OBLIKOVANJE POJMA FUNKCIJE UČNO GRADIVO dr. Pear Pavešić Fakulea za maema=ko in fiziko Univerza v Ljubljani Ljubljana, 2009
Kazalo 1. Uvod 3 2. Prvi koraki 20 3. ABCD vprašanja 24 4. Elemenarne funkcije 40 poence in koreni 44 eksponen= in logarimi 51 kone in krožne funkcije 53 5. Značilnos= grafa 64 6. Nekaj pomembnih sesavljenih funkcij 90 dušeno nihanje 88 logis=čna krivulja 90 Gaussova krivulja 92 7. Branje formul 94 KAZALO 2
UVOD Funkcija oziroma funkcijski odnos dveh ali več količin je osrednji pojem v maema=ki. Uvajanje ega pojma poeka posopno od začeka šolanja, sprva neformalno, eksplicino pa na predmeni sopnji osnovne šole in v srednji šoli (in seveda udi kasneje, na univerzi). Na začeku eksplicinega uvajanja so funkcije podane abelarično ali s pomočjo prepros=h formul. Zelo kmalu se obravnava udi grafična ponazoriev funkcije. Kasneje se posopno vpeljujejo kvadra=čna funkcija in drugi polinomi, poem še kone, eksponenne in logariemske funkcije. Med em procesom bi moralo udi razumevanje pojma funkcije napredova= od enačenja funkcije s abelo očk ali z enosavno formulo do sopnje, na kaeri bi funkcijo dojemali ko enovi= maema=čni objek, ki ga obravnavamo skozi njegove globalne lasnos=. Kaže pa, da emu ni ako. O pomankljivem razumevanju poročajo učielji ako v gimnazijah ko na univerzieni ravni. Tudi iz rezulaov raziskave TIMSS Advanced se jasno vidi, da se naši dijaki bisveno boljše odrežejo pri računskih nalogah ko pri =s=h, ki zahevajo naprednejše razumevanje pojma funkcije. UVOD 3
Kaže, da vzrajanje na računski ru=ni ne pripelje samo po sebi, do napredka in globljega razumevanja pojma funkcije. Ta pa je predpogoj za suvereno delo s funkcijami ko je jasno razvidno iz ševilnih zgledov. Ali orej lahko rdimo, da maema=čno znanje naših dijakov sloni na rhlih emeljih? Odgovor ni prepros. Očino je, da dijaki lahko pridobijo precejšnjo računsko sprenos kljub le bazičnemu razumevanju pojma funkcije. Naučijo se risa= grafe funkcij, udi če razumejo prav dobro, zakaj določanje ključnih očk funkcije pripelje do boljšega rezulaa ko povezovanje očk, izračunanih pri naključno izbranih vrednos=h argumena. Znajo določa= inverzne funkcije, odvaja= in inegrira= elemenarne funkcije, obravnava= numerične podake, preskušali sa=s=čne domneve in vrso drugih ru=nskih in manj ru=nskih nalog. Občasno pa se nepričakovano zaakne pri vmesnem koraku kakšne daljše naloge: morda se ne da določi= kompoziuma, področje definicije je napačno, ali se ne izide kakšna druga elemenarna operacija. Pomankljivo razumevanje orej zlahka spregledamo, še posebej kadar preverjamo samo računsko sprenos. UVOD 4
Zaveda= se moramo, da današnje pojmovanje funkcij ni nasalo v hipu, ampak se je razvijalo in gradilo skozi soleja. Odsekoma definiranih funkcij dolgo niso priznavali za eno funkcijo, nejasna je bila vloga definicijskega območja in ako naprej. To seveda nikakor ni usavilo razvoja maema=ke in njenih aplikacij, emveč je posopoma pripeljalo do pojma funkcije ko ga maema=ki razumemo danes. Pri em obsaja neka dvojnos, saj formalna definicija funkcije pravi, da je o predpis, ki očkam definicijskega območja enolično prireja vrednos= iz kodomene (in o definicijo slišijo udi dijaki). Obenem pa maema=ki opera=vno pojmujemo in obravnavamo funkcije ko celoe, ko elemene nekega absraknega prosora. Da dojamemo, da gre za dva aspeka enega pojma je poreben miselni preskok in posopoma dosežena maema=čna zrelos. V jeziku učieljev maema=ke, ki jim je a dvojnos jasna, je orej pomen besede funkcija pogoso različen od pomena, ki ga is= besedi pripisujejo dijaki. Ni preseneljivo, da nas včasih, kljub obojesranskem rudu, dijaki preproso ne razumejo! UVOD 5
Sčasoma sem si urdil prepričanje, da bi moralo dojemanje pojma funkcije ko celoe, ko enoviega objeka na kaerem gradimo celoni maema=čni apara, bi= eden osnovnih `mea'- ciljev poučevanja maema=ke. To je namreč bisvena sesavina jezika sodobne maema=ke, je osnova na kaeri emelji zanesljiva in usvarjalna uporaba maema=ke v ehniki in naravoslovju. Ko vsako emeljno znanje bo osalo udi poem, ko bodo pozabljene formule in računski posopki. Nenazadnje, obravnavanje zapleenih pojmov in procesov ko enovi=h objekov er njihovo proučevanje ko sesavnih delov množic podobnih ali sorodnih objekov je eden najmočnejših raziskovalnih prijemov, kaerega uporabnos sega daleč izven okvira maema=ke. Skraka kaže, da maema=čne izobrazbe, pri kaeri ni doseženo usreznega pojmovanja funkcij ne moremo še= za povsem uspešno. Kako doseči a cilj? Moramo ga sisema=čno ugradi= v pouk, ako eksplicino ko implicino. Eksplicino pomeni, da vsakič, ko gradimo našo razlago na pojmovanju funkcije ko celoe o poudarimo in učencem razložimo zakaj je a korak nujen in morda celo ključen. Implicino pa oblikujemo pojmovanje funkcij skozi načrno izbrane naloge in vaje. UVOD 6
Oglejmo si nekaere sandardne maema=čne vsebine, pri kaerih je naprednejše pojmovanje funkcije bisveno za razumevanje snovi: Graf je upodobiev funkcije ko celoe. Da bodo učenci zares razumeli, kaj počnejo, ko rišejo grafe funkcij, jih moramo prepriča=, da so lasnos=, ki jih upodabljamo (monoonos, ukrivljenos, rend na robu definicijskega območja), nekakšne osnovne obrazne poeze funkcije. Brez ega bodo na določanje grafa še naprej gledali ko na povezovanje dokaj poljubno izbranih očk. Enačbe in neenačbe er siseme enačb in neenačb lahko pogoso lažje in z več razumevanja rešimo grafično. Pri em je ključno, da učenci dojamejo kako enačbo oziroma neenačbo upodobimo s pomočjo nekega geomeričnega objeka, na primer premice ali kake splošnejše krivulje. UVOD 7
Učenci imajo pogoso ežave, ko morajo pojasni= zvezo med neprerganosjo grafa in definicijo zveznos=. To ne preseneča, saj morajo poveza= lokalno definicijo zveznos= z globalno podobo grafa. Nasploh je zveznos prva pomembna globalna lasnos= funkcije, ki jo obravnavamo, zao je vredno naančno pojasni=, kako je zveznos funkcije v neki očki odvisna od funkcijskih vrednos= v bližnjih očkah. Razni numerični posopki prav ako pogoso slonijo na obravnavanju funkcije ko celoe. Na primer, pri približnem reševanju enačbe z bisekcijo razpolavljamo definicijsko območje funkcije in se posopoma približujemo rešivi. Pri numeričnem inegriranju obravnavamo abelo funkcijskih vrednos= ko senco neznane funkcije, ki jo skušamo dovolj naančno ugani= in jo nao inegrira=. Škoda je, če a korak osane zamegljen ko je o primer pri sandardnih izpeljavah. Podobno velja udi za razne meode za izravnavanje numeričnih podakov (npr. regresijo). UVOD 8
Tudi pri verjenos= pride do izraza dojemanje funkcije ko celoe. Pri em je naježji miselni preskok z obravnavanja verjenos= posameznih dogodkov k porazdelivam. Za lažje razumevanje je korisno porazdelive vpelja= ko še en primer združive posameznih vrednos= (j. posameznih verjenos=) v funkcijo (porazdeliev, oz. njeno gosoo). Tudi marsikaera uporaba funkcij emelji na razumevanju funkcije ko celoe. Geomerični objek (krivuljo, ploskev,...) pogoso kar enačimo s funkcijo, geomerične operacije pa prevedemo na operacije na pripadajoči funkciji ko celo=. V naravoslovju, fizikalnim, kemijskim in drugim zakonom usrezajo funkcije, razumevanje zakona pa je razumevanje funkcije ko celoe, ne ko skupka funkcijskih vrednos=. UVOD 9
Primere, kjer je globlje dojemanje funkcij bi lahko še naševali, vendar je že zdaj jasno, zakaj je porebno učence posopoma spravi= do razumevanja funkcije ko celoe in usreznega operiranja s funkcijami in funkcijskimi operacijami. Cilj, ki ga zasledujemo je precej zmuzljive narave: vsebine se ne da neposredno predava=, hkra= pa je ežko oceni=, v kolikšni meri je dosežen. Našeli smo več primerov, kdaj bi bilo korisno med poukom izrecno poudari= dojemanje funkcije ko celoe, kdaj bi morali učence eksplicino opozori=, da gre za pomemben korak v razmišljanju in jim pus== dovolj časa, da njegovo vsebino vsaj do neke mere dojamejo. Jasno pa je, da sama razlaga ex cahedra ni dovolj. Porebne so udi prak=čne vaje, ki naj učencem pomagajo pri em miselnem preskoku. Navedimo nekaj =pičnih primerov. UVOD 10
Iz danega grafa prebra= lasnos= funkcije in oceni=, kaeremu razredu verjeno pripada z grafom podana funkcija. Narisa= graf, ki predsavlja neko dogajanje ali iz nabora podobnih grafov izbra= =sega, ki predsavlja dano dogajanje. Te naloge naj ne zahevajo računanja ampak le kvalia=vni premislek za kaerega morebine privzeke šuden opredeli po lasni oceni (npr. Kako narašča gladina ekočine, ki jo očimo v posodo določene oblike, kako narašča emperaura segrevane posode ali kako se spreminja hiros dirkalnika na sezi dane oblike). Narisa= graf funkcije po nareku ali komu drugemu narekova= obliko grafa. Smisel e dokaj zabavne vaje je, da učenci sami ugoovijo kaere globalne lasnos= morajo upoševa=, da dosežejo zadovoljiv rezula in da si pri em lahko učinkovio pomagajo, če obliko posameznih odsekov grafa primerjajo z grafi sandardnih osnovnih funkcij. UVOD 11
Za funkcijo podano z grafom narisa= graf odvoda in primi=vne funkcije. Komponira= funkcije, ki niso podane z eksplicino formulo (npr. funkcije podane odsekoma, z grafom, implicino,...). Čeprav nekaere od naše=h nalog vadijo pomembne sprenos=, jih v praksi redko zasavljamo. Včasih se jim izognemo, ker so računsko prezahevne, drugič pa morda zaradi nelagodja, da je naloga le približno formulirana, ali da ni dobro definirano, kaj je prava rešiev. Omenjene ovire niso nepremagljive: pri računanju si v največji možni meri pomagajmo z računalnikom in upoševajmo, da bodo naši dijaki svoje maema=čno znanje pogoso uporabljali za reševanje le približno definiranih problemov z večimi možnimi rešivami. Predvsem pa ne pozabimo, da primarni namen ovrsnih nalog ni v em, da se jih dijaki naučijo ru=nsko reševa=, ampak da jim pomagajo na po= k globljem razumevanju pojma funkcije. UVOD 12
ZGLEDI Na reh zgledih bomo ponazorili kako celo pri navidez ru=nskih nalogah šele obravanje funkcije ko celoviega objeka omogoča, da se uspešno spopademo z nalogo in jo rešimo. Naloge le malo odsopajo od ru=nskih: pri prvi bomo izračunali kompozium dveh funkcij, od kaerih bo ena podana odsekoma; pri drugi bomo skicirali graf funkcije pri čemer bomo uporabili le lasnos= osnovnih funkcij (orej brez uporabe odvodov); pri reji bomo skicirali odvod funkcije, vendar funkcija ne bo podana s formulo emveč z grafom. UVOD 13
Zgled 1 Izračunaj kompozium g! f funkcij f ( x) = x 2 1 in g( x) = x x, za 2, za x 1 x > 1 Komponiranje funkcij podanih s formulo je zelo enosavno: v formuli za g črko x na vseh mes=h nadomes=mo s formulo za f in poem poenosavimo dobljeni izraz, kadar je o porebno. Ta posopek je orej povsem mehaničen. V primeru zgornje naloge pa ni ako, saj je porebno ugoovi=, kaero pravilo za funkcijo g moramo uporabi=. Pri em je porebno doje=, da je g definirana na vrednos=h funkcije f, da je skraka kompozium definiran za =se argumene x, pri kaerih so vrednos= f(x ) vsebovane v definicijskem območju funkcije g (ne pa za =se, pri kaerih je definiran g, kar je pogosa napaka). Pri reševanju e naloge je porebno razume=, da je področje definicije bisvena sesavina opisa funkcije. UVOD 14
Pri definiciji funkcije g so pomembna ri inervala: polrak x <0, na kaerem g ni definirana; inerval [0,1], na kaerem velja prvo pravilo; polrak x >1, na kaerem velja drugo pravilo. Ugoovi= moramo, kdaj vrednos= f padejo v kaerega od eh inervalov. Iz pogoja x 2-1<0 dobimo, da za x <1 vrednos= funkcije f ležijo na polraku x <0, zao edaj kompozium ni definiran. Iz pogoja 0 x 2-1 1 dobimo, da za 1 x 2 vrednos= funkcije f ležijo na polraku [0,1], zao edaj velja prvo pravilo, za 2 < x pa drugo pravilo. Tako smo dobili g( f ( x)) = 2 x 1, 2 2 ( x 1), za 1 za x x > 2 2 UVOD 15
Zgled 2 x + 1 = x 1 Nariši graf funkcije f ( x) e Nalogo bomo rešili v dveh korakih: najprej bomo narisali graf racionalne funkcije v eksponenu, nao pa na em grafu uporabilo eksponenno funkcijo. Grafi racionalnih funkcij so skoraj edini primer grafov, ki jih naši dijaki sisema=čno rišejo na podlagi globalnih značilnos= (ničle, poli, asimpoe). Pri kombiniranju z eksponenno funkcijo bomo uporabili samo dejsvo, da gre za naraščajočo funkcijo. UVOD 16
x + 1 Racionalno funkcijo y = narišemo s pomočjo ničle x= - 1, x 1 pola x=1 in vodoravne asimpoe y=1. Tako dobljeni modri graf sesoji iz dveh odsekov in funkcija je na obeh padajoča. Eksponenna funkcija je naraščajoča: če jo uporabimo na padajoči funkciji, dobimo padajočo funkcijo, zao je za skico obeh odsekov dovolj, če ugoovimo, kje se začnejo in kje končajo. Na prvem odseku racionalna funkcija pada od 1 (asimpoa) do - (pol). Po uporabi eksponenne funkcije dobimo odsek, ki pada od e 1 =e do e - =0. Podobno ravnamo na drugem odseku, kjer funkcija pada od + do 1, zao po uporabi eksponenne funkcije dobimo graf, ki na isem območju pade od + do e. UVOD 17
Zgled 3 Funkcija je podana z grafom. Skiciraj graf njenega odvoda. Risanja funkcije podane s formulo se marsikaeri dijak najraje lo= ako, da izračuna njene vrednos= v nekaj očkah in poem skozi dobljene očke po občuku povleče krivuljo. Seveda, ni razloga, da bi naključno izbrane očke kakorkoli značilne za obravnavano funkcijo zao je ak prisop simpom nerazumevanja, kaj želimo doseči z risanjem grafa. Pri ej nalogi je dijak prisiljen gleda= na funkcijo ko celoo, ugoovi= kaj je ključno za njen poek in kako se o odraža na odvod. Poem pa mora na podlagi značilnih očk skicira= udi graf odvoda. UVOD 18
asimpoa max Rdeči graf je sprva skoraj vodoraven,... poem narašča dokler ne doseže maksimum,... nao pada do minimuma... in na koncu narašča čez vse meje. narašča narašča Zao je graf odvoda... pada Sprva blizu ničle,... odvod pa je pozi=ven in narašča dokler je rdeči graf ukrivljen navzogor er pada, ko je rdeči graf ukrivljen navzdol Pri maksimumu ima odvod ničlo. min Nao je nega=ven in pada, dokler je rdeči graf konkaven in narašča, ko je rdeči graf konveksen Pri minimumu ima odvod še eno ničlo. UVOD 19
PRVI KORAKI Funkcije in njihove grafe se običajno vpelje skozi predsavljanje odvisnih količin s pomočjo raznovrsnih grafičnih prikazov in preglednic. Običajni primeri so: Razsevni diagram za primerjavo ocen iz kemije in biologije. Merive elesne emperaure po urah. Višina glede na saros. PRVI KORAKI 20
Opisani prisop je zelo naraven a vendar skriva udi nekaj pas=: Navajanje cele množice raznih grafičnih prikazov, udi akih, ki niso funkcijski (npr. razsevni diagrami), morda prispeva k splošni bralni pismenos=, a obenem, z vzrajanjem na relacijah, nekoliko zamegljuje osrednji pomen funkcijskih zvez. Večina prikazov izvira iz nekih dejanskih ali namišljenih meriev, kar pomeni, da so v prvem planu diskrene množice podakov in da se urjuje pojmovanje funkcije ko množice očk, ki so občasno zaradi večje preglednos= povezane z daljicami. Pogoso se grafično predsavljena razmerja, ki niso funkcijska, npr. višine hribov, dolžine rek, specifična gosoa raznih snovi, rezula= špornih ekmovanj in podobno. S em ni načeloma nič narobe, če le vsakič pojasnimo, da imajo akšne predsavive le ilusra=vni namen in da oblika dobljenih grafov ne nosi dodane informacije ko je o primer pri funkcijah. Tipična vprašanja, ki se jih zasavlja dijakom ob eh grafičnih prikazih so, ali graf kaže na neko zvezo med opazovanimi količinami, ali je pregleden in ali je morda zavajajoč. Edino vprašanje, ki zadeva samo funkcijsko zvezo je, ali prikaz kaže na premo ali na obrano sorazmerje med opazovanimi količinami. PRVI KORAKI 21
K pravilnemu pojmovanju funkcij bo pripomoglo, če bomo bolj poudarjali grafične prikaze, ki dejansko ponazarjajo funkcijske zveze in pri kaerih je povezovanje morebinih meriev z daljico ni le arbirarno ali namenjeno preglednos=, emveč je verjeni približek dejanskih vrednos=. Ko enkra imamo akšne prikaze se ne smemo zadovolji= z odčiavanjem funkcijskih vrednos= emveč moramo dijake vpraša= udi kaj lahko razberejo iz oblike prikaza o naravi funkcijske zveze. Pri em se, vsaj na začeku, lahko izognemo formaliziranju koordinanega zapisa in s em povezanih pojmov. Grafična predsaviev je ako inui=vna in učenci so jo ako pogoso že srečali v različnih koneks=h, da jim ne bo ežko absorbira= osnovnih pojmov. PRVI KORAKI 22
Grafično je predsavljeno, kako je elesna višina Janka in Meke naraščala s sarosjo. Rezula= posameznih meriev so povezani z daljicami, ki pa predsavljajo verjene rezulae meriev v vmesnih obdobjih. Smiselna vprašanja, ki jih lahko zasavimo učencem so: Kdo je bil višji ob rojsvu? (branje meriev z grafa) Kdaj je Janko prerasel Meko in kdaj je Meka prerasla Janka? (primerjava inerpoliranih vrednos=, pri em je funkcija že razumljena ko nekaj več ko le nabor izmerjenih podakov) Kdaj je Meka rasla hireje, kdaj pa Janko? (razumevanje, da je hiros naraščanja ponazorjena s srmino grafa) Kaj pomeni, da se rdeči graf med deve=m in dvanajs=m leom krivi navzgor, med dvanajs=m in sedemnajs=m pa navzdol? (večanje in manjšanje hiros= naraščanja) Navedena vprašanja so dosopna že deselenikom! PRVI KORAKI 23
ABCD VPRAŠANJA Graf je zelo nazoren način podajanja informacije, ki jo pogoso razumemo ali prepoznavamo povsem inui=vno. To seveda ne pomeni, da se ob em udi povsem zavedamo kaj pomenijo posamezne značilnos= grafa, kar pride do izraza, kadar moramo sami skicira= graf. Tedaj namreč moramo sami premisli= in izdela= vse podrobnos=, ki vorijo graf in v a namen moramo naančno vede=, kaere informacije nosijo posamezne značilnos= grafa. Ko prvi korak, k prepoznavanju in razumevanju lasnos= grafa bomo za izbrane procese poskusili ugoovi=, kaeri izmed ponujenih grafov jih ponazarja. Ob vsakem se vprašamo, zakaj smo se odločili za izbrano možnos in izključili osale. Tako se sčasoma navadimo prepoznava=, kaj je bisveno za obliko grafa in kakšen pomeni ima. ABCD VPRAŠANJA 24
V posodo očimo vodo iz pipe. Kaeri graf prikazuje spreminjanje gladine h vode v odvisnos= od časa? A h B h C h D h ABCD VPRAŠANJA 25
Gladina vode v posodi narašča, zao graf B ni usrezen. A h B h Sene posode so navpične, zao gladina narašča enakomerno. Graf D orej ni pravi. C h D h Grafa A in C imaa usrezno obliko, vendar pri A funkcija zavzame udi nega=vne vrednos=. Ker gladina ne more bi= nega=vna, je rešiev graf C. Pri ej nalogi smo upoševali zalogo vrednos8 funkcije in dejsvo, da naklon grafa opisuje hiros naraščanja, v em primeru gladine vode. ABCD VPRAŠANJA 26
Tokra vodo iz pipe očimo v seklenico. Kaeri graf prikazuje spreminjanje gladine h vode v odvisnos= od časa? A h B h C h D h ABCD VPRAŠANJA 27
Sene seklenice so najprej navpične, zao mora bi= naraščanje grafa sprva enakomerno, poem pa se spremeni. Graf A odpade, ker je njem hiros vseskozi enaka, graf C pa odpade zao, ker njegova hiros narašča že od začeka. A C h h B D h h Seklenica se v zgornjem delu začne zoža=. Pri ožji posodi ob enakomernem priekanju vode narašča gladina hireje, zao je pravilna rešiev graf B, ki je najprej linearen, poem pa kvadra=čen. (Spomnimo se, kako voda brizgne iz seklenice, ki jo polnimo, če pravočasno ne usavimo priekanja.) Pri ej nalogi smo upoševali dejsvo, da je funkcija najprej definirana po enem pravilu, poem pa po drugem. Poleg ega smo upoševali, da graf, ki se krivi navzgor (konveksnos) ponazarja proces, ki pospešuje. ABCD VPRAŠANJA 28
Valj s plinom je nepredušno zapr. Na pokrov posode delujemo z vedno večjo silo in ako povečujemo lak v posodi. Kaeri graf prikazuje spremembo prosornine V plina ob spreminjanju laka p? A V B V p p C V D V p p ABCD VPRAŠANJA 29
A V B V Očino je, da z naraščanjem laka prosornina plina v posodi upada. To pomeni, da sa možnos C, pri kaeri prosornina sprva upada in poem narašča er možnos D, pri kaeri prosornina narašča, napačni. C V p p D V p p Grafa A in B sa oba padajoča. Če smo pozorni na o kako naj bi se nadaljevala, j., kakšen rend lahko pričakujemo na podlagi obeh skic, opazimo, da graf B napoveduje, da bo ob nadaljnjem naraščanju laka prosornina posala nega=vna. To je očini nesmisel, zao je edina možnos graf A. Upoševali smo, da se lak in prosornina spreminjaa obrano sorazmerno in da večanje laka povzroča zmanjševanje prosornine. Poleg ega smo upoševali udi napovedani rend grafa in dejsvo, da prosornina ne more posa8 nega8vna. Tehnično povedano, pogledali smo asimpo8čno obnašanje grafa. Iz opisa bi lahko udi prepoznali Boyle- MarioHov zakon, ki pravi, da je v plinu, ki ima salno emperauro produk laka in prosornine konsanen, orej je V~1/p. Zaradi ega je graf hiperbola ko na sliki A. ABCD VPRAŠANJA 30
Ko rznemo sruno na kiari le- a zaniha in zveni. Kaeri graf ponazarja nihanje srune v odvisnos= od časa? A y B y C y D y ABCD VPRAŠANJA 31
To vprašanje zaheva nekaj znanja fizike in sicer, kako so značilnos= zvoka, ki ga slišimo povezane z lasnosmi nihanja. Pri em višina ona usreza frekvenci nihanja: večja, ko je frekvenca, višji on slišimo. Moč (hrupnos), ki jo slišimo pa je odvisna od.im. ampliude nihanja, o je odmika srune od ravnovesne lege. Večjemu odmiku usreza močnejši zvok. A C y y B D y y Na podlagi povedanega lahko inerpre=ramo zgornje grafe. Graf A ima ves čas iso frekvenco in ampliudo, orej usreza onu, ki je ako po višini ko po moči ves čas enak. Graf B ima konsanno ampliudo, frekvenca se pa manjša, kar usreza enako močnemu, vendar vedno globljemu onu. Graf C ima konsanno frekvenco in padajočo ampliudo zao usreza is= višini ona, ki je pa vedno =šji. Pri grafu D pa upadaa ampliuda in frekvenca zao usreza vedno globljemu in =šjemu onu. Vemo, da zvok srune posopoma izgine, vendar ves čas slišimo iso višino ona, ker pomeni, da nihanje srune opiše graf C. Pri ej nalogi smo upoševali fizikalno informacijo kako je frekvenca in ampliuda nihanja srune povezana z zvokom, ki ga slišimo. Na podlagi ega smo lahko našo slušno izkušnjo primerjali z informacijo, podano z grafom. ABCD VPRAŠANJA 32
Naloga o nihanju srune ponuja priložnos za še nekoliko naprednejšo obravnavo in za vpeljavo ene pomembnejših funkcij za maema8čno modeliranje. Nihanje srune je namreč značilni primer dušenega nihanja, ki ga lahko smiselno modeliramo s funkcijo f()=a e -a sin(ω), kjer je A začeni odmik od ravnovesja (j. začena ampliuda nihanja), a odraža izgubo energije in posledično dušenje nihanja, ω pa je frekvenca nihanja. Graf y=e -a sin(ω) najlažje dobimo akole: sin(ω) niha med - 1 in +1, zao e -a sin(ω) niha med - e -a in +e -a. Narišemo orej grafa y=- e -a in y=+e -a,... med njima pa nihanje s frekvenco ω (kar dosežemo ako, da obdržimo ise ničle ko sin(ω)) in ampliudo, ki eksponenno upada. ABCD VPRAŠANJA 33
Lonec damo na šedilnik in ga začnemo segreva=, ako da se njegova emperaura T spreminja ko funkcija časa. Kaeri graf prikazuje naraščanje emperaure lonca, če je lonec prazen, in kaeri, če je lonec poln vode? A T B T C T D T ABCD VPRAŠANJA 34
Tudi o vprašanje zaheva nekaj logičnega sklepanja, drugi del pa udi nekaj znanja fizike. Jasno je, da emperaura lonca narašča, zao mora bi= graf naraščajoč. Ta ugooviev ne izključi nobene izmed možnos=, saj so vsi ponujeni grafi naraščajoči. Moramo se orej bolj naančno vpraša= kako narašča empera- ura posode. A C T T B D T T Če smo pozorni, kakšen rend naraščanja emperaure lonca napovedujejo ponujeno grafi vidimo, da bi pri C emperaura neomejeno naraščala. To seveda ni možno, saj emperaura posode ne more preseči amperaure vira, ki jo segreva, j. Plošče na šedilniku. Preosali rije grafi nakazujejo posopno bližanje k neki maksimalni emperauri, vsak na nekoliko drugačen način. Opazujmo srmino grafa A: vidimo, da je vedno poloznejša, kar pomeni, da emperaura sprva narašča naglo, poem pa vedno počasneje. Pri grafu B se zgodi podobno, vendar je nekaj časa vmes emperaura nespremenjena. Pri grafu D pa je naraščanje emperaure sprva počasno, zaem hiro in na koncu spe počasno. ABCD VPRAŠANJA 35
Kako orej ločimo med grafoma A in D? Premislimo akole: ali se bo lonec hireje segrel od 50 o C do 100 o C, če ga segrevamo na plošči, ki ima 100 o C, ali pa na aki, ki ima 200 o C? Jasno je, da na drugi: o pomeni, da se posoda hireje segreva, kadar je razlika med emperauro posode in emperauro vira večja. S segrevanjem posode se emepraurna razlika zmanjšuje, orej se zmanjšuje udi hiros segrevanja. Tak razvoj opisuje graf A in ne D! A C T T B D T T Primer posode z vodo je zahevnejši: v a namen moramo vede=, da se snov (v em primeru voda), ki doseže emperauro vreja ne segreva naprej, dokler vsa voda ne izpari. (To velja za vsak fazni prehod snovi, če le ne spreminjamo pri=ska.) Posledično se ob vreju vsavi udi segrevanje posode, dokler se vsa voda ne uplini., poem pa se segrevanje nadaljuje. Ravno ak razvoj opisuje graf C. Pri ej nalogi smo ključno upoševali pomen ukrivljenos8 grafa. Če se graf krivi navzgor, pomeni, da se srmina povečuje, orej predsavljeni proces pospešuje. Obrano, če se graf krivi navzdol, poem se proces upočasnjuje. ABCD VPRAŠANJA 36
Kaeri graf ponazarja ševilo sekund, ki ga kaže sekundni kazalec na uri? A B C D ABCD VPRAŠANJA 37
Ta naloga se pogoso izkaže za ežjo, čeprav zaheva le prepros premislek. Že samo vprašanje je nenavadno, saj mi v bisvu sprašujemo, kako se prikaz časa spreminja ko funkcija časa? C A B D Nalogo najlažje rešimo z eliminacijo: graf A ni dober, ker ni periodičen, ševilo sekund pa se periodično ponavlja; graf C ima udi nega=vne vrednos=; graf D je sicer periodičen in ima samo pozi=vne vrednos=, vendar napoveduje, da prikazano ševilo sekund najprej narašča, poem pa pada. Osane nam možnos B in z njo udi presenečenje: usrezni prikaz je nezvezen. Dijaki bodo sprva presenečeni, ko ugoovijo, da je naše prikazovanje časa nezvezno. Spomnimo jih, da so goovo že kdaj opazili, da se npr. na digialni uri ob prehodu ure (ali še bolje, ob polnoči) naenkra spremenijo vse ševke na ševilčnici, medem ko se večino časa posopoma spreminja le =s= del ševilčnice, ki označuje sekunde. ABCD VPRAŠANJA 38
Graf B ponazarja prikaz časa na analogni uri, kjer se kazalec premika zvezno. Na uri kjer kazalec preskakuje, ali aki, ki ima digialno ševilčnico bi bi bil graf drugačen z še več očk nezveznos=. Prikazovanje časa je esno povezano z zaokrožanjem. Pri zapisovanju običajno zaokrožamo navzdol: znoraj dneva zaokrožimo najprej na ure, znoraj ure pa na minue (in morda še naprej na sekunde), zao rečemo, da je ura 15 in 45 minu. Pogovorno pa običajno raje zaokrožamo na polovico dneva er na najbližjo uro ali celo na pol ure: ako raje rečemo ričer na š=ri (popoldne), ali celo pe čez pol š=ri (za 15:35). Grafični prikaz je poem kombinacija grafov zaokrožanja. Spodaj je sopničas= graf, ki prikazuje kako se vrednos= na digialni ševilčnici spreminjajo s časom. Če a graf pogledamo od daleč ako, da se zabrišejo majhni preskoki posameznih sekund, dobimo prejšnji graf B. ABCD VPRAŠANJA 39
ELEMENTARNE FUNKCIJE Funkcije predsavljajo obsežen del učne snovi, ki se obravnava v vseh lenikih in je zao dijakom pogoso nepregledna. Pomembno je, da večkra predsavimo srnjene sisema=zirane dele snovi. Na a način povezujemo snov, pomagamo dijakom, da dobijo širši vpogled in včasih razkrijemo povezave, ki med zaporednim podajanjem snovi niso bile vidne. Čeprav je pojem funkcije razložen splošno, je v srednji šoli absoluni poudarek na elemenarnih funkcijah. V učnem načru za gimnazije so med vsebinskimi znanji funkcije predsavljene akole: Dijak/dijakinja: razvije razumevanje splošnega pojma funkcije, pozna in uporablja elemenarne funkcije: linearna, poenčna, korenska, kvadrana, eksponenna, logariemska, polinomska, racionalna, kone funkcije er računa z njimi, riše grafe elemenarnih funkcij, jih uporablja er obravnava udi njihove vsoe, razlike, produke, kvociene in kompoziume, v problemih prepozna in predsavi, kaera elemenarna funkcija modelira problem (npr. opis ras= človeka od rojsva do maure). ELEMENTARNE FUNKCIJE 40
Elemenarne funkcije je orej skupno poimenovanje za sandardni nabor funkcij s kaerimi delamo v srednjih šolah (če smo povsem naančni, k elemenarnim funkcijam običajno priševamo vse algebrajske funkcije, o so =se, ki so rešive polinomskih enačb v dveh spremenljivkah; čeprav vseh eh ni mogoče dobi= s kombiniranjem osnovnih funkcij, je o razlikovanje za srednjo šolo nepomembno). Funkcije, ki jih šejemo med elelemarne se vpelje se posopoma, ob em se naančno in podrobno obravnavajo posamezni primeri, razne povezave in primeri uporabe. Velika količina dejsev zamegli splošno sliko, zao mnogi dijaki spregledajo, da so elemenarne funkcije v resnici kombinacije samo reh =pov funkcij: poenc, eksponennih in konih funkcij er njihovih inverzov. Vprašanje je, koliko je akih, ki se zavedajo, da je za kvalia=vno risanje večine grafov, ki jih obravnavamo v srednji šoli povsem dovolj, če si zapomnijo oblike grafov reh ali š=rih osnovnih funkcij in če razumejo, kako se nariše graf sesavljene funkcije. Če poleg ega obvladajo še risanje grafov racionalnih funkcij, poem kvalia=vno risanje grafov ni noben problem. ELEMENTARNE FUNKCIJE 41
Pri elemenarnih funkcijah imamo v bisvu le pe osnovnih oblik grafov: sinusoida pozi=vna poenca eksponenna angens nega=vna poenca (Pri inverznih funkcijah so e oblike seveda prezrcaljene.) ELEMENTARNE FUNKCIJE 42
Vse grafe elemenarnih funkcij lahko zgradimo s pomočjo eh osnovnih oblik in sicer s pomočjo računskih operacij in sesavljanja funkcij. V srednji šoli smo pogoso zadovoljni, če dijaki obvladajo kompozicijo z linearno funkcijo, j. razege in premike ( f(x+b) nam da premik, f(ax) je razeg, f(ax+b) pa je kombinacija obeh). To je premalo, saj nam ravno sesavljanje funkcij najbolj pomaga pri dojemanju funkcije ko celoe. Dijake vprašajmo, v kakšnem smislu prejšnji grafi predsavljajo osnovne možnos=. Tako zasavljeno vprašanje je najbrž preveč nedoločeno zao jim pomagajmo: pozorni naj bodo na monoonos in na asimpoe. Poem je lahko: š=rje grafi so monooni. angens pozi=vna poenca eksponenna nega=vna poenca nima asimpo ima eno asimpoo ima dve pravokoni asimpo= ima dve vzporedni asimpo= sinusoida ni monoona, označeni odsek se periodično ponavlja ELEMENTARNE FUNKCIJE 43
Poence (s pozi=vnim eksponenom) To so funkcije f(x)=x n. Značilnos=: srogo naraščajo (za x > 0 ), gredo skozi očki (0,0) in (1,1), z večanjem n so vedno bolj srme za x < 0 se sode poence nadaljujejo sodo, lihe pa liho y=x 6 y=x 5 y=x 4 y=x 3 y=x 2 1 1 ELEMENTARNE FUNKCIJE 44
Funkcija je podana z grafom. Skiciraj graf njenega kvadraa. Z glavno ežavo pri risanju sesavljenih funkcij (razumevanju, da druga funkcija deluje na vrednos8h prve funkcije) smo se ukvarjali že pri uvodnih zgledih. To je seveda glavna ežava, a u se bomo omejili na delovanje poenc. 1 1 Za določiev grafa je dovolj upoševa=, da je kvadriranje monoono (padajoče pri nega=vnih in naraščajoče pri pozi=vnih vrednos=h) er da je za argumene, ki so absoluno večji od 1 kvadra še večji, za osale pa manjši. ELEMENTARNE FUNKCIJE 45
Koreni To so inverzne funkcije za poence, oziroma poence z ulomljenim eksponenom f(x)=x 1/n. Značilnos=: grafi so zrcalne slike grafov poenc srogo naraščajo (za x > 0 ), gredo skozi očki (0,0) in (1,1), z večanjem n so vedno bolj položne za x < 0 so lihi koreni definirani in se liho nadaljujejo, sodi koreni pa niso definirani 1 1 ELEMENTARNE FUNKCIJE 46
Funkcija je podana z grafom. Skiciraj graf njenega korena. Ravnamo podobno ko pri risanju poence grafa: upoševamo, da je koren monoona funkcija, da so sodi koreni definirani le za pozi=vne vrednos= (lihi pa povsod) in da je za vrednos= manjše od 1 koren večji od argumena, za osale pa je manjši od argumena. 1 1 (u koren ni definiran) ELEMENTARNE FUNKCIJE 47
Poence (z nega=vnim eksponenom) To so funkcije f(x)=x -n. Značilnos=: srogo padajo (za x > 0 ), gredo skozi očko (1,1), os x je vodoravna, os y pa navpična asimpoa (pol) za x < 0 se sode poence nadaljujejo sodo, lihe pa liho Inverzne funkcije (koreni z nega=vnim eksponenom) imajo podobno obliko, le malo zasukani so glede na mejno funkcijo y=1/x, ki je sama sebi inverzna. 1 1 y=1/x 1/2 y=1/x y=1/x 2 ELEMENTARNE FUNKCIJE 48
Eksponenne funkcije To so funkcije f(x)=a x. Značilnos=: povsod definirane, zavzamejo le pozi=vne vrednos= srogo naraščajo (za a > 1 ), gredo skozi očko (0,1), za večje a so bolj srme os x je vodoravna asimpoa, ko gre argumen pro= minus neskončno y=10 x y=3 x y=e x y=2 x Grafi eksponennih funkcij so si med seboj zelo podobni: če poznamo enega od njih, lahko vse osale dobimo z razegi, npr. 8 x =2 3x. Kaeri razeg prevede a x v b x? 1 Zaradi preprosega odvajanja in inegriranja ima ena izmed eksponennih funkcij poseben pomen: o je f(x)=e x, kjer je e=2.71828..., ševilo, ki ga imenujemo osnova naravnih logarimov. 1 ELEMENTARNE FUNKCIJE 49
Funkcija f(x) je podana z grafom. Skiciraj graf funkcije e f(x). Dovolj je upoševa=, da je eksponenna funkcija monoona in da ima asimpoo, ko gre argumen pro= minus neskončno. 1 1 ELEMENTARNE FUNKCIJE 50
Logariemske funkcije To so inverzne funkcije za eksponenne funkcije, označimo jih f(x)=log a x in so določene s pogojem a log ax =x Inverzno funkcijo za e x imenujemo naravni logariem in označimo z lnx. 1 log 2 x ln x log 3 x log 10 x Značilnos=: definirane le za pozi=vne argumene srogo naraščajo (za a > 1 ), gredo skozi očko (1,0), za večje a so bolj položne os y je navpična asimpoa (pol) 1 Grafi logarimov so si vsi podobni, saj ene iz drugih dobimo z navpičnim razegom: npr. log 3 x=2 log 9 x Kaeri razeg prevede log a x v log b x? ELEMENTARNE FUNKCIJE 51
Funkcija f(x) je podana z grafom. Skiciraj graf funkcije ln f(x). Upoševamo, da je logariem defi- niran le za pozi=vne argumene, da ima pol, ko gre argumen pro= 0 in da je monoon. 1 1 ELEMENTARNE FUNKCIJE 52
Funkcija sinus Oznaka f(x)=sin x. Značilnos=: povsod definirana, zavzame le vrednos= med - 1 in 1 periodična s periodo 2π inverzna funkcija je arkus sinus f(x)=arcsin x. sinus arkus sinus ELEMENTARNE FUNKCIJE 53
angens Funkcija angens Oznaka f(x)=g x. Značilnos=: definirana povsod, razen za x= π/2+ kπ, zavzame vse realne vrednos= periodična s periodo π inverzna funkcija je arkus angens f(x)=arcg x. arkus angens ELEMENTARNE FUNKCIJE 54
Povzeek osnovnih funkcij pozi=vna poenca nega=vna poenca eksponenna sinus angens koren koren v imenovalcu logariemska arkus sinus arkus angens ELEMENTARNE FUNKCIJE 55
ZNAČILNOSTI GRAFA Enačenje funkcije z grafom je primeren način kako funkcijo gleda= ko enovi= objek, ima pa a prisop udi svoje pas=. Najprej, grafična predsaviev je smiselna predvsem za realne funkcije ene realne spremenljivke (kjer je domena lahko udi diskrena). Lahko sicer skiciramo grafe funkcij dveh spremenljivk ali =re vekorskih funkcij ene spremenljivke, vendar ega običajno ne uporabljamo ko sredsvo za šudij funkcije emveč bolj ko način, kako s funkcijo opisa= geomerični objek krivuljo ali ploskev. Razumevanje splošnejših funkcij je orej porebno gradi= drugače. Druga nevarnos je, da graf funkcije gledamo ko skupek očk, ali še slabše, da ga rišemo s pomočjo abeliranja očk. Grafe je porebno srikno skicira= na osnovi značilnih očk. Ob em se morajo dijaki zaveda=, da so očke in oblike, za kaere ob opazovanju grafa skoraj samoumevno ugoovimo, da so bisvene za poek grafa, obenem ravno =se očke, ki so značilne za samo funkcijo. To je orej po za vizualizacijo absraknih značilnos= funkcije. ZNAČILNOSTI GRAFA 56
Šudij značilnos= funkcije bomo zgradili na opazovanju grafov in ugoavljanju, kaere značilnos= so bisvene za naše razumevanje pomena grafa. Primerna in obenem zabavna vaja je lahko narekovanje grafov. Oglejmo si en zgled: Naravno je graf opisova= od leve pro= desni. Primer usreznega navodila bi bil: 1 Nariši vodoravno asimpoo y=1 in pol x=2. Graf se začne pod asimpoo in konkavno pada pro= polu, ob em pa seka absciso pri x=1. Desno od pola ima graf minimum pri x=3, vrednos minimuma pa je približno 0.5. Graf pada od pola do minimuma, poem pa narašča pro= asimpo= y=1. Graf je konveksen do x=2, naprej pa je konkaven. 1 ZNAČILNOSTI GRAFA 57
Še en primer grafa po nareku: Graf je povsod definiran, je simeričen glede na os y (orej ponazarja sodo funkcijo) in ima vodoravno asimpoo y=2. Graf se začne pod asimpoo in konkavno pada do približno x=- 1. Prevoj ima približno pri x=- 1 in y=1.5. Naprej graf konveksno pada do minimuma, ki je pri x=0 in kjer funkcija ima vrednos= okoli 0.5. Za pozi=vne x je graf simeričen glede na os y. 1 1 Narekovanje grafov seveda ni življenjsko pomembno znanje. Gre preproso za vajo, pri kaeri se dijaki navadijo globalnega opazovanja grafa in ugoav- ljanja, kaere lasnos= so ključne za njegov poek. ZNAČILNOSTI GRAFA 58
GRAF JE SIMBOLIČNA PREDSTAVITEV FUNKCIJE Pri risanju grafov je porebno, da dijaki sčasoma dojamejo, da graf pogoso ni dobesedna emveč le simbolična predsaviev funkcije. Seveda, čiso na začeku grafe rišemo s abeliranjem, poem pa jih izpeljujemo iz grafov osnovnih funkcij in nao še na podlagi značilnih očk. Poem, ko so obravnavali določeno ševilo grafov elemenarnih in drugih funkcij pa morajo dijaki posopoma razume=, kaj so značilnos= funkcije, ki jih predsavljamo na grafu in ki jih prav ako lahko preberemo iz grafa. Moramo se namreč zaveda=, da grafov pogoso ne rišemo v razmerju in da je poek med značilnimi očkami pogoso dokaj poljuben. Če bi grafe risali v sriknem sorazmerju pa bi pogoso spregledali kako pomembno lasnos funkcije. Marsikaeri dijak bo vprašal, čemu se ako rudimo z risanjem grafov, če gre o z računalnikom bisveno lažje in hireje. Ampak, če graf narišemo s pomočjo računalnika ali grafičnega kalkulaorja je slika običajno v isem merilu po obeh oseh in velikokra zgrešimo pravo informacijo o grafu. Lahko poskušamo dobi= boljšo sliko s spreminjanjem merila, a se sčasoma prepričamo, da usrezno sliko dobimo šele akra, ko razumemo lasnos= funkcije. ZNAČILNOSTI GRAFA 59
Oglejmo si računalniške risbe grafa preprose racionalne funkcije f ( x) = 2 + x 1 x 2 Iz ega grafa ežko kaj razberemo. Vide= je ko da funkcija ni definirana na dveh inervalih, manjšemu okoli x=- 1 in večjemu okoli x=1. V bližini eh očk sa nakazana pola, ni pa nič jasno, kakšen je rend funkcije, ko gre x pro= plus ali minus neskončno. ZNAČILNOSTI GRAFA 60
Ta risba je nekoliko bolj zgovorna. Dokaj jasno sa nakazana pola pri x=- 1 in pri x=1. Trend funkcije ni jasen vendar se kažea dve različni vodoravni asimpo= (o je seveda napačen v=s, saj ima racionalna funkcija vedno iso premico za asimpoo na obeh sraneh). Preskušanje različnih meril je le delno uspešno, saj se pri vsakem izgubi del celone slike. Morda je še najbolj zgovorna slika, kjer je enoa na abscisi pekraniki enoe na ordina=. Na ej sliki sa dokaj očina pola pri x=- 1 in pri x=1 in skupna vodoravna asimpoa y=0. Je pa v em merilu ežko ugoovi= kje je graf konkveksen, kje pa konkaven. ZNAČILNOSTI GRAFA 61
Oglejmo si še primer grafa funkcije x e f ( x) = 2 x Prvi primer spominja na graf eksponenne funkcije, ki je le nekoliko znižan. Kdor gleda samo risbo, bo s em zadovoljen. Šele po desekrani pomanjšavi se pojavi še en del grafa. Če ne bi vedeli, da mora bi= am nekje, ga prav goovo ne bi iskali. ZNAČILNOSTI GRAFA 62
Šele pri š=ridesekrani pomanjšavi in spremembi merila na abscisi, se pojavi za silo uporaben graf. Graf, ki ga narišemo z vpoševanjem lasnos= funkcije sicer ni v merilu, vendar pa usrezneje ponazarja bis- vene lasnos= funkcijske zveze. ZNAČILNOSTI GRAFA 63
Predsaviev značilnoso funkcije na grafu Naslednje značilnos= funkcij sisema=čno predsavljamo pri risanju grafov. To so značilnos= na kaere smo se opirali pri odgovarjanju na ABCD vprašanja, ki smo jih poudarjali pri elemenarnih funkcijah in jih uporabljali er opazovali pri grafih sesavljenih funkcij. 1. Definicijsko območje in zaloga vrednos= 2. Vrednos= ob robu definicijskega območja 3. Periodičnos in simerija 4. Naraščanje in padanje, eksremi 5. Ukrivljenos, prevoji ZNAČILNOSTI GRAFA 64
Definicijsko območje in zaloga vrednoso Realne funkcije ene realne spremenljivke podajajo zvezo med nekimi količinami, recimo iksi in ipsiloni. Pri šudiju funkcije se moramo vpraša=, kaeri iksi in ipsiloni nasopajo v ej zvezi. Množico vseh možnih iksov je definicijsko območje, množica vseh možnih ipsilonov pa zaloga vrednos8 funkcije. D f 1 Z f 1 Definicijsko območje D f je senca (j. slika paralelne projekcije) grafa na osi x, zaloga vrednos= Z f pa je senca na osi y. ZNAČILNOSTI GRAFA 65
Definicijsko območje funkcije dobimo ako, da pogledamo, kdaj lahko uporabimo osnovne funkcije, ki nasopajo v formuli. Zaloga vrednos= pa je ravno defincijsko območje inverzne funkcije (oziroma relacije), zao ga formalno določimo ako, da ugoovimo, kdaj lahko izračunamo inverzno funkcijo. Pri bolj zapleenih primerih pa inverzne relacije ni mogoče izračuna=. Naravo zaloge vrednos= edaj praviloma določimo iz grafa, računanje pa pogoso zaheva določanje eksremov, asimpo in podobno. V em smislu določanje definicijskega območja in zaloge vrednos= nisa paralelni nalogi: D f običajno določimo akoj, Z f pa pogoso šele, ko smo že narisali graf. 1 1 ZNAČILNOSTI GRAFA 66
VrednosO ob robu definicijskega območja Za razumevanje funkcije in risanje njenega grafa je zelo pomembno ugoovi=, kako je z njenimi vrednosmi ob robu definicijskega območja. Pogoso je namreč funkcija vmes monoona in je za določiev grafa dovolj pogleda= kakšna je ob robu. V drugih primerih posane obnašanje funkcije ob robu območja bolj pravilno npr. podobno premici ali kakšni drugi prepros= krivulji. To se redno dogaja akra, ko funkcija opisuje proces, ki ima nek šum, ki sčasoma izgine. Obnašanju po izničenju šuma pravimo asimpo=čno obnašanje, limini krivulji pa asimpoa. 1 1 ZNAČILNOSTI GRAFA 67
Asimpoe Vodoravna asimpoa npr. emperaura posode, ki se segreje le do emperaure vira npr. dušeno nihanje ZNAČILNOSTI GRAFA 68
Linearna asimpoa: podobno ko pri vodoravni asimpo= se graf opazovane krivulje posopoma izravna in se vedno bolj prilega neki premici. Asimpo=čno premico lahko seka (ko pri dušenem nihanju), lahko pa se ji pa udi posopoma približuje in se je ne doakne. Čeprav v srednji šoli obravnavamo le linearne asimpoe, je pojem asimp- oe bolj splošen. Uporabljamo ga, kadar lahko na preprosejši način opišemo obnašanje funkcije, ko so argumen= blizu roba definicijskega območja. Na primer, pri vsiljenem (sinusnem) nihanju je asimpoa sinusoida ZNAČILNOSTI GRAFA 69
Navpična asimpoa (pol) Graf se lahko asimpo=čno prilega udi navpični premici. Tedaj govorimo o navpični asimpo= ali polu. Pol dobimo kadar v bližini očke, kjer funkcija ni definirana gredo njene vrednos= pro= neskončnos= (j. čez vsako mejo). Pol neke funkcije usreza vodoravni asimpo= njenega inverza. 1 1 ZNAČILNOSTI GRAFA 70
Periodičnos in simerija Ko pri vsaki zapleeni srukuri je udi pri grafih korisno, če odkrijemo kakšne dodane pravilnos=, na primer, da se se dali grafa na nek način ponovijo. Najpomembnejša sa dva primera. Če se določeni del grafa ponavlja, pravimo, da je ponavljajoči del perioda, funkcija sama pa je periodična. Kone funkcije so po že po definiciji periodične, saj so odvisne le od koa, ki se seveda ponavlja. ZNAČILNOSTI GRAFA 71
Drugi pomemben primer dobimo, kadar je polovica grafa v enaka ali simerična drugi polovici. Običajne simerije so čez os y (edaj pravimo, da je funkcija soda) ali simerija čez izhodišče (edaj pravimo, da je funkcija liha). V prvem primeru je f(-x)=f(x), v drugem pa je f(-x)=-f(x), ker je oboje zalo lahko preveri= že iz definicijske formule. soda liha Dejansko pa je vsaka opažena simerija korisna. Npr. f(x)=x 3 -x+4 ni ne soda ne liha, vendar je njen graf simeričen glede na očko (0,4), kar nam prav ako ko lihos pomaga pri risanju. ZNAČILNOSTI GRAFA 72
Naraščanje in padanje funkcije Za funkcijo pravimo, da je naraščajoča, kadar večjim argumenom usrezajo večje funkcijske vrednos=. Če pa večjim argumenom usrezajo manjše funkcijske vrednos=, poem pravimo, da je funkcija padajoča. (Učenci običajno najprej srečajo nekoliko preprosejša pojma sorazmernos oziroma obrana sorazmernos. ) Funkcije, ki so bodisi naraščajoče, bodisi padajoče z eno besedo imenujemo monoone. Monoonos običajno ni neposredno razvidna iz funkcijskega izraza, je pa zao ena izmed najbolj očinih lasnos=, ki jih opazimo na grafu. Funkcija je namreč naraščajoča, če se njen graf od leve pro= desni dviga, in padajoča, če se njen graf spušča. naraščajoča padajoča ZNAČILNOSTI GRAFA 73
Graf monoone funkcije je lahko narisa=: dovolj je, če ugoovimo kakšne vrednos= ima ob robu definicijskega območja. Funkcija je definirana na celi osi in narašča od π/2 do + π/2. +π/2 - π/2 Funkcija je padajoča, definicijsko območje je unija inervalov (-,-1) in (-1,+ ). Na prvem inervalu padajo vrednos= od 1 pro= minus neskončno, na drugem pa od plus neskončno do 1. Ta prepros= opis povsem usrezno opiše poek grafa. - 1 1 ZNAČILNOSTI GRAFA 74
Lokalno naraščanje in padanje funkcije Tudi kadar funkcija ni monoona nam je ob pogledu na graf inui=vno jasno, da definicijsko območje lahko razdelimo na posamezne dele kjer se graf dviga in druge, kjer se spušča. Pri em namreč samodejno omejimo pogled le na posamezne dele grafa in rečemo, da funkcija narašča oziroma pada pri neki očki, če se na nekem inervalu okoli e očke graf dviga oziroma spušča. Temu pravimo lokalno obnašanje funkcije, saj opazujemo le okolico neke očke, ne pa celonega grafa. funkcija je pri b naraščajoča a b funkcija je pri a padajoča ZNAČILNOSTI GRAFA 75
Eksremi Za razumevanje funkcije je zelo pomembno vede=, ali so njene vrednos= omejene in če so, kaj je največja in kaj najmanjša vrednos, ki jo funkcija zavzame. Najmanjšo vrednos imenujemo minimum, največjo maksimum, skupno pa jim pravimo eksremne vrednos=. maksimum minimum ZNAČILNOSTI GRAFA 76
Kadar ima funkcija minimum in maksimum je omejena in njena zaloga vrednos= je vsebovana v inervalu med minimumom in maksimumom. Pri funkcijah, ki nimajo eksremov pa so zadeve bolj zapleene in nasopajo razne možnos=. Takšne funkcije so lahko omejene ali neomejene, lahko imajo le enega od eksremov ali pa nobenega. ZNAČILNOSTI GRAFA 77
Funkcija ima minimum, navzgor pa je neomejena. Funkcija ima maksimum, navzdol pa je neomejena. 1-1 Funkcija je navzgor in navzdol neomejena. Funkcija je navzgor neomejena, navzdol pa je omejena, vendar nima minimalne vrednos=, emveč se poljubno približa vrednos= 0. Poiščie še druge možnos=! ZNAČILNOSTI GRAFA 78
Lokalni eksremi Podobno ko pri naraščanju in padanju udi pri eksremih lahko opazujemo funkcijo na zoženem območju in govorimo o lokalnih minimumih in maksimumih. Funkcija ima v neki očki lokalni maksimum, če ima v ej očki največjo vrednos izmed vseh, ki jih zavzame na inervalu okoli opazovane očke. Podobno ima v očki lokalni minimum, če je v ej očki funkcijska vrednos najmanjša izmed vseh na nekem inervalu. lokalni maksimum lokalni minimum ZNAČILNOSTI GRAFA 79
Kadar funkcija ni monoona, so lokalni eksremi očke pri kaerih funkcijske vrednos= nehajo pada= in začnejo narašča= ali obrano. Za skiciranje grafa je orej dovolj, če ugoovimo vrednos= funkcije ob robu definicijskega območja er v lokalnih eksremih. Na vmesnih inervalih je graf funkcije monoon. (s em smo seveda zašli na vprašanja odvedljivos= in računanje odvodov, ki jih pa zaenkra pus=mo ob srani) pada od asimpoe do lokalnega minimuma narašča od lokalnega minimuma do lokalnega maksimuma pada od lokalnega maksimuma do asimpoe ZNAČILNOSTI GRAFA 80
V praksi so lokalni eksremi pogoso model za ravnovesne lege. To lepo ponazorimo s oboganom po kaerem zakoalimo kroglico. Kroglica se bo nekaj časa gibala gor in dol po oboganu, na koncu pa bo obmirovala ravno v enem izmed loklanih eksremov. V em primeru so lokalni minimumi sabilne, lokalni maksimumi pa nesabilne ravnovesne lege. ravnovesne lege so =pični primeri lokalnih eksremov ZNAČILNOSTI GRAFA 81
Ukrivljenos in prevoji Ko smo pri ABCD vprašanjih poskušali ugoovi= kaeri graf ponazarja emperauro segrevane posode smo hiro dojeli, da mora bi= krivulja naraščajoča in da se mora od spodaj bliža= vodoravni asimpo=, ki usreza emperauri vira. da se morali odloči= med naslednjima. Na koncu smo morali izbra= med dvema možnos=ma: A T D T ZNAČILNOSTI GRAFA 82
Opazili smo, da je prvi graf sprva bolj srm in da posopoma posane bolj položen, drugi graf pa je najprej položen, poem srm in na koncu spe položen. Fizikalni zakon o prevajanju oploe pravi, da je preok sorazmeren razliki med emperauro vira in emperauro posode, zao mora hiros naraščanja emperaure upada=. Na podlagi ega smo se odločili za možnos A. emperaura vira A T D T manjša razlika emperaur - počasnejše segrevanje manjša razlika emperaur - hirejše segrevanje ZNAČILNOSTI GRAFA 83
Kadar je graf funkcijske zveze premica pomeni bolj srma premica večjo hiros spremi- njanja funkcijskih vrednos=. Pri ukrivljenem grafu se srmina spreminja. Merimo jo ako, da si v vsaki očki zamislimo idealizirano premico (angeno), ki se op=malno prilega krivulji. Srmina angene ponazarja hiros spreminjanja funkcijskih vrednos=. Če (gledano z leve pro= desni) srmina narašča, poem o pomeni, da proces pospešuje. Obrano, če srmina upada, poem ponazorjeni proces upočasnjuje. ZNAČILNOSTI GRAFA 84
Spremembo hiros= opazujemo ako, da gledamo v kaero smer se graf odmika od angene. Če se odmika navzgor (oziroma pro= levi glede na smer angene), je am graf ukrivljen navzgor in pravimo, da je konveksen. Kjer pa se graf krivi navzdol (oziroma pro= desni) pravimo, da je konkaven. konveksen konveksnos grafa ponazarja pospeševanje procesa konkaven konkavnos grafa ponazarja pojemanje procesa ZNAČILNOSTI GRAFA 85
Prevoji Kadar graf ni monoon opazujemo območja naraščanja in padanja funkcijskih vrednos= in smo pozorni na lokalne maksimume, kjer naraščanje preide v padanje in lokalne minimume, kjer padanje preid v naraščanje. Podobno, kadar se graf krivi navzgor in navzdol opazujemo območja konkveksnos= in konkavnos= er očke v kaerih ukrivljenos preide iz enega območja v drugega. Tem očkam pravimo prevoji. prevoji konkaven konveksen konkaven Prevoj je očka, pri kaeri proces preide iz pospeševanja v zaviranje ali obrano. ZNAČILNOSTI GRAFA 86
NEKAJ POMEMBNIH SESTAVLJENIH FUNKCIJ Elemenarne funkcije so zgrajene iz samo reh osnovnih razredov funkcij (in njihovih inverzov): poenc, eksponennih in konih funkcij. Kljub emu je o zelo obsežen razred funkcij, s kaerimi lahko modeliramo veliko različnih dogajanj in procesov. Nekaere sesavljene elemenarne funkcije se pri različnih primerih uporabe pojavljajo bolj pogoso, zao jih je smiselno posebej predsavi= in prouči= njihove lasnos=. Izbrali smo ri primere, ki so zelo značilni za ri različna področja modeliranja s pomočjo funkcij: o so funkcije, ki podajajo dušena nihanja, logis=čna funkcija in Gaussova funkcija normalne porazdelive. NEKAJ POMEMBNIH SESTAVLJENIH FUNKCIJ 87