- 6 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Ν υολογίσετε τ ρκάτω ολοκληρώµτ:. - ( -ηµ+συν)d, β. - +συνd, γ. d, δ. - 5 - d, ε. - d, στ. d.. Ν υολογίσετε τ ρκάτω ολοκληρώµτ: ηµ -συν +5. Α= d, β. Β= ( + ) ( ++) d, ηµ +ln - εφ+εφ d, δ. d, ε. ηµ - + d. γ. Γ=. N βρείτε την συνάρτηση f: (, + ) R της οοίς η γρφική ράστση διέρχετι ό το σηµείο Μ(, ) κι έχει ράγωγο = 5 f() = + + 5 5 f () 6.. N βρείτε την συνάρτηση f, η οοί έχει στο σηµείο Ν(-, ) εφτόµενη ράλληλη στην ευθεί ψ=+8 κι ισχύει: f ()=6 ++. 9 f() = + + 7 +. 5. ίνετι η συνάρτηση f: (, + ) R µε f ()=, >. Αν η ευθεί ε: ψ=+ είνι σύµτωτη της C f στο +, ν βρείτε την f. f()= ++ 6. Έστω η συνεχής συνάρτηση f:r R κι F µί ράγουσ της f στο R. Αν ισχύουν: F (), κι F()=F(-) γι κάθε R, ν λύσετε την εξίσωση f()=. (=) 7. Έστω η συνεχής συνάρτηση f:r R κι F µί ράγουσ της f στο R. Αν f()= κι f() F(-) = γι κάθε R, i. N βρείτε το F(), ii. N οδείξετε ότι: f(-) F()=, iii. N οδείξετε ότι η συνάρτηση g()= F() F(-), R είνι στθερή, iv. N βρείτε τον τύο της f. (iv. f()= - ) 8. N βρείτε τ, β, γ R, ώστε η συνάρτηση F()= +β +γ-, ν είνι ρχική της συνάρτησης f()= +-. (=, β=/, γ=-) ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 5. ΤΗΛ: 5-697667
- 65-9. Ν βρείτε τ κ β ώστε: ) Η συνάρτηση F()= β-ln ν είνι ρχική της f()=. -ln β) Η συνάρτηση F()= - (συν+βηµ) ν είνι ρχική της f()= - συν. β γ) Η συνάρτηση F()= ( -) - ν είνι ρχική της f()= ( -).. N βρείτε τ, β, γ R, ώστε ν ισχύει η ισότητ:. d= - +β -γ+. β. 7 d= -β+γ. (. =-, β=, β. =-6/7, β=/7, γ. =, β=) (. =, β=, γ=, β. =9, β=6, γ=). Ν υολογίσετε τ ρκάτω ολοκληρώµτ: +8 -+ + = d, β. I = d, γ. I = d. +- + - +- Ι =ln - -ln + +c, I = - +ln + +c, I =5ln - -5ln - + + - c. Ν υολογίσετε τ ρκάτω ολοκληρώµτ: ln + = lnd, β. I = d, γ. I = d, δ. I = lnd.. Ν υολογίσετε τ ρκάτω ολοκληρώµτ: I = - +5 lnd, β. Ι = ( -)συνd, γ. Ι = συνd... Ν υολογίσετε τ ρκάτω ολοκληρώµτ: ln- + = d, β. Ι = εφ ln(συν)d, γ. Ι = d, 5 ln + δ. 5 6 ηµ +συν Ι = d, ε. Ι = d, στ. Ι = d. ln +ηµ +ηµ 5. Ν υολογίσετε τ ρκάτω ολοκληρώµτ: + - = d, β. Ι = d, γ. Ι = -d, + + - ++ δ. Ι = d, ε. Ι 5 = d. + 6. Ν υολογίσετε τ ρκάτω ολοκληρώµτ: = ηµ d, β. Ι = d, γ. Ι = ηµ συν d, ηµ δ. Ι = συν ηµ d. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 5. ΤΗΛ: 5-697667
- 66-7. Ν υολογίσετε τ ρκάτω ολοκληρώµτ: 5 ηµ συν = + d, β. Ι = d, γ. Ι 7 = συν( +) d. συν ηµ 8. Ν υολογίσετε τ ρκάτω ολοκληρώµτ: ηµ συν-ηµ. I = d, β. Ι = d, γ. Ι = συν( ln) d. συν - σν+ηµ 9. Ν υολογίσετε τ ρκάτω ολοκληρώµτ: ln. I = ( συν ηµ ) d, β. I = ( ln + ) d, γ. Ι = d, συν-ηµ ( ηµ-συν) ( -) δ. Ι = d, ε. Ι 5 = d, στ. I 6 = d. ηµ *. Ν βρείτε τη συνάρτηση f: R R γι την οοί ισχύει: f ()-συνf () ηµ =, γι κάθε R µε f()=-. (f()= -ηµ ). Ν βρείτε τη συνάρτηση f: R R γι την οοί ισχύει: f () = f(), ν η γρφική της ράστση διέρχετι ό το σηµείο Α(, -ln). -+ f()=ln +. N βρείτε συνάρτηση f ργωγίσιµη στο (, + ) γι την οοί ισχύει: f () -f()= + ηµ, γι κάθε (, + ) κι f()=. (f()=-( +)συν+ηµ). Ν βρεθεί συνάρτηση f ργωγίσιµη στο (, + ) γι την οοί ισχύει: (ln+) f ()-f()= κι f()=. ln ( f()=ln+ln ln +, (, + ) *. Ν βρεθεί συνάρτηση f : R R ργωγίσιµη, γι την οοί ισχύει: ( +) (f()= +) f ()-f ()= κι f()=. 5. Έστω η συνεχής συνάρτηση f :R R γι την οοί ισχύουν: f()= κι f()= ( -) + i. Ν βρείτε τον τύο της f. ii. N µελετήσετε την f ως ρος την µονοτονί. iii. Ν λύσετε την εξίσωση = +. f()d-c. i. f()=, ii. f ր στο R, iii. = + 6. Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ: = ( + -) d, β. Ι = ( ηµ-συν) d, γ. Ι = -ηµ d. συν ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 5. ΤΗΛ: 5-697667
- 67-7. Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ: + = d, β. Ι = lnd, γ. Ι = ηµd, ++ 7 - δ. Ι = d. + 8. Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ: 5 = d, β. Ι = συν d, γ. Ι = ηµ d, δ. Ι = d. ln 9. Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ: (. ln, β. 8, γ., δ. ) 6 5 εφ - = d, β. Ι = d, γ. Ι = d, δ. d. 5 6 συν +. Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ: συν( ln) = ( -ηµ) συνd, β. Ι = d, γ. Ι = d. +. Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ: ln- - 6 +- ηµ Ι = d, Ι = d, Ι = d, Ι = d. 6 ln + - +ηµ. ίνετι η συνάρτηση f µε f συνεχή στο R γι την οοί ισχύει: ( f()+f ()) ηµd=. Αν η γρφική ράστση της f διέρχετι ό το σηµείο Α(, ), ν οδείξετε ότι η ράγωγος της f έχει τουλάχιστον µί ρίζ στο διάστηµ (, ). ( Βρίσκω ότι f()= κι εφρµόζω Θ. Roll στο [, ]). Αν η συνάρτηση f έχει συνεχή δεύτερη ράγωγο στο διάστηµ [, ], > κι ικνοοιεί τις υοθέσεις του θεωρήµτος Roll στο διάστηµ υτό, ν οδείξετε ότι:. f ()d=f (). β. Αν ξ είνι το σηµείο του διστήµτος (, ) ου ροκύτει ό την εφρµογή του θεωρήµτος Roll στη συνάρτηση f, ν οδείξετε ότι υάρχει o (, ) τέτοιο, ώστε: f ( o )= f ()d. -ξ. Έστω µί συνάρτηση f:[, ] R µε συνεχή δεύτερη ράγωγο στο [, ] κι γι την οοί ισχύει: Ι= f ()d=. Ν οδείξετε ότι υάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε f (ξ)=f (). (Θ. Roll στην h()=f()-f (), στο [, ]) ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 5. ΤΗΛ: 5-697667
- 68-5. Έστω ότι η συνάρτηση f έχει συνεχή δεύτερη ράγωγο στο R κι οι εφτόµενες της γρφικής ράστσης της f στ σηµεί (, f()) κι (β, f(β)) σχηµτίζουν µε τον άξον χ χ γωνί 5 ο. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ: β Ι= f ()f ()d. () 6. Αν η συνάρτηση f έχει συνεχή δεύτερη ράγωγο στο [, ] κι η γρφική της ράστση έχει στ σηµεί Α(, ) κι Β(, ) εφτόµενες ράλληλες στον f ()-f() άξον χ χ, ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ: d. Ι= (-) 7. i. ίνοντι οι συνρτήσεις f κι g: R R όου η g είνι -. Αν ισχύει ότι fog ()=, R. ( gof )()= γι κάθε R, ν οδείξετε ότι κι ii. ίνετι η συνεχής συνάρτηση f:r R γι την οοί ισχύει: f ()+f()=, R.. N υολογίσετε το ολοκλήρωµ Ι= f()d. (ii. Θέτω =g(ψ) κι στηριζόµενοι στο i. ερώτηµ βρίσκουµε 5/) 8. i. ίνοντι οι συνρτήσεις f κι g: R R όου η g είνι -. Αν ισχύει ότι fog ()=, R. ( gof )()= γι κάθε R, ν οδείξετε ότι κι ii. ίνετι η συνεχής συνάρτηση f:r R γι την οοί ισχύει: f() +f()=+, R. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ: Ι= f()d. 9. ίνετι η συνεχής συνάρτηση f:r R γι την οοί ισχύει: f( +)= γι κάθε R.. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ: Ι= f()d. (ii. Όως ροηγούµεν, βρίσκω οτέλεσµ /) (Θεωρούµε g()= +, είνι g -, κι δείχνουµε κτρχάς ότι τ ολοκληρώµτ f()d κι f(g())g ()d είνι ίσ. Αοτέλεσµ 5/). ίνετι η συνάρτηση f ργωγίσιµη κι - στο διάστηµ [, β]. Αν θεωρήσουµε ότι η f - είνι συνεχής στο [f(), f(β)], ν οδείξετε ότι: β f()d+ f(β) f(β) - f ()d=βf(β)-f(). f() - (Γι το ολοκλήρωµ Ι= f ()dθέτουµε f - ()=ψ άρ =f(ψ) κι d=f (ψ)dψ, κ.λ..). ίνετι η συνάρτηση f()= +-5, R.. Ν οδείξετε ότι η f ντιστρέφετι. f() β. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ: - - Ι= f ()d. - (). ίνετι συνάρτηση f γνησίως ύξουσ στο [, ] της οοίς η γρφική ράστση διέρχετι ό τ σηµεί Α(, 8) κι Β(, ). Ν οδείξετε ότι - f()d+ f ()d=. 8 - (Γι το ολοκλήρωµ Ι= f ()dθέτουµε f - ()=ψ άρ =f(ψ) κι d=f (ψ)dψ, κ.λ..) 8 ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 5. ΤΗΛ: 5-697667
- 69 -. ίνετι συνάρτηση f ργωγίσιµη κι γνησίως µονότονη στο [, β] µε f()= κι β β - f(β)=β. Ν οδείξετε ότι: f ()d= -f() d.. ίνετι η συνεχής συνάρτηση f:[-, ] R µε f()=7.. Ν βρείτε το εδίο ορισµού Ag της συνάρτησης g()=f(-)+f(+). β. Αν ισχύει ότι: f (-)=f (+), A g ν οδείξετε ότι η g είνι στθερή κι ν βρείτε τον τύο της. γ. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ: Ι= f()d. (β. g()=, γ. 7) 5. ίνετι η συνεχής συνάρτηση f:r R.. Ν οδείξετε ότι: f()d= f(-)d. β. Ν υολογίσετε τ ολοκληρώµτ: συν ηµ Ι = d, I = ln( +εφ) d, I = d. συν+ηµ +συν 6. ίνετι η συνεχής συνάρτηση f:r R.. Ν οδείξετε ότι: β β f()d= β. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ: f(+β-)d. (. Θέτω -=u, β.ι = /, Ι = ln, I = ) 8 6 (. Θέτω +β-=u, β. Ι=/) Ι= d. +εφ 7. ίνετι η συνάρτηση f:r R δύο φορές ργωγίσιµη στο R γι την οοί ισχύει: f()= κι f (-)=-f (), R. Ν υολογιστεί το ολοκλήρωµ: Ι= f()d. (Ι=8) 8. ίνετι η συνάρτηση f, συνεχής στο, γι την οοί ισχύει: f(+ψ)=f()+f(ψ)+ηµψ+ψηµ,,ψ R.. Ν οδείξετε ότι: f()+f(-)=ηµ, R. β. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ Ι= f() d. (Ι=) 9. ίνετι η συνάρτηση f συνεχής στο [, β] µε f(-)+f(β-) γι κάθε [, β]. β f(-) β f(β-) β-. Ν οδείξετε ότι: d= d=. f(-)+f(β-) f(-)+f(β-) β. Ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ 5 συν Ι= d. 5 5 συν +ηµ (. Θέτουµε +β-=u, β. Ι=/) ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 5. ΤΗΛ: 5-697667
- 7-5. ίνετι η συνεχής συνάρτηση f: R R γι την οοί ισχύει: β β β f() f()d d=6 f()d-5. β Ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ: f()d. (5 ή ) 5. ίνετι η συνεχής συνάρτηση f στο [, β] γι την οοί ισχύει: β β β f() f(u)d du= f()d. β Ν υολογίσετε το ολοκλήρωµ: f()d. ( ή ) 5. Ν βρείτε το εδίο ορισµού των συνρτήσεων: - - ln(t-) t- +. F()= t-dt, β. F()= - d, γ. F(t)= d, -t - - +ηµt δ. F()= dt. / t 5. Ν βρείτε το εδίο ορισµού των συνρτήσεων: - ln( t-) - ln( t-). f()= dt, β. g()= dt. - - 5-t 5- (. [7/, 6], β. (, ), γ. (, 5), δ. (, )) (. (, 6), β. (, 5)) 5. Ν βρείτε το εδίο ορισµού κι την ράγωγο των συνρτήσεων µε τύο:. ln( -) - t ln + f()= t dt, β. f()= t-dt, γ. f()= t -t dt. (. >, β. (, /], γ. R ) 55. Ν βρεθεί η ράγωγος των συνρτήσεων: ηµ ( t).. f()= ηµtdt, β. f()= dt, γ. f()= συν( -t) dt. +t ηµ (. ηµtdt+ ηµ, β., γ. (-)συν(- )-συν) + 56. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο R, η γρφική της ράστση τέµνει τον άξον ψ ψ στο σηµείο Α(, ) κι ισχύει: f(t)dt= ηµ, R, ν οδείξετε ότι η εξίσωση f()= έχει τουλάχιστον µί ρίζ στο διάστηµ (, 9). (Βρίσκω ρώτ ότι f(9)=-/ κι µετά Θ. Bolzano στο [, 9]) 57. είξτε ότι η γρφική ράστση της συνάρτησης f()= εφάτετι στον άξον χ χ στην ρχή των ξόνων. -t t dt, R 58. Aν η συνάρτηση f είνι δύο φορές ργωγίσιµη στο R κι ισχύει: f()+ (-t)f(t)dt=+β,,, β R, ν οδείξετε ότι f ()+f()= γι κάθε R. (Βρίσκω ότι f ()= κι f()=) ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 5. ΤΗΛ: 5-697667
- 7-59. ίνετι η συνάρτηση f ργωγίσιµη στο (, + ) γι την οοί ισχύει: (+) f()= -+ f(t)dt, γι κάθε >. Aν η γρφική ράστση της f διέρχετι ό το σηµείο Μ(, ), ν βρείτε τον + τύο της f. (f()= ( +) -+ln ) 6. ίνετι η συνεχής συνάρτηση f: [, + ) R κι η συνάρτηση g()= t f t dt,. Ν οδείξετε ότι η g() είνι συνεχής στο o =. tf()dt, > ( Βρίσκω ότι: g()= κι µε τον ορισµό βρίσκω ότι είνι συνεχής στο ) f(), = 6. ίνετι η συνεχής συνάρτηση f: (, + ) R. Αν ισχύει: f(t)dt=++ln f()d, >, ν βρείτε την τιµή του R κι τον τύο της f. (=-, f()= +- ) 6. N βρείτε τον τύο της συνεχούς συνάρτησης f:r R γι την οοί ισχύει: i. f()= + f()d, ii. f()=- f()d, - iii. f()= - f()d. (f()= +, f()=-/, f()= -) 6. N βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f:r R, στις ρκάτω εριτώσεις: -t - - - i. ν f(t)dt= - - f(),, R, t -u ( ) ii. ν f(t)dt= + f(t-u)du dt, R 6. N βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f:r R, ν ισχύει: f(t) f()= ( + ) + dt γι κάθε R. t + (f()=(-+6 )(+ )) 65. N βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f: (, + ) R, ν ισχύει: f()- f(t)dt=ln -, >. f = 66. N βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f:r R, ν ισχύει: - -t i. f (t)dt= -f(), R, ii. f()= + f(-t)dt, R. i. f()=(-), ii. f()= - -+ ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 5. ΤΗΛ: 5-697667
- 7-67. N βρεθεί συνεχής συνάρτηση f : (, ) (, + ) γι την οοί ισχύει: ( ) ηµ f(t)dt =, <. f()=, < - 68. ίνετι η συνεχής συνάρτηση f : [, + ) Rκι ο ργµτικός ριθµός, ώστε γι κάθε [, + ) ν ισχύει η σχέση: f(t)dt-f()=.. Ν βρεθεί η τιµή της f στο. β. Αν η γρφική ράστση της f έχει στο σηµείο της Α(, ) εφτόµενη ράλληλη στην ευθεί ψ=6+, ν βρεθεί ο τύος της f(). (. f()=, β. Βρίσκω = κι ό εκεί f()=+, ) 69. N βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f: R (, + ), ν ισχύει: f(t) f()= ( + ) + dt. +t f() Θέτω g()=, R, f()= ( + ) + - *.*.*.*.*.*.*.*.* *.*.*.*.*.*.* *.*.*.*.* *.*.* * ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 5. ΤΗΛ: 5-697667