ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36
Γνωριµία ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης e-mail: telelis@unipi.gr Ωρες γραφείου (502, Γρ.Λαµπράκη 126): ευτέρα 11:00 13:00 Τετάρτη 14:00 15:00 Πέµπτη 11:00-13:00 Και κατόπιν συνεννόησης Ηµέρες/ Ωρες Μαθήµατος: Ε 09:00-11:00, ΤΕ 12:00 14:00 Αίθουσα: 002 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 2 / 36
Επικοινωνία Ιστοσελίδα µαθήµατος: http://evdoxos.ds.unipi.gr/courses/ds115/ Θέµατα και υλικό σχετικά µε το µάθηµα ΙΑΦΑΝΕΙΕΣ ΙΑΛΕΞΕΩΝ ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΕΙΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΒΟΗΘΗΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ... Αρα γραφτείτε στο µάθηµα! Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 3 / 36
Βιβλία Μαθήµατος K. ROSEN (2014): ιακριτά Μαθηµατικά και Εφαρµογές τους (Εκδόσεις ΤΖΙΟΛΑ). C. L LIU (2009): Στοιχεία ιακριτών Μαθηµατικών (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης). Τα µαθηµατικά µελετώνται µε βιβλία, σηµειώσεις και πρόχειρο τετράδιο!!! Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 4 / 36
Εξέταση και Βαθµολόγηση Πρόοδος (κάπου «στα µισά» του εξαµήνου): (Π) ϑα ανακοινωθεί εγκαίρως Γραπτή Εξέταση (στην εξεταστική του Ιουνίου): (E) { min{ 10, E + 0.15 Π }, αν E 4 Τελικός Βαθµός = E, αν E < 4 Ο ϐαθµός προόδου ϑα κρατηθεί για Σεπτέµβριο (ισχύει το ίδιο σχήµα). Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 5 / 36
Σύνολα, Συναρτήσεις Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 6 / 36
Σύνολα Σύνολο είναι συλλογή διακεκριµένων αντικειµένων. { a, b, c }: σύνολο που αποτελείται από τα αντικείµενα a, b, c. a, b, c είναι στοιχεία ή µέλη του συνόλου. S = { a, b, c }: Το σύνολο S περιέχει τα στοιχεία a, b, c. a S: το a ανήκει στο σύνολο S. d S: το d δεν ανήκει στο σύνολο S. Οχι διάταξη στοιχείων: { a, b, c, } = { b, a, c }. Προσδιορισµός στοιχείων: { x το x είναι ϑετικός ακέραιος και x 10 } Παραδείγµατα: { {a, b, c}, b, c }, { {a, d}, {b, c} } Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 7 / 36
Μερικά Σηµαντικά Σύνολα Το σύνολο των: N = { 0, 1, 2,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Z + = { 1, 2, 3,... } R R + C ϕυσικών αριθµών, ακεραίων αριθµών, ϑετικών ακεραίων αριθµών, πραγµατικών αριθµών, ϑετικών πραγµατικών αριθµών, µιγαδικών αριθµών. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 8 / 36
Υποσύνολα, Κενό Σύνολο P υποσύνολο του Q αν: για κάθε x P είναι x Q. Συµβ.: P Q { a, b } { y, x, b, c, a } αλλά { a, b, e } { y, x, b, c, a }. Επίσης (προσοχή): Είναι { { a, b, c } } { { a, b, c }, d, e }. [ { a, b, c } { { a, b, c }, d, e } Αλλά: { a, b, c } { { a, b, c }, d, e } Για κάθε σύνολο P ισχύει P P. Κενό Σύνολο : για κάθε στοιχείο x είναι x. Για κάθε σύνολο P ισχύει P. A = B αν και µόνο αν περιέχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία. A = B αν και µόνο αν A B και B A. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 9 / 36
Πληθικότητα Συνόλων Για Πεπερασµένο Σύνολο A: ακέραιος n 0 ίσος µε πλήθος στοιχείων του A. Συµβολίζεται µε A. Το σύνολο των γραµµάτων του Ελληνικού αλφαβήτου έχει πληθικότητα 24. Το κενό σύνολο,, έχει πληθικότητα 0. Ενα σύνολο που δεν είναι πεπερασµένο είναι άπειρο Οταν για κάθε n Z +, το σύνολο έχει περισσότερα από n στοιχεία. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 10 / 36
ιαγράµµατα Venn Ω Ω A A B A Ω B A Ω Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 11 / 36
Πράξεις µεταξύ Συνόλων: Ενωση, Τοµή Ενωση: A B Τοµή: A B A B A B Το σύνολο των στοιχείων που ανήκουν: είτε στο A, είτε στο B, είτε και στα δύο. Το σύνολο των στοιχείων που ανήκουν στο A και στο B. Αντιµεταθετική Ιδιότητα: A B = B A, A B = B A. Γενικεύσεις: P 1 P 2 P 3 P k = (( ((P 1 P 2 ) P 3 ) ) P k 1 ) P k P 1 P 2 P 3 P k = (( ((P 1 P 2 ) P 3 ) ) P k 1 ) P k Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 12 / 36
Επιµεριστική Ιδιότητα A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) A B A B C C Γενικεύσεις: A ( B 1 B 2 B k ) = ( A B 1 ) ( A B 2 ) ( A B k ) A ( B 1 B 2 B k ) = ( A B 1 ) ( A B 2 ) ( A B k ) Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 13 / 36
Επιµεριστική Ιδιότητα Απόδειξη της R (P Q) = (R P) (R Q) Αρκεί να δείξουµε ότι: R (P Q) (R P) (R Q) R (P Q) (R P) (R Q) και: Για την R (P Q) (R P) (R Q): Εστω x R (P Q). Τότε x R και x P Q. Αν x P, τότε x R P. Αν x Q, τότε x R Q. Επειδή x P ή x Q (ή και τα δύο), έπεται ότι x (R P) (R Q). Παροµοίως για την R (P Q) (R P) (R Q) Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 14 / 36
ιαφορά, Συµµετρική ιαφορά A B A B A B Το σύνολο των στοιχείων που ανήκουν στο A και δεν ανήκουν στο B B A A B A B Το σύνολο των στοιχείων που ανήκουν είτε στο A ή στο B (αλλά όχι και στα δύο) Το σύνολο των στοιχείων που ανήκουν στο B και δεν ανήκουν στο A Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 15 / 36
Συµπλήρωµα Συνόλου Εστω ϐασικό σύνολο Ω. Συµπλήρωµα συνόλου A ως προς Ω είναι Ā = U A. Για δύο σύνολα A, B ισχύουν: Αν A B, τότε B Ā A B = A B. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 16 / 36
Νόµοι του De Morgan A B = Ā B A B = Ā B A B A B Γενικεύσεις: n A i = n i=1 i=1 Ā i n A i = n i=1 i=1 Ā i Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 17 / 36
Νόµοι του De Morgan Τυπική Απόδειξη του: A B = Ā B Αρκεί να δείξουµε ότι A B Ā B και Ā B A B. A B Ā B: Εστω x A B. Επειδή A A B και B A B: A B Ā, άρα x Ā, και A B B, άρα x B. Εποµένως x Ā και x B, άρα x Ā B. Ā B A B: Εστω x Ā B. Αρα x A και ταυτόχρονα x B. Εποµένως x A B x A B. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 18 / 36
υναµοσύνολο Το δυναµοσύνολο ενός συνόλου A συµβολίζεται µε P(A) και είναι το σύνολο όλων των υποσυνόλων του A. P( { a, b } ) = {, { a }, { b }, { a, b } }. Παρατήρηση: για οποιοδήποτε σύνολο A: P(A) και P(A) Η πληθικότητα του δυναµοσυνόλου P(A) ενός συνόλου A είναι: P(A) = 2 A Ενας εναλλακτικός συµβολισµός του δυναµοσυνόλου του A είναι 2 A. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 19 / 36
Καρτεσιανό Γινόµενο Συνόλων ιατεταγµένη n-άδα (a 1, a 2,..., a n ) είναι διατεταγµένη συλλογή στοιχείων. (a 1, a 2,..., a n ) = (b 1, b 2,..., b n ) αν και µόνο αν a i = b i, για i = 1,..., n. Καρτεσιανό Γινόµενο A B δύο συνόλων A, B είναι: το σύνολο όλων των διατεταγµένων Ϲευγών (a, b) µε a A και b B A B = { (a, b) a A και b B} Για κάθε σύνολο A: A = A =. Για δύο µη κενά σύνολα A, B: A B B A, εκτός αν A = B. A 1 A 2 A n = { (a 1, a 2,..., a n ) a i A i, για i = 1, 2,..., n } Για µη κενά σύνολα A, B, C: (A B) C A B C. Γιατί; Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 20 / 36
Συναρτήσεις Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 21 / 36
Συναρτήσεις Εστω σύνολα A, B. Συνάρτηση f : A B από το A στο B είναι: κανόνας αντιστοίχισης ακριβώς ενός στοιχείου του B σε κάθε στοιχείο του A. Πεδίο Ορισµού: A, Σύνολο Αφιξης: B, Σύνολο Τιµών: f(a) B f(a) = { b B υπάρχει a A τέτοιο ώστε f(a) = b } Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 22 / 36
Συναρτήσεις 1-1 και Επί Μια συνάρτηση f : A B είναι 1-1 αν και µόνο αν: f(x) = f(y) συνεπάγεται x = y για κάθε x, y A. Η f : R R µε f(x) = x + 1 είναι 1-1. Η g : R R µε f(x) = x 2 δεν είναι 1-1. Μια συνάρτηση f : A B είναι επί του B αν και µόνο αν: f(a) = B, δηλαδή για κάθε b B υπάρχει a A τέτοιο ώστε f(a) = b Η f : R R µε f(x) = x 2 δεν είναι επί του R. Η f : Z Z µε f(x) = x + 1 είναι επί του Z. Η f : N N µε f(x) = x + 1 δεν είναι επί του N! Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 23 / 36
Συναρτήσεις 1-1 και επί a b c 1 2 3 4 1-1 αλλά όχι επί a b c d 1 2 3 επί αλλά όχι 1-1 a b c d 1 2 3 3 1-1 και επί a b c d 1 2 3 3 όχι 1-1, ούτε επί Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 24 / 36
Αντίστροφη Συνάρτησης Αν f : A B είναι 1-1 και επί, τότε αντιστρέφεται: Αντίστροφη της f: f 1 : B A Εχει αντίστροφη η f : Z Z µε f(x) = x + 1; Αν ναι, f 1 (y) =; Εχει αντίστροφη η g : R R µε g(x) = x 2 ; Αν ναι, g 1 (y) =; Εχει αντίστροφη η h : R + R µε h(x) = x 2 ; Αν ναι, h 1 (y) =; Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 25 / 36
Σύνθεση Συναρτήσεων Σύνθεση των f : B C, g : A B είναι: (f g)(a) = f( g(a) ) Προσοχή: Η σύνθεση g f δεν ορίζεται απαραίτητα. Τί πρέπει να ισχύει; Για κάθε 1-1 και επί συνάρτηση f : A B είναι (f f 1 )(b) = b, (f 1 f)(a) = a. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 26 / 36
ύο Ενδιαφέρουσες Συναρτήσεις Συνάρτηση «Κάτω Ακεραίου» (floor): x = µέγιστος ακέραιος που είναι µικρότερος ή ίσος του x Συνάρτηση «Ανω Ακεραίου» (ceiling): x = ελάχιστος ακέραιος που είναι µεγαλύτερος ή ίσος του x Παραδείγµατα: 1 2 = 0, 1 2 = 1, 1 2 = 1, 1 2 = 0 3.1 = 3, 3.1 = 4, 7 = 7 = 7. Ν Ο για κάθε πραγµατικό αριθµό x ισχύει: 2x = x + x + 1 2. Σωστό ή Λάθος; Για κάθε δύο x, y R είναι x + y = x + y. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 27 / 36
Πληθικότητα Συνόλων Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 28 / 36
Αριθµήσιµα Σύνολα ύο σύνολα A και B έχουν ίδια πληθικότητα, δηλ. A = B, αν και µόνο αν: υπάρχει 1-1 και επί συνάρτηση από το A στο B Αν υπάρχει µια 1-1 συνάρτηση από το A στο B, τότε A B. Ενα µη κενό σύνολο A είναι πεπερασµένο αν υπάρχει: 1-1 και επί αντιστοίχιση από το A στο {1, 2,..., n}, για κάποιο n Z + Το n είναι ο πληθικός αριθµός (ή πληθικότητα) του συνόλου. Το κενό σύνολο,, ϑεωρείται πεπερασµένο. Ενα σύνολο που είτε είναι πεπερασµένο είτε έχει την ίδια πληθικότητα µε το σύνολο των ϑετικών ακεραίων, Z +, λέγεται αριθµήσιµο. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 29 / 36
Αριθµήσιµα Σύνολα Ενα µη κενό σύνολο είναι αριθµήσιµο αν υπάρχει 1-1 αντιστοίχιση µεταξύ των στοιχείων του και των στοιχείων του συνόλου Z +. Το σύνολο N των ϕυσικών αριθµών: f(n) = n 1. Το σύνολο των ϑετικών άρτιων ακεραίων: f(n) = 2n. Το σύνολο των ϑετικών πολλαπλασίων του 7: f(n) = 7n. Το σύνολο των ακεραίων αριθµών, Z: 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3,... Το σύνολο Q των (ϑετικών) ϱητών αριθµών. Η ένωση ενός πεπερασµένου (ή αριθµησίµως απείρου) συνόλου αριθµήσιµων συνόλων είναι αριθµήσιµο σύνολο. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 30 / 36
Παράδειγµα: Το σύνολο των ϱητών αριθµών Εστω Q + = { m n m, n Z+ } το σύνολο των ϱητών αριθµών. Παρότι Q + Z +, ϑα δείξουµε ότι Q + αριθµήσιµο. Κατασκευάζουµε άπειρο πίνακα (άπειρες γραµµές, άπειρες στήλες): Η γραµµή i περιέχει όλους τους αριθµούς του Q + µε αριθµητή i. Η στήλη j περιέχει όλους τους αριθµούς στο Q + µε παρονοµαστή j. Αρα το στοιχείο (i, j) του πίνακα έχει τον αριθµό i j. Μετατρέπουµε τον πίνακα σε «κατάλογο» του Q +, προσεκτικά. Παραθέτουµε τις διαγωνίους του πίνακα από το στοιχείο (i, 1) έως το στοιχείο (1, i), για i = 1, 2, 3,... παραλείποντας τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου του πίνακα, όταν i > 1. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 31 / 36
Παράδειγµα: Το σύνολο των ϱητών αριθµών 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5... 2/1 2/2 2/3 2/4 2/5... 3/1 3/2 3/3 3/4 3/5... 4/1 4/2 4/3 4/4 4/5... 5/1 5/2......... Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 32 / 36
Υπεραριθµήσιµα Σύνολα Υπάρχουν απειροσύνολα που δεν είναι αριθµήσιµα!!! Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών µεταξύ 0 και 1 είναι υπεραριθµήσιµο. Ιδέα Απόδειξης: ιαγωνιοποίηση (Georg Cantor, 1873) Υποθέτουµε ότι είναι αριθµήσιµο. Προσπαθούµε να καταγράψουµε τους αριθµούς, σε έναν κατάλογο. Για οποιονδήποτε τέτοιο κατάλογο, ϑα δείξουµε ότι µας έχει ξεφύγει τουλάχιστον ένας αριθµός. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 33 / 36
Υπεραριθµήσιµα Σύνολα Καταγράφουµε τους (πραγµατικούς) αριθµούς µεταξύ 0 και 1 σε δεκαδική µορφή: 0, a 11 a 12 a 13 a 14... 0, a 21 a 22 a 23 a 24... 0, a 31 a 32 a 33 a 34..................... 0, a i1 a i2 a i3 a i4..................... Ενας αριθµός 0, b 1 b 2 b 3 b 4... που δεν βρίσκεται στον κατάλογο: b j = { 4, αν ajj 4 5, αν a jj = 4 ιαφέρει από τον j-οστό αριθµό του καταλόγου, στο ψηφίο a jj!!! Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 34 / 36
Το παράδοξο του Russell (1902) Bertrand Russell (1872-1970): Βρετανός ϕιλόσοφος, µαθηµατικός, ιστορικός, συγγραφέας και πολιτικός ακτιβιστής. Βραβείο Nobel λογοτεχνίας 1950. Σε ένα χωριό κάθε άντρας: - είτε ξυρίζεται µόνος του, - ή ξυρίζεται από τον κουρέα του χωριού. ηλαδή, ο κουρέας ξυρίζει όλους όσους δεν ξυρίζονται µόνοι τους. Ποιος ξυρίζει τον κουρέα; Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 35 / 36
Το παράδοξο του Russell (1902) Ορίζουµε το σύνολο των συνόλων που δεν περιέχουν τον εαυτό τους: S = { A A A } Τότε όµως συµπεραίνουµε ότι: Αν S S, ϑα είναι S S!!! Αν S S, ϑα είναι S S!!!???????? Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 36 / 36