Κεφάλαιο 3: Οι εκδοχές και της ΜΠΣ στη - διάσταση Μέχρι τώρα είδαμε την εκδοχή της ΜΠΣ (με γραμμικά πολυώνυμα βάσης) στην οποία η σύγκλιση επιτυγχάνεται με την εκλέπτυνση του πλέγματος δηλ 0 Κατά τη δεκαετία του 980 δύο άλλες εκδοχές της ΜΠΣ εμφανίστηκαν: η εκδοχή και η εκδοχή Στην πρώτη το πλέγμα δεν εκλεπτύνεται (δηλ παραμένει σταθερό) ενώ ο βαθμός των πολυωνύμων βάσης αυξάνεται για να επιτύχουμε σύγκλιση (εξού και το όνομα εκδοχή της ΜΠΣ) Αν η ακριβής λύση είναι ομαλή (πχ αναλυτική συνάρτηση) τότε ο ρυθμός σύγκλισης δύναται να είναι εκθετικός Η εκδοχή συνδυάζει τις δύο προηγούμενες δηλαδή εκλεπτύνουμε το πλέγμα και αυξάνουμε το βαθμό των πολυωνύμων βάσης Το πλεονέκτημα της εκδοχής είναι ότι ακόμα και αν η λύση δεν είναι ομαλή και έχει ιδιομορφίες (sngulartes) ο ρυθμός σύγκλισης δύναται και πάλι να είναι εκθετικός αν το πλέγμα και οι βαθμοί των πολυωνύμων βάσης επιλεχτούν κατάλληλα Θα επανέλθουμε σε αυτό το σημείο στο Κεφ 7 Θα δούμε τώρα τη κατασκευή της λύσης πεπερασμένων στοιχείων στη πιο γενική της μορφή δηλ θα υποθέσουμε ότι το πλέγμα είναι τυχαίο και ότι στο κάθε στοιχείο χρησιμοποιούμε πολυώνυμα βάσης βαθμού Με αυτό το τρόπο μπορούμε να μελετήσουμε και τις τρεις εκδοχές της ΜΠΣ ταυτόχρονα Θα θεωρήσουμε το εξής ΠΣΤ: (3) όπου d( x) u ( x) c( x) u( x) f ( x) x (0 ) u(0) u( ) 0 > 0 δοθείσα σταθερά και d c L (I) f L (I) δοθείσες συναρτήσεις που ικανοποιούν d(x) > 0 c(x) 0 για όλα τα x [0 ] Η μεταβολική μορφή είναι: να βρεθεί η uh ( ) τέτοια ώστε 0 B( u w) F( w) wh ( ) όπου 0
(3) B( u w) d( x) u ( x) w ( x) c( x) u( x) w( x) dx F( w) f ( x) w( x) dx 0 0 Το διακριτό πρόβλημα είναι: να βρεθεί η u ( ) S H0 τέτοια ώστε B( u w) F( w) ws H ( ) όπου S ο υπόχωρος πεπερασμένης διάστασης που θα περιγράψουμε στη συνέχεια 0 3 Ο χώρος S ( ) Αρχίζουμε με ένα τυχαίο πλέγμα Δ που αποτελείται από τα (δοθέντα) κομβικά σημεία Δ : 0 = x < x < < x < x+ = και συμβολίζουμε με Ω το στοιχείο : Ω = (x x+) Ορίζουμε επίσης το στοιχείο αναφοράς (reference element) Ω = ( ) και παρατηρούμε ότι απεικονίζεται στο Ω με τη (γραμμική) απεικόνιση ( ) ( ) (33) x Q ( ) x x Η αντίστροφη απεικόνιση είναι (34) x x x Q ( x) x x x Μπορούμε δηλαδή να πάμε από το ένα στοιχείο στο άλλο (βλ Σχήμα 3) χρησιμοποιώντας τις απεικονίσεις (33) (34) Σχήμα 3: Η γραμμικές απεικονίσεις Q ( ) και Q ( x) Ορίζουμε το χώρο ενέργειας E( ) u : B( u u)
3 ο οποίος για το πρόβλημα μας είναι ο H ( ) 0 Με Π(Ω) το χώρο όλων των πολυωνύμων βαθμού που ορίζονται στο Ω ορίζουμε το χώρο πεπερασμένων στοιχείων (35) S ( ) u E( ) : u Q ( ) ( ) Με άλλα λόγια ο S ( ) είναι ο χώρος των συναρτήσεων που ανήκουν στο χώρο ενέργειας Ε(Ω) και που η απεικόνισή τους στο στοιχείο του πλέγματος είναι πολυώνυμο βαθμού = Οι συναρτήσεις βάσης του S ( ) θα οριστούν με τέτοιο τρόπο έτσι ώστε όταν προσθέτουμε μια καινούργια συνάρτηση (πολυώνυμο) στη βάση (δηλ αυξάνουμε τη διάσταση του υπόχωρου) οι υπάρχουσες συναρτήσεις δεν θα επηρεαστούν Τέτοιου είδους βάσεις καλούνται ιεραρχικές (erarccal) Έστω τώρα και στη συνέχεια P(t) το βαθμού πολυώνυμο Legendre και έστω (36) N( ) N( ) N( ) ( ) 34 όπου ( ) P ( t) dt Τα πολυώνυμα Legendre ικανοποιούν τις εξής σχέσεις: ( n ) Pn ( x) (n ) xpn ( x) npn ( x) n (n ) P ( x) P ( x) P ( x) n n n n n Pn n Pn x Pn x n (37) () 0 ( ) ( ) 0 P( x) P( x) dx 0 Από τις ιδιότητες των πολυωνύμων Legendre (βλ Άσκηση 3) έχουμε ( ) P ( t) P ( t) 3 ( ) Επιπλέον ( ) () 0 3 και ( ) ( ) d 0 Οι δύο πρώτες συναρτήσεις βάσης Ν Ν καλούνται κομβικές/εξωτερικές (nodal/external) συναρτήσεις βάσης και οι υπόλοιπες Ν = 3 4 + καλούνται εσωτερικές (nternal) συναρτήσεις βάσης
4 Έτσι και ( ) san N N N N 3 dm S ( ) ( ) ( ) ο οποίος καλείται αριθμός βαθμών ελευθερίας (number of degrees of freedom) Μπορούμε να αυξάνουμε τον αριθμό αυτό με το να αυξάνουμε το Μ το ή και τα δύο μαζί Σημειώνουμε ότι η πιο πάνω παράσταση για τον αριθμό βαθμών ελευθερίας αντιστοιχεί στη περίπτωση που οι συνοριακές συνθήκες είναι τύπου Neumann αφού για συνοριακές συνθήκες Drclet οι δύο ακρινές εξωτερικές συναρτήσεις βάσης δεν χρειάζονται και έτσι ο πιο πάνω αριθμός θα είναι Παρατήρηση 3: Κάθε S ( ) είναι συνεχής συνάρτηση και επιπλέον ψ H (Ω) που σημαίνει ότι S ( ) H ( ) Άρα στόχος μας είναι να προσεγγίσουμε μια συνάρτηση ψ H (Ω) (πχ τη λύση του μεταβολικού προβλήματος) σε κάθε στοιχείο με κάποιο γραμμικό συνδιασμό των συναρτήσεων N N N3 N 3 Υπολογισμός του πίνακα ακαμψίας και του διανύσματος φορτίου Βάση των προηγουμένων έχουμε να λύσουμε το διακριτό πρόβλημα: να βρεθεί η u S ( ) τέτοια ώστε B( u w) F( w) w S ( ) όπου η διγραμμική μορφή Β και το γραμμικό συναρτησιακό F δίδονται από τη (3) Γράφουμε τη διγραμμική μορφή ως όπου ( [ ] ) ( ) B u w B u w
5 x [ B ] ( u w) d( x) u( x) w( x) c( x) u( x) w( x) dx x και ο πίνακας που αντιστοιχεί στη πιο πάνω παράσταση καλείται πίνακας ακαμψίας για το στοιχείο και υπολογίζεται ως εξής: Έστω x x το μήκος πλέγματος του στοιχείου Από τις (33) (34) παίρνουμε Επομένως dx d Q x x Q x d dx ( ) ( ) ( ) [ ] du dw B ( u w) d( ) d c( ) u ( ) w( ) d d d όπου u ( ) u ( Q ( )) (και παρομοίως για τις d c w) Γράφουμε (38) [ ] [ ] u ( ) N ( ) w( ) N ( ) όπου N ( ) οι συναρτήσεις βάσης του χώρου S ( ) και [ ] [ ] σταθεροί συντελεστές Αν γνωρίζουμε τα Έχουμε [ ] τότε έχουμε τη λύση πεπερασμένων στοιχείων B u w d d c N N dd [ ] dn N [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d όπου (39) g [ ] [ ] [ ] [ ] dn N d( ) d g c( ) N ( ) N ( ) d [ ] [ ] d d Οι πιο πάνω πίνακες υπολογίζονται με αριθμητική ολοκλήρωση (πχ κατά Gauss) Στην ειδική περίπτωση που οι συναρτήσεις d(ξ) c(ξ) είναι σταθερές τότε έχουμε και B u w d cg [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) dn N d g N ( ) N ( ) d [ ] [ ] d d Μπορούμε να υπολογίσουμε τους πιο πάνω πίνακες χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των πολυωνύμων Legendre Αρχίζουμε παρατηρώντας τα εξής:
6 g g (οι πίνακες είναι συμμετρίκοί) [ ] [ ] [ ] [ ] αν 34 [ ] [ ] [ ] [ ] 0 αν 34 Ορίζουμε έτσι τον λεγόμενο στοιχειώδη πίνακα ακαμψίας (elemental stfness matrx) / / 0 0 / / 0 0 [ ] 0 0 0 0 0 0 όπως επίσης και τον στοιχειώδη πίνακα μάζας (elemental mass matrx) ο οποίος για = 4 δίδεται από G [ ] g / 3 / 3 / 6 / (3 0) 0 / 3 / 3 / 6 / (3 0) 0 G / 6 / 6 / 5 0 / (5 ) / (3 0) / (3 0) 0 / 0 0 0 / (5 ) 0 / 45 Για 3 στη κύρια διαγώνιο του G έχουμε [ ] g N ( ) d ()(5) Επίσης λόγω της ορθογωνιότητας των πολυωνύμων Legrendre έχουμε ότι για 3 όλα τα στοιχεία (που δεν βρίσκονται στη κύρια διαγώνιο) του πίνακα G είναι μηδέν εκτός από [ ] [ ] g g N ( ) N ( ) d ( ) ( 3)( ) [ Επομένως η διγραμμική μορφή B ] ( u w ) γράφεται σε μορφή πινάκων ως [ ] T [ ] [ ] [ ] B ( u w) όπου [ ] T [ ] [ ] [ ] [ ] T [ ] [ ] [ ] [ ] d[ ] c[g] και
7 (στη περίπτωση που τα δεδομένα του προβλήματος c d είναι σταθερές) Με ανάλογο τρόπο χειριζώμαστε και το διάνυσμα φορτίου: με όπου f [ ] ( ) f Q ( ) x [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F w f x w x dx f x w x dx F w 0 x F ( w) f ( ) w( ) d f ( ) N ( ) d [ ] [ ] [ ] [ ] Αν ορίσουμε (30) τότε q f ( ) N ( ) d [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] T [ ] F( w) q q με [ ] T [ ] [ ] [ ] q q q q το στοιχειώδες διάνυσμα φορτίου (elemental load vector) τα στοιχεία του οποίου υπολογίζονται με αριθμητική ολοκλήρωση Η περίπτωση που η f είναι σταθερά και άρα τα στοιχεία [ ] q στην εξ (30) μπορούν να προ-υπολογιστούν αφήνεται σαν άσκηση (βλ Άσκηση 3) Μέχρι εδώ έχουμε κατασκευάσει τη στοιχειώδη σχέση (δηλ τη σχέση που ισχύει σε κάθε στοιχείο) ή ισοδύναμα B ( u w) F ( w) [ ] [ ] T [ ] [ ] [ ] [ ] T [ ] q Το επόμενο βήμα είναι η κατασκευή του καθολικού (global) γραμμικού συστήματος που αντιστοιχεί σε όλα τα στοιχεία (και του οποίου η λύση θα μας δώσει την u) Η διαδικασία αυτή καλείται συναρμολόγηση (assembly) και θα την δούμε πρώτα μέσω ενός παραδείγματος Παράδειγμα 3: Έστω η διγραμμική μορφή du dw B( u w) dx dx dx 0
8 (η οποία αντιστοιχεί στο d(x) = c(x) = 0 στην εξ (3)) έστω ότι το διάστημα (0 ) διαμελίζεται σε 3 στοιχεία τυχαίου μήκους (βλ Σχήμα 3) και έστω ότι οι βαθμοί των πολυωνύμων βάσης για το κάθε στοιχείο δίδονται από [] Σχήμα 3: Το πλέγμα για το Παράδειγμα 3 Τότε και γράφοντας 3 3 x 3 [ ] du dw du x dw B( u w) B ( u w) dx d dx dx d d [ ] [ ] έχουμε u ( ) N ( ) w( ) N ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] T [ ] ( ) ( ) ( ) B u w N N d [ ] T [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] όπου T και / / 0 0 / / 0 0 0 0 0 0 0 0 Στοιχείο ( = ): = Στοιχείο ( = ): = [] [] [] [] T / / B [] / / [] / / 0 [] [] [] [] T [] B 3 / / 0 [] 0 0 / 3 Στοιχείο 3 ( = 3): 3 = [3] / 3 / 3 0 [3] [3] [3] [3] T [3] B 3 / 3 / 3 0 [3] 0 0 / 3 3
9 [] [] [] [] [] [3] [3] [3] Τα πιο πάνω δείχνουν ότι αν βρούμε τους 8 συντελεστές 3 3 τότε θα έχουμε υπολογίσει τη u Μπορούμε να μείωσουμε το σύνολο των αγνώστων παρατηρώντας ότι στα άκρα του Ω = ( ) ισχύουν τα εξής: Άρα έχουμε αν αν N ( ) N () 0 αν 0 αν [ ] [ ] [ ] [ ] u ( x ) N ( ) u ( x ) N () Για να είναι η u συνεχής θα πρέπει να ισχύει u ( x ) [ ] [ ] που σημαίνει ότι για τα εσωτερικά κομβικά σημεία δεν χρειάζονται δύο άγνωστοι και μπορούμε να ξεφορτωθούμε τον ένα Έτσι μετονομάζουμε τους άγνωστους συντελεστές [ ] ως εξής: (βλ Σχήμα 33) [] [] [] [] [3] [3] [] [3] 3 4 5 3 6 3 Σχήμα 33: Οι συντελεστές της κάθε συνάρτηση βάσης [ ] Κάνουμε το ίδιο για τα και παίρνουμε έτσι τον 6 6 καθολικό πίνακα B / / 0 0 0 0 / / / / 0 0 0 T 0 / / / 3 / 3 0 0 6 0 0 / 3 / 3 0 0 6 0 0 0 0 / 0 0 0 0 0 0 / 3
0 Παρατήρηση 3: Ο πιο πάνω καθολικός/περιεκτικός πίνακας ακαμψίας είναι χωρίς περιορισμούς δηλ δεν έχουν ληφθεί υπόψη οι συνοριακές συνθήκες Αναφέρουμε επίσης ότι η πιο πάνω διαδικασία (δηλ η μετονομασία των αγνώστων και η κατασκευή του περιεκτικού πίνακα) διευκολύνεται μέσω ενός πίνακα δείκτη (onter matrx) max Αν στη θέση του πίνακα δείκτη υπάρχει το στοιχείο δηλ τότε αυτό σημαίνει ότι στο στοιχείο η συνάρτηση βάσης του στοιχείου αυτού αντιστοιχεί στην σύστημα Για το προηγούμενο παράδειγμα συνάρτηση βάσης στο καθολικό 0 3 5 3 4 6 Επομένως για κάθε πρόβλημα θα πρέπει να κατασκευάσουμε τον πίνακα δείκτη που του αντιστοιχεί έτσι ώστε να τον έχουμε για τη διαδικασία της συναρμολόγησης του καθολικού συστήματος όπως αυτή περιγράφεται στην επόμενη ενότητα 33 Κατασκευή του γραμμικού συστήματος Θα περιγράψουμε τη διαδικασία κατασκευής του (καθολικού) γραμμικού συστήματος για το ΠΣΤ: (3) d( x) u ( x) c( x) u( x) f ( x) x ( a b) u( a) u( b) 0 όπου b > a δοθείσες σταθερές και d c L (I) f L (I) δοθείσες συναρτήσεις που ικανοποιούν d(x) > 0 c(x) 0 για όλα τα x [a b] (Αντί για το διάστημα [0 ] θεωρούμε το πιο γενικό διάστημα [a b]) Η μεταβολική μορφή είναι: να βρεθεί η uh ( ) τέτοια 0 ώστε B( u w) F( w) wh ( ) όπου 0
b (3) B( u w) d( x) u ( x) w ( x) c( x) u( x) w( x) dx F( w) f ( x) w( x) dx a Ακολουθούμε τη διαδικασία της προηγούμενης ενότητας δηλαδή διαμελίζουμε το διάστημα [a b] σε Μ υποδιαστηματα (στοιχεία) χρησιμοποιώντας το τυχαίο πλέγμα b a x και θέτουμε x x (το μήκος πλέγματος του στοιχείου ) Με Ν(ξ) τις ιεραρχικές συναρτήσεις βάσης και με Q ( ) x x έχουμε ήδη δει ότι ο πίνακας που αντιστοιχεί στη παράσταση την απεικόνιση του στοιχείου x [ ] B( u w) B ( u w) d( x) u ( x) w ( x) c( x) u( x) w( x) dx x [ ] ( ) ( ) είναι το άθροισμα ενός πίνακα ακαμψίας με στοιχεία [ ] (33) d Q ( ) N( ) N( ) d και ενός πίνακα μάζας g με στοιχεία [ ] ( ) ( ) [ ] (34) g c Q ( ) N ( ) N ( ) d Με τον ίδιο τρόπο έχουμε για το διάνυσμα φορτίου και [ ] (35) x [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) F w F w f x w x dx x F f Q ( ) N ( ) d [ ] [ ] [ ] Αφού έχουμε λοιπόν υπολογίσει τα g F θέτουμε τους καθολικούς πίνακες K G μεγέθους ( ή αν έχουμε ΣΣ Neumann) να ισούνται αρχικά με μηδέν Στη συνέχεια σαρώνουμε όλα τα στοιχεία του πλέγματος (we loo over all elements n te mes) και υπολογίζουμε K K G K g [ ] [ ] m m m m όπου m (Αν το ή το m είναι 0 τότε παραλείπουμε το πιο πάνω βήμα) Κάνουμε το ίδιο για το διάνυσμα φορτίου: αρχικά θέτουμε F ίσο με το μηδενικό διάνυσμα (μήκους ) και στη συνέχεια
[ ] F F F ( 0) Με την αποπεράτωση των πιο πάνω θα καταλήξουμε στο γραμμικό σύστημα του οποίου η λύση u λύση πεπερασμένων στοιχείων (βλ (38)) K G u F περιέχει τους συντελεστές που μας επιτρέπουν να κατασκευάσουμε τη u u N Συγκεκριμένα για να βρούμε τη τιμή της u (y) για κάποιο y [a b] προχωρούμε ως εξής: Βρίσκουμε το στοιχείο στο οποίο βρίσκεται το y δηλ το έτσι ώστε y [x x+] Θέτουμε Q ( y) όπου η αντίστροφη απεικόνιση είναι Q u ( y) N ( ) y x x ( y) Τότε όπου u (δηλαδή το α είναι η συνιστώσα του u στη θέση που καθορίζεται από το δηλ το στοιχείο στη θέση του πίνακα δείκτη ) Μπορούμε επίσης να υπολογίσουμε τη νόρμα ενέργειας της λύσης πεπερασμένων στοιχείων: T ( ) u B u u u K G u E F u u F T 34 Εκτιμήσεις σφάλματος Η αφετηρία είναι και πάλι το Θεώρημα (Ceá s Lemma) που λέει ότι η λύση πεπερασμένων στοιχείων είναι η βέλτιστη προσέγγιση της u από τον υπόχωρο πεπερασμένης διάστασης Για το πρόβλημα του παρόντος κεφαλαίου u u C u w ws ( ) N E E Στην εκδοχή (που είδαμε στο Κεφάλαιο ) επιλέξαμε w I u το κατά-τμήματα βαθμού πολυώνυμο παρεμβολής της u στα κομβικά σημεία του πλέγματος Στις εκδοχές και
3 η επιλογή του w γίνεται διαφορετικά εκμεταλλεύοντας κάποιες από τις ιδιότητες των ορθογώνιων πολυωνύμων τις οποίες ανακαλούμε στη συνέχεια Έστω Ι = [ ] και u L (Ι) Τότε η u μπορεί να γραφτεί σαν μια άπειρη σειρά (36) u( ) a P( ) 0 όπου P(t) το βαθμού πολυώνυμο Legendre Ισχύουν τα εξής (βλ Άσκηση 36): (37) (38) lm u a P 0 0 0 I a u( ) P( ) d (39) u 0 I a 0 Τώρα έστω u(ξ) πολυώνυμο βαθμού Τότε για κάποιες σταθερές c και έτσι u ( ) c P( ) 0 u u a P c P a c P c P 0 I 0 0 0 I 0 0 I a c P c P a c P cp 0 0 a c a 0 Αν a = c τότε η πιο πάνω ποσότητα παίρνει τη μικρότερη δυνατή τιμή της δηλ το u u ελαχιστοποιήται αν το u είναι το πολυώνυμο Legendre για τη u 0 I Το πιο κάτω αποτέλεσμα μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας την ορθογωνιότητα των πολυωνύμων Legendre (βλ Άσκηση 37): ( )! P P d ( )! 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ά Τότε με u να δίδεται από την (36) ισχύει
4 ( ) ( )! ( ) u ( ) d a ( )! Για να το δούμε αυτό έστω u(ξ) πολυώνυμο βαθμού Τότε ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) u ( ) d ( ) c P ( ) d c c ( ) P ( ) P ( ) d ( )! c ( )! Αν το u είναι το πολυώνυμο Legendre βαθμού για την u τότε c = a Παίρνοντας το όριο όταν μας δίνει το ζητούμενο Τώρα έστω 0 ακέραιοι και για u L (I) ορίζουμε τη ποσότητα (30) ( ) V ( I ) u ( ) u ( ) d Για > 0 η πιο πάνω παράσταση ορίζει ημι-νόρμα ενώ για = 0 ορίζει νόρμα Ορίζουμε επίσης το συναρτησιακό χώρο (3) V ( ) I u L ( I ) : u V ( I ) και σημειώνουμε ότι για = 0 θα γράφουμε V ( I ) αντί για V ( ) 0 I Θεώρημα 3: Έστω u V ( I ) με u( ) ap( ) και έστω για 0 s mn{ } 0 / ( s)! u u u ( s)! s 0 I Vs ( I ) u ( ) a P( ) Τότε 0 Απόδειξη: Έχουμε ( s)!( s)! u u a a ( s)!( s)! 0 I ( s)! ( s)! a ( s)! ( s)! ( s)! ( s)! ( s)! u ( s)! u ( s) s Vs ( I ) s ( ) ( ) d
5 Πόρισμα 3: Έστω u V ( I ) Τότε καθώς u u C( ) u 0 I V ( I ) για κάθε πολυώνυμο u βαθμού Απόδειξη: Θέτουμε s = στο προηγούμενο θεώρημα και χρησιμοποιούμε το τύπο του Sterlng που λέει ότι (3) / ( )! e ( )! Θεώρημα 3: Έστω u H ( I ) Τότε υπάρχει πολυώνυμο u βαθμού τέτοιο ώστε () u ( ) u( ) () uu b 0 I () ( uu ) u u d b 0 I ( )( ) όπου b οι συντελεστές της σειράς Legendre για την u δηλ Απόδειξη: Έστω u b u( ) P( ) d 0 το πολυώνυμο Legendre βαθμού ( ) για τη u (όχι τη u) Τότε το () το έχουμε ήδη δείξει Ας δείξουμε το (): Ορίζουμε u ( ) u ( ) d u( ) το οποίο είναι πολυώνυμο βαθμού Τότε u ( ) u( ) Επίσης και Αφαιρώντας παίρνουμε u() u( ) u( ) d b u () u ( ) u ( ) d b 0 u() u () u( ) u ( ) 0 0 0
6 δηλαδή u() u () και έτσι δείξαμε το () Απομένει να δείξουμε το () Παρατηρούμε ότι u( ) u ( ) b P( t) dt b P( t) dt Έστω ( ) P( t) dt Η διαφορική εξίσωση του Legendre λέει η οποία δίνει ( ) ( ) ( ) P( ) ( ) P( ) ( ) P( ) 0 και Επομένως ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d P P d ( )! ( ) ( ) ( )! ( )( ) u u 0 I ( )( ) u u u u d d b ( ) d b Τα πιο πάνω μπορούν να συμμαζευτούν στο εξής θεώρημα Θεώρημα 33: Για κάθε u C ( I ) υπάρχει πολυώνυμο βαθμού u τέτοιο ώστε () u ( ) u( ) () ( s)! u u u ( ) ( s)! ( s) 0 I 0 I () ( s)! uu u ( s)! ( s) 0 I 0 I για κάθε s [0 ] Απόδειξη: Από το Θεώρημα 3 έχουμε ότι υπάρχει πολυώνυμο βαθμού u τέτοιο ώστε να ισχύει το () και επίσης uu b 0 I όπου b οι συντελεστές της σειράς Legendre για την u δηλ ( uu ) u u d b 0 I ( )( )
7 Επομένως b u( ) P( ) d 0 ( s)!( s)! ( s)! ( s)! u u b b ( s)!( s)! ( s)! ( s)! 0 I ( s)! ( s)! ( s) s ( u) ( ) ( ) d ( s)! ( s) ( s)! ( s) ( u) ( ) d ( s)! u ( s)! 0 I Παρομοίως ( s)!( s)! u u b b ( )( ) ( )( ) ( s)!( s)! 0 I ( s)! ( s)! b ( ) ( s)! ( ) ( s)! ( s)! ( ) ( s)! ( s)! u s ( s) s ( u) ( ) ( ) d ( s) ( ) ( )! 0 I 34 Η εκδοχή της ΜΠΣ Τα προηγούμενα αποτελέσματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εξεύρεση εκτιμήσεων σφάλματος (δηλ για την απόδειξη του ρυθμού σύγκλισης) της εκδοχής της ΜΠΣ ως εξής: Ας υποθέσουμε ότι λύνουμε το μεταβολικό πρόβλημα: να βρεθεί η uh ( ) 0 τέτοια ώστε 0 B( u w) F( w) wh ( ) με B και F τη διγραμμική μορφή και γραμμικό συναρτησιακό αντίστοιχα Το διακριτό πρόβλημα είναι: να βρεθεί η u ( ) V H0 τέτοια ώστε B( u w) F( w) w V Ο υπόχωρος V επιλέγεται ως ο χώρος S ( ) που είδαμε προηγουμένως με Δ ένα πλέγμα από στοιχεία (διαστήματα) που παραμένουν σταθερά και το διάνυσμα με τους βαθμούς των πολυωνύμων βάσης οι οποίοι θα αυξηθούν για να έχουμε
8 σύγκλιση Για να απλουστέυσουμε τα πράγματα έστω ότι έχουμε μόνο ένα στοιχείο και χρησιμοποιούμε πολυώνυνα βαθμού σαν βάση To Θεώρημα (Ceá s Lemma) λέει ότι u u u w w S ( ) Επιλέγουμε w = u με u το πολυώνυμο του Θεωρήματος 33 Τότε / ( s)! ( s) I ( s)! 0 I u u u u C u u C u όπου u u( Q( )) Ο τύπος του Sterlng (3) δίνει περαιτέρω ( s ) s u u C() s u 0 I Επομένως αν η λύση u είναι ομαλή ώστε ( s) u C s 0 τότε έχουμε 0 I s (33) u u C() s με το s να καθορίζεται από την ομαλότητα της λύσης u όσο πιο ομαλή είναι η u τόσο μεγαλύτερο το s Τέτοιου είδους σύγκλιση καλείται φασματική (sectral) και αν η λύση είναι πχ αναλυτική συνάρτηση τότε ο ρυθμός αυτός είναι (σχεδόν) εκθετικός 34 Η εκδοχή της ΜΠΣ Το βασικό εργαλείο για τη μελέτη της εκδοχής είναι το εξής: Θεώρημα 34: Έστω Ω = (a b) και έστω ένα πλέγμα για το Ω Έστω u H ( ) με uh ( ) για κάποια Τότε υπάρχει πολυώνυμο S ( ) τέτοιο ώστε u () u( x ) u( x ) () s ( s )! 0 s ( s)! u u u () για 0 s t mn{ } t ( t )! 0 t ( )( t )! u u u
9 Απόδειξη: Θα κατασκευάσουμε το πολυώνυμο u ξεχωριστά για κάθε στοιχείο Ω : Έχουμε από το Θεώρημα 33 ότι υπάρχει πολυώνυμο u έτσι ώστε να ισχύει το () και επιπλέον για 0 s mn{ } Επιστρέφοντας στο Ω παίρνουμε ( s )! ( s ) u u u I ( s)! 0 I s ( )! ( ) s s u u u ( )! 0 s Αθροίζοντας όλα τα στοιχεία παίρνουμε το () Για το () η απόδειξη είναι παρόμοια Στη περίπτωση που το πλέγμα είναι σχεδόν/οιονεί ομοιόμορφο (quas-unform) το πιο πάνω θεώρημα δίνει μια απλούστερη παράσταση Ορισμός 3: Ένα πλέγμα του Ω καλείται ημι-ομοιόμορφο (quas-unform) αν υπάρχουν θετικές σταθερές C C ανεξάρτητες του τέτοιες ώστε max 0 C max C mn mn (Για το ομοιόμορφο πλέγμα ισχύει C = C = ) Θεώρημα 35: Έστω ότι ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος 34 Αν = και το πλέγμα είναι ημι-ομοιόμορφο τότε με ισχύει mn{ } s t
0 και Απόδειξη: Βλέπε άσκηση 35 u u C u mn{ } max 0 mn{ } max u u C u 0 Το πιο πάνω θεώρημα χρησιμοποιείται για την απόδειξη του ρυθμού σύγκλισης της εκδοχής της ΜΠΣ ως εξής: από το Θεώρημα (Ceá s Lemma) έχουμε u u u w w S ( ) Ας υποθέσουμε ότι το πλέγμα είναι σχεδόν ομοιόμορφο Τότε επιλέγουμε w = πu με πu το πολυώνυμο του Θεωρήματος 35 και έχουμε mn{ } max u u u u C u Αν u C δηλ αν u H ( ) τότε η πιο πάνω εκτίμηση δίνει mn{ } max u u C που δείχνει το ρυθμό σύγκλισης της εκδοχής Παρατήρηση 3: Όπως έχουμε ήδη αναφέρει στη αρχή του κεφαλαίου η εκδοχή της ΜΠΣ είναι αρκετή για να δώσει εκθετικό ρυθμό σύγκλισης όταν η λύση του ΠΣΤ είναι επαρκώς ομαλή (πχ αναλυτική συνάρτηση) Στη περίπτωση που η λύση έχει συγκεκριμένη ομαλότητα πχ uh ( ) με σταθερό τότε η εκδοχή της ΜΠΣ είναι προτιμητέα αφού ο ρυθμός σύγκλισης θα περιορίζεται από το Η εκδοχή της ΜΠΣ είναι χρήσιμη όταν η λύση περιέχει ιδιομορφίες (sngulartes) όπως θα δούμε στο Κεφ 7
Ασκήσεις: 3 Έστω N( ) ( ) N( ) ( ) N( ) ( ) 34 όπου ( ) P ( t) dt και Ρ(t) το βαθμού πολυώνυμο Legendre Να δειχτούν τα πιο κάτω: (α) ( ) P ( ) P ( ) (γ) ( ) 6 N ( ) d 3 3 0 3 (β) ( ) ( ) d 0 3 Να γράψετε δύο ATLAB m-fles που να καλούνται bassm και dbassm αντίστοιχα τα οποία να δουλεύουν ως εξής: bassm: Παίρνει σαν INPUT το (ίσως διάνυσμα) x και τον ακέραιο και δίνει σαν OUTPUT τη τιμή N ( x ) όπου οι συναρτήσεις N ( x ) ορίζονται στην Άσκηση 3 dbassm: Παίρνει σαν INPUT το (ίσως διάνυσμα) x και τον ακέραιο και δίνει σαν OUTPUT τη τιμή N ( x) όπου οι συναρτήσεις N ( x) πρέπει να υπολογιστούν (βλ Άσκηση 3) Χρησιμοποιώντας τα m-fles που γράψατε να κάνετε τη γραφική παράσταση των N ( ) 5 στους ίδιους άξονες όπως επίσης και τη γραφική παράσταση των N( ) 5 στους ίδιους άξονες (Σημείωση: Θα χρειαστείτε ένα m-fle το οποίο θα σας δίνει το βαθμού n πολυώνυμο Legendre στο x Αυτό το fle καλούμενο legm μπορείτε να το κατεβάσετε από τo διαδικτυακό σύνδεσμο wwwmasucyaccy/~xenoon/msc/ ή να ψάξετε στο διαδύκτιο για κάτι ανάλογο)
33 Έστω [Κ] και [G] οι λεγόμενοι στοιχειώδεις πίνακες ακαμψίας και μάζας αντίστοιχα οι οποίοι ορίζονται ως [ K] N( ) N( ) d [ G] N ( ) N ( ) d με N(x) τις ιεραρχικές συναρτήσεις βάσης (βλ εξ (36)) Να δείξετε ότι και / / 0 / / [ K] 0 [ G] [ G] / 3 [ G] [ G] / 3 [ G] 3 ()(5) [ G] [ G] 3 ( ) ( 3)( ) [ G] 0 oterwse Επίσης να γράψετε ένα ATLAB m-fle που να καλείται gm το οποίο να παίρνει σαν ( ) ( ) INPUT το και να δίνει σαν OUTPUT τον πίνακα [ G] Βεβαιωθείτε ότι το m- fle σας δουλεύει σωστά αφού το χρησιμοποιήσετε για να υπολογίσετε τον [G] για διάφορες τιμές του 34 Θεωρούμε το εξής ΠΣΤ: όπου ac au( x) cu( x) f ( x) x I ( ) u( ) u() 0 Θέλουμε να προσεγγίσουμε την λύση του πιο πάνω ΠΣΤ με τη εκδοχή της ΜΠΣ χρησιμοποιώντας ένα (μόνο) στοιχείο (α) Να γράψετε ένα ATLAB m-fle που να καλείται femdm το οποίο να παίρνει σαν INPUT τις σταθερές a c τη συνάρτηση f και το βαθμό των πολυωνύμων βάσης που θέλετε να χρησιμοποιήσετε και να δίνει σαν OUTPUT τη νόρμα ενέργειας (στο τετράγωνο) της u και τους συντελεστές οι οποίοι μας δίνουν την u σαν u N (Σημείωση: Θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσετε αριθμητική ολοκλήρωση για τον υπολογισμό ορισμένων ολοκληρωμάτων η εντολή στη ATLAB είναι ntegral)
3 (β) Να βρείτε τη συνάρτηση f έτσι ώστε η ακριβής λύση του ΠΣΤ να είναι u ( x) x x (Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την APLE για αυτό το EX μέρος) (γ) Να βρείτε τη νόρμα ενέργειας (στο τετράγωνο) της uex ( x) για λ = 7 44 3 και 65 (Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την APLE για αυτό το μέρος) (δ) Να τρέξετε το πρόγραμμα σας με f την συνάρτηση που βρήκατε στο (β) για κάθε τιμή του λ από το (γ) επιλέγοντας a = c = και = 8 (για όλα τα λ) Κάθε φορά να υπολογίζετε το (τοις εκατό) σχετικό σφάλμα uex u E Error 00 u Να κάνετε τη γραφική παράσταση (μια για κάθε τιμή του λ) του Error συναρτήσει του αριθμού βαθμών ελευθερίας Ν σε λογαριθμικούς άξονες και να εξηγήσετε τι παρατηρείτε (ε) Για λ = 65 a = c = 5 και = 6 να κάνετε τη γραφική παράσταση της u(x) και της uex(x) στους ίδιους άξονες όπως επίσης και τη γραφική παράσταση του σφάλματος u ( x) u ( x) για x [ ] EX EX E 35 Έστω Ω = (a b) και έστω ένα οιονεί-ομοιόμορφο (quas-unform) πλέγμα για το Ω Έστω u H ( ) και u H ( ) για κάποια Να δείξετε ότι υπάρχει πολυώνυμο S ( ) με [ ] τέτοιο ώστε u max u u C u u u C u L ( ) όπου max max mn mn{ } mn{ } max ( ) ( ) H L H ( ) 36 Να αποδείξετε τις (37) (39) 37 Με P(t) το βαθμού πολυώνυμο Legendre να αποδείξετε ( )! P P d ( )! 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ά Υπόδειξη: Με J ( x; ) το πολυώνυμο Jacob βαθμού ( ) με συνάρτηση βάρους
4 ( ξ ) ( ) ( )! ισχύει P ( ) J ( x; ) Επίσης! ( n)!( n)! ( ) Jn( x; ) J m( x; ) d ( n ) n!( n)! 0 ά n m