Μέθοδοι των Μετακινήσεων

Μέθοδοι των Μετακινήσεων

Εισαγωγή Μέθοδοι των Μετακινήσεων: Δ14-2 Στη Μέθοδο των Δυνάμεων (ή Ευκαμψίας), που έχουμε ήδη μελετήσει, επιλέγουμε ως άγνωστα υπερστατικά μεγέθη αντιδράσεις ή εσωτερικές δράσεις. Ο αριθμός των άγνωστων υπερστατικών μεγεθών ισούται με τη στατική αοριστία του φορέα. Στις Μεθόδους των Μετακινήσεων (ή Ακαμψίας), επιλέγουμε ως άγνωστα μεγέθη τις μετακινήσεις των κόμβων του φορέα (μετατοπίσεις και στροφές). Ο αριθμός των ανεξάρτητων αγνώστων μετακινήσεων ισούται με το βαθμό κινηματικής αοριστίας του φορέα. Υπάρχουν τρεις διαφορετικές μέθοδοι μετακινήσεων: η Μέθοδος Γωνιών Στροφής (ΜΓΣ), η Μέθοδος Επικόμβιων Μετατοπίσεων (ΜΕΜ) και η Μέθοδος των Μετατοπίσεων με Κατανομή των Ροπών (ΜΚΡ ή Cross).

Εισαγωγή (...) Μέθοδοι των Μετακινήσεων: Δ14-3 Σε μεγάλες πλαισιακές κατασκευές, ο βαθμός στατικής αοριστίας είναι εν γένει μεγαλύτερος από το βαθμό κινηματικής αοριστίας του φορέα. Επιπλέον, η επιλογή των αγνώστων μετακινήσεων των κόμβων του φορέα, σε αντίθεση με την επιλογή των αγνώστων υπερστατικών αντιδράσεων ή εσωτερικών δράσεων, είναι μονοσήμαντη. Οι λόγοι αυτοί καθιστούν τις Μεθόδους των Μετακινήσεων καταλληλότερες (σε σχέση με τη Μέθοδο των Δυνάμεων) για αυτοματοποίηση της ανάλυσης με Η/Υ.

Κινηματική Αοριστία - Πλαίσια Μέθοδοι των Μετακινήσεων: Δ14-4 Όταν ένας φορέας φορτίζεται, παραμορφώνεται, με συνέπεια μερικοί από τους κόμβους του να υποβάλλονται σε άγνωστες μετακινήσεις (μετατοπίσεις και στροφές). Το σύνολο των αγνώστων ανεξάρτητων συνιστωσών των μετακινήσεων των κόμβων ενός φορέα αποτελεί τους βαθμούς ελευθερίας (β.ε.) κίνησής του ή τον βαθμό κινηματικής αοριστίας (ΒΚΑ) του. Εν γένει, ένας αδέσμευτος κόμβος πλαισίου στο χώρο έχει 6 βαθμούς ελευθερίας (3 συνιστώσες μετατοπίσεων και 3 συνιστώσες στροφής, αναφορικά με ένα σύστημα ορθογώνιων αξόνων). Ένας αδέσμευτος κόμβος επίπεδου πλαισίου έχει 3 βαθμούς ελευθερίας (2 συνιστώσες μετατοπίσεων και 1 συνιστώσα στροφής αναφορικά με ένα σύστημα δύο αξόνων που βρίσκεται στο επίπεδο του πλαισίου). Κατά την παραμόρφωση ενός φορέα μερικοί από τους κόμβους του υφίστανται γνωστές μετακινήσεις. Για παράδειγμα, οι συνιστώσες των μετακινήσεων σε μια πάκτωση είναι όλες μηδέν.

Κινηματική Αοριστία - Πλαίσια (...) Μέθοδοι των Μετακινήσεων: Δ14-5 Η επιρροή της αξονικής παραμόρφωσης των μελών των πλαισίων στις εσωτερικές τους δράσεις είναι ενγένει πολύ μικρή και συνήθως αμελείται. Γι αυτό ορισμένες συνιστώσες μετακίνησης μερικών κόμβων των πλαισίων μπορεί να αγνοηθούν, καιέτσιμειώνονταιοιβαθμοίελευθερίας. Δηλαδή, στα καμπτόμενα μέλη, που δεν προορίζονται να λειτουργήσουν αποκλειστικά σε αξονική ένταση, τα διανύσματατωνμετατοπίσεωντωνδύοάκρωντους είναι τέτοια ώστε οι προβολές τους στον άξονα της ράβδου να είναι ταυτόσημες και έτσι να μην προκύπτει σχετική μετατόπιση των δύο άκρων κατά την έννοια του μήκους του μέλους. Δηλαδή, γίνεται η παραδοχή ότι, τα μήκη των καμπτομένων μελών παραμένουν αμετάβλητα (παραδοχή ατένειας των μελών). Συγκεκριμένα σε κάθε φορέα θα πρέπει να αναζητούνται οι ανεξάρτητες μεταξύ τους μετατοπίσεις που αποδίδουν την οποιαδήποτε δυνατή μετατοπισιακή εικόνα του φορέα και οι οποίες ικανοποιούν την απαίτηση του αμετάβλητου του μήκους των ράβδων.

Κινηματική Αοριστία - Πλαίσια (...) Μέθοδοι των Μετακινήσεων: Δ14-6 Για παράδειγμα, λαμβάνοντας υπόψη την αξονική παραμόρφωση των μελών του πλαισίου, απαιτούνται 8 μετατοπισιακοί βαθμοί ελευθερίας (Δ 1 ως Δ 8 ) για τον καθορισμό της μετατοπισμένης θέσης των κόμβων του πλαισίου. (Οιστροφικοίβαθμοίελευθερίαςδεσχεδιάζονται εδώ για λόγους σχεδιαστικής ευκρίνειας) Αμελώντας τώρα την αξονική παραμόρφωση των μελών του πλαισίου (παραδοχή ατένειας των μελών), είναι φανερό ότι, δύο μετατοπίσεις (οι Δ 1 και Δ 2 ) αρκούν για να περιγράψουν οποιαδήποτε μετατοπισιακή εικόνα των κόμβων του φορέα. Δ 7 Δ 8 Δ 5 Δ 2 Δ 6 Δ 4 Δ 2 Δ 1 Δ 3 Δ 1

Κινηματική Αοριστία - Δικτυώματα Μέθοδοι των Μετακινήσεων: Δ14-7 Οι κόμβοι ενός δικτυώματος δε στρέφονται, αφού θεωρούμε ότι τα μέλη του συνδέονται με τους κόμβους με αρθρώσεις και συνεπώς δε μεταφέρουν ροπή στους κόμβους. Έτσι ένας αδέσμευτος κόμβος δικτυώματος στο χώρο έχει 3 βαθμούς ελευθερίας (3 συνιστώσες μετατοπίσεων αναφορικά με ένα σύστημα ορθογώνιων αξόνων), ενώ... Ένας αδέσμευτος κόμβος επίπεδου δικτυώματος έχει 2 βαθμούς ελευθερίας (2 συνιστώσες μετατοπίσεων αναφορικά με ένα σύστημα δύο αξόνων που βρίσκεται στο επίπεδο του δικτυώματος).

Μέθοδοι των Μετακινήσεων: Βαθμός Κινηματικής Αοριστίας: Παραδείγματα Δ14-8 Mε την παραδοχή ότι η αξονική παραμόρφωση των μελών των πλαισίων αμελείται ΒΚΑ = 1 ΒΚΑ = 4 ΒΚΑ = 8 ΒΚΑ = 11 ΒΚΑ = 7

Μέθοδος Γωνιών Στροφής

Μέθοδος Γωνιών Στροφής:Δ14-10 Μέθοδος Γωνιών Στροφής: Βασική Ιδέα Η βασική ιδέα της μεθόδου συνίσταται στην κατάστρωση σχέσεων που συνδέουν τις ακραίες ροπές με τις ακραίες μετακινήσεις (μετατοπίσεις και στροφές) και την ενδιάμεση φόρτιση κάθε μέλους του φορέα. Αγνοώντας τις αξονικές παραμορφώσεις, η δοκόςτουσχήματος έχει 3 βαθμούς ελευθερίας (β.ε.): τις στροφές θ A, θ B και θ C στους κόμβους A, B, και C. Οι σχέσεις που συνδέουν τις ακραίες ροπές με τις ακραίες στροφές κάθε μέλους έχουν τη γενική μορφή: MAB = f( θ A, θb, P1 ) MBA = f( θb, θa, P1 ) MBC = f( θb, θc, P2 ) M = f( θ, θ, P ) CB C B 2 (1)

Μέθοδος Γωνιών Στροφής:Δ14-11 Μέθοδος Γωνιών Στροφής: Βασική Ιδέα ( ) Στη συνέχεια, γράφονται εξισώσεις ισορροπίας για τους μηδεσμευμένους κόμβους, που εκφράζουν τη συνθήκη ότι οι κόμβοι βρίσκονται σε ισορροπία υπό την επίδραση των επιβαλλόμενων ροπών. Δηλαδή, το άθροισμα των ροπών που ασκούνταισεκάθεκόμβοισούταιμεμηδέν. Στο παράδειγμα γράφονται 3 εξισώσεις ισορροπίας, όσες και ο αριθμός των αγνώστων μετακινήσεων (β.ε.): Κόμβος A: MAB = 0 Κόμβος B: MBA + MBC = 0 Κόμβος C: M = 0 CB (2) Ως σύμβαση προσήμου, θεωρούμε ότι όλες οι άγνωστες ροπές στα άκρα του μέλους είναι θετικές όταν έχουν ωρολογιακή φορά.

Μέθοδος Γωνιών Στροφής:Δ14-12 Μέθοδος Γωνιών Στροφής: Βασική Ιδέα ( ) Συνδυάζοντας τις εξισώσεις (1) και (2) προκύπτουν οι άγνωστες στροφές. Ακολούθως, με γνωστές τις στροφές, υπολογίζουμε βάσει της εξίσωσης (1) τις ροπές στα άκρα κάθε μέλους. Οι τέμνουσες προκύπτουν από τις εξισώσεις ισορροπίας των ΔΕΣ των μελών της δοκού. Οι αντιδράσεις στις στηρίξεις υπολογίζονται από την ισορροπία των κόμβων (π.χ. ΣF y =0).

Μέθοδος Γωνιών Στροφής:Δ14-13 Σχέσεις Ροπών Μετακινήσεων στα Άκρα Μέλους Οι σχέσεις ακραίων ροπών και ακραίων μετακινήσεων στο μέλος ΑΒ μιας δοκού δίνεται από τις πιο κάτω εξισώσεις: όπου: M M 2EI = ( 2θ + θ 3ψ ) + FEM L 2EI = ( 2θ + θ 3ψ ) + FEM L AB A B AB AB BA B A AB BA θ Α και θ Β είναι οι στροφές στα άκρα Α και Β του μέλους, αντίστοιχα ψ ΑΒ είναιηστροφήτηςχορδήςπου ενώνει τα σημεία Α και Β (σχήμα (d)) FEM ΑΒ και FEM ΒΑ (Fixed-End Moments) είναι οι ροπές στα σημεία Α και Β αντίστοιχα του παγιωμένου μέλους ΑΒ και υπολογίζονται από τη σχέση:

Μέθοδος Γωνιών Στροφής:Δ14-14 Σχέσεις Ροπών Μετακινήσεων στα Άκρα Μέλους (...) όπου ( AMx) A και ( AMx) B είναι η ροπή του εμβαδού του διαγράμματος ροπών του αντίστοιχου αμφιέρειστου μέλους ως προς τα άκρα Α και Β, αντίστοιχα. Για παράδειγμα, για μία δοκό που φορτίζεται με ένα ομοιόμορφο κατανεμημένο φορτίο w, το ( AMx) A μπορεί να υπολογιστεί ως το γινόμενο τού εμβαδού του διαγράμματος ροπών της αμφιέρειστης δοκού και της απόστασης του Α από το κ.β. της περιοχής: Λόγω συμμετρίας FEM FEM ( A x) = {Area[ Μ ]} x M A AB BA 2( A x) 4( A x) = L L 4( A x) 2( A x) = L L M A M B 2 2 M A M B 2 2 2LwL L wl = = 3 8 2 24 ( A x) = ( A x) M B M A 2 4

Μέθοδος Γωνιών Στροφής:Δ14-15 Σχέσεις Ροπών Μετακινήσεων στα Άκρα Μέλους (...) Ο πίνακας δίνει τιμές των ροπών πάκτωσης, FEM ΑΒ και FEM ΒΑ, για διάφορους τύπους φορτίσεων. Σημείωση: Οι ροπές στο σχήμα απεικονίζονται με την πραγματική τους φορά. Το πρόσημο έχει να κάνει με τη σύμβαση προσήμου της ΜΓΔ.

Παράδειγμα Π14-1 Μέθοδος Γωνιών Στροφής:Δ14-16 Να υπολογιστούν τα FEM ΑΒ και FEM ΒΑ της αμφίπακτης δοκού που φορτίζεται με ένα συγκεντρωμένο φορτίο στο μέσο της. [ΕΙ σταθερό] Οι σχέσεις που δίνουν τα FEM ΑΒ και FEM ΒΑ είναι: FEM FEM AB BA 2( A x) 4( A x) = L L 4( A x) 2( A x) = L L M A M B 2 2 M A M B 2 2 όπου ( AMx ) A και ( AMx) B είναι οι ροπές του εμβαδού του διαγράμματος ροπών της αντίστοιχης αμφιέρειστης δοκού ως προς τα άκρα Α και Β. Στο σχήμα (b) φαίνεται η υποκατάστατη αμφιέρειστη δοκός υπό τη δοσμένη φόρτιση P και στο σχήμα (c) το διάγραμμα ροπών της. Απ αυτό υπολογίζεται 3 1 PL L PL ( AMx) A = ( AMx) B = L = 2 4 2 16 Άρα, 2( AMx) A 4( AMx) B PL FEM AB = = (αντιωρολογιακή) 2 2 L L 8 4( AMx) A 2( AMx) B PL FEM BA = = + (ωρολογιακή) 2 2 L L 8 ΠΠΜ220: Στατική Ανάλυση Κατασκευών ΙI

Μέθοδος Γωνιών Στροφής:Δ14-17 Μέθοδος Γωνιών Στροφής: Μεθοδολογία Αρχικά θα εφαρμόσουμε τη Μέθοδο Γωνιών Στροφής (ΜΓΣ) για επίλυση υπερστατικών φορέων των οποίων οι κόμβοι μπορούν μόνο να περιστρέφονται (αμετάθετοι κόμβοι και ανυποχώρητες στηρίξεις). Σ αυτήν την περίπτωση η στροφή της χορδής ψ ΑΒ = 0. Στα σχήματα (a) και (b) φαίνονται παραδείγματα φορέων των οποίων οι κόμβοι μπορούν μόνο να περιστραφούν. Ενώ στα σχήματα (c) και (d) οι κόμβοι μπορούν να περιστραφούν και να μετατοπιστούν.

Μέθοδος Γωνιών Στροφής:Δ14-18 Μέθοδος Γωνιών Στροφής: Μεθοδολογία (...) Η ανάλυση με τη μέθοδο γωνιών στροφής ακολουθεί τα εξής βήματα: 1. Καθορισμός κινηματικής αοριστίας: καθορισμός των αγνώστων μετακινήσεων των κόμβων. 2. Κατάστρωση των σχέσεων που συνδέουν τις ακραίες ροπές με τις ακραίες μετακινήσεις (μετατοπίσεις και στροφές) και την ενδιάμεση φόρτιση κάθε μέλους του φορέα: M 2EI = ( 2θ + θ 3ψ ) + FEM L ij i j ij ij 3. Γράφονται εξισώσεις ισορροπίας για τους μη-δεσμευμένους κόμβους, που εκφράζουν τη συνθήκη ότι οι κόμβοι βρίσκονται σε ισορροπία υπό την επίδραση των επιβαλλόμενων ροπών. Δηλαδή, το άθροισμα των ροπών που ασκούνται σε κάθε κόμβο ισούται με μηδέν. Οαριθμός των εξισώσεων ισορροπίας πρέπει να ισούται με τον αριθμό των αγνώστων μετακινήσεων.

Μέθοδος Γωνιών Στροφής:Δ14-19 Μέθοδος Γωνιών Στροφής: Μεθοδολογία (...) Ως σύμβαση προσήμου, θεωρούμε ότι όλες οι άγνωστες ροπές στα άκρα του μέλους είναι θετικές όταν έχουν ωρολογιακή φορά. Η ροπή που ασκείται στον κόμβο είναι πάντα ίση και αντίθετη με τη ροπή που ασκείται στο άκρο του μέλους. 4. Αντικατάσταση των σχέσεων από το βήμα 2 στις εξισώσεις ισορροπίας (βήμα 3). Από την επίλυση του συστήματος των εξισώσεων προκύπτουν οι άγνωστες μετακινήσεις. 5. Προσδιορισμός των ροπών στα άκρα των μελών του φορέα με αντικατάσταση των τιμών των μετακινήσεων στις σχέσεις του βήματος 2. Οι τέμνουσες προκύπτουν από τις εξισώσεις ισορροπίας των ΔΕΣ των μελών της δοκού και οι αντιδράσεις στις στηρίξεις από την ισορροπία των κόμβων (π.χ. ΣF y =0).