Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.. Α.. Έστω η πολυωνυµική εξίσωση α ν x ν + α ν- x ν- +... + α x + α 0 0, µε ακέραιους συντελεστές. Αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, να αποδείξετε ότι ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α 0. Μονάδες 6, Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Έστω πολυώνυµο Ρ(x) και ρ ένας πραγµατικός αριθµός. Αν το Ρ(x) έχει παράγοντα το x ρ και π(x) είναι το πηλίκο της διαίρεσης του Ρ(x) µε το x ρ, τότε: α. Ρ(x) (x ρ) π(x) + β. π(x) (x ρ) P(x) γ. ο βαθµός του υπολοίπου της διαίρεσης του Ρ(x) µε το x-ρ είναι ίσος µε µηδέν δ. Ρ(ρ) 0. Μονάδες 6 Β.. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Η εξίσωση x x + 6 0 έχει ρίζα το. β. Η εξίσωση x + x + 7x + 0 έχει ρίζα το. γ. Η εξίσωση 6x 6 x + x x + 0 δεν έχει ρίζα το. Μονάδες 6 Β.. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Το πολυώνυµο P(x) (x + ) 00 + x 00 έχει παράγοντα το: α. x + β. x γ. x δ. x + Μονάδες 6, Ζήτηµα ο Για τη γωνία α ισχύει ότι συνα συνα 7 0. α. Να δείξετε ότι συνα -/ Μονάδες 0 β. Αν επιπλέον ισχύει π α π/, να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς ηµα, συνα και εφα. Τεχνική Επεξεργασία: Keystone
Μονάδες Ζήτηµα ο Ο τρίτος όρος µιας αριθµητικής προόδου (α ν ) είναι ίσος µε α log και η διαφορά της είναι ίση µε ω log. α. Να δείξετε ότι ο πρώτος όρος α της προόδου είναι ίσος µε τη διαφορά ω. β. Να υπολογίσετε το άθροισµα Α α + α +... + α. Μονάδες 8 Μονάδες 8 γ. Έστω (β ν ) µία γεωµετρική πρόοδος µε β α και β α, όπου α και α ο πρώτος και ο δεύτερος όρος της παραπάνω αριθµητικής προόδου αντίστοιχα. Να υπολογίσετε το άθροισµα Β β + β + β +... + β + β 00. Μονάδες Ζήτηµα ο Έστω Q(t) η τιµή ενός προϊόντος (σε εκατοντάδες χιλιάδες δραχµές), t έτη µετά την κυκλοφορία του προϊόντος στην αγορά. Η αρχική τιµή του προϊόντος ήταν 00.000 δραχµές, ενώ µετά από 6 µήνες η τιµή του είχε µειωθεί στο µισό της αρχικής του τιµής. Αν είναι γνωστό ότι ισχύει όπου α, β R, τότε: ln Q(t) αt + β, t 0 α. να δείξετε ότι Q(t) για t 0 Μονάδες 0 β. να βρείτε σε πόσο χρόνο η τιµή του προϊόντος θα γίνει ίση µε /6 της αρχικής του τιµής, Μονάδες 8 γ. να βρείτε τον ελάχιστο χρόνο για τον οποίο η τιµή του προϊόντος δεν υπερβαίνει το / της αρχικής του τιµής. Μονάδες 7 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.. Αν ο ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε διαδοχικά έχουµε: α ν ρ ν + α ν- ρ ν- + + α ρ + α 0 0 α 0 - α ν ρ ν α ν- ρ ν- - - α ρ α 0 ρ (- α ν ρ ν- α ν ρ ν- - - α ). Επειδή οι ρ, α, α,, α ν είναι ακέραιοι έπεται ότι και ο - α ν ρ ν- α ν- ρ ν- - - α είναι ακέραιος. Από την τελευταία ισότητα προκύπτει ότι ο ρ είναι διαιρέτης του α 0. Α.. Η σωστή απάντηση είναι η δ. Β.. α Λ, β Λ, γ Σ Β.. Η σωστή απάντηση είναι η α. Ζήτηµα ο α. Η δοσµένη σχέση γράφεται ισοδύναµα: ( συν α - ) - συν α - 7 0 0 συν α - - συν α - 7 0 0 συν α - συν α - 0 συν α - 7 συν α - 6 0 Θέτουµε συν α ψ µε ψ [-, ] κι έχουµε: Είναι: Οπότε: 7 6 ψ 0 7 + 6 ψ 0 7 0 7 + 0 ψ - 7ψ - 6 0 + 0 6 > 0 6 0 0 0 δεκτή, αφού [,] απορρίπτεται., αφού [,] συν α -/ β. Από την βασική ταυτότητα: ηµ α + συν α, µε συν α -/ έχουµε: ηµ α ηµ α + Τεχνική Επεξεργασία: Keystone
6 ηµ α ηµ α ± 6 ± Επειδή π α π/, είναι ηµ α 0, οπότε: Είναι: ηµ α -/ ηµ α ηµ α συν α συν α συν α - εφ α Ζήτηµα ο ηµα συνα / 7 / 7 α. Είναι: α log log log. 8 Επειδή η πρόοδος είναι αριθµητική µε διαφορά ω, έχουµε ότι: α α + ω α α ω. 7 α log - log log. β. Επειδή είναι : α log και ω log, προκύπτει ότι: α ν α + (ν ) ω log + (ν ) log log + ν log - log Εποµένως: ν log. Α α + α + + α log + log + + log ( + + + ) log. Όµως το άθροισµα + + + είναι άθροισµα διαδοχικών όρων αριθµ. προόδου µε πρώτο όρο το, διαφορά και πλήθος όρων. Οπότε [ + ( ) ] ( + 8) 0 + +... + Τεχνική Επεξεργασία: Keystone
Α log. γ. Επειδή η πρόδος (β ν ) είναι γεωµετρική, ο λόγος της θα είναι: β λ β log log οπότε: β ν β λ ν- log ν- ν- log Άρα Β β + β + β + + β + β 00 log + log + log + + 8 log + 000 log ( + + + + 8 + 000 ) log. Όµως το άθροισµα + + + + 8 + 000 + ( + + + 8 + 000 ) + [ + + + + 000 ] + [( ) + ( ) + + ( ) + ( ) 000 ] + ( + + + + 000 ) 000 ( ) + + ( 00 ( 00 ) B ( 00 )log 000 ) + 00 Ζήτηµα ο α. Όταν ο χρόνος είναι t 0, τότε η αρχική τιµή θα είναι Q(0), οπότε: ln Q(0) α 0 + β β β ln () Μετά από 6 µήνες (δηλαδή µετά από µισό έτος, t/) η τιµή του προϊόντος θα είναι: οπότε: Q, Τεχνική Επεξεργασία: Keystone
Εποµένως: ln Q α + ln ln ln ln α + ln α + ln ln α α - ln α ln( - ) () Από την σχέση ln Q(t) α t + β λόγω των σχέσεων () και () έχουµε: ln Q(t) t ln - + ln ln Q(t) ln - t + ln ln Q(t) ln - t ln Q(t) ln -t Q(t) -t β. Αν είναι: Q(t) Q(0) 6 6 τότε σύµφωνα µε τον προηγούµενο τύπο έχουµε: γ. Πρέπει: 6 6 t έτη. Q(t) Q(0) Q(t) t t ( t > 0 για κάθε t 0 και > 0) Επειδή t > 0 για κάθε t 0 και > 0, λογαριθµίζουµε την τελευταία και βρίσκουµε: ln t ln t ln ln Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 6
t ln t ln ln ln ln t ln ln t έτη. ln Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 7