ΤΜ ΙΙΙ Ασκήσεις : Ι. Βαρδουλάκης & Ι. Στεφάνου, Οκτώβριος 005 Ασκήσεις στην ελαστική γραµµή Γενικές Εξισώσεις () p w ( x) = x+ M ( x) = w ( x) p w ( ) ( ) ( ) ( ) ( x) = x + x+ onst x p x onst x dm x = = () = Q( x) w ( x) = p( x) dx p w ( x) = x + x + x+ dq( x) 6 = p( x) dx p w( x) = x + x + x + x+ 6 Εφαρµογές. Η γέφυρα (άσκ. σελ.6 TM) Εικόνα. Μία αληθινή κατασκευή
ΤΜ ΙΙΙ Ασκήσεις : Ι. Βαρδουλάκης & Ι. Στεφάνου, Οκτώβριος 005 Εικόνα. Το στατικό µοντέλο της γέφυρας. Στις πεζογέφυρες η τυπική τιµή του φορτίου σχεδιασµού ισούται µε 0,5t/m. Για πεζογέφυρα δε πλάτους ενός µέτρου το φορτίο αυτό ανάγεται σε 0,5t/m. Στις σιδηροδροµικές γέφυρες η τυπική τιµή του φορτιού σχεδιασµού λαµβάνει πολύ µεγαλύτερες τιµές που αγγίζουν τους 00t/m. Για περισσότερες πληροφορίες ανατρέξτε σε µαθήµατα µεγαλύτερου εξαµήνου (Σιδηρές Γέφυρες 9 ο εξάµηνο). Το µέτρο ελαστικότητας (E) του χάλυβα ισούται µε 0GPa. Στο συγκεκριµένο παράδειγµα θα θεωρήσουµε ότι το φορτίο σχεδιασµού ισούται µε 0,5t/m, ότι η διατοµή της δοκού εµφανίζει ροπή αδρανείας (I) ίση µε 0000 m και ότι το άνοιγµα (l ) είναι 0m. Όπως θα δούµε το βέλος κάµψης γι αυτές τις παραµέτρους είναι της τάξεως του χιλιοστού.
ΤΜ ΙΙΙ Ασκήσεις : Ι. Βαρδουλάκης & Ι. Στεφάνου, Οκτώβριος 005 Εκδοχή : Ύπαρξη µεσαίας ακλόνητης στήριξης Εικόνα. Η δοκός χωρισµένη σε δύο µέρη για την επίλυση του προβλήµατος. Παρατήρηση: Χρειαζόµαστε 8 εξισώσεις για τον προσδιορισµό των 8 άγνωστων σταθερών του προβλήµατος ( για κάθε τµήµα της δοκού, βλ. γενικές εξισώσεις). Αυτές οι εξισώσεις θα προκύψουν από τις συνοριακές συνθήκες (άκρα δοκού, απαίτηση συνέχειας στο Β). Συνοριακές συνθήκες για το τµήµα της δοκού (): ( ) () ( ) BC: w BC: w 0 l BC: M 0 Συνοριακές συνθήκες για το τµήµα της δοκού (): ( ) () () BC: w BC5: w 0 l BC6: M l Συνοριακές συνθήκες για την εξασφάλιση της συνέχειας της δοκού στο Β: () = ( ) () = ( ) BC7: w l w 0 BC8: M l M 0 Από τις BC, BC, και BC λαµβάνουµε αντίστοιχα : w M w ( 0) ( ) w ( ) w ( ) ( 0) 0 0 0 Ενώ από τις BC, BC6 και BC5 : Οι άνω δείκτες των σταθερών υποδηλώνουν το τµήµα της δοκού.
ΤΜ ΙΙΙ Ασκήσεις : Ι. Βαρδουλάκης & Ι. Στεφάνου, Οκτώβριος 005 p p w() l l + l + l = l l 6 6 p p M() l w () l l + l + = l l p p w() l l + l + l + l = l l l 6 6 Αντικαθιστώντας τη σταθερά στην έκφραση της προκύπτει: p p 5 = p l l l l l l 6 + + = + Τέλος, από τις εξισώσεις των BC7 και BC8 έχουµε: p p w () l = w ( 0) l + l + = = l + l 6 8 p M() l = M ( 0) w () l = w ( 0) w () l = w ( 0) l + l = Συνοψίζοντας: = = () : p = l l 6 () : p = l l () : 5 p = l + l () : p = l + l 8 (5) : p = l + l Παρατήρηση: Εν γένει για τη λύση τέτοιων συστηµάτων εξισώσεων είναι σκόπιµο να εκφράζονται όλες οι σταθερές συναρτήσει µίας επιλεγµένης. Συνδυάζοντας τις εξ. () και (5) λαµβάνουµε: p p l + l = l l p (6) : = l
ΤΜ ΙΙΙ Ασκήσεις : Ι. Βαρδουλάκης & Ι. Στεφάνου, Οκτώβριος 005 5 ενώ οι () και () δίνουν: (7) : p = l 8 Προσθέτοντας την (6) µε την (7) υπολογίζουµε: 5 p = l 8 και: p = l 8 Συνεπώς: p = l 8 p = l 8 = = = Με βάση τις ανωτέρω σταθερές µπορούµε να υπολογίσουµε την ελαστική γραµµλη της δοκού: p w x w x x lx l x 6 8 Για τα x [ 0, l] : ( ) = ( ) = + Για τα x [ l,l] : w( x) = w ( x l) = ( x l) l( x l) + l ( x l) p 5 8 6 x Εισάγοντας την αδιάστατη ποσότητα: ξ = οι παραπάνω εξισώσεις l µετασχηµατίζονται στις: Για ξ [ 0,] : w( ) pl 6 8 ξ = ξ ξ + ξ
ΤΜ ΙΙΙ Ασκήσεις : Ι. Βαρδουλάκης & Ι. Στεφάνου, Οκτώβριος 005 6 pl 5 8 6 Για ξ [, ] : w( ξ) = ( ξ ) ( ξ ) + ( ξ ) w(x) [mm] 0 6 8 0 6 8 0 0,0,0,0 6,0 8,0 0,0,0,0 x[m] Παρατήρηση: Η συµµετρία του προβλήµατος (συµµετρική γεωµετρία, φόρτιση και µηχανικά χαρακτηριστικά) οδηγεί σε συµµετρική λύση w(x). Αυτού του είδους η συµµετρία θα µπορούσε να βοηθήσει δραστικά στη µείωση των απαιτούµενων υπολογισµών, και αυτό γιατί θα µπορούσαµε να λύσουµε τη διαφορική εξίσωση ενός µόνο από τα δύο τµήµατα της δοκού επιβάλλοντας παράλληλα µηδενική στροφή στο µέσον Β (w (l)=0). Επιπλέον λαµβάνουµε: Για ξ [ 0,] : w ( ) w ( ) pl ξ = ξ = ξ ξ + 6 6 8 M ( ξ ) = w ( ξ) = w ( ξ) = pl ξ ξ 8 () () Q( ξ) = w ( ξ) = w ( ξ) = pl ξ 8 pl 5 6 6 8 5 M ( ξ) = w ( ξ) = w ( ξ ) = pl ( ξ ) ( ξ ) + 8 8 () () Q( ξ) = w ( ξ) = w ( ξ ) = pl ξ 8 Για ξ [, ] : w ( ξ) = w ( ξ ) = ( ξ ) ( ξ ) + ( ξ ) M(x) [kn/m] -80,0-60,0-0,0-0,0 0 6 8 0 6 8 0 0,0 0,0 0,0 x[m]
ΤΜ ΙΙΙ Ασκήσεις : Ι. Βαρδουλάκης & Ι. Στεφάνου, Οκτώβριος 005 7 Q(x) [kn/m] -0,0-0,0-0,0-0,0 0 6 8 0 6 8 0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 x[m] Η µέγιστη βύθιση υπολογίζεται ως εξής: sym p w ( xmax ) w ( xmax ) xmax lxmax + l 8xmax 9lxmax + l 6 6 8 ( ) ( ) 8x 8lx lx + l 8x x l l x l max max max max max max ( ) ( )( ) ( )( ) 8x x l l x l x + l 8x lx l x l max max max max max max max + xmax l xmax l ( xmax l) 6 6 εδοµένου ότι xmax [0, l] : + xmax = l 0, l 6 Προφανώς το x max αντιστοιχεί σε τοπικό µέγιστο. Συνεπώς η δοκός εµφανίζει σε δύο σηµεία µέγιστο βέλος κάµψης (συµµετρία). Αυτά είναι τα: xmax 0, l και xmax l 0,l =,58l Σχετικά µε τη µέγιστη και ελάχιστη τιµή της ροπής M έχουµε: Για dm dx xm max xmmax [0, l] 0 Q( xm ) p x 0,8 max M l x max M = l l max 8 8 Είναι επίσης προφανές ότι η θέση x M max αντιστοιχεί σε τοπικό µέγιστο. = p p p pl 0,8 0, 0, 09 0,6 0, 07 0 8 = 8 = = < w ( x ) x lx l l m m m ( l l )
ΤΜ ΙΙΙ Ασκήσεις : Ι. Βαρδουλάκης & Ι. Στεφάνου, Οκτώβριος 005 8 Οπότε: 9 M ( xm ) = p l l = l p = pl max 8 8 8 8 και: M ( xm ) M () l p = = l l pl min = 8 8 Ισορροπία στο σηµείο A δίνει: Σ F = V + Q = V = Q = + pl 8 ( ) y 0 A ( 0) 0 A ( 0) ενώ στο σηµείο C: Σ F V Q l V = Q l = p l l = + pl 8 8 ( ) y C ( ) C ( ) Ισορροπία στο B δίνει: + ( ) Fy VB Q( l ) Q( l ) Σ + 5 5 5 VB = p l l p l l p l p l pl 8 = + = 8 8 8 Ελέγχουµε ότι: VA = VC και VA + VB + VC = pl. Παρατήρηση: Τα αποτελέσµατα των υπολογισµών µας πρέπει πάντα να επαληθεύονται είτε ακολουθώντας διαφορετικούς τρόπους επίλυσης, είτε εκτελώντας πειράµατα. Συγχρόνως πρέπει πάντοτε να συµφωνεί και η «διαίσθησή» µας µε τα εξαγόµενα αποτελέσµατα και για αυτό το λόγο απαιτείται η καλλιέργεια της. υστυχώς οι συνέπειες ενός υπολογιστικού λάθους δύναται να είναι ολέθριο. Τα παραδείγµατα είναι πολυάριθµα d M dx p < 0
ΤΜ ΙΙΙ Ασκήσεις : Ι. Βαρδουλάκης & Ι. Στεφάνου, Οκτώβριος 005 9 Εκδοχή : Ύπαρξη µεσαίας ενδόσιµης στήριξης Εικόνα. Το προκύπτον στατικό µοντέλο από την αντικατάσταση της µεσαίας ακλόνητης στήριξης µε ελατήριο (ενδόσιµη στήριξη). Με αυτό τον τρόπο είθισται να λαµβάνεται υπόψη στις κατασκευές η συµπεριφορά του εδάφους. Εικόνα 5. Το υπό µελέτη τµήµα της δοκού εκµεταλλευόµενοι τη συµµετρία του προβλήµατος. Εν προκειµένω θα εκµεταλλευτούµε τη συµµετρία του προβλήµατος: Συνοριακές συνθήκες: ( ) ( ) = ( ) () = () = BC: w 0 BC: Q 0 0,5kw 0 BC: w l 0 BC: M l 0 Από την BC λαµβάνουµε ότι: Ενώ από τη BC: () 0, 5k Q( 0) = w ( 0) = = kw( 0) = Θέτοντας 0,5k k προκύπτει ότι: = k Η BC δίνει: p w () l = l + k l και τελικά η BC:
ΤΜ ΙΙΙ Ασκήσεις : Ι. Βαρδουλάκης & Ι. Στεφάνου, Οκτώβριος 005 0 p w() l l k l + l + 6 p l ( k + l ) + l Αντικαθιστώντας τη σταθερά στην παραπάνω εξίσωση λαµβάνουµε: p p l + ( k l ) + l l + k l p 5 p 5 l 8 ( l k + + ) = l 8 lk Έτσι: 5 p 8 k = l και ( + lk ) 5 = ( + lk ) p l k l ( + ) Έχοντας πλέον προσδιορίσει όλες τις άγνωστες σταθερές του προβλήµατος µπορούµε να εκφράσουµε αναλυτικά την εξίσωση της ελαστικής γραµµής της δοκού: 5 p 5 p k p 5 p l k 5 p w( x) = x l x l x + x + l = 8 6 8 ( + lk ) ( + lk ) ( + lk ) p p 5 k pl 6 = x l x + x + lx + = 8 + k ( lk ) p k 6 = x l x + 5l x lx + + 8 ( + lk ) k x Εισάγοντας την αδιάστατη ποσότητα: ξ = η ανωτέρω εξισώσεις λαµβάνουν τη l µορφή: pl 5k l 0 w( ξ ) = 8 ξ ξ + lk ξ + ξ + lk ( ) ( ) + ( + )
ΤΜ ΙΙΙ Ασκήσεις : Ι. Βαρδουλάκης & Ι. Στεφάνου, Οκτώβριος 005 Εάν k + τότε: pl pl 5 lim w( ξ ) 5( ) k 8 ξ ξ ξ ξ ξ 8 ξ 6 ξ = + + = + w(x) [mm] 0 6 8 0 6 8 0 0,0,0,0 6,0 8,0 0,0,0,0 x[m] ( k + ) Επαληθεύουµε ότι αυτή η εξίσωση ταυτίζεται µε εκείνη στην οποία είχαµε καταλήξει στην περίπτωση ακλόνητης στήριξης. Εάν k τότε: pl pl 5 w( ξ ) ( 0) 8 ξ ξ ξ ξ = + = + και, M x w x px pl p l x ( ) = ( ) = + = ( ) Μετασχηµατίζοντας της συντεταγµένες µε x = x+ l λαµβάνουµε: ( ) ( ) ( ) M ( x) M ( x l) = w ( x l) = p l ( x l) = px l x = px L x Και υπολογίζουµε τη ροπή στο µέσον της δοκού ίση µε: L L L L M = p L = p 8,που είναι και η αναµενόµενη τιµή.
ΤΜ ΙΙΙ Ασκήσεις : Ι. Βαρδουλάκης & Ι. Στεφάνου, Οκτώβριος 005 w(x) [mm] 0 6 8 0 6 8 0 0,0 50,0 00,0 50,0 00,0 50,0 00,0 x[m] ( k ) Εάν k, τότε: w(x) [mm] 0 6 8 0 6 8 0 0,0,0,0 6,0 8,0 0,0,0,0 x[m] ( k,) Εάν k = τότε: pl 5l 0 w( ξ) = ξ ξ + ξ + ξ + 8 l l ( ) ( ) + ( + ) w(x) [mm] 0 6 8 0 6 8 0 0,0,0,0 6,0 8,0 0,0,0,0 x[m] ( k = )
ΤΜ ΙΙΙ Ασκήσεις : Ι. Βαρδουλάκης & Ι. Στεφάνου, Οκτώβριος 005 Η ενισχυµένη δοκός (άσκ. σελ.6 TM) Εικόνα 6. Το στατικό µοντέλο της ενισχυµένης στο µέσον δοκού. Για υπολογιστικούς λόγους, θα εκµεταλλευτούµε τη συµµετρία του προβλήµατος. Εκτός του ότι το πρόβληµα είναι συµµετρικό, παρατηρούµε ότι ο φορέας είναι ισοστατικός, πράγµα που σηµαίνει ότι το διάγραµµα των εντατικών µεγεθών είναι εκ των προτέρων γνωστό. Αυτές οι δύο παρατηρήσεις, δηλαδή η συµµετρία και η ισοστατικότητα του φορέα θα µας βοηθήσουν ιδιαίτερα στους υπολογισµούς. Αναλυτικότερα: M ( x) = qx( L x) = qx + qxl = qx + qxl,όπου L=l=6m Όµως, Για x [ 0, l] M ( x) = w ( x) w ( x) = M ( x) q w x = M x dx = x x l + ( ) ( ) ( 9 ) q w x = w x dx = x x l + x+ ( ) ( ) Από τη στήριξη στο άκρο της δοκού ισχύει w ( 0) και συνεπώς λαµβάνουµε:
ΤΜ ΙΙΙ Ασκήσεις : Ι. Βαρδουλάκης & Ι. Στεφάνου, Οκτώβριος 005 7ql w l = + () 5ql w l = + l () Για x [ l,l] q w x = x x l + ( ) ( 9 ) q w x = x x l + x+ ( ) 7ql w l = + () 5ql w l = + l+ () Η συµµετρία του προβλήµατος επιβάλει : l w 7 ql 7 ql + = E I a E I Απαιτώντας τη συνέχεια της δοκού στο x = l λαµβάνουµε: () () w l = w l 7ql 7ql 7 ql + = + a a ql = + a Στο ίδιο αποτέλεσµα θα καταλήγαµε εάν: ( ) ( ) 7ql 0ql w l = w l + = + a
ΤΜ ΙΙΙ Ασκήσεις : Ι. Βαρδουλάκης & Ι. Στεφάνου, Οκτώβριος 005 5 Επίσης: () () w l = w l 5ql 5ql + l= + l+ a 5ql = ( ) l a ql 5ql = a a 9ql = a Εποµένως, Για x [ 0, l] qx ql w ( x) = ( x 9l) + + a ql q w ( x) = x x l+ + x a και για x [ l,l] q 7ql w ( x) = ( x 9x l) + a ( ) w x x x l E I q 7ql 9ql = + x + a a E I x Εισάγοντας την αδιάστατη ποσότητα: ξ = οι ανωτέρω εξισώσεις γίνονται: l
ΤΜ ΙΙΙ Ασκήσεις : Ι. Βαρδουλάκης & Ι. Στεφάνου, Οκτώβριος 005 6 Για ξ [ 0,] w ql ql ξ = ξ ξ + + ξ a ( ) και για ξ [, ] w ( ξ) ql 7ql 9ql = ξ ξ + ξ + a a 0 5 6 0,0 x[m] 0,5,0,5 w(x) [mm],0,5 α=,0 α=e8 α=0,5,5,0