Tadeja Kraner Šumenjak MATEMATIKA. Maribor, 2010

Tadeja Kraner Šumenjak in Vilma Šuštar MATEMATIKA Maribor, 2010

2 CIP-kataložni zapis o publikaciji Univerzitetna knjižnica Maribor CIP številka Avtor Naslov publikacije/avtor, kraj, založnik ISBN Naslov knjižne zbirke in ISSN številka COBISS-ID Izdajo univerzitetnega učbenika je odobril Senat Fakultete za kmetijstvo in biosistemske vede Univerze v Mariboru na xx. redni seji dne xxxx.

3 Naslov: Avtor: Strokovni recenzenti: Matematika - Univerzitetni učbenik Tadeja Kraner Šumenjak in Vilma Šuštar izr.prof.dr Jože Nemec in doc.dr. Aleksandra Tepeh Jezikovni recenzenti: Tehnični recenzenti: Računalniški prelom: Oblikovanje slik: Oblikovanje ovitka: Tipologija/vrsta publikacije: Založnik: Kraj založbe: Datum izida: Različica (e-pub): [dan.mesec.leto] R [številka] URL (e-pub): Sistemske zahteve (e-pub): Programske zahteve (e-pub):

4

Poglavje 1 Predgovor S tem delom želiva olajšati študentom na Fakulteti za kmetijstvo in biosistemske vede študij pri predmetu matematika. Veliko vsebin v tem učbeniku je ponovitev srednješolske snovi. Razlog za to je velika razlika v predznanju iz matematike študentov, ki se vpišejo na našo fakulteto. Izogibali sva se dokazom trditev in izrekov, ker meniva, da je cilj predmeta obvladanje matematičnih orodij v kmetijstvu. V učbeniku je veliko zgledov, na koncu vsakega poglavja pa še naloge s postopki za reševanje. V Mariboru, september 2010 Vilma in Tadeja 5

Kazalo 1 Predgovor 5 I Osnove linearne algebre 15 2 Determinante 17 2.1 Definicija determinante.......................... 17 2.2 Lastnosti determinant.......................... 19 2.3 Računanje determinant višjega reda................... 21 2.4 Naloge s postopki za reševanje...................... 24 3 Matrike 25 3.1 Osnovni pojmi.............................. 25 3.1.1 Vsota matrik........................... 25 3.1.2 Množenje matrike s skalarjem.................. 26 3.1.3 Produkt matrik.......................... 27 3.1.4 Transponirana matrika...................... 28 3.2 Kvadratne matrike............................ 28 3.2.1 Enotska matrika.......................... 28 3.2.2 Zgornje trikotna in spodnje trikotna matrika.......... 29 3.2.3 Adjungirana matrika....................... 29 3.2.4 Inverzna matrika......................... 30 3.3 Podobnostne transformacije in rang matrike.............. 30 3.4 Naloge s postopki za reševanje...................... 31 4 Sistemi linearnih enačb 35 4.1 Osnovni pojmi.............................. 35 4.2 Postopki za reševanje sistemov linearnih enačb............. 36 4.2.1 Reševanje sistema dveh linearnih enačb z dvema neznankama. 36 4.2.2 Reševanje sistema m linearnih enačb z n neznankami..... 37 4.2.3 Rešljivost sistema glede na rang matrike............ 43 6

KAZALO 7 4.3 Grafična predstavitev sistemov linearnih enačb............. 47 4.3.1 Sistem dveh linearnih enačb z dvema neznankama....... 47 4.3.2 Sistem linearnih enačb s tremi neznankami........... 48 4.4 Naloge s postopki za reševanje...................... 49 5 Linearno programiranje 53 5.1 Problem linearnega programiranja.................... 53 5.2 Grafična metoda............................. 54 5.3 Dualni problem.............................. 56 5.4 Naloge s postopki za reševanje...................... 64 6 Vektorji 69 6.1 Osnovne definicije vektorjev....................... 69 6.2 Osnovne operacije z vektorji....................... 70 6.3 Linearna kombinacija vektorjev..................... 71 6.4 Vektorji v pravokotnem koordinatnem sistemu............. 72 6.5 Skalarni produkt............................. 75 6.6 Vektorski produkt............................. 77 6.7 Mešani produkt.............................. 79 6.8 Enačba premice v prostoru........................ 81 6.9 Enačba ravnine v prostoru........................ 82 6.10 Naloge s postopki za reševanje...................... 86 II Osnove matematične analize 91 7 Procentni račun 93 7.1 Procentni in sklepni račun........................ 93 7.2 Naloge s postopki za reševanje...................... 95 8 Raztopine 97 8.1 Mešanje raztopin............................. 97 8.2 Naloge s postopki za reševanje...................... 99 9 Zaporedja 103 9.1 Definicija in osnovne lastnosti...................... 103 9.2 Aritmetično zaporedje.......................... 106 9.3 Geometrijsko zaporedje.......................... 107 9.4 Stekališča in limita............................ 108 9.4.1 ɛ - okolica točke a......................... 108 9.4.2 Stekališče zaporedja........................ 109

8 KAZALO 9.4.3 Limita zaporedja......................... 109 9.5 Naloge s postopki za reševanje...................... 111 10 Vrste 117 10.1 Vrste.................................... 117 10.2 Vrste s pozitivnimi členi......................... 119 10.2.1 Ugotavljanje konvergentnosti vrste z majoranto........ 119 10.2.2 D Alambertov kriterij...................... 120 10.2.3 Raabejev kriterij......................... 121 10.3 Absolutno in pogojno konvergentne vrste................ 122 10.4 Alternirajoče vrste............................ 122 10.5 Naloge s postopki za reševanje...................... 123 11 Funkcije in njihove lastnosti 125 11.1 Funkcije.................................. 125 11.2 Realne funkcije.............................. 125 11.3 Linearna funkcija............................. 129 11.3.1 Definicija in lastnosti....................... 129 11.3.2 Oblike enačbe premice...................... 132 11.4 Kvadratna funkcija............................ 133 11.4.1 Definicija in lastnosti....................... 133 11.4.2 Oblike zapisa kvadratne funkcije................. 135 11.4.3 Reševanje kvadratne neenačbe.................. 136 11.5 Potenčna in korenska funkcija...................... 138 11.5.1 Potence z racionalnimi eksponenti................ 138 11.5.2 Koreni poljubnih stopenj..................... 139 11.5.3 Definicija in lastnosti potenčne funkcije............. 140 11.5.4 Definicija in lastnosti korenske funkcije............. 143 11.6 Polinom.................................. 145 11.6.1 Definicija in lastnosti....................... 145 11.6.2 Deljenje polinomov in osnovni izrek o deljenju......... 147 11.7 Racionalna funkcija............................ 148 11.7.1 Definicija in lastnosti....................... 148 11.7.2 Racionalne enačbe in neenačbe................. 151 11.8 Eksponentna in logaritemska funkcija.................. 153 11.8.1 Definicija in lastnosti eksponentne funkcije........... 153 11.8.2 Definicija in lastnosti logaritemske funkcije........... 154 11.8.3 Število e in naravni logaritem.................. 155 11.8.4 Primera uporabe eksponentne funkcije (eksponentna rast).. 156 11.9 Trigonometrične funkcije......................... 157

KAZALO 9 11.9.1 Radian............................... 157 11.9.2 Definicija kotnih funkcij v pravokotnem trikotniku....... 158 11.9.3 Definicija kotnih funkcij v enotski krožnici........... 159 11.9.4 Lastnosti in grafi kotnih funkcij................. 159 11.9.5 Zveze med kotnimi funkcijami.................. 161 11.10Krožne funkcije.............................. 162 11.11Naloge s postopki za reševanje...................... 164 12 Odvod 169 12.1 Limita in zveznost funkcije........................ 169 12.2 Definicija odvoda............................. 171 12.3 Geometrični pomen odvoda....................... 174 12.4 Pravila za odvajanje........................... 175 12.5 L Hospitalovo pravilo........................... 177 12.6 Ekstremi funkcij.............................. 178 12.7 Uporabne naloge............................. 184 12.8 Taylorjeva formula............................ 185 12.9 Naloge s postopki za reševanje...................... 186 13 Integral 191 13.1 Nedoločeni integral............................ 191 13.1.1 Integral vsote dveh funkcij.................... 192 13.1.2 Integral produkta funkcije s konstanto............. 192 13.1.3 Vpeljava nove spremenljivke ali substitucija.......... 193 13.1.4 Integriranje po delih (per partes)................ 193 13.1.5 Integriranje nekaterih racionalnih funkcij............ 194 13.2 Določeni integral............................. 198 13.2.1 Lastnosti določenega integrala.................. 199 13.3 Zveza med določenim in nedoločenim integralom............ 200 13.4 Uporaba določenega integrala...................... 201 13.4.1 Računanje ploščin......................... 201 13.4.2 Računanje prostornine vrtenin.................. 203 13.4.3 Računanje površine rotacijske ploskve.............. 203 13.4.4 Računanje dolžine krivulje.................... 204 13.5 Naloge s postopki za reševanje...................... 204

Slike 4.1 Rešljivost sistema linearnih enačb z n neznankami........... 43 4.2 Premici se sekata.............................. 48 4.3 Premici se prekrivata............................ 48 4.4 Premici sta vzporedni........................... 49 5.1 Zgled 27................................... 55 5.2 Slika za zgled 29.............................. 58 5.3 Slika za zgled 29.............................. 59 5.4 Slika za zgled 30.............................. 61 5.5 Slika za zgled 31.............................. 63 5.6 Slika za nalogo 1.............................. 67 5.7 Slika za nalogo 2.............................. 67 5.8 Slika za nalogo 3.............................. 68 6.1 Vektor.................................... 69 6.2 Seštevanje vektorjev............................ 70 6.3 Odštevanje vektorjev............................ 71 6.4 Vektor v pravokotnem koordinatnem sistemu.............. 73 6.5 Trikotnik ABC............................... 74 6.6 Skalarni produkt.............................. 76 6.7 Vektorski produkt............................. 77 6.8 Paralelepiped, ki ga določajo vektorji a, b in c.............. 79 6.9 Enačba premice v prostoru........................ 81 6.10 Oddaljenost poljubne točke od premice.................. 82 6.11 Enačba ravnine v prostoru......................... 83 9.1 Okolica točke................................ 109 9.2 Stekališče zaporedja............................ 109 11.1 Ni graf nobene funkcije.......................... 127 11.2 Inverzna funkcija.............................. 129 11.3 Grafi linearnih funkcij iz zgleda 71.................... 130 11.4 Konstantna funkcija............................ 131 10

SLIKE 11 11.5 Premica iz zgleda 72............................ 131 11.6 Vodilni koeficient je pozitiven....................... 133 11.7 Vodilni koeficient je negativen....................... 134 11.8 Pomen diskriminante............................ 135 11.9 Teme in zaloga vrednosti kvadratne funkcije............... 135 11.10Graf funkcije f(x) = x 2 + 2x 2..................... 137 11.11Potenčne funkcije z naravnim lihim eksponentom............ 141 11.12Potenčne funkcije z naravnim sodim eksponentom............ 142 11.13Potenčne funkcije s celim negativnim lihim eksponentom........ 142 11.14Potenčne funkcije s celim negativnim sodim eksponentom....... 143 11.15Graf korenskih funkcij z lihim korenskim eksponentom......... 144 11.16Graf korenskih funkcij s sodim korenskim eksponentom........ 145 11.17Predznak polinoma............................. 147 11.18Graf polinoma p(x) = x 4 x 3 x 2 + x.................. 147 11.19Sodi pol................................... 149 11.20Lihi pol................................... 149 11.21Predznaki................................. 151 11.22Graf funkcije f(x) = x2 2x 2....................... 151 2x 2 2 11.23Predznak funkcije h............................ 152 11.24Grafa funkcij f(x) = 2 x in g(x) = ( 1 x. 2)................ 154 11.25Grafa funkcij f(x) = log 2 x in g(x) = log 1 x............... 155 2 11.26Funkciji f(x) = e x in g(x) = ln x..................... 156 11.27Radian................................... 158 11.28Prvokotni trikotnik............................. 158 11.29Enotska krožnica.............................. 159 11.30Graf funkcije sinus............................. 160 11.31Graf funkcije kosinus............................ 160 11.32Graf funkcije tangens........................... 161 11.33Graf funkcije kotangens.......................... 162 11.34Graf funkcije arkus sinus......................... 163 11.35Graf funkcije arkus kosinus........................ 163 11.36Graf funkcije arkus tangens........................ 164 11.37Slika k nalogi 1............................... 164 11.38Definicijsko območje........................... 167 12.1 Limita funkcije............................... 170 12.2 Primer funkcije, ki nima limite...................... 171 12.3 Diferenčni količnik............................. 173 12.4 Primer funkcije, ki ni odvedljiva..................... 173 12.5 V limitnem postopku sekante preidejo v tangento............ 174

12 SLIKE 12.6 Geometrijski pomen odvoda........................ 175 12.7 Globalni in lokalni ekstremi........................ 179 12.8 Primer funkcije, ki nima ekstrema.................... 180 12.9 Predznaki prvega odvoda funkcije iz zgleda 110............. 181 12.10Konveksnost, konkavnost in prevoj.................... 182 12.11Graf funkcije iz zgleda 111......................... 184 12.12Graf funkcije k nalogi 6.......................... 189 13.1 Riemannova vsota............................. 198 13.2 Ploščina lika, ki je omejen z grafom pozitivne funkcije in x-osjo.... 201 13.3 Ploščina lika, ki je omejen z grafom negativne funkcije in x-osjo.... 202 13.4 Slika k zgledu 134............................. 202 13.5 Ploščina lika, ki je omejen z grafoma dveh funkcij............ 203 13.6 Slika k nalogi 10.............................. 206

Tabele 5.1 Tabela za zgled 28............................. 57 5.2 Tabela za zgled 29............................. 59 5.3 Tabela za zgled 30............................. 60 5.4 Tabela za zgled 30 (dopolnjena)...................... 61 5.5 Načrt prevoza za zgled 30......................... 62 5.6 Cene prevozov na posameznih relacijah.................. 62 5.7 Tabela za zgled 31............................. 62 5.8 Cene prevozov na posameznih relacijah.................. 63 11.1 Tabela za linearno funkcijo iz zgleda 72................. 131 12.1 Tabeliranje funkcije f(x) = e 1 x 2...................... 169 12.2 Pravila za odvajanje funkcij........................ 175 12.3 Tabela odvodov nekaterih elementarnih funkcij............. 176 13.1 Tabela integralov elementarnih funkcij.................. 192 13

14 TABELE

Del I Osnove linearne algebre 15

Poglavje 2 Determinante 2.1 Definicija determinante Vzemimo sistem 2 enačb z 2 neznankama: Tedaj je rešitev sistema a 11 x + a 12 y = c 1 a 21 x + a 22 y = c 2. x = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12 a 21 in y = c 2a 11 c 1 a 21. a 11 a 22 a 12 a 21 Opazimo, da v imenovalcu za rešitev x in y nastopajo le koeficienti na levi strani obeh enačb. Še več, sistem ima rešitev le, če je a 11a 22 a 12 a 21 različen od 0. Definirajmo sedaj D = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21. Rešitve sistema lahko sedaj zapišemo pregledneje: x = c 1a 22 c 2 a 12 = D 1 a 11 a 22 a 12 a 21 D = c 1 a 12 c 2 a 22 a 11 a 12 a 21 a 22 in y = c 2a 11 c 1 a 21 a 11 a 22 a 12 a 21 = D 2 D = 17 a 11 c 1 a 21 c 2 a 11 a 12, a 21 a 22

18 POGLAVJE 2. DETERMINANTE kjer je D 1 = c 1 a 12 c 2 a 22 = c 1a 22 c 2 a 12 in D 2 = a 11 c 1 a 21 c 2 = a 11c 2 a 21 c 1. Sheme števil znotraj obeh navpičnih črt imenujemo determinante reda 2. Izkaže se, da determinante igrajo pomembno vlogo pri reševanju sistemov linearnih enačb, kar bomo podrobneje obravnavali v poglavju Sistemi linearnih enačb. Simbolično determinanto reda n zapišemo na naslednji način: a 11 a 12 a 13... a 1n a 21 a 22 a 23... a 2n..... = ±a 1k1 a 2k2 a 3k3,..., a nkn,.. a n1 a n2 a n3... a nn pri čemer a ij predstavlja število v i-ti vrstici in j-tem stolpcu. Determinanti reda n priredimo vrednost na ta način, da izračunamo vsoto vseh n! možnih produktov n elementov tako, da vsebuje vsak produkt natanko en element iz vsake vrstice in vsakega stolpca. Predznak produkta določimo tako, da preštejemo vse zamenjave po dva elementa v razporeditvi k 1, k 2,..., k n, ki so potrebne, da preuredimo to razporeditev v naravni vrstni red. Če je potrebnih sodo število razporeditev, tedaj ima produkt pozitiven predznak, v nasprotnem pa negativen. Determinanto lahko izračunamo tudi tako, da jemljemo zapored elemente iz posameznih stolpcev. Tedaj dobimo D = ±a k1 1a k2 2a k3 3,..., a knn. Enovrstna determinanta ima vrednost: D = a = a. Dvovrsta determinanta ima vrednost: a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 12 a 21. Njeno vrednost torej izračunamo tako, da od vrednosti produkta členov na diagonali od zgoraj navzdol proti desni odštejemo vrednost produkta členov na diagonali od zgoraj navzdol proti levi. Zgled 1. 2 8 3 1 = 2 1 ( 8) 3 = 2 + 24 = 26. Trovrstno determinanto izračunamo takole: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 =

2.2. LASTNOSTI DETERMINANT 19 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. Za pomoč si lahko prva dva stolpca determinante prepišemo. Prve tri člene iz zgornjega obrazca sedaj predstavljajo produkti števil na diagonalah od zgoraj navzdol proti desni, zadnje tri člene pa produkti na diagonalah od zgoraj navzdol proti levi (glej zgled 2). Determinante višjih redov pa se računajo s pomočjo poddeterminant. Zgled 2. Enak rezultat dobimo, če pripišemo namesto prvih dveh stolpcev prvi dve vrstici. 2.2 Lastnosti determinant (1) Naj bosta D in D determinanti reda n. Determinanto D dobimo tako, da vsako vrstico determinante D zapišemo v stolpec. Potem velja, da sta njuni vrednosti enaki: D = a 11 a 12 a 13... a 1n a 21 a 22 a 23... a 2n....... a n1 a n2 a n3... a nn = a 11 a 21 a 31... a n1 a 12 a 22 a 32... a n2....... a 1n a 2n a 3n... a nn = D. Zgled 3. D = D = 2 3 1 0 2 3 8 5 1 2 0 8 3 2 5 1 3 1 = 4 + 72 + 0 0 ( 30) 16 = 82. = 4 + 0 + 72 0 ( 30) 16 = 82.

20 POGLAVJE 2. DETERMINANTE Posledica tega je, da vsaka lastnost, ki velja za vrstice, velja tudi za stolpce in obratno. Zato lahko vedno, kadar govorimo o vrsticah, mislimo tudi na stolpce. (2) Če v determinanti k eni vrstici (stolpcu) prištejemo poljuben večkratnik druge vrstice (stolpca), se determinanta ne spremeni. Zgled 4. Vzemimo determinanto D iz zgleda 3: 2 3 1 D = 0 2 3 8 5 1 = 82. Pomnožimo prvo vrstico s 4 in jo prištejmo k tretji vrstici: 2 3 1 D = 0 2 3 = 20 + 0 + 0 0 ( 102) 0 = 82. 0 17 5 (3) Če pomnožimo vse elemente kake vrstice (stolpca) z istim faktorjem, je dobljena determinanta enaka prvotni determinanti pomnoženi s tem faktorjem. Ta lastnost v drugi smeri pomeni, da lahko iz vrstice (stolpca) izpostavimo skupni delitelj. Zgled 5. D = 2 3 6 2 = 2 1 3 3 2 = 2 (2 ( 9)) = 2 11 = 22. (4) Če v determinanti med seboj zamenjamo dve vrstici (stolpca), determinanta spremeni predznak. Njena absolutna vrednost pa se ohrani. Zgled 6. Vzemimo ponovno determinanto iz zgleda 3: 2 3 1 D = 0 2 3 8 5 1 = 82. Zamenjajmo prvo in drugo vrstico: 3 2 1 2 0 3 = 0 + ( 30) + 16 ( 4) 72 0 = 82. 5 8 1 (5) Determinanta z dvema enakima ali proporcialnima vrsticama (stolpcema) ali z vrstico (stolpcem) samih ničel je enaka nič.

2.3. RAČUNANJE DETERMINANT VIŠJEGA REDA 21 Zgled 7. Determinanta z dvema enakima vrsticama: 2 1 0 1 2 1 2 1 0 = 2 2 = 0. Determinanta z dvema proporcionalnima vrsticama: 2 1 3 6 3 9 = 18 18 = 0. 0 1 0 Determinanta z vrstico samih ničel: 2 1 3 1 2 1 0 0 0 = 0 0 = 0. (6) Če so vsi elementi na eni strani diagonale enaki 0, potem je vrednost determinante enaka produktu števil na diagonali. Zgled 8. 2 3 1 2 0 1 1 3 0 0 3 1 0 0 0 1 = 2 1 ( 3) 1 = 6. 2.3 Računanje determinant višjega reda Naj bo dana determinanta D reda n a 11 a 12... a 1,j 1 a 1,j a 1,j+1... a 1n a 21 a 22... a 2,j 1 a 2,j a 2,j+1... a 2n............ a D = i 1,1 a i 1,2... a i 1,j 1 a i 1,j a i 1,j+1... a i 1,n a i1 a i2... a i,j 1 a i,j a i,j+1... a in a i+1,1 a i+1,2... a i+1,j 1 a i+1,j a i+1,j+1... a i+1,n............ a n1 a n2... a n,j 1 a n,j a n,j+1... a nn. Izberimo si poljuben element a ij determinante D. Iz determinante D dobimo determinanto reda n 1, če iz determinante D izbrišemo i-to vrstico in j-ti stolpec. Dobljena determinanta reda n 1 pomnožena s faktorjem ( 1) i+j je poddeterminanta k elementu a ij. Označimo jo z A ij.

22 POGLAVJE 2. DETERMINANTE Zgled 9. Zapišimo vse poddeterminante determinante D = 2 1 0 4 5 2 2 2 1 Poddeterminante so: A 11 = ( 1) 1+1 5 2 2 1 = 1 (5 1 ( 2) 2) = 5 + 4 = 9, A 12 = ( 1) 1+2 4 2 2 1 = 1 (4 1 ( 2) 2) = (4 + 4) = 8, A 13 = ( 1) 1+3 4 5 2 2 = 1 (4 2 5 2) = (8 10) = 2, A 21 = ( 1) 2+1 1 0 2 1 = 1 ( 1 1 0 2) = ( 1 0) = 1, A 22 = ( 1) 2+2 2 0 2 1 = 1 (2 1 0 2) = (2 0) = 2, A 23 = ( 1) 2+3 2 1 2 2 = 1 (2 2 ( 1) 2) = (4 + 2) = 6, A 31 = ( 1) 3+1 1 0 5 2 = 1 ( 1 ( 2) (0) 5) = (2 + 0) = 2, A 32 = ( 1) 3+2 2 0 4 2 = 1 (2 ( 2) 0 4) = ( 4 + 0) = 4, A 33 = ( 1) 3+3 2 1 4 5 = 1 (2 5 ( 1) 4) = (10 + 4) = 14. Determinanto D reda n izračunamo tako, da skalarno množimo katero koli vrsto (stolpec) v determinanti z vrsto (stolpcem) pripadajočih poddeterminant: a 11 a 12 a 13... a 1n a 21 a 22 a 23... a 2n D =...... =. a n1 a n2 a n3... a nn. = a i1 A i1 + a i2 A i2 +... + a in A in = a 1j A 1j + a 2j A 2j +... + a nj A nj. Tak način izračunavanja imenujemo razvoj po i-ti vrstici (j-tem stolpcu). Zgled 10. Razvijmo determinanto D = in po tretjem stolpcu. 2 1 0 4 5 2 2 2 1 iz zgleda 9 po drugi vrstici

2.3. RAČUNANJE DETERMINANT VIŠJEGA REDA 23 Razvoj po drugi vrstici: 2 1 0 D = 4 5 2 2 2 1 = a 21A 21 + a 22 A 22 + a 23 A 23 = = 4 1 + 5 2 + ( 2) ( 6) = 4 + 10 + 12 = 26. Razvoj po tretjem stolpcu: 2 1 0 D = 4 5 2 2 2 1 = a 13A 13 + a 23 A 23 + a 33 A 33 = = 0 ( 2) + ( 2) ( 6) + 1 14 = 0 + 12 + 14 = 26. Vidimo, da se razvoj po vrstici oz. stolpcu, ki vsebuje ničle poenostavi, zato si pri računanju vrednosti determinant vedno izberemo razvoj po stolcu oz. vrstici, ki vsebuje največje število ničel. 2 4 0 4 Zgled 11. Izračunajmo vrednost determinante D = 1 5 7 0 1 3 5 6. 0 2 0 0 Vidimo, da je v četrti vrstici največ ničel, zato bomo determinanto D razvili po četrti vrstici: 2 4 0 4 D = 1 5 7 0 1 3 5 6 = 0 A 41 + ( 2) A 42 + 0 A 43 + 0 A 44. 0 2 0 0 Vsi členi razen drugega so nič, zato je D = ( 2) A 42 = ( 2)( 1) 4+2 2 0 4 1 7 0 1 5 6 = = ( 2)( 2 7 6+0 0 ( 1)+( 4) ( 1) ( 5) 0 ( 1) 6 2 0 ( 5) ( 4) 7 ( 1)) = = ( 2)(84 + 0 20 0 0 28) = ( 2)(36) = 72. Običajno izračunamo determinanto tako, da z upoštevanjem lastnosti determinant posamezne vrste (stolpce) množimo in seštevamo tako, da dobimo v eni vrsti (stolpcu) z izjemo enega elementa same ničle.

24 POGLAVJE 2. DETERMINANTE 2.4 Naloge s postopki za reševanje 1. Rešimo enačbo x 2 3 2 x 1 1 0 1 3 = 0. Rešitev: Izračunamo determinanto: x 2 3 2 x 1 1 0 1 3 = 3x2 + 0 + 2x 0 x 2 9x = 4x 2 7x Dobimo enačbo: Levo stran razstavimo: Imamo dve rešitvi: 4x 2 7x = 0. x(4x + 7) = 0 x 1 = 0, x 2 = 7 4.

Poglavje 3 Matrike 3.1 Osnovni pojmi Pravokotno shemo m n števil, razporejenih v m vrstic in n stolpcev, imenujemo matrika dimenzije m n. Števila v shemi imenujemo elementi matrike. Element a ij leži v i-ti vrstici in j-tem stolpcu. a 11 a 12... a 1,j 1 a 1,j a 1,j+1... a 1n a 21 a 22... a 2,j 1 a 2,j a 2,j+1... a 2n............ a A = i 1,1 a i 1,2... a i 1,j 1 a i 1,j a i 1,j+1... a i 1,n a i1 a i2... a i,j 1 a i,j a i,j+1... a in a i+1,1 a i+1,2... a i+1,j 1 a i+1,j a i+1,j+1... a i+1,n............ a n1 a n2... a n,j 1 a n,j a n,j+1... a nn Matriko A lahko zapišemo krajše: A = [a ij ]; i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n. Zgled 12. Dana je matrika A = [ 2 1 0 4 5 2 ]. Dimenzija matrike A je 2 3. Njeni elementi so: a 11 = 2, a 12 = 1, a 13 = 0, a 21 = 4, a 22 = 5, a 23 = 2. 3.1.1 Vsota matrik 25

26 POGLAVJE 3. MATRIKE Seštevamo lahko le matrike istih dimenzij. seštejemo istoležne elemente: Zgled 13. Zgled 14. Dve matriki seštejemo tako, da [a ij ] + [b ij ] = [a ij + b ij ], i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n. 2 1 0 8 3 2 5 11 7 [ 2 1 0 8 3 2 + ] 1 0 6 7 3 5 6 4 7 [ 1 0 6 7 3 5 ] = 3.1.2 Množenje matrike s skalarjem = 1 1 6 1 0 3 11 7 0 [ 3 1 6 15 6 3. ]. Matriko A = [a ij ] pomnožimo s skalarjem λ R tako, da z njim pomnožimo vsak element v matriki: λ [a ij ] = [λa ij ]. Zgled 15. 3 [ 2 1 0 8 3 2 ] = [ 6 3 0 24 9 6 Lastnosti vsote in množenja matrike s skalarjem Naj bodo A, B in C matrike dimenzije m n in s, t R poljubna skalarja. 1. Seštevanje je komutativno: A + B = B + A. 2. Seštevanje je asociativno: (A + B) + C = A + (B + C). 3. Obstaja nevtralni element 0 (matrika): A + 0 = A. Pri čemer je 0 matrika samih ničel in je enake dimenzije kot matrika A. Imenujemo jo ničelna matrika. 4. Vsaka matrika A ima nasprotno matriko A: A + ( A) = 0. Elementi matrike A se od matrike A razlikujejo le po predznaku. 5. Distributivnost v matričnem faktorju: t(a + B) = ta + tb. 6. Distributivnost v skalarnem faktorju: (s + t)a = sa + ta. 7. Homogenost: (st)a = s(ta). 8. Obstaja nevtralni element za množenje (skalar): 1 A = A. ].

3.1. OSNOVNI POJMI 27 3.1.3 Produkt matrik Dve matriki lahko pomnožimo natanko takrat, ko je število stolpcev prve matrike enako številu vrstic druge matrike. Naj bo torej A = [a ij ] matrika dimenzije m p in B = [b ij ] matrika dimenzije p n. Potem je produkt C = A B matrika dimenzije m n s splošnim elementom: c ij = p a ik b kj = a i1 b 1j + a i2 b 2j +... + a ip b pj. k=1 Če gledamo na i-to vrstico matrike A in j-ti stolpec matrike B kot na vektorja, potem je element c ij matrike C = AB enak skalarnemu produktu opisanih vektorjev. Skalarni produkt vektorjev bomo podrobneje obravnavali v poglavju Vektorji. Zgled 16. Izračunajmo produkt matrik: A = 1 2 3 4 5 6 3 2 1 in B = 3 0 1 1 1 4 Matrika A je dimenzije 3 3, matrika B pa 3 2, torej bo matrika C = AB dimenzije 3 2. Izračunajmo vrednosti vseh elementov: c 11 = 1 3 + 2 1 + 3 ( 1) = 3 + 2 3 = 2, c 12 = 1 0 + 2 1 + 3 4) = 0 + 2 + 12 = 14, c 21 = 4 3 + 5 1 + 6 ( 1) = 12 + 5 6 = 11, c 22 = 4 0 + 5 1 + 6 4 = 0 + 5 + 24 = 29, c 31 = 3 3 2 1 + 1 = 9 2 + 1 = 10, c 32 = 3 0 2 1 4 = 0 2 4 = 6. Torej je Lastnosti množenja matrik C = AB = 2 14 11 29 10 6 1. Množenje matrik ni komutativno: AB BA. Zgled 17. Vzemimo matriki iz zgleda 16. Produkt BA ni samo različen od produkta AB, vendar sploh ne obstaja, saj število stolpcev prve matrike ni enako številu vrstic druge matrike... Produkt matrik ni komutativen, tudi če obstajata oba produkta AB in BA.

28 POGLAVJE 3. MATRIKE Zgled [ 18. ] Izračunajmo produkta AB in BA za matriki 2 A = in B = [ 3 1 ] : 1 [ ] 6 2 AB =, 3 1 BA = [ 5 ]. Vidimo, da AB BA. 2. Množenje matrik je asociativno: (AB)C = A(BC). 3.1.4 Transponirana matrika Transponirano matriko k matriki A označimo A T in jo dobimo tako, da vsako vrstico iz matrike A zapišemo v stolpec matrike A T : i-ta vrstica matrike A je i- ti stolpec matrike A T. a 11 a 12 a 13... a 1n a 11 a 21 a 31... a n1 a 21 a 22 a 23... a 2n A =......., a 12 a 22 a 32... a n2 AT =........ a n1 a n2 a n3... a nn a 1n a 2n a 3n... a nn Zgled 19. Zapišimo transponirano matriko k matriki A = A T = 3.2 Kvadratne matrike [ 3 1 1 0 2 4 3 0 1 2 1 4 Kvadratne matrike so matrike dimenzije n n (imajo enako število vrstic in stolpcev). Vsaki kvadratni matriki A lahko priredimo determinanto, ki jo označimo det(a) ali A. ].. 3.2.1 Enotska matrika

3.2. KVADRATNE MATRIKE 29 Kvadratni matriki, ki ima na diagonali števila 1, izven nje pa same ničle, pravimo enotska matrika ali identična matrika. Označimo jo z I: 1 0 0... 0 0 1 0... 0 I = 0 0 1... 0........ 0 0 0... 1 Za vsako kvadratno matriko A velja: AI = IA = A. 3.2.2 Zgornje trikotna in spodnje trikotna matrika Kvadratna matrika je zgornje trikotna, če so pod glavno diagonalo same 0: a 11 a 12 a 13... a 1n 0 a 22 a 23... a 2n 0 0 a 33... a 3n........ 0 0 0... a nn Kvadratna matrika je spodnje trikotna, če so nad diagonalo same 0: a 11 0 0... 0 a 21 a 22 0... 0 a 31 a 32 a 33... 0........ a n1 a n2 a n3... a nn 3.2.3 Adjungirana matrika Adjungirano (ali prirejeno) matriko à h kvadratni matriki A dobimo tako, da jo transponiramo, nato pa vsak element a ij zamenjamo z vrednostjo pripadajoče poddeterminante A ij : a 11 a 12 a 13... a 1n A 11 A 21 A 31... A n1 a 21 a 22 a 23... a 2n A =......., à = A 12 A 22 A 32... A n2........ a n1 a n2 a n3... a nn A 1n A 2n A 3n... A nn

30 POGLAVJE 3. MATRIKE 3.2.4 Inverzna matrika Matrika A 1 je inverzna (ali obratna) k matriki A, če velja: AA 1 = A 1 A = I. Inverzna matrika matrike A obstaja natanko takrat, ko je det(a) 0 in velja: A 1 = 1 det(a) Ã. 3.3 Podobnostne transformacije in rang matrike Denimo, da imamo matriko A in v njej naredimo eno izmed navedenih podobnostnih transformacij (elementarnih transformacij): Zamenjava dveh vrstic ali stolpcev. Množenje vrstice (stolpca) s poljubnim neničelnim številom. Vrstici (stolpcu) prištejemo drugo vrstico (stolpec) pomnoženo s poljubnim neničelnim številom. V tem primeru smo dobili matriko za katero pravimo, da je podobna prvotni matriki. Podobnost matrik označimo s simbolom =. Rang matrike A dimenzije n m je r, če je r r dimenzija največje podmatrike matrike A, ki ima neničelno determinanto, kar zapišemo rang(a) = r. V praksi določimo rang tako, da s podobnostnimi transformacijami prevedemo dano matriko na zgornje trikotno matriko. Izkaže se namreč, da se rang ne spremeni, če izvedemo podobnostno transformacijo na matriki. Število od nič različnih členov, ki jih lahko pri teh transformacijah namestimo na glavno diagonalo določa rang dane matrike. Rang matrike bo igral pomembno vlogo pri reševanju sistemov linearnih enačb. Zgled 20. Določimo rang matrike A = 1 2 3 0 2 1 0 4 2 2 6 8 11 10 9 16.

3.4. NALOGE S POSTOPKI ZA REŠEVANJE 31 A = Rang matrike je 2. 3 1 2 0 0 2 1 4 6 2 2 8 9 11 10 16 = 3 1 2 0 0 2 1 4 0 4 2 8 0 8 4 16 = 3 1 2 0 0 2 1 4 0 0 0 0 0 0 0 0 3.4 Naloge s postopki za reševanje 1. Izračunajmo inverzno matriko k matriki A = Rešitev: det(a) = A 11 = ( 1) 2 1 5 0 2 A 13 = ( 1) 4 1 1 4 0 A 22 = ( 1) 4 2 3 4 2 A 31 = ( 1) 4 0 3 1 5 A 33 = ( 1) 6 2 0 1 1 2 0 3 1 1 5 4 0 2 2 0 3 1 1 5 4 0 2. = 4 + 0 + 0 0 0 12 = 8, = 2, A 12 = ( 1) 3 1 5 4 2 = 22, = 4, A 21 = ( 1) 3 0 3 0 2 = 0, = 8, A 23 = ( 1) 5 2 0 1 1 = 0, = 3, A 32 = ( 1) 5 2 3 1 5 = 13, = 2, Ã = A 1 = 2 0 3 22 8 13 4 0 0 2 0 3 22 8 13 4 0 2,,

32 POGLAVJE 3. MATRIKE A 1 = 1 det(a) Ã = 1 8 2 0 3 22 8 13 4 0 2 = 1 4 0 3 8 11 13 1 8 8 1 2 0 1 4 2. Rešimo matrično enačbo AX = B, kjer je 2 3 1 1 2 4 A = 3 2 2 in B = 3 0 1. 0 4 0 1 1 1 Rešitev: Najprej iz enačbe AX = B izrazimo matriko X. Če bi bila A, X in B realna števila, potem bi X izrazili tako, da bi celo enačbo delili z matriko A. Vendar, pri matrikah ne poznamo deljenja. Zato si pomagamo z inverzno matriko. Torej celo enačbo pomnožimo z matriko A 1. Ker množenje matrik ni komutativno, je pomembno iz katere strani množimo. Da dobimo na levi samo X, moramo z matriko A 1 pomnožiti iz leve: A 1 \ AX = B A 1 A X = A 1 B I X = A 1 B X = A 1 B. Poiščimo matriko A 1 : det(a) = A 11 = ( 1) 2 2 2 4 0 = 8, A 21 = ( 1) 3 3 1 4 0 = 4, A 31 = ( 1) 4 3 1 2 2 = 4, 2 3 1 3 2 2 0 4 0 = 12 ( 16) = 4, A 12 = ( 1) 3 3 2 0 0 = 0, A 13 = ( 1) 4 3 2 0 4 12, A 22 = ( 1) 4 2 1 0 0 = 0, A 23 = ( 1) 5 2 3 0 4 8, A 32 = ( 1) 5 2 1 3 2 = 1, A 33 = ( 1) 6 2 3 3 2 5, 8 4 4 Ã = 0 0 1, 12 8 5 = = =

3.4. NALOGE S POSTOPKI ZA REŠEVANJE 33 A 1 = 1 4 8 4 4 0 0 1 12 8 5 2 1 1 = 1 0 0 4 3 2 5 4. Sedaj pa še zmnožimo: X = A 1 B = 4 3 8 1 4 31 4 1 4 19 4 1 4 51 4 = 1 4 16 12 24 1 1 1 31 19 51 Rezultat lahko pustimo v tem zadnjem zapisu, saj je preglednejši. 1 2 0 2 0 1 3. Izračunajmo det(a(b I)), če je A = 3 1 1 in B = 1 2 0 1 0 2 0 1 2 Rešitev: Upoštevamo, da je I identična matrika in izračunamo izraz v oklepaju. 2 0 1 1 0 0 3 0 1 B I = 1 2 0 0 1 0 = 1 1 0 0 1 2 0 0 1 0 1 3.. AB = 1 2 0 3 1 1 1 0 2 3 0 1 1 1 0 0 1 3 = 5 2 1 8 2 6 3 2 7 Sedaj izračunamo še determinanto: 5 2 1 det(a(b I)) = 8 2 6 = 70 36 + 16 6 60 + 112 = 96. 3 2 7

34 POGLAVJE 3. MATRIKE

Poglavje 4 Sistemi linearnih enačb 4.1 Osnovni pojmi Sistem m linearnih enačb z n neznankami ima naslednjo obliko a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 +... + a 2n x n = b 2........ a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x 3 +... + a mn x n = b m. Pri tem nam a ij predstavlja koeficient pred j-to neznanko v i-ti enačbi (vrstici), b i pa desno stran i-te enačbe. Vsakemu sistemu lahko priredimo matriko sistema a 11 a 12 a 13... a 1n a 21 a 22 a 23... a 2n A =....... a m1 a m2 a m3... a mn in razširjeno matriko sistema a 11 a 12 a 13... a 1n b 1 a 21 a 22 a 23... a 2n b 2 [A B] =......... a m1 a m2 a m3... a mn b m Označimo še matriki dimenzije m 1. Matrika neznank je x 1 x 2 X =. 35 x m

36 POGLAVJE 4. SISTEMI LINEARNIH ENAČB in matrika desnih strani enačb B = b 1 b 2. b m. Potem lahko zgornji sistem enačb krajše zapišemo kot matrično enačbo AX = B. Sistem, ki ima desno stran v celoti enako 0 (b i = 0, i = 1, 2,..., m) imenujemo homogeni sistem, vse druge pa nehomogeni sistemi. Rešitev sistema je urejena n-terica števil (x 1, x 2, x 3,..., x n ), ki zadošča vsem enačbam sistema. Glede na število rešitev ločimo sisteme v tri skupine. 1. Protisloven sistem je nerešljiv oz. njegova množica rešitev je prazna množica. 2. Enolično rešljiv ali določen sistem ima natanko eno rešitev. 3. Nedoločen sistem ima neskončno množico rešitev. 4.2 Postopki za reševanje sistemov linearnih enačb Sistema enačb sta ekvivalentna, če imata enako množico rešitev. Iz danega sistema dobimo ekvivalentni sistem, če napravimo elementarne transformacije (preoblikovanja), ki so: Poljubni enačbi lahko zamenjamo. Poljubno enačbo lahko na levi in desni strani pomnožimo (ali delimo) s poljubnim neničelnim številom. Poljubni enačbi lahko prištejemo drugo enačbo, pomnoženo z nekim od 0 različnim številom. 4.2.1 Reševanje sistema dveh linearnih enačb z dvema neznankama Vzemimo sistem Sistem lahko rešimo na več načinov: x + y = 0 2x + y = 2.

4.2. POSTOPKI ZA REŠEVANJE SISTEMOV LINEARNIH ENAČB 37 Zamanjava spremenljivk Iz prve enačbe izrazimo spremenljivko x. Izraz y vstavimo v drugo enačbo namesto spremenljivke x. Dobili smo linearno enačbo z eno neznanko, ki jo uredimo in rešimo. Sedaj lahko izračunamo še spremenljivko x. Rešitev sistema je R = {(2, 2)}. x = y 2( y) + y = 2 y = 2 y = 2 x = ( 2) = 2 Metoda nasprotnih koeficientov x + y = 0 2x + y = 2 Prvo enačbo pomnožimo z ( 2). 2x 2y = 0 Pri spremenljivki x smo sedaj dobili 2x + y = 2 nasprotna koeficienta. Enačbi seštejemo. 0x - y = 2 In dobimo enačbo z eno neznanko y = 2 iz katere izračunamo y. Vrednost spremenljivke y sedaj x + ( 2) = 0 vstavimo v eno od začetnih enačb. Izračunamo x. x = 2 Rešitev sistema je R = {(2, 2)}. 4.2.2 Reševanje sistema m linearnih enačb z n neznankami Cramerjevo pravilo Matrika enolično rešljivega sistema ima determinanto D 0. Take sisteme lahko rešimo s pomočjo determinant po Cramerjevem pravilu. Imejmo sistem n enačb z n

38 POGLAVJE 4. SISTEMI LINEARNIH ENAČB neznankami in naj bo A matrika sistema ter deta 0: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 +... + a 2n x n = b 2........ a n1 x 1 + a n2 x 2 + a n3 x 3 +... + a nn x n = b n. Potem je sistem določen, n-terico rešitev pa za vsak i = 1, 2,..., n izračunamo x i = deta i deta, kjer je A i matrika, v kateri i-ti stolpec zamenjamo s stolpcem na desni strani enačbe: a 11 a 12... a 1,i 1 b 1 a 1,i+1... a 1n a 21 a 22... a 2,i 1 b 2 a 2,i+1... a 2n A i =............. a n1 a n2... a n,i 1 b n a n,i+1... a nn Zgled 21. Rešimo sistem enačb 2x + 3y z = 0 x + y + z = 2 3x + y z = 8 s Cramerjevo metodo. Zapišimo matriko sistema A in stolpec B: A = 2 3 1 1 1 1 3 1 1, B = Izračunajmo potrebne determinante. Najprej 2 3 1 deta = 1 1 1 = 2 + ( 9) + ( 1) ( 3) 2 3 = 14. 3 1 1 Determinanto deta 1 dobimo tako, da v determinanti sistema deta prvi stolpec zamenjamo s stolpcem B: 0 2 8.

4.2. POSTOPKI ZA REŠEVANJE SISTEMOV LINEARNIH ENAČB 39 deta 1 = dobimo: deta 2 = deta 3 = 0 3 1 2 1 1 8 1 1 2 0 1 1 2 1 3 8 1 2 3 0 1 1 2 3 1 8 Nazadnje izračunamo neznanke: = 0+( 24)+( 2) ( 6) 0 8 = 28. Na enak način = 4 + 0 + 8 0 ( 16) 6 = 14, = 16 + ( 18) + 0 ( 24) 4 0 = 14. x = deta 1 deta = 28 = 2, y = deta 2 = 14 = 1,z = deta 3 14 deta 14 deta = 14 14 = 1. S Cramerjevo metodo so torej rešljivi le sistemi, ki imajo determinanto matrike sistema različno od 0 in to so le enolično določeni sistemi. Nedoločeni sistemi (z neskončnim številom rešitev) imajo determinanto matrike sistema enako 0, zato jih s tem postopkom ne moremo rešiti. Gaussova eliminacijska metoda Podobno, kot se rešuje sistem dveh linearnih enačb z dvema neznankama z metodo nasprotnih koeficentov, se da reševati tudi sistem m enačb z n neznankami. Ob tem ni potrebno, da je število enačb enako številu neznank. Za začetek si najprej oglejmo sistem enačb: x + y = 2 x y = 0. 3x + y = 2 Tak sistem je nerešljiv, saj prvima dvema enačbama odgovarja rešitev x = y = 1, vendar ta rešitev ne ustreza tretji enačbi. Zato zgornji sistem nima rešitev. Nasprotno pa ima sistem x + y + z = 6 x 2y + z = 0 2x y + 2z = 6

40 POGLAVJE 4. SISTEMI LINEARNIH ENAČB neskončno rešitev. Da je temu tako ugotovimo, če seštejemo prvo in drugo enačbo. Vsota obeh enačb je tretja enačba. Zato je tretja enačba odveč in dobimo rešitev z upoštevanjem samo prvih dveh enačb: x + y = 6 z x 2y = z. Oglejmo si tri posebne rešitve tega sistema: z = 0, x = 4, y = 2 z = 3, x = 1, y = 2 z = 2, x = 6, y = 2 Vzemimo sedaj sistem m enačb z n neznankami: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +... + a 1n x n = d 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 +... + a 2n x n = d 2........ a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x 3 +... + a mn x n = d m. Zapišimo razširjeno matriko sistema a 11 a 12 a 13... a 1n d 1 a 21 a 22 a 23... a 2n d 2........ a m1 a m2 a m3... a mn d m. Z elementarnimi transformacijami (nad vrsticami) razširjeno matriko sistema prevedemo v zgornje trikotno matriko: b 11 b 12 b 13... b 1n c 1 0 b 22 b 23... b 2n c 2 0 0 b 33... b 3n c 3........ 0 0 0... b kn c k........ 0 0 0... b mn c m. Postopek imenujemo Gaussova eliminacijska metoda. omenjeno metodo na naslednjem primeru. Oglejmo si natančneje

4.2. POSTOPKI ZA REŠEVANJE SISTEMOV LINEARNIH ENAČB 41 Zgled 22. Rešimo sistem enačb z Gaussovo eliminacijo Zapišimo razširjeno matriko sistema 2x 3y + 3z + w = 1 x + 2z + w = 16 x y + 2z 3w = 1 2x + 2y + z + w = 2 2 3 3 1 1 1 0 2 1 16 1 1 2 3 1 2 2 1 1 2 Z elementarnimi transformacijami jo želimo preoblikovati v zgornjetrikotno matriko. Najprej zamenjamo 1. in 3. vrstico, in si na ta način na vrhu prvega stolpca pridobimo element 1, kar nam nekoliko olajša računanje, ni pa nujno potrebno: 1 1 2 3 1 1 0 2 1 16 2 3 3 1 1 2 2 1 1 2 Prvo vrstica je že takšna kot v zgornje trikotni matriki, zato jo vse do konca ohranimo. Pod prvim elementom v prvem stolpcu so v zgornje trikotni matriki same 0 in to želimo v prvem koraku dobiti. Po vrsti izvedemo naslednje transformacije:.. Prvo vrstico pomnožimo z ( 1) in jo prištejemo k drugi. Prvo vrstico pomnožimo z ( 2) in jo prištejemo k tretji. Prvo vrstico pomnožimo z (2) in jo prištejemo k četrti. Paziti moramo, da transformacije izvedemo na celotni razširjeni matriki. Dobimo 1 1 2 3 1 0 1 0 4 17 0 1 1 7 3. 0 0 5 5 0 Druga vrstica je sedaj tudi takšna kot v zgornje trikotni matriki, zato jo ohranimo vse do konca. V drugi vrstici imamo na drugem mestu sedaj element 1. Če bi imeli v drugi vrstici na drugem mestu element 0, bi zamenjali drugo vrstico s katero od.

42 POGLAVJE 4. SISTEMI LINEARNIH ENAČB spodnjih vrstic. Pod tem elementom želimo sedaj dobiti same 0. Edini element, ki še ni 0 je ( 1) v tretji vrstici, zato drugo vrstico prištejemo k tretji 1 1 2 3 1 0 1 0 4 17 0 0 1 11 20 0 0 5 5 0 Tudi s tretjo vrstico smo sedaj zadovoljni, zato jo v nadaljevanju ohranimo. Edini element, pod diagonalo, ki še ni 0, je element v zadnji vrstici in tretjem stolpcu. Zato tretjo vrstico pomnožimo z ( 5) in jo prištejemo k četrti 1 1 2 3 1 0 1 0 4 17 0 0 1 9 20 0 0 0 50 100 Če iz matrike zapišemo sistem enačb, dobimo trikotni sistem, ki je ekvivalenten prvotnemu x y + 2z 3w = 1 y + 4w = 17. z + 9w = 20 50w = 100 Iz zadnje vrstice izračunamo w: w = 100 = 50 w = 2. 50 Iz tretje vrstice izrazimo neznanko z in vstavimo izračunano vrednost w:.. z = 20 9w = 20 9 2 = 2 z = 2. Iz druge vrstice izrazimo neznanko y in vstavimo izračunano vrednost w: y = 17 4w = 17 4 2 = 9 y = 9. Iz prve vrstice izrazimo neznanko x in vstavimo izračunane vrednosti ostalih neznank: x = 1 + y 2z + 3w = 1 + 9 2 2 + 3 2 = 10 x = 10. Rešitev je 4-terica: (10, 9, 2, 2), torej je sistem enolično rešljiv. S tem postopkom lahko rešimo tudi nedoločene in protislovne sisteme.

4.2. POSTOPKI ZA REŠEVANJE SISTEMOV LINEARNIH ENAČB 43 4.2.3 Rešljivost sistema glede na rang matrike Če je A matrika sistema in A zgornje trikotna matrika ekvivalentnega sistema (dobljena z Gaussovo eliminacijsko metodo), potem sta ranga matrik A in A enaka in izkaže se, da sta enaka številu neničelnih vrstic matrike A. V diagramu (glej slika 4.1) je predstavljena rešljivost sistemov linearnih enačb glede na rang matrike sistema. NEHOMOGENI SISTEMI HOMOGENI SISTEMI rang( A) = rang( A b) sistem je rešljiv rang( A) < rang( A b) sistem je protisloven vedno rešljiv ra n g ( A ) = n določen sistem (ena sama re šitev) rang( A) < n nedoločen sistem (parametrična družina rešitev) rang( A) = n trivialna rešitev: (0,0,...,0) rang( A) < n parametrična družina rešitev Slika 4.1: Rešljivost sistema linearnih enačb z n neznankami. Za vsako od navedenih možnosti bomo naredili po en zgled. (1) Nehomogeni sistemi a) rang(a) = rang(a B) in rang(a) = n Glej zgled 22. b) rang(a) = rang(a B) in rang(a) < n Zgled 23. Rešimo nehomogeni sistem enačb s tremi neznankami 2x 3y + z = 2 3x 5y + 5z = 3 5x 8y + 6z = 5 Zapišimo razširjeno matriko sistema in jo preoblikujmo z Gaussovo eliminacijsko metodo na zgornje trikotno matriko. Prvi korak. Prvo vrstico ohranimo. Da bi pridobili 0 na začetku druge vrstice, drugo vrstico pomnožimo z ( 2) in ji prištejemo prvo vrstico pomnoženo s (3). Da bi pridobili 0 na začetku tretje vrstice, tretjo vrstico pomnožimo z ( 2) in ji.

44 POGLAVJE 4. SISTEMI LINEARNIH ENAČB prištejemo prvo vrstico pomnoženo s (5). Drugi korak. Prvo in drugo vrstico ohranimo. Tretji vrstici prištejemo drugo pomnoženo z ( 1): 2 3 1 2 3 5 5 3 5 8 6 5 2 3 1 2 0 1 7 0 0 1 7 0 2 3 1 2 0 1 7 0 0 0 0 0 Vidimo da je rang(a) = rang(a B) = 2, saj je v preoblikovani zgornje trikotni matriki število neničelnih vrstic enako 2. Število neznank pa je 3. Ker je rang(a) = 2 < 3(število neznank), bomo imeli neskončno rešitev (slika 4.1). Poiščimo jih. Zapišimo sistem enačb iz zgornje trikotne matrike 2x 3y + z = 2 y 7z = 0 0 z = 0 Zadnje enačbe sploh ne bi bilo potrebno pisati, vendar jo sedaj zaradi boljšega razumevanja pišimo. Vprašajmo se, katera števila rešijo zadnjo enačbo. Vidimo, da za spremenljivko z lahko vzamemo katerokoli realno število. Zato je Iz druge enačbe izrazimo y: z R. y = 7z. Iz prve enačbe izrazimo x in namesto y pišemo sedaj 7z: 2x = 20z + 2, x = 10z + 1. Neznanki x in y sta odvisni od z. Za vsako realno število z bomo dobili neko trojico rešitev, ki je oblike: {(10z + 1, 7z, z) z R}. Množico rešitev imenujemo 1-parametrična množica rešitev, ker se izraža s parameterom z. Lahko bi bilo parametrov tudi več. Število parametrov je razlika med številom neznank in rangom matrike sistema. V našem primeru je n rang(a) = 3 2 = 1...

4.2. POSTOPKI ZA REŠEVANJE SISTEMOV LINEARNIH ENAČB 45 c) rang(a) < rang(a B) Zgled 24. Rešimo sistem enačb x + y + z = 0 3x + 3y 2z = 1 2x + 2y 3z = 2 Zapišimo matriko sistema in jo z Gaussovo eliminacijo preoblikujmo v zgornje trikotno matriko 1 1 1 0 3 3 2 1 2 2 3 2 1 1 1 0 0 0 5 1 0 0 5 2. 1 1 1 0 0 0 5 1 0 0 0 1. Vidimo, da je Sledi, da je rang(a) = 2 in rang(a B) = 3. rang(a) > rang(a B), torej je sistem protisloven (slika 4.1). Izpišimo si zadnjo enačbo iz zgornje trikotne matrike 0 x + 0 y + 0 z = 1. Torej je 0 = 1, kar pa ni nikoli res, ne glede na to, katere x, y ali z bi si izbrali. Zato sistem ni rešljiv. (2) Homogeni sistemi z n neznankami a) Rang(A) = n Zgled 25. Rešimo homogeni sistem x y + z = 0 2x + y z = 0 x + 3y 2z = 0 Zapišimo matriko sistema in jo z elementarnimi transformacijami preoblikujmo v zgornje trikotno matriko. Pri homogenih sistemih nikoli ne pišemo razširjene.

46 POGLAVJE 4. SISTEMI LINEARNIH ENAČB matrike sistema, saj vemo, da bo desna stran ne glede na transformacije vedno enaka 0. Dobimo 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 0 3 3 0 3 3. 1 3 2 0 2 1 0 0 3 Vidimo, da je rang(a) = 3, kar je enako številu neznank. Zato bomo imeli le trivialno rešitev (slika 4.1). Iz zgornje trikotne matrike izpišimo sistem enačb: x y + z = 0 3y 3z = 0 3z = 0 Iz zadnje vrstice sledi, da je z = 0. Iz druge potem sledi, da je y = 0 in iz prve, da je x = 0. Res dobimo samo trivialno rešitev R = {(0, 0, 0)}. b) Rang(A) < n Zgled 26. Rešimo homogeni sistem enačb x 1 x 2 + x 3 + x 4 = 0 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 0 2x 1 2x 3 x 4 = 0 x 1 + 3x 2 + 9x 3 + 5x 4 = 0 Zapišimo matriko sistema in jo preoblikujmo 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 1 2 0 2 1 0 2 4 2 0 2 0 1 1 3 9 5 0 4 8 4.. 1 1 1 1 0 2 4 2 0 0 4 3 0 0 0 0 V preoblikovani zgornje trikotni matriki imamo 3 neničelne vrstice, torej je rang(a) = 3, kar je manj od števila neznank 4. Torej bomo imeli neskončno rešitev (slika 4.1). Poiščimo jih. Zapišimo sistem enačb iz zgornje trikotne matrike x 1 x 2 + x 3 + x 4 = 0 2x 2 + 4x 3 + 2x 4 = 0 4x 3 + 3x 4 = 0 0 x 4 = 0..

4.3. GRAFIČNA PREDSTAVITEV SISTEMOV LINEARNIH ENAČB 47 Zadnjo enačbo reši katerikoli x 4 R. Druge neznanke se bodo izražale z x 4, torej je x 4 parameter. Iz tretje enačbe sledi: Iz druge enačbe sledi: Iz prve enačbe sledi: Množica rešitev sistema je: x 3 = 3 4 x 4. x 2 = 2x 3 x 4 = 2 ( 3 4 x 4) x 4 = 3 2 x 4 x 4 = 1 2 x 4. x 1 = x 2 + x 3 + x 4 = 1 2 x 4 + ( 3 4 )x 4 + x 4 = 1 4 x 4. R = {( 1 4 x 4, 1 2 x 4, 3 4 x 4, x 4 ) x 4 R}. 4.3 Grafična predstavitev sistemov linearnih enačb 4.3.1 Sistem dveh linearnih enačb z dvema neznankama Točke, ki zadoščajo linearni enačbi z dvema neznankama, ležijo na premici v ravnini. Reševanje sistema dveh enačb z dvema neznanakama predstavlja ugotavljanje medsebojne lege dveh premic. Rešitev sistema pa so točke, ki ležijo na obeh premicah hkrati. Obstajajo tri možne medsebojne lege dveh premic, in zato tudi trije možni izzidi pri reševanju sistema. 1. Določen sistem: x + y = 0 2x + y = 2. Premici se sekata - imata eno skupno točko (2, 2) in to je tudi edina rešitev sistema (slika 4.2). 2. Nedoločen sistem: 4x + 2y = 4 2x + y = 2. Premici se prekrivata - imata neskončno skupnih točk, zato ima sistem neskončno rešitev. Rešitev je cela premica oz. točke oblike (x, 2 2x), kjer je x R.

48 POGLAVJE 4. SISTEMI LINEARNIH ENAČB y y 10 y = - 2x + 2 y = - x 5 0 x -5-2.5 0 2.5 (2,- 2) x -5 Slika 4.2: Premici se sekata. 10 4-4x y = 2 5 y 0-2.5 0 2.5 x 5-5 y = 2-2x Slika 4.3: Premici se prekrivata. Imamo 1-parametrična rešitev, saj za vsako vrednost parametra x dobimo točno določeno rešitev sistema (slika 4.3). 3. Protisloven sistem: 2x + y = 4 2x + y = 2. Premici sta vzporedni, torej nimata nobene skupne točke, zato sistem nima rešitve (slika 4.4). 4.3.2 Sistem linearnih enačb s tremi neznankami Točke, ki zadoščajo linearni enačbi s tremi neznankami predstavljajo ravnino v

4.4. NALOGE S POSTOPKI ZA REŠEVANJE 49 10 y = 4-2x y 5 0 x -5-2.5 0 2.5 5-5 y = 2-2x Slika 4.4: Premici sta vzporedni. prostoru. Reševanje sistema dveh enačb s tremi neznankami predstavlja ugotavljanje medsebojne lege dveh ravnin. Rešitev sistema, pa so točke, ki ležijo na obeh ravninah hkrati. Spet obstajajo tri možne medsebojne lege. 1. Ravnini se sekata. Presečišče dveh ravnin je premica. Rešitev sistema so vse točke na premici (nedoločen sistem). 2. Ravnini sta vzporedni. Nimata nobene skupne točke. Sistem nima rešitve (protisloven sistem). 3. Ravnini se prekrivata. Vse točke so skupne. Rešitev so vse točke na ravnini (nedoločen sistem). Vidimo, da sistem z dvema enačbama in tremi neznankami ni nikoli določen. Vedno dobimo neskončno rešitev ali pa nobene. Kadarkoli imamo v sistemu večje število neznank kot enačb, sistem ni enolično določen. Reševanje sistema treh enačb s tremi neznankami predstavlja ugotavljanje medsebojne lege treh ravnin. Rešitev sistema pa so točke, ki ležijo na vseh treh ravninah hkrati. Reševanja sistemov z več kot tremi neznankami si grafično ne moremo predstavljati. 4.4 Naloge s postopki za reševanje 1. Dan je sistem enačb 5x 6y + az = 3 2x 3y + 2z = 2 4x 5y + 2z = 1.

50 POGLAVJE 4. SISTEMI LINEARNIH ENAČB a) Za katere vrednosti parametra a sistem ni rešljiv? b) Za a = 4 rešimo dani sistem. Rešitev: a) Zapišimo razširjeno matriko sistema in jo preoblikujmo z Gaussovo eliminacijo: 5 6 a 3 5 6 a 3 5 6 a 3 3 3 2 2 0 3 10 3a 1 0 3 10 3a 1 4 5 2 1 0 3 2 5 0 0 8 3a 4 Sistem ne bo rešljiv, ko bo rang(a) < rang(a B), torej, ko bo 8 3a = 0, 3a = 8, a = 3 8.. b) Če je a = 4, je preoblikovana matrika sistema 5 6 a 3 0 3 2 1. 0 0 4 4 Iz zadnje vrstice sledi: 4z = 4, z = 1. Iz druge vrstice sledi: 3y 2z = 1, 3y 2 = 1, y = 1. Iz prve vrstice sledi: 5x 6y + 4z = 3, 5x 6 + 4 = 3, x = 1. Dobimo rešitev R = {(1, 1, 1)}.

4.4. NALOGE S POSTOPKI ZA REŠEVANJE 51 2. Ugotovimo, za katere vrednosti parametra a ima homogeni sistem samo trivialno rešitev x + y + z = 0 ax + 4y + z = 0. 6x + (a + 2)y + z = 0 Rešitev: Tudi to nalogo bi lahko rešili na podoben način kot zgornjo. Zapisali bi matriko sistema, jo preoblikovali z Gaussovo eliminacijo in določili a tako, da bi bil rang matrike enak številu neznank, to je 3. Kar pomeni, da nobena vrstica ne bi smela biti v celoti ničelna. V primeru pa, ko imamo kvadraten homogen sistem enačb (število enačb in število neznank se ujemata), lahko nalogo rešimo še enostavneje. Velja namreč, če je rang matrike sistema rang(a) enak številu neznank, je det(a) 0 in, če je rang matrike sistema manjši od števila neznank, potem je det(a) = 0. V našem primeru želimo, da je rang enak številu neznank, torej mora biti determinanta različna od 0. Izračunajmo determinanto matrike sistema 1 1 1 a 4 1 6 (a + 2) 1 = 4 + 6 + a(a + 2) 24 a (a + 2) = a2 16. Determinanta mora biti različna od 0: a 2 16 0, (a 4)(a + 4) 0, a 4, a 4. Sistem ima samo trivialno rešitev za a R\{ 4, 4}.

52 POGLAVJE 4. SISTEMI LINEARNIH ENAC B

Poglavje 5 Linearno programiranje 5.1 Problem linearnega programiranja Na veliko področjih kot so npr. logistika, ekonomija, kmetijstvo srečamo probleme, ki jih lahko matematično zapišemo takole: Določiti je potrebno vrednosti spremenljivk x 1, x 2,..., x s, ki zadoščajo naslednjim pogojem: x 1 0, x 2 0,..., x s 0 in linearnim enačbam ali neenačbam tako, da ima funkcija a 11 x 1 +... + a 1s x s b 1... a m1 x 1 +... + a ms x s b m z(x 1,..., x s ) = c 1 x 1 +... + c s x s minimum ali maksimum. Takemu problemu rečemo splošni problem linearnega programiranja. Pri tem sta m in s poljubni naravni števili. Koeficienti a ij in c j pri spremenljivkah v neenačbah in funkciji z so poljubna realna števila. Števila na desni strani neenačb so pa vedno poljubna nenegativna števila. Linearne neenačbe imenujemo omejitve. Funkciji z pa pravimo namenska ali kriterialna funkcija. Vsak problem linearnega programiranja lahko rešimo s simpleks-metodo. Povejmo, da brez računalnika lahko rešimo samo linearne probleme z majhnim številom spremenljivk in pogojev. Mi bomo reševali le probleme, v katerih nastopata dve spremenljivki x 1 in x 2. Take probleme pa lahko rešimo z grafično metodo. 53