Bernhard KUTZLER Vlasta KOKOL-VOLJC Úvod do DERIVETM 6 Knižka o tom, ako sa naučiť DERIVE 6 s radami ako pomocou neho vyučovať.
Kutzler, Bernhard & Kokol-Voljc, Vlasta Úvod do DERIVE 6 2003 2003 Kutzler & Kokol-Voljc OEG, Rakúsko Prvé vydanie: Júl 2003 Technická úprava: Bernhard Kutzler, Linc, Rakúsko Obálka: Texas Instruments, Inc., Dallas, Texas, USA Preklad: NEPA SLOVAKIA s.r.o. Vytlačil: M-SERVIS Autori a vydavateľ nedávajú žiadnu záruku, výslovnú ani zrejmú, vzhľadom na dokumentáciu, ktorú obsahuje táto knižka. Autor a vydavateľ nie sú zodpovední za žiadne poškodenie či už náhodné alebo vzniknuté ako následok, v spojitosti s, alebo vyplývajúce z poskytnutia, činnosti alebo použitia tohoto textu. Žiadna časť tejto knihy sa nesmie reprodukovať, ani uchovávať v žiadnom systéme, ani rozširovať žiadnym spôsobom a v žiadnej podobe, či už mechanicky, elektronicky, fotokopírovaním, nahrávaním alebo iným spôsobom rozširovania bez predchádzajúceho písomného súhlasu majiteľov autorských práv. DERIVE je registrovaná ochranná známka spoločnosti Texas Instruments, Inc. WINDOWS je registrovaná ochranná známka spoločnosti Microsoft Corp.
Obsah Úvod... 1 Kapitola 1: Prvé kroky... 3 Kapitola 2: Hľadanie koreňov polynómu... 25 Kapitola 3: Výraz a jeho časti... 45 Kapitola 4: Rovnice a nerovnice... 59 Kapitola 5: Aproximácia verzus presné výpočty... 73 Kapitola 6: Postupnosti a skupiny kriviek... 85 Kapitola 7: Skúmanie v priestore... 107 Kapitola 8: Čo je jednoduché?... 123 Kapitola 9: Vektory, matice a množiny... 137 Kapitola 10: Grafy funkcií s parametrom... 155 Kapitola 11: K modulu pre analytickú geometriu... 167 Kapitola 12: Nejaké výpočty... 183 Kapitola 13: Objasnenie, ako to DERIVE robí... 201 Kapitola 14: Viac o kreslení grafov... 215 Kapitola 15: Čo ešte môžete robiť s DERIVE... 235 Kapitola 16: Pripojenie DERIVE ku kalkulačkám typu TI-89, TI-92+ alebo Voyage200... 255 Kapitola 17: Prispôsobte DERIVE vašim potrebám... 267 Ďalšie informácie o DERIVE... 279 Príloha A: Možnosti pri štarte DERIVE... 281 Príloha B: DERIVE so základnými nastaveniami... 283
Predhovor Táto kniha vznikla z túžby ľahko a rýchlo sprístupniť DERIVE 6 hlavne učiteľom. Veľmi ďakujeme Albertovi Richimu a Therese Shelby, hlavným autorom programu DERIVE 6, za sústavnú podporu počas písania tejto knižky. Veľmi ďakujeme Patricii Littlefield a Davidovi Stoutemyerovi, ktorí učesali tento text. Bernhard Kutzler & Vlasta Kokol-Voljc, Júl 2003
Úvod DERIVE je matematický počítačový program. Dokáže pracovať s algebraickými premennými, výrazmi, rovnicami, funkciami, vektormi a maticami tak ľahko, ako vie kalkulačka pracovať s desatinnými číslami. DERIVE vie vykonať číselné aj symbolické výpočty, algebru, trigonometriu a tiež vie kresliť dvojrozmerné aj trojrozmerné grafy. Hlavná sila DERIVE je v symbolickej algebre a výkonnej grafike. Je to skvelý nástroj na robenie a používanie matematiky, na dokumentovanie matematickej práce a na vyučovanie a učenie sa matematiky. Ako pre učiteľa, tak aj pre študenta je DERIVE ideálny nástroj na podporu učenia sa a vyučovania matematiky. DERIVE umožňuje nový prístup k učeniu a pochopeniu matematiky tým, že spája numerické, algebraické a grafické možnosti matematiky. Ľahko zistíte, že mnohé témy je možné prebrať oveľa efektívnejšie a s väčším úspechom s DERIVE ako s použitím tradičných vyučovacích metód. Veľa zadaní, ktoré vyžadujú náročné a pracné precvičovanie v škole, sa dá riešiť stlačením jedného tlačidla v DERIVE: to zníži potrebu vykonávať dlhé matematické výpočty. Študenti sa môžu sústrediť na matematický význam pojmov pokým DERIVE berie na seba bremeno vykonávania mechanických/algoritmických častí riešenia problému. Napriek nudného nácviku technických zručností sa učitelia a žiaci môžu sústrediť na zábavné a užitočné techniky riešenia problémov a na krásu matematiky. DERIVE dokázal, že veľmi dobre podporuje rozvoj chápania náročných matematických pojmov. DERIVE je pre inžiniera ideálnym nástrojom na efektívny prístup k mnohým matematickým operáciám a funkciám a tiež pomáha rôznymi spôsobmi vizualizovať problémové úlohy a ich riešenia. Ak používate DERIVE pri každodennej práci zistíte, že ide o neúnavného, schopného a múdreho matematického asistenta, ktorý sa ľahko používa. Táto knižka o používaní DERIVE 6 je vhodná pre samoštúdium. Najprv si však nainštalujte DERIVE 6 na vašom počítači. Od prvej kapitoly sa v nej krok za krokom budete učiť používať program. Prejdete si postupne rôzne príkazy, návody a príklady. Text vás povedie mnohými matematickými témami, aby ste sa naučili riešiť rôzne matematické úlohy s DERIVE. Veľa príkladov pritom prináša aj nápady ako možno DERIVE využiť vo vyučovacom procese, niektoré sú detailnejšie vysvetlené pod čiarou s názvom Poznámky pre učiteľa. Navyše odseky, ktoré začínajú s piktogramom vám dávajú pokyny, čo máte robiť na počítači. Celé stovky ukážkových obrázkov vám pritom pomáhajú, aby ste sa nestratili. Pomocou riešenia typických matematických stredoškolských úloh sa naučíte používať DERIVE 6 tak, že ho budete môcť použiť v praxi, vo vyučovaní alebo pri učení sa matematiky. Naučíte sa používať jeho hlavné príkazy, kľúčové vlastnosti a funkcie. Na konci každej kapitoly nájdete zhrnutie toho, čo ste sa v nej učili. Referenčná príručka, ktorá sprevádza túto knižku obsahuje celkové zhrnutie príkazov, klávesových skratiek, funkcií a servisných súborov. The index na konci slúži na zistenie, kde sa nachádza určitý text.
2 Úvod Všetko čo potrebujete, aby vám bežal DERIVE 6, je PC kompatibilný počítač s WINDOWS 2000 alebo WINDOWS XP. Čoskoro bude doplnená kompatibilita s WINDOWS 98 a WINDOWS ME. Predpokladá sa, že viete používať počítač a operačný systém WINDOWS. Zábery obrazoviek v tejto knihe boli vytvorené v DERIVE 6 pod WINDOWS XP. Ak máte DERIVE 6 pod WINDOWS 2000, môžu niektoré obrazovky vyzerať mierne odlišne. Táto knižka predstavuje tie prvky a funkcie, kotré sú potrebné pre bežné použitie DERIVE 6. Systém obsahuje oveľa viac možností ako je možné tu spomenúť. Táto knižka nie je referenčnou príručkou k DERIVE. Kompletná príručka ku všetkých prvkom sa nachádza v časti Pomocník v softvéri. Niektoré kapitoly uvádzajú príklady ako používať Témy pomocníka. Tento text bol napísaný pre DERIVE Verziu 6.00. Ak používate neskoršiu (aktualizovanú) verziu Derive 6 môžu sa niektoré obrázky líšiť. Poznámky pre používateľov DERIVE 5: Ak poznáte DERIVE 5 a čítali ste náš Úvod do DERIVE 5, zistíte, že aj softvér aj tento manuál boli rozšírené (spätná kompatibilita). Tu je zoznam hlavných nových prvkov a kde v texte sú popísané: - Režim zobrazovania kroku (Kap 13) - Viacriadkový príkazový riadok (Kap 9) - Prepojenie s TI-89 a Voyage 200 (Kap 16) - - Písmo Derive Unicode (Kap 1) Hľadanie opačnej zátvorky (Kap 4) - Prispôsobiteľné ponuky, panely nástrojov a klávesové skratky (Kap 17) - Nové možnosti pre grafy so spájanými bodmi (Kap 9) - Posúvače na animovanie grafov (Kap 6) - Automatické popisy grafov (Kap 6) - Otáčanie 3D grafu myšou (Kap 7) - Vylepšený a rozšírený pomocník (Kap 9) - Nové možnosti pre 3D grafy (Kap 9) - Nastavovanie mriežky 3D grafu (Kap 7) Kapitoly 13, 16, a 17 sú nové. Väčšina ďaších kapitol bola aktualizovaná alebo doplnená. Aby sme vám uľahčili orientáciu v texte pridali sme k nemu zvislé čiary. (Pozri zvislú čiaru, ktorá je pozdĺž tohto odseku.) Prajeme Vám veľa zábavy pri čítaní a objavovaní.
Kapitola 1: Prvé kroky DERIVE robí prácu s matematickými výpočtami veľmi jednoduchou: Zadajte výraz, použite príkaz a dostanete nový výraz. Všetky výrazy sa dajú použiť na nové výpočty presne tak, ako keď počítate na papieri. V tejto kapitole vás naučím základné postupy pri používaní DERIVE 6. Pre jednoduchosť to budem počas celého textu skracovať ako DERIVE. Budem predpokladať, že používate DERIVE so základnými nastaveniami. Iba tak sa budú obrázky v knihe zhodovať s tým, čo vidíte na obrazovke (a iba keď používate WINDOWS XP). Ak ste práve nainštalovali DERIVE, tak už má základné nastavenia. Ak však vašu verziu DERIVE používal niekto pred vami, tak vám odporúčam nastaviť do nej základné nastavenia. Postup nájdete v Prílohe B. Spustite DERIVE dvojkliknutím na ikonu DERIVE. Ak nemáte na pracovnej ploche počítača, ani na paneli úloh ikonu DERIVE, tak DERIVE pravdepodobne nájdete v ponuke Štart alebo cez Štart>Programy. Behom niekoľkých sekúnd sa vám objaví takáto obrazovka: Obrazovka DERIVE sa skladá postupne z týchto častí (zhora dolu): nadpis okna ponuka panel nástrojov (momentálne prázdne) okno Algebry, tiež nazývané prehľad stavový riadok príkazový riadok panel s gréckymi symbolmi a panel s matematickými symbolmi
4 (1) Prvé kroky Práca s DERIVE spočíva v zadávaní výrazov, tvoriac tak pracovný list. Po spustení DERIVE je systém pripravený prijímať uživateľský vstup cez príkazový riadok, ako je vidieť aj podľa blikajúceho kurzora. Inokedy môžete prejsť do režimu pre vstup pomocou desiateho tlačidla z ľava na paneli nástrojov, označeného j. Viac o tlačidle j zistíte keď na neho posuniete ukazovateľ myši. Správa Zadať výraz pod ukazovateľom myši je názov tlačidla. Správa v stavovom riadku Zadať nový výraz do aktívneho pracovného listu je popis funkcie tlačidla. Pripravte sa na zadávanie výrazu: posuňte ukazovateľ myši na j a kliknite (čiže stlačte a pustite lavé tlačidlo myši vždy lavé tlačidlo, pokiaľ sa vyslovene nepíše inak). Zadajte zlomok: 2/3 Ukončite vstup klávesom Enter ( ). DERIVE zobrazí tento výraz ako zlomok s vodorovnou čiarou, čitateľom a menovateľom, čiže v 2-rozmernom tvare, na rozdiel od 1-rozmerného (lineárneho) tvaru, ktorý ste použili na zadanie zlomku. Naľavo od tohoto výrazu je jeho jedinečné číslo #1. DERIVE je opäť pripravený prijať ďalší vstup, čiže môžete rovno písať do príkazového riadka. Všimnite si, že zlomok, ktorý ste zadali je stále v príkazovom riadku a je kompletne označený. Má to rovnaký význam ako v textových editoroch. Môžete buď zrušiť označenie stlačením niektorej šípky a upraviť ho, alebo ho prepísať písaním nových znakov.
Kutzler & Kokol-Voljc: Úvod do DERIVE 6 5 Prepíšte teraz posledný vstup na 1 + 1 so zámernou chybou zápisu: 2 3 Zadajte 1/2+1&3 ( ). Keď nastane syntaktická chyba, kurzor je nastavený na pozíciu chyby a príčina chyby je zobrazená v prvej časti stavového riadka. V predchádzajúcej ukážke DERIVE našiel nečakaný špeciálny znak &. Niekedy však mohlo nastať niekoľko rôznych chýb (napríklad keď namiesto delenia napíšete ľavú zátvorku) a DERIVE môže iba hádať, ktorá z nich skutočne nastala. Opravte vstup na 1/2+1/3: použite kláves (Del) (alebo pravú šípku (Æ) a potom backspace (æ_)) na zmazanie nesprávneho znaku a potom napíšte znamienko delenia. Ukončite s ( ). Zobrazí sa výraz a jeho číslo #2. Tento nový výraz je označený inverznými farbami. Výraz #1 už nie je označený. Ak ste sa pomýlili pri písaní vstupu a chcete zmazať označený výraz, použite kláves (Esc) a presuniete sa do okna Algebry. Potom použite kláves (Del) na zmazanie označeného výrazu a tlačidlo Zadať výraz j, aby ste sa vrátili do príkazového riadka. Iný spôsob bude vysvetlený v kapitole 2. Zjednodušte výraz #2 použitím tlačidla Zjednodušiť m na paneli nástrojov. Výsledok sa stane ďalším výrazom s označením #3. Zjednodušené výrazy sú zobrazované uprostred obrazovky. Pomáha to ľahšie rozlišovať medzi zadaním a výsledkom. Toto správanie sa DERIVE môže byť nastavené aj inak, rovnako ako aj mnohé iné vlastnosti programu. Po použití tlačidla Zjednodušiť m ostanete vo vstupnom riadku. Zadajte teda ďalší výraz, 24. Na napísanie symbolu odmocniny použite jej tlačidlo na paneli s matematickými symbolmi: Zadajte 24 ako: 24 ( )
6 (1) Prvé kroky Zjednodušte použitím m. Toto je iné ako výsledok obyčajnej kalkulačky. Raz sa niekto opýtal matematika: Ako rozoznať matematika medzi luďmi? a on odpovedal: Matematikovi pripadá byť výraz #5 krásnym výsledkom. Väčšina študentov sa však snaží nahradiť takýto výraz číslom s desatinnou čiarkou. DERIVE to hravo dokáže. Označte výraz #4, aby sme na neho mohli použiť ďalší príkaz: Označte výraz #4: posuňte ukazovateľ myši kdekoľvek do riadka v ktorom je výraz a kliknite. Vybranie výrazu pomocou myši je jedným spôsobom ako ho označiť. Ďalší spôsob je presunúť sa do okna Algebry (ak treba) pomocou (Esc) a použiť šípky (½) alebo (¼) na pohyb označenia o výraz vyššie, alebo nižšie. Vypočítajte približnú hodnotu pomocou tlačidla Aproximovať n z panela nástrojov. Kým je výraz označený, v druhej časti stavového riadka môžete vidieť automaticky vytvorenú vysvetlivku. Tretia časť riadka ukazuje čas trvania výpočtu v prípade, že by bolo na získanie výsledku treba dlhší výpočet. Pre výraz #6 je to: Vysvetlivka ukazuje, ako bol výraz vytvorený. Aprox(#4) znamená, že výraz sa získal použitím tlačidla (alebo príkazu) Aproximovať na výraz #4. Čas trvania výpočtu 0.020s je zobrazený v tretej časti riadka (Tento čas môže byť iný na vašom počítači). Ak by bol výpočet na vašom počítači trval menej ako 0.001 sekundy, zobrazil by sa ako 0.000s. Označte výraz #4,...... a potom výraz #5. Vysvetlivka výrazu #4, Dané, znamená, že bol zadaný uživateľom; vysvetlivka výrazu #5, Zjedn(#4), znamená, že výraz sa získal použitím tlačidla (alebo príkazu) Zjednodušiť na výraz #4. Prvá časť stavového riadka je venovaná správam týkajúcim sa položiek ponuky, tlačidiel, alebo stavu príkazov. Pracovné listy DERIVE môžu obsahovať aj text a ďalšie objekty. Najľahší spôsob ako vložiť text je použiť tlačidlo Vložiť text i na paneli nástrojov. Síce nové výrazy sú vždy pridané na koniec pracovného listu, iné objekty (vrátane textu) sú pridané za momentálne označený objekt. Na vloženie textu nad 24 treba najprv označiť objekt nad ním.
Kutzler & Kokol-Voljc: Úvod do DERIVE 6 7 Označte výraz #3. Pohybom myši na tlačidlo Vložiť text i zobrazíte v stavovom riadku jeho popis. Vložte text kliknutím na tlačidlo Vložiť text i. Rámik okolo textu znamená, že je označený. Blikajúci kurzor zase znamená, že môžete editovať text. Zadajte text: Počítame druhú odmocninu z 24: Objekt text umožňuje jednoduché editovanie textu podobné tomu čo môžete robiť v bežných textových editoroch. Neskôr si povieme aj ako zmeniť veľkosť písma, jeho farbu, a podobne. 56 Ako ďalší príklad vypočítame 1234. Stále ste ale v okne Algebry. Predtým ako budete môcť zadať ďalší výraz budete sa musieť presunúť do príkazového riadka a zmazať všetko čo je v ňom: Zadajte 1234^56 tak, že použijete tlačidlo Zadať výraz j a potom to napíšete a potvrdíte ( ). Znamienko exponentu ^ môžete nájsť aj na klávesnici, aj na paneli s matematickými symbolmi (je to piaty symbol zľava v prvom riadku.) Zjednodušte to použitím m. Je to veľmi veľké číslo. Ak by ste chceli vedieť počet číslic, tak sú na to aspoň dva spôsoby. Buď ich budete počítať, alebo môžete číslo aproximovať. (Aproximovať znamená určiť približnú hodnotu čisla). Aproximujte použitím n. Výsledok je zobrazený vedeckým zápisom. Keďže počet všetkých číslic čísla je o jedno viac ako mocnina 10, tak číslo má 173+1 = 174 číslic.
8 (1) Prvé kroky V ďalšom príklade si ukážeme rôzne postupy ako zadávať výraz použitím tlačidiel, ktoré sú pred príkazovým riadkom. Napíšte do príkazového riadka x/3+x/4, ale tentokrát bez ukončenia s ( ). Všimnite si tých päť tlačidiel naľavo od príkazového riadka. Bežným postupom posunutia ukazovateľa myši na tlačidlo odhalíte prvé z nich, <, ako tlačidlo Zadať výraz. Vybranie tohto tlačidla má rovnaký efekt ako ukončenie klávesom ( ). Skúste to: Zadajte predchádzajúci výraz pomocou <, potom ho zjednodušte ako zvyčajne použitím tlačidla Zjednodušiť m z panela nástrojov. Narozdiel od bežných kalkulačiek môže DERIVE robiť nečíselné (symbolické, algebraické) výpočty ako zjednodušenie výrazu #10 na výraz #11. Na okamžité zjednodušenie bez zobrazenia pôvodného výrazu napíšte výraz do príkazového riadka a použite tlačidlo Zjednodušiť m z príkazového riadka. Vysvetlivka takéhoto vstupu je Zjedn(Dané). Pre tretí príklad použijeme tretie tlačidlo príkazového riadka =: Zadajte a zjednodušte xy+ sin x napísaním xy+sinx a použitím tlačidla príkazového riadku Zadať a zjednodušiť =. Toto tlačidlo vytvorí hneď dva výrazy, #12 a #13, a má rovnaký efekt ako zadanie pôvodného výrazu s ( ) alebo <, a zjednodušenie s m. Takže je to pohodlná skratka pre často používané zadaj a zjednoduš. Tento príklad tiež ukazuje aj to, aké pohodlné a rýchle je zadávanie vstupu v DERIVE. Môžete zadávať príkazy rovnako ako ich píšete na papieri. Pre x krát y jednoducho zadajte xy. Medzi x a y proste nie je treba žiadne znamienko násobenia. Pre Sínus x jednoducho zadajte sin x. Netreba žiadne zátvorky okolo x. Príkazový riadok má tlačidlá pre zadanie (<), zjednodušenie (m), zadanie a zjednodušenie (=), aproximovanie (n) a zadanie a aproximovanie výrazu (>). Šieste tlačidlo h je na zmazanie všetkého v príkazovom riadku.
Kutzler & Kokol-Voljc: Úvod do DERIVE 6 9 Všimnite si, že zjednodušený výraz #13 sa líši od pôvodného výrazu #12 len v poradí, v ktorom sú jeho členy zobrazené. Je to preto, lebo nezjednodušené výrazy sú zobrazované ako boli zadané (až na 2-rozmerný tvar zápisu, napr. pri zlomkoch), zatiaľ čo zjednodušené výrazy sú zobrazené použitím štandardizovaného tvaru používajúceho konkrétne poradie členov. Povedzme si znovu o jednoduchom zadávaní výrazov. Cenou za pohodlný rýchly vstup ako napríklad to, že napíšete len xy+sinx pre x y+ sin( x), je to, že mená premenných môžu byť len jednoznakové (ako x a y ). To síce väčšinou stačí, ale keby nestačilo, tak DERIVE umožňuje prejsť do režimu viacznakových názvov premenných (ako napr. time alebo x 12 ). Viacznakové premenné sa dajú zapnúť cez Možnosti>Nastavenia a budú vysvetlené v Kapitole 15. Všetky zátvorky ale vynechávať nemôžete. Napríklad zátvorky budete potrebovať na zadanie 2 menovateľa v zlomku. Ak by ste zátvorky vynechali, výsledný výraz by získal iný význam. x + 1 Zadajte: 2/x+1 Oops výraz na obrazovke vyzerá inak ako ten, ktorý sme pôvodne zamýšľali! DERIVE používa operácie v dohodnutom poradí, takže napríklad násobenie a delenie má prednosť pred sčítaním a odčítaním. Ako vidíte z ukážky, vďaka 2-rozmernému zobrazeniu zlomku ľahšie zistíte, či ste výraz zadali spávne. 1 Opravovanie posledného vstupu vám uľahčí fakt, že jeho kópia ostala vo vstupnom riadku. Pred upravením výrazu použite šípku vpravo (Æ) na odstránenie označenia. Potom zmeňte vstup na 2/(x+1) pridaním zátvoriek a potvrďte ho stlačením ( ). Teraz už vyzerá správne. Keďže už nebudete potrebovať výraz #14, vymažte ho: 1 Poznámka pre učiteľa: Teraz môžete precvičiť študentov v zápise výrazov pomocou veľmi jednoduchého cvičenia s DERIVE, ktoré pozostáva z toho, že študentom pripravíte sadu výrazov na papier, alebo na tabuľu a poviete im, nech ich zadajú do DERIVE. Vďaka dvoj-rozmernému výstupu budú študenti hneď vidieť či zadali výrazy správne alebo nie. Jednoducho ak výraz na obrazovke vyzará inak ako zadanie, tak musia skúsiť znova. Ak im budete zadávať najprv úplne jednoduché výrazy a postupne tažšie, tak sa postupným skúšaním sami naučia ako správne zapisovať výrazy lineárne a lepšie pochopia štruktúru výrazov. Takýmto spôsobom sa zlepší ich schopnosť rozoznávať matematické štruktúry, čo je jedna zo základných shopností, potrebná v mnohých oblastiach matematiky.
10 (1) Prvé kroky Príprava na vymazanie: označte výraz #14 či už myšou, alebo šípkami na klávesnici po tom ako sa presuniete do okna Algebry stlačením klávesu (Esc). Vymazanie výrazu #14: použite tlačidlo Zmazať objekt h alebo stlačte tlačidlo (Del). Výraz ktorý mal označenie #14 zmizne. Výraz s označením #15 sa stal výrazom #14. Automatické prečíslovanie je základne nastavené, takže výrazy začínajú #1 a nemajú žiadne medzery. (Toto nastavenie môže byť zmenené cez Možnosti>Zobrazenie>Prečíslovanie výrazov.) Chyba ako vynechanie celého páru zátvoriek môže zmeniť význam celého výrazu, čo sa stalo v predcházdajúcom príklade. Ak však chýba iba jedna zátvorka, tak vstup stratí zmysel a DERIVE vypíše varovanie v tvare chybovej hlášky: Zadajte 4x-1/x-5) po tom ako sa presuniete späť do príkazového riadku s j. DERIVE sa vždy pokúsi nastaviť kurzor hneď pred nájdenú chybu. Pozícia nadbytočnej zatvárajúcej zátvorky je zjavná, avšak nie je jasné, kde by sa mala nachádzať otvárajúca zátvorka. Takže kurzor je položený pred zátvorku, ktorá je navyše a tiež sa vypíše chybová správa. Podľa toho ako by mal nakoniec výraz vyzerať máte na výber zátvorku buď vymazať, alebo vložiť k nej prislúchajúcu opačnú zátvorku. Pre predchádzajúci príklad existuje 6 rôznych opráv: (pozn. prekladateľa: ja som našiel až 8 rôznych opráv) vstup 4x-1/x-5 4x-1/x-(5) 4x-1/(x-5) 4x-(1/x-5) 4(x-1/x-5) (4x-1/x-5) výstup 1 1 1 1 1 4x 5 4x 5 4x 4x 5 x x x 5 x 4 x 5 x Pre vybranie tretej možnosti vložte otvárajúcu zátvorku za znamienko delenia. Upravte vstup na 4x-1/(x-5) a stlačte ( ). 2 1 4x 5 x Pri práci s DERIVE môžete byť buď v príkazovom riadku, alebo v okne Algebry (tiež nazývanom Prehľad ). Keď ste vo vstupnom riadku, tak vás do okna Algebry presunie (Esc). A keď ste v okne Algebry, tak použite na presun do príkazového riadka tlačidlo Zadať výraz, alebo jeho klávesovú 2 Poznámka pre učiteľa: Toto je ďalší príklad jednoduchého využitia DERIVE vo výučbe. Spýtajte sa študentov, koľko rôznych výrazov vedia získať vkladaním 1, 2 (alebo aj viac) párov zátvoriek do daného výrazu. Toto je ďalšie cvičenie, ktoré pomáha študentom pochopiť štruktútu výrazov.
Kutzler & Kokol-Voljc: Úvod do DERIVE 6 11 skratku (F2). Presunúť sa môžete aj myšou, tak že presuniete myš kam chcete ísť a kliknete. To či ste v príkazovom riadku môžete zistiť podľa toho či v ňom bliká kurzor, alebo nie. Aby ste mali istotu, že ste v príkazovom riadku, tak teraz na neho posuňte ukazovateľ myši a kliknite. Nevýhoda takéhoto spôsobu je v tom, že zruší akékoľvek označenie, ak bolo niečo v riadku označené. Takže potom nemôžete prepísať starý vstup jednoducho písaním nového vstupu do riadka. Príkazový riadok však môžete vyčistiť aj tlačidlom Zmazať všetko h z tohoto riadka, alebo jeho klávesovou skratkou (Ctrl)+(Del). Ak chcete riadok iba opäť označiť a nie zmazať tak: Označte obsah riadka klávesom tab (ÿ). Zadajte a zjednodušte teraz x^2. Je to na vás či použijete kláves Enter a potom tlačidlo Zjednodušiť alebo či použijete tlačidlo Zadať a zjednodušiť z príkazového riadka. Symbol odmocniny dostanete z panela s matematickými symbolmi ( ) alebo stlačením klávesov (Ctrl)+(Q). Zadajte x^2 a potom stlačte (Ctrl)+( ). Je to to isté ako =, čiže je to jednoduchý spôsob ako použiť zadať a zjednodušiť bez použitia myši. Ako druhú možnosť dopíšte zátvorky okolo x^2. Zadajte a zjednodušte: (x^2) Posledné dva príklady ukazujú aké dôležité je používať zátvorky na odlíšenie medzi znamená ( x ) 2 ) a 2 2 x (čo znamená ( x ) zjednodušuje výrazy. Tretia mocnina α 1 sa zadáva takto: Zadajte (α-1)^3. (Vložte symbol Alfa tlačidlom 2 x (čo ). Tieto príklady ukazujú ako dôkladne DERIVE z panela s gréckymi symbolmi.)
12 (1) Prvé kroky Pokúste sa zjednodušiť #20, najprv zjednodušením pomocou m. Ako vidíte vôbec to nepomohlo. Teraz však máte príležitosť vyskúšať si jeden z tých zaujímavých príkazov, ktoré ani nemajú vlastné tlačidlo na paneli nástrojov. Pripravte sa na to, že budete používať Zjednodušiť z ponuky. Takže posuňte ukazovateľ myši na položku ponuky Zjednodušiť. Otvorte ponuku Zjednodušiť tým, že na ňu kliknete. Tu sa vám ponúkajú rôzne príkazy, ktoré môžete použiť. Ten, ktorý teraz potrebujeme je príkaz Roznásobiť na roznásobenie výrazu. Vyberte tento príkaz tým, že posuniete ukazovateľ myši nad slovo Roznásobiť...... a potom vyvoláte príkaz kliknutím myši.
Kutzler & Kokol-Voljc: Úvod do DERIVE 6 13 DERIVE otvorí dialógové okno Roznásobenie výrazu. Podobné dialógové okno sa vám otvorí pri každom príkaze, ktorý potrebuje ďalšie upresnenie parametrov. V okne, ktoré teraz vidíte, môžete upresniť premenné použité pri roznásobovaní a množstvo roznásobovania (určené položkou Typ roznásobujúceho výrazu Zvyčajne vám bohato postačí nechať to, ako je to nastavené a okno hneď zavrieť klávesom Enter alebo kliknutím na základné tlačidlo ktoré tu je (_Roznásobit_). (Základné tlačidlo je to, ktoré je vopred označené.) Ak by ste chceli zrušiť príkaz, tak použite tlačidlo (_Zrušit_) alebo kláves (Esc). Ak by ste chceli nezjednodušené použitie funkcie ROZNÁSOBIŤ tak použite tlačidlo (_OK_). Teraz potvrďte vykonanie rozkladu použitím (_Roznásobit_) (buď stlačením ( ) pretože to je základné tlačidlo, alebo kliknutím na (_Roznásobit_).) Existuje však aj čisto klávesnicový spôsob ako použiť príkaz Roznásobiť z ponuky Zjednodušiť a to bežným postupom vo WINDOWS: stlačením klávesov (Alt)+(Z) otvoríte ponuku Zjednodušiť ((Z) používate lebo v slove Zjednodušiť je podčiarknuté písmeno Z) a potom stlačíte (R) (znova písmeno s podčiarkovníkom, ale teraz bez klávesu (Alt), ktorý sa používa iba na otvorenie ponuky, ale nie na vyvolanie príkazov v nej). Tento postup funguje pre všetky príkazy v ponuke. Ku každému tlačidlu z panela nástrojov existuje prislúchajúci príkaz v ponuke. Tieto príkazy budeme využívať v nasledujúcom príklade. Zadajte, zjednodušte a potom aproximujte sin ( π 4) : Na zadanie spomenutého výrazu použite príkaz Zadať>Výraz a potom napíšte sin(π/4) ( ). ( π získate pomocou panela s matematickými symbolmi. Dajte si prosím pozor na rozdiel tlačidiel π, lebo tlačidlo na paneli s matematickými symbolmi, znamená obsah jednotkovej kružnice, na rozdiel od tlačidla na paneli s gréckymi symbolmi, ktoré znamená malé grécke písmeno pi. Všimnite si ako rozdielne vyzerajú na tých dvoch tlačidlách. Obsah jednotkovej kružnice má totiž jednu nohu šikmo.) Zjednodušte výraz #23 príkazom Zjednodušiť>Základné zjednodušenie.
14 (1) Prvé kroky Toto je ďalší krásny výsledok. Pred aproximáciou však ešte pridajte vhodný komentár toho čo robíme priamo do pracovného listu v podobe textového objektu. Vložte textový objekt príkazom Vložiť>Text a potom píšte: Teraz prichádza aproximácia výrazu sin(π/4). (Symbol π napíšte použitím panela s matermatickými symbolmi.) (Pokúste sa) ukončiť vstup pomocou ( ). Kláves Enter, použitý počas upravovania textu, pridal ďalší riadok do textu. Toto teda nebolo to čo sme mali pôvodne na mysli. Vymažte ten riadok navyše použitím klávesu backspace (æ_). Všimnite si, že počas toho ako v DERIVE upravujete text, nemáte prístup k určitým tlačidlám a príkazom ponuky ako vidíte aj na paneli nástrojov. Nedostupné tlačidlá a príkazy ponuky vyzerajú zošednuté. Napríklad aj tlačidlo Aproximovať teraz nie je dostupné. Výraz potrebujete označiť, predtým ako ho budete môcť aproximovať. Označte výraz #23 a aproximujte ho cez Zjednodušiť>Aproximovať. Narozdiel od tlačidla Aproximovať v paneli nástrojov, príkaz Zjednodušiť>Aproximovať v menu otvorí dialógové okno, v ktorom vás vyzýva k určeniu počtu číslic presnosti. (Pozn. prekladateľa: niekedy je to to isté ako počet desatinných miest ale nie vždy.) Základnú hodnotu 10 číslic, ktorá je teraz zobrazená, používa aj tlačidlo Aproximovať. Príkaz Zjednodušiť>Aproximovať vám umožní pre tento výpočet použiť inú hodnotu. Zmeňte číslo na 35 a potom použite základné tlačidlo na zatvorenie okna: 35 (_Aproximovat_) V DERIVE môžete použiť skoro akúkoľvek presnosť, čo v praxi znamená počet číslic použitých pri výpočtoch. Jediné čo vás pritom obmedzuje je množstvo voľnej pamäte na počítači a vaša trpezlivosť pri čakaní na výsledok. Ako bude vysvetlené aj neskôr, výpočet bude trvať tým dlhšie, čím je presnosť vyššia. (Na našom počítači aproximácia výrazu #23 s presnosťou na 1,000 číslic trvala 0.161 sekundy, a na 2,000 číslic trvala 0.531 sekundy.)
Kutzler & Kokol-Voljc: Úvod do DERIVE 6 15 Opravte teraz text tak, aby oznamoval aj danú presnosť: Kliknutím na text vstúpte do režimu úpravy tohoto textu. Potom nastavte kurzor hneď za slovo: prichádza Dopíšte: 35-číselná Teraz ideme zmenšiť veľkosť písma textu a na to budeme potrebovať panel nástrojov formátovania. Najelegantnejší spôsob ako tento panel zapnuť je tento: Posuňte ukazovateľ myši kdekoľvek na panel nástrojov, alebo na ponuku. Otvorte rýchlu ponuku kliknutím pravého tlačidla myši. Táto ponuka obsahuje prepínače pre všetky dostupné panely nástrojov. Zaškrtnutie označuje, ktoré z nich sú zapnuté. Kliknutím na niektorý prepínač danú ponuku zapnete, respektíve vypnete. Zapnite panel nástrojov formátovania prepínačom Formátovanie.
16 (1) Prvé kroky Panel nástrojov formátovania sa objaví pod hlavným panelom nástrojov. Texty sa v DERIVE upravujú podobne ako v bežných editoroch textu. Tento panel nástrojov teda ukazuje, že veľkosť písma je 12 bodov. Predtým ako budete môcť zmeniť veľkosť písma je potrebné označiť príslušnú časť textu. Označte teda celú vetu. Buď použite techniku ťahania ukazovateľa myši pozdĺž celého textu so stlačeným ľavým tlačidlom myši. Alebo polože (posuňte) kurzor na jeden koniec textu, stlačte a držte stlačený kláves shift a klávesom šípky vpravo (alebo vľavo) posuňte kurzor na druhý koniec textu. Alebo trojkliknite (kliknite trikrát rýchlo po sebe na to isté miesto) kdekoľvek do riadka s textom. Teraz zmeníte veľkosť písma: otvorte vysúvací zoznam v políčku Veľkosť písma kliknutím na. Vyberte si číslo 10. Iný spôsob bol kliknuť do políčka Veľkosť písma a prepísať číslo 12 na 10. Teraz oznámte ďalšiu ukážku nejakým príhodným textom: Začnite zadávať text použitím tlačidla Vložiť text i. Oops toto je nesprávna pozícia. Nový text by sa mal objaviť na konci dokumentu. Ale tlačidlo Vložiť text (rovnako ako príkaz Vložiť>Text) pridáva text hneď za označený objekt. Takže nabudúce bude treba najprv označiť výraz #25. (Druhá možnosť je presunúť tento nový text na koniec dokumentu, ale o tom si povieme až neskôr.)
Kutzler & Kokol-Voljc: Úvod do DERIVE 6 17 Vyberte výraz #25. Aj keď teraz rámik okolo prázdneho textového objektu zmizol, objekt tam zostal. Dá sa však vymazať ako každý iný objekt po tom ako ho označíte. Označte textový objekt tým, že na neho kliknete. Pokúste sa ho vymazať klávesom delete (Del). Nič to ale nerobí. Zapamätajte si: kliknutím na textový objekt začnete upravovať text v ňom. Aby ste vybrali celý textový objekt na vymazanie, kopírovanie, alebo presunutie, kliknite (presne) na rámik, alebo na voľné miesto naľavo, alebo napravo od rámika. Alebo jednoducho stlačte kláves (Esc) na ukončenie úpravy textu. Vyberte celý textový objekt stlačením (Esc). Textový objekt je teraz vybraný ako je vidieť podľa toho, že je okolo neho rámik, ale nie je v ňom kurzor. Ak tam predsa len ešte stále kurzor je, tak stlačte ešte raz (Esc). Zmažte prázdny textový objekt klávesom (Del). V tejto časti už nebudete potrebovať panel nástrojov formátovania, takže ho vypnite, aby ste mali dosť miesta na iné veci. Môžete ho vypnúť napríklad aj tak ako ste ho zapli. Ale teraz vás pozývam použiť iný spôsob ovládania toho, ako sa majú zobrazovať panely nástrojov:
18 (1) Prvé kroky Otvorte dialógové okno Prispôsobiť pomocou príkazu Okno>Prispôsobiť. Vypnite panel nástrojov formátovania kliknutím na zaškrtávacie políčko naľavo od názvu Formátovanie. Opustite okno kliknutím na (_OK_) aby panel nástrojov formátovania naozaj zmizol. Viac o prispôsobovaní DERIVE (a rôznych ďalších možnostiach príkazu Okno>Prispôsobiť) si povieme v Kapitole 17. Teraz budeme experimentovať s príkazmi z ponuky Možnosti>Zobrazenie aby sme sa zoznámili s menením vzhľadu pracovného listu v DERIVE:
Kutzler & Kokol-Voljc: Úvod do DERIVE 6 19 Otvorte ponuku Možnosti>Zobrazenie. Použite prvý príkaz (čiže Zarovnanie nových objektov) Teraz sa vám otvorí dialógové okno, v ktorom sa nastavuje zarovnanie všetkých objektov, ktoré sa môžu nachádzať na pracovnom liste v DERIVE. Nezjedodušené výrazy sú výrazy, ktoré zadáte vy (v príkazovom riadku) a tiež výrazy, ktoré vznikli použitím niektorej operácie na iný výraz, ale bez toho aby boli pritom zjednodušené. Zjednodušené výrazy sú výrazy, ktoré vznikli zjednodušením, alebo aproximáciou iných výrazov. Nastavenie, pri ktorom je vstup uživateľa zarovnaný vľavo a výsledok vycentrovaný prispieva k prehľadnosti pracovného listu. Preto je to základným nastavením. Pre zachovanie nastavení tak ako sú, opustite okno tlačidlom (_Cancel_) alebo klávesom (Esc). Vyskúšajte si ďalší príkaz ponuky Možnosti>Zobrazenie: Použite druhý príkaz ponuky, Možnosti>Zobrazenie>Písmo všetkých výrazov.
20 (1) Prvé kroky Jazyk použitý v tomto dialógovom okne a podobných oknách je určený nastavením jazyka v operačnom systéme. Vyberte 22 ako veľkosť písma so štýlom Tučné, potom vykonajte zmenu opustením okna tlačidlom (_OK_).
Kutzler & Kokol-Voljc: Úvod do DERIVE 6 21 Veľké písmo je užitočné za účelom demonštrovania, špeciálne keď používate projektor. Pre osobné využitie pravdepodobne uprednostníte menšie písmo. Veľké písmo ešte využijeme pre dva posledné príklady v tejto kapitole. Keď sme skôr v tejto kapitole zadávali konštantu π použili sme panel s matematickými symbolmi. Avšak špeciálne konštanty ako polomer jednotkovej kružnice π, základ prirodzeného logaritmu e, alebo imaginárna jednotka i, sa dajú zadať rôznymi spôsobmi. Tiež je veľmi dôležité rozlišovať medzi premennými s menami ako e, i, alebo (malé grécke písmeno) π a slávnymi konštantami zapísovanými týmito písmenkami. Teraz zadáme súčet troch (konštánt) π: Najprv sa presuňte do príkazového riadka použitím (F2). Zadajte prvé π z panela s matematickými symbolmi, druhé zase jednoducho napísaním pi, a tretie z nich stlačením klávesov (Ctrl)+(P). (Plusy medzi nimi zadávajte celý čas z klávesnice.) Nakoniec pridajte malé grécke písmeno Pi z panela s gréckymi symbolmi. Teraz ste použili všetky tri spôsoby zadávania konštanty π. Aj keď druhá vyzerá v príkazovom riadku odlišne, tak znamená to isté ako prvá a tretia. Všimnite si tiež, že aj malé grécke písmeno Pi vyzerá odlišne. Potvrďte vstup klávesom ( ). Aj na zadávanie základu prirodzeného logaritmu e máme 3 rôzne spôsoby. Použite všetky 3 na zadanie súčtu troch e -čiek a jedného obyčajného písmena e, aby ste videli rozdiel medzi premennou s týmto menom a touto konštantou. Tiež si ešte skúsime nový spôsob ako zjednodušiť výraz. Zadajte prvé e z panela s matematickými symbolmi použitím tlačidla, druhé z nich napísaním #e, a tretie klávesmi (Ctrl)+(E). Potom ešte dopíšte: +e= (Všimnite si, že rovná sa sme použili na konci.)
22 (1) Prvé kroky Ukončite vstup so súčtom troch e s premennou e klávesom ( ). Znamienko rovná sa na konci spôsobí automatické zjednodušenie a vytvorenie rovnice, ktorej ľavá strana je nezjednodušený výraz a pravá strana je zjednodušený výraz. Tento spôsob zobrazí obidva, aj zjednodušený aj nezjednodušený výraz, na tom istom riadku, čím ušetrí jeden riadok na obrazovke. Podobne sú 3 spôsoby zadávania aj pre imaginárnu jednotku. i nájdete na paneli s matematickými symbolmi, môžete napísať #i, alebo ho zadať kombináciou klávesov (Ctrl)+(I). Túto kapitolu uzavrieme ukončením DERIVE. Príkaz Skončiť sa nachádza v ponuke Súbor: Skončite DERIVE použitím príkazu Súbor> Skončiť. DERIVE sa ešte opýta či má byť tento doteraz nepomenovaný pracovný list uložený na disk a navrhuje meno Algebra 1. Teraz stlačte (_Nie_), aby ste skončili bez ukladania zmien.
Kutzler & Kokol-Voljc: Úvod do DERIVE 6 23 Zhrnutie Okno Algebry h alebo (Del)... vymazať označený výraz i alebo Vložiť>Text alebo (F5)... vložiť text za označený objekt j alebo Zadať>Výraz alebo (F2)... zadávať výraz, presunúť sa do príkazového riadka m alebo Zjednodušiť>Základné zjednodušenie... zjednodušiť označený výraz n alebo Zjednodušiť >Aproximovať... aproximovať označený výraz Súbor>Skončiť...skončiť DERIVE Zjednodušiť >Roznásobiť... roznásobiť označený výraz Možnosti>Zobrazenie... pohrať sa s nastaveniami zobrazovania Okno>Prispôsobiť: Panely nástrojov... skontrolovať (a prepnúť) panely nástrojov (½), (¼)... posunúť označenie o jedno vyššie, alebo nižšie (Esc)... zrušiť príkaz kliknúť do riadka, v ktorom je výraz... označiť výraz kliknúť na textový objekt... upravovať text v ňom kliknúť na rámik textu, alebo naľavo či napravo od neho, alebo stlačenie (Esc) v ňom......označiť textový objekt (bez editovania textu) Príkazový riadok < alebo ( )... zadať výraz m... zadať zjednodušený výraz = alebo (Ctrl)+( )... zadať výraz a potom ho zjednodušiť n... zadať aproximovaný výraz > alebo (ª)+( )... zadať výraz a potom ho aproximovať h... zmazať všetko v príkazovom riadku (Esc)... presunúť sa do okna Algebry (ÿ)... označiť obsah riadka alebo (Ctrl)+(P) alebo pi... obsah jednotkovej kružnice π alebo (Ctrl)+(E) alebo #e... základ prirodzeného logaritmu e alebo (Ctrl)+(I) alebo #i... imaginárna jednotka i,, atď.... grécke písmená alebo (Ctrl)+(Q) alebo sqrt... symbol odmocniny = (znamienko rovná sa na konci)... zobraziť zjednodušený a nezjednodušený výraz ako rovnicu
24 (1) Prvé kroky
Kapitola 2: Hľadanie koreňov polynómu V tejto kapitole budeme postupne tvoriť jednoduchý matematický dokument, ktorý je o určovaní koreňov polynómu. Súčasne sa budete učiť základné postupy pri používaní DERIVE, ktoré sú spojené s touto témou. Spustite DERIVE. Po vašom prvom cvičení v DERIVE zostali v inicializačnom súbore určité informácie. V tomto súbore sú uložené informácie o stave okna DERIVE, v ktorom bolo tesne predtým, ako ste naposledy ukončili DERIVE. Dialógové okno Štartovanie Derive vám ponúka možnosť spustiť DERIVE so základnými nastaveniami a možnosť spustiť DERIVE s nastaveniami z inicializačného súboru, ktoré obsahujú zmeny uskutočnené v predchádzajúcej kapitole. Táto kniha je napísaná tak, že každá kapitola vychádza zo základných nastavení DERIVE. Aby váše výsledky vyzerali rovnako ako v tejto knihe, mali by ste spustiť DERIVE so základnými nastaveniami. Spustite DERIVE so základnými nastaveniami, čiže kliknite v dialógovom okne na (_Áno_). Vytvorte nový dokument s vhodným nadpisom. Vložte nasledujúci text: Hľadanie koreňov polynómu. 2 3 x 3x 1 Budete hľadať korene polynómu y = p( x), y = x. 2 2 2 Zadajte tento polynóm. Na zadávanie výrazu sa pripravíte tlačidom j, a potom napíšte: y=x^3-x^2-3x/2-1/2 (Zámerne vynechajte /2 v druhom člene.)
26 (2) Hľadanie koreňov polynómu Odteraz sa kláves ( ) alebo tlačidlo (_OK_) zobrazí len v nejasných prípadoch. Už sa viac nepoužije pre jednoduché vstupy, ako pre predchádzajúci výraz. Pre niektoré zručnosti, ktoré sa naučíte a budete používať v tejto kapitole, je potrebné, aby ste pracovali s predchádzajúcim polynómom. Preto sa uistite, že ste ho zadali správne. Viete, že to nie je správne! V druhom sčítanci chýba /2. Toto jednoducho napravíme použitím príkazu Úpravy>Výraz na označený výraz. Upravte označený výraz pomocou príkazu Úpravy>Výraz. Kópia výrazu sa zobrazí v príkazovom riadku, pričom kurzor je umiestnený na začiatku. Text v stavovom riadku oznamuje, že ste v režime úprav a tiež ako tento režim ukončiť. Pôvodný výraz je orámovaný prerušovanou čiarou, až kým skončíte úpravy (urobíte zmeny v príkazovom riadku) alebo zrušíte režim úprav (s (ESC)). Vložte /2 za x^2, potom potvrďte stlačením ( ). Kláves ( ) spôsobil nahradenie starého výrazu novým. Keď použijete príkaz Úpravy>Výraz, nie je potrebné zmazať starý výraz. Predstavte si, že sa dívate na dom z rôznych miest. Z každého miesta vidíte detaily, ktoré nevidíte z iných miest. Na základe tejto myšlienky, matematici používajú množstvo rôznych vyjadrení matematických objektov. Tretí stupeň polynómu, ktorý ste zadali, je v algebraickom vyjadrení. Neskôr urobíme grafické vyjadrenie, pretože toto vyjadrenie je obzvlášť užitočné pre získanie informácií o koreňoch. Inak povedané: nakreslíte 3 graf. Keďže hlavným cieľom tohto cvičenia je poriadne dokumentovať matematický postup,...... vložte nasledovný text: 3 Nakresliť je výraz, ktorý v knihe používame pre činnosť, ktorou sa tvorí graf.
Kutzler & Kokol-Voljc: Úvod do DERIVE 6 27 Pokyny na nakreslenie 2D grafu: otvorte 2D-grafické okno kliknutím na tlačidlo 2D grafické okno v, alebo príkazom Okno>Nové 2D grafické okno. DERIVE vytvoril okno pre graf, takže teraz máte dve okná, s ktorými budete pracovať: okno algebry a 2D-grafické okno. Použite bežné metódy WINDOWS, aby ste sa prepli medzi oknami alebo zmenili ich veľkosť a umiestnenie: Umiestnite tieto dve okná vedľa seba príkazom Okno>Usporiadať vedľa seba. Každé okno je v ľavom hornom rohu označené svojim typom okna (2D-graf a Algebra). Nadpis aktívneho okna je jasný; nadpis neaktívneho okna je matný. Keďže je aktívne grafické okno, tak sa
28 (2) Hľadanie koreňov polynómu ponuka, príkazový riadok a aj stavový riadok líšia od tých v okne algebry. Stavový riadok zobrazuje navyše nasledujúce informácie o grafe: Ikona s krížikom v štvorci pred slovom Krížik značí karteziánske súradnice, Krížik ukazuje súradnice pohyblivého krížika, Stred ukazuje súradnice stredu obrázku, Mierka ukazuje mierku oboch osí. Nakreslite graf pomocou tlačidla Graf v. Hups tlačidlo Graf nie je prístupné. Dôvodom je, že tlačidlo Graf (ako aj jeho ekvivalentný príkaz Vložiť>Graf) nakreslí množinu bodov vyjadrenú výrazom, ktorý je označený v okne algebry. Práve teraz je označené textové pole a textové pole sa nedá graficky znázorniť. Označte polynóm kliknutím. Teraz je okno alegebry aktívne. Preto znovu aktivujte 2Dgrafické okno kliknutím na nadpis okna. Existuje niekoľko spôsobov ako aktivovať iné okno: Použite klávesovú skratku (Ctrl)+(F6). V okne algebry použite tlačidlo 2D grafické okno v, z panela nástrojov a v 2D-grafickom okne zase použite tlačidlo okno Algebry K, z panela nástrojov. Kliknite na okno, ktoré chcete aktivovať. Tu ale buďte opatrní: môže sa stať, že zmeníte označenie, keď kliknete na okno algebry ľavým tlačidlom myši. Takisto môžete zmeniť krížik v grafe, keď ľavokliknete na 2D-grafické okno. Toto môže mať nepredvídané následky. Preto je lepšie kliknúť ktorýmkoľvek tlačidlom myši na nadpis okna. V grafickom okne môžete použiť klávesovú skratku (Ctrl)+(1), aby ste aktivovali okno algebry. Teraz je tlačidlo Graf prístupné, a vy môžete nakresliť graf funkcie.
Kutzler & Kokol-Voljc: Úvod do DERIVE 6 29 Nakreslite graf polynómu tlačidlom Graf v. Teraz vidíte aj algebraické aj grafické vyjadrenie polynómu. Grafické vyjadrenie je mimo pracovného listu okna algebry, vo vlastnom grafickom okne. Skopírujte aktuálne grafické okno do pracovného listu okna algebry pomocou príkazu Súbor>Vsadiť v 2D-grafickom okne. Týmto prenesiete aktuálny stav grafického okna do pracovného listu. Grafické okno je interaktívne, vsadený graf nie. Vsadený graf môžete kedykoľvek vrátiť do interaktívneho okna dvojkliknutím. Pre hľadanie koreňov je grafické vyjadrenie polynómu veľmi užitočné. Aj keď z aktuálneho obrázku nie je úplne jasné, či má polynóm jeden, dva alebo tri rôzne korene. Odpoveď môžeme nájsť skúmaním grafu pomocou pohyblivého krížika. Jeho súradnice, ktoré teraz ukazujú počiatočnú polohu krížika (1,1), sú zobrazené v stavovom riadku:
30 (2) Hľadanie koreňov polynómu Farbu krížika môžete zmeniť cez záložku Krížik v dialógovom okne Možnosti>Zobrazenie. Keď je grafické okno aktívne, môžete meniť pozíciu krížika buď ľavokliknutím na želané miesto alebo pomocou šípok na klávesnici (Æ), (æ), (½) a (¼). Presuňte ukazovateľ myši približne na polohu (1,-1), potom kliknite ľavým tlačidlom myši, aby ste do tejto polohy presunuli krížik (obrázok vľavo). Použite šípky, aby ste presunuli krížik do polohy (0.5,0.5). Vyskúšajte klávesové skratky (Ctrl)+(Æ), (Ctrl)+(æ), (Ctrl)+(½) a (Ctrl)+(¼),krížik sa bude presúvať väčšími skokmi. Klávesom (Home) vrátite krížik do počiatočnej polohy t.j. do stredu grafického okna. Pri skúmaní jednotlivých kriviek je veľmi užitočný režim trasovania. Môžete ho zapnúť a vypnúť pomocou tlačidla Trasovať Grafy A, príkazom Možnosti>Trasovať grafy alebo príslušnou klávesovou skratkou (F3). Ako je to bežné v programoch vo WINDOWS, aj v tomto programe sa v príslušnej ponuke zobrazí naľavo od príkazu tlačidlo s rovnakým účinkom ako príkaz, zatiaľ čo klávesová skratka sa zobrazí napravo od príkazu. Vyskúšajte to pre príkaz Možnosti>Trasovať grafy: Otvorte ponuku Možnosti.
Kutzler & Kokol-Voljc: Úvod do DERIVE 6 31 Zapnite režim trasovania vyvolaním príkazu Trasovať grafy. Keď je zapnutý režim trasovania, krížik sa zmení na štvorček a skočí zvislo na krivku, zatiaľ čo x- ová súradnica zostane nezmenená. Číslo výrazu, podľa ktorého je nakreslená krivka, je zobrazené v názve grafickéko okna (tu: Trasujem výraz #1 4 ). Kým je režim trasovania zapnutý, štvorčekom môžete pohybovať len po krivke a to pomocou šípok na klávesnici (Æ) a (æ), alebo pomocou klávesových skratiek (Ctrl)+(Æ) a (Ctrl)+(æ) pre väčšie skoky. To isté dosiahnete posunutím ukazovateľa myši na nové miesto a následným kliknutím. Ak je zobrazených viacero grafov, pomocou klávesov (½) a (¼) vyberiete ďalší graf. Oboznámte sa s presúvaním štvorčeka. Použite šípky na klávesnici a potom aj myš, aby ste presunuli štvorček. Nakoniec kliknite ľavým tlačidlom myši na bod so súradnicami (2.5,0). Čo sa stalo so štvorčekom? Jednoducho zmizol. Dôvod je zobrazený v stavovom riadku. Zvislá súradnica štvorčeka je 8. 25, čo je mimo aktuálnej plochy grafu. Požiadajte teraz DERIVE, aby presunul plochu grafu tak, aby obsahovala krížik alebo štvorček. Príkazom Možnosti>Nasledovať krížik posuniete plochu grafu tam, kde sa nachádza štvorček. 4 Aby sa ušetrilo miesto tento nadpis okna je skratkou pre Trasovanie grafu funkcie definovanej výrazom #....
32 (2) Hľadanie koreňov polynómu Grafické okno teraz nasleduje štvorček. To znamená, že vodorovné a zvislé hranice grafu sa menia automaticky tak, aby bol krížik alebo štvorček viditeľný. Keďže tento režim Nasledovať krížik môže meniť vybrané hranice grafu, mali by ste ho používať opatrne a preto je tiež základne vypnutý. Vypnite režim Nasledovať krížik opätovným vyvolaním príkazu Možnosti>Nasledovať krížik. Na obnovenie predchádzajúcich hraníc máte niekoľko spôsobov: Použite tlačidlo Vycentrovať na začiatok C. Vyvolajte príkaz Nastaviť>Hranice grafu>dĺžka/stred alebo príkaz Nastaviť>Hranice grafu>minimum/maximum, stlačte (_Obnovit_) a potom skončte dialógové okno s (_OK_). Ak je to možné dvojkliknite na vsadenú kópiu pôvodného grafu. Tento posledný spôsob je obzvlášť elegantný a pohodlný. Obnovte pôvodný graf dvojkliknutím na tento vsadený graf. Režim trasovania je vypnutý, pretože graf sme vsadili predtým ako sme režim trasovania zapli. Znovu zapnite režim trasovania, aby ste mohli začať hľadať korene polynómu: Zapnite režim trasovania tlačidlom A, potom presuňte štvorček na nulu tak, aby ste boli čo najbližšie k vodorovnej osi. DERIVE zobrazí súradnice štvorčeka: Krížik: 1.615385, -0.01251707 (Vaše čísla môžu byť odlišné.) Pomocou jediného stlačenia pravej šípky (Æ) presuňte štvorček na Krížik: 1.634615, 0.07973231. Ešte stále ste nenašli polohu, v ktorej je y-súradnica nula, ale môžete povedať, že koreň polynómu
Kutzler & Kokol-Voljc: Úvod do DERIVE 6 33 je medzi 1.615385 a 1.634615, pravdepodobne bližšie k číslu 1.615385. Zjavne najlepším prostriedkom na nájdenie presnejšej hodnoty je zväčšenie. Priblížte pomocou tlačidla Priblížiť H v panel nástrojov (obrázok vľavo), potom sa pokúste presunúť štvorček bližšie ku koreňu. Na našom počítači sme už bližšie ísť nemohli (na vašom počítači to môže byť inak). Obnovte pôvodnú mierku vzdialením pomocou tlačidla Vzdialiť E. Zaznamenajte čo ste doteraz zistili vložením vhodných textových polí: Prepnite sa do okna algebry. Zmeňte veľkosť vloženého grafu takto: vyberte objekt tak, že naň kliknete. Okolo objektu sa zobrazilo 8 čiernych štvorčekov, ktorými môžete zmeniť veľkosť grafu. Presuňte ukazovateľ myši na pravý dolný štvorček a objaví sa obojsmerná šípka. Stlačte a držte ľavé tlačidlo myši. Teraz ťahajte ukazovateľ smerom do stredu obrázku. Keď dosiahnete želanú veľkosť pustite myš. Keď si vyberiete jeden z rohových štvorcov veľkosť sa mení priamoúmerne, takže pomer strán zostane zachovaný. Vložte textové pole, zaznamenajte spôsob riešenia a výsledky vášho skúmania: Vložte nové textové pole a zadajte nasledovný text (použite čísla, ktoré ste dostali): Hľadanie ďalších koreňov: aktivujte grafické okno, potom presuňte štvorček smerom ku koreňu medzi x = 1 a x = 0 :
34 (2) Hľadanie koreňov polynómu Zistíte, že jeden koreň je medzi -0.6346154 a -0.6153486. (Znovu sa vaše čísla môžu líšiť). A ďalší koreň vyzrá byť presne v x = 0.5. Zväčšite znovu, aby ste dostali obrázok s priesečníkmi grafu: Priblížte, tentoraz stlačením dvakrát tlačidla Priblížiť H. Očividne sú tu dva korene. Pokračujte so zväčsovaním grafu: Priblížte ešte raz pomocou tlačidla H. Štvorček opustí grafické okno, pretože režim sledovania krížika je vypnutý (obrázok vľavo). Použite teda tlačidlo Vycentrovať na krížik B, ktoré zvykne byť veľmi užitočné, pretože posunie hranice grafu tak, že štvorček/krížik bude v strede nového obrázka. Posuňte štvorček, aby ste lepšie určili približnú hodnotu ľavého koreňa: Posuňte štvorček bližšie k ľavému koreňu a všimnite si jeho súradnice v stavovom riadku. Zmena znamienka nastáva medzi x = 0.6192308 a x = 0.6173077. Teraz upravte krivku, aby bola strmšia a dostanete presnejší výsledok: Priblížte len vertikálne tlačidlom Priblížiť zvislo I. Odporúčame vám použiť tlačidlo Nastaviť hranice D, ktoré vám umožní vybrať a vystrihnúť obdĺžnik graficky. Pri vyberaní obdĺžnika, ktorý chcete vystrihnúť použite najprv tlačidlo Nastaviť hranice D. Ukazovateľ myši sa zmení na kríž.
Kutzler & Kokol-Voljc: Úvod do DERIVE 6 35 Potom vyberte obdĺžnik na vystrihnutie: Stlačte a držte ľavé tlačidlo myši v ľavom hornom rohu želanej oblasti. Potom ťahajte myšou smerom dole a doprava, až kým obdĺžnik obsiahne želanú oblasť. Pustite tlačidlo myši. Zobrazí sa dialógové okno Nastavenie hraníc grafu, ktoré ukazuje číselné ekvivalenty vybranej oblasti, ktorú ste označili myšou. Toto dialógové okno možete tiež vyvolať príkazom Nastaviť>Hranice grafu>minimum/maximum, ale grafický výber hraníc oblasti je často oveľa pohodlnejší. Pozrite, čo sa stane ak hodnoty potvrdíte kliknutím na (_OK_). Všimnite si tie zložité čísla pod x-ovou osou (vaše čísla sa môžu líšiť) a tiež mierku v stavovom riadku. Toto je spôsobené grafickým výberom želanej oblasti. Priblížte znova pomocou tlačidla Nastaviť hranice D.
36 (2) Hľadanie koreňov polynómu Je užitočné upraviť zložité navrhované hodnoty na jednoduchšie. Začnite s prepisovaním označenej hodnoty v políčku Vodorovné - minimum. Potom použite kláves tab (ÿ), aby ste aktivovali ďalšie vstupné políčko. Zadajte postupne nasledovné hodnoty: 0.7 (ÿ) 0.4 (ÿ) 6 (ÿ) Vyberte také hodnoty do poľa Intervalov, aby rozdiel hodnôt z polí Minimum a Maximum dával po delení hodnotou z poľa Intervalov jednoduché číslo. Napríklad nastavením 6 intervalov na definičnom obore dĺžky 0.3 (= rozdiel čísel -0.7 a -0.4) dostaneme jednoduché čísla pre hranice intervalov. 0.01 (ÿ) 0.01 (ÿ) 4 (_OK_) Použite štvorček režimu trasovania, aby ste našli približné hodnoty koreňov. Koreň vľavo leží medzi -0.6185714 a -0.6178571; a ten druhý je pravdepodobne -0.5. Všetku doterajšiu prácu teraz zdokumentujeme v pracovnom liste okna Algebry. Vsadíme graf, ktorý sme nakreslili naposledy a pridáme vhodné textové pole. Z ponuky 2D-grafického okna vyvolajte príkaz Súbor>Vsadiť, potom sa prepnite do okna Algebry, kde zmeňte veľkosť grafu.
Kutzler & Kokol-Voljc: Úvod do DERIVE 6 37 Momentálne súradnice krížika môžete presunúť do okna Algebry pomocou premenných hcross a vcross. Zadajte a aproximujte: hcross Vložte nové textové pole, ktoré dokumentuje spôsob a výsledok vášho hľadania: Zatvorte grafické okno, a potom maximalizujte okno algebry: Zatvorte grafické okno ľavokliknutím myšou na tlačidlo, ktoré sa nachádza v pravom hornom rohu okna. Maximalizujte okno algebry kliknutím na tlačidlo, ktoré sa nachádza vľavo od tlačidla. Ďalej počítajte korene riešením príslušnej polynomickej rovnice. Predtým ale zadajte vhodný textový popis vášho postupu: Zadajte text: Vytvorte príslušnú polynomickú rovnicu: Označte polynóm #1, presuňte sa do príkazového riadku pomocou (F2) (čo je vlastne klávesová skratka pre zadávanie výrazov), a potom použite klávesovú skratku (F3) pre automatické prilepenie a kopírovanie polynómu. (F2) sa asi stane vašou najčastejšie používanou klávesovou skratkou.
38 (2) Hľadanie koreňov polynómu Nahraďte y číslom 0, a potom zakončite vstup pomocou ( ). Na riešenie tejto rovnice použite buď príkaz the Riešiť>Výraz, alebo príslušné tlačidlo (o) na paneli nástrojov. Pripravte sa na riešenie rovnice. Použite tlačidlo Riešenie výrazu o. Riešte rovnicu. Potvrďte všetky navrhované parametre kliknutím na (_Riešiť_). Tu je matematický symbol pre logickú spojku OR (čiže spojku alebo). Na to, aby ste vyvolali témy pomocníka pre akékoľvek dialógové okno v DERIVE, stlačte (F1) keď je to dialógové okno práve aktívne. Podobne ako tlačidlo Zadať a zjednodušiť = v príkazovom riadku, aj (_Riešit_) zobrazí nezjednodušený výraz (čo je oficiálne použitie funkcie SOLVE (čiže riešiť) pre rovnicu), ale aj zjednodušený výraz (čo je riešenie rovnice). Skončením pomocou (_OK_) by ste vytvorili len nezjednodušený výraz. Môžete približne vyjadriť výraz #6, aby ste porovnali výsledky s tými, ktoré ste našli graficky. Skôr ako tak urobíte, pridajte znova textový popis vášho postupu: Zadajte nasledovný text: Ak napíšete URL, DERIVE z toho automaticky urobí linku. Vyjadrite približnú hodnotu výrazu #6. Najprv ho označte, a potom použite tlačidlo Aproximovať n.
Kutzler & Kokol-Voljc: Úvod do DERIVE 6 39 Aby ste zmenili tento pracovný list na uhladený matematický dokument, urobte ešte niekoľko úprav, potom ho vytlačte a uložte, ale najprv pridajte podpis, aby ste zachytili autora (autorov) a dátum: Zapnite panel nástrojov formátovania použitím Okno>Prispôsobiť. Kým nie je textové pole v režime úprav, všetky príslušné políčka a tlačidlá sú neprístupné. Pridajte textové pole na koniec pracovnéhho listu použitím i. Vyberte špeciálny formát pre podpis: na paneli nástrojov formátovania zmeňte veľkosť písma na 8 bodov a kliknite na tlačidlo Zarovnať vpravo {. Zadajte nasledovný text: Ďalej zmeňte vrchné textové pole na pútavý nadpis: Označte obsah prvého textového poľa bežným spôsobom. Vyberte formát, ktorý je vhodný pre nadpis, napríklad...... zmeňte veľkosť písma na 22 bodov, zvoľte tučné písmo ([), zarovnajte na stred (z), a potom pridajte prázdny riadok. Vypnite panel nástrojov formátovania cez Okno>Prispôsobiť. Pred samotnou tlačou dokumentu je dobré otvoriť náhľad.
40 (2) Hľadanie koreňov polynómu Pozrite sa na náhľad pomocou príkazu Súbor>Ukážka pred tlačou. Náhľad ponúka rôzne možnosti vrátane tlačidla na priblíženie. Priblížte tlačidlom (_Priblížit_). Ukazovateľ myši v tvare lupy v pravej hornej časti strany ukazuje, že to isté môžete dosiahnuť kliknutím myši.
Kutzler & Kokol-Voljc: Úvod do DERIVE 6 41 Použitím príkazov z ponuky Možnosti>Tlač môžete meniť dokument na tlačenie. Napríklad príkazom Možnosti>Tlač>Úprava výrazu ovládate či sa má tlačiť Vysvetlivka a Čas trvania výpočtu. (Ani jedno nie je vytlačené, ak to nenastavíte). Pracovný list je teraz pripravený na tlač. Teraz použite tlačidlo (_Tlacit_) v okne s ukážkou tlače. Uistite sa, že je tlačiareň dobre zapojená, zapnutá a nastavená. V dialógovom okne Tlač môžete zmeniť tlačiareň alebo vlastnosti tlače, rozsah tlače z Všetko buď na rozsah stránok alebo označenú oblasť. Alebo môžete nastaviť počet kópií od 1, ktorá je nastavená ako východzia, na akokoľvek veľa chcete. Za predpokladu, že váš počítač je napojený na tlačiareň, odošlite dokument tlačiarni kliknutím na (_OK_). Uložením pracovného listu uchováte vašu prácu na neskoršie použitie alebo upravenie.
42 (2) Hľadanie koreňov polynómu Uložte pracovný list pomocou príkazu Súbor>Uložiť ako. DERIVE navrhuje uloženie súboru do priečinku Users. Vy si však môžete vybrať iný priečinok z rolovacej ponuky políčka Uložiť ako. Tentokrát nechajte navrhnutý priečinok a zadajte názov súboru kapitola02 do políčka Názov súboru. Potom zatvorte dialógové okno kliknutím na (_Uložit_). Všimnite si nadpis okna. Predtým tam bolo [Algebra 1], z čoho vidieť, že pracovný list Algebry nebol pomenovaný. Teraz tam je [Algebra 1 kapitola02.dfw], z čoho je zase vidieť, že je to pracovný list Algebry s názvom kapitola02.dfw. Prípona.dfw je automaticky pridaná, ak ste vy sami nevybrali inú príponu ako časť názvu súboru. Ukončite DERIVE.