FKKT Mtemtik Integrlni rčun Nedoločeni integrl Definicij. Nj bo dn funkcij f : D R R. Funkcij F, z ktero v vski točki iz x D velj F (x) = f(x) se imenuje nedoločeni integrl funkcije f. f(x). Izrek. Če je F(x) nedoločeni integrl funkcije f(x), je njen nedoločeni integrl tudi funkcij F(x)+C, kjer je C poljubn konstnt. Vsk nedoločeni integrl funkcije f(x) je oblike F(x)+C. Tbel osnovnih integrlov: x r = xr+1 r+1 +C,r 1 shx = chx+c x = ln x +C chx = shx+c x = x ln +C e x = e x +C sinx = cosx+c cosx = sinx+c x = rcsinx +C x + = ln x+ x + +C x = ln x+ x +C tnx = ln cosx +C cotx = ln sinx +C sin x = cotx+c cos x = tnx+c x = 1 ln +x x +x = 1 tn x +C x = 1 ln x x+ +C, ( x < ) +C, ( x > ) Osnovn prvil z intergrirnje (f 1 (x)±f (x)) = f 1 (x)± f (x). cf(x) = c f(x). Uvedb nove spremenljivke Nj bo x = x(t) odvedljiv funkcij. Če im funkcij f(x) nedoločeni integrl, obstj tudi nedoločeni integrl funkcije f(x(t))x (t) in velj f(x) = f(x(t))x (t)dt. Integrirnje po delih udv = uv vdu. 1 Mtevž Črepnjk
FKKT Mtemtik Integrcijske metode 1. Integrirnje rcionlnih funkcij P m(x) P n(x), P m in P n polinom (stopnj izržen v indeksu). Če m n, tedj po osnovnem izreku o deljenju polinomov obstjt polinom Q(x) stopnje m n in R(x) stopnje kvečjemu n 1 tkšn, d velj P m (x) = Q(x)P n (x)+r(x). Prevedli smo n intergrcijo Q(x)+ R(x) P n(x). Z R(x) P n(x) uporbimo li zpišemo n prcilne ulomke li uporbimo metodo Ostrogrdskeg. Prej poiščemo ničle polinom P n (x) = (x x 1 ) α (x x ) β (x x m ) µ (x + p n x+q n ) A (x +p s x+q s ) B (x +p y x+q y ) Υ. Prcilni ulomki: R(x) P n(x) = A 1 x x 1 + A (x x 1) + + Aα (x x 1) α + B1 x x + B (x x ) + + B β (x x ) β + + + M1 x x m + M (x x m) + + Mµ (x x m) µ + + N1x+O1 x +p nx+q n + Nx+O (x +p nx+q n) + + NAx+OA (x +p nx+q n) A + + S1x+1 x +p sx+q s + Sx+O (x +p sx+q s) + + SBx+OB + + Y1x+Z1 x +p yx+q y + (x +p sx+q s) B + Yx+Z (x +p yx+q y) + + Yυx+Zυ (x +p yx+q y) Υ. Pri tem soa 1,A,...,A α,b 1,B,...,B β,...,m 1,M,...,M µ,...y 1,Z 1,...Y υ,z υ konstnte. (i) Reln in enkrtn ničl A = Aln x c +C. (x c) (ii) Reln in večkrtn ničl A (x c) k = A k 1 1 +C, k > 1. (x c) k 1 (iii) Kompleksn in enkrtn ničl Ax+B x +px+q D = p 4q < 0 Izpeljemo x +px+q = (x+ p ) +q p 4 = (x+ p D ) +( in s pomočjo teg dobimo 1 x +px+q = tn x+p +C. D D Velj Ax+B A x +px+q = (x+p)+b Ap x +px+q (iv) Kompleksn in večkrtn ničl Ax+B (x +px+q) k, D = p 4q < 0, k > 1 Integrl rzdelimo n dv integrl: Ax+B = A (x +px+q) k (x+p)+b Ap = A (x +px+q) k x+p + B Ap (x +px+q) k. ) (x +px+q) k. Mtevž Črepnjk
FKKT Mtemtik Prveg izrčunmo podobno kot prej, z drugeg p uporbimo rekurzivno formulo: [ B Ap Metod Ostrogrdskeg = B Ap (x +px+q) k + k 3 (k 1)(q p 4 ) R(x) P(x) = R 1(x) P 1 (x) + R (x) P (x), x+ p (k 1)(q p 4 )(x +px+q) k 1 ]. (x +px+q) k 1 kjer je P (x) polinom, kjer se vsk ničl P(x) pojvi ntnko enkrt, R (x) polinom z neznnimi koeficienti stopnje z eno mnj od P (x), P 1 (x) = P(x) : P (x) in R 1 (x) polinom z neznnimi koeficienti stopnje z eno mnj od P 1 (x).. Integrirnje funkcij s sinusom in kosinusom (i) sin m x, cos m x ) Če je m liho število večje od 1, torej m = k +1, k N, je možno integrnd zpisti v obliki sin m x = (1 cos x) k sinx. Z uvedbo nove spemenljivkecosx = t prevedemo primer n integrl polinom. V drugem primeru zpišemo cos m x = (1 sin x) k cosx in uvedemo sin x = t. b) Če je m sodo število, torej m = k, k N, uporbimo zvezo sin x = 1 cos(x) S tem se stopnj eksponent zniž z polovico. Dokler je eksponent sodo število, postopek ponvljmo, ko p pridemo do liheg eksponent uporbimo točko ). V drugem primeru uporbimo zvezo cos x = 1+cos(x) (ii) sin m xcos n x Če je vsj en eksponent lih, postopmo tko kot v (i.), sicer p uporbimo postopek iz (i.b). (iii) sin(x)cos(bx) = 1 [sin(( b)x)+sin((+b)x)], sin(x)sin(bx) = 1 [(cos(( b)x) cos((+b)x)], cos(x)cos(bx) = 1 [(cos(( b)x)+cos((+b)x)]. (iv) Univerzln subsitucij z R(cosx,sinx), kjer je R(u,v) rcionln funkcij Vpeljemo novo spremenljivko t = tn x. = 1+t dt, sinx = t 1+t, cosx = 1 t 1+t. 3. Integrirnje funkcij pod korenskim znkom (ircionlnih funkcij) (i) x +px+q Preoblikujeno izrz pod korenom x +px+q = (x+ p ) + in uvedemo novo spremenljivko t = x+ p... 4q p 4 3 Mtevž Črepnjk
FKKT Mtemtik (ii) x +px+q Podobno kot prej preoblikujemo izrz pod korenom: x +px+q = (x p ) + 4q +p 4 in uvedemo novo spremenljivko t = x p. (iii) x +bx+c 1 Izpostvimo, s čimer prevedemo primer n eneg od prejšnjih dveh primerov. (iv) P n(x) x +bx+c, P n(x) poljuben polinom stopnje n Nstvek P(x) x +bx+c = Q(x) x +bx+c+d x +bx+c, kjer je Q(x) polinom z neznnimi koeficienti stopnje kvečjemu n 1 in D neznn konstnt. Določeni integrl Definicij. Če obstj limit I = lim d 0 i=1 n f(ξ i )d i, potem število I imenujemo določeni integrl funkcije f n intervlu [,b] in oznčimo b f(x). Izrek. Če je funkcij f n intervlu [,b] zvezn, je n njem tudi integrbiln. Velj tudi nslednje: b f(x) = c f(x)+ b c f(x) b f(x) = b f(x) f(x) = 0 b f(x) b f(x) g(x) f(x) z vsk x [,b], tedj b g(x) b f(x) Izrek. (O srednji vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej n intervlu [,b] integrbilne funkcije f. Tedj obstj tk vrednost c med m in M, d je b f(x) = c(b ). Če p je funkcij f tudi zvezn, je c = f(ξ) z neki ξ [,b]. Zvez med določenim in nedoločenim integrlom 4 Mtevž Črepnjk
FKKT Mtemtik Izrek. Nj bo f : [,b] R zvezn funkcij. Tedj je njen določeni integrl F(x) = x f(t)dt, x [,b], odvedljiv funkcij in velj F = f. Posledic. (Newton-Leibnizov formul) Nj bo f : [, b] R zvezn funkcij. Če je F nedoločeni integrl funkcije f, potem je b f(x) = F(b) F(). Trditev. Nj bo f zvezn funkcij in x = x(t) zvezno odvedljiv funkcij. Tedj je b f(x) = d c f(x(t))x (t)dt, kjer je x(t) zvezno odvedljiv funkcij ter velj = x(c) in b = x(d). Glede n sodost ozirom lihost funkcije n simetričnem intervlu [,] velj nslednje f sod, tedj f(x) = 0 f(x) f lih, tedj f(x) = 0 Uporb določeneg integrl v geometriji 1. Ploščin lik med krivuljm. Dolžin lok 3. Prostornin rotcijskeg teles b l = (g(x) f(x)). b 1+f (x). V = b πf (x). 4. Površin rotcijske ploskve P = π b f(x) 1+(f (x)). Posplošeni integrl Definicij. (i) Če je funkcij f integrbiln n [,b] z vsk b R, b >, tedj je f(x) = lim b b f(x). (ii) Če je funkcij f integrbiln n [,b] z vsk R, < b, tedj je b f(x) = lim b f(x). 5 Mtevž Črepnjk
FKKT Mtemtik (iii) Če je funkcij f integrbiln n [,b] z vsk,br, < b, tedj je f(x) = lim 0 f(x)+ lim b b 0 f(x). Vsi trije integrli so posplošeni integrli funkcije f, če le obstjjo ustrezne limite. Funkcij Γ Γ(x+1) = 0 t x e t dt, Γ(x+1) = xγ(x), Γ(n+1) = n!, Γ( 1 ) = π. 6 Mtevž Črepnjk