3 Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος Ολόµορφες συναρτήσεις Τοπολογικοί ορισµοί Ορισµός 3 Εστω και ε > Καλούµε ε-ανοικτή περιοχή ή ανοικτό δίσκο κέντρου και ακτίνας ε το σύνολο { ε} D ( ) = : < ε Ορισµός 3 Έστω Το καλείται σηµείο συσσώρευσης συνόλου E εάν ε >, D E ( ε { } ) Αν E δεν είναι σηµείο συσσώρευσης του Ε καλείται αποµονωµένο σηµείο του Ε Σηµειώνουµε ότι ένα σηµείο συσσώρευσης µπορεί να ανήκει ή να µην ανήκει στο σύνολο Ε Το σύνολο των σηµείων συσσώρευσης του Ε καλείται παράγωγο σύνολο του Ε και συµβολίζεται µε Ε Tο σύνολο E = E E καλείται κλειστότητα του Ε Ορισµός 33 Εστω Το καλείται συνοριακό σηµείο συνόλου E εάν ε >, Dε ( ) E και Dε ( ) ( E) Με άλλα λόγια κάθε ανοικτός δίσκος του περιέχει και σηµεία του E και σηµεία του συµπληρώµατος E Σηµειώνουµε ότι ένα συνοριακό σηµείο µπορεί να ανήκει ή να µην ανήκει στο σύνολο Ε Το σύνολο των συνοριακών σηµείων του Ε καλείται σύνορο του Ε, συµβολικά E Ορισµός 34 Ένα σύνολο E καλείται ανοικτό εάν E, ε > : D E ε Πρακτικά το E είναι ανοικτό αν και µόνον αν δεν περιέχει κανένα συνοριακό του σηµείο Ορισµός 35 Ένα σύνολο E καλείται κλειστό εάν και µόνον αν το συµπλήρωµά του E είναι ανοικτό σύνολο Αποδεικνύεται δε ότι το Ε είναι 63
κλειστό σύνολο αν και µόνον αν περιέχει όλα τα σηµεία συσσώρευσής του Πρακτικά το E είναι κλειστό αν και µόνον αν περιέχει όλα τα συνοριακά του σηµεία Σηµείωση: To σύνολα και θεωρούνται ως ανοικτά και κλειστά ταυτόχρονα Προφανώς υπάρχουν υποσύνολα του που δεν είναι ούτε ανοικτά ούτε κλειστά Ορισµός 36 Ένα σύνολο E καλείται συνεκτικό (ή συναφές) εάν δεν υπάρχουν δύο ξένα µεταξύ τους ανοικτά (ή κλειστά) υποσυνόλα του τέτοια ώστε η ένωσή τους να καλύπτει το Ε Ειδικά αν το E είναι ανοικτό, τότε το E είναι συνεκτικό αν για κάθε ζεύγος σηµείων του υπάρχει συνεχής καµπύλη που τα συνδέει µένοντας εξ ολοκλήρου µέσα στο E, E ισχύει t+ ( t) E, t [,] τότε το Ε καλείται Εάν κυρτό σύνολο Γεωµετρικά ένα κυρτό σύνολο δεν έχει καθόλου «τρύπες» στο εσωτερικό του Προφανώς ένα κυρτό σύνολο είναι συνεκτικό και µάλιστα απλά συνεκτικό Ορισµός 37 Ένα ανοικτό και συνεκτικό σύνολο καλείται χωρίο ή τόπος Ενας τόπος καλείται πολυγωνικά συνεκτικός εάν δυο οποιαδήποτε σηµεία του µπορούν να ενωθούν µε µια πολυγωνική γραµµή που βρίσκεται εξ ολοκλήρου εντός αυτού Αποδεικνύεται ότι στο κάθε τόπος είναι πολυγωνικά συνεκτικός Ορισµός 38 Ένα σύνολο E καλείται φραγµένο εάν C > : C E Ορισµός 39 Ένα κλειστό και φραγµένο σύνολο του καλείται συµπαγές Στο αποδεικνύεται ότι E συµπαγές αν και µόνον αν το E είναι κλειστό και φραγµένο Οριο-Συνέχεια µιγαδικών συναρτήσεων Ορισµός 3 Eστω f : E και είναι σηµείο συσσώρευσης του Ε θα λέµε ότι η f έχει όριο στο το µιγαδικό αριθµό a αν ε > δ = δ ε, > : Ε : < < δ f a < ε Tότε γράφουµε f = a 64
Πρόταση 3 Εστω f : E : f = uxy (, ) + ivxy (, ) και το σηµείο = x + iy είναι σηµείο συσσώρευσης του E Αν a= u + iv, τότε f = a ( xy, ) ( x, y) ( xy, ) ( x, y) (, ) u x y = u (, ) v x y = v Απόδειξη Εστω f = a Από τον ορισµό του ορίου έχουµε ε > δ = δ ε, > : Ε : < < δ f a < ε Εφόσον f a ( u( x, y) u ) ( v( x, y) v ) = + έχουµε uxy (, ) u uxy (, ) u + vxy (, ) v = f a < ε και vxy (, ) v uxy (, ) u + vxy (, ) v = f a < ε Αρα u( x, y) = u και (, ) εύκολο ( xy, ) ( x, y) v x y = v Το αντίστροφο είναι ( xy, ) ( x, y) Εφόσον η εύρεση ορίου στις µιγαδικές συναρτήσεις ανάγεται στην εύρεση του ορίου δύο πραγµατικών συναρτήσεων uv, : E, οι ιδιότητες του ορίου µιγαδικών συναρτήσεων είναι ίδιες µε αυτές του ορίου συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ετσι το ακόλουθο Θεώρηµα προκύπτει άµεσα από το Λογισµό συναρτήσεων πολλών µεταβλητών: Θεώρηµα 3 Εάν f = a και g = b ( ab, ), τότε: (α) f + g = a + b, f g = a b, (β) (γ) f a =, b = /, g b 65
(δ) f = f Ορισµός 3 Eστω f : E και είναι σηµείο συσσώρευσης του Ε θα λέµε ότι η f έχει όριο στο το αν ε > δ = δ ε, > : Ε : < < δ f > ε Tότε γράφουµε f a (ή το a = ) αν = Eπίσης θα λέµε ότι η f έχει όριο στο = το ε >, δ = δ ε, > : Ε : > δ f a < ε (ή f > ε ) Tότε γράφουµε f = a (ή f = ) Σηµείωση: (α) Πρακτικά όταν θέλουµε να υπολογίσουµε το f υπολογίζουµε το f (β) Oταν εµφανίζονται απροσδιόριστες µορφές της µορφής,,,,, εργαζόµαστε όπως στις πραγµατικές συναρτήσεις (ο κανόνας L Hospital µπορεί να εφαρµοσθεί υπό προϋποθέσεις όπως θα δούµε λίγο παρακάτω) Aυτή είναι µια µεγάλη διαφοροποίηση σε σχέση µε τα όρια συναρτήσεων πολλών µεταβλητών και σχετίζεται µε την πράξη του πολ/σµού που ορίσαµε στο και είναι αυτή που διαφοροποιεί το από το Ορισµός 3 Eστω f : E και E θα λέµε ότι η f είναι συνεχής στο αν Αν ( ) f f ( ) ε > δ = δ ε, > : Ε : < δ < ε σηµείο συσσώρευσης του Ε, τότε γράφουµε f = f ( ) 66
Παρατήρηση: Aν µια µιγαδική συνάρτηση f είναι συνεχής σε κάθε σηµείο ενός συνόλου Ε τότε λέµε ότι η f είναι συνεχής στο Ε Πρόταση 3 Εστω f : E : f = uxy (, ) + ivxy (, ) και = x + iy είναι σηµείο του Ε Τότε η f είναι συνεχής στο αν και µόνον αν οι συναρτήσεις uxy (, ) και vxy (, ) είναι συνεχείς στο σηµείο ( x, y ) Απόδειξη Όπως η Πρόταση 3 Πρόταση 33 Εάν oι µιγαδικές συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς σε σηµείο του πεδίου ορισµού τους τότε και οι af ± bg ( a, b ), f g, f / g ( g ) είναι επίσης συνεχείς στο είναι συνεχής σε σηµείο E g: f E f τότε και η σύνθεση αυτών f g είναι συνεχής (β) Αν η f : E f ( E) είναι συνεχής στο σηµείο ( ) στο και η Πρόταση 34 Εστω E είναι συνεκτικό (ή συµπαγές) σύνολο και f : E f ( E) είναι συνεχής στο Ε Τότε το σύνολο f ( E ) είναι επίσης συνεκτικό (ή συµπαγές) Με βάση τα παραπάνω προκύπτει ότι οι πολυωνυµικές, οι τριγωνοµετρικές, οι υπερβολικές, και η εκθετική συνάρτηση e είναι συνεχείς στο πεδίο ορισµού τους Για τη λογαριθµική συνάρτηση όµως τα πράγµατα δεν είναι τόσο απλά διότι στον ορισµό της υπεισέρχεται η συνάρτηση Arg ( ) η οποία δεν είναι καλά ορισµένη στο = και όχι µόνο Αποδεικνύεται η ακόλουθη Πρόταση 35 Η συνάρτηση Arg : { } ( π, π ] σύνολο είναι συνεχής στο { : Re, Im } * = =, 67
δηλαδή είναι ασυνεχής στον αρνητικό ηµιάξονα των πραγµατικών αριθµών Η πρόταση αυτή έχει άµεσες επιπτώσεις όσον αφορά τη συνέχεια συναρτήσεων log, a, κλπ Για παράδειγµα ας θεωρήσουµε την όπως είναι οι πλειονότιµη συνάρτηση log( ) Από τον ορισµό της παρατηρούµε ότι κάθε κλάδος της αλλάζει τύπο µόνον κατά µήκος του αρνητικού ηµιάξονα των πραγµατικών αριθµών, άρα εκεί είναι λογικό να µην είναι συνεχής Λέµε τότε ότι σ αυτόν τον ηµιάξονα έχουµε µια κλαδική γραµµή και το σηµείο = που δεν ορίζεται log( ) για κάθε κλάδο της καλείται κλαδικό σηµείο Υστερα από τα παραπάνω µπορούµε να συµπεράνουµε το εξής: Eστω Arg ( π, π ] log( ),, a Kάθε κλάδος των συναρτήσεων είναι συνεχής συνάρτηση επί του συνόλου * { : Re, Im } = = και είναι ασυνεχής στον αρνητικό ηµιάξονα των πραγµατικών αριθµών Σηµείωση: Aν log l iarg, Arg (, k ] θ = + θ θ θ θ + π, τότε η συνάρτηση αυτή είναι ασυνεχής πάνω στην ηµιευθεία : R e iθ =, R> { } Ακολουθίες και σειρές µιγαδικών αριθµών Ορισµός 33 Κάθε συνάρτηση a : καλείται ακολουθία µιγαδικών αριθµών Συνήθως συµβολίζουµε του όρους µιας ακολουθίας µιγαδικών αριθµών ως όπου { }, { } = x, + iy x y είναι ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Ισχύει δε η ακόλουθη: 68
Πρόταση 36 Έστω x iy ( ) =, + είναι µια ακολoυθία µιγαδικών αριθµών όπως παραπάνω Αν = x + iy, τότε ισχύει: = x = x και y = y + + + H Πρόταση 36 ανάγει την εύρεση ορίου µιας ακολουθίας µιγαδικών αριθµών στην εύρεση ορίων πραγµατικών ακολουθιών Κατά συνέπεια οι ιδιότητες του ορίου µιγαδικών ακολουθιών είναι συνέπεια των ιδιοτήτων του ορίου πραγµατικών ακολουθιών Ορισµός 34 Έστω { : } Ορίζουµε µια νέα ακολουθία Αν η ακολουθία N καλείται σειρά και γράφουµε Αν είναι µια ακολουθία µιγαδικών αριθµών S N N = = S συγκλίνει σ ένα µιγαδικό αριθµό S N, τότε ο S S = = < θα λέµε συµβατικά ότι η σειρά συγκλίνει στο S Αν µια σειρά δε = συγκλίνει θα λέµε ότι αποκλίνει Tα κριτήρια για τη σύγκλιση πραγµατικών σειρών µεταφέρονται και στη σύγκλιση σειρών µιγαδικών αριθµών, διότι αν = x + iy, ( x, y ) τότε x iy x = ( + ) < < και = = = y < = Πράγµατι ισχύει Πρόταση 37 (α) Κριτήριο λόγου Έστω η σειρά + = λ <, τότε < = + = λ >, τότε η σειρά αποκλίνει µε { } = Αν 69
(β) Κριτήριο ρίζας (Cauchy) Έστω η σειρά = λ <, τότε η σειρά < = = λ >, τότε η σειρά αποκλίνει µε { } = Αν Παραγωγισιµότητα Ολόµορφες Συναρτήσεις Ορισµός 35 Έστω f : E όπου E είναι ανοικτό υποσύνολο του και E Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο αν υπάρχει το όριο f f = λ Καλούµε το παραπάνω όριο παράγωγο της f στο και το συµβολίζουµε ως df ( ) f ή d Σηµείωση: Tο παραπάνω όριο λαµβάνεται καθώς το µε οποιονδήποτε τρόπο (θυµηθείτε τα όρια συναρτήσεων πολλών µεταβλητών) Ορισµός 36 Εστω E είναι ανοικτό υποσύνολο του Θα λέµε ότι µια µιγαδική συνάρτηση f : E είναι ολόµορφη (ή αναλυτική) σε σηµείο E αν υπάρχει ε > έτσι ώστε η f να είναι παραγωγίσιµη για όλα τα σηµεία που ανήκουν στον ανοικτό δίσκο Dε ( ) µε κέντρο το και ακτίνα ε Αν η f είναι παραγωγίσιµη σε κάθε σηµείο του E τότε θα λέµε ότι η f είναι ολόµορφη στο E Παρατήρηση: (α) Θα λέµε ότι µια µιγαδική συνάρτηση f είναι ολόµορφη σε µη ανοικτό σύνολο B αν η f είναι ολόµορφη σε κάποιο ανοικτό σύνολο E που περιέχει το B (β) Αν η f είναι ολόµορφη σ ολόκληρο το τότε καλείται ακεραία 7
Θεώρηµα 3 Αν µια µιγαδική συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε σηµείο, τότε η f είναι συνεχής στο Απόδειξη Για κάθε έχουµε Παίρνοντας όρια έχουµε = f f f f ( ) f f ( f f( )) = ( ) = f ( ) = Σηµείωση Το αντίστροφο δεν ισχύει Οι γνωστοί κανόνες παραγώγισης εφαρµόζονται στις µιγαδικές συναρτήσεις Θεώρηµα 33 Εστω f, g είναι παραγωγίσιµες συναρτήσεις σε σηµείο Τότε Η af bg, ( a, b ) ± είναι παραγωγίσιµη στο και ισχύει ± = ± ( af bg ) ( ) af ( ) bg ( ) Η f g είναι παραγωγίσιµη στο και ισχύει = + ( f g) ( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) Αν g ( ) τότε η f / g είναι παραγωγίσιµη στο και ισχύει f f g f g ( ) = g g Απόδειξη Όπως στις πραγµατικές συναρτήσεις Θεώρηµα 34 (κανόνας αλυσίδας) Εστω E είναι ανοικτό υποσύνολο του, f : E f ( E) είναι παραγωγίσιµη σε σηµείο και g: f ( E) είναι παραγωγίσιµη στο f ( ) Τότε και η σύνθεση g f είναι παραγωγίσιµη 7
στο και ισχύει = g f g f f Θεώρηµα 35 (αντίστροφης συνάρτησης) Εστω w= f είναι ολόµορφη σε σηµείο µε f ( ) Τότε υπάρχει µια ανοικτή περιοχή και µια ανοικτή περιοχή W του σηµείου w = f ( ) έτσι ώστε V του σηµείου η f : V W είναι -, η αντίστροφη συνάρτηση ολόµορφη στο f ( ) και ισχύει ( f ) ( w ) = f ( ) : f W V είναι Σηµείωση: To παραπάνω Θεώρηµα µας επιτρέπει να βρούµε την παράγωγο αντίστροφης συνάρτησης «τοπικά» To ακόλουθο Θεώρηµα γνωστό και ως Θεώρηµα Cauchy-Riema είναι πολύ σηµαντικό διότι συνδέει τη µιγαδική παράγωγο µε τη διαφορισιµότητα της f ( θεωρώντας την f ως διανυσµατικό πεδίο στο ) Θεώρηµα 36 (Εξισώσεις Cauchy-Riema) Έστω E είναι ανοικτό υποσύνολο του, = x + iy είναι σηµείο του E και Τότε η f είναι παραγωγίσιµη στο f : E : f = u x, y + iv x, y (δηλ υπάρχει η f ) αν και µόνον αν οι u( x, y ) και v( x, y ) είναι διαφορίσιµες στο σηµείο (, ) ux x, y = vy x, y uy x, y = vx x, y Οι παραπάνω εξισώσεις καλούνται εξισώσεις Cauchy-Riema x y και Απόδειξη: Eστω f είναι παραγωγίσιµη στο = x + iy Τότε υπάρχει το όριο f f f ( ), όταν µε οποιονδήποτε τρόπο Ας επιλέξουµε 7
f = x + iy Τότε όταν y y και έχουµε: ( ) f f( ) u x, y u x, y v x, y v x, y = = + y y i y y y y ( ) u x, y u x, y v x, y v x, y = i + y y y y y y y y y (, ) (, ) = v x y i u x y y Oµοίως αν επιλέξουµε = x+ iy, τότε όταν x x και έχουµε (, ) (, ) (, ) (, ) f f( ) u x y u x y v x y v x y = = + f i x x x x x x x (, ) (, ) = u x y + i v x y x Εξισώνοντας τα δεύτερα µέλη των παραπάνω έχουµε άρα x (, ) + (, ) = v ( x, y ) i u ( x, y ) u x y i v x y x x y y (, ) = (, ) και u ( x, y ) v ( x, y ) u x y v x y y y = x Eύκολα τώρα συνάγουµε τις ισότητες: f ( ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) u x y + iv x y = f x y x x x = iuy x y + vy x y = i f y x y (3) Απ την άλλη µεριά προφανώς ισχύει f f ( ) ( ) f f f f = = Ας θεωρήσουµε τώρα την f ως πεδίο f ( xy, ) uxy (, ), vxy (, ) γράφοντας f ( ) f ( x, y ) u ( x, y ), v ( x, y ) x x x = Τότε = = (βλέπε παραπάνω) η 73
παραπάνω ισότητα γίνεται ( xy, ) x, y ( x( )( ) x( )( ) ) (, ) (, ) ( x(, )( ) + x(, )( ) ) ( xy, ) ( x, y) u( x, y) u( x, y ) u x, y x x v x, y y y v x y v x y v x y x x u x y y y = όπου δηλώνει το µέτρο στον ( xy, ) x, y Αρα ux( x y) vx( x y) vx( x y) ux( x y) ( xy, ) ( x, y) uxy (, ) ux (, y),, x x v( x, y ) v( x, y ),, y y = και εφόσον ισχύουν οι εξισώσεις Cauchy-Riema έχουµε ( xy, ) x, y (, ) ux (, y) x(, ) y(, ) (, ) v( x, y ) x(, ) y(, ) ( xy, ) ( x, y) uxy u x y u x y x x v x y v x y v x y y y = όπου P ( xy, ), P ( x, y) f( P) f( P) J f P P P =, (3) P P P P = = και f (, ) J x y (, ) y(, ) (, ) (, ) ux x y u x y = vx x y vy x y είναι ο Ιακωβιανός πίνακας της f στο P ( x, y ) = Αντίστροφα έστω ότι η f είναι διαφορίσιµη στο P ( x, y ) εξισώσεις Cauchy-Riema Tότε = και ισχύουν οι f( P) f( P) J f P P P = P P P P 74
και από την (3) ακολουθούµε την αντίστροφη πορεία καταλήγοντας στην f f ( ux( x y) ivx( x y) ), +, = Άρα f f = ux x, y + ivx x, y = f Σηµείωση: (α) Ένα κριτήριο για να ελέγχουµε εύκολα αν µια µιγαδική συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε σηµείο προκύπτει από γνωστό Θεώρηµα του Λογισµού συναρτήσεων πολλών µεταβλητών το οποίο δίνει µια ικανή συνθήκη διαφορισιµότητας µέσω της συνέχειας των µερικών παραγώγων Χρησιµοποιώντας αυτό το Θεώρηµα έχουµε: Aν υπάρχουν οι µερικές παράγωγοι ux, uy, vx, v y, είναι συνεχείς σε µια x, y και ισχύει περιοχή του σηµείου (, ) y(, ) (, ) = (, ) ux x y = v x y uy x y v x y x, τότε υπάρχει η µιγαδική παράγωγος f ( ) (β) Προφανώς αν η f ( xy, )= uxy (, ) + ivxy (, ) ορίζεται σε ανοικτό υποσύνολο E του και αν οι συναρτήσεις uxy (, ) και vxy (, ) έχουν συνεχείς µερικές παραγώγους που ικανοποιούν τις συναρτήσεις Cauchy - Riema σε κάθε σηµείο του E, τότε η f είναι ολόµορφη στο E (γ) Από το Θεώρηµα Cauchy-Riema γίνεται σαφές ότι η µιγαδική παράγωγος είναι ισχυρότερη έννοια από τη διαφορισιµότητα Από γεωµετρικής σκοπιάς, αν f ( ), τότε «τοπικά» στο έχουµε + ( ) f f f οπότε η εικόνα µέσω της f χωρίου E «τοπικά» στο περιγράφεται «ικανοποιητικά» µέσω µιας γραµµικής απεικόνισης, ως µια διαστολή κατά f ( ), περιστροφή κατά Arg f ( ) και παράλληλη µεταφορά κατά f ( ) 75
Με άλλα λόγια η f διατηρεί τις γωνίες οποιονδήποτε δυο καµπύλων που διέρχονται από το Είναι όπως λέµε µια σύµµορφη απεικόνιση στο (δ) Εστω f σε µια ε ανοικτή περιοχή Dε ( ) του Τότε η f είναι - επί της Dε ( ), διότι η Ιακωβιανή ορίζουσα είναι διάφορη του µηδενός Πράγµατι: Dε ux uy ux vx J f = = = ux + vx = f v v v u x y x x Πρόταση 38 Έστω : κάθε Eτότε η f είναι σταθερή στο Ε = για f E είναι ολόµορφη σε τόπο Ε Αν f Πρόταση 39 (Κανόνας L Hospital) Έστω f, g είναι παραγωγίσιµες στο µε f = g = Αν g ( ), τότε ( ) f f = g g Απόδειξη: f f f f f ( ) f = = = g g g( ) g g( ) g Παρατήρηση: Εστω f ολόµορφη σε σηµείο Αν υπάρχει η ( f ) ( ) (που πάντα υπάρχει όπως θα δούµε στο επόµενο Κεφάλαιο) τότε λέµε ότι υπάρχει η f ( ) Με τον τρόπο αυτό πρoφανώς µπορούµε να ορίσουµε d f παραγώγους ανώτερης τάξης Γράφουµε δε f ( ) = Επίσης το d διαφορικό µιας παραγωγίσιµης συνάρτησης f στο ορίζεται ως συνήθως df = f = f d d = = x x + i y y = dx + i dy Ισχύει δε όπου 76
f = f f f d, Παραγώγιση βασικών συναρτήσεων Πρόταση 3 Η εκθετική συνάρτηση { } ολόµορφη στο και ικανοποιεί την σχέση f = e f : : f= e είναι x Απόδειξη Εχουµε f = e( συν y+ iηµ y)= uxy (, ) + ivxy (, ), όπου = x+ iy, uxy (, )= e x συν y και vxy (, )= e x ηµ y Παρατηρούµε ότι ισχύουν οι x x εξισώσεις Cauchy-Riema διότι ux = e συν y = vy και uy = eηµ y= vx Επειδή δε οι µερικές παράγωγοι είναι συνεχείς συµπεραίνουµε ότι η εκθετική συνάρτηση είναι ολόµορφη και f = f = u + iv = u+ iv= e x x x Πρόταση 3 Η συνάρτηση Log ( ) είναι ολόµορφη επί του συνόλου και Log * { x iy: x, y }, Arg ( π, π ] = + = = Το ίδιο ισχύει για οποιοδήποτε άλλο κλάδο της Απόδειξη: Eίναι γνωστό ότι η Log ( ) είναι συνεχής µόνον επί του * (βλέπε συνέχεια παραπάνω) και επιπρόσθετα είναι αντίστροφη της εκθετικής e στον πρωτεύοντα (όπως και σε άλλο κλάδο της) Από το Θεώρηµα παραγώγισης * αντίστροφης συνάρτησης και λαµβάνοντας υπόψην ότι ( e ) = e w και w= Log = e έχουµε ( Log ) = = w = e w ( e ) Πρόταση 3 Οι συναρτήσεις ηµ και συν είναι ολόµορφες στο (δηλαδή ακεραίες) και ( ηµ ) = συν όπως και ( ) Απόδειξη Εύκολη συν = ηµ 77
Παρατήρηση: Κάθε πολυωνυµική συνάρτηση f = a + a + + a + a ( a ), i είναι ακεραία συνάρτηση και ισχύει Κάθε ρητή συνάρτηση f = a + ( ) a + + a a + a + + a + a m m b m + bm + + b + b στο εκτός των σηµείων που µηδενίζεται ο παρονοµαστής H συνάρτηση είναι ολόµορφη a είναι ακεραία υπό την προϋπόθεση ότι έχουµε επιλέξει συγκεκριµένο κλάδο του = log a Τότε ( a ) a log( a) H συνάρτηση της a είναι ολόµορφη στο a a log Τότε = a * (βλέπε (3)) για κάθε κλάδο H συνάρτηση { } log Τότε της είναι ολόµορφη στο = * για κάθε κλάδο Γενικά οι τύποι των παραγώγων όλων των γνωστών πραγµατικών συναρτήσεων ισχύουν για τις αντίστοιχες µιγαδικές συναρτήσεις υπό την προϋπόθεση να γνωρίζουµε το πεδίο όπου αυτές είναι ολόµορφες 78
Λυµένες Ασκήσεις Να υπολογισθούν τα όρια: (α) ( 5 ) + i +, (β) i i ( ), (γ) 4 3 + + 4 +, (δ) ηµ, (ε) ηµ, (στ) Λύση (α) 5+ = + i 5 + i + = i 5 5i+ = 5 3i + i (β) i i ( ) = (γ) 4 3 + + 4 + Β τρόπος: Iσχύει 4 3 + + 3 4 = = 3,, k, 4 k = = + 4 3 + + 4 3 + + f = f = = 4 + + 4 3+ + = = 3 + 3 4 (δ) Επειδή το όριο είναι της µορφής / χρησιµοποιούµε τον κανόνα L Hospital και έχουµε ηµ συν = = = 79
(ε) Για = x, x έχουµε ηµ x + =, x + ηµ ηµ x x x = = x x ηµ x, x = x x Αρα το όριο δεν υπάρχει (στ) Αν και έχουµε / η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιµη στο (βλέπε παρακάτω), άρα ο κανόνας L Hospital δεν µπορεί να εφαρµοσθεί Εστω = + iy, y Τότε και έχουµε Απ την άλλη µεριά αν Αρα το όριο δεν υπάρχει iy = = ( ) = y + iy y = + x, x, τότε πάλι αλλά + x = = () = x + x x (α) Αν f = + 3 (στον πρωτεύον κλάδο της f όπου να υπολογίσετε το + 3 3 (β) Αν f = log( συν ) (στον πρωτεύον κλάδο της f όπου () υπολογίσετε το συν f = 3) f = να f = + 3 είναι πλειονότιµη συνάρτηση Από τη Θεωρία Λύση (α) Η γνωρίζουµε ότι κάθε κλάδος της ( Arg ( π, π ] συνάρτηση στο σύνολο { x iy: x, y } * = + = ) είναι ολόµορφη Συνεπώς κάθε κλάδος της 3 + είναι ολόµορφη στο σύνολο 8
{ x iy : Re ( 3 ), Im ( 3 ) } + + + = ή ισοδύναµα στο { x iy : x, y 3} + = Αρα η f είναι ολόµορφη στο = (σε κάθε συγκεκριµένο κλάδο της) f = 3 για το όριο µας (είναι της µορφής /) µπορούµε να εφαρµόσουµε L Hospital και παίρνουµε + 3 3 = + 3 = Λαµβάνοντας υπόψη τον κλάδο που αντιστοιχεί στην τιµή (β) Γράφουµε log ( συν ) συν = e και παρατηρούµε ότι είναι πλειονότιµη συνάρτηση λόγω της παρουσίας του λογάριθµου Επειδή κάθε κλάδος του λογάριθµου είναι ολόµορφη συνάρτηση στο σύνολο κάθε κλάδος της f log( συν ) { x iy: x, y } * = = + =, = είναι ολόµορφη συνάρτηση στο σύνολο { = x+ iy: Re( συν ), Im( συν ) = }, ( Arg ( π, π ] Εφόσον Re( συν ) = συν x cosh y και Im ) συν = ηµ x sih y, το παραπάνω σύνολο µετά από στοιχειώδεις πράξεις γράφεται ισοδύναµα ως x iy: x k π π = + π +, ( k + ) π +, y=, k { x iy: x kπ π, y, k } = + = + = είναι ολόµορφη στο = (σε κάθε συγκεκριµένο κλάδο της) Λαµβάνοντας υπόψη τον κλάδο που αντιστοιχεί στην τιµή f () = (πρωτεύον κλάδος) και επειδή το όριο µας είναι της µορφής έχουµε Αρα η f log( συν ) 8
Log( συν ) Log συν e e ( συν ) = = Εφόσον η f είναι ολόµορφη στο = εφαρµόζουµε τον κανόνα L Hospital και έχουµε Log ( Log( συν ) συν ) ( ηµ ) εφ = = συν = εφ = = = συν = e συν 3 είξτε ότι η f = είναι συνεχής στο Λύση Εχουµε f = = x iy Αρα f ( uv, ) ( x, y) συναρτήσεις u( x, y) = x, v( x, y) = y είναι συνεχείς στο = = Εφόσον οι ως πολυωνυµικές από την Πρόταση 3 προκύπτει ότι η f = είναι συνεχής στο 4 Να υπολογισθούν τα όρια των ακολουθιών: (α) + 3 i +, (β) + i +, (γ) ( i ) +, (δ) + i (για κάθε τιµή της δύναµης), (ε) i i + 3i ( i )( i) + + 4 3 i + + + +, 3 3 3 3 Λύση (α) = i = i = ( + ) Αρα i =, (διότι a + 3 = a = ) + + + 8
(β) πi iπ + i 4 4 = e = e + + + Εφόσον ( ) e iπ 4 x = / ( + ) (διότι = = ) το / x + x x + x / ζητούµενο όριο ισούται µε µηδέν (γ) Παρατηρούµε ότι i i = 4k + = 4k + =, k Αρα i = 4k + 3 = 4k = +, συνεπώς ( i ) + i = (δ) i ( ) i kπ log i + + = e = e = e = + + (ε) + i i + 3i i = = 4i 3 i + 4i 3 i 5 (α) Να δειχθεί ότι i 3i i + + + ( + i 3) < / = 5 (β) i i i 9+ 3i + + + + + = 3 3 3 Λύση (α) Εφαρµόζουµε το κριτήριο ρίζας και έχουµε 83
( i ) + 3 + i 3 = = <, / 5 5 5 άρα η σειρά συγκλίνει i i i i 3 9+ 3i (β) + + + + + = = = = 3 3 3 3 i = 3 i 3 6 Να ευρεθεί το σύνολο όπου οι συναρτήσεις (α) e e, (β) ( e ) ηµ, (γ) συν, (δ) e, (ε) i +, είναι ολόµορφες και στη συνέχεια να υπολογισθεί η παράγωγος αυτών Λύση (α) Εφόσον η συνάρτηση e είναι ακεραία (δηλαδή ολόµορφη στο ) και η σύνθετη ζ e ζ = e w= e = e θα είναι επίσης ακεραία Από τον κανόνα αλυσίδας έχουµε = e e e e e e e = e e = e + (β) Εφόσον η e, ηµ είναι ακεραίες (δηλαδή ολόµορφες στο, βλέπε Προτάσεις 3 και 3) και η σύνθετη συνάρτηση ζ = e w= ηµζ = ηµ e θα είναι επίσης ακεραία Από τον κανόνα αλυσίδας έχουµε (γ) Έστω = x+ iy Τότε ( ηµ ) = συν συν e e e = e e ( ) = ( x iy) = x ( iy) + x ( iy) συν συν συν συν ηµ ηµ e + e e e = συν x + ηµ x i i y i y i y i y 84
e + e e e = συν x i ηµ x y y y y = συν x cosh y+ i ηµ x sih y, άρα u x, y = συν x coshy v x, y = ηµ x sihy Μελετούµε τις εξισώσεις Cauchy-Riema (Θεώρηµα 36) Εχουµε ux = ηµ x cosh y, uy = συν x sih y vx = συν x sih y, vy = ηµ x cosh y Οι παραπάνω µερικές παράγωγοι είναι συνεχείς στο αλλά οι ισότητες ux = vy και uy = vx εύκολα βλέπουµε ότι ικανοποιούνται µόνον για x= kπ ( k ), y= Αρα η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη ΜΟΝΟΝ στο σηµείο k = kπ, συνεπώς ΕΝ είναι ολόµορφη σε κανένα σηµείο του (διότι δεν υπάρχει ε-ανοικτός δίσκος Dε ( ) κανενός σηµείου k ώστε η f να είναι παραγωγίσιµη ΓΙΑ ΚΑΘΕ σηµείου του δίσκου αυτού (βλέπε Ορισµό 36) (δ) Η συνάρτηση e είναι ακεραία, άρα είναι ολόµορφη στο e = = Η παράγωγος της συνάρτησης είναι { : e } { kπi: k } e = e ( e ) (παραγώγιση πηλίκου) i+ ( + i) log (ε) Κάθε κλάδος της συνάρτησης = e είναι ολόµορφη στο σύνολο όπου ο αντίστοιχος κλάδου του λογάριθµου είναι ολόµορφη συνάρτηση, δηλαδή x+ iy: x, y= Η παράγωγος αυτής είναι στο σύνολο { } i ( ) ( ) i + = + i 7 Να ευρεθεί το σύνολο όπου οι συναρτήσεις 85
(α) e +, (β) ( ) συν, (γ) log, είναι ολόµορφες και στη συνέχεια να υπολογισθεί η παράγωγος αυτών Λύση (α) Η + είναι ολόµορφη στο { } και η e είναι ακεραία, Από τον κανόνα αλυσίδας άρα η σύνθεση αυτών είναι ολόµορφη στο { } έχουµε + + + e = e + = e log( ) (β) Για κάθε κλάδο της πλειονότιµης συνάρτησης = e έχουµε ότι η είναι ολόµορφη στο σύνολο { x+ iy: x, y= } λόγω της παρουσίας του λογάριθµου (βλέπε Πρόταση 3) Απ την άλλη µεριά η συν είναι ακεραία, άρα η σύνθεσή τους είναι ολόµορφη στο { x+ iy: x, y= } Για κάθε κλάδο της ρίζας έχουµε ( συν ) ηµ ( ) ηµ = = (γ) Επειδή κάθε κλάδος του λογάριθµου είναι ολόµορφη συνάρτηση στο σύνολο κάθε κλάδος της f log( ) { x iy: x, y } * = = + =, = είναι ολόµορφη συνάρτηση στο σύνολο { x iy : Re( ), Im ( ) } = + = Im = xy το παραπάνω σύνολο µετά από στοιχειώδεις πράξεις γράφεται ισοδύναµα ως Εφόσον Re( ) = x y και ( ) Αρα η f log( ) { x iy: x, y } = + = = είναι ολόµορφη σε όλο το αν εξαιρέσουµε τα σηµεία 86
του άξονα των φανταστικών αριθµών Τότε f = 8 Να δείξετε ότι η συνάρτηση f = είναι παραγωγίσιµη µόνο στο = και εποµένως δεν είναι ολόµορφη σε κανένα σηµείο του Λύση Προφανώς f = = x + y, όπου = x+ iy Αρα αν f = u x y + iv x y τότε (, ) (, ) (, ) v( x y) u x y = x + y, = Μελετούµε τις εξισώσεις Cauchy-Riema (Θεώρηµα 36) Εχουµε ux = x, uy = y vx =, vy = Οι παραπάνω µερικές παράγωγοι είναι συνεχείς στο αλλά οι εξισώσεις Cauchy-Riema ux = vy και uy = vx ικανοποιούνται µόνον για x = y = Αρα η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη ΜΟΝΟΝ στο σηµείο =, συνεπώς ΕΝ είναι ολόµορφη σε κανένα σηµείο του (διότι δεν υπάρχει ε-ανοικτός δίσκος Dε ( ) κανενός σηµείου ώστε η f να είναι παραγωγίσιµη ΓΙΑ ΚΑΘΕ σηµείου του δίσκου αυτού 9 Να δείξετε ότι αν f, σταθερά στον τόπο D f είναι ολόµορφες σε τόπο D, τότε η f είναι Λύση Εστω f ( xy, ) uxy (, ) ivxy (, ) = + Αφού οι f, τόπο D τότε θα ισχύουν οι εξισώσεις Cauchy-Riema f είναι ολόµορφες σε Για την f : ux = vy και uy vx = για κάθε ( x, y) Για την f = u iv: ux = vy και uy vx D, = για κάθε ( x, y) D Συνδυάζοντας τις παραπάνω προκύπτει εύκολα ότι u = u = v = v = για κάθε ( x, y) x y x y D Αρα ενθυµούµενοι τον τύπο f = fx = ify (σχέση 3) και την 87
Πρόταση 38 παίρνουµε το ζητούµενο Eξετάστε τα σηµεία όπου η συνάρτηση f = x y+ ix έχει παράγωγο Βρείτε όλα τα σηµεία όπου η f είναι ολόµορφη Λύση Μελετούµε τις εξισώσεις Cauchy-Riema και έχουµε ux = xy, uy = x vx =, vy = Οι παραπάνω µερικές παράγωγοι είναι συνεχείς στο και έχουµε ux = vy xy =, ( xy, ), αδύνατη uy = vx x = Αρα η f δεν είναι παραγωγίσιµη (κατ επέκταση και µη ολόµορφη) πουθενά στο i (Εξισώσεις Cauchy-Riema σε πολικές συντ/νες) Eστω = ρe θ και f = f ( ρ, θ) = u( ρ, θ) + iv( ρ, θ) ( ρ ) είναι παραγωγίσιµη σε σηµείο Να δείξετε ότι uρ = vθ ρ ρ uθ = ρ vρ Λύση Είναι γνωστό ότι du = uρdρ + uθdθ Χρησιµοποιώντας τον κανόνα αλυσίδας παίρνουµε x y u = u + u x ρ θ ux uρρx uθθ = + x ρ x + y uy = uρρy + uθθy y x uy = uρ + uθ ρ x + y 88
ηµθ ux = uρ συνθ uθ ρ συνθ uy = uρ ηµθ + uθ ρ Παρόµοιες σχέσεις παίρνουµε για τις vx, v y Εφόσον η f είναι παραγωγίσιµη στο ισχύουν οι εξισώσεις Cauchy-Riema ηµθ συνθ = ux vy uρ συνθ uθ vρ ηµθ vθ ρ + ρ = συνθ ηµθ = uy + vx uρ ηµθ + uθ + vρ συνθ vθ = ρ ρ vθ uθ uρ συνθ vρ ηµθ ρ = + ρ uθ vθ vρ + συνθ = uρ ηµθ ρ ρ Eπειδή οι παραπάνω ισότητες ισχύουν για κάθε τιµή του θ αναγκαστικά οι συντελεστές µηδενίζονται και παίρνουµε το ζητούµενο Αλυτες ασκήσεις Να υπολογισθούν τα όρια: (α) e 4, (β) ( ), (γ) e π i 3 3 + 8, + 4 + 6 4 (δ), (ε) i 6 + +, (στ) + Λύση (α), (β), (γ) 3 i 3, (δ) εν υπάρχει, (ε) 8 8 3, (στ) 89
(α) είξτε ότι το e δεν υπάρχει Τι µπορούµε να πούµε για το e ; (β) Αν log() = δείξτε ότι ( ) + = e 3 είξτε ότι η συνάρτηση f = είναι συνεχής στο Οµοίως για τη συνάρτηση f = + 4 Σε ποιο σύνολο είναι συνεχής η συνάρτηση f Aπάντ { kπi: k } = ; e 5 Να υπολογισθούν τα όρια των ακολουθιών: i (α) + + 3i +, (β) ( + i + i) ( ) + =, (γ) + ( + i), (δ) + i + (για κάθε τιµή της δύναµης) i Απάντ (α) i, (β), (γ), (δ) 6 Για ποιες τιµές του συγκλίνει η ακολουθία a = ; Aπάντ < (Κριτήριο D Alembert για ακολουθίες) 7 Να ευρεθεί το σύνολο όπου οι συναρτήσεις (α), (β) 3, (γ) +, (δ) +, (ε) 3, είναι ολόµορφες και στη συνέχεια να υπολογισθεί η παράγωγος αυτών 9
, Απάντ (α) {} {, i}, ( + ) kπi 3, (β) e : k =,,, -3 3 ( ), (γ) - ±, (δ) Μη ολόµορφη, (ε) ακεραία, log( 3) 3 σε κάθε καθορισµένο κλάδο του λογάριθµου 8 Να ευρεθεί το σύνολο όπου οι συναρτήσεις (α) 3 +, (β) ( ) ηµ, (γ), είναι ολόµορφες και στη συνέχεια να υπολογισθεί η παράγωγος αυτών Απάντ (α) Eίναι ολόµορφη στο σύνολο { x + iy : x, y = } x + iy : x, y = 3 x x + iy : x, y = 3x 3 3 και ( + ) = 3 + και ηµ ( ) (β) { x+ iy: x, y= } ( ) συν =, (c) { x+ iy: x, y= } και log = 9 (α) Αν f = u+ iv είναι ολόµορφη σε τόπο D και αν au + bv = c, όπου abc,, σταθερές όχι όλες µηδέν να δείξετε ότι η f είναι σταθερά στον τόπο D (β) Αν f είναι ολόµορφη σε τόπο D και f = c να δείξετε ότι η f είναι σταθερά στον τόπο D ( + ) (γ) Αν f είναι ολόµορφη σε τόπο D και f δείξετε ότι η f είναι πολυώνυµο βαθµού = για κάθε D να 9
Αν f u iv δείξετε ότι η f είναι σταθερά στον τόπο D = + είναι ολόµορφη σε τόπο D και αν 3 είξτε ότι η συνάρτηση Cauchy-Riema στο, Re u = D, να 3, f = ικανοποιεί τις εξισώσεις = = αλλά δεν είναι παραγωγίσιµη στο Να βρεθούν όλες τις ακεραίες συναρτήσεις της µορφής f = u x + iv y, x, y, = x+ iy Απάντ f = ( ax + b) + i( ay + c), a, b, c 9