ΣΥΜΒΑΝΤΑ ΖΩΗΣ ΚΑΙ ΘΑΝΑΤΟΥ Ι & ΙΙ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Κ Ι ΚΟΥΤΣΟΠΟΥΛΟΣ ΣΥΜΒΑΝΤΑ ΖΩΗΣ ΚΑΙ ΘΑΝΑΤΟΥ Ι & ΙΙ (ΠΕΡΙΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑ ΟΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ) ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΤΟΚΙΟΥ Οι υριότερες συναρτήσεις επιτοίου είναι ο συντελεστής προεξόφλησης προεξοφλητιό επιτόιο i + i αι η ένταση ανατοισµού δ ( + i) υ το + i Ο συντελεστής προεξόφλησης υ είναι η σηµερινή αξία (παρούσα αξία) µιας χρηµατιής µονάδας αταβλητέας στο τέλος µιας χρονιής µονάδας (συνήθως έτους) ή ισοδύναµα το ποσό που πρέπει να τοποθετηθεί σήµερα µε επιτόιο i για να γίνει στο τέλος του έτους Το προεξοφλητιό επιτόιο είναι η παρούσα αξία ποσού i αταβλητέου µετά από ένα έτος ή ισοδύναµα το ποσό που επενδυόµενο σήµερα θα γίνει i στο τέλος του έτους Τα υ αι συνδέονται µε τις χρήσιµες σχέσεις υ + αι iυ Τα i υ αι δ συνδέονται µε τις δ δ i e δ + i αι υ e δ υ εξίσου σηµαντιές σχέσεις δ Η ανατοιστιή συνάρτηση ορίζεται για άθε πραγµατιό αι είναι ( + i) e Η παρούσα αξία µιας µονάδας αταβλητέας τη µελλοντιή χρονιή στιγµή είναι το αντίστροφο άρα δ ίση µε υ + i e Η παρούσα αξία µιας άπειρης αολουθίας αταβολών ύψους στην αρχή άθε έτους (παρούσα αξία µιας "διηνεούς προαταβλητέας ράντας") είναι α& + υ + υ + ενώ η παρούσα αξία της αντίστοιχης προσωρινής ράντας είναι υ υ υ α& + υ + + υ Οι παρούσες αξίες των αντίστοιχων "ληξιπρόθεσµων υ υ ραντών" (ραντών αταβλητέων στο τέλος άθε περιόδου) είναι α υ αι iυ i α υ υ υ i Σε περίπτωση που οι αταβολές δεν γίνονται διαριτά (είτε στην αρχή είτε στο τέλος δ δ e υ των περιόδων) αλλά γίνονται συνεχώς έχουµε α e αι δ δ α e δ δ Κεντριό ρόλο στη θεωρία των ενιαίων ασφαλίστρων ζωής παίζουν η "θεµελιώδης ταυτότητα" υ + α& αι το συνεχές ανάλογό της υ + δα

Ι ΠΙΝΑΚΕΣ ΖΩΗΣ (Life Tabe) Ή ΠΙΝΑΚΕΣ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ (Mraiy Tabe) Α ΟΡΙΣΜΟΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ (πρώτη στήλη του πίναα) : ο αριθµός (το πλήθος) των (επι)ζώντων σε αριβή (σε αέραια) ηλιία ο πίναας αρχίζει µε ένα αυθαίρετο πλήθος ζώντων σε ηλιία αι µηδενίζεται σε µια "τερµατιή ηλιία" ω ( ω ) (δεύτερη στήλη του πίναα) : το πλήθος των θανάτων ανάµεσα σε (αέραια) ηλιία αι (αέραια) ηλιία + δηλαδή µέσα στο "έτος ηλιίας" ( +] προφανώς + (τρίτη στήλη του πίναα) : η πιθανότητα ότι άτοµο ηλιίας θα πεθάνει µεταξύ ηλιίας αι ηλιίας + (πιθανότητα ότι άτοµο ηλιίας δεν θα φθάσει σε ηλιία +) προφανώς + Β ΜΕΓΕΘΗ ΠΑΡΑΓΩΓΑ ΑΠΟ ΤΑ ΜΕΓΕΘΗ ΤΟΥ ΠΙΝΑΚΑ : η πιθανότητα ότι άτοµο ηλιίας θα επιβιώσει χρόνια (θα φθάσει σε ηλιία + θα πεθάνει µετά από ηλιία +) προφανώς + : η πιθανότητα ότι άτοµο ηλιίας θα πεθάνει µέσα σε χρόνια (θα πεθάνει πριν φθάσει σε + ηλιία +) προφανώς : η πιθανότητα ότι άτοµο ηλιίας θα πεθάνει µέσα στο + έτος από τώρα (θα επιβιώσει για χρόνια αι θα πεθάνει στο "έτος ηλιίας" (+ ++] θα επιβιώσει χρόνια όχι όµως + χρόνια θα πεθάνει τα επόµενα + χρόνια όχι όµως τα πρώτα ) Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να δειχθούν µαθηµατιά αι να ερµηνευθούν λετιά οι σχέσεις αι ω y ειδιότερα y Να δειχθούν µαθηµατιά αι να ερµηνευθούν λετιά οι σχέσεις + + + + y y ω y + + 3 Να δειχθεί αι να ερµηνευθεί λετιά η σχέση Εφόσον αι ω y βλέπουµε ότι η αποτελεί (λιµαωτή) σ στο [ ω] µε αντίστοιχη (διαριτή) σπ ω

4 Να δειχθεί ότι m+ m + m m + 5 Με τι είναι ίσα τα σύµβολα αι ; 6 Τι νόηµα πρέπει να δοθεί στο σύµβολο ; Να δειχθεί ότι + + Όταν ειδιότερα προύπτει η πιθανότητα + 7 Με ποια πιθανότητα είναι ίση η διαφορά ; u u > (Άσηση ) 8 Η πιθανότητα ότι ο () θα επιβιώσει χρόνια είναι ίση µε την πιθανότητα ότι θα πεθάνει µετά την πάροδο ετών Πώς εξηγείται αυτό το γεγονός; Να δειχθεί µαθηµατιά η σχέση που εφράζει το ίδιο γεγονός µε τα ατάλληλα σύµβολα ω 47 9 Αν 4 3536 αι 5 47 αι 3 3 να δειχθεί ότι 5 44 47 48 Αν για + 9 να δειχθεί ότι + Έστω πίναας Να δειχθεί ότι το αι ( ) είναι ίση µε την τιµή του αθροίσµατος 99 99 Να δειχθεί ότι η τιµή του που προύπτει από Για 99 + Να δειχθεί ότι 5 5 8 9 4 3 6 6 3 αι 9 8 9 8 5 + 3 Έστω Να δειχθεί ότι + να γραφεί η αναδροµιή σχέση 99 + y ( + y) 99 (Υπόδειξη : Από το + αι να χρησιµοποιηθεί επανειληµµένα) 4 Αν α 3 β αι 5 γ να δειχθεί ότι ( α) β ( γ ( α)( βγ) 3 αι 3 ) 99 5 Έστω + αι ( y) y Να δειχθεί ότι y αι y

6 Αν να δειχθεί ότι < αι 7 Να γραφεί το συναρτήσει των (Απάντηση : + + ( ) ) 8 Αν 99 να δειχθεί ότι ο συνολιός πληθυσµός είναι αι ότι γενιά αι 9 Αν να δειχθεί ότι ότι ( e ) e e e (συνάρτηση µόνον του ) e + αι εποµένως + e Να δειχθεί αόµα e Αν c να δειχθεί ότι c (ισχύει δηλαδή ο νόµος De Mivre) ω ΙΙ (ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΒΙΩΣΗΣ (Surviva Fuci) Α ΑΝΑΛΥΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΒΙΩΣΗΣ Στην Άσηση ΙΓ3 διαπιστώσαµε ότι για άθε ηλιία η συνάρτηση που προύπτει από έναν πίναα + αποτελεί συνάρτηση ατανοµής (εφόσον im ω έχουµε im αι im ) Η µόνη διαφορά ανάµεσα στο αι στο ω ω + είναι ότι το + είναι το πλήθος των θανάτων που παρατηρούνται σε ηλιίες µεταξύ αι + (µε αρχιό πληθυσµό ) ενώ το εφράζει τους ίδιους θανάτους ως ποσοστό + του αρχιού πληθυσµού (Εξάλλου τα δύο µεγέθη ταυτισθούν πλήρως αρεί να πάρουµε για τον αρχιό πληθυσµό + + αι µπορούν να!) Το που προύπτει αριθµητιά από έναν πίναα είναι µια "εµπειριή" σ Παράλληλα όµως µπορούµε να εργασθούµε µε αναλυτιές σ µε "θεωρητιούς νόµους θνησιµότητας" Να θεωρήσουµε δηλαδή ότι η αποµένουσα ζωή (η µελλοντιή ζωή) ατόµου ηλιίας (αλλιώς ο χρόνος που αποµένει µέχρι το θάνατο του ()) είναι (συνεχής) τµ T µε σππ f () αι σ Η αντίστοιχη συνάρτηση επιβίωσης ορίζεται ως F F ()

Από τον ορισµό () F () Β ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΠΙΒΙΩΣΗΣ βλέπουµε ότι µια συνάρτηση επιβίωσης δίνει την πιθανότητα που περιλαµβάνεται στο δεξιό άρο ("δεξιά ουρά") µιας ατανοµής πιθανοτήτων Πιο συγεριµένα αν η σππ της είναι η αντίστοιχη συνάρτηση επιβίωσης είναι T f () Pr( T > ) f f F () Επιπλέον είναι σαφές ότι τα F () αι ταυτίζονται αντίστοιχα µε τα ήδη γνωστά µας αι Για ένα πληθυσµό που υπαούει σε συνάρτηση επιβίωσης F η γνώση της () είναι αρετή για την εύρεση των συναρτήσεων επιβίωσης () που αντιστοιχούν σε άθε ηλιία > Έστω T η "ηλιία ατά το θάνατο" ατόµου ηλιίας αι T η αποµένουσα ζωή ατόµου ηλιίας > Έχουµε () Pr( T > ) Pr ( T > + ) ( + ) Pr T > + T > (Η Pr( T > ) εφόσον αι ( ω) ω ) είναι πράγµατι συνάρτηση επιβίωσης Εφόσον µια συνάρτηση επιβίωσης διαφέρει από έναν πίναα θνησιµότητας µόνον ως προς την λίµαα µέτρησης που χρησιµοποιείται (αυθαίρετο σε ένα πίναα σε συνάρτηση επιβίωσης) όλοι οι ορισµοί πιθανοτήτων όπως λπ εξαολουθούν να ισχύουν αν άθε τιµή ( ) αντιατασταθεί µε ( ) Έτσι πχ ο ( + ) ( + ) ( + + ) Συναρτήσεις όπως Γ ΕΝΤΑΣΗ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ είναι πιθανότητες επιβίωσης/θανάτου σε διάφορα διαστήµατα ηλιίας Όταν ασχολούµαστε µε συνεχείς συναρτήσεις επιβίωσης χρειαζόµαστε αι ένα "σηµειαό" µέτρο θνησιµότητας δηλαδή µέτρο της θνησιµότητας σε άθε ηλιιαή στιγµή Το µέτρο αυτό αλείται ένταση θνησιµότητας (frce f mraiy) σε ηλιία ( f πραγµατιός) αι ορίζεται ως µ F Ο ορισµός της έντασης θνησιµότητας ίσως φαίνεται αυθαίρετος Γι αυτό αξίζει να σηµειωθεί ότι ο ορισµός προύπτει αν "πιο διαισθητιά" θεωρήσουµε την ένταση θνησιµότητας ως µ im (Άσηση) Αν ολοληρώσουµε τη διαφοριή εξίσωση () () µ () µεταξύ αι παίρνουµε ()] µ ή µ ή εφόσον () µ αι άρα

e µ Η σχέση αυτή µας επιτρέπει να βρούµε τη συνάρτηση επιβίωσης που αντιστοιχεί σε δεδοµένη ένταση θνησιµότητας Επιπλέον εφόσον e e + µ µ e + µ + µ e ( ) βλέπουµε ότι + Όπως είδαµε η πιθανότητα είναι ίση µε Η ΣΠΠ ΤΗΣ ΤΜ Τ F όπου F η σ της αποµένουσας ζωής του () Έπεται αµέσως ότι η σππ της T είναι f () Προειµένου να εφράσουµε τη σππ () ( + ) f συναρτήσει αναλογιστιών συµβόλων ανααλούµε ότι άρα είναι f () () f µ + ( + ) ( + ) ( + ) + Όµως ( + ) αι ( + ) µ + + T άρα Συνοψίζοντας βλέπουµε ότι η T έχει σ αι σππ Από την παράγωγο µπορούµε να βρούµε αι την παράγωγο µ + Πράγµατι η + + άρα µ + Οι παραστάσεις για τις + οδηγούν άµεσα στις σχέσεις µ αι µ + αι Ε Η ΠΡΟΣ ΟΚΩΜΕΝΗ ΖΩΗ e E( T ) Η µαθηµατιή ελπίδα της αποµένουσας ζωής του () (ο µέσος χρόνος µέχρι το θάνατο του ()) e ( ) δηλώνεται µε αι είναι e E T f µ Ολολήρωση ατά παράγοντες δείχνει ότι είναι επίσης e ( + ) + () (Αν η σππ της δεν ετείνεται σε όλο τον άξονα ( f για > τ ) τότε τα παραπάνω ολοληρώµατα T τ γράφονται αντί ) ΣΤ ΙΑΣΠΟΡΑ ΤΗΣ Τ

Η διασπορά της αποµένουσας ζωής T είναι Var( T ) µ + e ή Var ( T ) ω µ + e σε περίπτωση που ] f για > ω Με ολολήρωση ατά παράγοντες παίρνουµε αι τη µορφή Var T + e e Ζ ΑΚΕΡΑΙΑ (Ή ΚΕΚΟΜΜΕΝΗ) ΑΠΟΜΕΝΟΥΣΑ ΖΩΗ Κ Για ορισµένες ασφαλιστιές εφαρµογές αντί της συνολιής αποµένουσας ζωής Τ ενδιαφέρον παρουσιάζει ο αέραιος αριθµός ετών που θα ζήσει ο () Τα αέραια χρόνια αποµένουσας ζωής είναι διαριτή τµ K που διαφέρει από την T ατά το ότι η K αγνοεί οποιοδήποτε λάσµα έτους (µιρό ή µεγάλο αλλά µιρότερο βέβαια από συµπληρωµένο έτος) ζήσει πριν από το θάνατό του ο () Είναι προφανές ότι [ ] T K αι ότι T K + S όπου η τµ K παίρνει αέραιες τιµές αι η τµ S S < είναι το λάσµα έτους (πραγµατιός αριθµός) που ζει ο () ατά τη χρονιά του θανάτου του Είδαµε ότι η σππ της συνεχούς τµ T είναι + Στην περίπτωση της διαριτής τµ K αι η σ της K είναι µ είναι προφανές ότι η σπ της K είναι Pr( K ) Pr( K ) + Η µαθηµατιή ελπίδα της K σηµειώνεται µε e είναι ίση µε ισοδύναµα ως ( + ) ( ) πίναα + µπορεί να γραφεί αι αι Var K e e αι µπορεί να γραφεί (αι σε περίπτωση ) Η διασπορά της K είναι Var( K ) e ( + ) ( ) ( ) Το άθροισµα άρα έχουµε Εφόσον T K + S έχουµε e e + E S Σε περίπτωση αναλυτιής συνάρτησης επιβίωσης είναι δυνατός ο υπολογισµός αι των δύο µαθηµατιών ελπίδων e αι e εποµένως αι της E( S ) Σε περίπτωση όµως της εµπειριής ατανοµής που επάγεται ένας πίναας είναι δυνατός µόνον ο υπολογισµός της E ( K ) αι προειµένου να βρεθεί η E ( T ) απαιτείται ο υπολογισµός της E ( S ) Για να επιτευχθεί αυτό χρειάζεται άποια υπόθεση για την ατανοµή της S Όπως θα δούµε η συνεθέστερη υπόθεση είναι ότι S ~ U( ) οπότε E( S ) αι Var( S ) Η ΑΣΚΗΣΕΙΣ

- Για αθεµιά από τις αόλουθες συναρτήσεις επιβίωσης να βρεθούν τα F () f () µ () 3 ω ω 3 3 ω ω ω ω ω F () f () µ + : () () () + () () () + ( + ) 3 µ () () e () e - Για αθεµιά από τις αόλουθες εντάσεις θνησιµότητας να βρεθεί η αντίστοιχη συνάρτηση επιβίωσης : µ ω µ 3( ω ) µ 3 + µ + µ µ µ µ + µ µ τέτοιο ώστε µ + + µ Για τις εντάσεις θνησιµότητας µ αι µ ισχύει µ µ Να δειχθεί ότι + Αν σε άθε ηλιία ισχύει µ όπου σταθερά να δειχθεί ότι e µ + 8 e 3 Αν µ + αι να δειχθεί ότι 4 4 Αν µ α + β e αι να δειχθεί ότι 4 e 38 84 e ( ) 3 e 3 + µ + 5 Εφόσον e είναι µ Παραγωγίζοντας ως προς παίρνουµε + δηλαδή το γνωστό µ + µ 6 Η µ + δείχνει τη µεταβολή της πιθανότητας επιβίωσης για συγεριµένη ηλιία αθώς το χρονιό διάστηµα αυξάνει Η δείχνει πώς µεταβάλλεται η πιθανότητα επιβίωσης επί συγεριµένο χρονιό διάστηµα όταν µεταβάλλεται η αρχιή ηλιία Να δειχθεί ότι ( ( + ) µ µ + ) (Υπόδειξη : ) Βλέπουµε ότι όπως είναι φυσιό για άθε η είναι φθίνουσα συνάρτηση του αι για άθε η είναι φθίνουσα συνάρτηση του Να δειχθεί ότι είναι ανεξάρτητο του αι ίσο µε µ h 7 Να δειχθεί ότι im µ (Υπόδειξη : h h ( h) + h ) 8 ίδεται + Να βρεθεί µ + αι να επαληθευθεί (από τα αι µ + ) η + + ισχύς των σχέσεων µ αι µ + +

9 Η ένταση θνησιµότητας είναι σταθερή σε άθε έτος ηλιίας δηλαδή για άθε αέραιο έχουµε µ µ για όλα τα µε < + Έστω µε m < m + µ + ( m) µ + m (m αέραιος) Να δειχθεί ότι e + m 3 Μια πολύ συνηθισµένη υπόθεση είναι ότι οι θάνατοι είναι οµοιόµορφα ατανεµηµένοι σε άθε έτος ηλιίας Η υπόθεση αυτή ισοδυναµεί µε την υπόθεση ότι η σππ µ + είναι "λιµαωτή συνάρτηση" που έχει σταθερή τιµή c + σε άθε διάστηµα [ + + + ) Να δειχθεί ότι αν µ + c για < τότε το c είναι αναγαία ίσο µε 3-35 Για αθεµιά από τις αόλουθες συναρτήσεις επιβίωσης να βρεθούν τα E(T ) αι Var(T ) όπου T η αποµένουσα ζωή του () : () () (α ) () (α > ) () ( + ) 4 µ () e ω ω α > ω 36 Να βρεθούν τα E(K ) αι Var(K ) για τη συνάρτηση επιβίωσης () Να συγριθεί η ω E(K ) µε την E(Τ ) αι έτσι να δειχθεί ότι στην παρούσα περίπτωση E( S ) µ 37 Να βρεθούν τα E(K ) αι Var(K ) για e Να δειχθεί αόµα ότι E( S ) α µ µ e 38 ίδεται πίναας 3 4 5 6 99 97 93 86 76 Να δειχθεί ότι e 45 e 63 αι e 4 88 39 Η προσδοώµενη ζωή e µπορεί να αναλυθεί σε + + + + + Το πρώτο ολολήρωµα συµβολίζεται µε : e (αι είναι η προσδοώµενη ζωή του () µέσα στα επόµενα χρόνια) ενώ το δεύτερο ολολήρωµα είναι εξ ορισµού η προσδοώµενη ζωή του (+) Έτσι e e : + e + 4 Ανάλογη σχέση ισχύει αι για την εοµµένη προσδοώµενη ζωή e : e e + e + : e e + : e+ Να επαληθευθεί από τον πίναα της Άσησης 38 ότι η ισχύει για αι 3