ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 8. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Στην προσπάθει μς ν επιλύσουμε λγερικά έν σύστημ δύο εξισώσεων θμού με δύο γνώστους θ έχουμε σν στόχο ν πλείψουμε πό την μί πό τις δύο εξισώσεις τον δεύτερο άγνωστο έτσι ώστε ν μπορέσουμε ν ρούμε τον άλλο. Αυτό επιτυγχάνετι με δύο τρόπους: ) Μέθοδος της ντικτάστσης Λέγετι μέθοδος της ντικτάστσης γιτί στην προσπάθει μς ν πλείψουμε τον ένν άγνωστο στην μί πό τις δύο εξισώσεις ντικθιστούμε την τιμ του ενός γνώστου πό την μί εξίσωση στην άλλη γι ν προκύψει μί πρωτοάθμι εξίσωση. Η μέθοδος υτ χρησιμοποιείτι συνθως ότν η μι εξίσωση είνι λυμένη ως προς έν άγνωστο μπορεί ν λυθεί εύκολ ως προς τον ένν άγνωστο(δεν υπάρχουν συντελεστές στους γνώστους).επομένως τ μτ που κάνουμε σε υτ την μέθοδο είνι: Λύνουμε τη μι εξίσωση ως προς τον έν άγνωστο(προτιμώντς τον άγνωστο χωρίς συντελεστ). Αντικθιστούμε την τιμ του γνώστου υτού στην άλλη εξίσωση οπότε προκύπτει μι πρωτοάθμι εξίσωση την οποί λύνοντς ρίσκουμε τον ένν άγνωστο. Αντικθιστούμε την τιμ υτ του γνώστου που ρίσκουμε στην άλλη εξίσωση(την οποί κουλάμε μέχρι το τέλος γι το σκοπό υτό) κι ρίσκουμε τον δεύτερο άγνωστο. ) Μέθοδος των ντίθετων συντελεστών Λέγετι μέθοδος των ντίθετων συντελεστών γιτί στην προσπάθει μς ν πλείψουμε τον ένν άγνωστο στην μί πό τις δύο εξισώσεις κάνουμε ντίθετους τους συντελεστές του ενός γνώστου στις δύο εξισώσεις, οπότε με πρόσθεση κτά μέλη των εξισώσεων υτών προκύπτει μι πρωτοάθμι εξίσωση. Η μέθοδος υτ χρησιμοποιείτι συνθως ότν υπάρχουν ντίθετοι συντελεστές σε ένν άγνωστο στις δύο εξισώσεις ότν όλοι οι άγνωστοι έχουν συντελεστ. Επομένως τ μτ που κάνουμε σε υτ την μέθοδο είνι: Πολλπλσιάζουμε κι τ δύο μέλη κάθε εξίσωσης με κτάλληλο ριθμό (το Ε.Κ.Π των συντελεστών του γνώστου) γι ν κάνουμε ντίθετους
8 ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ τους συντελεστές του ενός γνώστου. Προσθέτουμε κτά μέλη τις δύο εξισώσεις που προκύπτουν (γιτί ν κι γ δ τότε γ δ) κι ρίσκουμε μι πρωτοάθμι εξίσωση με ένν άγνωστο την οποί λύνοντς ρίσκουμε τον ένν άγνωστο. Αντικθιστούμε την τιμ του γνώστου υτού σε μί πό τις δύο ρχικές εξισώσεις(διλέγουμε μί πό τις δύο,την πιο πλ, κι την κουλάμε μέχρι το τέλος γι τον σκοπό υτό) κι ρίσκουμε τον δεύτερο άγνωστο. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Ν ρείτε ποιο πό τ πρκάτω ζεύγη είνι λύση του συστμτος y y ) (, ) ) ( 7, ) γ) (, ) δ) (5, ). ΑΠΑΝΤΗΣΗ Θ εξετάσουμε ποιο πό τ ζεύγη επληθεύει κι τις δύο εξισώσεις του συστμτος. ) Γι το ζεύγος (, ) έχουμε : η εξίσωση Επληθεύετι η εξίσωση Δεν επληθεύετι Το ζεύγος (, ) δεν είνι λύση του συστμτος ) Γι το ζεύγος ( 7, ) έχουμε : η εξίσωση 7 () 7 Επληθεύετι η εξίσωση 7() 7 8 Δεν επληθεύετι Το ζεύγος ( 7, ) δεν είνι λύση του συστμτος γ) Γι το ζεύγος (, ) έχουμε : η εξίσωση 8 Δεν επληθεύετι η εξίσωση Επληθεύετι Το ζεύγος (, ) δεν είνι λύση του συστμτος δ) Γι το ζεύγος (5, ) έχουμε : η εξίσωση 5 Επληθεύετι η εξίσωση 5 Επληθεύετι Το ζεύγος (5, ) είνι λύση του συστμτος y 5. Γι την επίλυση του συστμτος με τη μέθοδο της ντικτάστσης είνι προτιμότερο ν λύσουμε y 7 : ) Την πρώτη εξίσωση ως προς ; ) Την πρώτη εξίσωση ως προς y ;
ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 8 γ) Τη δεύτερη εξίσωση ως προς ; δ) Τη δεύτερη εξίσωση ως προς y ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Γι την επίλυση του δοσμένου συστμτος με την μέθοδο της ντικτάστσης είνι προτιμότερο ν λύσουμε την δεύτερη εξίσωση ως προς y,δηλδ το δ. Τότε θ προκύψει η εξίσωση : y 7 5y. Αν στο σύστημ εφρμόσουμε τη μέθοδο των - 5y 9 ντιθέτων συντελεστών προκύπτει η εξίσωση ) ; ) 9 ; γ) 5 0 ; δ) 5 0 ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πρτηρώντς το δοσμένο σύστημ, διπιστώνουμε ότι οι συντελεστές του γνώστου y στις δύο εξισώσεις του συστμτος είνι μετξύ τους ντίθετοι. Προσθέτοντς τις δύο εξισώσεις κτά μέλη προκύπτει η εξίσωση 5 0, δηλδ το γ.. Με ποιους ριθμούς πρέπει ν πολλπλσιάσουμε τ μέλη κάθε εξίσωσης γι ν προκύψουν ντίθετοι συντελεστές στον άγνωστο y σε κάθε σύστημ ; 5 y 9... y... - y... 5y... ΑΠΑΝΤΗΣΗ Οι κτάλληλοι ριθμοί με τους οποίους πρέπει ν πολλπλσιάσουμε τ μέλη κάθε εξίσωσης γι ν προκύψουν ντίθετοι συντελεστές στον άγνωστο y σε κάθε έν πό τ συστμτ είνι,όπως φίνοντι σε κάθε μί των περιπτώσεων. 5 y 9 - y y 5 5y 5. Με ποι μέθοδο είνι προτιμότερο ν λύσουμε κθέν πό τ πρκάτω συστμτ ; 7 y 8 5y 7 y 5 y ) ) γ) δ) y 5 5y 8 y -5 8 y ΑΠΑΝΤΗΣΗ Οι μέθοδοι είνι : ) Μέθοδος της ντικτάστσης ) Μέθοδος των ντιθέτων συντελεστών γ) Μέθοδος της ντικτάστσης δ) Μέθοδος των ντιθέτων συντελεστών
8 ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ. Σε κθέν πό τ πρκάτω συστμτ y 5 5 7y ( Σ ) : ( Σ ) : y - 5 7y ν εφρμόσουμε τη μέθοδο των ντιθέτων συντελεστών πλείφοντι κι οι δύο άγνωστοι. Ποιο συμπέρσμ προκύπτει γι κθέν πό τ συστμτ ; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Το ( Σ ) είνι Αδύντο κι το ( Σ ) έχει άπειρες λύσεις. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ Ν λύσετε τ συστμτ. y y - - y 0 y - ) ) γ) δ) y y 0 y 9 y - ) Θ επιλύσουμε το σύστημ με την μέθοδο της ντικτάστσης y y y 8 8 9 y y y ) Θ επιλύσουμε το σύστημ με την μέθοδο της ντικτάστσης y - y - y 0 y ( ) - - y y - 5 - - 5 5 y y 5 5 γ) Θ επιλύσουμε το σύστημ με την μέθοδο της ντικτάστσης ) Αντικθιστούμε την τιμ του γνώστου y πό την δεύτερη των εξισώσεων στην πρώτη κι κάνουμε πράξεις.η λύση του συστμτος είνι 9 κι y. ) Επιλύουμε την δεύτερη εξίσωση του συστμτος προς y κι ντικθιστούμε στην πρώτη εξίσωση του συστμτος. Κάνουμε τις σχετικές πράξεις μετά την ντικτάστση. Η λύση του συστμτος είνι κι y 5 5 γ) Επιλύουμε την πρώτη εξίσωση ως προς τον άγνωστο y Α- ντικθιστούμε τον άγνωστο y στην δεύτερη εξίσωση Κάνου-
ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 85 - y 0-0 y y 9 y 9 y -0 y -0 ( -0) 9-0 9 y -0 y -0 9 0 9 y -0 y -0 9 9 δ) Θ επιλύσουμε το σύστημ με την μέθοδο της ντικτάστσης y - y - y - y - ( y - ) y - y - 9 y - y - y - 5y 9-5y 5 y - y - 5 5 y y - 5-5 y - (-) - με τις σχετικές πράξεις γι ν επιλύσουμε την εξίσωση υτ Βρίσκουμε την τιμ του γνώστου κι την ντικθιστούμε στην πρώτη εξίσωση γι ν ρούμε την τιμ του γνώστου y. Η λύση του συστμτος είνι,y δ) Επιλύουμε την δεύτερη εξίσωση ως προς τον άγνωστο Αντικθιστούμε τον άγνωστο στην πρώτη εξίσωση Κάνουμε τις σχετικές πράξεις γι ν επιλύσουμε την εξίσωση υτ Βρίσκουμε την τιμ του γνώστου y κι την ντικθιστούμε στην δεύτερη εξίσωση γι ν ρούμε την τιμ του γνώστου. Η λύση του συστμτος είνι -, y - ΑΣΚΗΣΗ Ν λύσετε τ συστμτ. y 7 y y 0 ) ) γ) δ) - y 5 y y 0 ) Θ επιλύσουμε το σύστημ με την μέθοδο των ντιθέτων συντελεστών. y 7 y 7 - y - y y 7 y 7 - y 5 9y ) Πρτηρούμε ότι οι συντελεστές του γνώστου y είνι ντίθετοι. Διτηρούμε μί πό τις εξισώσεις π.χ. την πρώτη κι ντικθιστούμε την δεύετρη με το άθροι-σμ των των δύο εξισώσεων. Αντικθιστούμε την τιμ του στην πρώτη εξίσωση κι κάνουμε τις σχετικές πράξεις
8 ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 7 y y ) Θ επιλύσουμε το σύστημ με την μέθοδο των ντιθέτων συντελεστών. y y 5 y 5 y y 5 y y 9 y y 8 y 9 y y 8 y - y y γ) Θ επιλύσουμε το σύστημ με την μέθοδο των ντιθέτων συντελεστών. y 0 y 0 y 0 y 0 9 y 0 y 0 9 y 0 0 γι ν ρούμε τον άγνωστο y Η λύση του συστμτος είνι, y ) Πολλπλσιάζουμε τους όρους της ης εξίσωσης επί τον ριθμό κι της ης επί τον ριθμό γι ν δημιουργσουμε ντί-θετους συντελεστές στον γνωστο y Διτηρούμε μί πό τις εξισώσεις π.χ. την η κι ντικθιστούμε την η με το άθροισμ των δύο εξισώσεων Βρίσκουμε την τιμ του γνώστου κι στην συνέχει ντικθιστούμε την τιμ υτ στην η εξίσωση γι ν ρούμε την τιμ του γνώστου y Κάνουμε τις σχετικές πράξεις Η λύση του συστμτος είνι κι y γ) Πολλπλσιάζουμε τους όρους της ης εξίσωσης επί τον ριθμό κι της ης επί τον ριθμό γι ν δημιουργσουμε ντί-θετους συντελεστές στον γνωστο y Διτηρούμε μί πό τις εξισώσεις π.χ. την η κι ντικθιστούμε την η με το άθροισμ των δύο εξισώσεων Βρίσκουμε την τιμ του γνώστου κι στην συνέχει ντικθιστούμε την τιμ υτ στην η εξίσωση γι ν ρούμε την τιμ του γνώστου y Η λύση του συστμτος είνι
ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 87 9 y 0 9 0 y 0 0 0 0 0 0 y 0 y 0-0 0 0 0 δ) Θ επιλύσουμε το σύστημ με την μέθοδο των ντιθέτων συντελεστών. - y 5 - y 5 9y 9y - 9y 5 9y - 0 9y 5 8 ΑΣΚΗΣΗ Ν λύσετε τ συστμτ. y ) y ) y y y y ) y y y y - y 8 5 0 y y 0 5 8 y y - 8 γ) 0 κι y 0 δ) Πολλπλσιάζουμε τους όρους της ης εξίσωσης επί τον ριθμό κι της ης επί τον ριθμό γι ν δημιουργσουμε ντίθετους συντελεστές στον γνωστο y Διτηρούμε μί πό τις εξισώσεις π.χ. την η κι ντικθιστούμε την η με το άθροισμ των δύο εξισώσεων.το σύστημ είνι δύντο φού η η εξίσωση είνι δύντη. 5 y y ) Πολλπλσιάζουμε τους όρους της ης εξίσωσης επί τον ριθμό κι της ης επί τον ριθμό γι ν κάνουμε πλοιφ των προνομστών κάθε εξίσωσης. Επειδ οι συντελεστές του γνώστου y είνι ντίθετοι διτηρούμε την η πό τις εξισώσεις κι ντικθιστούμε την δεύτερη με το άθροισμ τους. Αφού ρούμε την τιμ του γνώστου ντικθιστούμε στην η εξίσωση κι ρίσκουμε τον άγνωστο y Η λύση του συστμτος είνι κι y ) Πολλπλσιάζουμε τους όρους της ης εξίσωσης επί τον
88 ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ y y ) y y y y y y y 5 y 5 y y y 5 y 5 8 y 8 y 5 (-) y 5-9y 5 y 5 9 y y - 5 y γ) y 5 y y ( - 5) (y ) 8 ( ) ( y ) -5 y 8 8 y 8 ριθμό κι της ης επί τον ριθμό γι ν κάνουμε πλοιφ των προνομστών κάθε εξίσωσης Κάνουμε τις σχετικές πράξεις Πολλπλσιάζουμε τους όρους της ης εξίσωσης επί τον ριθμό κι της ης επί τον ριθμό γι ν δημιουργσουμε ντί-θετους συντελεστές στον γνωστο y Επειδ οι συντελεστές του γνώστου y είνι ντίθετοι διτηρούμε την η πό τις εξισώσεις κι ντικθιστούμε την δεύτερη με το άθροισμ τους Αφού ρούμε την τιμ του γνώστου την ντικθιστούμε στην η εξίσωση γι ν ρούμε τον άγνωστο y. Κάνουμε τις σχετικές πράξεις Η λύση του συστμτος είνι - κι y - γ) Πολλπλσιάζουμε τους όρους της ης κι της ης εξίσωσης επί τον ριθμό γι ν κάνουμε πλοιφ των προνομστών κάθε εξίσωσης Κάνουμε τις σχετικές πράξεις Πολλπλσιάζουμε τους όρους της ης εξίσωσης επί τον ριθμό κι της ης επί τον ριθμό γι ν δημιουργσουμε ντίθετους συντελεστές στον γνωστο y Επειδ οι συντελεστές του γνώστου y είνι ντίθετοι διτηρούμε την η πό τις εξισώσεις κι ντικθιστούμε την δεύτερη με το άθροισμ τους Αφού ρούμε την τιμ του γνώστου την ντικθιστούμε στην η εξίσωση γι ν ρούμε
ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 89 y 8 5 - y y -8-8 y y 9 y 9 y 8 y 8 9 y 9 9 y 9 85 7 85 5 7 9 5 y 9 5 y 9 5 5 8 y 9-5 8 y 5 5 τον άγνωστο y. Κάνουμε τις σχετικές πράξεις Η λύση του συστμτος είνι 5 κι y ΑΣΚΗΣΗ Ν λύσετε τ συστμτ. ( y) 0 y ) ) ( y) 5( ) y (y ) y( ) 5 ( )( y) ( y) y(y ) ( y) 0 y ) ( y) 5( ) y 9y 0 y y 5 0 y 9y y 0 y 5 y 0 0y 0 0y 0 7 7y 7( y) 0y 0 0y 0 y y 0y 0 0( ) 0 y - y - ) Κάνουμε τις σχετικές πράξεις Στο ο μέλος της ης εξίσωσης γάζουμε κοινό πράγοντ τον ριθμό 7 κι διγράφουμε προκειμένου ν έχουμε ντίθετους συντελεστές στον άγνωστο Επειδ οι συντελεστές του γνώστου είνι ντίθετοι διτηρούμε την η πό τις εξισώσεις κι ντικθιστούμε την δεύτερη με το άθροισμ τους Αφού ρούμε την τιμ του γνώστου y την ντικθιστούμε στην η εξίσωση γι ν ρούμε τον άγνωστο. Κάνουμε τις σχετικές πράξεις Η λύση του συστμτος είνι 0 κι y.
90 0 0 y 0 y ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 0 0 0 y (y ) y( ) 5 ) ( )( y) ( y) y(y ) y y y 5 y y y y y y y y y 5 y y y y y y 0 y 5 y 5 y 0 5y 5 y 5 ( ) 5-5 y y 5 8 5 5 8 y y ΑΣΚΗΣΗ 5 Ν λύσετε τ συστμτ., 0,8, ) ) 0,9 0, 0,5, 0,8, ) 0,9 0, 0,5, 0,8,0 0,9 0, 0,50 ω 0,φ,5 ω,φ γ) ) Κάνουμε τις σχετικές πράξεις Επειδ οι συντελεστές του γνώστου είνι ντίθετοι διτηρούμε την η πότις εξισώσεις κι ντικθιστούμε την δεύτερη με το άθροισμ τους Αφού ρούμε την τιμ του γνώστου y την ντικθιστούμε στην η εξίσωση γι ν ρούμε τον άγνωστο. Κάνουμε τις σχετικές πράξεις,5,y,8,,y 5, ) Χωρίς ν είνι υποχρεωτικό πολλπλσιάζουμε τ μέλη κάθε εξίσωσης επί 0 προκειμένου ν έχουμε κέριους συντελεστές στους γνώστους Χωρίς ν είνι υποχρεωτικό πολλπλσιάζουμε τ μέλη κάθε εξίσωσης επί 0 προκειμένου ν έχουμε κέριους συντελεστές στους γνώστους Διτηρούμε την η των εξισώσεων κι ντικθιστούμε την
ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 9 8 9 5 8 8 8 8 8 8 8 0 8 8 8-8 η με το άθροισμά τους. Αφού ρούμε την τιμ του γνώστου την ντικθιστούμε στην η εξίσωση γι ν ρούμε τον άγνωστο. Η λύση του συστμτος είνι, ω ω 0,φ,5 0,φ,5 0 ) ω,φ ω,φ 0 ω 0 0 0,φ 0,5 0 ω 0,φ 0 ( ) 5ω φ 0 5ω φ 0-0ω φ 0 0ω φ 0 0ω φ -80 5ω φ 0 0ω φ 0 8φ 90 5ω φ 0 5ω ( 5) 0-90 φ 5 φ 5 8 5ω 0 0 5ω 0 0 0 φ 5 φ 5 0 ω 5 φ 5 ) Πολλπλσιάζουμε τους όρους κάθε εξίσωσης με τον νγρφόμενο ριθμό γι ν προκύψουν εξισώσεις με κέριους συντελεστές. Κάνουμε τις σχετικές πράξεις Θ επιλύσουμε το σύστημ με την μέθοδο των ντιθέτων συντελεστών. Επειδ οι συντελεστές του γνώστου ω είνι ντίθετοι διτηρούμε την η πό τις εξισώσεις κι ντικθιστούμε την δεύτερη με το άθροισμ τους Αφού ρούμε την τιμ του γνώστου φ την ντικθιστούμε στην η εξίσωση γι ν ρούμε τον άγνωστο ω. Κάνουμε τις σχετικές πράξεις Η λύση του συστμτος είνι ω, φ 5 γ) Πολλπλσιάζουμε τ μέλη
9 ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ γ),5,y,8,5,y,80,,y 5,,,y 5,0 5 y 8 75 9y 5 y 5 9y 5 y 8 5 y 8 78 9 78 9 5 ( ) y 8 50 y 8 y 8 50 y ΑΣΚΗΣΗ Ν λύσετε τ συστμτ. ) 0 y y ) 5 γ) κάθε εξίσωσης επί0 ( χωρίς ν είνι υποχρεωτικό ) προκειμένου ν έχουμε κέριους συντελεστές στους γνώστους Θ επιλύσουμε το σύστημ με την μέθοδο των ντιθέτων συντελεστών. Επειδ οι συντελεστές του γνώστου y είνι ντίθετοι διτηρούμε τη ηη πό υτές κι ντικθιστούμε την η με το άθροισμά τους. Αφού ρούμε την τιμ του γνώστου ντικθιστούμε την τιμ υτ στην η εξίσωση γι ν ρούμε την τιμ του - γνώστου y. Η λύση του συστμτος είνι κι y ω ω φ 9 φ ) 0 0 y y y y y y y 0 y 0 y y y y y y y y y ) Προκειμένου ν κάνουμε πλοιφ προνομ- στών πολλπλσιάζουμε τους όρους της ης εξίσωσης επί το γινόμενο y Θ επιλύσουμε το σύστημ με την μέθοδο της ντικτάστσης Η λύση του συστμτος είνι, y
ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 9 ) y y y y y y y y y 5 5 5 5 γ) y y y y y y y y y y y y 9 9 φ 9 ω φ ω φ 9 ω φ ω ) Αντικθιστούμε το κι το με το y με. Θ επιλύσουμε το σύστημ που θ προκύψει με την μέθοδο των ντιθέτων συντελεστών Αφού ρούμε τις τιμές των κι y προσδιορίζουμε τους γνώστους κι φού οι τιμές τους είνι οι ντίστροφες ντίστοιχ των κι y γ) Αντικθιστούμε το ω με κι το φ με y. Θ επιλύσουμε το σύστημ που θ προκύψει με την μέθοδο των ντιθέτων συντελεστών Αφού ρούμε τις τιμές των κι y προσδιορίζουμε τους γνώστους ω κι φ φού οι τιμές τους είνι οι ντίστροφες ντίστοιχ των κι y
9 ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΣΚΗΣΗ 7 Ν ρείτε το κοινό σημείο των ευθειών ε : 5 y 0 κι ε : y. Το κοινό σημείο των ευθειών έχει συντετγμένες την λύση του συστμτος των εξισώσεων των ευθειών ε κι ε. Θεωρούμε το σύστημ : 5y 0 5y 0 5y 0 y y 5 5 5y 5 5 5y 0 5y 0 5y 0 7 5 7 5 5 7 7 0 0 0 5y 0 5y 0 7 7 7 5 5 7 7 0 8 y 5 7 5 8 Σημείο τομς είνι το (, ) 5 7 7 7 ΑΣΚΗΣΗ 8 Θ επιλύσουμε το σύστημ με την μέθοδο των ντιθέτων συντελεστών, πολλπλσιάζοντς τους όρους της ης εξίσωσης επί τον ριθμό 5 ενώ της ης τους φνουμε όπως είνι. Επειδ οι δύο εξισώσεις έχουν ντίθετους συντελεστές στον άγνωστο y διτηρούμε την η πό υτές κι ντικθιστούμε την η με το άθροισμ τους. Αφού ρούμε την τιμ ντικθι-στούμε την τιμ υτ στην η εξίσωση κι ρίσκουμε την τιμ του y. Οι ευθείες ε : y ε : y ε : y τέμνοντι έξω πό το χώρο σχεδίσης. Μπορείτε ν ρείτε τις συντετγμένες των κοινών σημείων ;
ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 95 Το σημείο τομς Α των ευθειών ε, ε είνι η λύση του συστμτος των εξισώσεων των ευθειών υτών. Θεωρούμε λοιπόν το σύστημ : y y Θ το επιλύσουμε με την μέθοδο των ντιθέτων συντελεστών, πολλπλσιάζοντς τους όρους της ης εξίσωσης επί τον y - y - ριθμό ενώ της ης τους φνουμε όπως y y είνι. Επειδ οι δύο εξισώσεις έχουν ντίθετους y - 5-0 συντελεστές στον άγνωστο y διτηρούμε την y η πό υτές κι ντικθιστούμε την ( ) y η με το άθροισμ τους. - 0 Αφού ρούμε την τιμ ντικθιστούμε την τιμ υτ στην 5 η εξίσωση κι ρίσκουμε την τιμ του y. - 8 y y 8 Το Α έχει συντετγμένες (-,) y y Το σημείο τομς Β των ευθειών ε, ε είνι η λύση του συστμτος των εξισώσεων των ευθειών υτών. Θεωρούμε το σύστημ : y - y - y y Θ το επιλύσουμε με την μέθοδο των ντιθέτων συντελεστών, πολλπλσιάζοντς τους όρους της ης εξίσωσης επί τον y - y - ριθμό ενώ της ης τους φνουμε ό- 9 y 7 5 πως είνι. Επειδ οι δύο εξισώσεις έχουν ντίθετους y - y - συντελεστές στον άγνωστο y διτηρούμε 5 8 την η πό υτές κι ντικθιστούμε την 8 7 η με το άθροισμ τους. Αφού ρούμε την τιμ ντικθιστούμε 8 y - y - την τιμ υτ στην η εξίσωση κι ρίσκουμε την τιμ του y. 8 8 y - -0 y - 0 8 8-0 y 0-8 Το Β έχει συντετγμένες (8,0)
9 ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Το σημείο τομς Γ των ευθειών ε, ε είνι η λύση του συστμτος των εξισώσεων των ευθειών υτών. Θεωρούμε το σύστημ : y y y Επειδ οι δύο εξισώσεις έχουν ντίθετους συντελεστές στον άγνωστο y διτηρούμε y την η πό υτές κι ντικθιστούμε την η με το άθροισμ τους. Αφού ρούμε την τιμ ντικθιστούμε y y y 5 την τιμ υτ στην η εξίσωση κι ρίσκουμε την τιμ του y. Το σημείο Γ έχει συντετγμένες (, - 5) ΑΣΚΗΣΗ 9 Αν 5 5 5 5 0 κι το πλθος των προσθετέων του πρώτου μέλους είνι 00, ν ρείτε πόσες φορές χρησιμοποιθηκε ο ριθμός κι πόσες φορές ο ριθμός 5. Εάν συμολίσουμε το πλθος του προσθετέου κι y του 5 τότε προκύπτει το σύστημ: y 00 y 00 5y 0 5y 0 y 00 5(00 ) 0 y 00 500 5 0 y 00 y 00 0 500 90 y 00 y 00 5 55 90 5 5 ΑΣΚΗΣΗ 0 Θ το επιλύσουμε με την μέθοδο της ντικτάστσης, επιλύοντς την η ως προς τον ά- γνωστο y Κάνουμε τις σχετικές πράξεις Αφού ρούμε την τιμ ντικθιστούμε την τιμ υτ στην η εξίσωση κι ρίσκουμε την τιμ του y. Άρ το χρησιμοποιθηκε 5 φορές κι το 5 χρησιμοποιθηκε 55 φορές. y 7 Αν το σύστημ y 8 ρείτε τους ριθμούς,. έχει ως λύση κι y, ν
ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 97 Οι ριθμοί κι y φού ποτελούν λύση του συστμτος το επληθεύουν. Επομένως έχουμε: Επειδ οι δύο εξισώσεις έχουν ντίθετους συντελεστές στον άγνωστο διτηρούμε την η πό υτές κι ντικθιστούμε την η με το άθροισμ τους. 5 5 5 7 5 7 5 7 7 7 7 5 5 5 8 8 Αφού ρούμε την τιμ ντικθιστούμε την τιμ υτ στην η εξίσωση κι ρίσκουμε την τιμ του. Η ευθεί με εξίσωση y διέρχετι πό τ σημεί Α (, ) κι Β (, ). Ν ρείτε τις τιμές των,. ΑΣΚΗΣΗ Αφού η ευθεί διέρχετι πό τ σημεί Α κι Β,οι συντετγμένες των σημείων υτών την επληθεύουν. Οι δύο εξισώσεις που θ προκύψουν μετά την ντικτάστση των συντετγμένων των σημείων υτών μς δίνουν το σύστημ : Θ το επιλύσουμε με την μέθοδο των ντιθέτων συντελεστών, πολλπλσιάζοντς τους όρους της ης εξίσωσης επί τον ριθμό ενώ της ης τους φνουμε όπως είνι. ) ( Επειδ οι δύο εξισώσεις έχουν ντίθετους συντελεστές στον άγνωστο διτηρούμε την η πό υτές κι ντικθιστούμε την η με το άθροισμ τους. Αφού ρούμε την τιμ ντικθιστούμε την τιμ υτ στην η εξίσωση κι ρίσκουμε την τιμ του. Ν ρείτε τους ριθμούς λ, μ, ώστε η εξίσωση (λ μ) μ λ 0 ν έχει ρίζες τους ριθμούς κι. ΑΣΚΗΣΗ
98 ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Αφού οι ριθμοί κι είνι ρίζες της εξίσωσης υτοί την επληθεύουν. Μετά την ντικτάστση προκύπτουν οι εξισώσεις : () (λμ)()μλ0 λμμλ 0 λμ λμ () (λμ) μ λ 0 9λμ μ λ 0 λμ 9 () Θεωρούμε το σύστημ των εξισώσεων () κι (). λ μ λ μ λ μ 9 λ μ 9 λ μ λ μ λ μ 9 λ 0 λ μ 5 μ 0 λ 5 λ 5 5 μ μ 5 λ 5 λ 5 μ μ 7 λ 5 λ 5 ΑΣΚΗΣΗ Στο πάνω μέρος ενός τοίχου μκους 80 cm έχουν τοποθετηθεί πράσιν κι γλάζι δικοσμητικά τούλ σε δύο σειρές. Ν υπολογίσετε το μκος κάθε πράσινου κι γλάζιου τούλου. Θ το επιλύσουμε με την μέθοδο των - ντιθέτων συντελεστών, πολλπλσιάζοντς τους όρους της ης εξίσωσης επί τον ριθμό - ενώ της ης τους φνουμε όπως είνι. Επειδ οι δύο εξισώσεις έχουν ντίθετους συντελεστές στον άγνωστο μ διτηρούμε την η πό υτές κι ντικθιστούμε την η με το άθροισμ τους. Αφού ρούμε την τιμ λ ντικθιστούμε την τιμ υτ στην η εξίσωση κι ρίσκουμε την τιμ του μ. Εάν συμολίσουμε με κι y σε εκτοστόμετρ τ μκη του γλάζιου κι του πράσινου τούλου ντίστοιχ, τότε προκύπτουν οι εξισώσεις γι κάθε σειρά τούλων, φού πρτηρσουμε ότι το μκος των 80cm. Γι την η σειρά τούλων στην οποί υπάρχουν γλάζι κι πράσιν τούλ έχουμε : y 80 κι γι την η σειρά τούλων ντίστοιχ y 80.Θεωρούμε το σύστημ : y 80 y 80 y 80 y 80 Θ το επιλύσουμε με την μέθοδο των ντιθέτων συντελεστών, πολλπλσιάζοντς τους όρους της ης εξίσωσης επί τον ριθμό - ενώ της ης τους φνουμε όπως είνι.
ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 99 y 80 y 80 y 0 9y 80 y 80 0 80 80 y 0 y 0 9 0 80 80 0 0 y 0 y 0 0 0 y 0 ΑΣΚΗΣΗ Συσκευάσμε,5 τόνους ελιόλδου σε 800 δοχεί των κι 5 κιλών. Ν ρείτε πόσ δοχεί χρησιμοποισμε πό κάθε είδος. Επειδ οι δύο εξισώσεις έχουν ντίθετους συντελεστές στον άγνωστο διτηρούμε την η πό υτές κι ντικθιστούμε την η με το άθροισμ τους. Αφού ρούμε την τιμ y ντικθιστούμε την τιμ υτ στην η εξίσωση κι ρίσκουμε την τιμ του. Το γλάζιο έχει μκος 0cm κι το πράσινο τούλο έχει μκος 0cm. Εάν συμολίσουμε με το πλθος των δοχείων των κιλών κι με y το πλθος των δοχείων των 5 κιλών τότε προκύπτει το σύστημ : y 800 y 00 5y 500 5y 500 y 800 φνουμε όπως είνι. y 800 900 y 900 y 00 δι-τηρούμε την η 00 800 800 00 500 y 00 y 00 ΑΣΚΗΣΗ 5 Θ το επιλύσουμε με την μέθοδο των ντιθέτων συντελεστών, πολλπλσιάζοντς τους όρους της ης εξίσωσης επί τον ριθμό - ενώ της ης τους Επειδ οι δύο εξισώσεις έχουν ντίθετους συντελεστές στον άγνωστο πό υτές κι ντικθιστούμε την η με το άθροισμ τους. Αφού ρούμε την τιμ y ντικθιστούμε την τιμ υτ στην η εξίσωση κι ρίσκουμε την τιμ του. Ο μέσος όρος της θμολογίς ενός μθητ στη Φυσικ κι τη Χημεί κτά το πρώτο τρίμηνο τν. Στο δεύτερο τρίμηνο ο θμός της Φυσικς μειώθηκε κτά μονάδες, ο θμός της Χημείς υξθηκε κτά μονάδες με ποτέλεσμ οι δύο θμοί ν γίνουν ίσοι. Ποιους θμούς είχε ο μθητς σε κθέν πό τ δύο μθμτ κτά το πρώτο τρίμηνο;
00 ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Εάν συμολίσουμε με τον θμό της φυσικς κι y τον θμό της χημείς τότε προκύπτει το σύστημ :.. Αρχικά θ κάνουμε πλοιφ του προνομστ στην η εξίσωση πολλπλσιάζοντς y y τους όρους της επί y y y y y y y y y y y y y y 9 ΑΣΚΗΣΗ Θ το επιλύσουμε με την μέθοδο της ντικτάστσης, επιλύοντς την η ως προς τον άγνωστο, τον οποίο στη συνέχει ντικθιστούμε η εξίσωση. Αφού ρούμε την τιμ y ντικθιστούμε την τιμ υτ στην η εξίσωση κι ρίσκουμε την τιμ του. Τ κέντρ δύο κύκλων που εφάπτοντι εσωτερικά πέχουν cm. Aν οι κύκλοι μεττοπιστούν έτσι ώστε ν εφάπτοντι εξωτερικά, τότε τ κέντρ τους πέχουν 58 cm. N ρείτε τις κτίνες των δύο κύκλων. Γνωρίζουμε ότι εάν δύο κύκλοι εφάπτοντι εσωτερικά τότε η διφορά των κτίνων τους ισούτι με την διάκεντρο, ενώ ότν εφάπτοντι εξωτερικά το άθροισμ των κτίνων ισούτι με την διάκεντρο. Εάν συμολίσουμε R κι ρ τις κτίνες του μεγλύτερου κι του μικρότερου των κύκλων τότε προκύπτει το σύστημ R ρ R ρ R ρ 70 R ρ 58 R 70 R 5 ρ 5 ρ ρ R 5 R 5 R 5 5 Επειδ οι δύο εξισώσεις έχουν ντίθετους συντελεστές στον άγνωστο ρ διτηρούμε την η πό υτές κι ντικθιστούμε την η με το άθροισμ τους. Αφού ρούμε την τιμ R ντικθιστούμε την τιμ υτ στην η εξίσωση κι ρίσκουμε την τιμ του ρ. ΑΣΚΗΣΗ 7 Αν οι μθητές ενός τμμτος κθίσουν νά ένς σε κάθε θρνίο, τότε θ μείνουν όρθιοι 8 μθητές, ενώ ν κθίσουν νά δύο θ μείνουν κενά θρνί. Ν ρείτε πόσοι τν οι μθητές κι πόσ τν τ θρνί.
ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 0 Εάν συμολίσουμε με το πλθος των μθητών κι y το πλθος των θρνίων, τότε y8 φού στην περίπτωση που θ κθίσουν ένς μθητς νά θρνίο μένουν χωρίς κάθισμ 8 μθητές. Στην περίπτωση που κθίσουν δύο μθητές νά θρνίο τότε ντίστοιχ έχουμε y8. Προκύπτει λοιπόν το σύστημ : Θ το επιλύσουμε με την μέθοδο της ντικτάστσης, φού κι στις δύο εκφράζετι ο με την οθει του y 8 y 8 y 8 y 8 y 8 Διτηρούμε την η εξίσωση κι την η την y 8 y 8 ντικθιστούμε με υτν που προ-κύπτει πό την εξίσωση των εκφράσεων του y y 8 8 y Αφού ρούμε την τιμ y ντικθιστούμε την τιμ υτ στην y 8 8 η εξίσωση κι ρίσκουμε την τιμ του. y y ΑΣΚΗΣΗ 8 Μι ποτοποιί πρσκεύσε 00 λίτρ ούζο περιεκτικότητς 8 % vol, νμειγνύοντς δύο ποιότητες με περιεκτικότητες % vol κι 8 % vol ντίστοιχ. Πόσ λίτρ πό κάθε ποιότητ χρησιμοποίησε ; Εάν συμολίσουμε την ποσότητ σε λίτρ του ούζου περιεκτικότητς % κι y ντίστοιχ του ούζου περιεκτικότητς 8% τότε προκύπτει το σύστημ : y 00 8 8 y ( y) 00 00 00 y 00 8 8 y ( y) 00 00 00 00 y 00 y 00 8y 8( y) 8y 8 8y y 00 y 00 8y 8y 8 0y y 00 0y y 00 0y 0y y 00 00 y 50 y 50 0y 0y 0 50 Κάνουμε πλοιφ των προνομστών της ης εξίσωσης πολλπλσιάζοντς τους όρους της επί τον - ριθμό 00. Θ επιλύσουμε το σύστημ με την μέθοδο της ντικτάστσης φού πό την η εξίσωση του συστμτος ρούμε την σχέση που συνδέει τους γνώστους κι y. Πολλπλσιάζουμε τους όρους της ης εξίσωσης επί τον ριθμό προκειμένου ν δημιουργσου-με στην η εξίσωση την πράστση την οποί κι θ ντικτστσουμε. Αντικθιστούμε την τιμ του γνώστου y στην η εξίσωση κι ρίσκουμε τον άγνωστο.
0 ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ y 50 y 50 500 500 50 ΑΣΚΗΣΗ 9 Έν υτοκίνητο μετά την ενεργοποίηση των φρένων του συνέχιζε ν κινείτι με τχύτητ υ υ ο t, όπου t ο χρόνος που μεσολάησε πό τη στιγμ του φρενρίσμτος. Αν sec μετά το φρενάρισμ το υτοκίνητο είχε τχύτητ m / sec κι sec ργότερ είχε τχύτητ m / sec, ν ρείτε την ρχικ τχύτητ υ ο κι την επιράδυνση. Σε πόσο χρόνο πό τη στιγμ του φρενρίσμτος θ στμτσει το υτοκίνητο ; Αντικθιστώντς τους χρόνους των sec κι sec στην εξίσωση της τχύτητς έχουμε : υ 0 () κι υ 0 (). Θεωρούμε το σύστημ των εξισώσεων () κι () κι έχουμε : υ0 υ0 υ0 υ0 - υ0 υ0 υ0 8 υ0 υ0 8 8 υ0 8 8 υ0 υ0 ΑΣΚΗΣΗ 0 Από έν στθμό διοδίων πέρσν 95 υτοκίνητ κι μοτοσικλέτες κι.εισπράχτηκν 80 ευρώ. Αν ο οδηγός κάθε υτοκιντου πλρωσε ευρώ κι ο οδηγός κάθε μοτοσικλέτς πλρωσε, ευρώ, ν ρείτε πόσ τν τ υτοκίνητ κι πόσες οι μοτοσικλέτες Θ το επιλύσουμε με την μέθοδο των - ντιθέτων συντελεστών, πολλπλσιάζοντς τους όρους της ης εξίσωσης επί τον ριθμό κι της ης επί τον ριθμό - Επειδ οι δύο εξισώσεις έχουν ντίθετους συντελεστές στον άγνωστο υ 0 δι-τηρούμε την η πό υτές κι ντικθιστούμε την η με το άθροισμ τους. Αφού ρούμε την τιμ ντικθιστούμε την τιμ υτ στην η εξίσωση κι ρίσκουμε την τιμ του υ 0. Το υτοκίνητο θ στμτσει ότν υ0. Στον τύπο υ0-t ν θέσουμε υ0 πίρνουμε t5. Άρ το υτοκίνητο θ στμτσει μετά πό 5 sec.
ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 0 Εάν υποθέσουμε ότι είνι ο ριθμός των υτοκιντων κι yτων μοτοσικλετών που πέρσν τότε προκύπτει το σύστημ. Θ το επιλύσουμε με την μέθοδο της y 95 y 95 ντικτάστσης, επιλύοντς την η ως,y 80,y 80 προς τον άγνωστο y, τον οποίο στη συνέχει ντικθιστούμε η εξίσωση. y 95 Αφού ρούμε την τιμ ντικθιστούμε την τιμ υτ στην η εξίσω-,(95 ) 80 ση κι ρίσκουμε την τιμ του y. y 95, 80 Τελικά πέρσν 85 υτοκίνητ κι 00 μοτοσικλέτες. y 95 0,8 80 7 y 95 y 95 85 00 7 0,8 85 85 0,8 ΑΣΚΗΣΗ Σ έν τηλεοπτικό πιχνίδι σε κάθε πίκτη υποάλλοντι 0 ερωτσεις κι γι κάθε σωστ πάντηση προστίθεντι θμοί, ενώ γι κάθε λνθσμένη πάντηση φιρούντι θμοί.ένς πίκτης έδωσε 7 σωστές πντσεις κι συγκέντρωσε θμούς, ενώ ένς άλλος έδωσε σωστές πντσεις κι συγκέντρωσε 8 θμούς. Πόσους θμούς πίρνει ένς πίκτης γι κάθε σωστ πάντηση κι πόσοι θμοί τού φιρούντι γι κάθε λνθσμένη πάντηση ; Εάν υποθέσουμε ότι σε κάθε σωστ ερώτηση προστίθεντι θμοί κι γι κάθε λνθσμένη φιρούντι y τότε προκύπτει το σύστημ των εξισώσεων. y 7 y - 7 Θ το επιλύσουμε με την μέθοδο των ντιθέτων συντελεστών, πολλπλσιάζοντς τους όρους της ης εξίσωσης επί τον ριθμό - κι της ης επί τον ριθμό y 8 y 8 y 8 7 y y 8 0 00 7 y 7 0 y -00 0 0-0 Επειδ οι δύο εξισώσεις έχουν ντίθετους συντελεστές στον άγνωστο y δι-τηρούμε την η πό υτές κι ντικθιστούμε την η με το άθροισμ τους.
0 ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 70 y y 70 0 0 y y 0 0 Αφού ρούμε την τιμ ντικθιστούμε την τιμ υτ στην η εξίσωση κι ρίσκουμε την τιμ του y. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ. Ν επιλύσετε γρφικά το σύστημ y, όπου k πργμτικός y k ριθμός. 5 ) Αν κ πό το διπλνό y y σχμ πρτηρούμε ότι ν y y δίνουμε διάφορες τιμές στο κ οι γρφικές πρστάσεις των ντίστοιχων γρμμικών εξισώσεων θ είνι όλες Ο(0,0) - - 8 πράλληλες προς την - γρφικ πράστση της y υτό σημίνει ότι δεν έχουν κοινό σημείο, επομένως το σύστημ δεν έχει λύση είνι δηλδ δύντο. ) Αν τώρ κ τότε οι δύο ευθείες συμπίπτουν κι το σύστημ έχει άπειρες λύσεις.. Αν οι ευθείες ε : ( λ μ ) y 7 κι ε : ( λ μ ) y τέμνοντι στο σημείο Α (, ), ν υπολογίσετε τις τιμές των λ κι μ. Αφού οι ευθείες ε κι ε τέμνοντι στο σημείο Α(,), οι συντετγμένες του σημείου υτού τις επληθεύουν. Επομένως έχουμε : Από ευθεί ε :(λμ) 7 λμ7 λμ 7 λμ () Από ευθεί ε :(λμ) λμ λμ λμ () Θεωρούμε το σύστημ των εξισώσεων () κι (). λ μ (λ μ) λ μ λ μ λ μ λ μ λ μ λ μ μ μ λ μ λ μ λ μ Βγάζουμε κοινό πράγοντ στο ο μέλος της ης εξίσωσης τον ριθμό προκειμένου με την διγρφ του ριθμού υτού ν έχουμε πλούστερη μορφ εξίσωσης. Θ επιλύσουμε το σύστημ με την μέθοδο της ντικτάστσης Επιλύουμε την η εξίσωση ως
ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 05 προς τον άγνωστο λ κι την έκφρση που θ ρούμε την ντικθιστούμε στην η εξίσωση. Κάνουμε τις σχετικές πράξεις κι ρίσκουμε την λύση του συστμτος μ μ μ - λ μ λ μ λ ( ) μ μ λ 5 λ 5 y y. Αν τ συστμτ ( Σ ) : κι ( Σ ) : y 9 y έχουν την ίδι λύση, ν ρείτε τους ριθμούς,. Αρχικά θ επιλύσουμε το σύστημ ( Σ ). Επειδ τ συστμτ έχουν την ίδι λύση εάν ντικτστσουμε τις τιμές των κι y που ποτελούν λύση του ( Σ ) στο σύστημ ( Σ ),θ προκύψει έν νέο σύστημ με γνώστους τους κι. Επίλυση του συστμτος Σ y y 9 y y y y y y Αντικθιστούμε τις τιμές των κι y στο σύστημ ( Σ ) οπότε προκύπτει το σύστημ : 8 8 ( Σ ) Επίλυση του συστμτος ( Σ ) 8 8 8 8 8 0. Ν υπολογίσετε τις τιμές των, y, ότν Θ επιλύσουμε το σύστημ με την μέθοδο των ντιθέτων συντελεστών. Διτηρούμε την η των εξισώσεων κι ντικθιστούμε την η με το άθροισμ τους. Μετά την εκτέλεση των σχετικών πράξεων ρίσκουμε την λύση του συστμτος η οποί είνι κι y Θ επιλύσουμε το σύστημ με την μέθοδο των ντιθέτων συν-τελεστών. Διτηρούμε την η των εξισώσεων κι - ντικθιστούμε την η με το άθροισμ τους. Μετά την εκτέλεση των σχετικών πράξεων ρίσκουμε την λύση του συστμτος η οποί είνι κι 0
0 ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ) ( y ) ( y ) 0 ) y y 0. Γενικ πρτρηση Γι ν είνι έν άθροισμ τετργώνων ίσο με το μηδέν πρέπει κάθε προσθετέος ν ισούτι με το μηδέν ως μη ρνητικ ποσότητ. ) Άρ πρέπει ν είνι : ( y ) 0 κι φυσικά μί δύνμη ισούτι με μηδέν ν η άση της δύνμης είνι μηδέν. Οπότε έχουμε y 0 y εξ. ( ). Πρόμοι πρέπει ( y ) 0 y 0 y εξ.( ) Θεωρούμε το σύστημ των εξισώσεων ( ) κι ( ) y Επίλυση του συστμτος y y y y y y y y 5 y 5 5 5 y y y Θ επιλύσουμε το σύστημ με την μέθοδο των ντιθέτων συντελεστών. Προκειμένου ν δημιουργσουμε ντίθετους συντελεστές στον άγνωστο y πολλπλσιάζουμε τους όρους της ης εξίσωσης επί τον ριθμό ενώ την δεύτερη την φνουμε όπως είνι. Διτηρούμε την η των εξισώσεων ενώ τηνη την ντικθιστούμε με το άθροισμ τους Οι ζητούμενες τιμές είνι κι y ) Η δοσμένη ισότητ γράφετι : y y 0 ( y y) ( ) 0 (y) () 0. Επομένως έχουμε : (y) 0 y 0 εξ. ( ) κι () 0 0 εξ. ( ). Θεωρούμε το σύστημ των () κι () y 0 y y 5. N λύσετε τ συστμτ ( y)( y) 8 ( y )( y) 0 ) ) y y γ) y y y 7 ) Εάν έν γινόμενο πργόντων ισούτι με μηδέν τότε τουλάχιστον ένς πό τους πράγοντες του γινομένου ισούτι με μηδέν.
ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 07 Επομένως πό την η εξίσωση του συστμτος προκύπτει y 0 y 0 Από το σύστημ λοιπόν της περίπτωσης υτς προκύπτουν τ συστμτ : y 0 y 0 ( Σ ) κι ( Σ ) y y Επίλυση του συστμτος ( Σ ) y 0 y y y y y y y 8 y 8 y y y y y y Επίλυση του συστμτος ( Σ ) y 0 y 0 y ( y) y 0 y y 0 Επομένως το σύστημ ου ( y )( y) 0 θμού y πρκάτω λύσεις : (, y ) κι (, y ) ) Θ επιλύσουμε το σύστημ Θ επιλύσουμε το σύστημ με την μέθοδο των ντιθέτων συντελεστών. Προκειμένου ν δημιουργσουμε ντίθετους συντελεστές στον άγνωστο πολλπλσιάζουμε τους όρους της ης εξίσωσης επί τον ριθμό ενώ την δεύτερη την φνουμε όπως είνι. Διτηρούμε την η των εξισώσεων ενώ τηνη την ντικθιστούμε με το άθροισμ τους Οι ζητούμενες τιμές είνι κι y Εμφνίζουμε το άθροισμ y στην η εξίσωση το οποίο ντικθιστούμε με την τιμ του όπως μς δίνετι πό την η εξίσωση. Έτσι υπολογίζουμε μέσως τον Κι στην συνέχει πό την η εξίσωση τον y ο οποίος είνι ντίθετος του. y)( y) 8 ( y)( y) 8 y y ( y)( y) 8 ( y) ( ) 8 y y έχει τις δύο Πολλπλσιάζουμε τ μέλη ( της ης εξίσωσης επί τον - ριθμό γι ν κάνουμε - πλοιφ του προνομστ. Αντικθιστούμε στην η εξίσωση την πράστση y όπως υτ μς δίνετι πό την η εξίσωση, οπότε προ-
08 ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 8 y y y y 8 y 0 5 y y y y y 5 0 ( ) y y y κύπτει μετά τις σχετικές πράξεις σύστημ ου θμού το οποίο θ λύσουμε με την μέθοδο των ντιθέτων συντελεστών. Η λύση του συστμτος είνι : κι y γ) Επίλυση του συστμτος y y y y 0 y 7 y 7 ( y) y 0 7 y 0 y 7 Μετφέρουμε στο ο μέλος την ποσότητ y προκειμένου ν προκύψει το νάπτυγμ του τετργώνου της διφοράς. Γι ν είνι μί δύνμη ίση με το μηδέν πρέπει η άση της δύνμης ν ισούτι με μηδέν. Αφού είνι ίσοι μετξύ τους κθένς τους κθένς τους θ ισούτι με 7 y y 7 y 7 y. Ν ρείτε δύο ριθμούς, που έχουν άθροισμ 00 κι ν διιρέσουμε το μεγλύτερο με το μικρότερο, τότε θ προκύψει πηλίκο κι υπόλοιπο 5. Εάν συμολίσουμε με τον μεγλύτερο κι y τον μικρότερο πό τους - ριθμούς τότε προκύπτει το σύστημ :
ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 09 y 00 y 5 5y 00 5 y 5 85 y 7 5 y 5 y 7 8 y 5 y 00 y 5 5y 85 y 5 y 7 7 5 Θ επιλύσουμε το σύστημ με την μέθοδο της ντικτάστσης, ντικθιστώντς στην η εξίσωση τον άγνωστο όπως υτός εκφράζετι στην η εξίσωση. Κάνουμε τις σχετικές πράξεις. Ο μεγλύτερος πό τους ριθμούς είνι ο 8 κι ο μικρότερος είνι ο 7. 7. Αν η εξίσωση (λ κ ) κ λ είνι όριστη, ν ρείτε τους - ριθμούς κ, λ. Γι ν είνι η πρπάνω εξίσωση όριστη πρέπει ο συντελεστς του γνώστου κι ο στθερός όρος ν είνι όσοι με μηδέν. Προκύπτει το σύστημ : λ κ 0 κ λ 0 κ λ λ κ λ λ κ λ κ λ κ λ λ κ λ Θ επιλύσουμε το σύστημ με την μέθοδο των ντιθέτων συντελεστών. Επειδ οι συντελεστές του κ είνι ντίθετοι διτηρούμε την η εξίσωση κι ντικθιστούμε την η με το άθροισμ τους. Αφού υπολογίσουμε την τιμ του γνώστου λ, ντικθιστούμε την τιμ υτ στην η εξίσωση γι ν υπολογίσουμε κι την τιμ του κ κ κ λ λ κ λ 8. Τ κέντρ δύο κύκλων που εφάπτοντι εξωτερικά πέχουν 8 cm. Αν τ εμδά των δύο κύκλων διφέρουν κτά 7 π cm, ν ρείτε τις κτίνες των δύο κύκλων. Εάν συμολίσουμε R την κτίν του μεγλύτερου κύκλου κι ρ του μικρότερου κύκλου τότε προκύπτει το σύστημ :
0 ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ R ρ 8 R ρ 8 πr πρ 7π π(r ρ ) 7π R ρ 8 R ρ 8 R ρ 7 (R ρ)(r ρ) 7 R ρ 8 R ρ 8 7 (R ρ) 8 7 R ρ 8 Κτστρώνουμε το σχετικό σύστημ όπως προκύπτει πό τ δεδομέν του προλμτος. Εξάγουμε κοινό πράγοντ το π πό το ο μέλος της ης εξίσωσης το οποίο κι διγράφουμε. Στη συνέχει πργοντοποιούμε την διφορά τετργώνων που ποτελεί το ο μέλος της ης εξίσωσης κι ντικθιστούμε το άθροισμ των κτίνων R ρ 8 R ρ R ρ 8 R ρ 8 7 R R ρ 8 R ρ 8 R Το σύστημ που προκύπτει το επιλύουμε με την μέθοδο των ντιθέτων συντελεστών, διτηρώντς την η των εξισώσεων κι ντικθιστώντς την η με το άθροισμά τους. Η κτίν του μεγλύτερου κύκλου είνι R cm κι του μικρότερου ρ7cm. 9. Ν ρείτε τις ηλικίες δύο δελφών, ν σμερ διφέρουν κτά 5 χρόνι, ενώ μετά χρόνι οι ηλικίες τους θ έχουν λόγο. Εάν συμολίσουμε με την ηλικί του μεγλύτερου κι y του μικρότερου τότε προκύπτει σύστημ που γράφετι πρκάτω φού λάουμε υπόψη μς ότι μετά πό 5 χρόνι οι ηλικίες τους θ είνι 5 κι y5 ντίστοιχ.
ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ y 5 y 5 5 5 (y 5) y 5 y 5 y 5 y 5 5 (y 5) (y 5) ( 5) (y 5) y 5 y 5 y 5 5 y 0 (y 5) 5 y 0 y 5 y 5 y 5 5 y 0 y y 0 5 5 y 5 y 5 0 5 5 0 y 0 y 0 y 0 Πολλπλσιάζουμε τ μέλη της ης εξίσωσης επί το γινόμενο (y5) γι ν κάνουμε πλοιφ των προνομστών. Θ επιλύσουμε το σύστημ με την μέθοδο της ντικτάστσης Κάνουμε τις σχετικές πράξεις. Οι ηλικίες των δύο δελφών είνι 5ετών κι0 ετών. 0. Σ έν τξίδι με πλοίο το εισιτριο της Α θέσης κοστίζει 8 ευρώ κι της Β.θέσης κοστίζει ευρώ λιγότερ. Αν σ έν τξίδι κόπηκν 50 εισιτρι συνολικς ξίς 500 ευρώ, ν ρείτε πόσ εισιτρι κόπηκν πό κάθε κτηγορί. Πρτηρούμε ότι φού το εισιτριο της ης θέσης κοστίζει ευρώ ολιγότερ πό το εισιτριο της ης θέσης, τότε υτό θ κοστίζει ευρώ. Εάν υποθέσουμε ότι κόπηκν εισιτρι της ης θέσης κι y της ης θέσης τότε προκύπτει το σύστημ :
ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ y 50 8 y 500 y 00 y 50 8 y 500 00 y 50 00 50 y 50 8 y 500 50 y 50 y 50 50 50 50 Θ επιλύσουμε το σύστημ με την μέθοδο των ντιθέτων συντελεστών. Γι ν δημιουργσου-με ντίθετους συντελεστές στον άγνωστο y πολλπλσιάζουμε τους όρους της ης εξίσωσης επί τον ριθμό ενώ της ης τους φνουμε όπως είνι. Επειδ οι συντελεστές του γνώστου είνι ντίθετοι δι-τηρούμε την η των εξισώσεων στην ρχικ της μορφ κι ντικθιστούμε την η με το άθροισμά τους. Κόπηκν 50 εισιτρι της ης θέσης κι 00 της ης y 00 50. Ν ρείτε έν διψφιο ριθμό, που το άθροισμ των ψηφίων του είνι ίσο με 0 κι ν ενλλάξουμε τ ψηφί του, τότε θ προκύψει - ριθμός κτά 8 μικρότερος. Εάν συμολίσουμε το ψηφίο των δεκάδων κι y το ψηφίο των μονάδων τότε προκύπτει το σύστημ : y 0 Ο ζητούμενος ριθμός είνι 0y κι μετά την ντιστροφ των ψηφίων ο νέος 0 y 0y 8 ριθμός που προκύπτει είνι ο 0y. Κάνουμε τις σχετικές πράξεις στην η y 0 y 0 εξίσωση έως ν κτλξουμε στην μορφ : y. 0 y 0y 8 9 9y 8 y 0 y 0 Θ επιλύσουμε το σύστημ με την μέθοδο των ντιθέτων συντελεστών. 8 9( y) 8 y 9 Διτηρούμε την η των εξισώσεων ενώ ντικθιστούμε την η με το άθροισμά y 0 y 0 y 0 τους. Ο ζητούμενος ριθμός είνι ο y y 0 y 0 y 0 y
ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ. Αν διιρέσουμε έν διψφιο ριθμό με το άθροισμ των ψηφίων του, ρίσκουμε πηλίκο κι υπόλοιπο. Αν ενλλάξουμε τ ψηφί του κι τον ριθμό που προκύπτει τον διιρέσουμε με το άθροισμ των ψηφίων του, ρίσκουμε πηλίκο κι υπόλοιπο 9. Ποιος είνι ο ρχικός διψφιος ριθμός ; Εάν συμολίσουμε το ψηφίο των δεκάδων κι y το ψηφίο των μονάδων τότε ο ριθμός είνι ο 0y ενώ μετά την ντιστροφ των ψηφίων προκύπτει ο ριθμός 0y. Στηριζόμενοι στ δεδομέν του προλμτος προκύπτει το σύστημ : 0 y ( y) 0y ( y) 9 0 y y 0y y 9 0 y y 0y y 9 5y y 9 5y 5y 9 y 9 y 5y 5y 5y 5 9y 5 y 5 y 5 9 5 5 5 5 y 5 y 5 y 5 8 8 7 y 5 y 5 Κάνουμε τις σχετικές πράξεις έως ότου κτλξουμε σε πλ μορφ του συστμτος, το οποίο θ επιλύσουμε με την μέθοδο των ντιθέτων συντελεστών. Πολλπλσιάζουμε τους όρους της ης εξίσωσης επί τον ριθμό κι της ης επί τον ριθμό. Διτηρούμε την η των εξισώσεων κι ντικθιστούμε την η με το άθροισμά τους. Ο ζητούμενος ριθμός είνι ο 75.. Αν ελττώσουμε το μκος ενός ορθογωνίου κτά m κι υξσουμε το πλάτος του κτά 5 m, το εμδόν του υξάνετι κτά 9 m. Αν όμως, υξσουμε το μκος του κτά m κι ελττώσουμε το πλάτος του κτά m, το εμδόν του ελττώνετι κτά 0 m. Ποιες είνι οι διστάσεις του ορθογωνίου; Εάν συμολίσουμε το μκος κι y το πλάτος του ορθογωνίου πρλληλογράμμου τότε προκύπτει το σύστημ :
ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ( )(y 5) y 9 ( )(y ) y 0 y y 5 0 y 9 y y y 0 y y y 5 9 0 y y y 0 y 5 0 y 0 08 y 80 y 80 y 0 08 y 0 08 8 8 y 0 08 y 0 08 y 08 0 y y 8 Κάνουμε τις σχετικές πράξεις Θ επιλύσουμε το σύστημ ου θμού με την μέθοδο των ντιθέτων συντελεστών. Γι τον λόγο υτό πολλπλσιάζουμε τους όρους της ης εξίσωσης επί τον ριθμό ενώ την η την φνουμε όπως είνι. Επειδ οι συντελεστές του y είνι ντίθετοι διτηρούμε την η των εξισώσεων ενώ ντικθιστούμε την η με το άθροισμά τους. Αφού ρούμε την τιμ του γνώστου ντικθιστούμε την τιμ υτ στην η εξίσωση γι ν ρούμε τον άγνωστο y. Οι πόλεις Α κι Β πέχουν 55 Κm. Έν υτοκίνητο ξεκινά πό την πόλη Α κι με μέση τχύτητ 80 Κm/ h την ώρ κινείτι προς την πόλη Β.Δεκπέντε λεπτά μετά την εκκίνησ του έν άλλο υτοκίνητο ξεκινά πό την πόλη Β κι με μέση τχύτητ 0 Κm / h κινείτι προς την πόλη Α.Πόσο χρόνο κινθηκε κάθε υτοκίνητο μέχρι τη συνάντησ τους ; Πρτηρούμε ότι τ 5 λεπτά κτά τ οποί κινθηκε το πρώτο υτοκίνητο στην ρχ μόνο του είνι της ώρς. 5 0
ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 5 Εάν συμολίσουμε σε ώρες τον χρόνο κίνησης του ου υτοκιντου κι y πάλι σε ώρες του δευτέρου, έως τότε : y (). Σχετικά με τ διστμτ που διάνυσν έχουμε : Το υτοκίνητο που ξεκίνησε πό την πόλη Α διάνυσε διάστημ 80 Το υτοκίνητο που ξεκίνησε πό την πόλη Β διάνυσε διάστημ 0y Επειδ το άθροισμ των δύο διστημάτων ισούτι με την πόστση των πόλεων Α κι Β έχουμε : 80 0y 55 (). Θεωρούμε το σύστημ των εξισώσεων () κι (). y y 80 0y 55 80(y ) 0y 55 y y 80y 80 0y 55 80y 0 0y 55 y y 80y 0y 55 0 0y 5 Θ λύσουμε το σύστημ με την μέθοδο της ντικτάστσης. Αντικθιστούμε τον άγνωστο στην η εξίσωση πό την επίλυση της οποίς προκύπτει η τιμ του y Η λύση του συστμτος είνι η της ώρς κι y της ώρς Επομένως το πρώτο υτοκίνητο κινθηκε γι 0 λεπτά κι το δεύτερο γι 5 λεπτά. y 5 y y 0 5. Δύο υτοκίνητ κινούντι με στθερές τχύτητες κι πέχουν μετξύ τους 5 Κm.Αν κινούντι προς την ίδι κτεύθυνση θ συνντηθούν μετά πό ώρες, ενώ ν κινούντι σε ντίθετη κτεύθυνση, θ συνντηθούν σε 0 λεπτά. Με ποι τχύτητ κινείτι κάθε υτοκίνητο ; Εάν συμολίσουμε : ΑΒ την πόστση των 5Km που πέχουν τ δύο υτοκίνητ την ριθμητικ τιμ της τχύτητς του υτοκιντου που ρίσκετι στην θέση Α y την ριθμητικ τιμ της τχύτητς υτού που ρίσκετι στην θέση Β τότε :
ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Ότν κινούντι επί τρεις ώρες προς την ίδι κτεύθυνση πό το Α προς το Β τ διστμτ που θ δινύσουν είνι υτού που ρισκότν στην θέση Α κι y υτού που ρισκότν στην θέση Β. Τότε y 5 (y 5) y 5 () 0 Ότν κινούντι επί 0 λεπτά δηλ. της ώρς με ντίθετες κτευθύνσεις, τ διστμτ που θ δινύσουν είνι κι y ντίστοιχ. 0 Τότε προκύπτει η εξίσωση y 5 η οποί μετά των πολλπλσισμό των μελών της επί τον ριθμό προκειμένου ν κάνουμε πλοιφ των προνομστών γίνετι : ( y) 5 y 5 y 5 () Θεωρούμε το σύστημ των εξισώσεων () κι () γι ν το επιλύσουμε κι έχουμε : Θ λύσουμε το σύστημ με την μέθοδο της y 5 y 5 ντικτάστσης. y 5 y 5 y 5 Αντικθιστούμε τον άγνωστο στην η εξίσωση πό την επίλυση της οποίς προκύπτει η τιμ του y y 5 y 5 0 y 0 y 0 Η λύση του συστμτος είνι η 75Km/h κι y 0Km/h y 5 0 5 75 y 0 y 0. Έν τρένο κινείτι με στθερ τχύτητ. Ο χρόνος, που μεσολεί πό τη στιγμ που θ εισέλθει σε μι σργγ μκους 80 m μέχρι τη στιγμ που κι το τελευτίο του γόνι θ εξέλθει π υτ, είνι sec. Σε μι δεύτερη σργγ μκους 90 m το ίδιο συμίνει σε χρόνο sec. N ρείτε τη τχύτητ κι το μκος του τρένου. Εάν συμολίσουμε σε μέτρ το μκος του τρίνου κι y σε m/sec την τχύτητά του τότε : Γι την η σργγ
ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 7 Την χρονικ στιγμ που η ρχ του τρίνου εισέρχετι στην σργγ το τέλος του τρίνου πέχει πό την έξοδο πόστση σε μέτρ 80 την οποί θ δινύσει σε χρόνο y sec. Επομένως y 80 () Γι την η σργγ ντίστοιχ θ έχουμε y 90 () Θεωρούμε το σύστημ των εξισώσεων () κι (). Θ επιλύσουμε το σύστημ με την μέθοδο των ντιθέτων συντελεστών. Πολλπλσιάζουμε τους όρους της ης εξίσωσης επί τον ριθμό, ενώ τη η την φνουμε όπως είνι. Διτηρούμε την η των εξισώσεων ενώ την η την φνουμε όπως είνι. y 80 y 80 y 90 y 90 y 80 y 80 y 90 0y 750 Αφού ρούμε την τιμ του γνώστου y ντικθιστούμε την τιμ υτ στην y 80 η y 80 εξίσωση κι ρίσκουμε την τιμ του - 750 γνώστου. y 5 y 5 Επιλύοντς το σύστημ συμπερίνουμε 0 ότι το μκος του τρίνου είνι 0m κι 5 80 00 80 η τχύτητ του 5m/sec y 5 y 5 00 80 0 y 5 y 5 7. Οι ντιστάσεις R, R, ν συνδεθούν πράλληλ, έχουν ολικ ντίστση, Ω. Αν η ντίστση R συνδεθεί πράλληλ με ντίστση Ω, τότε η ολικ τους ντίστση είνι R. Ν ρείτε τις τιμές των ντιστάσεων R, R. Ανάλογ με τον τρόπο σύνδεσης των ντιστάσεων προκύπτουν οι εξισώσεις. ος τρόπος σύνδεσης : () R R, ος τρόπος σύνδεσης : () R R Θεωρούμε το σύστημ των () κι ()
8 ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, R R R R, R R, R R R R R R,R,R R R,R,R RR R R R R R R R R,R,R R R,R,R RR,R 9,R 0,R 9,R,R,R R R,R,R RR, R R R,5 R 9,,R,.,5R R,5 R R,5R,R,,5R R,5R,5(R ) (,,,5)R,5(R R,5R,5R R R,5R R,5R R R ) R,5(R) R,5R R R,5 Κάνουμε πλοιφ προνομστών πολλπλσιάζοντς κάθε μί των εξισώσεων με το Ε.Κ.Π. των προνομστών της. Κάνουμε τις σχετικές πράξεις. Διτηρούμε την η των εξισώσεων ενώ ντικθιστούμε την η με το άθροισμά τους. Αφού ρούμε μί σχέση μετξύ των R κι R ντικθιστούμε την R. στην η εξίσωση γι ν ρούμε τον άγνωστο R. Κάνουμε τις σχετικές πράξεις. Στηριζόμενοι στην ιδιότητ της διγρφς του πολλπλσισμού υπολογίζουμε την τιμ της ντίστσης R. κι στη συνέχει της R Επομένως οι τιμές των ντιστάσεων είνι: R Ω κι R Ω ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Μρί: Αν μου δώσεις δύο, θ έχω όσ κι εσύ. Ελένη: Αν εσύ μου δώσεις δύο, θ έχω τ διπλάσι πό σέν. Πόσ έχει η κθεμιά; Έστω υτά που έχει η Μρί κι y υτά που έχει η Ελένη. Τότε έχουμε τις y εξισώσεις:. Θ λύσουμε το σύστημ των δύο εξισώσεων. y ( )
ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 9 ( ) y 0 0 y y y y Χρησιμοποιούμε την μέθοδο της ντικτάστσης. Λύνουμε την πρώτη ως προς y κι ντικθιστούμε την τιμ του y στην δεύτερη. Λύνοντς την δεύτερη εξίσωση ως προς ρίσκουμε το 0 κι ντικθιστώντς την τιμ του στην πρώτη ρίσκουμε κι το y.. Οι συντελεστές του κι του y σστηκν κτά λάθος. Μπορείτε ν τους υπολογίσετε ν γνωρίζετε ότι το σύστημ έχει λύση...y y... 5, ; 7 5 5 7 9 5 5 5. 5 y y Θέτουμε τον συντελεστ του κι τον συντελεστ του y. Εφόσον το σύστημ έχει λύση το σημείο 5,. Τοποθετούμε στο σύστημ στην θέση του το -/ κι στην θέση του y το -5/. Κάνουμε πλοιφ προνομστών Λύνουμε την πρώτη ως προς κι την δεύτερη ως προς. Βρίσκουμε -7 κι
0 ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ. Ν ποδείξετε ότι τ συστμτ y 5 - y κι έχουν κοιν λύση. y 7 - y y 5 y 5 y 7 y 5 y 5 y - y 8y - y y 8y y 5y 5 8 y Λύνουμε το σύστημ με τη μέθοδο των ντίθετων συντελεστών. Λύνουμε το σύστημ με τη μέθοδο των ντίθετων συντελεστών. Πρτηρούμε ότι τ δύο συστμτ έχουν κοιν λύση την (,y)(,)
ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 0 Α. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με (Σ) ν είνι σωστές με (Λ) ν είνι λνθσμένες. ) Το ζεύγος (,) είνι λύση της εξίσωσης -y5. ) Η ευθεί ε:-5y0 διέρχετι πό την ρχ των ξόνων. γ) Η εξίσωση y- πριστάνει ευθεί πράλληλη στον άξον y y. δ) Αν δύο ευθείες είνι πράλληλες, τότε το σύστημ των εξισώσεων τους είνι όριστο. ( μονάδες) Β. Ν επιλέξετε την σωστ πάντηση: i) Οι ευθείες ε : -y8 κι ε : 5y8 έχουν κοινό σημείο το: ) Α(9,0), ) Β(,), γ) Γ(,-), δ) Δ(,-) 5 y ii) Αν γι την επίλυση του συστμτος εφρμόσουμε την y μέθοδο των ντίθετων συντελεστών, τότε προκύπτει η εξίσωση: ) 5, ), γ) -, δ) 9. y 5 iii) Το σύστημ y 5 ) έχει μί λύση, ) είνι όριστο, γ) είνι δύντο. ( μονάδες) ΘΕΜΑ 0 Ν λύσετε το σύστημ ΘΕΜΑ 0 5y 8 y 0 ( μονάδες) Αν οι ευθείες ε : ( κ ) ( λ -) y κι ε : ( κ ) - λy τέμνοντι στο σημείο Μ(,), ν υπολογίσετε τις τιμές των ριθμών κ, λ. (7 μονάδες)
ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ( ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ) ΠΡΟΧΕΙΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Θέμ ο. Τι ονομάζετι λύση της εξίσωσης y γ. Ν ρείτε την τιμ του λ ώστε η ευθεί (λ) (λ)y ν περνά πό το σημείο Α(, ) γ. Ν σχεδιάσετε την ευθεί υτ κι ν ρείτε τις συντετγμένες των σημείων τομς της ευθείς με τους άξονες του συστμτος. Θέμ ο Ν λυθεί το σύστημ : y - ( - y) y - y 5 ΠΡΟΧΕΙΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Θέμ ο. Τι γνωρίζετε γι την γρφικ πράστση της εξίσωσης y γ με 0, 0 κι γ 0. Ν ρείτε τις τιμές των κ κι λ ώστε οι ευθείες με εξισώσεις : (κ) (k)y κι (λ ) (λ)y 5 ν έχουν κοινό σημείο το Α(,) γ. Ν σχεδιάσετε τις ευθείες υτές στο ίδιο σύστημ ξόνων. Θέμ ο Ν λυθεί το σύστημ : y - ( - y) y y 5
ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΣΤ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ. Εάν έν σημείο. νκει σε μί ευθεί, τότε οι συντετγμένες του.. επληθεύουν την. της ευθείς.. Εάν οι ενός σημείου. την εξίσωση μίς ευθείς, τότε το σημείο.. νκει στην ευθεί υτ.. Η εξίσωση y κ με κ 0. μί ευθεί πράλληλη στον άξον κι τέμνει τον άξον yy στο σημείο (.,..)..Η εξίσωση 0, πριστάνει τον. 5 Λύση γρμμικού συστμτος δύο με δύο γνώστους κι y ονομάζετι κάθε ζεύγος (, y) που επληθεύει τις εξισώσεις του.. Εάν έν γρμμικό σύστημ είνι δύντο, τότε οι ευθείες που ντιστοιχούν στις εξισώσεις του είνι μετξύ τους. 7. Εάν έν γρμμικό σύστημ είνι όριστο, τότε οι ευθείες που ντιστοιχούν στις εξισώσεις του. ΤΕΣΤ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΠΙΛΟΓΩΝ. Ποιο πό τ πρκάτω σημεί νκει στην ευθεί y 5 ( 0, 0 ), (, ), (, - ), (, 0 ), (, ). Σε ποιο πό τ πρκάτω σημεί τέμνει η ευθεί 5 τον άξον (5, - ), (5, 0 ), ( 5, ), ( 5, ), ( 5, 5 ). Σε ποιο πό τ πρκάτω σημεί τέμνει η ευθεί y - τον άξον yy (-, - ), (-, - ), ( 0, - ), (, - ), ( 0, - ). Ποιο πό τ πρκάτω σημεί νκει κι στις δύο ευθείες με εξισώσεις y κι y. ( 0, 0), ( 0, ), (, ), (, - ), ( 5, - ) 5. Ποιο πό τ πρκάτω ζεύγη είνι η λύση του συστμτος - (y - ) : y ( 0, 0), (, 0), (, ), (, ), (-, - ), (0 - ). Ποι είνι η σχετικ θέση των ευθειών ε κι ε που ποτελούν τις γρφικές πρστάσεις των εξισώσεων του συστμτος : y y. Οι ε, ε είνι πράλληλες,. Οι ε, ε τέμνοντι,. Οι ε, ε συμπίπτουν
ΜΕΡΟΣ Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΕΣΤ ΔΙΑΖΕΥΚΤΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ» Στις πρκάτω προτάσεις, άλλες είνι σωστές κι άλλες είνι λάθος. Βάλτε σε κύκλο το Σ γι τις σωστές κι το Λ γι τις λάθος.. Η ευθεί y ( 0) περνά πό την ρχ του συστμτος Σ Λ των ξόνων.. Η ευθεί y k (k 0) είνι πράλληλη με τον άξον Σ Λ. Η ευθεί 0 πριστάνει τον άξον Σ Λ. Οι ευθείες k ( k 0 ) κι y λ ( λ 0 ) τέμνοντι Σ Λ στο σημείο ( k, λ ) 5.Εάν το ζεύγος ( κ, λ ) επληθεύει την εξίσωση y Σ Λ γ, γι την οποί ( 0, 0, γ 0 ) τότε το σημείο (κ, λ) νκει στην εξίσωση της ευθείς.. Το ζεύγος (κ,λ ) που επληθεύει τις εξισώσεις ενός συστμτος Σ Λ, είνι η λύση του συστμτος υτού. 7. Εάν οι ευθείες δύο εξισώσεων τέμνοντι, τότε το σύστημ Σ Λ των δύο υτών εξισώσεων είνι δύντο. 8. Εάν οι ευθείες δύο εξισώσεων είνι πράλληλες, τότε το σύστημ των δύο υτών εξισώσεων είνι όριστο. Σ Λ