Ολοκληρώματα Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7.. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 5 / / 6 Κατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις & και τεχνικές σε σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 Τα πάντα για τα ολοκληρώματα Τεχνικές ολοκλήρωσης Απλές περιπτώσεις θεωρούνται όλες εκείνες όπου αντιμετωπίζονται με ένα απλό θέτω ή μία παραγοντική ολοκλήρωση. Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων : Αν ο βαθμός παρονομαστή > βαθμό αριθμητή ρίχνω μία ματιά μήπως ο αριθμητής είναι παράγωγος του παρονομαστή οπότε θέτοντας τον παρονομαστή λύνεται εύκολα αλλιώς παραγοντοποιώ τον παρονομαστή όσο περισσότερο μπορώ σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων (το καλύτερο) και γράφω το κλάσμα σε άθροισμα κλασμάτων. Προσοχή στην παραγοντοποίηση : αν οι όροι A είναι της μορφής : Πρωτοβάθμιος π.χ. αν δευτεροβάθμιος π.χ. B αν έχω A B πολ/τα κάποιας ρίζας π.χ. το με πολλαπλότητα τότε.(τεχνική ΑΒ).Δίνονται μερικά ( ) A B παραδείγματα : ( )( )... A B ( ). ή... A B ή Αν βαθμός αριθμητή παρονομαστή τότε : με πολυωνυμική διαίρεση (σπάνια με Hornr) απλοποιώ το κλάσμα Ολοκλήρωση εκθετικών συναρτήσεων : οι εκθετικές έχουν την ιδιαιτερότητα να αντιμετωπίζονται με θέτω t.προσοχή να έχουν μετατραπεί όλες οι εκθετικές με αρνητικό εκθέτη πριν εφαρμόσεις το θέτω. Ολοκλήρωση τριγωνομετρικών συναρτήσεων : εδώ έχουμε πολλές περιπτώσεις και συχνά χρειάζεται η φαντασία του μαθητή για να αντιμετωπίσει μια τριγωνομετρική συνάρτηση. Θα προσπαθήσω να τις βάλω σε
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 κατηγορίες διακριτές μεταξύ τους. Δυνάμεις μόνο μίας τριγωνομετρικής : d c d d... () d d d (θέτω συν=t )=... οπότε ανάλογα συνεχίζω με άρτιες ή περιττές δυνάμεις του ημιτόνου.η ίδια φιλοσοφία ισχύει για δυνάμεις συνω. d d (θέτω συν=t)= d d d (σπάω το κλάσμα)= οποιαδήποτε μεγαλύτερη δύναμη αντιμετωπίζεται ως εξής : θα απομονώνω το ()' και συνεχίζω με παραγοντική ολοκλήρωση. Η ίδια φιλοσοφία ισχύει για δυνάμεις σφω. ημωσυνω χωρίς δυνάμεις :Χρησιμοποιώ τύπους:ημαημβ=συν(β-α)-συν(α+β) συνασυνβ=συν(α+β)+συν(α-β ) ημασυνβ=ημ(α+β)+ημ(α-β) ημωσυνωμεδυνάμεις: δενομαδοποιούνταιαλλάμπορείςναπάρειςμερικέςιδέες : d d () d (θέτωσυνχ=t)= d τύποιαπότετραγωνισμούκαικουράγιο = d d σπάωκαισυνεχίζω= Πανεπιστημιακό : αυτό που ξετινάζει πολλά τριγωνομετρικά όρια είναι το θέτω dt t t t t d t t t t t t Ολοκλήρωση λογαριθμικών συναρτήσεων : κατά κανόνα πρέπει να χρησιμοποιείς τριγωνομετρική ολοκλήρωση ξεκινώντας από την ποσότητα που βρίσκεται δίπλα στο λογάριθμο. Ολοκλήρωση άρρητων συναρτήσεων : Συνήθως θέτεις το υπόρριζο Αόριστο ολοκλήρωμα 9. 9. 9. d d 5 5 d d Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f καλείται η παραγωγίσιμη συνάρτηση F όπου F ()=f(). Όλες οι συναρτήσεις της μορφής F()+cείναι αρχικές της f. Αν FGαρχικές της f τότε G()=F()+c.
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 9. d d 95. d() d 96. 97. 98. 99.. d d () 6 d d ( ) d d 5 d () d. ( ) d d. ln d d. ln d d. 5. 6. 7. 8. 9. ln d d d d ln d d ln d d d d. d d. d d d c ()() d c ()() d c d ln() c d c βέβαια θα Αξίζει να θυμάσαι ότι : μπορούσες με την τεχνική του Θέτω αχ+β=t να τα υπολογίσεις πολύ εύκολα Το ίδιο ισχύει και για τα επόμενα θέτοντας f()=t v v f () f () f'() d c v f '() d ln() f c f () f ()() f f '() d c f '() d () f c f () f () f'()() d f c f () f'()() d f c Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Αν ο βαθμός του αριθμητή < του παρονομαστή τότε έχω δύο επιλογές Θέτω τον παρονομαστή με t όταν ο αριθμητής εκφράζει την παράγωγο του παρονομαστή Εφαρμόζω την τεχνική ΑΒ Αν ο βαθμός του αριθμητή του παρονομαστή κάνουμε την διαίρεση των πολυωνύμων
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88... d d d d ( ) d d 5. ln d( ) ln( ) d 6. ln d ln d 7. d d 8. 9... ln d d d d d d d d d d... 5. 5 d d d d 5 9 6. d d d d 7. d d 8. 9... 5 7 d d ln ln d d d d d d Παραγοντική Ολοκλήρωση f ()()() g '() d f G d f ()() G '()() f G d Η σειρά προτίμησης για την εκκίνηση της διαδικασίας είναι : ln Προσοχή : στην περίπτωση εμφάνισης εκθετικής με τριγωνομετρική τότε δημιουργείται κυκλική διαδικασία. Είναι προφανές ότι f '()() d f c f () d'() f Αναγωγικοί τύποι Δημιουργούνται όταν ολοκληρώματα έχουν μέσα τους δυνάμεις με εκθέτη το ν. Συνήθως εφαρμόζουμε παραγοντική ολοκλήρωση και δημιουργούμε ποσότητες όπως το I I v v I v
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88... d d 9 d d Να υπολογίσεις τα ολοκληρώματα : d d d d 5. 6. 7. 8. 9.. d d 5 d d 5 5 d d d d ln d d d () d d d. (6 ).. Να υπολογίσεις τα παρακάτω ολοκληρώματα : d d d d 5 8 d d Τριγωνομετρικά ολοκληρώματα : Αν εμφανίζονται αθροίσματα ή διαφορές ημαχσυνβχ τότε σπάμε το ολοκλήρωμα. Αν εμφανίζονται απλά γινόμενα τότε ακολουθώ τους τριγωνομετρικούς τύπους : ημασυνβ=ημ(α+β)+ημ(α-β) συνασυνβ=συν(α+β)+συν(α-β) ημαημβ=συν(α-β)-συν(α+β) Αν εμφανίζονται γινόμενα με δυνάμεις d τότε αν ν άρτιο μ περιττό σπάω τη δύναμη που έχει εκθέτη το μ σε γινόμενο ώστε μ- να είναι άρτιο και χρησιμοποιώ τους τύπους ή και συνεχίζω με θέσιμο αν νμ άρτια τότε χρησιμοποιώ τύπους αποτετραγωνισμού : ή αν νμ περιττοί τότε κάνουμε διάσπαση στο μικρότερο περιττό εκθέτη και ακολουθώ τα βήματα της πρώτης περίπτωσης. 5. 6. 6 7 6 5 d d d 6 5 6 5 d d 8 d d d Να υπολογίσεις τα ολοκληρώματα : d d d d 7. 5
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 8. 9. 5. 5. 5. 5. 5. 55. d d ln ( ) ln ln d ln d ln d d d d d d d ln ln ( ) d d d ln d 5 d d d d 5 56. 57. d d d ln ln d d d d 7 ln Σε τριγωνομετρικές ολοκληρώσεις είναι χρήσιμο να θέσω =π-u Ολοκλήρωση εκθετικών : Θέτω t 58. 59. 6. 6. 6. 5 5 d d d d d d 5 6 d 5 Ορισμένο ολοκλήρωμα d d 6 d Ορισμένο ολοκλήρωμα Αν Fη παράγουσα της f τότε f ()()() d F F αξίζει να θυμάσαι ότι : Αν α=β τότε αποτέλεσμα Αν f () τότε εκφράζει το εμβαδό που περικλείεται μεταξύ της f() και τις ευθείες χ=αχ=β f ()() d f d f ()()() d f d f d Αν f () () f d f ()()()() g f d g d 6
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 6. 6. d d d d 6 65. 6 d d 66. 67. 68. 69. 7. 7. d d d d 5 7 d d 9 8 d d 5 d d 5 6 d d 7. 7. 7. ln d ln( ) d d d d d 75. 76. 77. 5 d d ln ( ) d d d d ln Ολοκλήρωμα συνάρτησης πολλαπλού τύπου : Εξετάζω αν η συνάρτηση είναι συνεχής και σπάω το ολοκλήρωμα σύμφωνα με τα όρια ολοκλήρωσης και το πεδίο ορισμού των κλάδων. Ολοκλήρωμα που περιέχει απόλυτο : βγάζω το απόλυτο και δουλεύω όπως πριν. 78. 79. 8. d d ln() d d d 6 5 d 7
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 8. ln d d d d Να βρεις τη συνάρτηση f() αν γνωρίζεις την παράγωγό της ΤΕΧΝΙΚΗ : ζητάμε να βρεθεί η συνάρτηση f για την οποία γνωρίζω κάποια από τις παραγώγους της π.χ. : αν γνωρίζω την f ' τότε κάνω μία ολοκλήρωση και θα βρω ένα c αν γνωρίζω την f '' τότε θα χρειαστώ δύο ολοκληρώσεις και θα βρω c c. ΤΕΧΝΙΚΗ : ζητάμε να βρεθεί η συνάρτηση f μέσα από σχέση στην οποία δίνεται η f και κάποια από τις παραγώγους της. Ο σκοπός μας είναι να απομονώσω την f με την f σε ένα μέλος (είτε μαζί είτε πάνω κάτω) για να μπορέσω να τις μετατρέψω σε μία παράγωγο και να ολοκληρώσω π.χ. : f ()() f f '() f '() ' ln() f'() '()() f' f f και f ().Ακολουθούν ασκήσεις για εξάσκηση : 8. Για μία συνάρτηση f η κλίση της σε κάθε σημείο () σημείο Α(-) να βρεθεί η συνάρτηση. o o 5 f () f () f'() 5 f είναι και διέρχεται από το 8. Η ταχύτητα ενός κινητού είναι u() t 5 t t t 8.Να βρεις τη συνάρτηση της απόστασης αν γνωρίζεις ότι συνολικά διέτρεξε 6 μ. o ' cm 8. Ένα φύλλο χαρτί καίγεται σε sc.το εμβαδό της επιφάνειας μειώνεται με ρυθμό 5t sc ποιο το αρχικό του εμβαδό ; 85. Αν f ''() και διέρχεται από τα σημεία Α() Β(679) να βρεις τη συνάρτηση. 86. Αν f ''() και η συνάρτηση τέμνει τους άξονες στα ίδια σημεία που τέμνει και η +πy=π να βρεις τη συνάρτηση. 87. Η f έχει μέγιστο στο με τιμή 88. Αν f : 89. Αν και ''() f να βρεις τη συνάρτηση. ln f ''( ) με ακρότατο στο = να βρεις τη μονοτονία της f. f : f '()()()() ; f f f 8
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 9. Αν f () f : f '()ln ln( ) f'() () ; f 9. Αν f '()()() ; f f με δύο τρόπους (αν γίνεται) 9. Να βρεις τη συνάρτηση για την οποία Α() f '() 8 και η γραφική παράσταση διέρχεται από 9. Να βρεις τη συνάρτηση που διέρχεται από Μ(95) και η εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη χ έχει κλίση 5 9. Δίνεται συνάρτηση με f ''() 6 όπoυ η γραφική παράσταση της f στο σημείο A έχει εφαπτομένη με κλίση 95. Δίνεται f () ln f'() () f f () ; 96. Αν f '()() f () lnf5() ; f 5 97. Αν f '( ) f ( ) f () f ( ) ; 98. Αν f '() () f ()() f; f 99. Αν f ' (8) f () ; f. Αν f () f '() () f () ; f. Αν f : ()()() f t ; dt f f Πεδίο ορισμού ολοκληρώματος... 5. Να βρεις το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων : f () dt t g() ln t tdt () h t dt f () dt t Πεδίο ορισμού συνάρτησης F()() f t dt Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της f οπότε βρίσκουμε τους περιορισμούς του t. Αν όμως υπολογισθεί το ολοκλήρωμα θα πρέπει στη θέση του tνα μπει το α και το. Έτσι προκύπτουν οι περιορισμοί του. Προσοχή το α και το πρέπει να μπαίνουν μαζί σε οποιοδήποτε διάστημα των περιορισμών του t. 9
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 6. 7. 8. 9. t g() dt 5 t h() t dt ln( t ) f () t dt g() t 8 dt Όρια και ολοκληρώματα.. Να υπολογίσεις τα όρια : lim t tdt lim ln tdt t t dt g () Όρια Ολοκληρωμάτων : Αν έχω μορφή lim() f t dt τότε κάνω απλό υπολογισμό. o () Αν έχω μορφή g lim() f t dt τότε το γράφω σε μορφή o h () κλάσματος και εφαρμόζουμε τον κανόνια dl Hospitl. Αν έχω τη μορφή lim() f t dt τότε έχω επιλογές : Υπολογίζω το ολοκλήρωμα οπότε μετά έχω τον υπολογισμό ενός απλού ορίου. Αν δεν μπορεί να γίνει το παραπάνω τότε παρεμβάλω αριθμό και έχω : f ()()() t dt f t dt f t dt οπότε εφαρμόζω Θ.Μ.Τ. c c g()() g στη συνάρτηση g()() f t dt στο διάστημα [χχ+α] και στο c τέλος θα χρειαστώ κριτήριο παρεμβολής. Ολοκλήρωμα αντίστροφης συνάρτησης. Δίνεται συνάρτηση 5 f () f ;() f ; d f ( ). Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ln f ( ) να βρεις την f ( ) f () d ; Αν γνωρίζω την αντίστροφη της f απλά υπολογίζω το ολοκλήρωμα. Αν δε μπορώ να βρω την αντίστροφη τότε θέτω : f ()() t f t και συνεχίζω (μην ξεχάσεις την αλλαγή των ορίων).
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 να υπολογίσεις το άθροισμα. Δίνεται συνεχής συνάρτηση για την οποία f () d f ()() d f d 8() f () f () ; f υπολόγισε 5. Να υπολογίσεις το 6. Να λυθεί η εξίσωση : 7. Δίνονται οι συναρτήσεις d u ln du u f () () g ln() ; f g d 8. Να βρεις άρτια πολυωνυμική συνάρτηση ου βαθμού με ακρότατο στο 9. Αν f () f''() d '() f '() f ;. Δίνεται συνάρτηση με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο [π] όπου o f () f''() d στο [π] ν.δ.ο. η εξίσωση f()= έχει μία τουλάχιστο ρίζα. Δίνεται άρτια συνάρτησημε συνεχή δεύτερη παράγωγο στο [-] f ''() f'() d. Δίνεται συνάρτηση με συνεχή πρώτη παράγωγο και f () f'() d () ; f. Δίνεται συνάρτηση με συνεχή πρώτη παράγωγο και () f '() f f ()() f ; d f ()() f. Δίνεται συνάρτηση που ικανοποιεί το Rollστο [] 5. Ν.δ.ο. f ()() d f d Όλη η ύλη εφαρμοσμένη σε ολοκληρώματα f ''() d f'() 6 () f d 5 f () d Μπορεί να σημαίνει : α=β f()= R το χωρίο της συνάρτησης που βρίσκεται πάνω από τον χχ είναι όσο και το χωρίο που βρίσκεται κάτω από τον χχ.
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 6. Δίνεται συνεχής συνάρτηση όπου ()() f () f ; f d 7. Δίνεται συνάρτηση περιττή ν.δ.ο. 8. Δίνεται συνάρτηση άρτια ν.δ.ο. () & f d d f () d () f d f () 9. Δίνεται άρτια συνάρτηση f d f () d. Ν.δ.ο. δεν έχει σημεία καμπής η t 5 f () t d. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : () f () f() d f