Κοινή εφα τοµένη Αν θέλουµε να βρούµε τη κοινή εφα τοµένη ( ε ) : y=α +β των γραφικών αραστάσεων gδυο συναρτήσεων g εργαζόµαστε ως εξής:,( ) ( ) Έστω ( ),g( ) τα κοινά σηµεία της (ε) µε την εφα τοµένη (ε) έχει: αφενός εξίσωση y ( ) = ( )( ) y= ( ) + ( ) ( ) αφετέρου y g( ) = g ( )( ) y= g ( ) + g( ) g ( ) a a b b g αντίστοιχα Η κοινή ( ) = g ( ) άρα Λύνοντας το σύστηµα ως ρος βρίσκουµε τα ( ) ( ) = g( ) g ( ) σηµεία ε αφής την εξίσωση της εφα τοµένης Σχόλιο Αν η κοινή εφα τοµένη ( ε ) : y=α +βτων γραφικών αραστάσεων συναρτήσεων g γνωρίζουµε ότι είναι σε κοινό τους σηµείο, τότε: Αν A( ) gτων, y το κοινό τους σηµείο θα έχουµε: y = ( ) ε ειδή A y = g( ) ε ειδή A g, άρα ( ) = g( ) () Ε ειδή λ ε =α ταυτόχρονα α= ( ) καθότι η (ε) εφα τοµένη της, ( ) αλλά α = g ( ) καθότι η (ε) εφα τοµένη της g στο (, g( )), έχουµε ( ) = g ( ) () Λύνοντας το σύστηµα την () ως ρος βρίσκουµε τα κοινά σηµεία των γραφικών αραστάσεων των g στο ( ) Θέτοντας στην () τις λύσεις της () βρίσκουµε όσα α ό τα κοινά τους σηµεία είναι σηµεία ε αφής, ο ότε τελικά βρίσκουµε το λήθος των κοινών εφα τοµένων των εξισώσεών τους Εφαρµογή Να βρεθεί η κοινή εφα τοµένη των γραφικών αραστάσεων των συναρτήσεων µε τύ ους g() = ln Λύση Έστω ( ε ) : y=α +β η κοινή εφα τοµένη των γραφικών αραστάσεων συναρτήσεων g Είναι () = e g () = Αν A(, ( ) ) B(,g( )) τα κοινά σηµεία της (ε) µε την εφα τοµένη (ε) έχει: αφενός εξίσωση y e = e ( ) y= e + e e + a b () = e gτων δυο g αντίστοιχα Η κοινή σελίδα α ό
αφετέρου y+ ln = ( ) y = + ln e = = e = e άρα e + e = ln e e + e = ln e e + = = e () e (+ ) = () B,, η εξίσωση της κοινής εφα τοµένης είναι η y= + ( ) a Η () έχει ροφανή ρίζα =, ο ότε η () µας δίνει =, ο ότε A(, ) Εφαρµογή Να βρεθεί η κοινή εφα τοµένη των γραφικών αραστάσεων των συναρτήσεων µε τύ ους 3 () = + g() = 4 + 8 στα κοινά τους σηµεία Λύση Αν A(, y ) το κοινό τους σηµείο θα έχουµε: y = ( ) ε ειδή A y = g( ) ε ειδή A g, άρα ( ) = g( ) 3 + = 4+ 8 3 4 3+ 8= () Λύνουµε µε σχήµα Horner την () βρίσκουµε για λύσεις = 3 ή = έχουµε αντίστοιχα y = 34 ή y = 4, ο ότε τα κοινά σηµεία των δυο καµ ύλων είναι το A( 3, 34 ) το B(, 4) Έχουµε () = 3 g () = 8+, ο ότε ε ειδή ρέ ει να ε αληθεύεται η ισότητα ( ) = g ( ) 3 = 8 + () Για = 3 η () γίνεται: 6= 6, δεκτό Για = η () γίνεται: = 4, αδύνατο Συµ έρασµα: Οι γραφικές αραστάσεις gτων δυο συναρτήσεων g έχουν δυο κοινά σηµεία, τα B, 4 στα ο οία: A( 3, 34 ) ( ) - Στο µεν A( 3, 34 ) έχουν κοινή εφα τοµένη την y 34= 6( 3) y= 6 44, - Στο δε B(, 4) δεν έχουν κοινή εφα τοµένη, αλλά α λώς τέµνονται b Θεώρηµα του Fermat Αν µια συνάρτηση είναι ορισµένη σε ένα διάστηµα το είναι εσωτερικό σηµείο του, το ( ) είναι το ικό ακρότατο η αραγωγίζεται στο, σελίδα α ό
τότε ( ) = Γεωµετρικά αυτό σηµαίνει ότι η εφα τοµένη της άξονα στο σηµείο A(, ( )) είναι αράλληλη στον Το αντίστροφο του θεωρήµατος του Fermat δεν ισχύει Υ άρχουν δηλαδή ου ανήκουν στο εδίου ορισµού µιας συνάρτησης, στα ο οία ( ), αλλά η δεν αρουσιάζει το ικό ακρότατο στο = Σε ασκήσεις ου έχουµε αραγωγίσιµες συναρτήσεις σε κά οιο διάστηµα = [ α, µια ανισοϊσότητα της µορφής () g() ισχύει για κάθε, συνήθως χρειάζεται να υ ολογίσουµε το ( ), ό ου ( α, Στις ασκήσεις αυτές εφαρµόζουµε το Θεώρηµα του Fermat, ως εξής: Έστω η συνάρτηση h() = () g(),, ο ότε h() Βρίσκουµε κά οιο ( α, µε h( ) =, ο ότε έχουµε h() h( ), άρα h( ) = ymn (Fermat) h ( ) =, κτλ Όµοια εργαζόµαστε αν () g(), ο ότε h( ) = yma h ( ) =, κτλ Εφαρµογή Αν για την αραγωγίσιµη συνάρτηση ισχύει η σχέση Λύση Έστω η συνάρτηση άρα h() h(), άρα ma h () e () () e () για κάθε >, να το () h() = e (), (, + ), ο ότε h() Είναι h() = y (Fermat) h () = Είναι = ( + ), άρα ( ) () = () = h() = e () =, h () = e () + () = () ε ειδή h () = έχουµε 3 Μονοτονία συνάρτησης Έστω µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Η µονοτονία της στο η αράγωγός της συνδέονται µε το εξής θεώρηµα: α Αν η είναι συνεχής στο () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο β Αν η είναι συνεχής στο () < σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο Στα άκρα του δεν ενδιαφέρει ούτε το ρόσηµο της ούτε καν η ύ αρξή της Το µόνο α αραίτητο είναι η συνέχεια της στα άκρα του, εφόσον φυσικά ορίζεται σε κά οιο α ό αυτά σελίδα 3 α ό
Αν αντί για ένα διάστηµα έχουµε ένωση διαστηµάτων, για αράδειγµα ένα σύνολο της µορφής A = µε, διαστήµατα στο σύνολο Α η είναι συνεχής η διατηρεί σταθερό ρόσηµο στα εσωτερικά σηµεία των τότε δεν ροκύ τει ότι η είναι γνησίως µονότονη στο Α, αλλά ότι είναι γνησίως µονότονη σε καθένα α ό τα, φυσικά µε το ίδιο είδος µονοτονίας Για τον λόγο αυτό στον ίνακα µονοτονίας της βάζουµε: τις τιµές ό ου η δεν ορίζεται αν υ άρχουν τέτοια τις ρίζες της, αν υ άρχουν, τα άκρα των διαστηµάτων του εδίου ορισµού της Αν µια συνάρτηση είναι συνεχής γνησίως µονότονη στα διαστήµατα ( α, [ β, γ) µε το ίδιο είδος µονοτονίας, τότε η είναι γνησίως µονότονη στο διάστηµα ( α, [ β, γ) = ( α, γ) Αυτό το συµ έρασµα ροκύ τει α ό τον ορισµό της µονοτονίας Αν µια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστηµα αραγωγίσιµη στα εσωτερικά σηµεία του για τα ο οία ισχύει () το λήθος των σηµείων µηδενισµού της είναι: ή ε ερασµένο, δηλαδή η εξίσωση () = έχει ε ερασµένο λήθος ριζών ή ά ειρο λήθος χωρίς όµως να µηδενίζεται σε κά οιο υ οδιάστηµα του, τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο Αν µια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστηµα αραγωγίσιµη στα εσωτερικά σηµεία του για τα ο οία ισχύει () το λήθος των σηµείων µηδενισµού της είναι: ή ε ερασµένο, δηλαδή η εξίσωση () = έχει ε ερασµένο λήθος ριζών ή ά ειρο λήθος χωρίς όµως να µηδενίζεται σε κά οιο υ οδιάστηµα του, τότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο Σχόλιο! Το ε ερασµένο λήθος µας εξασφαλίζει ότι η αράγωγος δεν µηδενίζεται σε κά οιο υ οδιάστηµα του Γνωρίζοντας ότι µια συνάρτηση είναι γνήσια µονότονη σε ένα διάστηµα ότι έχει µια ρίζα σε εσωτερικό σηµείο του διαστήµατος, µ ορείς να βγάλεις συµ έρασµα για το ρόσηµο της Αν δεν µ ορούµε να βρούµε αλγεβρικά το ρόσηµο της, τότε ερνάµε στη δεύτερη αράγωγο, ο ότε βρίσκουµε τη µονοτονία της σε συνδυασµό µε τις ρίζες της βρίσκουµε τελικά το ρόσηµό της Σχόλιο: Αν χρειασθεί ερνάµε στη Τρίτη αράγωγο σελίδα 4 α ό
Προσέξτε ένα λε τό σηµείο!!! Αν η είναι κλάσµα µε αρονοµαστή να έχει µόνιµο ρόσηµο δεν θα εράσεις στη δεύτερη αράγωγο, αλλά θα θέσεις h() τη συνάρτηση του αριθµητή, θα βρεις την h (), ο ότε α ό το ρόσηµο της h() τελικά θα έχεις το ρόσηµο της Σχόλιο: Αν χρειασθεί ερνάµε στην h () 4 Μονοτονία εξισώσεις Η µονοτονία µιας συνάρτησης βρίσκει συχνά εφαρµογή στη λύση εξισώσεων ή στην εύρεση του λήθους των ραγµατικών ριζών µιας εξίσωσης Συγκεκριµένα: α Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως µονότονη στο διάστηµα, τότε η εξίσωση () = έχει το ολύ µία ρίζα στο Αν λοι όν (α) = για κά οιο α, τότε το = α είναι η µοναδική ρίζα της εξίσωσης () = στο β Αν η είναι γνησίως φθίνουσα (αύξουσα) στο ( α,, γνησίως αύξουσα (φθίνουσα) στο ( β, γ) ( =, τότε το = β είναι η µοναδική ρίζα της εξίσωσης () = στο ( α, γ) το ( = είναι το ελάχιστο (µέγιστο) της στο ( α, γ) γ Κάθε γνησίως µονότονη συνάρτηση σε ένα σύνολο (εδώ όχι υ οχρεωτικά διάστηµα) είναι - Έτσι, ορισµένες φορές µια εξίσωση τη φέρνουµε στη µορφή (g()) = (h()), ό ου µια γνησίως µονότονη συνάρτηση, ο ότε g () = h() Η τελευταία εξίσωση ιθανόν να είναι α λούστερη στην ε ίλυσή της δ Στις µικτές εξισώσεις, ε ειδή είναι άλυτες µε αλγεβρικές µεθόδους, βρίσκουµε ρώτα τις ροφανείς λύσεις στη συνέχεια µε τη µονοτονία δείχνουµε ότι δεν υ άρχουν άλλες 5 Μονοτονία λήθος ραγµατικών ριζών εξίσωσης Η ύ αρξη των ριζών µιας εξίσωσης της µορφής () = σε διάστηµα εξασφαλίζεται συνήθως µε εφαρµογή ή του θεωρήµατος του BOLZANO για την ή µε εφαρµογή του θεωρήµατος ROLLE σε µια αρχική συνάρτηση της, δηλαδή σε µια συνάρτηση F µε F () = (), για κάθε Εκτός όµως των αρα άνω δύο δυνατοτήτων, συχνά α λή α οτελεσµατική είναι η µέθοδος της µονοτονίας Συγκεκριµένα, για την εύρεση του λήθους των ραγµατικών ριζών της εξίσωσης () =, ακολουθούµε τα εξής βήµατα: α Κατασκευάζουµε τον ίνακα µονοτονίας της βρίσκουµε τα διαστήµατα,,, ν στα ο οία η είναι γνησίως µονότονη β Βρίσκουµε τα λευρικά όρια στα άκρα των,,, ν, ο ότε, λόγω της συνέχειας ου είναι εξασφαλισµένη εκ των ροτέρων, ροκύ τουν αµέσως τα ( ), ( ),, ( ) ν γ Κάθε φορά ου σε κά οιο α ό τα ( ), =,,, ν ανήκει το, συµ εραίνουµε ότι η () = έχει µοναδική ρίζα στο διάστηµα Η ύ αρξη της ρίζας ροκύ τει α ό το θεώρηµα σελίδα 5 α ό
ενδιάµεσων τιµών η µοναδικότητα α ό το γεγονός ότι η είναι γνησίως µονότονη στο διάστηµα Το λήθος των ριζών της εξίσωσης () = είναι το ίδιο µε το λήθος των στα ο οία υ άρχει ρίζα της Να τονίσουµε ότι αν ένα κοινό άκρο δύο διαδοχικών διαστηµάτων + είναι ρίζα, αυτό ρέ ει να το µετρήσουµε ως ρίζα µόνο µία φορά Αν όµως τα τα ορίσουµε µε ανοικτό το αριστερό άκρο κλειστό το δεξιό (αν ορίζεται η ), τότε ο κίνδυνος να µετρήσουµε µια ρίζα δύο φορές δεν υφίσταται 6 Εύρεση συνόλου τιµών συνάρτησης Για την εύρεση του συνόλου τιµών ( ) µιας συνάρτησης ου έχει εδίο ορισµού το σύνολο, ακολουθούµε τη διαδικασία ου εριγράψαµε αρα άνω Έτσι, έχοντας βρει τα ( ), ( ),, ( ν ), συµ εραίνουµε ότι το σύνολο τιµών της συνάρτησης είναι η ένωση των αρα άνω συνόλων Είναι λοι όν ( ) = ( ) ( ) ( ) ν 7 Κρίσιµα σηµεία Κρίσιµα σηµεία µιας συνάρτησης σε ένα διάστηµα λέγονται τα εσωτερικά σηµεία του, στα ο οία η είναι συνεχής : η δεν ορίζεται ή η µηδενίζεται Αν λοι όν ένα είναι εσωτερικό σηµείο του, αυτό θα καλείται κρίσιµο σηµείο όταν: η είναι συνεχής στο ή δεν υ άρχει το ( ) ή υ άρχει είναι ( ) = Σηµείωση: Ένα κρίσιµο σηµείο της συνάρτησης για το ο οίο ισχύει ( ) =, λέγεται ειδικά στάσιµο σηµείο της 8 Το ικά ακρότατα Τα το ικά ακρότατα µιας συνεχούς συνάρτησης τα αναζητούµε: στα κλειστά άκρα των διαστηµάτων του εδίου ορισµού της, εφόσον υ άρχουν τέτοια, στα κρίσιµα σηµεία της, δηλαδή στα εσωτερικά σηµεία του εδίου ορισµού της στα ο οία η είτε δεν υ άρχει είτε υ άρχει µηδενίζεται Τα το ικά ακρότατα µιας ασυνεχούς συνάρτησης τα αναζητούµε: στα κλειστά άκρα των διαστηµάτων του εδίου ορισµού της, εφόσον υ άρχουν τέτοια, στα εσωτερικά σηµεία του εδίου ορισµού της στα ο οία η δεν ορίζεται, στα εσωτερικά σηµεία του εδίου ορισµού της στα ο οία η µηδενίζεται, στα σηµεία ασυνέχειας της σελίδα 6 α ό
Για την εύρεση των το ικών ακρότατων µιας συνάρτησης µε τη βοήθεια του ρόσηµου της, χρησιµο οιούµε το εξής θεώρηµα: Έστω η συνάρτηση συνεχής στο διάστηµα = [ α, αραγωγίσιµη σε όλα τα εσωτερικά σηµεία του, µε εξαίρεση ίσως ένα εσωτερικό σηµείο ( α, Τότε: αν ( ) > στο ( α, ) ( ) < στο (, τότε το ( ) είναι το ικό µέγιστο της στο = [ α, αν ( ) < στο ( α, ) ( ) > στο (, τότε το ( ) είναι το ικό ελάχιστο της στο = [ α, αν η διατηρεί ρόσηµο στο ( α, ) (, τότε το ( ) δεν είναι το ικό ακρότατο η είναι γνησίως µονότονη στο διάστηµα = [ α, Παρατήρηση: Ακριβώς τα ίδια ισχύουν αν το διάστηµα έχει την µορφή = ( α, ή = [ α, ή = ( α, Προσέξτε! Σύµφωνα µε το ροηγούµενο θεώρηµα έχουµε το εξής συµ έρασµα: Αν το είδος της µονοτονίας µιας συνάρτησης αλλάζει εκατέρωθεν ενός σηµείου, δηλαδή έχει διαφορετικά είδη µονοτονίας στα υ οδιαστήµατα ( α, ) (, στα ο οία η είναι αραγωγίσιµη στο η είναι συνεχής, τότε το σηµείο αυτό είναι θέση το ικού ακρότατου της, δηλαδή το ( ) α οτελεί το ικό ακρότατο της, ανεξάρτητα α ό το αν η είναι αραγωγίσιµη ή όχι στο Άρα η ύ αρξη σε αυτή τη ερί τωση του ( ) µας αφήνει αδιάφορους! Αν µια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστηµα, η δεν αλλάζει ρόσηµο εκατέρωθεν κανενός εσωτερικού σηµείου του το λήθος των σηµείων µηδενισµού της είναι ε ερασµένο, τότε η είναι γνησίως µονότονη στο διάστηµα Για την εύρεση των ολικών ακρότατων µιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα διάστηµα [ α,, βρίσκουµε τα το ικά ακρότατα της α ό αυτά το µικρότερο το ικό ελάχιστο είναι το ολικό ελάχιστο το µεγαλύτερο το ικό µέγιστο είναι το ολικό µέγιστο της στο [ α, 9 Καµ υλότητα Μια συνάρτηση, συνεχής στο διάστηµα, λέγεται κυρτή ή ότι στρέφει τα κοίλα ρος τα άνω στο, όταν είναι αραγωγίσιµη στα εσωτερικά σηµεία του η είναι γνησίως αύξουσα στο Μια συνάρτηση, συνεχής στο διάστηµα, λέγεται κοίλη ή ότι στρέφει τα κοίλα ρος τα κάτω στο, όταν είναι αραγωγίσιµη στα εσωτερικά σηµεία του η είναι γνησίως φθίνουσα στο σελίδα 7 α ό
Είτε ρόκειται για κυρτή είτε για κοίλη συνάρτηση στο διάστηµα, δεν ενδιαφέρει καν η ύ αρξη της αραγώγου στα άκρα του, αν φυσικά αυτά είναι κλειστά, αρά µόνο η συνέχεια Η κυρτότητα της στο η δεύτερη αράγωγός της συνδέονται µε το εξής θεώρηµα: Έστω µια συνάρτηση συνεχής στο διάστηµα δύο φορές αραγωγίσιµη στο εσωτερικό του Αν () > για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η είναι κυρτή στο Αν () < για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η είναι κοίλη στο Το αντίστροφο του αρα άνω θεωρήµατος δεν ισχύει, αφού είναι δυνατόν η να είναι για αράδειγµα κυρτή στο () = για κά οιο Σηµεία καµ ής Έστω µια συνάρτηση συνεχής στο διάστηµα Ένα σηµείο M(, ( )) µε εσωτερικό σηµείο του, λέγεται σηµείο καµ ής της γραφικής αράστασης της συνάρτησης, όταν: Η αλλάζει καµ υλότητα εκατέρωθεν του, Ορίζεται η εφα τοµένη της γραφικής αράστασης της συνάρτησης στο σηµείο Μ Προσέξτε! Στο σηµείο δεν είναι α αραίτητο να αραγωγίζεται η συνάρτηση Είναι όµως α αραίτητο να αραγωγίζεται στα εσωτερικά σηµεία των δυο υ οδιαστηµάτων εκατέρωθεν του ηλαδή αν = [ α, ή = [ α, ή = ( α, ή = ( α, διαστήµατα τότε η συνάρτηση ρέ ει να είναι αραγωγίσιµη στα υ οδιαστήµατα α, ) (, β ) ( Στα σηµεία καµ ής η εφα τοµένη της γραφικής αράστασης της συνάρτησης δια ερνά την καµ ύλη Έστω ότι το σηµείο M(,( )) είναι σηµείο καµ ής της γραφικής αράστασης της συνάρτησης Ισχύει τότε ότι: () = ή δεν υ άρχει η δεύτερη αράγωγος της στο Ε οµένως, αν η είναι δύο φορές αραγωγίσιµη στο το είναι θέση σηµείου καµ ής της γραφικής αράστασης της συνάρτησης, τότε () = Σύµφωνα µε τα ροηγούµενα, οι ιθανές θέσεις σηµείων καµ ής της γραφικής αράστασης µιας συνεχούς συνάρτησης σ ένα διάστηµα είναι τα εσωτερικά σηµεία του, στα ο οία: η µηδενίζεται ή δεν υ άρχει η, αλλά υ άρχει η εφα τοµένη της γραφικής αράστασης στο σηµείο αυτό, ου σηµαίνει ότι: σελίδα 8 α ό
ή υ άρχει η ( ), άρα η εφα τοµένη είναι µη κατακόρυφη, ή δεν υ άρχει η ( ), άρα η εφα τοµένη είναι κατακόρυφη Ότι αν η είναι ορισµένη σε ένα διάστηµα ( α, ( α,, η αλλάζει ρόσηµο εκατέρωθεν του ορίζεται η εφα τοµένη της γραφικής αράστασης της συνάρτησης, στο σηµείο M(,( )), τότε το M(,( )) είναι σηµείο καµ ής της γραφικής αράστασης της συνάρτησης Ότι στο ίδιο σηµείο ( ) σηµείο καµ ής ακρότατο Σχόλιο Αν υ άρχει η ( ) τη συνάρτηση, ( ) µε ( ) = ( ) = δεν µ ορούµε ταυτόχρονα να έχουµε, τότε η τετµηµένη ενός σηµείου καµ ής είναι θέση το ικού ακροτάτου για Ασύµ τωτες ευθείες της γραφικής αράστασης µιας συνάρτησης Όταν η γραφική αράσταση µιας συνάρτησης έχει άφρακτο κλάδο, τότε η γραφική της αράσταση µ ορεί να έχει (δεν είναι σίγουρο) ασύµ τωτη Ένας άφρακτος κλάδος µ ορεί να υ άρχει ή όταν δεν φράσσονται οι τιµές µιας συνάρτησης ή όταν δεν φράσσεται το εδίο ορισµού της συνάρτησης Α Όταν δεν φράσσονται οι τιµές µιας συνάρτησης η γραφική αράσταση µ ορεί να έχει κατακόρυφη ασύµ τωτη Συγκεκριµένα ισχύει το εξής: Λέµε ότι η ευθεία =α είναι κατακόρυφη ασύµ τωτη της γραφικής αράστασης µιας συνάρτησης όταν τουλάχιστον ένα α ό τα λευρικά όρια Lm () ή Lm () ισούται είτε µε + είτε µε α Αν µια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστηµα τότε στα εσωτερικά σηµεία του είναι αδύνατον η συνάρτηση να έχει κατακόρυφη ασύµ τωτη αυτό διότι για κάθε εσωτερικό σηµείο του θα ισχύει Lm () = ( ) Άρα οι κατακόρυφες ασύµ τωτες αναζητιούνται: Α Αν η συνάρτηση είναι συνεχής, στα άκρα των διαστηµάτων του εδίου ορισµού της εφόσον δεν ορίζεται σε κά οιο α ό αυτά Β Αν η συνάρτηση είναι ασυνεχής, στα άκρα των διαστηµάτων του εδίου ορισµού της ή στα σηµεία ασυνέχειάς της σελίδα 9 α ό + α
Εφαρµογή Έστω η συνάρτηση Λύση () = e + ln Το εδίο ορισµού της είναι το A (, ) (, + ) Να βρεθούν οι κατακόρυφες ασύµ τωτες της = Η συνάρτηση είναι συνεχής στο Α, άρα οι εν δυνάµει ιθανές κατακόρυφες ασύµ τωτες είναι οι ευθείες = = Έχουµε: e + ln Lm () = Lm =+, άρα η ευθεία = είναι κατακόρυφη ασύµ τωτη της + + e + ln e + ln Lm () = Lm =+ Lm () = Lm =, άρα η ευθεία = είναι κατακόρυφη + + ασύµ τωτη της Β Όταν δεν φράσσεται το εδίο ορισµού της συνάρτησης η γραφική αράσταση µ ορεί να έχει οριζόντια ή λάγια ασύµ τωτη Συγκεκριµένα ισχύουν τα εξής: - Λέµε ότι η ευθεία y= m είναι οριζόντια ασύµ τωτη της γραφικής αράστασης µιας συνάρτησης στο + όταν ισχύει στο όταν ισχύει Lm () = m + Lm () = m - Λέµε ότι η ευθεία y=α +β είναι λάγια ασύµ τωτη της γραφικής αράστασης µιας συνάρτησης Lm () ( α +β = στο + όταν ισχύει ( ) + Lm () ( α +β = στο όταν ισχύει ( ) Ειδικά για να βρίσκουµε την λάγια ασύµ τωτη ισχύει το εξής: () Αν ισχύουν ακριβώς οι ακόλουθες δυο σχέσεις: Lm =α Lm( () α ) =β + + µόνον τότε η ευθεία y=α +β είναι λάγια ασύµ τωτη της γραφικής αράστασης της συνάρτησης στο + () Αν ισχύουν ακριβώς οι ακόλουθες δυο σχέσεις: Αν Lm =α Lm( () α ) =β µόνον τότε η ευθεία y=α +β είναι λάγια ασύµ τωτη της γραφικής αράστασης της συνάρτησης στο Στη εριοχή του +, αν η γραφική αράσταση µιας συνάρτησης έχει ασύµ τωτη τότε ή θα έχει µόνον οριζόντια ή θα έχει µόνο λάγια! σελίδα α ό
Στη εριοχή του, αν η γραφική αράσταση µιας συνάρτησης έχει ασύµ τωτη τότε ή θα έχει µόνον οριζόντια ή θα έχει µόνο λάγια! Οι ολυωνυµικές συναρτήσεις δεν έχουν κατακόρυφες ασύµ τωτες Η ολυωνυµική συνάρτηση ου βαθµού, δηλαδή η () =α +β, θεωρείται ότι έχει στο + στο λάγια ασύµ τωτη τον εαυτό της Οι ολυωνυµικές συναρτήσεις βαθµού µε, δεν έχουν λάγιες ασύµ τωτες Για τις ρητές συναρτήσεις της µορφής () g() h() -γνωρίζουµε τα εξής: =, µε { : h() = } - Αν βαθµός g() <βαθµού h() τότε έχει οριζόντια ασύµ τωτη στο + στο την ευθεία y=, δηλαδή τον άξονα - Αν βαθµός g() =βαθµό h() τότε έχει οριζόντια ασύµ τωτη στο + στο την ευθεία y κ = λ, ό ου κ ο συντελεστής του µεγιστοβάθµιου όρου του g() λ ο συντελεστής του µεγιστοβάθµιου όρου του h() - Αν βαθµός g() > κατά µία µονάδα α ό τον βαθµό h() τότε έχει λάγια ασύµ τωτη στο + στο την ίδια ευθεία y=α +β - Αν βαθµός g() > κατά δύο ή ερισσότερες µονάδες α ό τον βαθµό h() τότε δεν έχει λάγια ασύµ τωτη ούτε στο + ούτε στο σελίδα α ό