1 5.1 ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται στοιχεία του συνόλου. 2. Παράσταση συνόλου i) Με αναγραφή των στοιχείων του : Μέσα σε άγκιστρα γράφουµε τα στοιχεία του συνόλου µία φορά το καθένα και µε οποιαδήποτε σειρά. Π.x Το σύνολο των γραµµάτων της λέξης αγορά είναι το Α = {α, γ, ο, ρ} Για να δηλώσουµε ότι το στοιχείο α ανήκει στο σύνολο Α γράφουµε α Α, ενώ για να δηλώσουµε ότι το στοιχείο δ δεν ανήκει στο Α γράφουµε δ Α. ii) Με περιγραφή των στοιχείων του : Μέσα σε άγκιστρα περιγράφουµε µία χαρακτηριστική ιδιότητα των στοιχείων του. Π.x Για το προηγούµενο σύνολο µπορούµε να γράψουµε Α = {γράµµα της λέξης αγορά } 3. Εποπτική παράσταση συνόλου : Γίνεται µε το διάγραµµα Venn, δηλαδή µε α γ ο Α ρ µία κλειστή γραµµή στο εσωτερικό της οποίας γράφουµε τα στοιχεία του συνόλου. Το διάγραµµα Venn του προηγούµενου συνόλου Α παρουσιάζουµε δίπλα. 4. Ίσα σύνολα : Λέγονται τα σύνολα που έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία. 5. Υποσύνολο συνόλου : Λέµε ότι το σύνολο Α είναι υποσύνολο του Β όταν κάθε στοιχείο του Α είναι στοιχείο του Β. Τότε γράφουµε Α Β
2 6. Τα σύνολα των αριθµών Το σύνολο των φυσικών µε σύµβολο το Nείναι το N = {0, 1, 2, 3, } Το σύνολο των ακεραίων µε σύµβολο το Zείναι το Z = { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, } Το σύνολο των ρητών µε σύµβολο το Qείναι το Q = α, όπου α, β ακέραιοι µε β 0 β Το σύνολο των άρρητων αριθµών για το οποίο δεν χρησιµοποιείται συγκεκριµένο σύµβολο και το οποίο περιέχει τους αριθµούς που δεν είναι ρητοί. Το σύνολο των πραγµατικών µε σύµβολο το Rείναι το R = {α, όπου α αριθµός ρητός ή άρρητος} Για τα παραπάνω σύνολα ισχύει N Z Q R Τα παραπάνω σύνολα χωρίς το 0 συµβολίζονται µε N *, Z *, Q *, R * 7. Το κενό σύνολο : εχόµαστε ότι υπάρχει σύνολο χωρίς στοιχεία, που λέγεται κενό σύνολο και συµβολίζεται. 8. Βασικό σύνολο : Τα σύνολα µε τα οποία ασχολούµεθα κάθε φορά θεωρούµε ότι όλα είναι υποσύνολα ενός συνόλου που το λέµε βασικό σύνολο και το, συµβολίζουµε µε το γράµµα Ω. 9. Πράξεις µεταξύ συνόλων Έστω Α, Β δύο υποσύνολα συνόλου Ω. i) Ονοµάζουµε ένωση των Α και Β και συµβολίζουµε µε Α Β το σύνολο που έχει σαν στοιχεία τα κοινά και µη κοινά στοιχεία των δύο συνόλων. ii) Ονοµάζουµε τοµή των Α και Β και συµβολίζουµε µε Α Β το σύνολο που έχει σαν στοιχεία µόνο τα κοινά στοιχεία των δύο συνόλων. iii) Ονοµάζουµε συµπλήρωµα ενός συνόλου Α ως προς ένα βασικό σύνολο Ω και συµβολίζουµε µε Α το σύνολο που έχει σαν στοιχεία όλα τα στοιχεία του Ω που δεν ανήκουν στο Α.
3 ΣΧΟΛΙΑ 1. Στα υποσύνολα : i) A A ii) Αν Α Β και Β Γ τότε Α Γ iii) Αν Α Β και Β Α τότε Α = Β iν) Το είναι υποσύνολο οποιουδήποτε συνόλου 2. Στις πράξεις : i) To α (Α Β) σηµαίνει ότι το α µόνο στο A ή µόνο στο Β ή και στο Α και στο Β. ii) To α ( Α Β) σηµαίνει ότι το α A και το α Β. iii) To α Α σηµαίνει ότι το α Α. 3. ύο ιδιότητες: Α Β = Β Α και Α Β = Β Α ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Στον παρακάτω πίνακα N Z Q R 3,5 0 10 13/5 π 2, 3 20/5 100 5 α) Να συµπληρώσετε µε το σύµβολο ν εκείνα τα τετραγωνάκια των οποίων ο αντίστοιχος αριθµός ανήκει στο αντίστοιχο σύνολο. β) Πως ονοµάζονται οι αριθµοί για τους οποίους έχουν συµπληρωθεί τα τετραγωνάκια µόνο της τελευταίας γραµµής α) 3,5 0 10 13/5 π 2, 3 20/5 100 5 N ν ν ν Z ν ν ν ν Q ν ν ν ν ν ν ν R ν ν ν ν ν ν ν ν ν β) Πραγµατικοί αριθµοί Θεωρία 6
4 2. Σε καθεµιά από τις παρακάτω ερωτήσεις να συµπληρώσετε τις ισότητες. i. Αν Α = {x N,όπου x διαιρέτης του 16} και Β = {x Nόπου x διαιρέτης του 24} τότε Α Β = Α Β = ii. Ας θεωρήσουµε ως βασικό σύνολο το σύνολο Ω των γραµµάτων του ελληνικού αλφαβήτου και τα υποσύνολά του Α = {x Ω, όπου x φωνήεν} και Β = {x Ω, όπου x σύµφωνο}. Τότε Α Β = Α Β = Α = Β = i. Είναι A = { 1, 2, 4, 8, 16} και Β= { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Α Β = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24} Α Β = {1, 2, 4, 8} ii. Α Β = Ω, Α Β =, Α = Β, Β = Α Θεωρία 2-8-9 3. Σε καθεµιά από τις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε τις σωστές απαντήσεις : i. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Τότε α) Α Α Β β) Β Α Β γ) Α Β Α δ) Α Β Β ii. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Τότε α) Α Α Β β) Α Β Β γ) Α Β Α Απάντηση i. Σωστά είναι τα (γ) και (δ) ii) Σωστό είναι το (α) 4. Σε καθεµιά από τις παρακάτω ερωτήσεις να συµπληρώσετε τις ισότητες. i. Έστω Ω ένα βασικό σύνολο, το κενό σύνολο και Α Ω. Τότε =, Ω =, (Α ) = ii. Έστω Α Β. Τότε Α Β =, Α Β =, Απάντηση i. = Ω, Ω =, (Α ) = Α ii. Α Β = Α, Α Β = Β Θεωρία 8-9
5 5. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις µε Σ αν είναι σωστές και µε Λ αν είναι λανθασµένες α) Το σύνολο { } είναι το κενό Λ β) { α, β, γ } = { β, γ, α} Σ γ) Αν x (Α Β) τότε x ( Α Β) Σ δ) Αν x ( Α Β) τότε x Α Λ ε) Α Α Λ στ) {1, 2} {1, 3, 4, 6 } Λ ζ) {1, 2, 3 } = { 123} Λ α) Λάθος αφού το { } είναι το σύνολο µε στοιχείο το β) Σωστό αφού έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία γ) Σωστό διότι το x (Α Β) σηµαίνει ότι το x Α και το x Β άρα το x ( Α Β) δ) Λάθος διότι µπορεί το x να B µονάχα ε) Λάθος αφού τα Α και Α δεν έχουν κοινά στοιχεία στ) Λάθος διότι ενώ 2 {1, 2} το 2 {1, 3, 4, 6 } ζ) Λάθος διότι το δεύτερο σύνολο έχει σαν στοιχείο τον αριθµό 123 και όχι το 1, το 2 και το 3 6. Στις παρακάτω ερωτήσεις επιλέξτε την σωστή απάντηση i) Αν Α, Β και Α Β τότε α. Α Β = Β, β. Α Β = Α, γ. Α Β = Α, δ. Α Β =, ε. Α Β = Α Β ii) Αν Α = {1, 2, 3, 4}, Β = {1, 3, 4 }, Γ = {1, 2, 4, 5, 7} τότε α. Α Β, β. Β Γ, γ. Α Γ, δ. Β Α Απάντηση i) Σωστό είναι το γ ii) Σωστό είναι το δ Θεωρία 5-9 7. Να γράψετε µε αναγραφή τα σύνολα α) Α = {x Z όπου 3 x 3} β) Β = {y N όπου y 2 = 16} γ) Γ = {(x, y) όπου x N και y N και x + y = 4} α) Α = { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3 } β) y 2 = 16 άρα y = 4 ή y = 4 και επειδή y N είναι y = 4. Άρα Β = {4} γ) Για x = 0 έχουµε y = 4, συνεπώς ένα ζεύγος φυσικών που επαληθεύει την εξίσωση είναι το (0, 4). Οµοίως βρίσκουµε ότι τα υπόλοιπα ζεύγη είναι τα (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 0). Άρα Γ= { (0, 4), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 0) }
6 8. Να γράψετε τα σύνολα των ψηφίων των παρακάτω αριθµών α) 222 β) 123 γ) 102030 και να βρείτε όλα τα υποσύνολα του (γ) α) { 2}, β){ 1, 2, 3 }, γ){1, 0, 2, 3} Υποσύνολα του τελευταίου συνόλου είναι τα { 1}, { 0}, { 2}, { 3} { 1, 0}, { 1, 2}, { 1, 3}, { 0,2}, { 0, 3}, { 2, 3 } { 1, 0, 2}, {1, 0, 3}, { 1, 2, 3}, {0, 2, 3 }, {1, 0, 2, 3} και το 9. Με βασικό σύνολο το Ω = { 5, 6, 7, 8, 9, 0} θεωρούµε τα σύνολα Α = {5, 6, 8, 9} και Β = {5, 8, 0} Να βρείτε τα σύνολα Α Β, Α Β, Α, Β και να τα παραστήσετε όλα στο ίδιο διάγραµµα Venn. Α Β = { 5, 6, 8, 9, 0}, Ω Α Β 7 Α Β = {5, 8}, Θεωρία 3-9 Α = {7, 0}, Β = {6, 7, 9} 9 0 Α κίτρινο - πράσινο 6 8 5 Β γκρίζο - πράσινο Α Β Α Β κίτρινο πράσινο - γκρίζο Α Β πράσινο Α το εσωτερικό της µωβ γραµµής Β το εσωτερικό της κόκκινης γραµµής 10. Να καθορίσετε το σύνολο x 5 Α = x R, όπου 2(x + 4) (x+ 6) < 12 x και 2x + + > 2(1+ x) 6 3 Λύνουµε κάθε µία από τις ανισώσεις 2(x + 4) ( x + 6) < 12 x ή 2x + x 6 + 5 > 2( 1 + x) 3 2x + 8 x 6 < 12 x ή 2x < 10 x < 5 Κοινές λύσεις των ανισώσεων είναι οι 2 < x < 5 Εποµένως Α = { x R, όπου 2 <x < 5 } 6 2x + 6 x 6 + 6 5 3 12x + x + 10 > 12 + 12x x > 2 > 6 2(1 + x)
7 11. Αν Α ={1, 2, 3, 4}, Β ={ 5, 7, 8, 10}, Γ={1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11}, = να βρείτε τα σύνολα α) Α Β β) Β γ) (Α Β) Γ δ) Α ε) Α Γ στ) (Α Β) α) Α Β ={1, 2, 3, 4 } { 5, 7, 8, 10} = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10 } β) Β ={ 5, 7, 8, 10} ={ 5, 7, 8, 10}= Β γ) (Α Β) Γ ={1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10 } { 1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11 }= ={1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 5, 9, 11 } δ) Α ={ 1, 2, 3, 4 } = ε) Α Γ ={ 1, 2, 3, 4 } { 1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11 } = { 1, 2, 3, 4 } = Α στ) (Α Β) = ({ 1, 2, 3, 4 } { 5, 7, 8, 10}) = = 12. Αν Ω = { 1, 0, 1, 11, 12, 13}, Α = { 1, 11, 13} και Β = { 1, 0, 11} να βρείτε τα σύνολα Α, Β, (Α Β), (Α Β),, Ω Α = { 1, 0, 12 } Β = {1, 12, 13 } Α Β = {1, 11, 13} { 1, 0, 11} = { 1, 11, 13, 1, 0} Άρα (Α Β) = {12} Α Β ={1, 11, 13} { 1, 0, 11} = {11} Άρα (Α Β) = { 1, 0, 1, 12, 13} = Ω και Ω = 13. Να βρείτε ποιο από τα παρακάτω σύνολα είναι το κενό Α = { x R όπου x 2 = 9 και 2x = 4}, B = { x R όπου x + 8 = 8 } ( x 2 = 9 και 2x = 4 ) άρα (x = 3 ή x = 3 και x = 2) σχέσεις που δεν αληθεύουν ταυτόχρονα. Άρα Α = x + 8 = 8 άρα x = 0. Εποµένως Β = {0}
8 14. Να παραστήσετε µε περιγραφή τα σύνολα Α = { α, γ, π, η } Β = { 0, 1, 2, 3 100} Γ = {1, 3, 5, 7, 9 } Α ={ γράµµα της λέξης αγάπη} Β ={ Φυσικός αριθµός µικρότερος ή ίσος του 100} Γ ={ Μονοψήφιος περιττός φυσικός αριθµός} 15. Αν Α = {x Z, όπου 2 x 2} και Β = { x Zόπου x 2 = 4}, να βρείτε µε αναγραφή των στοιχείων τους τα σύνολα Α, Β, Α Β και Α Β. Α = { 2, 1, 0, 1, 2} x 2 = 4 άρα x = 2 ή x = 2, οπότε Β = { 2, 2} Α Β = { 2, 1, 0, 1, 2} { 2, 2} ={ 2, 2}= Β Α Β={ 2, 1, 0, 1, 2} { 2, 2} = { 2, 1, 0, 1, 2} = Α