Εξαναγκασμένη Συναγωγή Ροή Πάνω από μία Επίπεδη Επιφάνεια Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Παραγωγής ΜΜK 31 Μεταφορά Θερμότητας 1 Εξαναγκασμένη συναγωγή: Στρωτή ροή σε επίπεδες πλάκες (orced convection laminar low) Αν σε μία πλάκα έχουμε σταθερή θερμοκρασία τότε μπορούμε να βρούμε λύσεις (προσεγγιστικά ή αριθμητικά) για τις δυσδιάστατες εξισώσεις του οριακού στρώματος. Μπορούμε επίσης να βρούμε τους συντελεστές των εξισώσεων πειραματικά και να τους εκφράσουμε με εμπειρικές εξισώσεις. Ως πλάκες μπορούν να θεωρηθούν όχι μόνο απόλυτα επίπεδες επιφάνειες αλλά και επιφάνειες με ελαφρές καμπυλότητές επιφάνειες (π.χ. τα πτερύγια στροβιλοφόρων κινητήρων). Όπως καταλαβαίνετε τα αποτελέσματα εξαρτώνται από ένα αριθμό παραδοχών και απλοποιήσεων αλλά γενικά έχουνε καλή συσχέτιση με πειραματικά αποτελέσματα. Γενικά μιλώντας (με όποιο τρόπο και να προσδιορίσουμε τις παραμέτρους) βλέπουμε ότι ο αριθμός Nu αποτελεί συνάρτηση των και (, m και n είναι σταθερές). Με σκοπό την σωστή ερμηνεία της μεταβολής των ιδιοτήτων του ρευστού με την θερμοκρασία αυτές εκτιμώνται, συνήθως, χρησιμοποιώντας τη θερμοκρασία στρώματος (ilm temperature), Τ. h m n s + Nu k ΜΜK 31 Μεταφορά Θερμότητας Χειμερινό εξάμηνο 00 1
Στρωτή ροή σε επίπεδες πλάκες (laminar low over a lat plate) Για σημεία κατά μήκος της πλάκας έχουμε τις ακόλουθες σχέσεις: δ δ δt 3 0.644 1 1 3 ( ) Nu 0.33 Οι μέσες τιμές για μία πλάκα μήκους ορίζονται από: 0.6 1.38 1 1 0.664 3 Nu Πρέπει να σημειωθεί ότι οι πιο πάνω συναρτήσεις ισχύουν όταν ο είναι σχετικά μεγάλος ( 0.6). Για πολύ χαμηλό, όπως στην περίπτωση των υγρών μετάλλων, έχουμε καλύτερα αποτελέσματα αν χρησιμοποιήσουμε τον αριθμό Peclet, Pe. Αυτός ορίζεται ως: Pe Οπότε, Nu 0.6Pe 1 Pe 100 0.0 Σημειώστε ότι υπάρχουν πίνακες με εμπειρικά αποτελέσματα για μια μεγάλη κλίμακα και. ΜΜK 31 Μεταφορά Θερμότητας 3 Στρωτή ροή σε επίπεδες πλάκες Αν ρίξουμε μία σύντομη ματιά στην αναλογία ynolds για την περίπτωση της επίπεδης πλάκας βλέπουμε ότι, 1 3 (,) St Nu St Οι σχέσεις που είδαμε για την στρωτή ροή ισχύουν για cr όπως ορίζεται πιο κάτω: V cr cr 10 v Ο κρίσιμος αριθμός ynolds, cr,, ορίζει ρζ την μετάβαση από στρωτή σε τυρβώδη ροή. Ο cr καθορίζει το σημείο κατά μήκος της επιφάνειας στο οποίο έχουμε εμφάνιση της τυρβώδους ροής. ΜΜK 31 Μεταφορά Θερμότητας 4 Χειμερινό εξάμηνο 00
Εξαναγκασμένη συναγωγή: Τυρβώδης ροή σε επίπεδες πλάκες Για τυρβώδη ροή είναι καλύτερα να χρησιμοποιήσουμε αριθμητικές ή πειραματικές μεθόδους για υπολογισμό των παραμέτρων που μας ενδιαφέρουν. δ ( ) 0.381 0.6 60 ( ) 0.30 1 10 Και αν θεωρήσουμε ότι ισχύει η αναλογία τότε: 10.84 9 ( log ) 10 10 ( ) 0.09 1 Nu St Nu 0.096 Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το πιο πάνω αποτέλεσμα ισχύει για αριθμούς από το 0.6 ως το 60. 4 ΜΜK 31 Μεταφορά Θερμότητας Τυρβώδης ροή σε επίπεδες πλάκες (turbulent low over a lat plate) Οι μέσες τιμές για μία πλάκα μήκους ορίζονται από: Nu 0.0303 0.6 60 4 1 3 10 ( ) 0.04 10 Οι πιο πάνω σχέσεις ισχύουν όταν η ροή είναι τυρβώδης σε όλο το μήκος της πλάκας ή όταν η περιοχή στρωτής ροής είναι πολύ μικρή σε σύγκριση με την περιοχή τυρβώδους ροής ( cr << ). 1 ΜΜK 31 Μεταφορά Θερμότητας 6 Χειμερινό εξάμηνο 00 3
Εξαναγκασμένη συναγωγή: Συνδυασμένη στρωτή και τυρβώδης ροή (mied low) Σε κάποιες περιπτώσεις σε μία πλάκα πρέπει να λάβουμε υπόψη και την στρωτή αλλά και την τυρβώδη ροή. Μια περίπτωση αυτής της συνδυασμένης ροής είναι σε πλάκες με μεγάλο μήκος ώστε η ροή να γίνεται τυρβώδης και ταυτόχρονα η περιοχή με στρωτή ροή έχει τέτοιο μέγεθος ώστε δεν μπορούμε να την αγνοήσουμε. Η μετάβαση από την στρωτή στην τυρβώδη ροή συμβαίνει σε ένα σημείο το οποίο ονομάζεται το κρίσιμο σημείο (critical point), c. Σε αντιστοιχία υπάρχει ο κρίσιμος αριθμός ynolds,,cr, η τιμή του οποίου είναι συνήθως γύρω στα 10. h h average h,turbulent h,laminar Στρωτή Τυρβώδης 0 cr ΜΜK 31 Μεταφορά Θερμότητας Συνδυασμένη στρωτή και τυρβώδης ροή Στην περίπτωση ύπαρξης συνδυασμένης ροής ο αριθμός Nusselt και ο μέσος συντελεστής τριβής σε ολόκληρη την πλάκα προσδιορίζονται ολοκληρώνοντας τις πιο κάτω σχέσεις στην στρωτή και τυρβώδη περιοχή (η μεταβατική περιοχή έχει συμπεριληφθεί με την τυρβώδη). cr cr 1 1 + +,, la min ard,, turbulentd h h, la min ard h cr 0 0 cr, turbulent d Τα πιο πάνω ολοκληρώματα μας δίνουν τα πιο κάτω αποτελέσματα. Σημειώστε ότι αυτές οι σχέσεις ισχύουν για crit 10. Αν ο crit αλλάξει τότε αλλάζουν και οι παράμετροι. 0.04 A 1 h Nu k 4 ( 0.03 81) 10 10 0.6 60 ΜΜK 31 Μεταφορά Θερμότητας 8 Χειμερινό εξάμηνο 00 4
Επίλυση προβλημάτων σε επίπεδες πλάκες Το πρώτο που πρέπει να κάνει κάποιος είναι να υπολογίσει τον αριθμό ynolds,. < 10 τότε έχουμε στρωτή ροή στην πλάκα >10 τότε έχουμε τυρβώδη ή συνδυασμένη ροή στην πλάκα Υπολογίστε τους μέσους συντελεστές τριβής και μεταφοράς θερμότητας Ακολουθεί ο υπολογισμός του ρυθμού μεταφοράς θερμότητας και η δύναμη οπισθέλκουσας. ρv q ha( s ) [W] FD A [ N] A w Αυτές οι σχέσεις ισχύουν για ισόθερμες επιφάνειες, ομαλές επιφάνειες και το ελεύθερο ρεύμα είναι στρωτό. Μπορούν όμως να χρησιμοποιηθούν και για μη-ισόθερμες επιφάνειες αν υποθέσουμε ότι η θερμοκρασία επιφάνειας είναι σταθερή σε κάποια μέση τιμή. Αν τώρα έχουμε πλάκα με ομοιόμορφη ροή θερμότητας αντί ομοιόμορφη θερμοκρασία τότε ισχύουν τα πιο κάτω: 0. Nu 0.43 στρωτή ροή Nu 0.0308 0.8 1.04Nu s cons tant τυρβώδης ροή Οι τιμές των πιο πάνω εξισώσεων είναι υψηλότερες κατά 3% για στρωτή ροή και 4% για τυρβώδη ροή σε σχέση με την περίπτωση ισόθερμης πλάκας. ΜΜK 31 Μεταφορά Θερμότητας 9 Όταν η ταχύτητα ελεύθερης ροής είναι πολύ υψηλή φαινόμενα διασποράς εντός του οριακού στρώματος λόγω του ιξώδους πρέπει να ληφθούν υπόψη. Ας θεωρήσουμε ένα τέλεια μονωμένο τοίχο (αδιαβατική περίπτωση). Σε αυτή την περίπτωση η θερμοκρασία επιφανείας s μπορεί να είναι κατά πολύ ψηλότερη από την θερμοκρασία ελεύθερης ροής έστω και αν δεν έχουμε μεταφορά θερμότητας. Αυτό οφείλεται σε δύο λόγους: Αύξηση της θερμοκρασίας καθώς το ρευστό ελαττώνει ταχύτητα πλησιάζοντας την επιφάνεια του τοίχου έχοντας μετατροπή της κινητικής ενέργειας σε θερμική. Θέρμανση λόγω ιξώδους διασκορπισμού. Η μετατροπή της ενέργειας από κινητική σε θερμική μπορεί να υπολογιστεί μέσω ισοζυγίου ενέργειας στο ρευστό. ΜΜK 31 Μεταφορά Θερμότητας 10 Χειμερινό εξάμηνο 00
Ισοζύγιο ενέργειας στο ρευστό: i i Οπότε έχουμε: E E E ( oj E kinetic, E ) thermal j o M 1+ V a a γ R c γ c p v R c p 1 M γ c Αριθμός Mach Ταχύτητα ήχου Ειδικές θερμότητες Σταθερά αερίου ΜΜK 31 Μεταφορά Θερμότητας 11 v Σε μια πραγματική κατάσταση όμως δεν έχουμε πλήρη μετατροπή της κινητικής σε θερμική ενέργεια. Αυτό μας οδηγεί στον παράγοντα ανάκτησης r (recovery actor). ο aw είναι η αδιαβατική θερμοκρασία στον τοίχο: r aw 0 Στο τέλος αυτό που θέλουμε από την ανάλυση μας είναι τον ρυθμό μεταφοράς θερμότητας ο οποίος δίνεται από: q qa ha( w aw) Για αέρια με 1 οι παράγοντες ανάκτησης είναι τους οποίους μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για να προσδιορίσουμε το Τ aw. r r 1 στρωτή ροή τυρβώδης ροή Σε οριακά στρώματα μεγάλης ταχύτητας έχουμε σημαντικές θερμικές βαθμίδες οι οποίες οδηγούν σε μεγάλες αλλαγές μέσα στο οριακό στρώμα. Μπορούμε και πάλι να χρησιμοποιήσουμε τις εξισώσεις μεταφορά θερμότητας για σταθερές ιδιότητες χρησιμοποιώντας την πιο κάτω θερμοκρασίας αναφοράς Τ. + 0.0( ) + 0.( w aw ) ΜΜK 31 Μεταφορά Θερμότητας 1 Χειμερινό εξάμηνο 00 6
Χρησιμοποιώντας και πάλι αδιάστατες παραμέτρους έχουμε τις πιο κάτω σχέσεις. Σημειώστε ότι το αστέρι υποδικνύει ότι οι υπολογισμοί γίνονται χρησιμοποιώντας το Τ. St St St 3 3 3 0.33 1 0.096 1 -.84 9 ( ) 10 < < 10 0.18 log < 10 10 < < 10 στρωτό οριακό στρώμα τυρβώδες οριακό στρώμα τυρβώδες οριακό στρώμα ΜΜK 31 Μεταφορά Θερμότητας 13 Γενικά σχόλια για επίλυση προβλημάτων (εξαναγκασμένης) συναγωγής Ορίστε το ρευστό Ορίστε την γεωμετρία του στερεού και είδος ροής (εσωτερική ή εξωτερική) Υπολογίστε τον ώστε να προσδιορίσετε το είδος εξαναγκασμένης συναγωγής Εξαναγκασμένη η φυσική ροή; Προσδιορίστε την θερμοκρασία υπολογισμού των ιδιοτήτων του ρευστού Επιλέξτε την χαρακτηριστική διάσταση Επιλέξτε τις κατάλληλες σχέσεις από τους πίνακες - και 6-8 του βιβλίου Υπολογίστε τον ρυθμό μεταφοράς θερμότητας ΜΜK 31 Μεταφορά Θερμότητας 14 Χειμερινό εξάμηνο 00