ΒΑΣΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ. Οικονομετρία ΙΙ. Διδάσκων Τσερκέζος Δικαίος.

:\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc ΒΑΣΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ. Οικονομετρία ΙΙ. Διδάσκων Τσερκέζος Δικαίος. ΒΑΣΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΗΝ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΣΗ-ΕΚΤΙΜΗΣΗ-ΑΝΑΛΥΣΗ- ΠΡΟΒΛΕΨΗ- ΣΕΝΑΡΙΑ ΚΑΙ ΤΟΝ ΑΡΙΣΤΟ ΕΛΕΓΧΟ ΜΕ ΕΝΑ ΔΙΑΡΘΡΩΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ. Βασική Εφαρμογή a+ βy+ ε y +,,, T Με βάση το παραπάνω σύστημα των εξισώσεων να παρουσιασθούν τα εξεις: Δυνατές Σχέσεις Αλληλεξάρτησης των μεταβλητών του Συστήματος. Οικονομική Εξειδίκευση του Συστήματος. Αλγεβρική Εξειδίκευση του Συστήματος. Στατιστική Εξειδίκευση του Συστήματος. Να γραφεί το Σύστημα στην Διαρθρωτική του Μορφή. Να γραφεί το Σύστημα στην Ανοιγμένη του Μορφή. Αναπτύξατε τις έννοιες της Διαρθρωτικής και Ανοιγμένης Μορφής του Συστήματος. Μέθοδοι εκτίμησης των παραμέτρων του Διαρθρωτικού Συστήματος. Μέθοδος των Απλών Ελαχίστων Τετραγώνων. Μέθοδος των Εμμέσως Ελαχίστων Τετραγώνων. Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων σε δύο Στάδια. Διαρθρωτική Ανάλυση με βάση το Σύστημα των εξισώσεων. Διαδικασία Προβλέψεων. Σεναριακές Αναλύσεις. Άριστος Έλεγχος του Συστήματος των Διαρθρωτικών Εξισώσεων.

:\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc Βασική Άσκηση. Στον Πίνακα δίδονται θεωρητικές τιμές για τις οικονομικές μεταβλητές του βασικού Γραμμικού ΜακροΟικονομικού Υποδείγματος : Κατανάλωση ( ), Επενδύσεις ( ) και Εισόδημα ( ) y. Πίνακας : Θεωρητικά δεδομένα για την επίλυση της Άσκησης. y + y + y + y + Θεωρητικά δεδομένα για Προβλέψεις-Σεναριακές Αναλύσεις και Άριστο Έλεγχο. 4 4 4 5 5 5 Πηγή: Θεωρητικά δεδομένα y4 4 + 4 y5 5 + 5 Χρησιμοποιώντας την παραπάνω να παρουσιάσετε: Δυνατές Σχέσεις Αλληλεξάρτησης των μεταβλητών του Συστήματος. Οικονομική Εξειδίκευση του Συστήματος. Αλγεβρική Εξειδίκευση του Συστήματος. Στατιστική Εξειδίκευση του Συστήματος. Να γραφεί το Σύστημα στην Διαρθρωτική του Μορφή. Να γραφεί το Σύστημα στην Ανοιγμένη του Μορφή. Αναπτύξατε τις έννοιες της Διαρθρωτικής και Ανοιγμένης Μορφής του Συστήματος. Μέθοδοι εκτίμησης των παραμέτρων του Διαρθρωτικού Συστήματος. Μέθοδος των Απλών Ελαχίστων Τετραγώνων. Μέθοδος των Εμμέσως Ελαχίστων Τετραγώνων. Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων σε δύο Στάδια. Διαρθρωτική Ανάλυση με βάση το Σύστημα των εξισώσεων. Διαδικασία Προβλέψεων. Σεναριακές Αναλύσεις. Άριστος Έλεγχος του Συστήματος των Διαρθρωτικών Εξισώσεων. Οι τιμές αυτές θα μπορούσαν να είναι αριθμητικές τιμές.δηλαδή y, y.5, y.6 κ.λ.π

:\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc Δυνατές Σχέσεις Αλληλεξάρτησης των μεταβλητών του Συστήματος (Οι Δυνατές σχέσεις αλληλεξάρτησης μεταξύ των τριών μεταβλητών.) Στα Γραφήματα Ροής που ακολουθούν παρουσιάζουμε τις δυνατές (Διαχρονικές και Στατικές) σχέσεις αλληλεξάρτησης μεταξύ των τριών μεταβλητών. Διαχρονικές Αλληλεξαρτήσεις Y Y Περίοδος - Περίοδος Γράφημα Ροής. Δυνατές Διαχρονικές Σχέσεις Αλληλεξάρτησης μεταξύ των τριών μεταβλητών του Πίνακα. Στατικές Αλληλεξαρτήσεις Y Περίοδος - Περίοδος Γράφημα Ροής. Δυνατές Στατικές σχέσεις Αλληλεξάρτησης μεταξύ των τριών μεταβλητών του Πίνακα

:\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc Στο Γράφημα ροής, αντιστοιχούν οι εξής σχέσεις: ( ) ( ) y f, ( ) ( ) f, y (Α) ( ) ( ) f y, Στο σύστημα των εξισώσεων (Α) είναι ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρείς ενδογενείς μεταβλητές. Η ερμηνεία αυτών των σχέσεων είναι η εξής: Έχουμε τρεις οικονομικές μεταβλητές οι οποίες διαμορφώνουν τις τιμές τους ενδογενώς, δηλαδή μέσα από την λειτουργία του Γραφήματος Ροής ή με βάση την λύση του συστήματος (Α). Σύστημα (Α): Τρεις Ενδογενείς μεταβλητές y και ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ. Στην ΜακροΟικονομική πραγματικότητα μεταξύ των οικονομικών μεταβλητών, υπάρχουν μερικές μεταβλητές οι οποίες δεν διαμορφώνουν τις τιμές τους μέσα από την λειτουργία του συστήματος. Υπάρχουν δηλαδή κάποιες οικονομικές μεταβλητές οι οποίες είναι εξωγενείς. Διαμορφώνουν δηλαδή την μεταβλητικότητα τους εκτός της λειτουργίας του συστήματος. Τέτοιες μεταβλητές θα μπορούσαν να είναι οι δημόσιες επενδύσεις, τα επιτόκια,φόρος Προστιθέμενης Αξίας κ.τ.λ. Πρόκειται για οικονομικές μεταβλητές οι οποίες κυρίως ελέγχονται είτε από την δημόσια διοίκηση ή το τραπεζικό σύστημα σε μια διαδικασία άσκησης οικονομικής πολιτικής. Μια τέτοια εξωγενή μεταβλητή θα μπορούσαμε να υποθέσουμε ότι είναι η μεταβλητή (Επενδύσεις). Η υπόθεση αυτή γίνεται καθαρά για λόγους παρουσίασης του προβλήματος. Αν δεχθούμε αυτή την υπόθεση τότε η εξίσωση, δεν υφίσταται δεδομένου ότι οι τιμές της μεταβλητές δεν δημιουργούνται ενδογενώς μέσω της λειτουργίας του Γραφήματος Ροής ή εναλλακτικά την λύση του συστήματος (Α). Το σύστημα των εξετάσεων (Α) γράφεται ως εξής: ( ) ( ) y f, 4 (Β) ( ) ( ) f y, 5 4

:\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc Στο σύστημα αυτών των εξισώσεων αντιστοιχεί το Γράφημα Ροής Y Περίοδος Γράφημα Ροής. Σχέσεις Αλληλεξάρτησης μεταξύ των τριών μεταβλητών του Συστήματος (Β) Στο σύστημα των εξισώσεων (Β) είναι ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο ενδογενείς μεταβλητές και μια εξωγενή μεταβλητή. Η ερμηνεία αυτών των σχέσεων είναι η εξής: Έχουμε δύο οικονομικές μεταβλητές οι οποίες διαμορφώνουν τις τιμές τους ενδογενώς, δηλαδή μέσα από την λειτουργία του Γραφήματος Ροής ή με βάση την λύση του συστήματος (Β) και μία εξωγενή μεταβλητή. Σύστημα (Β): Δύο Ενδογενείς μεταβλητές Μία Εξωγενή και y. Επιπλέον από την ΜακροΟικονομική Θεωρία γνωρίζουμε ότι η Κατανάλωση είναι συνήθως συνάρτηση του Εισοδήματος ( y ), ενώ οι επενδύσεις ( ), επηρεάζουν μάλλον εμμέσως την Κατανάλωση. Στην περίπτωση αυτή το σύστημα των εξισώσεων θα γράφεται ως εξής: ( ) ( ) y f, 6 ( ) ( ) f y (Γ) 7 Στο σύστημα των εξισώσεων (Γ) αντιστοιχεί το Γράφημα ροής. Αυτό χρειάζεται να ελεγχθεί με τους έλεγχους εξωγένειας που παρουσιάζουμε στο τελευταίο μέρος αυτής της μελέτης. 5

:\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc Y Περίοδος Γράφημα Ροής 4. Σχέσεις Αλληλεξάρτησης μεταξύ των μεταβλητών του Συστήματος (Γ). Επιπλέον γνωρίζουμε ότι μερικά οικονομικά μεγέθη προκύπτουν ως αριθμητικό αποτέλεσμα άλλων μεγεθών. Γνωρίζουμε από την ΜακροΟικονομική ότι το εισόδημα (Ακαθάριστο Εγχώριο Προϊόν) προκύπτει από την σχέση: όπου: ΑΕΠ + + X MP + SDAFORES ΑΕΠ y Ακαθάριστο Εγχώριο Προϊόν. Επενδύσεις(Ιδιωτικές και Δημόσιες). Κατανάλωση (Ιδιωτική και Δημόσια). MP Εισαγωγές Αγαθών,Υπηρεσιών και Εισοδημάτων. EXP Εξαγωγές Αγαθών,Υπηρεσιών και Εισοδημάτων. SDAFORES Αποθέματα και Στατιστικές Διαφορές. Αν γράψουμε y ΑΕΠ και ( + x MP + SDAFORES ) ( 9) η παραπάνω Εθνικολογιστική Ταυτότητα γράφεται ως εξής: ( ) y f (), Άρα το σύστημα των εξισώσεων που αντιστοιχούν στο Γράφημα ροής θα είναι : ( ) ( ) y f (), f y () (Δ) Το σύστημα των εξισώσεων που έχουμε εξειδικεύσει είναι το (Δ). 6

:\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc Y Γράφημα Ροής Αλληλεξαρτήσεων 5. Κατανάλωση ( ), Επενδύσεις ( ) και Εισόδημα ( y ) 7

:\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ. Στην Μαθηματική (Αλγεβρική) εξειδίκευση του συστήματος εκφράζουμε (προσεγγίζουμε) τις γενικές σχέσεις που αντιστοιχούν στο Γράφημα Ροής 5, αλγεβρικά. Το σύστημα των εξισώσεων που αντιστοιχεί στο Γράφημα Ροής 5 είναι το εξής: ( ) f y β ( ) ; ( ) y f, ; β ( 4) Μαθηματική Εξειδίκευση της Συνάρτησης της Κατανάλωσης. Εάν και y είναι κάποιες αρχικές (ή μέσες) τιμές των μεταβλητών και y, τότε με βάση το ανάπτυγμα μίας σειράς Taylor, η πρώτη εξίσωση γράφεται ως εξής: + y y (, ) y (5) Εάν f ( ) y x, x μία μη γραμμική συνάρτηση δύο μεταβλητών x και x, μπορεί τότε να προσεγγισθεί με μία ανάπτυγμα μιας σειράς Taylor γύρω από δύο τιμές x. και x. ως εξής: f x x, f x x, f x x, y f ( x,, x, ) + ( x x, ) + ( x x, ) + ( x x, ) + x x x x x x x x x + f x,,, ( x x ) + ( x x )( x x ) +, x x x x,,, f x x x, x x x,, 8

:\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc Εάν υποθέσουμε ότι y β, τότε η (5) γράφεται ως: Εάν συμβολίσουμε με ( ) + β y y, + βy βy, (6) ή β y, + β y (7) ( ) a β y, (8) τότε η (7) γράφεται : a+ β y (9) Η υπόθεση ότι y β μεταφράζεται γραφικά ως εξής:(σχολιάσατε).5....5..75.5.5. -.5 -.5 4 5 ΕΙΣΟΔΗΜΑ Σχεδιάγραμμα. Γραφική παρουσίαση της επίδρασης του (Εισοδήματος) Προϊόντος στην Κατανάλωση..5....5..75.5.5. -.5 -.5 4 5 ΧΡΟΝΟΣ Σχεδιάγραμμα. Γραφική παρουσίαση της επίδρασης του Προϊόντος στην Κατανάλωση διαχρονικά. (Εισοδήματος) 9

:\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc Μαθηματική Εξειδίκευση της Συνάρτησης της Εισοδήματος. Την παραπάνω διαδικασία προσέγγισης του αναπτύγματος μιας εξίσωσης με βάση το ανάπτυγμα μιας σειράς Taylor, εφαρμόζουμε και για την εξίσωση (4). y y y y + + ( ) ( ),,, c () Επειδή έχουμε υποθέσει ότι έχουμε μία ταυτότητα, τότε ισχύει ότι: y c y και () Αντικαθιστώντας τις παραπάνω σχέσεις η εξίσωση () γράφεται ως εξής: ( ) ( ) y y + +,,, y + +,,, (,,, ) y + + () Επειδή έχουμε μία ταυτότητα y, c,,, όπου η () γράφεται ως εξής: y + () Με βάση την παραπάνω η μαθηματική εξειδίκευση του συστήματος, μπορούμε να γράψουμε το σύστημα μας ως εξής: a+ β y (4) y + (5),,,T. Όπου: Ιδιωτική Κατανάλωση y Διαθέσιμα Εισοδήματα (Ενδογενείς Μεταβλητές). Επενδύσεις (Εξωγενής Μεταβλητή) Το σύστημα των εξισώσεων (4) (5) έχει μία εξίσωση συμπεριφοράς (την 4) και την ταυτότητα (5).

:\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ. Εφ όσον έχουμε ένα σύστημα με δύο εξισώσεις, δύο ενδογενείς και μια εξωγενή μεταβλητή, θα πρέπει να γίνει η στατιστική του εξειδίκευση. Όπως είναι διαρθρωμένο το σύστημα έχουμε μια ταυτότητα (ΕθνικοΛογιστική Ταυτότητα) την (5) η οποία ως ταυτότητα δεν επιδέχεται στοχαστικής εξειδίκευσης. Η εξίσωση f ( y ) μπορεί να εξειδικευτεί στοχαστικά προσθέτοντας μια νέα ερμηνευτική μεταβλητή, τον διαταρακτικό όρο, ε. Η παραπάνω εξίσωση γράφεται ως εξής: f y a+ β y + ε (6) ( ) Όπως αναφέραμε στην στατιστική εξειδίκευση ενός οικονομετρικού υποδείγματος ο διαταρακτικός όρος μπορεί να δικαιολογηθεί από πολλές και διάφορες αιτίες. Μία βασική αιτία της ύπαρξης του διαταρακτικού όρου είναι η παράλειψη βασικών ερμηνευτικών μεταβλητών από το υπόδειγμα μας. Η παράλειψη αυτών των μεταβλητών δεν σημαίνει ότι παραλείπουμε την επίδραση τους. Αυτή την επίδραση την ενσωματώνουμε σε μία νέα μεταβλητή που ονομάσαμε διαταρακτικό όρο ε για,,,..., T (Παρατηρήσεις). Για να έχει όμως νόημα ο διαταρακτικός όρος θα πρέπει οι επιδράσεις των παραλειπόμενων μεταβλητών να αλληλοαναιρούνται μεταξύ τους και ο διαταρακτικός όρος να μην εκφράζει κάποια συστηματική συμπεριφορά. Θα πρέπει δηλαδή κατά μέσο όρο οι αλληλεπιδράσεις των παραλειπόμενων μεταβλητών να είναι μηδέν. Δηλαδή θα πρέπει να ισχύει: Έστω ότι η μεταβλητή y, x και x. Αυτή η επίδραση μαθηματικό υπόδειγμα της μορφής: ( ),,, E ε T. (7) σ ένα πληθυσμό επηρεάζεται από τις μεταβλητές (,, ) θα μπορούσε να προσεγγισθεί με το f y x x,,, T (8) Υποθέτουμε ότι για κάποιο λόγο δεν έχουμε στην διάθεση μας στοιχεία για τις μεταβλητές x και x. Επειδή δεν έχουμε στοιχεία για αυτές τις δύο

:\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc μεταβλητές θα τις παραλείψουμε. Δεν θα προσπαθήσουμε όμως να εκτιμήσουμε την σχέση: ( ) αλλά την σχέση: ( ) f y (9) f y + ε () όπου: ε είναι ο διαταρακτικός όρος ο οποίος ενσωματώνει τις αθροιστικές επιδράσεις των παραληφθεισών ερμηνευτικών μεταβλητών x και x. ε φ( x, x ) () Για να έχει όμως νόημα ο διαταρακτικός όρος θα πρέπει οι επιδράσεις των παραλειπόμενων μεταβλητών να αλληλοαναιρούνται μεταξύ τους. Αυτό σημαίνει ότι οι τιμές του διαταρακτικού όρου θα πρέπει να μεταβάλλονται(κινούνται) γύρω από το μηδέν. Ο διαταρακτικός όρος θα πρέπει να έχει τις εξής ιδιότητες: E ( ε ) () ( ) ov( ) s V ε σ (Σταθερή Διακύμανση) () εε s (4) (Μη Αυτοσυσχέτιση των τιμών του Διαταρακτικού όρου) Με βάση τα παραπάνω το σύστημα των εξισώσεων που θα εκτιμήσουμε είναι το : a+ β y + ε (5) y + (6)

:\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc ΝΑ ΓΡΑΦΕΙ ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΤΗΝ ΔΙΑΡΘΡΩΤΙΚΗ ΤΟΥ ΜΟΡΦΗ. (ΜΟΡΦΗ ΜΗΤΡΩΝ: YB + XΓ + U ) Να γραφεί στην Διαρθρωτική του Μορφή ( YB + XΓ + U ) το Σύστημα που αντιστοιχεί στις εξισώσεις: a+ β y + ε (5) y + (6) Όπου:,,,T. Ιδιωτική Κατανάλωση y Διαθέσιμα Εισοδήματα (Ενδογενείς Μεταβλητές). Επενδύσεις (Εξωγενής Μεταβλητή) Απάντηση: Με βάση το σύστημα των εξισώσεων (5)-(6) έχουμε εξισώσεων με δύο ενδογενείς και μία εξωγενή μεταβλητή. ένα σύστημα Ως ενδογενείς μεταβλητές θεωρούνται η Κατανάλωση, και το Εισόδημα, δεδομένου ότι δέχονται και αποδίδει επιδράσεις στις άλλες μεταβλητές. Ως εξωγενείς μεταβλητές θα πρέπει να θεωρηθεί η μεταβλητή των Επενδύσεων, διότι μόνο αποδίδει χωρίς να δέχεται επιδράσεις. Εάν υποθέσουμε επίσης ότι έχουμε τρεις παρατηρήσεις από κάθε μεταβλητή του συστήματος: (Α.5) (Α.6). y y,, y y (7) Το σύστημα των εξισώσεων μας στην διαρθρωτική του μορφή YB + X Γ+ U ακολουθώντας τα εξής βήματα. Βήμα. Μεταφέρουμε το αριστερό μέρος του συστήματος όλες τις μεταβλητές. a β y y ε

:\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc 4 Βήμα. Σχηματίζουμε την διαρθρωτική μορφή για τις τρεις παρατηρήσεις ως εξής: T N M + + Γ V X B Y a y y y ε ε ε β (8) Βήμα. Στο βήμα αυτό μπορούμε να επαληθεύσουμε ότι οι παραπάνω σχέσεις οδηγούν στην αρχική μορφή του συστήματος. Με βάση το παραπάνω το σύστημα μας στην διαρθρωτική του μορφή Γ + + U X YB, οι μήτρες Β και Γ είναι:, β B Γ a (9)

:\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc 5 ΝΑ ΓΡΑΦΕΙ ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΤΗΝ ΔΙΑΡΘΡΩΤΙΚΗ ΤΟΥ ΜΟΡΦΗ. (ΜΟΡΦΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ: u x By Γ + ) Να γραφτεί στην διαρθρωτική του μορφή u x By Γ + ένα στατικό σύστημα δύο (μακροοικονομικών) εξισώσεων για την ερμηνεία της Ιδιωτικής Κατανάλωσης ( ) και του Διαθέσιμου Εισοδήματος ( ) y σε σχέση με μία εξωγενή μεταβλητή (Επενδύσεις ). Βήμα. Γράφουμε το σύστημα των εξισώσεων. y a c ε β c y Βήμα. + ε ε ε β a y y y c c c T (4) οπότε στην u x By Γ + αντιστοιχούν οι μήτρες, β B Γ (4)

:\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc ΝΑ ΓΡΑΦΕΙ ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΤΗΝ ΑΝΟΙΓΜΕΝΗ ΤΟΥ ΜΟΡΦΗ. (ΜΟΡΦΗ ΜΗΤΡΩΝ: y X με B Γ Έστω ότι θέλουμε να μελετήσουμε την τελική επίδραση μιάς μεταβολής των Επενδύσεων ( ) στην Ιδιωτική Κατανάλωση ( ) και χρησιμοποιούμε ένα οικονομετρικό σύστημα εξισώσεων της μορφής: a + β y + u (4) y + (4) Το σύστημα των εξισώσεων (4) και (4) είναι στην Διαρθρωτική του μορφή και εάν θέλουμε να μελετήσουμε την επίδραση μιάς μεταβολής του Εισοδήματος αυτό μπορεί να γίνει ως εξής: Αντικαθιστούμε την (4) στην (4) λαμβάνοντας: ( + ) u a + β + a + β + β + u β a + β ( β ) a + β + u + u a β + β β + u β (44) Άρα η άμεση επίδραση των Επενδύσεων στην Κατανάλωση θα είναι β β ( β ) β (45) Άρα η άμεση επίδραση των Επενδύσεων στην Κατανάλωση θα είναι β β (46) 6

:\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc Αυξάνοντας ή μειώνοντας τις Επενδύσεις επιδρούμε άμεσα επί του Εισοδήματος y και μέσω του Εισοδήματος στην Κατανάλωση. Όλη αυτή η διαδικασία παρουσιάζεται στο Σχεδιάγραμμα. a + βy + u 4 y + Γράφημα Ροής 6. Γραφική παρουσίαση της έμμεσης επίδρασης των Επενδύσεων στην Ιδιωτική Κατανάλωση ( ). Η ερμηνεία των επιδράσεων στο Γράφημα Ροής 6. είναι η εξής: Επίδραση (μεταβολή στις Ιδιωτικές Επενδύσεις. Μέσω των Επενδύσεων επίδραση στο Εισόδημα ( y ). (Από το Εισόδημα ( y ) επίδραση στην Κατανάλωση ( ). Από την Κατανάλωση ( ) ξανά επίδραση στο Εισόδημα ( y ) κ.λ.π. Με βάση λοιπόν την διαρθρωτική μορφή ενός συστήματος εξισώσεων είναι πολύ δύσκολο να έχουμε μία άμεση και τελική επίδραση από τις Επενδύσεις στην Κατανάλωση ( ). Αυτό που θα πάρουμε είναι όταν τελειώνει αυτός ο κύκλος των επιδράσεων, κάποια στιγμή να μηδενισθεί αυτή η επίδραση. Αυτό φαίνεται πολύ καλά στο Σχεδιάγραμμα. o Διάρκεια της Επίδρασης χρόνος 7

:\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΑΝΟΙΓΜΕΝΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΡΘΡΩΤΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Με βάση το συγκεκριμένο σύστημα των εξισώσεων η σύγκριση των διαρθρωτικής και ανοιγμένης μορφής του συστήματος θα μπορούσε να βασισθεί στην γραφική σύγκριση των δύο μορφών γραφής ενός Διαρθρωτικού Συστήματος Εξισώσεων. Διαρθρωτική Μορφή Ανοιγμένη Μορφή. Y Y Περίοδος Περίοδος Γράφημα. Ροής Γράφημα. Ροής Σύμφωνα με το Γράφημα Ροής που εμφανίζει την διαρθρωτική μορφή του συστήματος, οι τιμές των ενδογενών μεταβλητών και y διαμορφώνοντας ενδογενώς από την λειτουργία του συστήματος, συμμετέχουσες στην διαμόρφωση των τιμών η μία στην άλλη. Στην Ανοιγμένη Μορφή (Γράφημα Ροής ) οι τιμές των ενδογενών μεταβλητών διαμορφώνονται αποκλειστικά από τις τιμές της εξωγενούς μεταβλητής. 8

:\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΕΝΟΣ ΔΙΑΡΘΡΩΤΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ.. Εφαρμογή της Μεθόδου των Απλών Ελαχίστων Τετραγώνων. Μπορούμε να εκτιμήσουμε τις παραμέτρους του Συστήματος : a+ β y + ε (47) y + (48) όπου:,,,t. Ιδιωτική Κατανάλωση y Διαθέσιμα Εισοδήματα (Ενδογενείς Μεταβλητές). Επενδύσεις (Εξωγενής Μεταβλητή) με την μέθοδο των Απλών Ελαχίστων Τετραγώνων. Δημιουργούμε τις βασικές μεταβλητές του συστήματος σε αποκλίσεις από τους μέσους, θέτοντας : N j ( ) N j + + (49) N j ( ) N j y y y + y + y (5) N j ( ) N j + + (5) οπότε (5) y y y y y y y y y (5) Το σύστημα των εξισώσεων γράφεται ως εξής: 9

:\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc β y + ε (54) y + (55) y y y y _ + _ + _ + _ + y y y y y y y y y y y y Μεταφέρουμε τις μεταβλητές y και στον Πίνακα. Μπορούμε τώρα να εφαρμόσουμε την μέθοδο των απλών ελαχίστων τετραγώνων για να λάβουμε τις εκτιμήσεις των παραμέτρων α και β ως εξής : ˆ β OLS y y y y y y y y + +... + T T + +... + T (56) ˆ ˆ aˆols β OLS y β OLS N N (57) Έτσι όπου ληφθούν αυτές οι εκτιμήσεις μπορούν να υπολογισθούν όλα τα κριτήρια και δείκτες που συνήθως χρησιμοποιούνται στην εκτίμηση του απλού γραμμικού υποδείγματος. Στο υπόδειγμα των εξισώσεων (5) και (6) να προσεγγισθεί η περίπτωση της μεροληψίας των Διαρθρωτικών Εξισώσεων. Στην περίπτωση της εφαρμογής της μεθόδου των απλών ελαχίστων τετραγώνων, οι ελαχίστων τετραγώνων εκτιμήσεις δεν είναι ούτε αμερόληπτες ούτε καν συνεπείς. Απόδειξη: ( + ) β y β y ε y y ε ˆ OLS + y y y β ˆ OLS β y β + y ε (59) (58) ( ˆ yε yε E βols ) E β + β + E y y

:\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc β + ov( y ε ) (6) y Γνωρίζουμε ότι a ov( yε ) E ( yε) E + + ε ε β β β a E( ε ) + ( ε) + E( ε ) (6) β β β β όπου E ( ε ) και ( ε ) (6) ov( yε ) E ( ε ) σ β β (6) Διότι πάντοτε ο διαταρακτικός όρος ε έχει κάποια διακύμανση.

:\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc Έμμεση Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων. Με βάση την Έμμεση Μέθοδο των Ελαχίστων Τετράγωνων, η εκτίμηση των παραμέτρων α και β του συστήματος: a+ β y + ε (64) y + (65) όπου:,,,t. Ιδιωτική Κατανάλωση y Διαθέσιμα Εισοδήματα (Ενδογενείς Μεταβλητές). Επενδύσεις (Εξωγενής Μεταβλητή) βασιζόμενοι στην ανοιγμένη μορφή του συστήματος: a β + + ε β β β (66) Γράφουμε την (66) ως Π +Π + w (67) β Έχοντας υποθέσει ότι : Π, Π και β β Γράφοντας την (4) σε αποκλίσεις από τους μέσους: w ε (68) β Π + w (57) οπότε (69) y y y y y y y y y (7) N j ( ) N j + + (7)

:\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc N j ( ) N j y y y + y + y (7) N j ( ) N j + + (7) Η εκτίμηση της της παραμέτρου Π θα προκύψουν από την σχέση ˆ Π (74) Από την παραπάνω εκτίμηση ˆΠ μπορούμε να λάβουμε εκτίμηση των παραμέτρων : ˆ ˆ ( β ) β ˆ β β Π Π Π ˆ Π Πˆ β (75) Γνωρίζοντας την τιμή της παραμέτρου ˆ β, μπορούμε να υπολογίσουμε την παράμετρο α ως εξής: _ ˆ α μ ˆ ˆ c βμy βy (76)

:\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων σε Δύο Στάδια Η μέθοδος SLS είναι άμεσα συσχετιζόμενη με την μέθοδο των βοηθητικών μεταβλητών (nsrumenal Variable). Η εφαρμογή αυτής της μεθόδου θα μπορούσε να γίνει, αναλύοντας την περίπτωση της εκτίμησης ενός συστήματος δύο εξισώσεων με μία εξωγενή μεταβλητή: a+ β y + ε (77) y + (78) όπου c Κατανάλωση ( ενδογενής μεταβλητή). y Εισόδημα (ενδογενής μεταβλητή). Επενδύσεις (εξωγενής μεταβλητή). α,β: παράμετροι από εκτίμηση. Για την απλοποίηση των υπολογισμών μετασχηματίζουμε όλες τις μεταβλητές σ αποκλίσεις από τους μέσους. Η όλη διαδικασία εκτίμησης των παραμέτρων του συστήματος είναι η εξής: Βήμα. Γράφουμε το σύστημα των εξισώσεων στην ανεπτυγμένη του μορφή. α β + + ε β β β (79) y + + ε β β β (8) με δ + δ + w ο y γ + γ + w α β δ, δ, w ε, β β β γ, γ, w ε β β β (8) (8) (8) 4

:\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc Λαμβάνουμε τις σχέσεις (79) και (8) σε αποκλίσεις από τους μέσους: οπότε δ + w y γ + w (84) (85) (86) y y y y y y y y y (87) _ (88) N j ( ) N j + + (89) N j ( ) N j y y y + y + y (9) N j ( ) N j + + (9) Υπολογίζουμε την παράμετρο γ με την μέθοδο των απλών ελαχίστων τετραγώνων. ˆ γ ( y y)( ) y (9) ( ) Με την βοήθεια της παραμέτρου ˆ γ υπολογίζουμε την βοηθητική μεταβλητή, y ˆ γ (9) ή ˆ y+ y y w (94) 5

:\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc Βήμα. Γράφουμε την πρώτη εξίσωση () από τους αποκλίσεις από τους μέσους: βy + ε και αντικαθιστούμε την () στην () (95) β( y + w) + ε (96) β ( y + w ) + ε βy + βw+ ε βy + k (97) k β w + ε (98) με β y y ˆ SLS (99) _ ˆ ˆ ˆ c SLS y SLS α μ β μ β y () 6

:\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΔΙΑΡΘΩΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μια χρήσιμη εφαρμογή ενός διαρθρωτικού συστήματος εξισώσεων είναι η εφαρμογή δυναμικών αναλύσεων. Ιδιαίτερα μας ενδιαφέρει ο τρόπος όπου οι ενδογενείς μεταβλητές του συστήματος αντιδρούν σε μεταβολές των εξωγενών μεταβλητών. Το σύστημα των εξισώσεων () και () είναι ένα στατικό γραμμικό σύστημα εξισώσεων. Οι επιδράσεις της εξωγενούς μεταβλητής στις δύο ενδογενείς μεταβλητές και y μπορεί να προσεγγισθεί με βάση την ανοιγμένη μορφή του συστήματος: + β + u β β β y + + u β β β () () Οπότε οι επιδράσεις της εξωγενούς μεταβλητής στην κατανάλωση της θα είναι: Δ d d β Δ d d ( + ) + u β β β () d ( β ) β d β β (4) Ανάλογη θα είναι και η περίπτωση της επίδρασης των επενδύσεων, στο εισόδημα y. Δ y Δ β (5) 7

:\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ Στατικές Προβλέψεις. Εφόσον γνωρίζουμε τις τιμές της εξωγενούς μεταβλητής την περίοδο 4 και 5 μπορούμε να λάβουμε προβλέψεις για τις δύο ενδογενείς μεταβλητές, από την ανοιγμένη μορφή του συστήματος των εξισώσεων: και ˆ ˆ yˆ yˆ ˆ β + ˆ α ˆ β ˆ β + ˆ α ˆ β F 4 4 F 5 5 + ˆ α ˆ β F 4 4 + ˆ α ˆ β F 5 5 (6) (7) 8

:\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc Άσκηση Σεναριακών Αναλύσεων. Στην άσκηση την σχηματοποίηση Σεναριακών Προβλέψεων με βάση το Διαρθρωτικό Σύστημα των Εξισώσεων: α + βy + ε y + Το ερώτημα που καλούμεθα να απαντήσουμε είναι ποιες είναι εκείνες οι τιμές των ενδογενών μεταβλητών του Διαρθρωτικού Συστήματος για διάφορες (υποθετικές) τιμές που μπορούν σεναριακά να δοθούν στις εξωγενείς μεταβλητές. Στην περίπτωση του παραπάνω συστήματος είναι πολύ πιθανό να ζητηθούν εναλλακτικές Σεναριακές Αναλύσεις για τις δύο ενδογενείς μεταβλητές και για εναλλακτικούς ρυθμούς μεταβολής των επενδύσεων. Αν υποθέσουμε ότι η εξωγενής μεταβλητή των επενδύσεων αυξηθεί κατά 5% και 7% για μία περίοδο 5 ετών, τότε θα μπορούσαν να προκύψουν τα εξής σενάρια. Σενάριο Βήμα. Κατανέμουμε το 5% στα 5 χρόνια με διάφορες μεθόδους. Η πιο απλή υπόθεση είναι να θεωρήσουμε ότι έχουμε αύξηση % κάθε χρόνο (5% για 5 χρόνια). Έτος % Ι Ι (+g) Έτος % (+g) Έτος % (+g) Έτος 4 % 4 (+g) Έτος 5 % 5 4 (+g) Βήμα. Χρησιμοποιούμε την ανοιγμένη μορφή του συστήματος ˆ ˆ ˆ a β + ˆ β ˆ β για να λάβουμε «προβλέψεις» για την μεταβλητή Κατανάλωση. 9

:\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc ˆ ˆ ˆ aˆ ˆ β + ˆ β ˆ β aˆ ˆ β + ˆ β ˆ β aˆ ˆ β + ˆ β ˆ β 5 5 Βήμα. Έχοντας ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ,, 4, 5 και τα ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ,, 4, 5 από το παραπάνω βήμα, οι Σεναριακές προβλέψεις της μεταβλητής y θα είναι: yˆ ˆ + ˆ yˆ ˆ + ˆ yˆ ˆ + ˆ 5 5 5 Τέλος για ένα άλλο ρυθμό ανάπτυξης 6% ακολουθούμε ακριβώς την παραπάνω διαδικασία. Αποτέλεσμα όλων αυτών είναι να λάβουμε Σεναριακές Προβλέψεις για τις δύο ενδογενείς μεταβλητές του Συστήματος για διαφορετικές υποθέσεις για τιν εξέλιξη των τιμών των εξωγενών μεταβλητών.

:\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc ΑΡΙΣΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Στην διαδικασία του Άριστου Ελέγχου σε ένα διαρθρωτικό Σύστημα μορφής: α + βy + ε () y + () της Το ερώτημα στην άσκηση οικονομικής πολιτικής είναι ποίες θα είναι οι τιμές των ενδογενών μεταβλητών και y ούτως ώστε να επιτευχθεί ένας συγκεκριμένος στόχος για την εξωγενή μεταβλητή. Πρόκειται για μια διαδικασία αντιστρόφως ανάλογη αυτής με την εφαρμογή των σεναριακών αναλύσεων και γενικότερα των διαρθρωτικών αναλύσεων με ένα διαρθρωτικό σύστημα. Ένας τρόπος επίλυσης του προβλήματος του Άριστου Ελέγχου είναι το σύστημα των εξισώσεων () και () να συμπληρωθεί με τις επιπλέον τρείς εξισώσεις. ( ) γ ( c ) < γ ( y y ) γ ( y y ) < γ c και επιπλέον ( ) γ ( ) < γ c α + β + ε c c y + c c c y είναι οι τιμές θα πρέπει να λάβουν οι μεταβλητές c c όπου, να επιτευχθεί ένας στόχος 9% για την εξωγενή μεταβλητή. και y για

:\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc Η εφαρμογή του Άριστού Ελέγχου θα εφαρμοστεί ως εξής: Έστω ότι θέλουμε να εφαρμόσουμε άριστο έλεγχο για μια περίοδο 5 ετών.,,, 4, 5 < γ c γ c aˆ ˆ β + ˆ β ˆ β y + c c c aˆ ˆ β min Q [ + ( ) ] 5 ˆ γ ˆ aˆ β γ c 5 5 c c min Q ( ) + ( y y ) aˆ ˆ β + [ + ( ) + ( ) ] 5 y ˆ aˆ β γ γ

:\Documens and Seings\kpig\Deskop\basikh askhsh aaaa.doc