7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ (, = + ( +... +! το πολυώνυµο Tylor ( κέντρου και τάξης της. ηλαδή =Ρ, +,, Ι. Αν το είναι πολύ κοντά στο το σφάλµα στην προσέγγιση της στο γίνεται µικρό, υπό την έννοια ότι, ( Ρ (,, lim = lim =. Πράγµατι, για = έχοµε ότι, ( lim = lim = ή µε τον παραπάνω Ρ(, (, συµβολισµό lim = lim =, ( δηλαδή, όχι µόνο ισχύει, Ρ (, lim ( Ρ (, = αλλά και ακόµα περισσότερο lim =. Προχωρούµε µε επαγωγή στο 2. Υποθέτουµε ότι το θεώρηµα ισχύει για κάθε συνάρτηση που είναι φορές παραγωγίσιµη και έστω : Ι φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση στο Ι και Ι., =Ρ, έπεται ότι Αν Ρ είναι το πολυώνυµο Tylor της, επειδή lim ( Ρ (, = =. Προφανώς ισχύει ότι, ( lim =. Συνεπώς από τον κανόνα L Hospitl έχουµε: (, (, Ρ Ρ(, lim = lim = lim = Ρ(, ( Ρ(, Το όριο, ( ( προφανώς το (, lim = =. συνάρτησης lim = από την επαγωγική υπόθεση και εφόσον. Ρ είναι το πολυώνυµο Tylor ( τάξης στο της 7
8 Παράδειγµα. Έστω, = τότε Ρ (, = + +... + και + (, =,! Πράγµατι =,,, όπως αποδεικνύεται επαγωγικά, έτσι, ( ( ( + =!,. Συνεπώς ( ( 2 Ρ (, = ( + ( +... +! = + + +... +. Επίσης + +... + (, = Ρ (, = ( + +... + = 2 + ( + +... + + ( + +... + + + + = = Έστω τώρα είναι της τάξης C + Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι µια συνάρτηση που, τότε το υπόλοιπο Tylor (,, µορφές: υπολοίπου παίρνει τις ακόλουθες ( +, = t ( t, Ι! ( ολοκληρωτική µορφή του καθώς και την µορφή, ( + +, = ξ, Ι,! ( + ξ µεταξύ και ( µορφή Lgrge του υπολοίπου. = για κάποιο Περιγράφουµε σύντοµα την απόδειξη αυτών των αποτελεσµάτων: Έστω Ι µε το οποίο σταθεροποιούµε. Ορίζουµε µια συνάρτηση ϕ : Ι µε τον ακόλουθο τρόπο, ( ( t ϕ ( t = (, t = Ρ (, t = ( t + ( t( t +... + ( t!. ηλαδή θεωρούµε το υπόλοιπο Tylor ως συνάρτηση του κέντρου t. ϕ =, Παρατηρούµε ότι: και 2 ( ( ϕ =, = Ρ, = =. Επίσης µε παραγώγιση της σχέσης ( ( t =Ρ (, t + ϕ( t = ( t + ( t( t +... + ( t + ϕ ( t ως προς t,! ( + παίρνουµε τον τύπο: 3 ϕ t = ( t ( t, t Ι.! 8
9 Αποδεικνύουµε τώρα την ολοκληρωτική µορφή του υπολοίπου Tylor: Από το θεµελιώδες θεώρηµα του Απειροστικού Λογισµού έχουµε: ( η ϕ συνεχής στο Ι ( + ϕ ϕ = ϕ t = ( t ( t!. Επειδή ϕ = έπεται η ολοκληρωτική µορφή του υπολοίπου, ( +, = ϕ = ( t ( t!. Καθόσον αφορά την µορφή Lgrge του υπολοίπου Tylor, εφαρµόζουµε το θεώρηµα µέσης τιµής του Cuchy στο διάστηµα µε άκρα και για τις συναρτήσεις ( t ϕ και + g t t ( + ϕ ϕ ϕ ξ ( ξ( ξ! = = = g g g + +! ( ξ Άρα ϕ (, ( + = και βρίσκουµε ξ µεταξύ και ώστε: ( ( ξ = = ξ! ( + + ( + ( ξ g ϕ = =. ιατυπώνουµε και αποδεικνύουµε τώρα το θεώρηµα µέσης τιµής του Cuchy που χρησιµοποιήσαµε στην µορφή Lgrge του υπολοίπου Tylor.. Θεώρηµα ( Cuchy Έστω ϕ, g :[, b] είναι συνεχείς στο [, b ] και παραγωγίσιµες στο (, b. Τότε υπάρχει ξ (, b ώστε, ( ϕ ϕ( b g ( ξ = ( g g( b ϕ ( ξ ( Αν g g( b και g ( ξ τότε η ( γράφεται ως εξής ϕ ϕ( b ϕ ( ξ =. g g( b g ( ξ. συναρτήσεις οι οποίες Απόδειξη: Εφαρµόζουµε το θεώρηµα µέσης τιµής του ιαφορικού Λογισµού ( στην µορφή του θεωρήµατος olle στην συνάρτηση h ϕ ϕ b g g g b ϕ, b. ( =, [ ] Επειδή h h( b =, υπάρχει ξ (, b ώστε h ξ =. Έτσι έπεται η (. Σηµείωση. Αν g =, [, b], τότε g, [, b] συνηθισµένο θεώρηµα µέσης τιµής του ιαφορικού Λογισµού. = και έτσι έχουµε το 9
2 Σειρές Tylor Έστω Ι ανοικτό διάστηµα, Ι και : Ι C διαφορίσιµη συνάρτηση. Μπορούµε τότε να σχηµατίσουµε την σειρά Tylor της στο ( µε κέντρο το Ι ( ( ( + ( +... + +... =! =! Είναι προφανές ότι η ( συγκλίνει τουλάχιστον για = µε άθροισµα (. Το ενδιαφέρον βέβαια είναι για ποια άλλα σηµεία του Ι ( εκτός του η σειρά Tylor της συνάρτησης. Με άλλα λόγια υπάρχουν συγκλίνει και µάλιστα στην τιµή Ι µε ώστε Επειδή προφανώς ισχύει ότι, (2 ( = ; =! ( k k (3 = + k= k!,, Ι, N ο τύπος (2 ισχύει ακριβώς, για εκείνα τα Ι ώστε: lim, = (4 ( Αν για Ι, ισχύει lim (, = = =! σειρά Tylor κέντρου παριστάνει την στο., τότε λέµε ότι η Παράδειγµα. Έστω =, ( ( = ( + ( +... + +... = + +... + +... =, <.! Πράγµατι, όπως αποδείξαµε πριν +, =,. + lim, = lim = Ρ (, = + +... + και Επειδή, Παρατηρούµε ότι για η σειρά = τότε =Ρ, +,,, όπου, για κάθε < έπεται το συµπέρασµα. αποκλίνει. = Ένα χρήσιµο κριτήριο ( ικανή συνθήκη που εξασφαλίζει ότι η σειρά Tylor της κέντρου Ι, παριστάνει την στο διάστηµα Ι είναι το ακόλουθο. 2
2.2 Θεώρηµα Έστω Ι ανοικτό διάστηµα, Ι και : Ι C διαφορίσιµη συνάρτηση. Υποθέτουµε ότι υπάρχει Μ> ώστε, ( Μ για κάθε Ι και για κάθε. Τότε η σειρά Tylor της κέντρου παριστάνει την για κάθε Ι. ηλαδή ( = για κάθε Ι. =! Απόδειξη: Έστω Ι µε. Θεωρούµε την ολοκληρωτική µορφή του υπολοίπου Tylor. Υποθέτουµε ότι > τότε έχουµε: ( + (, ( + = ( t ( t! (, ( t t! Μ Μ ( t! = =Μ! + +! + + ( Ανάλογα εργαζόµαστε αν <. Αν χρησιµοποιούσαµε την µορφή Lgrge θα είχαµε ότι, (, ( = ( + ( ξ( ( +! + ( + +, Μ.! Εφαρµογές: Πράγµατι, ( e Συνεπώς αν, για κάποιο e =,.! ξ µεταξύ και. Συνεπώς = = e για κάθε e = e για κάθε = e τότε ( = e =,. 2 Έπεται ότι Ρ (, = + + +... +,, 2!! Επειδή αν > τότε η, για κάθε. = είναι φραγµένη στο διάστηµα [, ] από την προηγούµενη πρόταση ότι lim (, = για κάθε [, ] > τυχών θετικός αριθµός έχουµε το συµπέρασµα. 2 Επειδή, όπως αποδεικνύεται µε επαγωγή, ( 2 ηµ = ηµ,, ( συνεπώς, ( 2+, έπεται. Επειδή ηµ = συν και ( 2 ( 2 ηµ =, ηµ + = και ηµ για κάθε, για κάθε από την προηγούµενη πρόταση βρίσκουµε, ηµ Αν, ( 2+ 2+ =, 2! = ( + = συν τότε έχουµε, + συν = ηµ,, Έτσι βρίσκουµε συν ( 2 κάθε, για κάθε. ( + συν ( 2 = και συν 2 =,, επίσης = συν και συν για 2
22 Έπεται ότι: συν 2 =,. 2! = Σηµείωση. Με ανάλογες µεθόδους υπολογίζουµε τα ακόλουθα αναπτύγµατα: + + log + =, < ( ακριβέστερα (,]. = + 2Αν, τότε ( + =, <, όπου, =, = = (...( +,! 2+ 3 τοξεϕ = (, [,]. Η συνάρτηση y= τοξεϕ ορίζεται ως = 2+ εξής: π π και τοξεϕ = y εϕ y= και y, 2 2 + =εφy - y y - =εφy - π π τοξεϕ = y, 2 2 τοξ εϕ =,. + Υπενθυµίζουµε ότι, 2 22