ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Πράγουσ συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ. Αρχική συνάρτηση ή πράγουσ της f στο ονομάζετι κάθε συνάρτηση F που είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει F () = f(), γι κάθε. Πράδειγμ: Η συνάρτηση F() = είνι μι πράγουσ της f() Πρτηρούμε ότι εκτός πό την F κι η συνάρτηση G () = + = = f(),. γιτί: ( ) = στο, φού ( ) =. G() = + είνι πράγουσ της f, Γενικά ισχύει το πρκάτω θεώρημ: ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ. Αν F είνι μι πράγουσ της f στο, τότε όλες οι συνρτήσεις της μορφής είνι πράγουσες της f στο κι G() = F() + c, c, κάθε άλλη πράγουσ G της f στο πίρνει τη μορφή G() = F() + c, c.
Απόδειξη Κάθε συνάρτηση της μορφής G() = F() + c, όπου c, είνι μι πράγουσ της f στο, φού G () = F() + c = F () = f(), γι κάθε. ( ) Έστω G είνι μι άλλη πράγουσ της f στο. Τότε γι κάθε ισχύουν F () = f() κι G () = f(), οπότε G () = F (), γι κάθε. Άρ, σύμφων με το πόρισμ της.6, υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε G() = F() + c, γι κάθε. Πράδειγμ Όπως είδμε στο προηγούμενο πράδειγμ, μι πράγουσ της συνάρτησης f() είνι η συνάρτηση συνρτήσεις: F() = στο =. Άρ, σύμφων με το θεώρημ, όλες οι πράγουσες της είνι οι G() = + c, c. Στο σχήμ που κολουθεί προυσιάζοντι μερικές πράγουσες της f() Πρτηρούμε, ότι υτές προκύπτουν με μι κτκόρυφη μεττόπιση της =. C F κτά c μονάδες.
Γι την εύρεση των πργουσών, χρησιμοποιώντς τους γνωστούς τύπους πργώγισης κι το προηγούμενο θεώρημ, έχουμε τον κόλουθο πίνκ πργουσών μερικών βσικών συνρτήσεων. Πίνκς πργουσών μερικών βσικών συνρτήσεων Οι τύποι του πρκάτω πίνκ ισχύουν σε κάθε διάστημ στο οποίο οι πρστάσεις του που εμφνίζοντι έχουν νόημ. ΠΙΝΑΚΑΣ Α/Α Συνάρτηση Πράγουσες f() = 0 G() = c, c f() = G() = + c, c 3 f() = G() = ln + c, c 4 f() =, + G() = + c, c + 5 f() = G() = + c, c 6 f() = συν G() = ηµ + c, c 7 f() = ηµ G() = συν + c, c 8 9 f() = G() = εϕ + c, c συν f() = G() = σϕ + c, c ηµ 0 f() = e G() = e + c, c f() = G() = + c, c ln 3
Αντρέχοντς στ θεωρήμτ πργώγισης θροίσμτος, γινομένου, πηλίκου, σύνθεσης συνρτήσεων κι στο προηγούμενο θεώρημ, έχουμε τον κόλουθο πίνκ πργουσών (Πίνκς ) Πίνκς πργουσών συνρτήσεων που προκύπτουν με τη βοήθει των κνόνων πργώγισης Οι τύποι του πρκάτω πίνκ ισχύουν σε κάθε διάστημ στο οποίο οι συνρτήσεις του που εμφνίζοντι έχουν νόημ. ΠΙΝΑΚΑΣ Α/Α Συνάρτηση Πράγουσες κ () = f () + g () K() = f() + g() + c, c κ () = f () g() + f() g () K() = f() g() + c, c f () g() f() g () κ () = g () 3 f() K() = + c, c g() 4 κ () = g ( f() ) f () ( ) Κ () = g f() + c, c Λμβάνοντς τέλος υπόψη την πργώγιση μις σύνθετης συνάρτησης κι το προηγούμενο θεώρημ, ο πίνκς πργουσών των βσικών συνρτήσεων (Πίνκς ) επεκτείνετι όπως προυσιάζετι στον πίνκ 3. Πίνκς πργουσών συνρτήσεων οι οποίες προκύπτουν ως σύνθεση μις συνάρτησης f με μί βσική συνάρτηση Οι τύποι του πρκάτω πίνκ ισχύουν σε κάθε διάστημ στο οποίο οι συνρτήσεις του που εμφνίζοντι έχουν νόημ. 4
ΠΙΝΑΚΑΣ 3 Α/Α Συνάρτηση Πράγουσες g() = f () G() = f() + c, c f () g() = G() = ln f() + c, c f() 3 g() = f () f (), + f () G() = + c, c + 4 f () g() = G() = f() + c, c f() 5 g() = συνf() f () G() = ηµ f() + c, c 6 g() = ηµ f() f () G() = συν f() + c, c 7 8 f () g() = G() = εϕ f() + c, c συν f() f () g() = G() = σϕ f() + c, c ηµ f() 9 f() g() = e f () f() G() = e + c, c 0 g() f() = f () f() G() = + c, c ln 5
Ιδιότητες πργουσών: Αν οι συνρτήσεις F κι G είνι πράγουσες των f κι g ντιστοίχως κι i) Η συνάρτηση F+ G είνι μι πράγουσ της συνάρτησης f + g κι ii) Η συνάρτηση λ F είνι μι πράγουσ της συνάρτησης λ f. Γενικά: * λ, τότε: Η συνάρτηση λ F+κ G είνι μι πράγουσ της συνάρτησης λ f +κ * g κ, λ. 6
Σημντικές πρτηρήσεις ) Αν F,F είνι δύο πράγουσες της συνάρτησης f, σε έν διάστημ, τότε υτές θ διφέρουν κτά έν στθερό πργμτικό ριθμό c. Δηλδή: F () = F () + c, c. ) Κάθε συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ, δεν έχει νγκί πράγουσ. Πράδειγμ Η συνάρτηση, < 0 f() =, 0 < < δεν υπάρχει συνάρτηση F πργωγίσιμη στο (,), είνι ορισμένη στο διάστημ = (,), λλά = τέτοι ώστε F () = f(). 3) Αποδεικνύετι ότι: Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ, τότε: i. Έχει πράγουσ στο. ii. Έχει άπειρες ρχικές συνρτήσεις. 4) Η πράγουσ μις συνάρτησης νφέρετι σε διάστημ κι όχι σε ένωση διστημάτων. Έτσι γι πράδειγμ, οι συνρτήσεις f() = κι F() = ln, = γι κάθε κι A, οπότε: ορίζοντι στο A = (,0) ( 0, + ) κι F () f() Στο (,0) Στο ( ), οι πράγουσες της f είνι F() + c, c. 0, +, οι πράγουσες της f είνι F() + c, c. Στο A = (,0) ( 0, + ), οι πράγουσες της f δεν είνι F() + c, c 5) Γι κάθε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού έν διάστημ, οι εφπτόμενες των γρφικών πρστάσεων όλων των πργουσών της, στο 0 είνι πράλληλες. 6) Η διδικσί εύρεσης των πργουσών μις συνάρτησης f είνι η ντίστροφη πό την διδικσί πργώγισης. Επομένως πρέπει ν γνωρίζουμε πολύ κλά τους κνόνες πργώγισης. Ημερομηνί τροποποίησης: 5/9/0 7