C:\Documens nd Seings\kpig\Deskop\-------- ------G---- ----S 6.doc Υποδείγματα με Πολυωνυμικά Κατανεμημένες Χρονικές Επιδράσεις. Στα υποδείγματα με πολυωνυμικά κατανεμημένες διαχρονικές επιδράσεις υποθέτουμε ότι η μορφή της επίδρασης της μεταλητής στις τιμές της μεταλητής ακολουθεί κάποια συγκεκριμένη συμπεριφορά και όχι μια εκ των προτέρων ακαθόριστη συμπεριφορά μορφή όπως γίνεται στα υποδείγματα των διαχρονικών επιδράσεων που αναπτύξαμε στην αρχή αυτού του κεφαλαίου. Για να γίνουμε περισσότερο συγκεκριμένοι στο απλό υπόδειγμα των διαχρονικά κατανεμημένων επιδράσεων: ε... M m Διαχρονικές Επιδράσεις της μεταλητής στις τιμές της μεταλητής f z z z z o... 45 4 5 5 5 5 5 5 5 Σχεδιάγραμμα. Πολυωνυμική Μορφή των Διαχρονικών Επιδράσεων της μεταλητής στην μεταλητή. Υποθέτουμε ότι οι συντελεστές,,,..., m προέρχονται από μια πολυωνυμική κατανομή της μορφής: f... με,,,..., m Η σχέση είναι ένα πολυώνυμο αθμού το οποίο χρησιμεύει για να προσεγγίσουμε τους συντελεστές,,,..., m που εκφράζουν τις διαχρονικές επιδράσεις της ερμηνευτικής μεταλητής στην διαμόρφωση των τιμών της ερμηνευμένης μεταλητής. Στο Σχεδιάγραμμα παρουσιάζουμε μια τέτοια πιθανή μορφή αντίδρασης της εξαρτημένης μεταλητής σε μια μεταολή της ερμηνευτικής ανεξάρτητης μεταλητής. Με άση τα παραπάνω η γενική μορφή ενός υποδείγματος με πολυωνυμικά κατανεμημένες χρονικές επιδράσεις θα μπορούσε να γραφεί ως εξής: ε 4 ή... M m m ε ο 5 --
C:\Documens nd Seings\kpig\Deskop\-------- ------G---- ----S 6.doc όπου,,,,..., m,,,...,γ, o f o... 6 7,,,, m είναι παράμετροι υπό εκτίμηση. Η Μέθοδος Εκτίμησης των Παραμέτρων του Υποδείγματος. Για δεδομένο αριθμό χρονικών υστερήσεων m και τον αθμό του πολυώνυμου m γ ε ο με την υπόθεση ότι : f o... ν το υπόδειγμα μπορεί να εκτιμηθεί με την μέθοδο των απλών ελάχιστων τετραγώνων. Έστω ότι ο αθμός του πολυωνύμου είναι και ο αριθμός των χρονικών επιδράσεων είναι m5, τότε μπορούμε να προσεγγίσουμε τους συντελεστές των χρονικών υστερήσεων ως εξής: f 8 Έτσι για,,,..., s5 οι συντελεστές των χρονικών υστερήσεων θα μπορούσαν να προκύψουν ως εξής: ƒ α ƒ α α α α 9 ƒ α α α α 5 : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 ƒ5 α 5α 5 α 5 α Αντικαθιστούμε τους συντελεστές στο γ s 5 ε ο μπορούμε να λάουμε: α -... 5-5 ε γ α α α α α - α α α α - : α sα s α s α -5 ε Μετά από μερική επεξεργασία μπορούμε να εκτιμήσουμε τους συντελεστές ως εξής : γ α -... -5 α- -... 5-5 α- -... 5-5 --
C:\Documens nd Seings\kpig\Deskop\-------- ------G---- ----S 6.doc α- -... 5-5ε Δημιουργώντας τις μεταλητές,,, w i ανάλογα με τον αθμό του πολυωνύμου i w -... -5 w - -... 5-5 w - -... 5-5 w - -... 5-5 τότε το ασικό υπόδειγμα των διαχρονικά κατανεμημένων υστερήσεων γράφεται ως εξής: α αw αw αw αwε Το παραπάνω υπόδειγμα μπορεί πλέον να εκτιμηθεί με την μέθοδο των απλών ελαχίστων τετραγώνων. ˆ, ˆ, ˆ και ˆ Η μέθοδος των απλών ελάχιστων τετραγώνων μπορεί να εφαρμοσθεί ως εξής: Αν είναι κάποιες ελάχιστων τετραγώνων εκτιμήσεις των παραμέτρων,, και τότε αυτές μπορούν να εκτιμηθούν ελαχιστοποιώντας το άθροισμα : ˆ, ˆ, ˆˆ T ˆ ˆ ˆ ˆ min w w w Έχοντας εκτιμήσει τις παραμέτρους i με i,,..., m, έστω i για i,,..., m, μπορούμε να εκτιμήσουμε τις παραμέτρους ως εξής: ƒ o για,,,,.,5 Αναλυτικότερα η παραπάνω σχέση μπορεί για,,, να γράφεί ως εξής: ˆ f ˆ ˆ ˆ ˆ Για ˆ f ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Για ˆ f ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 4ˆ 8ˆ Για Εναλλακτικά το παραπάνω υπόδειγμα θα μπορούσε να γραφεί και ώς εξής: i w i i ε όπου s 5 i τ τ τ w i για ι,,..., και s 5 i τ τ τ w i για i,,, είναι η μετασχηματισμένη μεταλητή ασισμένη στην ανεξάρτητη μεταλητή σε σχέση πάντοτε και με την παράμετρο. Επιπλέον αντικαθιστώντας τις σταθμίσεις s 5 i τ τ τ w i τό αρχικό υπόδειγμα μπορεί να γραφεί ώς: m i γ τ τ i ι τ ε --
C:\Documens nd Seings\kpig\Deskop\-------- ------G---- ----S 6.doc ˆ f ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 9ˆ 7ˆ Για Αν για παράδειγμα έχουμε ένα πολυώνυμο δευτέρου αθμού και οι εκτιμήσεις των παραμέτρων,,, και είναι: ˆ 4.6 ˆ 4.8 ˆ 6.7 ˆ.57 Τότε οι υπό εκτίμηση επιδράσεις μιας μεταολής της μεταλητής ως εξής: ˆ f ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 4.8 Για Για Για στην μεταλητή ˆ f ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 4.8 6.7.57 7.54 ˆ f ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 4ˆ 4.8 6.7 4.57.54 θα υπολογισθεί Για ˆ f ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 9ˆ 4.8 6.7 9.57 7.6 --
C:\Documens nd Seings\kpig\Deskop\-------- ------G---- ----S 6.doc Αριθμητική Εφαρμογή. Για να γίνει μια αριθμητική παρουσίαση της εκτίμησης και της χρησιμοποίησης των υποδειγμάτων με Πολυωνυμικές Κατανεμημένες Διαχρονικές Επιδράσεις, στον Πίνακα παρουσιάζουμε 8 παρατηρήσεις για δύο μεταλητές και, για να εκτιμήσουμε ένα υπόδειγμα μορφής: ε Έχοντας υποθέσει ότι οι συντελεστές,, και προσεγγίζουν μη πολυωνυμική κατανομή της μορφής :,,,fααα Πόλυώνυμο ου αθμού ΠΙΝΑΚΑΣ : Στοιχεία για τις μεταλητές και του υποδείγματος. Πηγή: Υποθετικά Δεδομένα. 99: 994: 4 7 995: 86 8 996: 7 9 997: 49 9 998: 86 999: 46 4 : 5 PCON YD 9 5 8 7 6 75 5 5 4 5 99 99 994 995 996 997 998 999 Χρονοδιάγραμμα : Γραφική παρουσίαση των δεδομένων στον Πίνακα 5. Με άση τα παραπάνω έχουμε να εκτιμήσουμε ένα υπόδειγμα με m χρονικές επιδράσεις, με 4 συντελεστές χρονικά κατανεμημένων υστερήσεων οι οποίες προσεγγίζονται με ένα πολυωνυμικό δευτέρου αθμού. -4-
C:\Documens nd Seings\kpig\Deskop\-------- ------G---- ----S 6.doc -5- Εφ όσον γνωρίζουμε τον αθμό του Πολυωνύμου τότε μπορούν οι συντελεστές χρονικών επιδράσεων,,, μπορούν να γραφούν ως εξής: Π Με άση την παραπάνω σχέση, μπορούμε να γράψουμε τους συντελεστές χρονικών υστερήσεων: Π4 Αντικαθιστώντας τις παραπάνω σχέσεις στο αρχικό υπόδειγμα Π, λαμάνοντας: Μετά από μια σειρά από απλούς μετασχηματισμούς, λαμάνουμε: Μπορούμε να εκτιμήσουμε τις παραμέτρους του παραπάνω υποδείγματος εφαρμόζοντας την απλή μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων ως εξής: Δημιουργούμε τις μεταλητές,, i w i Wo--- W--- W-4-9- Οι τρεις αυτές μεταλητές παρουσιάζονται αριθμητικά με άση τα δεδομένα του Πίνακα, στον Πίνακα Π. Έχοντας αυτές τις μεταλητές το υπό εκτίμηση πλέον υπόδειγμα θα είναι: o w w w ε Π8 Από αυτές τις εκτιμήσεις μπορούμε να λάουμε τους συντελεστές χρονικών υστερήσεων ως εξής:,,,fzααzαz Χρονική. Επίδραση. Συντελεστές Χρονικών Υστερήσεων f f 4 f 9 f 9 4 9 4
C:\Documens nd Seings\kpig\Deskop\-------- ------G---- ----S 6.doc o. 4 9 9..74 5.4 ˆ, ˆ, ˆ και ˆ Η μέθοδος των απλών ελάχιστων τετραγώνων μπορεί να εφαρμοσθεί ως εξής: Αν είναι κάποιες ελάχιστων τετραγώνων εκτιμήσεις των παραμέτρων,, και τότε αυτές μπορούν να εκτιμηθούν ελαχιστοποιώντας το άθροισμα : ˆ, ˆ, ˆˆ T ˆ ˆ ˆ ˆ min w w w Η ελαχιστοποίηση του παραπάνω αθροίσματος μπορεί να γίνει αλγερικά εφαρμόζοντας την αλγερική προσέγγιση της μεθόδου των απλών ελάχιστων τετραγώνων λαμάνοντας: 4.84..49.67-6-
C:\Documens nd Seings\kpig\Deskop\-------- ------G---- ----S 6.doc Πίνακας :Δημιουργία των μετασχηματισθέντων μεταλητών wo, w και w. Έτος Υ Χ Wo--- W--- W-4-9- 99: 994: 4 7 995: 86 8 996: 4 7 9 9877 87 6 997: 5 49 9 9987 98746 4 998: 6 86 9988 9985 7 999: 7 46 4 4994 947 9 : 8 498 495 9 Πηγή: Εκτιμήσεις μας. Με άση τα παραπάνω το υπό εκτίμηση υπόδειγμα θα είναι: 7 7 6 Σταθερά ε ε 49 46 4 86 8 5 7 ε 46 4 47 9 ε 8 5 9 ε w ε [ ] [ ][ ] Το υπό εκτίμηση υπόδειγμα υπό μορφή μητρών γράφεται ως εξής W ε Στο παράρτημα αυτού του,,, και μέρους παρουσιάζουμε αναλυτικά την διαδικασία εκτίμησης των παραμέτρων. Από την εφαρμογή της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων προέκυψε ότι: ˆ 4.64 4.8w 6.7w.57w -7-
C:\Documens nd Seings\kpig\Deskop\-------- ------G---- ----S 6.doc 5. 4.4.6.8...4 9.6 8.8 ΣχεΔιάγραμμα : Οι εκτιμηθέντες Συντελεστές Χρονικών Επιδράσεων. \ Θα πρέπει να επισημάνουμε ότι το υπόδειγμα αυτό έχει εκτιμηθεί γνωρίζοντας από πριν ότι ο αριθμός των χρονικών επιδράσεων είναι m και ότι η κατανομή των συντελεστών ακολουθούν ένα πολυώνυμο δευτέρου αθμού. Στην πραγματικότητα όμως αυτά στα δύο μεγέθη δεν είναι γνωστά εκ των προτέρων. Μπορούμε όμως να τα υπολογίσουμε με άση τις επαναληπτικές διαδικασίες. Στο αμέσως επόμενο μέρος παρουσιάζουμε την διαδικασία εκτίμησης ταυτόχρονα των παραμέτρων m και του υποδείγματος με πολυωνυμικά κατανεμημένες επιδράσεις. -8-
C:\Documens nd Seings\kpig\Deskop\-------- ------G---- ----S 6.doc -9-