Κεφάλαιο 4 ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4.1 Η ροή μιας διαφορικής εξίσωσης Θεωρούμε πάλι το πρόβλημα αρχικών τιμών ẋ = f (x), x (0) = x 0, (4.1.1) όπου το διανυσματικό πεδίο f είναι κλάσεως C 1 σε ένα ανοιχτό υποσύνολο E του R n. Συμβολίζουμε με φ (t, x 0 ) την λύση (ή τροχιά) του (4.1.1) που τη στιγμή t = 0 περνά από το x 0, δηλαδή, φ (0, x 0 ) = x 0. Για κάθε σημείο x 0 E η φ (t, x 0 ) ορίζεται στο μέγιστο διάστημα I (x 0 ) ύπαρξης της λύσης του (4.1.1). Το σύνολο όλων των τροχιών φ t με t I (x 0 ) που ορίζεται ως φ t (x 0 ) = φ (t, x 0 ), λέγεται ροή της διαφορικής εξίσωσης (4.1.1). Στα επόμενα, θα υποθέτουμε ότι η ροή μπορεί να ορισθεί σε ολόκληρο το R, βλ. [5] σελ. 184, δηλαδή φ : R E E. Παραλείποντας τον δείκτη από το x 0, για κάθε x E η συνάρτηση, φ (, x) : R E ορίζει μία τροχιά που περνά από το σημείο x. Το σύνολο όλων των τροχιών μέσα στο χώρο των φάσεων E, λέγεται πορτραίτο φάσεων του δυναμικού συστήματος (4.1.1). Αν το σημείο x μεταβάλλεται μέσα σε ένα υποσύνολο K του E, τότε η ροή φ t : K E παριστάνει την κίνηση όλων των 85
86 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ σημείων του K. Από το Θεώρημα 2.3 της συνεχούς εξάρτησης των λύσεων από τις αρχικές συνθήκες προκύπτει ότι η ροή μιας ΔΕ είναι συνεχής απεικόνιση. Αυτό σημαίνει ότι τροχιές που ξεκινούν κοντά, παραμένουν κοντά, φυσικά για πεπερασμένο χρονικό διάστημα. Εν τούτοις οι τροχιές μπορεί να απομακρύνονται μεταξύ τους εκθετικά με το χρόνο και στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το σύστημα εμφανίζει ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες, βλ. το κεφάλαιο για την ευστάθεια των λύσεων και την Παράγραφο 8.3. Εν γένει υπάρχουν σημεία μέσα στο E που παραμένουν ακίνητα υπό την ροή φ. Τέτοια είναι τα σημεία x 0 για τα οποία f (x 0 ) = 0. Πράγματι η σταθερή συνάρτηση x (t) = x 0 είναι λύση του προβλήματος ΑΤ (4.1.1). Αν μία λύση x (t) περνά από το x 0 κάποια στιγμή, τότε x (t) = x 0 για κάθε t R. (Η ταχύτητα ẋ σ ένα τέτοιο σημείο είναι μηδέν.) Απο το Θεώρημα μοναδικότητας των λύσεων, καμιά άλλη τροχιά δεν περνά από το x 0. Τα σημεία στα οποία f (x 0 ) = 0 λέγονται σημεία ισορροπίας, ή κρίσιμα σημεία του δυναμικού συστήματος. Το να βρούμε τη ροή μιας ΔΕ ισοσδυναμεί με το να βρούμε όλες τις λύσεις της ΔΕ. Εν γένει η επίλυση της ΔΕ με αναλυτικές μεθόδους δεν είναι εφικτή, οπότε είτε καταφεύγουμε σε προσεγγιστικές μεθόδους ή αναζητούμε αριθμητικές λύσεις. Μία άλλη στρατηγική προσέγγιση παρέχει η ποιοτική θεωρία των διαφορικών εξισώσεων. Στην προσέγγιση αυτή δεν ενδιαφερόμαστε για μία λύση της ΔΕ, αλλά για τη μελέτης της συμπεριφοράς μιας ολόκληρης ο- μάδας λύσεων. Ιδιαιτέρως ενδιαφερόμαστε για την ασυμπτωτική συμπεριφορά των λύσεων, με άλλα λόγια αναζητούμε πώς συμπεριφέρεται το σύστημα για μεγάλα t. Αυτό επιτυγχάνεται με την μελέτη του διανυσματικού πεδίου f με σκοπό να προσδιορίσουμε τις ιδιότητες της ροής. Η ροή λοιπόν παρέχει τα μέσα για την ποιοτική ανάλυση μιας ολόκληρης οικογένειας λύσεων της ΔΕ. 4.2 Αυτόνομα μονοδιάστατα δυναμικά συστήματα Στη περίπτωσης της μιας διάστασης θα ασχοληθούμε με αυτόνομες διαφορικές εξισώσεις στις οποίες η f είναι συνάρτηση μόνο του x ẋ = f(x). (4.2.1) Οπως γνωρίζουμε αν η f έχει συνεχή παράγωγο ως προς x, η ẋ = f(x) έχει μοναδική λύση που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη x(0) = x 0.
4.2. ΑΥΤΟΝΟΜΑ ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 87 Οπως αναφέρθηκε στη γενική Παράγραφο 2.2, ένα σύστημα που περιγράφεται από την (4.2.1) λέγεται αυτόνομο δυναμικό σύστημα διότι η εξέλιξη του εξαρτάται από το x μόνο. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα είναι αναλλοίωτο σε χρονικές μετατοπίσεις, δηλαδή αν φ(t) είναι μία λύση της (4.2.1) σε κάποιο διάστημα I, τότε και η(t) = φ(t + τ) με τ R είναι επίσης λύση με t + τ I. Συνεπώς αν x(t) είναι μία λύση, κάθε άλλη λύση προκύπτει με παράλληλη μεταφορά κατά τον άξονα t. Ιδέα της απόδειξης. η (t) = φ (t + τ) = f (φ (t + τ)) = f (η (t)). Για την απόδειξη βλ. [9]. Από πρακτικής πλευράς μας ενδιαφέρει συχνά η ασυμπτωτική συμπεριφορά των λύσεων. Οπως αναφέρθηκε στην προηγούμενη παράγραφο, πολλά συμπεράσματα μπορούν να εξαχθούν από την μελέτη της f. Τα συμπεράσματα αυτά είναι συνήθως ποιοτικής φύσεως όπως φαίνεται στα παρακάτω παραδείγματα. Ας υποθέσουμε ότι σε κάποιο διάστημα (x 1, x 2 ) η συνάρτηση f είναι μη αρνητική. Τότε από την ΔΕ προκύπτει ότι για x (x 1, x 2 ) η λύση x(t) είναι αύξουσα συνάρτηση του χρόνου. Ομοια αν σε κάποιο διάστημα (x 1, x 2 ) είναι f(x) < 0, τότε για x (x 1, x 2 ) η λύση x(t) είναι φθίνουσα συνάρτηση του χρόνου. Για παράδειγμα στην ΔΕ ẋ = ax με a > 0, κρίσιμο σημείο είναι το x = 0. Για x < 0 είναι ẋ < 0, δηλαδή η λύση x(t) είναι φθίνουσα. Για x > 0 είναι ẋ > 0, δηλαδή η λύση x(t) αυξάνει. Τα συμπεράσματα αυτά συνοψίζονται στο Σχήμα 4.1. 0 0 1µ 1 Σχήμα 4.1: Πορτραίτο φάσεων και γράφημα της λύσης της ΔΕ, ẋ = ax. Ως δεύτερο παράδειγμα, θεωρούμε τη λογιστική εξίσωση ẋ = x(1 x).
88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Σημεία ισορροπίας είναι τα 0 και 1. Για x < 0 είναι ẋ < 0, δηλαδή η λύση x(t) είναι φθίνουσα. Για 0 < x < 1 είναι ẋ > 0, δηλαδή η λύση x(t) αυξάνει. Τέλος για x > 1 είναι ẋ < 0, δηλαδή x(t) ελαττώνεται. Τα συμπεράσματα αυτά συνοψίζονται στο στο Σχήμα 4.2. ¼ ½ Σχήμα 4.2: Πορτραίτο φάσεων της λογιστικής ΔΕ. Το διάγραμμα αυτό είναι το πορτραίτο των φάσεων για το δυναμικό σύστημα που περιγράφεται από την λογιστική εξίσωση. Παρατηρούμε ότι για οποιαδήποτε αρχική τιμή x(0) = x 0 μεταξύ 0 και 1 η λύση πλησιάζει ασυμπτωτικά προς το σημείο ισορροπίας 1. Θα δείξουμε αργότερα ότι πράγματι η λύση x(t) παίρνει την τιμή 1 μετά άπειρο χρόνο με την έννοια ότι lim t x (t) = 1. Αλλά και για οποιαδήποτε αρχική τιμή x(0) = x 0 μεγαλύτερη του 1, η λύση πλησιάζει ασυμπτωτικά προς το σημείο ισορροπίας 1. Για το λόγο αυτό το σημείο 1 χαρακτηρίζεται ως ευσταθές σημείο ισορροπίας. Αντίθετα το σημείο 0 είναι ασταθές σημείο ισορροπίας διότι για οποιαδήποτε αρχική τιμή x(0) = x 0 στη γειτονιά του μηδενός η λύση απομακρύνεται από το 0. Συμπεραίνουμε ότι ένα κρίσιμο σημείο είναι ένα των τεσσάρων τύπων: (α) Ευσταθής κόμβος. (β) και (γ) Σαγματικό σημείο. (δ) Ασταθής κόμβος, Σχήμα 4.3. Σχήμα 4.3: Δυνατά πορτραίτα φάσεων σε μία διάσταση. Ως τρίτο παράδειγμα ας θεωρήσουμε τη ΔΕ ẋ = f(x) με f τη συνάρτηση που δίνεται στο Σχήμα 4.4. Η f έχει δύο σταθερά σημεία x 1 και x 2. Από το διάγραμμα προκύπτουν τα ακόλουθα. (α) Οι σταθερές συναρτήσεις x(t) = x 1 και x(t) = x 2 είναι λύσεις της ΔΕ. Είναι οι λύσεις ισορροπίας του δυναμικού συστήματος. Βάσει του Θεωρήματος ύπαρξης και μοναδικότητας, είναι οι μοναδικές λύσεις που ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες x(0) = x 1 και x(0) = x 2 αντίστοιχα. (β) Θεωρούμε οποιαδήποτε λύση με x(0) < x 1. Τότε, λόγω της μοναδικότητας των λύσεων ισχύει x(t) < x 1 για κάθε t (εξηγείστε). Συνεπώς
4.2. ΑΥΤΟΝΟΜΑ ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 89 Σχήμα 4.4: Δύο σταθερά σημεία. ẋ = f(x(t)) > 0, δηλαδή η συνάρτηση x(t) είναι αύξουσα. Επειδή είναι φραγμένη (από το x 1 ), έχει κάποιο όριο b όταν t lim x (t) = b x 1. t Το b δεν μπορεί να είναι μικρότερο του x 1 διότι τότε θα είχαμε ẋ (t) = f(x(t)) f (b) > 0. Οι δύο παραπάνω εξισώσεις λένε ότι η συνάρτηση x(t) πλησιάζει κάποια οριζόντια ασύμπτωτη και ταυτόχρονα η παράγωγός της παραμένει πάντα θετική, άτοπο. Άρα lim t x (t) = x 1. (γ) Θεωρούμε τώρα οποιαδήποτε λύση με x(0) > x 2. Τότε, x(t) > x 2 για κάθε t. Ετσι, ẋ = f(x(t)) > 0, δηλαδή η συνάρτηση x(t) είναι αύξουσα. Με παρόμοιο επιχείρημα μπορούμε να δείξουμε ότι x (t) όταν t. (δ) Τέλος, θεωρούμε οποιαδήποτε λύση με x 1 < x(0) < x 2. Τότε η λύση ικανοποιεί την x 1 < x(t) < x 2 για κάθε t (εξηγείστε). Συνεπώς ẋ = f(x(t)) < 0, δηλαδή η συνάρτηση x(t) είναι φθίνουσα. Ακριβώς όπως την περίπτωση (β) αποδεικνύεται ότι lim t x (t) = x 1. Το σημείο x 1 λέγεται ευσταθές σημείο ισορροπίας διότι λύσεις που ξεκινούν κοντά στο x 1 συγκλίνουν στο x 1. Το σημείο x 2 λέγεται ασταθές σημείο ισορροπίας διότι λύσεις που ξεκινούν στη γειτονιά του x 2 απομακρύνονται από αυτό. 4.2.1 Μοντέλα οικολογίας Υποθέτουμε ότι ο ρυθμός αύξησης του πληθυσμού ενός είδους είναι ανάλογος του πληθυσμού, επομένως ο πληθυσμός x(t) ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση dt = ax,
90 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ με λύση τη συνάρτηση x (t) = x 0 e at. Εχουμε δηλαδή το μοντέλο της εκθετικής αύξησης. Ο σχετικός ρυθμός αύξησης ορίζεται ως ẋ/x. Οταν επί παραδείγματι λέμε ότι η αύξηση του παγκόσμιου πληθυσμού είναι 2% εννοούμε ότι ο σχετικός ρυθμός αύξησης /dt = 0.02. Ο σχετικός ρυθμός αύξησης x ẋ/x = a μπορεί να εξαρτάται από πολλούς παράγοντες. Ας υποθέσουμε ότι εξαρτάται μόνο από τη διαθέσιμη τροφή κατά κεφαλή, έστω ρ και ότι ρ 0 είναι σταθερή. Μία ελάχιστη ρ 0 είναι απαραίτητη για την επιβίωση του πληθυσμού. Για ρ > ρ 0, ο ρυθμός αύξησης είναι θετικός και για ρ < ρ 0 ο ρυθμός αύξησης είναι αρνητικός, ενώ για ρ = ρ 0 ο ρυθμός αύξησης είναι μηδέν. Το απλούστερο μοντέλο προκύπτει αν θεωρήσουμε το σχετικό ρυθμό αύξησης a ως γραμμική συνάρτηση του ρ ρ 0, δηλαδή a = λ(ρ ρ 0 ) με λ > 0. Στην περίπτωση αυτή η λύση της ΔΕ είναι x (t) = x 0 e λ(ρ ρ 0 )t, όπου λ και ρ 0 είναι σταθερές που εξαρτώνται μόνο από το είδος και ρ είναι μία παράμετρος που εξαρτάται από το περιβάλλον, είναι όμως σταθερή για δοθείσα οικολογία. Ετσι ο πληθυσμός μπορεί να αυξάνει απεριόριστα, να παραμένει σταθερός, ή να τείνει στο 0 αναλόγως του αν ρ > ρ 0, ρ = ρ 0, ή ρ < ρ 0. Φυσικά απεριόριστη αύξηση πληθυσμού δεν έχει ποτέ παρατηρηθεί. Για την ανθρωπότητα, μετρήσεις σε χρονική περίοδο πάνω από ένα αιώνα έχουν δείξει ότι ο σχετικός ρυθμός αύξησης του παγκόσμιου πληθυσμού φθίνει γραμμικά με τον πληθυσμό /dt = a bx, x (λογιστικό μοντέλο). Π.χ. στις ΗΠΑ μεταξύ 1790 και 1940, οι τιμές των παραμέτρων είναι a = 0.0318 και b = 0.00017. Για μικρές τιμές του πληθυσμού x έχουμε προσεγγιστικά /dt a x δηλαδή ο πληθυσμός αυξάνει εκθετικά. Επομένως πιο ρεαλιστικό μοντέλο είναι να υποθέσουμε ότι ο σχετικός ρυθμός αύξησης a είναι φθίνουσα συνάρτηση του πληθυσμού x και όταν ο πληθυσμός υπερβαίνει κάποια οριακή τιμή ο ρυθμός αύξησης γίνεται αρνητικός. Οι λόγοι μπορεί να είναι περιορισμένη ικανότητα του περιβάλλοντος για τη θρέψη του πληθυσμού, συνωστισμός, κ.λπ. Οι διάφοροι αυτοί μη προσδιοριζόμενοι παράγοντες αναφέρονται συλλογικά ως κοινωνικά φαινόμενα. Για λόγους απλότητας υποθέτουμε ότι ο σχετικός ρυθμός αύξησης a είναι γραμμική φθίνουσα συνάρτηση του πληθυσμού x, δηλαδή
4.2. ΑΥΤΟΝΟΜΑ ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 91 είναι ανάλογος του x a = s( x), s > 0, και επανονομάζοντας τις σταθερές a = r 1 x, r > 0, οπότε προκύπτει η γνωστή λογιστική εξίσωση ẋ = rx 1 x. Η λύση της με x (0) = x 0 γράφεται x (t) = x 0 e rt + x 0 (e rt 1) =, 1 + x 0 1 e rt βλ. Σχήμα 4.5. Η αναλυτική λύση ακολουθεί στο Παράδειγμα αμέσως μετά. Παρατηρούμε ότι x (t) όταν t. Κρίσιμα σημεία είναι τα x = 0 και x =. Το πρώτο είναι ασταθές και το δεύτερο ευσταθές. 0 1µ 2 1 Σχήμα 4.5: Γράφημα της λύσης της λογιστικής για διάφορες τιμές του x(0). Από το γράφημα της λύσης προκύπτει ότι όταν x (0) <, τότε ο πληθυσμός αυξάνει και τείνει ασυμπτωτικά προς την τιμή. Επομένως είναι ο μέγιστος πληθυσμός που μπορεί να αναπτυχθεί σε κάποιο περιβάλλον. Επιπλέον αν στο περιβάλλον αυτό τοποθετηθεί αρχικά πληθυσμός με x (0) >, τότε ο πληθυσμός ελαττώνεται και τείνει ασυμπτωτικά προς την τιμή. Για τους λόγους αυτούς η παράμετρος λέγεται φέρουσα ικανότητα του περιβάλλοντος (carrying capacity of the environment) ή βιοχωρητικότητα.
92 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Παράδειγμα 4.2.1. Η λογιστική ΔΕ. Ακολουθεί η υποδειγματική λύση της λογιστικής εξίσωσης που την γράφουμε ως x dt = rx. Με χωρισμό μεταβλητών προκύπτει x ( x) = r dt. Το ολοκλήρωμα του πρώτου μέλους υπολογίζεται αναλύοντας το σύνθετο κλάσμα σε απλά κλάσματα 1 1 x + 1. x Απλοποιώντας τα θα έχουμε 1 x + 1 = x και ολοκληρώνοντας rdt, ln x ln x = rt + C 1. Με αλλαγή προσήμων και επανονομάζοντας τη σταθερή προκύπτει ln x x = rt + C, ή x x = e rt+c = e C e rt, ή x = Ae rt, με A = ±e C. x Η σταθερή A υπολογίζεται από την αρχική συνθήκη x (0) = x 0 που δίνει αμέσως x 0 x 0 = Ae 0 = A. Τέλος γράφοντας το κλάσμα ( x) x ως /x 1 θα έχουμε x = 1 + Ae rt, οπότε, x = 1 + Ae rt με A = x 0. x 0 Επομένως η λύση γράφεται ως x (t) =. 1 + 1 e rt x0 Δικαιολογείστε το γράφημα της λύσης για διαφορετικές αρχικές τιμές x 0.
4.2. ΑΥΤΟΝΟΜΑ ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 93 Ως δεύτερο παράδειγμα ας θεωρήσουμε ένα πληθυσμό που εξελίσεται σύμφωνα με την ΔΕ 1 dt = rx x x 1, 1 0 < 1 <. (4.2.2) Πρόκειται για μία ΔΕ της μορφής ẋ (t) = f(x) όπου f(x) είναι πολυώνυμο τρίτου βαθμού. Οπως φαίνεται στο Σχήμα 4.6, κρίσιμα σημεία είναι τα x = 0 (ευσταθές), x = 1 (ασταθές) και x = (ευσταθές). Παρατηρούμε ότι αν ο πληθυσμός πέσει κάτω από την τιμή 1, τότε υποχρεωτικά οδεύει προς την τιμή x = 0, επομένως το είδος αφανίζεται. Από την ανάλυση αυτή συμπεραίνουμε ότι η παράμετρος 1 εκφράζει το ελάχιστο κατώφλι επιβίωσης του πληθυσμού (minimum viable population). Η παράμετρος εκφράζει και πάλι την φέρουσα ικανότητα του περιβάλλοντος. f x 1 Σχήμα 4.6: Το πολυώνυμο f(x) έχει τρεις ρίζες που αντιστοιχούν στα σημεία ισορροπίας 0, 1 και. Στα διαστήματα που f(x) < 0 η λύση x(t) φθίνει. Ενας πληθυσμός ψαριών θεωρούμενος ως δυναμικό σύστημα περιγράφεται από τη λογιστική ΔΕ. Αν θεωρήσουμε ότι αλιεύουμε με ρυθμό αλιείας ανάλογο του πληθυσμού, έστω p, τότε το δυναμικό σύστημα περιγράφεται από την ẋ = rx 1 x px. Σχεδιάστε το πορτραίτο των φάσεων για χαρακτηριστικές τιμές του p και σχολιάστε την ευστάθεια των σημείων ισορροπίας. Κάνετε κοινό
94 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ γράφημα των συναρτήσεων rx (1 x/) και και px εξηγείστε τι παριστάνει το σημείο τομής τους. Για ποιές τιμές του p έχουμε μέγιστη απόδοση; 4.2.2 Αλλαγή κλίμακας Πολλές φορές μία διαφορική εξίσωση απλοποιείται θέτοντας κάποιες από τις παραμέτρους της ίσες με τη μονάδα. Για μία ΔΕ της μορφής ẋ = f(x) αυτό επιτυγχάνεται με κατάλληλη αλλαγή κλίμακας των μεταβλητών t και x. Ξεκινούμε με το παράδειγμα της λογιστικής εξίσωσης 1 dt = rx x. Επιθυμούμε να μετατρέψουμε τη ΔΕ σε μία εξίσωση της μορφής ẋ = x (1 x) με αλλαγή κλίμακας. Προς τον σκοπό αυτό θέτουμε x = αu, t = βτ, όπου α και β είναι προσδιοριστέες σταθερές. Με τις νέες μεταβλητές u και τ η ΔΕ εξίσωση γράφεται αdu βdτ = rαu 1 αu du dτ = βru 1 αu Αν λοιπόν επιλέξουμε β τέτοιο ώστε, βr = 1 και α τέτοιο ώστε, α/ = 1, θα έχουμε απλά τη ΔΕ du/dτ = u (1 u). Επομένως θέτωντας t = τ/r και x = u, η αρχική διαφορική εξίσωση μετασχηματίζεται στην du dτ = u (1 u). Στην αρχική ΔΕ οι μεταβλητές t και x όπως και οι παράμετροι r και, έχουν κάποιες διαστάσεις. Ο αρχικός ρυθμός αναπαραγωγής r έχει διαστάσεις 1/χρόνος και οι διαστάσεις της βιοχωρητικότητας ταυτίζονται με τις διαστάσεις του x, π.χ. αριθμός ψαριών, κιλά ή τόνοι, αριθμός κυττάρων ανά κυβικό εκατοστό κ.λπ. Οι νέες μεταβλητές τ = rt, u = x, είναι αδιάστατες πράγμα που καθιστά εύλογα τα επίθετα μικρό και μεγάλο. Επί παραδείγματι u = 0.8 σημαίνει ότι ο πληθυσμός αντιστοιχεί στο 80% της φέρουσας ικανότητας του περιβάλλοντος. Για τη σημασία της αλλαγής κλίμακας και την εισαγωγή αδιάστατων μεταβλητών παραπέμπουμε στο [10]. Η επιλογή των σταθερών α και β δεν είναι μοναδική, όπως δείχνει το παρακάτω παράδειγμα..
4.2. ΑΥΤΟΝΟΜΑ ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 95 Παράδειγμα 4.2.2. Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία στην ΔΕ (4.2.2) θέτουμε δηλαδή x = αu, t = βτ και προκύπτει du dτ = βru 1 αu αu 1 1 Προφανώς μπορούμε να επιλέξουμε α τέτοιο ώστε, α/ = 1, ή α/ 1 = 1. Με την πρώτη επιλογή καταλήγουμε σε νέες μεταβλητές τ = rt, τη ΔΕ du dτ = u (1 u) u 1. 1. u = x/ που ικανοποιούν Η αδιάστατη παράμετρος / 1 μπορεί να γραφεί π.χ. ως λ, οπότε καταλήγουμε στη ΔΕ u = u (1 u) (λu 1), όπου ο τόνος ( ) συμβολίζει παραγώγιση ως προς τη νέα χρονική μεταβλητή, τ. Η αλλαγή κλίμακας δεν περιορίζεται σε ΔΕ πρώτης τάξης, όπως δείχνει το παρακάτω παράδειγμα. Παράδειγμα 4.2.3. Για τον αρμονικό ταλαντωτή ẍ = ω 2 x αρκεί να αλλάξουμε μόνο τη χρονική κλίμακα (ο μετασχηματισμός x αu δεν ωφελεί διότι το α εμφανίζεται και στα δύο μέλη της εξίσωσης, επομένως απλοποιείται). Θέτοντας t = βτ έχουμε διαδοχικά dt = 1 β dτ, d 2 x dt 2 = 1 β 2 d 2 x dτ 2. Επομένως αρκεί να επιλέξουμε β τέτοιο ώστε, βω = 1, οπότε η εξίσωση του αρμονικού ταλαντωτή γράφεται x = x, όπου ο τόνος ( ) συμβολίζει παραγώγιση ως προς τη νέα χρονική μεταβλητή τ = ωt. Η αλλαγή κλίμακας εφαρμόζεται και σε συστήματα ΔΕ, όπως δείχνει το παρακάτω παράδειγμα. Παράδειγμα 4.2.4. Οπως θα δούμε στο Κεφάλαιο 10 ένα σύστημα δύο ανταγωνιστικών ειδών N 1 και N 2 μπορεί να περιγραφεί από τις εξισώσεις dn 1 = r 1 N 1 1 N 1 b 12 N 1 N 2, dt K 1 dn 2 = r 2 N 2 1 N 2 b 21 N 1 N 2. dt K 2 Θέτουμε N 1 = αx, N 2 = βy, t = γτ, οπότε το σύστημα γράφεται α γ dτ = r 1αx 1 αx b 12 αxβy, K 1 β dy γ dτ = r 2βy 1 βy b 21 αxβy. K 2
96 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Με κάποιες απλοποιήσεις παίρνουμε dτ = r 1γx 1 αx b 12 γxβy, K 1 dy dτ = r 2γy 1 βy b 21 γαxy. K 2 Επιλέγουμε α = K 1, β = K 2 ούτως ώστε οι νέες μεταβλητές x και y να εκφράζουν τους πληθυσμούς ως κλάσματα των αντίστοιχων βιοχωρητικοτήτων K 1 και K 2, δηλαδή x = N 1 /K 1 και y = N 2 /K 2. Μπορούμε επίσης να επιλέξουμε τη χρονική κλίμακα με διάφορους τρόπους, π.χ. γ = 1/r 1 ή γ = 1/r 2. Με την πρώτη επιλογή καταλήγουμε στο σύστημα dτ = x (1 x) b 12 K 2 xy, r 1 dy dτ = r 2 y (1 y) b 21 K 1 xy. r 1 r 1 Ορίζοντας νέες παραμέτρους, π.χ. r 2 /r 1 = ρ, b 12 K 2 /r 1 = λ, σύστημά μας γράφεται τελικά ως b 21 K 1 /r 1 = µ το x = x (1 x) λxy, y = ρy (1 y) µxy. Επομένως το αρχικό εξαπαραμετρικό σύστημα μετασχηματίστηκε σε ένα τριπαραμετρικό σύστημα. Η επιλογή των νέων μεταβλητών και παραμέτρων δεν είναι μοναδική.