ΟΚΟΙ - ΠΛΑΙΣΙΩΤΟΙ ΦΟΡΕΙΣ

Κεφάλαιο ΟΚΟΙ - ΠΛΑΙΣΙΩΤΟΙ ΦΟΡΕΙΣ.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η µέοος των πεπερασµένων στοιχείων όπως γνωρίζουµε προλε από µια γενίκευση των µεόων επίλυσης των ραβωτών φορέων, σε προβλµατα µηχανικς που αφορούν τα επίπεα παραµορφώσιµα σώµατα [-5]. Στη συνέχεια η µέοος των πεπερασµένων στοιχείων απέκτησε οικουµενικό χαρακτρα σε τρόπο που να µπορεί πλέον να επιλύει µια µεγάλη σειρά προβληµάτων των παραµορφώσιµων σωµάτων. Οι µέοοι αυτοί είναι εφαρµόσιµοι και στην περίπτωση των ραβωτών φορέων. Έτσι οι ακαµψίες των στοιχείων (ράβων) προκύπτουν µε τη βοεια των παρεµβολικών τύπων που περιγράψαµε και όχι βάσει εωρσεων που στηρίζονται στην αντοχ των υλικών (ηλα στις σχέσεις κοµβικών φορτίων-κοµβικών µετατοπίσεων που ίνει η εξίσωση ελαστικς γραµµς)... ΡΑΒ ΟΙ ΣΕ ΣΤΡΕΨΗ Θα µελετηεί η καταπόνηση µιας ευύγραµµης ράβου µε κυκλικ ιατοµ Α και µκος που υποβάλλεται στα άκρα της,j στις στρεπτικές ροπές M,M j (Σχ..), (όπου για λόγους ισορροπίας M M j ). Όπως στην., εωρούµε το τοπικό σύστηµα συντεταγµένων µε αρχ το σηµείο τέτοιο ώστε ο άξονας των να συµπίπτει µε τη ιεύυνση της ράβου και µε φορά από προς j. Εποµένως, µια οποιαποτε στροφ της ιατοµς στο το- M j M j Σχµα. Ράβος σε στρέψη j

οκοί -Πλαισιωτοί φορείς πικό σύστηµα αξόνων είναι Οπότε ( ) ( ξ ) + ξj ξ (.) ( ) [ ξ ξ], j [ ] ξ ( ) N ( ) N ( ) j j N (.) Οι παραµορφώσεις α ίνονται από τη σχέση ( ) ε γ rφ r d r [ ] d j σε µητρωϊκ µορφ ε B (.) όπου γ η ιατµητικ παραµόρφωση, r η ακτίνα και φ η ανά µονάα µκους στροφ (συστροφ). Και οι τάσεις είναι µr σ Dε [ ] σ DB (.) όπου D είναι ένα µητρώο ( ), ηλα D µ (.5) Με µ συµβολίζουµε το µέτρο ιάτµησης. Παρατηρούµε την αναλογία που υπάρχει µεταξύ ράβου σε στρέψη και ράβου ικτυώµατος, οπότε κατ αναλογία το µητρώο ακαµψίας του στοιχείου (πρβλ. σχέση (.9)) α είναι r µ k µ α [ ] α dv α α V Τ Τ εποµένως µj k rd όπου, µj η ακαµψία της οκού σε στρέψη και J η πολικ ροπ αράνειας. (.6)

οκοί -Πλαισιωτοί φορείς.. ΟΚΟΣ ΣΕ ΑΠΛΗ ΚΑΜΨΗ ίνεται µια οκός µκους, σταερς ιατοµς Α, µέτρου ελαστικότητας Ε, αφόρτιστη στο άνοιγµά της (j). Θεωρείται όπως και προηγούµενα ένα τοπικό σύστηµα αξόνων µε αρχ το σηµείο τέτοιο ώστε ο άξονας των να συµπίπτει µε τη ράβο j µε φορά από το στο j. Οι άξονες, συµπίπτουν µε τους κύριους άξονες της ιατοµς (Σχ..). Το πείο των µετατοπίσεων ορίζεται από µια αξονικ µετατόπιση κατά την ιεύυνση του άξονα Ο και ένα βέλος κατά τον άξονα O. Έστω ότι προσωρινά αγνοούµε τις αξονικές επιράσεις. Οπότε, η οκός α έχει σε κάε άκρο της υο βα- µούς ελευερίας (Σχ..), ηλα τα βέλη, j και τις στροφές, j, όπου d d, j d d Το βέλος () εκφράζεται από τη σχέση () a +a +a +a Εφαρµόζοντας τις οριακές συνκες βρίσκουµε () ( + ) ( ) ( ) ( ) ξ ξ +ξ ξ +ξ ξ+ξ +ξ ξ j j Z j Σχµα. j j j j j Σχµα. j j (.7) (.8) (.9) όπου ξ (.) Αν λάβουµε υπόψη και την αξονικ ύναµη, τότε σύµφωνα µε τη σχέση (.6) η αξονικ µετατόπιση είναι ()( ) ξ+ξ (.) j Εποµένως η συνολικ έκφραση για τη µετατόπιση είναι

οκοί -Πλαισιωτοί φορείς ε ( ) ξ ξ ( ) ξ + ξ ξ( ξ + ξ ) ξ ( ξ) ξ ( ξ ) j j j ( ) N( ) [ N ( ) ( ) N j ] (.) j j j Οπότε, οι παραµορφώσεις ίνονται από τη σχέση ( ) ξ ξ ξ ξ ( ) 6( ) ( ) 6 ( ) ( ) ε B Επίσης, οι τάσεις ίνονται από τη σχέση σ Dε E ( ) ( ) ( ) ( 6 ξ ξ 6 ξ ξ ) j j j j j j (.) σ DB E B (.) Υποέτοντας ότι η οκός αποτελεί τµµα ενός επίπεου φορέα (η παραοχ αυτ είναι απόλυτα ικαιολογηµένη αφού οι τάσεις και οι µετατοπίσεις ενεργούν πάνω σ ένα επίπεο), το ιάνυσµα των τοπικών µετατοπίσεων συνέεται µε το ιάνυσµα των µετατοπίσεων στο καολικό σύστηµα q (Σχ..) µε µια σχέση της µορφς Σχµα. j j j j

οκοί -Πλαισιωτοί φορείς 5 j j j u υ u j υ j j aq (.5) όπου α το µητρώο στροφς από το τοπικό σύστηµα στο καολικό και cφ nφ j j τα συνηµίτονα κατεύυνσης της οκού. Αντικαιστώντας τη σχέση (.6) στις σχέσεις (.) και (.) έχουµε ε Baq Bq σ DB a q DB q Εποµένως το µητρώο ακαµψίας του στοιχείου είναι ίσο µε T Τ T k B DBdV Eα BBdV α V V (.6) T k α Τ k α, k E BBdV (.7) όπου k το µητρώο ακαµψίας του στοιχείου στο τοπικό σύστηµα αξόνων. Η σχέση (.7) µπορεί να χρησιµοποιηεί απ ευείας (χωρίς να αποειχεί) και επιτρέπει την αναγωγ ενός µητρώου-τανυστ από ένα σύστηµα αξόνων σε ένα άλλο. Άρα, το µητρώο ακαµψίας του στοιχείου µπορεί να υπολογισεί κατ αρχάς στο τοπικό σύστηµα αξόνων και κατόπιν µε τη βοεια του τύπου αναγωγς (.7) να προσιορισεί στο καολικό σύστηµα συντεταγµένων (*). Η αναλυτικ έκφραση του µητρώου ακαµψίας k αξόνων ίνεται από τη σχέση 6 E συµµετρικό k 6 6 6 V στο τοπικό σύστηµα (.8) (*) Όπως µπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό, η πρώτη από τις σχέσεις (.7) για αναγωγ από το τοπικό στο καολικό σύστηµα έχουν γενικ εφαρµογ και ισχύει για κάε είος στοιχείου.

οκοί -Πλαισιωτοί φορείς 6 όπου, Ι η κύρια ροπ αράνειας ως προς τον άξονα της ιατοµς. Οπότε, το µητρώο ακαµψίας στο καολικό σύστηµα συντεταγµένων είναι k E + + + + + 6 6 6 6 συµµετρικό 6 6 6 6 + (.9) Επίσης οι κοµβικές υνάµεις του στοιχείου που οφείλονται σε κατανεµηµένα φορτία [Τ, T ] T είναι F T T T d + + (.) Στην περίπτωση οµοιόµορφα κατανεµηµένων φορτίων Τ και T η (.) παίρνει τη µορφ F T T T + + (.).. ΟΚΟΣ ΣΕ ΣΥΝΘΕΤΟ ΚΑΜΨΗ ΚΑΙ ΣΤΡΕΨΗ Η γενικ αυτ περίπτωση µπορεί να εωρηεί απλά σαν επαλληλία των προηγούµενων περιπτώσεων (. και.). Αν λοιπόν το µητρώο των µετατοπίσεων στο τοπικό σύστηµα συντεταγµένων είναι (Σχ..5)

οκοί -Πλαισιωτοί φορείς 7 j j j Z j j j j k E T Σχµα.5 [ ] j j j j j j (.) Τότε το µητρώο ακαµψίας στο τοπικό σύστηµα αξόνων [6] είναι µj συµµετρικό E 6 6 6 6 µj µj E E 6 6 6 6 (.) Παράειγµα. Να λυεί η αµφίπακτη οκός του σχµατος που φορτίζεται µε το φορτίο P. Για την P ανάλυση µε τη µέοο των Γ B L L P () ()

οκοί -Πλαισιωτοί φορείς 8 πεπερασµένων στοιχείων η οκός χωρίζεται σε υο πεπερασµένα στοιχεία, που ορίζονται από τους κόµβους, και, αντίστοιχα. Επίσης εωρείται το καολικό σύστηµα συντεταγµένων. Θεωρώντας τις σχέσεις (.8), (.9) ακόµα την (.) και λαµβάνοντας υπόψη ότι οι στρεπτικές και αξονικές υνάµεις εν υπεισέρχονται στο πρόβληµα (και άρα οι βαµοί ελευερίας του κάε κόµβου είναι ), το µητρώο ακαµψίας των στοιχείων () και () είναι k L 6 συµµετρικό E L L 6 L L L 6 6 L L k L 6 συµµετρικό E L L 6 L L L 6 6 L L Έτσι η σχέση που συνέει τις µετατοπίσεις στους κόµβους µε τα εξωτερικά φορτία που ασκούνται στους κόµβους είναι 6 6 L L L L 6 6 L L L L 6 6 6 + + P L L L L L L L L υ E 6 6 + 6 + L L L L L L L L 6 6 L L L L 6 6 L L L L Η επίλυση του συστµατος ίνει υ PL L E L L L L L L [ + + ( + ) ] LL ( L L) L + L + LL ( L + L ) P E [ ] Έχοντας υπολογίσει τις µετατοπίσεις των κόµβων, οι υνάµεις που αναπτύσσονται σε µεµονωµένα στοιχεία προκύπτουν από τη σχέση (.6), που συνέει τις υνάµεις µε τις µετατοπίσεις των κόµβων του στοιχείου. Στην περίπτωση του στοιχείου () προκύπτει

οκοί -Πλαισιωτοί φορείς 9 6 6 L L L L Q 6 6 M E L L Q L 6 6 υ M L L L L 6 6 L L Αντίστοιχα, υπολογίζονται και οι υνάµεις που αναπτύσσονται στον κόµβο χρησιµοποιώντας την εξίσωση που αφορά το στοιχείο (). Παράειγµα. ίεται το πλαίσιο του σχµατος, όπου Α,,, και ΕGN/ σταερά για όλα τα µέλη του πλαισίου. Το πλαίσιο υποιαιρείται σε τρία πεπερασµένα στοιχεία. Έστω () το καολικό σύστηµα συντεταγµένων στο οποίο αναφέρεται το πλαίσιο και (, ) τα τοπικά συστ- µατα συντεταγµένων των στοιχείων. Λαµβάνοντας υπόψη την (.9), τα µητρώα ακαµψίας των στοιχείων του πλαισίου στο καολικό σύστηµα συντεταγµένων είναι kn/ 6 5 kn B 5 kn Γ () () ()

οκοί -Πλαισιωτοί φορείς, 55, 99, 6785 συµµετρικό 7,, 87, 58 k, 55, 99,, 55, 99, 6785, 87, 99, 6785,, 87, 5759,, 87, 58, 657, 6 συµµετρικό 7, 7, 58 k, 657, 657, 6, 7, 6, 7, 5759, 7, 58, 6, 657 συµµετρικό 7, 7, 58 k, 6, 7, 6, 657, 657, 7, 5759, 7, 58 Το οµοιόµορφο φορτίο στο στοιχείο κατανέµεται εξίσου στους κόµβους και. ηλα, το µητρώο των εξωτερικών φορτίων στο στοιχείο στο τοπικό σύστηµα του στοιχείου, είναι 68, 8 555, 6 S 68, 8 555, 6 Εποµένως, το µητρώο των εξωτερικών φορτίων του στοιχείου στο καολικό σύστηµα είναι (για φ6 ο ). c6 n6, 6 6 68 8 9 n c,, Τ 555, 6 F α S c6 n6, n6 c6 68, 8 9, 555, 6 Οπότε η σχέση που συνέει τις µετατοπίσεις στους κόµβους µε τα εξωτερικά φορτία που εξασκούνται σ αυτούς είναι

οκοί -Πλαισιωτοί φορείς. 55. 99.. 55. 99. 9. 99. 6785. 87.. 99 6785.. 87 555. 6.. 87. 55.. 87. 5759. 55. 99.. 788. 99.. 657 u 79.. 99 6785.. 87. 99. 65. 87. 6. 7 υ 555. 6 87 5759 87 6 7 5759 7........ 657.. 87. 7. 6. 7 u. 6. 7. 87. 7 657. υ 5. 7. 5759. 7. 7. 6. 7. 5759. 6. 7. 6. 7. 657. 657. 7. 5759.7 58. Από την επίλυση του συστµατος προκύπτουν τα u, υ,, u, υ,. Κατόπιν χρησιµοποιώντας την σχέση S α k q ( S [ ]) T N Q M N Q M j j j υπολογίζονται οι εσωτερικές υνάµεις που αναπτύσσονται στους κόµβους των στοιχείων..5. ΛΟΞΕΣ ΣΤΗΡΙΞΕΙΣ Έστω ότι το επίπεο πλαίσιο του Σχ..6α, στην επίπεη εν γένει κατασκευ του φ φ (α) (β) Z (γ) Σχµα.6 Σχηµατισµός µε λοξές στηρίξεις

οκοί -Πλαισιωτοί φορείς Σχ..6β (ες επίσης Σχ..6γ) είναι γνωστές οι µετατοπίσεις του κόµβου στο τοπικό σύστηµα,,. Η κύλιση του κόµβου που το επίπεο κύλισς της εν είναι κάετο σ' έναν από τους άξονες του καολικού συστµατος συντεταγµένων ονοµάζεται λοξ στριξη. Στην περίπτωση αυτ πρέπει να γίνει στροφ του συστµατος και µετά να εισαχούν οι οριακές συνκες στο τοπικό σύστηµα. Η σχέση που συνέει τις µετατοπίσεις των λοξών στηρίξεων ( u, υ, w, K ) στο τοπικό σύστηµα,, µε τις µετατοπίσεις στο καολικό σύστηµα,,z, ενός οποιουποτε στοιχείου είναι q α q (.) όπου α είναι το µητρώο στροφς που στη γενικότερη µορφ του, ίνεται από τη σχέση όπου α T K T K T K M M M O (.5) n T n (.6) n και (,,n ), (,,n ), (,,n ), τα ιευύνοντα συνηµίτονα των αξόνων,, ως προς το καολικό σύστηµα συντεταγµένων,,z. Στην περίπτωση επίπεου προβλµατος cφ n φ Τ n c (.7) φ φ Πρέπει να σηµειωεί ότι ο µητρωϊκός πολλαπλασιασµός (.) επηρεάζει µόνον εκείνους τους κόµβους του όπου υπάρχουν λοξές στηρίξεις. Οπότε, η σχέση (.6) που συνέει τις γενικευµένες κοµβικές υνάµεις του µε τις γενικευµένες µετατοπίσεις παίρνει τη µορφ όπου k q F (.8) Τ k α k α, F α F (.9) Ο µετασχηµατισµός (.8) πρέπει να εφαρµόζεται σε κάε στοιχείο όπου οι λοξές στηρίξεις εµφανίζονται πριν να προχωρσουµε στο σχηµατισµό του ολικού µητρώου ακαµψίας..6. ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΜΗΣΗΣ ΣΤΗΝ ΚΑΜΨΗ Βλέπε σχετικ παράγραφο στο βιβλίο.

οκοί -Πλαισιωτοί φορείς ΑΝΑΦΟΡΕΣ []. PRZEMENECK J.S. (968) Thr f Matr Structura na, McGraw-H, Nw rk. []. GHL. & NEVLLE.M. (977) Structura na, Scnd Edtn, Chapan and Ha, Lndn. []. McGURE W. & GLLGHER R.H. (979) Matr Structura na, W Nw rk. []. COTES R.C., COUTE M.G. & KONG F.K. (979) Structura na, Nn. [5]. DWE D.J. (98) Matr and Fnt Ent Dpacnt na f Structur, Carndn Pr-Ofrd. [6]. RMENKS.E. (99) Mdrn Structura na-th Matr Mthd pprach, McGraw-H. [7]. MNDLN R.D. (95) nfunc f Rtar nrta and Shar and Fura Mtn f trpc Eatc Pat, J. pp.mch., pp. -8.