Structura matematicii

Structura matematicii Oana Constantinescu March 21, 2014 Contents 1 Teorie deductiva. Generalitati 1 2 Geometria plana bazata pe notiunea de distanta 4 2.1 Motivatie............................... 4 2.2 Geometrie de incidenta........................ 5 2.3 Geometrie metrica.......................... 7 2.4 Sistemul axiomatic al lui Birkho pentru planul euclidian.... 13 1 Teorie deductiva. Generalitati Pentru a preciza structura matematicii, este esential conceptul de sistem deductiv sau teorie deductiva. O teorie deductiva este data de: 1. un sistem de notiuni si de relatii N R = {N a, R b } (diferentierea de termeni are caracter lingvistic); 2. un sistem de propozitii corect construite P = {P c }, exprimate (exclusiv) cu elemente din N R; 3. un sistem de reguli de constructie C = {C d }; 4. un sistem de reguli de deductie D = {D e }; 5. un sistem de propozitii adevarate A = {A f }, ce indeplineste urmatoarele conditii: (a) A P; (b) P este stabila in raport cu C, adica prin aplicarea unor reguli de constructie unor propozitii corect construite se obtin tot propozitii corect construite; (c) A este stabila in raport cu D : din propozitii adevarate, prin reguli de deductie, se obtin tot propozitii adevarate. 1

O subteorie T a teoriei T este formata din subsisteme N R N R, P P, C C, D D, A A ce indeplinesc conditiile (a), (b), (c). Pentru o teorie matematica deductiva T se poate separa o subteorie L numita logica teoriei T, iar elementele din T \L formeaza partea specica a teoriei T. Se numeste axiomatizare a unei teorii T o subteorie T in care ecare din sistemele constitutive N R, P, C, D, A este nit dar care genereaza intreaga teorie T. Adica: folosind regulile de constructie C, din propozitiile corect construite P se obtin toate propozitiile corect construite P; aplicand regulile de deductie D, din propozitiile adevarate A sunt generate toate propozitiile adevarate A; iterand de un numar nit de ori regulile de constructie din C, respectiv pe cele de deductie din D, se obtin toate regulile de constructie din C, repectiv toate regulile de deductie din D; pentru elementele din N R\N R se presupune a exista denitii logice in care intervin doar elementele lui N R. Elementele din N R se numesc notiuni (relatii) primare, iar cele din N R\N R se numesc notiuni (relatii) derivate. Elementele din D se numesc reguli de deductie primare. Elementele din A se numesc axiome. Elementele din A\A se numesc teoreme. O succesiune de reguli de deductie ce porneste din A si ajunge la o teorema se numeste demonstratie a teoremei respective. Prin formalizare a unei teorii se intelege ca notiunile sale sunt considerate entitati pur formale, simple simboluri. Astfel, o propozitie corect construita este o succesiune acceptabila de simboluri. O regula de constructie exprima cum putem inlantui succesiuni acceptabile de simboluri incat rezultatul sa ramana acceptabil. Modul in care se decide daca o propozitie corect construita este adevarata constituie o chestiuna interna a teoriei respective, ce nu are semnicatii exterioare teoriei. O teorie deductiva este neformalizata daca toate notiunile si relatiile ei provin din abstractizarea sau esentializarea unei realitati existente apriori. Caracterul unei propozitii de a corect construita este o chestiune predominant lingvistica, iar apartenenta ei la clasa propozitiilor adevarate admite si o interpretare in cadrul realitatii de start. Este de dorit ca, intr-o axiomatizare a unei teorii neformalizate, propozitiile ce vor incluse in clasa axiomelor sa aiba un caracter evident. Logica unei astfel de teorii este cea uzuala si este numita logica bunului simt. Un exemplu de teorie axiomatica neformalizata este cea construita de Euclid pentru geometrie. O teorie axiomatica se numeste semiformalizata daca logica ei este neformalizata, ind cea a bunului simt, dar partea specica este formalizata. 2

Deci notiunile si relatiile primare sunt simboluri abstracte date initial in cadrul teoriei, iar axiomele sunt propozitii adevarate date si ele de la inceput in cadrul teoriei. Rationamentele devin sucient de riguroase, de aceea majoritatea teoriilor matematice actuale, precum algebra, geometria, analiza sunt teorii axiomatice semiformalizate. Ca exemple amintim sistemul axiomatic al lui Peano pentru numerele naturale, sistemele axiomatice ale lui Hilbert si Birkho pentru geometria plana si in spatiu. Numim formalizata o teorie axiomatica in care sunt formalizate si partea specica si logica. Se obtine un maxim de rigoare dar urmarirea axiomelor, teoremelor si demonstratiilor devine extrem de dicila. Este cazul axiomatizarii formalizate a teoriei multimilor, facuta de Zermelo. Analiza unei teorii axiomatice (structura interna, proprietatile ei, relatiile cu alte teorii) poarta numele de metateorie. Va invitam sa parcurgeti materialul bibliograc pentru a aa mai multe despre metateoria sistemelor axiomatice. Se numeste structura matematica o multime prevazuta cu anumite relatii, astfel incat elementele sale si relatiile date satisfac un sistem de axiome. Considerand ca notiuni primare elementele multimii date, relatiile primare relatiile date, si drept axiome cele precizate, se obtine teoria axiomatica a structurii matematice. Notiunea de structura matematica este folosita de Bourbaki pentru clasicarea teoriilor matematice. 3

2 Geometria plana bazata pe notiunea de distanta 2.1 Motivatie Incepand cu clasa a VI-a, geometria euclidiana plana este introdusa pornind la la notiunile primare de punct, dreapta, plan, relatia primara de apartenenta (incidenta) a unui punct la o dreapta. Axiomele de incidenta sunt prezentate ca propozitii evidente. Toate aceste elemente ale teoriei axiomatice sunt date initial intr-un mod intuitiv. Apoi profesorul explica elevilor ca punctul, dreapta, planul vor privite ca niste concepte abstracte. Pe parcursul intregului an, cel mai dicil obiectiv al predarii geometriei va tocmai formarea conceptelor abstracte. Dupa argumentarea (pe baza axiomelor) a pozitiilor relative a doua drepte in plan, se introduce axioma riglei ce arma existenta unui sistem de coordonate pe orice dreapta. Aceasta armatie nu socheaza elevii, deoarece inca din clasa I ei au reprezentat numerele naturale pe o dreapta, au masurat apoi lungimi de segmente. Deci, intr-un mod intuitiv, neriguros, elevii au fost familiarizati cu ideea de distanta si sistem de coordonate. Dar de abea acum, in clasa a VI-a, se introduce printr-o axioma acest adevar deja familiar lor. De asemenea se deneste distanta intre doua puncte ale unei drepte. Faptul ca exista o bijectie intre multimea punctelor oricarei drepte si multimea numerelor reale, va ajuta la introducerea unei alte relatii, acum derivate, aceea de a intre pe multimea punctelor. Chiar daca elevii nu cunosc o constructie riguroasa a multimii numerelor reale, ei stiu sa compare numere rationale. Relatia de ordine pe multimea numerelor rationale, cat si cea pe multimea numerelor reale (chiar daca neriguros introdusa) ii ajuta sa simta cand un punct-abstract este situat intre alte doua puncte-abstracte. Ideea este deci de a incerca construirea unei teorii deductive axiomatice folosind proprietatile numerelor reale, deoarece elevii au lucrat deja multi ani cu conceptul abstract de numar (ce-i drept, cel mult rational). Avand acest concept deja format, treptat ei vor ajunge sa simta si punctul, dreapta, planul ca niste concepte abstracte. Facand aceasta paralela intre proprietatile numerelor si a notiunilor primare geometrice, vor invata sa demonstreze o propozitie matematica adevarata doar pe baza axiomelor si a propozitiilor adevarate deja demonstrate (teoreme). Intr-un cuvant, se vor obisnui cu demonstratiile riguroase. Deoarece modul de predare al geometriei plane in clasa a VI-a se bazeaza pe sistemul axiomatic al lui Birkho, iar acesta este un exemplu de tratare metrica a geometriei plane, vom face o incursiune, consideram utila, in aceasta metoda de constructie a unei teorii deductive. Nu vom prezenta in totalitate sistemul axiomatic al lui Birkho, dar vom puncta aspectele esentiale, apoi vom incerca o comparatie cu sistemul axiomatic al lui Hilbert. Pentru tratarea completa a celor doua sisteme axiomatice, va invitam sa parcurgeti materialele din bibliograa precizata. 4

2.2 Geometrie de incidenta Consideram perechea (S, L) cu S o mulµime nevida ale carei elemente le numim puncte (³i le notam A, B,...) ³i L o colecµie de submulµimi nevide ale lui S numite drepte (³i le notam a, b,...). Deniµie i) Elementele unei submulµimi de puncte P S se numesc coliniare daca l L a.î. P l. În caz contrar ele se numesc necoliniare. ii) Spunem ca A = (S, L) este o geometrie abstracta daca sunt satisfacute condiµiile: A1) orice dreapta are cel puµin doua puncte distincte: l L A, B S, A B a.î. A l ³i B l; A2) orice doua puncte distincte sunt coliniare: A, B S, A B, l L a.î. A L ³i B L. Exemple de geometrii abstracte: I. Planul euclidian E = (R 2, L E ) unde L E = {L a, L m,n / a, m, n R} este multimea dreptelor verticale : L a = {(x, y) R 2 / x = a} si neverticale: L m,n = {(x, y) R 2 / y = mx + n}. Se verica imediat ca E este o geometrie abstracta. II. Planul hiperbolic H = (H, L H ) cu H = {(x, y) R 2 / y > 0} semiplanul (euclidian) superior, L H = { a L, c L r, / a, c, r R, r > 0} multimea dreptelor hiperbolice: drepte de tipul I: a L = {(x, y) H / x = a} (semidrepte euclidiene verticale); drepte de tipul II: cl r = {(x, y) H /(x c) 2 + y 2 = r 2 } (semicercuri euclidiene cu originea pe dreapta euclidiana y = 0. Va invitam sa vericati ca H constituie o geometrie abstracta. Observam ca date doua puncte distincte P, Q H, centrul dreptei de tip II ce trece prin cele doua puncte se obtine ca intersectia dintre mediatoarea euclidiana a segmentului (P Q) si dreapta euclidiana y = 0. In ambele exemple anterioare se remarca unicitatea dreptei ce trece prin doua puncte date. E usor de vericat si ca oricare ar o dreapta a geometriei respective, exista puncte exterioare ei. III. Sfera lui Riemann R = {S 2, L R } S 2 = {(x, y, z) R 3 / x 2 +y 2 +z 2 = 1} (sfera unitate a spatiului euclidian), iar L R = {C/C cerc mare al sferei}, 5

C = {(x, y, z) S 2 / ax + by + cz = 0, a 2 + b 2 + c 2 > 0}. Deci dreptele acestei geometrii sunt cercurile euclidiene mari ale sferei, obtinute ca intersectia dintre sfera si planuri euclidiene prin centrul sferei. Vericati ca si R este o geometrie abstracta. Observatia ca exista puncte distincte, si anume cele diametral opuse in sfera, prin care trec o innitate de drepte. IV. Geometria celor trei puncte G 3 = (S = {A, B, C}, L = {{A, B}, {A, C}, {B, C}). Este probabil unul dintre cele mai simple exemple de geometrii abstracte nite. Deci aici spatiul este format din 3 puncte distincte, iar dreptele sunt submultimile formate din cate doua puncte distincte din cele trei date. V. Alt exemplu de geometrie nita G 1 = (S = {A, B, C}, L = {{A, B, C}}) Aceasta geometrie are doar o dreapta. Observam ca in exemplul III avem o geometrie abstracta in care ecare dreapta admite puncte exterioare dar in care exista puncte distincte prin care trec mai multe drepte (mai exact o innitate). In cazul geometriei abstracte de la V, dreapta data nu admite puncte exterioare, deci toate punctele sunt coliniare. Se simte necesitatea introducerii unei alte denitii, care sa diferentieze diversele geometrii prezentate anterior: Denitie Spunem ca o geometrie abstracta (S, L) este o geometrie de incidenµa daca in plus sunt satisfacute si axiomele: A3) dreapta l data de axioma (2) este unica; (in acest caz notam l = AB aceasta dreapta); A4) exista 3 puncte distincte necoliniare. Din cele expuse pana acum, se observa ca planul euclidian, planul hiperbolic, geometria celor trei puncte sunt exemple de geometrii de incidenta, pe cand sfera lui Riemann si geometria nita de la V nu sunt geometrii de incidenta. Geometria plana studiata in clasele VI-VII are ca model geometria de incidenta E. Credem ca recunoasteti in axiomele (A1)-(A4) axiomele de incidenta prezentate ca propozitii adevarate in clasa a VI-a. Denitie Dreptele distincte a, b L ale unei geometrii abstracte se numesc paralele (notam a b) dac a b =. Propoziµie Fie dreptele a, b intr-o geometrie de incidenµa a.î. mulµimea a b are cel puµin doua puncte distincte. Atunci a = b. Demonstraµie: Fie P, Q a b, P Q. Din (A3) avem a = P Q = b. 6

Corolar Într-o geometrie de incindenµa, doua drepte distincte sau sunt paralele sau se intersecteaza in exact un punct. Astfel regasim pozitiile relative cunoscute pentru geometria euclidiana plana: doua drepte pot confundate, paralele sau concurente. Observatie 1) In cazul planului euclidian, printr-un punct exterior unei drepte trece o singura paralela la acea dreapta. Vericati! In cazul planului hiperbolic, printr-un punct punct exterior unei drepte hiperbolice trec o innitate de drepte hiperbolice paralele cu dreapta data (sunt drepte de tipul II). Vericati! Pentru sfera lui Riemann, printr-un punct exterior unei drepte sferice nu trece nici o dreapta paralela cu dreapta data. (Intr-adevar, oricare doua cercuri mari ale unei sfere se intersecteaza, deci nu pot paralele). Se vede de aici necesitatea introducerii unei axiome a paralelelor. Apar astfel trei geometrii: euclidiana, hiperbolica si sferica. 2) Relatia de paralelism pe multimea dreptelor unei geometrii abstracte nu este intotdeauna tranzitiva. De exemplu: S = {A, B, C, D, E}, L = {{A, B}, {A, E}, {C, D}}. Se observa ca {A, B} {C, D}, {A, E} {C, D} si {A, B} {A, E}. 2.3 Geometrie metrica Deniµie i) Numim metrica sau distanµa pe S o funcµie d : S S R cu proprietaµile: D1. (pozitivitatea) d(a, B) 0 A, B S; d(a, B) = 0 A = B; D2. (simetria) d(a, B) = d(b, A) A, B S; Perechea (S, d) se numeste spaµiu metric. Observatie: in unele carti apare ca axioma a distantei si inegalitatea triunghiulara. Aceasta insa se poate demonstra ulterior folosind si alte axiome diferite de cele de incidenta. Denitii: i) Un spaµiu metric este marginit daca M > 0 a.î. A, B S : d(a, B) M. ii) Funcµia ϕ : (S, d) ( S, d) intre doua spaµii metrice este o izometrie daca este surjectiva si invariaza distanµa: A, B S : d(a, B) = d(ϕ(a), ϕ(b)). Observaµie Demonstrati ca orice izometrie este injectiva ³i deci orice izometrie este bijecµiva. 7

Exemple de distante: 1. Fie S = R ³i d : R R R, d(x, y) = y x. Se verica imediat axiomele de spaµiu metric pe care il vom nota (R, ). Observam ca (R, ) este nemarginit. 2. Exemple de distante pe planul euclidian E : (a) distanta euclidiana: A = (x 1, y 1 ), B = (x 2, y 2 ), d E (A, B) = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 ; (1) (b) distanta taxiului : A = (x 1, y 1 ), B = (x 2, y 2 ), d T (A, B) = x 1 x 2 + y 1 y 2 ; (2) (c) distanta maximului: A = (x 1, y 1 ), B = (x 2, y 2 ), d M (A, B) = max{ x 1 x 2, y 1 y 2 }. (3) Exercitiu: Vericati ca functiile denite prin (1), (2) respectiv (3) sunt distante pe E. Reprezentati intr-un sistem de axe ortogonale multimea S 1 = {A = (x, y) R 2 / d(a, O) = 1}, unde O = (0, 0), pe rand pentru cele trei distante date. Recunoasteti ca este vorba despre cercul cu centrul in origine si raza 1. Sa retinem deci ca pot exista mai multe functii distanta pentru o aceeasi geometrie. Deniµii i) Fie (S, L, d) o geometrie de incidenµa care este spaµiu metric ³i l L. Se numeste sistem de coordonate (sau rigla) pe dreapta l orice izometrie f : (l, d l ) (R, ). Deci f : l R este bijectie (sucient sa cerem surjectie) si A, B l : d(a, B) = f(b) f(a). Numarul f(a) se numeste coordonata lui A l relativ la sistemul de coordonate f. ii) Tripletul (S, L, d) se numeste geometrie metrica daca verica axioma riglei: (AR) l L admite un sistem de coordonate. 8

ca Observaµie 1) O parametrizare pe l L este o functie bijectiva α : R l cu proprietatea d(α(x), α(y)) = x y, x, y R. Daca f este un sistem de coordonate pe l atunci f 1 este o parametrizare a lui l ³i reciproc, daca α este o parametrizare a lui l atunci α 1 este un sistem de coordonate pe l. Deci intr-o geometrie metrica orice dreapta admite o parametrizare. 2) Un sistem de coordonate f pe dreapta l permite o identicare din punctul de vedere al spaµiilor metrice a lui l cu dreapta reala R. Teorema (E, d E ), (E, d T ), (E, d M ) sunt geometrii metrice. Demonstratie: Stim deja ca avem trei geometrii de incidenta si ca cele trei functii sunt distante pe planul euclidian. Mai ramane sa demonstram ca pentru orice dreapta putem determina un sistem de coordonate. Pentru d E : e dreapta L m,n si f m,n : L m,n R, f m,n (x, mx + n) = 1 + m 2 x. Evident aceasta este o bijecµie. Pentru A = (x 1, y 1 ), B = (x 2, y 2 ) L m,n avem: d E (A, B) = (x 2 x 1 ) 2 + (mx 2 + n mx 1 n) 2 = = x 2 x 1 1 + m 2 = 1 + m 2 x 2 1 + m 2 x 1 = = f m,n (B) f m,n (A), ceea ce arata ca f m,n este un sistem de coordonate pe L m,n. Pentru o dreapta verticala este si mai simplu: f a : L a R, f a (a, y) = y. Pentru d T : denim f m,n : L m,n R, f m,n (x, mx + n) = (1 + m )x. Aceasta funcµie este bijecµie. In plus d T (A, B) = x 2 x 1 + mx 2 + n mx 1 n = x 2 x 1 + mx 2 mx 1 = = (1 + m ) x 2 x 1 = (1 + m )x 2 (1 + m )x 1 = = f m,n (B) f m,n (A). Pentru dreptele verticale sistemul de coordonate se deneste ca si pentru distanta euclidiana. Exercitiu: determinati un sistem de coordonate pe dreapta L m,n pentru distanta d max. Deci pe spatiul de puncte al unei geometrii de incidenta putem construi o functie distanta astfel incat sa obtinem o geometrie metrica. Insa nu orice functie distanta pe o geometrie de incidenta verica axioma riglei. 9

Contraexemplul urmator sprijina cele armate: Fie spaµiul metric (S, d). Atunci { d d(a, B), d(a, B) 1 (A, B) = 1, d(a, B) > 1 este o metrica pe S ³i nu exista o geometrie de incidenµa a.î. (S, L, d ) sa e geometrie metrica. Demonstraµie Pozitivitatea ³i simetria lui d sunt evidente. Partea a doua a concluziei este consecinµa faptului ca (R, ) este spaµiu metric nemarginit, iar (S, d ) este spaµiu metric marginit M = 1. Pentru a determina o metrica pe planul hiperbolic, construim mai intai o parametrizare pentru ecare tip de dreapta, apoi obtinem sisteme de coordonate pe ecare dreapta si, in sfarsit, ajungem la o formula pentru distanta hiperbolica. Teorema Tripletul H = (R 2 +, L H, d h ), cu y2 ln y 1, daca A, B a L d h (A, B) =, x2 c+r ln y 2 x 1 c+r, daca A, B c L r y 1 formeaza o geometrie metrica: geometria hiperbolica plana (modelul semispaµiu). Demonstraµie Fie a f : al R, a f(a, y) = ln y. Observam ca aceasta funcµie este corect denita caci y > 0. Cum funcµia logaritm este bijecµie (cu inversa functia exponenµiala) rezulta ca a f este bijecµie. Avem: d h (A, B) = ln y 2 y 1 = ln y 2 ln y 1 = a f(b) a f(a), deci a f este un sistem de coordonate pe a L. Pentru partea a doua a demonstraµiei sa observam ca ( 2 ( 2 sinh t 1 cosh t) + cosh t) = 1 ³i parametrizam c L r astfel: Fie { x c = r sinh t cosh t y = r 1 cosh t, t R. cf r : c L r R, c f r (x, y) = ln x c + r. y r sinh t+r cosh t r Avem c f r (x, y) = ln = ln e t = t, deci c f r este bijecµie. In plus x2 c+r d h (A, B) = ln y 2 x 1 c+r = cf r (B) c f r (A). y 1 10

Observatie: Putem construi o functie distanta si pe sfera lui Rieman, dar neavand o geometrie de incidenta nu putem vorbi de o geometrie metrica. In schimb denim spatiul proiectiv real (spatiul cat S 2 /, relatia de echivalenta ind A = (x, y, z) B = (x 1, y 1, z 1 ) A = +/ B). Dreptele vor multimea claselor de echivalenta corespunzatoare punctelor cercurilor mari ale sferei. Se obtine astfel o geometrie de incidenta pe care putem deni o metrica. Cei interesati pot studia [3]. Sa facem cateva observatii utile asupra formei sistemelor de coordonate pe o geometrie metrica generala: Propoziµie Fie (S, L, d) o geometrie metrica, punctul P S ³i dreapta l prin P. Atunci r R + exista P r l a.î. d(p, P r ) = r. Demonstraµie Fie numarul real f l (P ) ± r. Cum f l este surjectiva exista P r l a.î. f l (P r ) = f l (P ) ± r f l (P r ) f l (P ) = r. Cum f l (P r ) f l (P ) = d(p, P r ) rezulta d(p, P r ) = r. Corolar Daca (S, L, d) este o geometrie metrica atunci orice dreapa l L este mulµime innita (din axioma 1 a deniµiei unei geometrii abstracte ³tim doar Card(l) 2). Corolar Pe un spaµiu metric nit sau numarabil nu putem avea o geometrie metrica. Propoziµie Fie f : l R un sistem de coordonate pe dreapta l, ε = ±1 ³i a R. Atunci funcµia h f,ε,a : l R, h f,ε,a (P ) = εf(p ) + a este sistem de coordonate pe l. Demonstraµie Fie x R oarecare ³i numarul real x a ε. Cum f este surjectiva A l a.î. f(a) = x a ε h f,ε,a (A) = x. Deci h f,ε,a este surjecµie. Fie A, B l oarecare: h f,ε,a (B) h f,ε,a (A) = εf(b) εf(a) = ε f(b) f(a) = d(a, B). Astfel, h f,ε,a este un sistem de coordonate pe l. Exemple: h f,1,0 = f, h f,1,a este translaµia de marime a, iar h f, 1,0 este simetria faµa de origine. Teorema riglei Fie dreapta l intr-o geometrie metrica ³i A, B l distincte. Atunci exista un sistem de coordonate g pe l cu g(a) = 0 ³i g(b) > 0. Demonstraµie Fie f un sistem de coordonate pe l, a = f(a) ³i h f,1, a sistemul de coordonate dat de propoziµia anterioara. Avem h f,1, a (A) = f(a) a = 0. Daca h f,1, a (B) > 0 luam g = h f,1, a, iar daca h f,1, a (B) < 0 luam 11

g = h f,1, a = h f, 1,a. Deniµie Sistemul de coordonate g dat de teorema riglei se nume³te sistemul de coordonate cu originea A ³i B pozitiv. Propoziµie Fie l o dreapta in geometria metrica (S, L, d) ³i f, g doua sisteme de coordonate pe l. Atunci ε { 1, +1} ³i a R a.î. g = h f,ε,a. Demonstraµie Fie P 0 l a.î. f(p 0 ) = 0 ³i e a = g(p 0 ). Avem pentru P S: f(p ) = f(p ) f(p 0 ) = d(p, P 0 ) = g(p ) g(p 0 ) = g(p ) + a, adica f(p ) = { ±(g(p ) + a). Presupunem prin reducere la absurd ca P 1, P 2 f(p1 ) = g(p S\{P 0 } 1 ) + a a.î. f(p 2 ) = g(p 2 ) a. Avem: d(p 1, P 2 ) = f(p 2 ) f(p 1 ) = g(p 2 ) a g(p 1 ) a = = g(p 1 ) + g(p 2 ) + 2a. Cazul I. g(p 2 ) g(p 1 ) = g(p 1 ) + g(p 2 ) + 2a g(p 1 ) = a = g(p 0 ) P 0 = P 1 fals. Cazul II. g(p 2 ) g(p 1 ) = g(p 1 ) g(p 2 ) 2a g(p 2 ) = a = g(p 0 ) P 0 = P 2 fals. Deci P S avem sau f(p ) = g(p )+a g = h f,1, a sau f(p ) = g(p ) a g = h f, 1, a. In momentul de fata avem construita o geometrie metrica (S, L, d) si am determinat toate tipurile de sisteme de coordonate existente pentru o astfel de geometrie xata. De asemenea am demonstrat teorema de asezare a riglei. Axiomele precizate pana acum pentru studiul unei geometrii metrice sunt: axiomele de incidenta (A1)-(A4), axioma distantei ce precizeaza existenta unei functii d : S S R cu proprietatile (D1) si (D2) cat si axioma riglei (AR). Am dat modele pentru o geometrie de incidenta metrica: planul euclidian cu cele trei metrici, planul hiperbolic cu d h. In continuare ne vom referi la planul euclidian inzestrat cu metrica euclidiana, dar precizarile pe care le vom face sunt satisfacute pentru orice geometrie de incidenta metrica. 12

2.4 Sistemul axiomatic al lui Birkho pentru planul euclidian Nu avem intentia de a detalia riguros intreaga constructie axiomatica a geometriei plane urmand sistemul axiomatic al lui Birkho, ci doar sa precizam principalele etape. In anul I cursul de geometrie analitica incepea cu prezentarea sistemului axiomatic al lui Hilbert pentru geometria in spatiu. Daca ne limitam doar la axiomele referitoare la geometria plana, putem compara cele doua sisteme axiomatice. Sa reamintim, pentru sistemul axiomatic al lui Birkho: Notiuni primare: punct, dreapta, plan. Relatie primara: apartenenta unui punct la o dreapta (A d). Axiomele de incidenta: (A1) orice dreapta are cel puµin doua puncte distincte: l L A, B S, A B a.î. A l ³i B l; (A2) orice doua puncte distincte sunt coliniare: A, B S, A B, l L a.î. A L ³i B L; (A3) oricare ar doua puncte A, B S, exista cel mult o dreapta care le contine; (A4) exista 3 puncte distincte necoliniare. (A5) Axioma distantei: exista pe S o funcµie d : S S R cu proprietaµile: D1. (pozitivitatea) d(a, B) 0 A, B S; d(a, B) = 0 A = B; D2. (simetria) d(a, B) = d(b, A) A, B S. (A6) Axioma riglei: Orice dreapta admite un sistem de coordonate. In acest moment introducem relatia derivata a intre: Denitie Punctul B se aa intre punctele A si C (notam A B C) daca A, B, C sunt puncte coliniare distincte si d(a, B) + d(b, C) = d(a, C). Folosind bijectia intre multimea punctelor dreptei si multimea numerelor reale, bijectie data de un sistem de coordonate, se demonstreaza urmatoarele proprietati ale relatiei a intre: Teorema 1) Daca A B C, atunci C B A. 2) Dintre oricare trei puncte distincte de pe o dreapta, unul si numai unul este situat intre celelalte doua. 13

3) Oricare puncte distincte de pe o dreapta pot notate intr-o ordine A, B, C, D astfel ca A B C D. 4) Daca A, B sunt doua puncte distincte oarecare, atunci exista un punct C astfel ca A B C si exista un punct D astfel ca A D B. 5) Daca A B C, atunci A, B, C sunt coliniare si diferite. In toate aceste demonstratii este esentiala proprietatea: (f(a) < f(b) < f(c)) (f(a) > f(b) > f(c) A B C. Sa facem o prima comparatie cu sistemul axiomatic al lui Hilbert. In cazul acestui sistem axiomatic, relatia a intre este o relatie primara, data prin intermediul unui set de axiome, numite axiome de ordine. Ele contin cu aproximatie proprietatile incluse in teorema de mai sus. (Revedeti cursul din anul I!!) In plus, aceasta grupa de axiome mai contine si axioma lui Pash care, vom vedea, este o teorema in cazul sistemului Birkho. In ambele sisteme axiomatice se introduc notiunile derivate de segment, semidreapta, unghi si triunghi. Datorita bijectiei dintre multimea punctelor unei drepte si R, introducerea notiunii de semidreapta este mult mai simpla in cazul sistemului Birkho. De exemplu, segmentul de capete A, B este notat cu (AB) si se deneste prin (AB) = {C / A C B}. Fie A, B l, l L. Semidreapta (AB (semidreapta de la A spre B) se deneste prin (AB = {C / C A B}, unde am notat prin C A B negatia relatiei a intre (A nu se aa intre C si B). Se introduce o noua axioma: (A7) axioma de separare a planului: Data o dreapta l intr-un plan P, multimea punctelor planului ce nu apartin dreptei l este reuniunea a doua multimi P 1, P 2 disjuncte, a.i. ecare dintre ele este convexa daca A P 1 si B P 2, atunci (AB) l. Fiecare din cele doua multimi P 1, P 2 poarta numele de semiplan marginit de dreapta l. Cu ajutorul notiunii de semiplan se denesc notiunile derivate: interiorul unui unghi, respectiv al unui triunghi. Teorema lui Pash (ce apare ca axioma de ordine a sistemului axiomatic Hilbert) poate acum demonstrata: Teorema Fie un triunghi ABC si l o dreapta din acelasi plan. Daca l contine un punct E intre A si C, atunci l intersecteaza sau pe (AB), sau pe (BC). Facem observatia ca in lucrarile lui Pash aceasta teorema apare ca o axioma, si axioma de separare a planului este o teorema demonstrata cu ajutorul axiomei lui Pash, exact ca in cazul sistemului axiomatic al lui Hilbert. 14

Pe baza proprietatilor de separare prezentate anterior, se mai pot demonstra numeroase probleme de incidenta, pe care va invitam sa le studiati [1]. Congruenta segmentelor apare ca o relatie derivata (pe multimea segmentelor), introdusa prin intermediul distantei: doua segmente (AB) si (CD) sunt congruete daca d(a, B) = d(c, D). Notam (AB) (CD). Daca introducem anterior acestei denitii pe aceea a lungimii unui segment (distanta intre capetele sale), este preferabil sa denim congruenta a doua segmente prin intermediul lungimii segmentelor respective. Se demonstreaza o serie de proprietati legate de relatia de congruenta a segmentelor: 1. Congruenta segmentelor este o relatie de echivalenta; 2. Teorema de constructie a unui segment: e segmentul (AB) si semidreapta (CD. Exista un unic punct E (CD astfel incat (AB) (CE). Urmariti in manualul de clasa a VI-a modul in care aceasta teorema este data ca o problema de constructie a unui segment congruent cu un segment dat. 3. Teorema de adunare a segmentelor: daca A B C, A B C a.i. (AB) (A B ) si (BC) (B C ), atunci (AC) (A C ). 4. Teorema de scadere a segmentelor: daca A B C, A B C a.i. (AB) (A B ) si (AC) (A C ), atunci (BC) (B C ). 5. Orice segment are un mijloc unic. Pentru a deni congruenta a doua unghiuri, este necesara introducerea unei functii masura a unghiurilor: (A8) Axioma functiei masura a unghiurilor: Exista o functie cu proprietatile: m : U [0, 180], U = multimea tuturor unghiurilor (Ax. de constructie a unghiurilor) Fie (AB o semidreapta ce margineste un semiplan P. Pentru orice numar real α [0, 180], exista o semidreapta unica (AC cu C P a.i. m(ĉab) = α; (Ax. adunarii unghiurilor) Daca D Int BAC atunci m( BAC) = m( BAD)+ m( DAC); (Ax. suplementului) Daca doua unghiuri sunt cu laturile in prelungire, atunci ele sunt suplementare. Folosind proprietatile masurii unghiurilor, se poate demonstra faptul ca relatia de congruenta a unghiurilor este o relatie de echivalenta, cat si o teorema de constructie a unui unghi congruent cu un unghi dat, o teorema de adunare si 15

una de scadere a unghiurilor. In cazul sistemului axiomatic al lui Hilbert, relatia de congruenta a segmentelor este o relatie primara, data impreuna cu relatia de congruenta a unghiurilor, ale caror proprietati sunt date in grupa axiomelor de congruenta. Aceasta contine 2 axiome legate de congruenta segmentelor (axioma de existenta a unui segment congruent cu un segment dat, axioma adunarii unghiurilor), doua axiome legate de congruenta unghiurilor (axioma existentei unghiului congruent cu un unghi dat, axioma de adunare a unghiurilor) si axioma LUL de congruenta a triunghiurilor, data evident dupa denirea relatiei derivate de triunghiuri congruente. Aparent, calea este mai directa in acest ultim set de axiome (Hilbert), dar introducerea functiei masura a unghiurilor simplica demonstratiile. Putem deni acum unghiul drept, e ca un unghi de masura 90, e ca un unghi congruent cu suplementul sau. Pentru a obtine mai multe proprietati de perpendicularitate, se deneste mai intai congruenta a doua triunghiuri apoi, introducand (A9) Axioma L.U.L. se demonstreaza toate cazurile de congruenta a triunghiurilor. Aceste cazuri sunt aplicate in teorema de existenta a perpendicularei duse dintr-un punct exterior unei drepte pe acea dreapta. Unici-tatea acestei perpendiculare necesita insa introducerea axiomei paralelelor. In cazul sistemului axiomatic al lui Hilbert, dupa introducerea celor 3 grupe de axiome (de incidenta, de ordine si de congruenta), cu toate notiunile derivate di teoremele deduse din ele, se contureaza ideea demonstrarii existentei unui sistem de coordonate pe ecare dreapta si a unei functii distanta. Legatura cu R se face aici prin axiomele de continuitate: Cantor si Arhimede. Deci, e ca tratam metric geometria plana, construind teoria deductiva (axiomatica) bazata pe geometria metrica (S, L, d) si restul de axiome, e pe cele 4 grupe de axiome (Hilbert), obtinem ceea ce se numeste geometria absoluta. Alegand acum o axioma a paralelelor, putem obtine: geometria euclidiana: (Ax. euclidiana a paralelelor): e dreapta l si punctul P / l, exista o singura dreapta l a.i. (P l ) (l l). geometria hiperbolica: (Ax. paralelelor a lui Lobacevschi): e dreapta l si punctul P / l. Atunci exista cel putin doua drepte prin P, paralele cu l. geometria sferica: (Ax. Paralelelor a lui Riemann): nu exista doua drepte in acelasi plan care sa e paralele. 16

Exista o serie de modele pentru ecare dintre aceste geometrii si la inceputul acestei sectiuni am construit cate unul pentru ecare. Ne oprim aici cu fuga prin cele doua sisteme axiomatice. Speram ca v-am trezit sucient interesul pentru a studia in detaliu cel putin unul dintre ele. References [1] E. Moise, Geometrie elementara dintr-un punct de vedere superior, E.D.P Bucuresti, 1980; [2] I. Vaisman, Fundamentele matematicii, E.D.P bucuresti, 1968; [3] R.S. Millman, G.D. Parker, Geometry: a metric approach with models, Springer-Verlag, 1982; [Br] D. Branzei, Metodica predarii matematicii, Ed. Paralela 45, Pitesti, 2007. 17