ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 22Νοεμβρίου 2015

ΑΥΞΟΥΣΕΣ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αν μια συνάρτηση f ορίζεται σε ένα διάστημα Ι, και x 1, x 2 ανήκουν στο διάστημα αυτό: Η f είναι αύξουσα, αντίστοιχα φθίνουσα, στο Ι, αν και μόνο αν για κάθε x 1, x 2 Ι με x 1 < x 2 ισχύει f(x 1 ) f(x 2 ), αντίστοιχα f(x 1 ) f(x 2 ). Η f είναι γνησίως ή αυστηρώς αύξουσα, αντίστοιχα γνησίως ή αυστηρώς φθίνουσα, στο Ι, αν και μόνο αν για κάθε x 1, x 2 Ι με x 1 < x 2 ισχύει f(x 1 ) < f(x 2 ), αντίστοιχα f(x 1 ) > f(x 2 ). Η f είναι αύξουσα (φθίνουσα) στο Ι, αν f (x) 0, αντίστοιχα (f (x) 0), για κάθε x Ι.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Τα σημεία του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης στα οποία επιτυγχάνει την ελάχιστη ή τη μέγιστη τιμή της αναφέρονται αντίστοιχα ως ελάχιστα ή μέγιστα σημεία και οι αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης ονομάζονται ελάχιστες ή μέγιστες τιμές. Έτσι, αν Χ είναι το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, τότε: Το x 0 X είναι ένα ελάχιστο σημείο της f και f(x 0 ) η ελάχιστη τιμή της αν και μόνο αν f(x) f(x 0 ) για κάθε x X. Το x 0 X είναι ένα μέγιστο σημείο της f και f(x 0 ) η μέγιστη τιμή της αν και μόνο αν f(x) f(x 0 ) για κάθε x X. Αν f(x) > f(x 0 ) για κάθε x X με x x 0, τότε το x 0 είναι ένα αυστηρά ελάχιστο σημείο. Αν f(x) < f(x 0 ) για κάθε x X με x x 0, τότε το x 0 είναι ένα αυστηρά μέγιστο σημείο.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ (2) Τα ελάχιστα και τα μέγιστα σημεία αναφέρονται ως βέλτιστα σημεία ή ακρότατα σημεία (βέλτιστες ή ακρότατες τιμές). Προέκυψαν από τη σύγκριση τιμών σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της, δηλαδή σφαιρικά και χωρίς καμία εξαίρεση απολύτως και ονομάζονται σφαιρικά ή απόλυτα βέλτιστα σημεία. Μια συνάρτηση f έχει τοπικό ή σχετικό ελάχιστο (τοπικό ή σχετικό μέγιστο) σε ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει διάστημα (α, β) γύρω από το x 0 τέτοιο ώστε f(x) f x 0 (αντίστοιχα f(x) f x 0 ) για κάθε x (α, β) με x x 0. Αν αντικαταστήσουμε το σύμβολο ή με > ή <, τότε το τοπικό μέγιστο ή ελάχιστο ονομάζεται αυστηρά τοπικό μέγιστο ή αυστηρά τοπικό ελάχιστο. Τα τοπικά μέγιστα, ελάχιστα σημεία ονομάζονται τοπικά ακρότατα (οι τιμές, τοπικές ακρότατες τιμές).

ΚΡΙΣΙΜΑ ΣΗΜΕΙΑ Έστω ότι μα συνάρτηση f ορίζεται σε ένα ανοικτό διάστημα Ι και για κάποιο σημείο x 0 I έχουμε f (x 0 ) = 0 ή f (x 0 ) δεν ορίζεται. Τότε το (x 0 ) ονομάζεται κρίσιμο σημείο και f(x 0 ) η κρίσιμη τιμή του. Όταν έχουμε f (x 0 ) = 0 το x 0 ονομάζεται και στάσιμο ή σαγματικό σημείο. Έστω ότι η f ορίζεται σε ένα διάστημα Ι και x 0 είναι ένα εσωτερικό σημείο του, τότε το x 0 είναι ένα τοπικό ακρότατο, μόνο αν το x 0 είναι ένα κρίσιμο σημείο.

ΤΟΠΙΚΑ ΒΕΛΤΙΣΤΑ ΣΗΜΕΙΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΡΩΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Ένα κρίσιμο σημείο x 0 μιας συνάρτησης f ορισμένης σε ένα διάστημα χαρακτηρίζεται ως: i. Τοπικό ελάχιστο αν f (x 0 + h) < 0 για h < 0 και f (x 0 + h) > 0 για h > 0, δηλαδή καθώς περνάμε το x 0 από τιμές μικρότερες του σε τιμές μεγαλύτερες του, η f από γνησίως φθίνουσα γίνεται γνησίως αύξουσα. ii. Τοπικό μέγιστο αν f (x 0 + h) > 0 για h < 0 και f (x 0 + h) < 0 για h > 0, δηλαδή καθώς περνάμε το x 0 από τιμές μικρότερες του σε τιμές μεγαλύτερες του, η f από γνησίως αύξουσα γίνεται γνησίως φθίνουσα. iii. Σημείο καμπής με οριζόντια εφαπτομένη αν καθώς περνάμε το x 0 από τιμές μικρότερες του σε τιμές μεγαλύτερες του ή αντιστρόφως, η παράγωγος f δεν αλλάζει πρόσημο. iv. Το πρόσημο της παραγώγου συνάρτησης f της f μεταξύ δύο κρίσιμων σημείων της δεν μεταβάλλεται. Τα διαστήματα αυτά ονομάζονται διαστήματα σταθερού προσήμου και αρκεί ο υπολογισμός της f σε ένα οποιοδήποτε σημείο για να προσδιορίσουμε το πρόσημό της στο διάστημα αυτό.

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΜΟΣ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΜΕ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ Αν f μια διπλά παραγωγίσιμη συνάρτηση σε ένα διάστημα Ι και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Ι. τότε: i. Αν f (x 0 ) = 0 και f (x 0 ) > 0, τότε το x 0 είναι ένα αυστηρά τοπικό ελάχιστο σημείο. ii. iii. Αν f (x 0 ) = 0 και f (x 0 ) < 0, τότε το x 0 είναι ένα αυστηρά τοπικό μέγιστο σημείο. Αν f (x 0 ) = 0 και f (x 0 ) = 0, τότε δεν μπορούμε να αποφανθούμε και απαιτείται περαιτέρω διερεύνηση.

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΜΟΣ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΜΕ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ (2) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Ι και παραγωγίσιμη n 2 φορές σε ένα εσωτερικό σημείο x 0 του Ι, με f (x 0 ) = f (x 0 ) = = f n-1 = 0 και f n (x 0 ) 0, τότε το x 0 είναι: i. Τοπικό ελάχιστο αν f n (x 0 ) > 0 και n άρτιος αριθμός. ii. Τοπικό μέγιστο αν f n (x 0 ) < 0 και n άρτιος αριθμός. iii. Σημείο καμπής με οριζόντια εφαπτομένη αν n περιττός αριθμός. ΘΕΩΡΗΜΑ WEIERSTRASS (ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΤΙΜΩΝ) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό και φραγμένο διάστημα Ι = [α, β], τότε υπάρχουν τουλάχιστον δύο σημεία x 1 και x 2 του Ι τέτοια ώστε: m=f(x 1 ) f(x) f(x 2 ) =M, για κάθε x στο Ι.

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ-ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ- ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Μια συνάρτηση f που είναι συνεχής σε ένα διάστημα Ι και διπλά παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Ι είναι: i. Κυρτή στο Ι αν και μόνο αν f (x) 0 για κάθε x Ι ii. iii. Κοίλη στο Ι αν και μόνο αν f (x) 0 για κάθε x Ι Σημείο καμπής: Το σημείο στο οποίο η f αλλάζει καμπυλότητα και από κοίλη γίνεται κυρτή και αντίστροφα. Από οικονομικής άποψης, μια συνάρτηση ενός ολικού οικονομικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από φθίνουσες οριακές αποδόσεις στα διαστήματα που αυτή είναι κοίλη και αύξουσες οριακές αποδόσεις στα διαστήματα που αυτή είναι κυρτή. Η διάκριση μεταξύ κυρτότητας και καμπυλότητας μιας συνάρτησης είναι ιδιαίτερα σημαντική στη μελέτη οικονομικών υποδειγμάτων.

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ-ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ-ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ (2) Η δεύτερη παράγωγος f (x) της f(x) είναι στο διάστημα Ι Θετική Αρνητική Μαθηματική ιδιότητα Η f(x) είναι κυρτή στο Ι Η f(x) είναι κοίλη στο Ι Οικονομική ιδιότητα Η f(x) έχει αύξουσες οριακές αποδόσεις Η f(x) έχει φθίνουσες οριακές αποδόσεις

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ (3) ΕΝΑΣ ΓΕΝΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f λέγεται ότι είναι κυρτή (κοίλη) σε ένα διάστημα Ι, αν και μόνο αν το ευθύγραμμο τμήμα, που ενώνει οποιαδήποτε δύο σημεία του γραφήματος της στο Ι βρίσκεται αντίστοιχα άνω (κάτω) από το γράφημα ή επί του γραφήματος.

ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΜΕ ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟ Ένα σημείο x 0 ονομάζεται σημείο καμπής μιας συνάρτησης f, αν υπάρχει ένα διάστημα (α, β) γύρω από το x 0, τέτοιο ώστε: i. f (x 0 ) 0 στο (α, x 0 ) και f (x 0 ) 0 στο (x 0, β) ή ii. f (x 0 ) 0 στο (α, x 0 ) και f (x 0 ) 0 στο (x 0, β). Για να προσδιορίσουμε τυχόν σημεία καμπής αποκλειστικά με τη δεύτερη παράγωγο εφαρμόζουμε την εξής διαδικασία: 1. Κατασκευάζουμε το σύνολο των κρίσιμων σημείων της f (x), δηλαδή σημεία x 0 για τα οποία f (x) = 0 ή η f (x) δεν υπάρχει. 2. Από το σύνολο αυτό, κατασκευάζουμε το σύνολο των σημείων καμπής, που αποτελείται από σημεία x 0 στα οποία η f (x) αλλάζει πρόσημο καθώς περνάμε από τιμές μικρότερες τους σε μεγαλύτερες.

ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΜΕ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ Έστω η συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο διάστημα [α, β] και n φορές παραγωγίσιμη στο σημείο x 0 του (α, β) με f (x 0 ) = f (x 0 ) = = f n-1 = 0 και f n (x 0 ) 0 Τότε, το σημείο x 0 είναι θέση σημείου καμπής του γραφήματος της f αν n είναι περιττός και μάλιστα όταν f n (x 0 ) > 0 η f είναι κοίλη αριστερά του x 0 και κυρτή δεξιά του σημείου x 0. Το αντίθετο συμβαίνει όταν f n (x 0 ) 0.

ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΟΡΙΑΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Έστω y = f(x) μια συνάρτηση ενός ολικού οικονομικού μεγέθους, όπως ολικά κέρδη, ολικά έσοδα, ολικό κόστος, κλπ. Π1. Η συνάρτηση ενός μέσου μεγέθους Α(x) = f(x)/x έχει τοπικά ακρότατα ή οριζόντια σημεία καμπής στα σημεία που είναι ίση με τη συνάρτηση f (x) του αντίστοιχου οριακού μεγέθους. Π2. Στα σημεία x = x*, όπου οι συναρτήσεις του μέσου και του οριακού μεγέθους είναι ίσες, η συνάρτηση του μέσου μεγέθους έχει τοπικά ελάχιστα αν η παράγωγος του οριακού μεγέθους είναι θετική, δηλαδή εάν f (x*) > 0, και τοπικά μέγιστα εάν η παράγωγος του οριακού μεγέθους είναι αρνητική, δηλαδή εάν f (x*) 0.

ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΜΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΗΣ Π3. Η ελαστικότητα της συνάρτησης του ολικού μεγέθους ισούται προς την ελαστικότητα του αντίστοιχου μέσου μεγέθους συν ένα. Δηλαδή ε y = ε Α(x) + 1. Π4. Η συνάρτηση ενός μέσου οικονομικού μεγέθους έχει τοπικά ακρότατα στα σημεία που η ελαστικότητα του αντίστοιχου ολικού οικονομικού μεγέθους ισούται προς τη μονάδα. Με τον ίδιο τρόπο η συνάρτηση ενός ολικού οικονομικού μεγέθους έχει τοπικά ακρότατα στα σημεία που η ελαστικότητα του αντίστοιχου μέσου οικονομικού μεγέθους ισούται με μείον ένα.

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΚΟΣΤΟΥΣ Η συνάρτηση παραγωγής ή συνάρτηση ολικού προϊόντος q = f(x) υποθέτουμε ότι εκφράζει τον βέλτιστο κανόνα μετασχηματισμού ποσοτήτων των συντελεστών παραγωγής σε ποσότητες προϊόντος. Μια τυπική συνάρτηση παραγωγής q = f(x) που είναι ορισμένη σε ένα διάστημα [0, α] είναι γνησίως αύξουσα και αυτό οφείλεται στην υπόθεση της βέλτιστης χρησιμοποίησης των συντελεστών παραγωγής. Το οριακό προϊόν f (x) είναι μια αύξουσα συνάρτηση έως ένα ορισμένο σημείο x 0 και φθίνουσα συνάρτηση για τιμές της x μεταξύ x 0 και α. Δηλαδή έχουμε f (x) > 0 για κάθε x (0, x 0 ) και f (x) 0 για κάθε x (x 0, α), που σημαίνει ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή στο διάστημα (0, x 0 ), όπου ισχύει ο νόμος του αύξοντος οριακού προϊόντος ή της αύξουσας οριακής απόδοσης και κοίλη στο διάστημα (x 0, α), όπου ισχύει ο νόμος του φθίνοντος οριακού προϊόντος ή της φθίνουσας οριακής απόδοσης. Τέλος το x 0 αποτελεί θέση σημείου καμπής, αφού στο σημείο αυτό αλλάζει η καμπυλότητα η f(x).

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΚΟΣΤΟΥΣ (2) Την αντίστροφη συμπεριφορά παρουσιάζει μια τυπική συνάρτηση κόστους TC = C(q). Ειδικότερα, το οριακό κόστος C (q) είναι μια φθίνουσα συνάρτηση έως ένα ορισμένο σημείο q 0, στο οποίο και ελαχιστοποιείται, και αύξουσα συνάρτηση για τιμές της q μεγαλύτερες του q 0. Δηλαδή έχουμε C (q) 0 για q [0, q 0 ) και C (q) > 0 για q (q 0, + ), που σημαίνει ότι η C είναι κοίλη στο διάστημα [0, q 0 ), όπου ισχύει ο νόμος του αύξοντος οριακού κόστους. Τέλος, το q 0 είναι θέση σημείου καμπής της C(q) αφού στο σημείο αυτό αλλάζει η καμπυλότητα.

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΚΟΣΤΟΥΣ (3) Ένα πολυώνυμο τρίτου βαθμού που έχει τη γενική μορφή f x = ax 3 + βx 2 + γx + δ με α 0, θα μπορούσε να είναι μια κατάλληλη συνάρτηση παραγωγής ή κόστους, αν οι τιμές των α, β, γ και δ περιορίζονταν αναλόγως. Περιορισμοί για μια συνάρτηση παραγωγής: α < 0, β > 0, γ = 0 και δ = 0. Περιορισμοί για μια συνάρτηση κόστους: α > 0, β < 0, γ > 0, δ > 0 και β 2 = 3αγ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΚΟΣΤΟΥΣ (4) Βέλτιστα σημεία συνάρτησης παραγωγής. Η συνάρτηση ολικού προϊόντος f x = αx 3 + βx 2 με α < 0 και β > 0 έχει: 1. Μεγιστοποίηση συνάρτησης οριακού προϊόντος Σημείο καμπής: x = x 0 = β 3α 2. Τοπικά ακρότατα: x = 0 και x = 2β 3α (η παράγωγος μηδενίζεται). 3. Τοπικό ελάχιστο: x = 0, επειδή f (0) > 0. 4. Τοπικό μέγιστο: x = 2β 2β 2β, επειδή f ( ) 0, με μέγιστη τιμή f 3α 3α 3α = β 2β 3 3α 2.

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΚΟΣΤΟΥΣ (5) Αν πάρουμε τη συνάρτηση μέσου προϊόντος AP = f(x) = αx3 +βx 2 x x βx, στο σημείο x 0 όπου η πρώτη παράγωγος AP έσοδα ισούνται με τα οριακά. Πράγματι : = αx 2 + μηδενίζεται, τα μέσα Οριακά έσοδα = 3αx 2 + 2βx = ax 2 + βx = Μέσα έσοδα Η συνάρτηση κόστους που ενσωματώνει κανονικές συνθήκες παραγωγής και αγοράς δεν έχει βέλτιστα σημεία. Ελαχιστοποίηση συνάρτησης οριακού κόστους Σημείο καμπής: q = q = β 3α

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΣΟΔΩΝ Το είδος της συνάρτησης των ολικών εσόδων R(p) εξαρτάται από το είδος της συνάρτησης της ζήτησης q = D(p), αφού η R(p) είναι το γινόμενο της ποσότητας q επί την τιμή p. Έχουμε δηλαδή Ολικά έσοδα TR = R(p) = pq = pd(p). Αν στην αγορά επικρατούν συνθήκες τέλειου ανταγωνισμού, τότε η τιμή είναι δεδομένη και η συνάρτηση ζήτησης της επιχείρησης είναι μια σταθερή συνάρτηση p = α. Αν στην αγορά επικρατούν συνθήκες ατελούς ανταγωνισμού, τότε ο επιχειρηματίας θέτει τις τιμές σε διάφορα επίπεδα και παρατηρεί τις αντιδράσεις των καταναλωτών ως προς τις ζητούμενες ποσότητες. Στην περίπτωση αυτή ισχύει κατά βάση ο νόμος της ζήτησης που αναφέρει ότι όσο μειώνεται η τιμή ενός προϊόντος τόσο αυξάνει η ζητούμενη ποσότητα και αντίστροφα.

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΣΟΔΩΝ (2) Αν η συνάρτηση ζήτησης είναι παραγωγίσιμη, τότε D (p) 0, δηλαδή η D(p) είναι γνησίως φθίνουσα. Επιπλέον η D(p) είναι συνήθως κυρτή που σημαίνει ότι η δεύτερη παράγωγος είναι θετική. Αντιπροσωπευτικές οικογένειες συναρτήσεων που ικανοποιούν το νόμο της ζήτησης είναι οι γραμμικές, οι τετραγωνικές και οι εκθετικές.

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΣΟΔΩΝ (3) Αν παραγωγίσουμε τη συνάρτηση ολικών εσόδων TR παίρνουμε: R (p) = q (1+ε q ). Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: 1. Η ζήτηση είναι ελαστική, δηλαδή ε q > 1. Στην περίπτωση αυτή έχουμε 1+ε q 0, γεγονός που συνεπάγεται R (p) 0, οπότε η συνάρτηση των ολικών εσόδων είναι φθίνουσα ως προς την τιμή p. Προκύπτει λοιπόν το συμπέρασμα ότι: Αν η ζήτηση είναι ελαστική, τότε μια αύξηση στην τιμή της μονάδας του προϊόντος, θα επιφέρει μείωση στα συνολικά έσοδα και αντιστρόφως.

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΣΟΔΩΝ (4) 2. Η ζήτηση είναι ανελαστική, δηλαδή ε q 1. Στην περίπτωση αυτή έχουμε 1+ε q > 0, γεγονός που συνεπάγεται R (p) > 0, οπότε η συνάρτηση των ολικών εσόδων είναι αύξουσα συνάρτηση της p. Προκύπτει λοιπόν το συμπέρασμα ότι: Αν η ζήτηση είναι ανελαστική, τότε μια αύξηση στην τιμή του προϊόντος, θα συνοδεύεται από μια αύξηση των ολικών εσόδων και αντίστροφα. 3. Η ζήτηση έχει μοναδιαία ελαστικότητα, δηλαδή ε q = 1. Στην περίπτωση αυτή έχουμε 1+ε q = 0, γεγονός που συνεπάγεται R (p) = 0, οπότε η συνάρτηση των ολικών εσόδων είναι φθίνουσα ως προς την τιμή p. Προκύπτει λοιπόν το συμπέρασμα ότι: Αν η ζήτηση έχει μοναδιαία ελαστικότητα, τότε μια αύξηση ή μείωση στην τιμή του προϊόντος δεν μεταβάλλει τα συνολικά έσοδα και επομένως τα συνολικά έσοδα μεγιστοποιούνται στο σημείο αυτό. Συμπερασματικά για να αποφασίσουμε αν μια αύξηση στην τιμή p πώλησης ενός προϊόντος θα επιφέρει αύξηση ή μείωση στα συνολικά έσοδα θα πρέπει να γνωρίζουμε την ελαστικότητα ζήτησης.

ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΡΔΩΝ ΝΕΚΡΑ ΣΗΜΕΙΑ Ένας από τους βασικούς στόχους μιας επιχείρησης είναι η μεγιστοποίηση των κερδών της. Στην επιλογή δηλαδή εκείνης της ποσότητας παραγωγής ή οικονομικής δραστηριότητας που μεγιστοποιεί τα κέρδη. Συνάρτηση ολικών κερδών TP = π (q) = R (q) - C(q). Μεγιστοποίηση κερδών: 1. Αναγκαίες συνθήκες : R (q) = C (q). 2. Ικανές συνθήκες: R (q) C (q).

ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΡΔΩΝ ΝΕΚΡΑ ΣΗΜΕΙΑ (2) Νεκρό σημείο του κύκλου εργασιών: ποσότητα q που ικανοποιεί π q = R(q) C(q) = 0 ή R q = C(q). Νεκρό σημείο q: μια ρίζα της εξίσωσης π (q) = 0, στο οποίο η επιχείρηση δεν έχει ούτε κέρδη ούτε ζημιές. Σε μια πλήρως ανταγωνιστική αγορά οι συναρτήσεις ζήτησης, οριακών εσόδων και μέσων εσόδων είναι ίσες μεταξύ τους.

ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΡΔΩΝ ΝΕΚΡΑ ΣΗΜΕΙΑ (3) Μέγιστα κέρδη, νεκρά σημεία σε συνθήκες ατελούς ανταγωνισμού Η συνάρτηση ζήτησης D(p) της επιχείρησης είναι γνησίως φθίνουσα. Μια γραμμική ζήτησης D(p) είναι ταυτόσημη με τη συνάρτηση των μέσων εσόδων AR.

ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΣΟΔΩΝ ΑΠΟ ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ Αν Τ τα φορολογικά έσοδα, t ο φόρος για κάθε πωλούμενη μονάδα και q η πωλούμενη ποσότητα, τότε Τ = tq. Συνθήκες τέλειου ανταγωνισμού: Η τιμή προσδιορίζεται από το σημείο ισορροπίας στο οποίο η συνάρτηση προφοράς Q s = γ + δp ισούται προς τη συνάρτηση ζήτησης Q d = α βp με α, β, γ, δ > 0. Αν η κυβέρνηση επιβάλλει φορολογία t νομισματικών μονάδων, τότε οι προμηθευτές θα εισπράξουν την τιμή πώλησης μειωμένη κατά τον φόρο t, δηλαδή p t. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση προσφοράς μετά τη φορολογία γίνεται: Q s = γ + δ(p t)

ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΣΟΔΩΝ ΑΠΟ Τιμή ισορροπίας p* μετά τη φορολογία: p = p = α+γ β+δ + δ δ+β t Τιμή ισορροπίας q* μετά τη φορολογία: q = q = αδ βγ βδt Συνάρτηση φορολογικών εσόδων: T = g t = tq = β+δ αδ βγ t βδt2 β+δ Μεγιστοποίηση t: t = t = αδ βγ 2βδ Τιμή ισορροπίας πριν τη φορολογία: p = α+γ β+δ Ποσότητα ισορροπίας πριν τη φορολογία: q = αδ+βγ β+δ Η επιβολή φορολογίας μειώνει την πωλούμενη ποσότητα κατά: q q = 2βγ+βδt β+δ ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ (2) Κάθε αύξηση της φορολογίας πέραν της βέλτιστης τιμής t* η κυβέρνηση εισπράττει λιγότερα και η οικονομική δραστηριότητα μειώνεται

ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΣΟΔΩΝ ΑΠΟ ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ (3) Συνθήκες ατελούς ανταγωνιστικής αγοράς: Συνάρτηση ζήτησης: D p = α βq, α, β > 0 Συνάρτηση κόστους: C q = γ + δq + λq 2, γ, δ, λ > 0 Όταν η κυβέρνηση επιβάλλει φορολογία t σε κάθε μονάδα που πουλιέται η επιχείρηση προσθέτει τη φορολογία t στη συνάρτηση κόστους περνώντας έτσι τη φορολογία στον καταναλωτή. Αυτό έχει ως συνέπεια την αύξηση της τιμής και τη μείωση της ζητούμενης ποσότητας. Άρα: Συνάρτηση ολικού κόστους C(q): C q = γ + (δ + t)q + λq 2 Συνάρτηση ολικών εσόδων R(q): R q = pq = aq βq 2 Συνάρτηση ολικών κερδών π(q): π q = R q C q = aq βq 2 -[γ + (δ + t)q + λq 2 ]

Ποσότητα q* που μεγιστοποιεί τα ολικά κέρδη: q = q = α δ t 2(β+λ) Τιμή p* που αντιστοιχεί στην q*: p = p = 2αλ+β(α+δ+t) 2(β+λ) Συνάρτηση φορολογικών εσόδων όταν πωλούνται q*: α δ t t2 g q = tq = 2(β+λ) Μεγιστοποίηση φορολογικών εσόδων: t = t = 1 2 (α δ) ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΣΟΔΩΝ ΑΠΟ ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ (4)

Επίδραση φορολογίας στην πωλούμενη ποσότητα Ποσότητα που μεγιστοποιεί τα κέρδη πριν την φορολογία: q = α δ 2(β+λ). Εάν συγκριθεί με την ποσότητα q* μετά τη φορολογία βλέπουμε ότι q > q. Πράγματι, ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΣΟΔΩΝ ΑΠΟ α δ > α δ t 2(β+λ) 2(β+λ) ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ (5) t > 0. Η μείωση στην πωλούμενη ποσότητα που οφείλεται στη φορολογία είναι ίση με q q t = 2(β + λ)

ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΣΟΔΩΝ ΑΠΟ ΦΟΡΟΛΟΓΙΑ (6) Επίδραση φορολογίας στην τιμή του προϊόντος Τιμή πώλησης πριν τη φορολογία: p = 2αλ+β(α+δ) 2(β+λ) Τιμή πώλησης μετά τη φορολογία: p = 2αλ+β(α+δ+t) 2(β+λ) Βλέπουμε ότι: p > p, αντικαθιστώντας έχουμε: 2αλ + β(α + δ + t) 2(β + λ) > 2αλ + β(α + δ) 2(β + λ) βt > 0.

ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΕ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΟ Έστω Α(t) η αξία ενός οικονομικού προϊόντος σε σχέση με το χρόνο, και ότι εφαρμόζουμε συνεχή ανατοκισμό r. Η παρούσα αξία του μεγέθους αυτού σε σχέση με το χρόνο είναι: P t = A(t)e rt. Η τιμή t* που μεγιστοποιεί την Ρ (t) πρέπει να ικανοποιεί Ρ (t*) = 0 και Ρ (t*) 0. Προκύπτει ότι: ΧΡΟΝΟ Η παρούσα αξία P t μεγιστοποιείται στο χρονικό σημείο t = t* αν και μόνο αν η συνάρτηση του ποσοστιαίου ρυθμού μεταβολής της A (t ) Α(t) στο σημείο αυτό είναι φθίνουσα, είναι δηλαδή d dt και ίση με το σταθερό ετήσιο επιτόκιο r, δηλαδή Α (t) = ra(t). A(t ) < 0