AkoloujÐec sunrt sewn A. N. Ginnkìpouloc, Tm m Sttistik c OPA Eisgwg Στη διάλεξη αυτή θα μελετήσουμε την έννοια της σύγκλισης ακολουθίων συναρτήσεων και συγκεκριμένα την έννοια της ομοιόμορφης σύγκλισης. Η ομοιόμορφη σύγκλιση είναι πολύ χρήσιμη έννοια γιατί μας επιτρέπει να μεταφέρουμε ιδιότητες όπως π.χ. η συνέχεια απο κάθε όρο της ακολουθίας στο όριο της ακολουθίας. Επίσης, η ομοιόμορφη σύγκλιση μας επιτρέπει να παραγωγίζουμε και να ολοκληρώνουμε συναρτήσεις που ορίζονται με την μορφή σειράς, όρο κατά όρο, διευκολύνοντας έτσι, όποτε ισχύει, το χειρισμό αυτών των συναρτήσεων. 2 AkoloujÐec sunrt sewn ki shmeik sôgklish Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία ο κάθε όρος της οποίας εξαρτάται απο μία παράμετρο x. Μπορούμε να θεωρήσουμε δηλαδή την ακολουθία {f n (x)} n N ο κάθε όρος της οποίας είναι μία συνάρτηση του x I R. Συνεπώς, για κάθε n N παίρνουμε και μία συνάρτηση f n (x), x I R. Παράδειγμα 2. Ας πάρουμε την οικογένεια συναρτήσεων f n (x) = x n, x [, ], για κάθε n N. Π.χ. για n = η f (x) = x, για n = 2 η f 2 (x) = x 2, κ.ο.κ. Μεταβάλλοντας λοιπόν το n παίρνουμε την ακολουθία συναρτήσεων {f n (x)} n N = {x n } n N. Ορισμός 2. Λεμε ότι η ακολουθία {f n (x)} n N συγκλίνει στην συνάρτηση f(x) (σημειακά) αν για κάθε ɛ > υπάρχει N N (εν γένει N = N(x, ɛ)) τέτοιο ώστε f n (x) f(x) < ɛ για n > N. Παράδειγμα 2.2 Η ακολουθία f n (x) = x n, x [, ] συγκλίνει στην συνάρτηση { x < f(x) = x = Παράδειγμα 2.3 Η ακολουθία f n (x) = xn n, x [, ] συγκλίνει στην συνάρτηση f(x) =, x [, ]. Γιατί χρειαζόμαστε τις ακολουθίες συναρτήσεων; Για πολλούς λόγους, όπως θα δείτε στο σύντομο μέλλον, αλλά ας αρκεστούμε εδώ να δώσουμε έναν απο αυτούς. Οπως έχετε δεί πολλές συναρτήσεις μπορούν να γραφούν σαν δυναμοσειρές κάνοντας χρήση π.χ. του αναπτύγματος Tylor. Π.χ. f(x) = e x = + x + x2 2 + = j= xj. Ενας τρόπος να δείτε αυτή τη σειρά είναι να ορίσετε τα μερικά αθροίσματα f n (x) = n j= xj και τότε η σειρά μπορεί να γραφεί ως f(x) = lim n f n (x). Συνεπώς το άθροισμα της σειράς μπορεί να εκφραστεί σαν το όριο μιας ακολουθίας συναρτήσεων. 3 Probl mt thc shmeik c sôgklishc Ας παρουμε το παράδειγμα ;;. Παρατηρούμε ότι ενώ οι συναρτήσεις f n (x) = x n είναι συνεχείς συναρτήσεις του x, για x [, ], η συνάρτηση f(x) = lim n f n (x) δεν είναι συνεχής συνάρτηση στο x =! Συνεπώς, η ιδιότητα της συνέχειας δεν μεταφέρεται στο όριο! Αυτό είναι μία ενοχλητική παρατήρηση η οποία δυστυχώς συμβαίνει αρκετά συχνά.
Παράδειγμα 3. Θεωρείστε την ακολουθία συναρτήσεων f n (x) = ( x 2 ) n, x [, ]. Βλέπουμε ότι { x lim f n(x) = x = Παρατηρούμε λοιπόν πάλι το ίδιο φαινόμενο. Η σημειακή σύγκλιση δεν είναι επαρκής για να διατηρήσει την ιδιότητα της συνέχειας. Τα προβλήματα όμως δεν σταματούν εδώ! Παράδειγμα 3.2 Ας θεωρήσουμε την ακολουθία συναρτήσεων f n (x) = xn n, x [, ]. Παρατηρούμε ότι f(x) = lim f n (x) =, x [, ]. Ας πάρουμε τώρα τις παραγώγους των f n (x), Βλέπουμε ότι f n(x) = x n { lim f n(x) x < = x = f (x) =, x [, ] Συνεπώς, βλέπουμε και ότι Η σημειακή σύγκλιση δεν είναι επαρκής για να μας επιτρέψει την εναλλαγή της πράξης του ορίου με την πράξη της παραγώγισης. Και δυστυχώς τα προβλήματα δεν σταματούν εδώ! Παράδειγμα 3.3 Ας θεωρήσουμε την ακολουθία συναρτήσεων f n (x) = Μπορούμε να δούμε μετά απο πράξεις ότι 4 n 2 x x < 2n 4 n 2 x + 4 n 2n x < n n x f n (x) dx =, n N Για κάθε x [, ] έχουμε ότι f(x) = lim f n (x) = (εφόσον f n (x) = στο x = για κάθε n, και f n (x) = για n αρκετά μεγάλο ώστε n < x). Συνεπώς, = lim f n (x) dx lim f n(x) dx = dx = Αυτό είναι ιδιαίτερα ενοχλητικό, γιατί π.χ οι f n (x) μπορεί να ερμηνευθούν σαν μία ακολουθία συναρτήσεων κατανομών κάποιας ακολουθίας τυχαίων μεταβλητών, αλλά το όριο τους όχι! Συνεπώς, βλέπουμε και ότι Η σημειακή σύγκλιση δεν είναι επαρκής για να μας επιτρέψει την εναλλαγή της πράξης του ορίου με την πράξη της ολοκλήρωσης. Πρέπει λοιπόν να ορίσουμε μία πιο ισχυρή μορφή σύγκλισης η οποία και θα μας επιτρέπει να επιλύσουμε τα προβλήματα αυτά. 2
4 Omoiìmorfh sôgklish Στην σημειακή σύγλιση είδαμε ότι το N = N(x, ɛ). Τα προβλήματα μας μπορεί να λυθουν αν υποθέσουμε ότι το N εξαρτάται απο το ɛ αλλά όχι απο το x! Δηλαδή N = N(ɛ) και συνεπώς μπορούμε να διαλέξουμε το ίδιο N για κάθε x I. Εφόσον συμβαίνει αυτό λέμε ότι η ακολουθία f n (x) συγκλίνει ομοιόμορφα στην f(x). Ορισμός 4. Η ακολουθία f n (x) : I R, I R συγκλίνει ομοιόμορφα στην συνάρτηση f(x) και συμβολίζουμε f n (x) f(x) αν για κάθε ɛ > υπάρχει N N τέτοιο ώστε για κάθε n > N και για κάθε x I να ισχύει f n (x) f(x) < ɛ. Παράδειγμα 4. Η ακολουθία f n (x) = x n δεν συγκλίνει ομοιόμορφα στη { x < f(x) = x = στο I = [, ]. Αυτό γιατί για να ισχύει ότι f n (x) f(x) < ɛ για δεδομένο ɛ θα πρέπει να ισχύει n > ln ( ) ɛ ln ( ) x. Είναι προφανές ότι δεν μπορούμε να βρούμε ένα N το οποίο να είναι τέτοιο ώστε f n (x) f(x) < ɛ για n > N και το N αυτό να εξαρτάται μόνο απο το ɛ, αν το x παίρνει τιμές κοντά στο x =. Παράδειγμα 4.2 Η ακολουθία f n = xn n x n n συγκλίνει ομοιόμορφα στην f(x) = στο [, ]. Παρατηρούμε ότι, x [, ], n N n συνεπώς για κάθε x [, ] μπορούμε να επιλέξουμε το ίδιο N > ɛ. Πρόταση 4. Η ακολουθία f n (x) συγκλίνει ομοιόμορφα στην f(x) αν και μόνο αν ισχύει ( ) lim sup f n (x) f(x) = x I Παράδειγμα 4.3 Η ακολουθία συναρτήσεων f n (x) = 2 n x x 2n 2 2 n x 2n x < n n x συγκλίνει σημειακά στην f(x) = στο I = [, ] αλλά όχι ομοιόμορφα. Για να το δείτε αυτό πάρετε την x n = 2n, n N. Παρατηρούμε ότι f n (x n ) f(x n ) = για κάθε n N συνεπώς η f n (x) δεν μπορεί να συγκλίνει ομοιόμορφα. Παράδειγμα 4.4 Ας πάρουμε την ακολουθία f n (x) = x n. Ενας τρόπος να δείτε ότι η ακολουθία αυτή δεν συγκλίνει ομοιόμορφα στην συνάρτηση f(x) = είναι να επιλέξετε την ακολουθία x n = n+ n και να δείτε οτι το παραπάνω κριτήριο δεν ισχύει. 5 Omoiìmorfh sôgklish ki sunèqei Η ομοιόμορφη σύγκλιση μας εξασφαλίζει την διατήρηση της ιδιότητας της συνέχειας στο όριο Πρόταση 5. Εστω f n (x) : I R μία ακολουθία συνεχων συναρτήσεων η οποία συγκλίνει ομοιόμορφα στην f(x) : I R. Τότε, η f(x) είναι συνεχής στο I. Με άλλα λόγια μας επιτρέπεται να γράψουμε lim lim f n (x) = lim x x 3 x x lim f n(x)
Απόδειξη: Αυτο που ζητάμε να δείξουμε είναι ότι για κάθε x I, και για κάθε ɛ > υπάρχει δ > τέτοιο ώστε f(y) f(x) < ɛ αν x y < δ. Ας επιλέξουμε ένα οποιοδήποτε x I και ένα οποιοδήποτε ɛ >. Εφόσον η f n (x) συγκλίνει ομοιόμορφα στην f(x) ισχύει ότι μπορούμε να βρούμε N N τέτοιο ώστε για κάθε z I αν n N να ισχύει f n (z) f(z) < ɛ 3 Η f N (x) είναι συνεχής στο I, συνεπώς, μπορούμε να βρούμε ένα δ > τέτοιο ώστε για κάθε y I να ισχύει για καθε y I τέτοιο ώστε x y < δ. Άρα, για κάθε y I τέτοιο ώστε x y < δ ισχύει f N (x) f N (y) < ɛ 3 f(x) f(y) f(x) f N (x) + f N (x) f N (y) + f N (y) f(y) ɛ 3 + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ οπότε αποδείχθηκε και η συνέχεια της f. 6 Omoiìmorfh sunèqei ki olokl rwsh Πρόταση 6. Εστω f n (x) μία ακολουθία συναρτήσεων που συγκλίνει ομοιόμορφα στην f(x) για x I = [, b]. Αν κάθε όρος της ακολουθίας f n (x) είναι ολοκληρώσιμος στο I τότε και η f(x) είναι ολοκληρώσιμη στο I και ισχύει lim f n (x) dx = lim f n(x) dx = f(x) dx Απόδειξη: Αφήνεται σαν άσκηση. 7 Omoiìmorfh sunèqei ki prg gish Πρόταση 7. Εστω ότι το I είναι ένα κλειστό και φραγμένο διάστημα I = [, b] και f n (x) μία ακολουθία συνεχώς διαφορίσιμων συναρτήσεων. Ας υποθέσουμε ότι. Υπάρχει κάποιο z I τέτοιο ώστε η f n (z) να συγκλίνει 2. Η ακολουθία f n(x) συγκλίνει ομοιόμορφα στο I Τότε, η ακολουθία f n (x) συγκλίνει ομοιόμορφα στο I σε μία συνεχώς διαφορίσιμη συνάρτηση f(x) και έχουμε ότι f (x) = lim f n(x), x I Απόδειξη: Η αποδειξη παραλείπεται. 8 Seirèc sunrt sewn ki omoiìmorfh sôgklish Θα ασχοληθούμε τώρα με σειρές συναρτήσεων της μορφής f j (x) Είδαμε ότι αν πάρουμε τα μερικά αθροίσματα S n (x) = n f j(x) μπορούμε να δούμε το πρόβλημα της σύγκλισης της σειράς αυτής σαν το πρόβλημα της σύγκλισης της ακολουθιας συναρτήσεων S n (x) καθώς n. 4
Ορισμός 8. Θα λέμε ότι η σειρά συναρτήσεων f j συγκλίνει ομοιόμορφα στην συνάρτηση f(x) για x I αν η ακολουθία συναρτήσεων S n (x) := n f j(x) συγκλίνει ομοιόμορφα στην f(x). Ενα απο τα ερωτήματα που θα μας απασχολήσουν θα είναι να βρούμε συνθήκες κάτω απο τις οποίες η σειρά αυτή συγκλίνει ομοιόμορφα. Πρόταση 8. (Το κριτήριο ομοιόμορφης σύγκλισης του Weierstrss ) Ας υποθέσουμε οτι υπάρχει μία ακολουθία πραγματικών αριθμών M j τέτοιων ώστε f j (x) M j για κάθε j N και κάθε x I και η σειρά M j συγκλίνει. Τότε, η σειρά f j(x) συγκλίνει ομοιόμορφα στο I. Απόδειξη: Εστω οποιοδήποτε ɛ >. Εφόσον η σειρά M j συγκλίνει, υπάρχει N N τέτοιο ώστε για n > m N να ισχύει Για κάθε x I ισχύει τότε ότι M m+ + M m+2 + M n < ɛ 2 f m+ (x) + + f n (x) f m+ (x) + + f n (x) M m+ + + M n < ɛ 2 () Θα δείξουμε τώρα ότι η συνθήκη αυτή εξασφαλίζει την ομοιόμορφη σύγκλιση της f j(x) στο I. Παρατηρείστε ότι f m+ (x) + + f n (x) = S n (x) S m (x) οπότε η (;;) μας εξασφαλίζει ότι η S n (x) είναι Cuchy για κάθε x I, συνεπώς υπάρχει συνάρτηση f(x) τέτοια ώστε lim S n (x) = f(x) σημειακά. Θα δειξουμε ότι η σύγκλιση της S n (x) είναι και ομοιόμορφη στο I. Εστω x I και m N. Τότε, m S m (x) f(x) = f j (x) f j (x) = j=m+ f j (x) = lim n j=m+ f j (x) ɛ 2 < ɛ Συνεπώς, για κάθε x I υπάρχει N N (ανεξάρτητο του x) τέτοιο ώστε αν m N να ισχύει S m (x) f(x) < ɛ άρα η S n (x) συγκλίνει ομοιόμορφα στην f(x) στο I. Παράδειγμα 8. Η σειρά j= xj συγκλίνει ομοιόμορφα στην συνάρτηση f(x) = x αν < <. x στο διάστημα Πραγματικά, η σειρά αυτή ικανοποιεί το κριτήριο του Weierstrss με M j = j. Μετά αρκεί να χρησιμοποιήσουμε τα γνωστά μας αποτελέσματα απο τις γεωμετρικές σειρές. Παράδειγμα 8.2 Η σειρά cos(j x) j συγκλίνει ομοιόμορφα για x στο διάστημα [ R, R] για κάθε R R. 2 Πραγματικά, η σειρά αυτή ικανοποιεί το κριτήριο του Weierstrss με M j = j 2. Η ομοιόμορφη σύγκλιση σειρών συναρτήσεων μας επιτρέπει το να τις ολοκληρώσουμε όρο προς όρο. Πρόταση 8.2 Εστω f n (x) μία ακολουθία συναρτήσεων που είναι ολοκληρώσιμες στο διάστημα I = [, b]. Αν η σειρά f j(x) συγκλίνει ομοιόμορφα σε μία συνάρτηση f(x) στο I τότε η f(x) είναι ολοκληρώσιμη στο I και f(x) dx = f j (x) dx Απόδειξη: Η απόδειξη γίνεται με την χρήση της Πρότασης ;;. 5
Παράδειγμα 8.3 Κάνοντας χρήση της Προτασης ;; υπολογίστε το ολοκλήρωμα ex dx. Δείξτε πρώτα ότι η σειρά όρο προς όρο και ξανααθροίσετε. j= xj συγκλίνει ομοιόμορφα στο διάστημα [, ]. Μετά ολοκληρώστε την σειρά Πρόταση 8.3 Εστω f n (x) μία σειρά διαφορίσιμων συναρτήσεων στο I = (, b). Υποθέστε ότι. f n(x) συνεχείς στο (, b) 2. Η σειρά f j(x) συγκλίνει σημειακά σε μία συνάρτηση f(x) στο (, b) 3. Η σειρά f j (x) συγκλίνει ομοιόμορφα στο (, b). Τότε, η f(x) είναι διαφορίσιμη στο (, b) και για κάθε x (, b). f (x) = f j(x) 9 Efrmogèc stic dunmoseirèc Ορισμός 9. Μία σειρά της μορφής j= j (x t) j ονομάζεται δυναμοσειρά. Γνωρίζουμε ότι για τις δυναμοσειρές υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός R τέτοιος ώστε η σειρά να συγκλίνει απόλυτα αν x t < R και να αποκλίνει αν x t > R. Ο αριθμός R ονομάζεται ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς. Πρόταση 9. Εστω j= j(x t) j μία δυναμοσειρά και R η ακτίνα σύγκλισης της. Αν f(x) = j= j(x t) j για x t < R τότε. Αν < S < R η σύγκλιση της δυναμοσειράς στην f(x) είναι ομοιόμορφη στο διάστημα [t S, t + S] 2. Η f(x) είναι συνεχής στο [t S, t + S] 3. Αν, b (t R, t+r) τότε η f(x) είναι ολοκληρώσιμη στο [, b], η σειρά j= j b j όπου b j = (x t)j dx συγκλίνει και f(x) dx = j (x t) j dx j= 4. Η f(x) είναι διαφορίσιμη στο (t R, t + R), η j j (x t) j συγκλίνει απόλυτα αν x t < R και f (x) = j j (x t) j, x t < R Παράδειγμα 9. Ας θεωρήσουμε την γεωμετρική σειρά x + x 2 x 3 + x 4 = + x, x < Αν f(x) = +x, t = και j = ( ) j η παραπάνω πρόταση μας δίνει ότι καθώς και ότι + 2 x 3 x 2 + = f (x) = ( + x) 2, x < f(x) dx = ln( + b) = b b2 2 + b3 3 = ( ) j+ b j, b j 6
Πρόταση 9.2 (Σειρές Tylor) Ας υποθέσουμε ότι η δυναμοσειρά j= j (x t) j έχει ακτίνα σύγκλισης R και έστω f(x) = j= j (x t) j, x t < R. Τότε, και συνεπώς f(x) = j= j = f (j) (t) f (j) (t) (x t) j, x t < R όπου με f (j) (t) συμβολίζουμε την j παράγωγο της f(x) υπολογισμένη στο x = t, δηλαδή f (j) (t) = dj f dx j (x = t). Απόδειξη: Χρησιμοποιούμε m φορές την Προταση ;; (4) και καταλήγουμε στο ότι f (m) (x) = j (j ) (j 2) (j m + ) j (x t) j m, x t < R j=m Θέτουμε τώρα x = t και βλέπουμε ότι στο άθροισμα αυτό συνεισφέρει μόνο ο όρος j = m, συνεπώς f (m) (t) = j m! απο όπου και καταλήγουμε στο ζητούμενο αποτέλεσμα. Παράδειγμα 9.2 Δείξτε ότι e x = j= xj χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα Tylor. 7