπάντηση: (α) { x 0 = 0, x = -0.5, x = -0.63447, x 3 = -0.6397, x 4 = -0.6393} e.699 0-0. (β) { x 0 = 0, x = 0.69656, x = 0.73, x 3 = 0.734, x 4 =0.734} e 0. (γ) {x 0 =., x =.54545, x =.3596, x 3 =.358, x 4 =.347} e 0.0000. Γ. Να υπολογίσετε µε τη µέθοδο τέµνουσας µία προσέγγιση της ρίζας για κάθε µία από τις συναρτήσεις (α)-(γ), για Ν = 4 επαναλήψεις. Aπάντηση: (α) {x 0 = -, x = 0, x = -0.6986, x 3 = -0.6498, x 4 = -0.6390, x 5 = -0.6393}. (β) {x 0 = 0, x =, x = 0.75, x 3 = 0.737, x 4 = 0.735, x 5 = 0.734}. (γ) {x 0 =, x =, x =.6667, x 3 =.53, x 4 =.337, x 5 =.3385}. Σηµείωση: Οι πράξεις να γίνουν µε στρογγυλοποίηση στο 5 ο δεκαδικό ψηφίο.. Να δειχθεί ότι η µέθοδος: τετραγωνικά. f ( x ) ( ) '( ) x = x + f x + f x συγκλίνει Υπόδειξη: Oπως στο παράδειγµα 3 σελ. 3. 3. είξτε ότι η ακολουθία x = e, =,... συγκλίνει και το όριό της βρίσκεται στο [0,]. + x 45

x / Υπόδειξη: είξτε ότι η ϕ ( x) = e είναι συστολή, βλέπε Θεώρηµα... 4. Εστω a = + +... +, =,, Xρησιµοποιώντας µία κατάλληλη επαναληπτική µέθοδο, δείξτε ότι lim a =. Επίσης a δείξτε ότι lim + =. a 4 5. ίνεται η επαναληπτική µέθοδος ( ) x = x + λ x + 3, = 0,,... (α) Να βρεθεί διάστηµα τιµών της παραµέτρου λ ώστε η επαναληπτική µέθοδος να συγκλίνει. (β) Να βρεθεί η τιµή του λ ώστε η σύγκλιση να είναι τετραγωνική. (γ) Είναι η µέθοδος Newto-Raphso πιο αποτελεσµατική µέθοδος από αυτήν που αντιστοιχεί για την τιµή του λ που βρέθηκε στο ερώτηµα (β); 6. Εστω f(x) = x (x-) 3, τότε να επιλέξετε και να εφαρµόσετε την πλέον αποτελεσµατική µορφή της µεθόδου Newto-Raphso για τον προσδιορισµό της ρίζας x = για Ν = 3 επαναλήψεις. Ποια η τάξη σύγκλισης; 7. ίνεται το σύστηµα εξισώσεων: { f ( x, y) = 0, g( x, y) = 0}, όπου π x f ( x, y) = x y συν xy και g( x, y) = e + 5ηµ ( π x). Εφαρµόστε την µέθοδο Newto-Raphso για συστήµατα εξισώσεων για N=3 επαναλήψεις. 46

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3. Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x +... + a x = b a x +... + a x = b a x +... + a x = b, (3.) όπου x i, i =,,, είναι οι άγνωστοι όροι, α i,j, i,j =,, είναι οι συντελεστές των αγνώστων όρων και b i, i =,, είναι οι σταθεροί όροι. To σύστηµα (3.) µπορεί να γραφεί µε τη µορφή πινάκων ως εξής: όπου A x = B, a a A = a a είναι ο πίνακας των συντελεστών των αγνώστων, x x = x είναι ο πίνακας στήλη των αγνώστων και b b = b είναι ο πίνακας στήλη των σταθερών όρων. 47

Είναι γνωστό από τη γραµµική άλγεβρα, ότι ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε το σύστηµα (3.) να έχει µοναδική λύση είναι οι ακόλουθες: O πίνακας Α είναι αντιστρέψιµος. Η ορίζουσα του πίνακα Α είναι διάφορη του µηδενός. Οι γραµµές ή οι στήλες του πίνακα Α είναι γραµµικά ανεξάρτητες. Το αντίστοιχο οµογενές σύστηµα A x = 0 έχει ως µοναδική λύση την µηδενική. Αν ένα σύστηµα έχει µοναδική λύση, τότε για τον προσδιορισµό αυτής υπενθυµίζουµε τον κανόνα του Cramer: ( i ) ( ),,...,, Det A xi = i= Det A όπου Α i είναι ο πίνακας που προκύπτει, αν αντικαταστήσουµε την i- στήλη του πίνακα Α µε τη στήλη των σταθερών όρων. Ενας άλλος τρόπος είναι: x A B =, όπου A είναι ο αντίστροφος του πίνακα Α. Σηµειώνουµε όµως ότι και οι δύο παραπάνω τρόποι είναι υπολογιστικά ασύµφοροι. Για την επίλυση µε τη µέθοδο Cramer απαιτούνται ( + )! + πολλαπλασιασµοί, ενώ για την επίλυση µε την εύρεση του αντιστρόφου πίνακα A, αναγόµαστε στην επίλυση ενός συστήµατος µε αγνώστους, ή ισοδύναµα στην επίλυση γραµµικών συστηµάτων µε τον ίδιο πίνακα Α και έναν πολλαπλασιασµό επί διάνυσµα. Είναι σαφές ότι για µεγάλα = 00, 000 κ.λ.π., το υπολογιστικό κόστος γίνεται απαγορευτικό. Ο συνηθέστερος τρόπος επίλυσης των συστηµάτων αυτών, είναι ο αλγόριθµος του Gauss, ο οποίος περιγράφεται από τα ακόλουθα βήµατα: Βήµα ο : oρίζουµε τον επαυξηµένο πίνακα των συντελεστών και + : σταθερών όρων, διάστασης ( ) 48

A a a a b a a a b. a a a b επ = Βήµα ο : Ξεκινώντας πάντοτε µε οδηγό στοιχείο το ο στοιχείο της κυρίας διαγωνίου, δηλαδή το α, εκτελούµε µία πράξη µεταξύ της ης γραµµής και κάθε µίας από τις επόµενες γραµµές, έτσι ώστε όλα τα στοιχεία κάτω από το οδηγό στοιχείο να µηδενίζονται. Μετά το πέρας του βήµατος αυτού, ο νέος επαυξηµένος πίνακας θα έχει τη µορφή: A επ () a a a b () () () 0 a a b =. () () () 0 a a b Ο παραπάνω πίνακας, προκύπτει από την πράξη (i =,,): (i γραµµή του ( ) a i A επ ) = ( η γραµµή του Α επ ) + (i γραµµή του Α επ ). a Βήµα 3 ο : Συνεχίζουµε τη διαδικασία, ξεκινώντας τώρα µε οδηγό στοιχείο, δηλαδή το a, το ο στοιχείο της κυρίας διαγωνίου του πίνακα ( ) και εκτελούµε µία πράξη µεταξύ της ης γραµµής και κάθε µίας από τις επόµενες γραµµές, έτσι ώστε όλα τα στοιχεία κάτω από το οδηγό στοιχείο να µηδενίζονται. Μετά το πέρας του βήµατος αυτού ο νέος επαυξηµένος πίνακας θα έχει τη µορφή: A επ a a a3 a b () () () () 0 a a3 a b (3) (3) (3) Aεπ ( ) = 0 0 a33 a3 b 3. (3) (3) (3) 0 0 a3 a b Ο παραπάνω πίνακας, προκύπτει από την πράξη (i = 3,,): () 49