ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΥΜΜΟΡΦΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ ΣΤΙΒΑΚΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΙΟΣ Ειβλέων καθηγητής: Κραββαρίτης, καθηγητής ΕΜΠ

Πρόλογος H εργασία στηρίζεται στη µελέτη των σύµµορφων αεικονίσεων,µια σηµαντική κατηγορία των µιγαδικών συναρτήσεων,µε εφαρµογές σε ροβλήµατα αεικόνισης εδίων και σε ροβλήµατα συνοριακών τιµών Οι σύµµορφες αεικονίσεις αοτελούν ένα σηµαντικό κλάδο των µαθηµατικών µε τον οοίο έχουν ασχοληθεί σουδαίοι µαθηµατικοίθεµελιωτής του κλάδου θεωρείται ο Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή ο οοίος ξεκίνησε τις δηµοσιεύσεις εργασιών άνω στο αντικείµενο στις αρχές του ροηγούµενο αιώνα Η χρησιµότητα των σύµµορφων αεικονίσεων είναι µεγάλη στον κλάδο της φυσικής και της µηχανικής (υδροδυναµική, αεροδυναµική, θεωρία ελαστικότητας κα),καθώς σε ολλές εριτώσεις δίνουν αλές µεθόδους για να ειλυθούν ροβλήµατα συνοριακών τιµών ου αφορούν στην εξίσωση LaplaceΑυτό οφείλεται στη στενή σχέση ου υάρχει µεταξύ ολόµορφων και αρµονικών συναρτήσεων Η σουδαιότητα των σύµµορφων αεικόνισεων έγκειται σε µία γεωµετρική ιδιότητα ου έχουν: να διατηρούν τη γωνία τοµής µεταξύ δύο καµυλών κατά µέτρο και ροσανατολισµόείσης, η εξίσωση Laplace αραµένει αναλλοίωτη κάτω αό µια σύµµορφη αεικόνιση,µε αοτέλεσµα σε ένα φυσικό ρόβληµα να µορεί να αλοοιηθεί ένα αρχικά ολύλοκο εδίο Συνοψίζοντας, στην εργασία γίνεται µελέτη των σύµµορφων αεικονίσεων µε τρόο κατα τον οοίο µετασχηµατίζουν διάφορα εδία και βοηθούν στη λύση ροβληµάτων συνοριακών τιµών, δίνοντας ιδιαίτερη έµφαση στον δίσκο και στο άνω ηµιείεδο Τέλος, θέλω ροσωικά να ευχαριστήσω τον κύριο Κραββαρίτη για την υόδειξη του θέµατος και την βοήθειά του για την εκόνηση της διλωµατικής εργασίας

Περιεχόµενα Κεφάλαιο : Σύµµορφες αεικονίσεις Ορισµός σύµµορφης αεικόνισης4 Θεώρηµα Riemann7 3 ιγραµµικοί µετασχηµατισµοί 4 Στοιχειώδεις µετασχηµατισµοί5 5 Μετασχηµατισµός Joukowski38 Κεφάλαιο : Προβλήµατα συνοριακών τιµών Είδη ροβληµάτων συνοριακών τιµών43 Εφαρµογές σε ροβλήµατα συνοριακών τιµών46 3 Πρόβληµα Dirichlet για ένα δίσκο55 4 Πρόβληµα Dirichlet για το άνω ηµιείεδο6 5 Πρόβληµα Neumann για ένα δίσκο64 6 Πρόβληµα Neumann για το άνω ηµιείεδο64 Βιβλιογραφία66 3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΜΜΟΡΦΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Ορισµός σύµµορφης αεικόνισης Μια συνάρτηση f : Α C C είναι ένας σύµµορφος µετασχηµατισµός ή σύµµορφη αεικόνιση στο εδίο D Α, αν η f είναι ολόµορφη στο D και f ( ) για κάθε D Παραδείγµατα: i) Η συνάρτηση f ( ) = e είναι σύµµορφη στο C αφού f ( ) = e, C ii) Η συνάρτηση f ( ) = είναι σύµµορφη στο \{} C Έστω f() µια ολόµορφη συνάρτηση ορισµένη σε ένα εδίο D, f () στο D και µια λεία καµύλη C : ( t) = x( t) + iy( t) στο D, η οοία διέρχεται αό το σηµείο = (t ), t (α,β) Η γωνία ου σχηµατίζει η εφατοµένη της καµύλης C στο σηµείο µε τον θετικό x άξονα είναι θ και ισχύει ότι θ = arg ( t) Αν υοθέσουµε ότι η εικόνα της C µέσω της αεικόνισης w = f() είναι η C : w(t) = f((t)), α t β και w η εικόνα του, δηλαδή w = f((t ))=f( ), τότε αραγωγίζοντας την σύνθετη συνάρτηση έχουµε: w (t )= f ( ) (t ) () Η καµύλη C έχει µια εφατοµένη στο σηµείο w, διότι w (t ),εειδή f ( ) και (t ) Εάν θ = arg w ( t), αό την σχέση () ροκύτει ότι θ = θ+ arg f ( ) () 4

Η διαφορά των δύο γωνιών φ= θ - θ ονοµάζεται γωνία στροφής της καµύλης C στο σηµείο µέσω της αεικόνισης w = f() Αυτό ου µορούµε να καταλάβουµε αό την σχέση () είναι ότι όλες οι καµύλες ου διέρχονται αό το στρέφονται µέσω της αεικόνισης ου έχουµε, µε την ίδια γωνία (υό την ροϋόθεση ότι f () ), αφού η γωνία στροφής στο δεν εξαρτάται αό την καµύλη και είναι άντα ίση µε arg f ( ) Έστω τώρα δύο λείες καµύλες ου βρίσκονται στο D και διέρχονται αό το σηµείο, οι C, C και οι εικόνες τους C και C ου διέρχονται αό το w µέσω της αεικόνισης w = f() Αν οι εφατοµένες των δύο καµυλών στο σηµείο, σχηµατίζουν µε τον άξονα χ σχηµατίζουν γωνίες θκαι θ τότε σύµφωνα µε την σχέση () ισχύει ότι οι γωνίες ου σχηµατίζουν οι εφατόµενες στις καµύλες C και C στο σηµείο w = f( ) είναι: θ = θ + arg f ( ) και θ = θ + arg f ( ) και αφαιρώντας κατά µέλη ροκύτει ότι θ θ = θ θ, συνεώς αοδείξαµε ότι µια σύµµορφη αεικόνιση διατηρεί την γωνία τοµής µεταξύ δύο καµυλών κατά µέτρο και ροσανατολισµό, αφού η γωνία θ -θ αό την καµύλη C στην καµύλη C είναι η ίδια σε µέτρο και ροσανατολισµό µε την γωνία θ -θ αό την καµύλη C στην C, όως φαίνεται και στο σχήµαοι γωνίες σηµειώνονται µε ω 5

Να δειχθεί ότι η συνάρτηση f() = sin είναι σύµµορφη στα σηµεία = + i και = και να βρεθεί η γωνία στροφής ω = arg f ( ) σε αυτά τα σηµεία Λύση: f () = cos άρα η αεικόνιση w = sin είναι σύµµορφη αντού εκτός των σηµείων η+, η Z Άρα η f() είναι σύµµορφη στα ζητούµενα σηµεία iθ iθ e + e Τώρα, εειδή cosθ =, και µε τη χρήση του υερβολικού ηµιτόνου, sinh e e = θα έχουµε: e ω = argcos( + i) = arg και θ= argcos = arg= i( + i) i( + i) + e = arg i( e e ) = Να βρεθεί η γωνία στροφής ω= arg f ( ) της αεικόνισης σηµείο µε Im = y > f ( ) = στο Λύση: Η f ( ) είναι ολόµορφη στο C\{ } και ισχύει f ( ) =, ( ) i Άρα f ( ) = =, iy y οότε ροκύτει ω = arg f ( ) = Πρόταση: Αν η f είναι ολόµορφη και αµφιµονοσήµαντη σε ένα εδίο D, τότε f ( ) για κάθε D, δηλαδή η f είναι σύµµορφη στο D 6

Αόδειξη: Έστω ότι σε κάοιο σηµείο D έχουµε f ( ) = Η συνάρτηση h( ) = f ( ) f ( ) έχει το ρίζα τάξης η Μέσα στο D υάρχει κύκλος C : = r στον οοίο η h δεν µηδενίζεται, ενώ στο εσωτερικό του ισχύει h ( ) = όταν = Αν < a < min C h( ) τότε η συνάρτηση h( ) a έχει η ρίζες µέσα στον κύκλο Εειδή h ( ) = µόνο εάν = µέσα στον κύκλο C, οι ρίζες αυτές θα είναι αλές Συνεώς, f ( ) = f ( ) + a για τουλάχιστον δύο σηµεία εντός του κύκλου C αλλά εειδή η f είναι αµφιµονοσήµαντη αυτό είναι άτοο Θεώρηµα Riemann iθ Έστω f ( ) = και το εδίο D = { = re : < r <, < θ < } f ( ) = D,δηλαδή η f είναι ολόµορφη στο D iθ f ( D) = { w= re : < r <, θ } 4 Το συνοριακό τµήµα x αεικονίζεται στο εσωτερικό του f ( D ),στο u Συνεώς η f δεν αεικονίζει το σύνορο του D στο σύνορο του f ( D ) 4 Έστω ένα εδίο D και C µια κλειστή καµύλη µέσα στο D, µέσω της αεικόνισης f : D C Η εικόνα της C µέσω της αεικόνισης f, δηλαδή η C,είναι µια κλειστή καµύλη στο w -είεδο Αν κατά τη συνεχή κίνηση ενός σηµείου κατά τη θετική φορά άνω στη C,η εικόνα του στη C κινείται και αυτή κατά τη θετική φορά, τότε θα λέµε ότι η f διατηρεί τη 7

φορά Θετική είναι η φορά µε τον οοία κινείται ο αρατηρητής για να βλέει το εσωτερικό της C στα αριστερά του, δηλαδή η αντίστροφη αό την φορά των δεικτών του ρολογιού Αρχή της αντιστοιχίας των συνόρων Έστω D και G δύο αλά συνεκτικά, φραγµένα εδία ου έχουν σύνορα τις αλές, κλειστές και τµηµατικά λείες καµύλες C και C αντίστοιχα Θεώρηµα : Αν η σύµµορφη αεικόνιση w f ( ) = είναι αµφιµονοσήµαντη και αεικονίζει το εδίο D εί του εδίου G, τότε ισχύει ότι α) η f ( ) µορεί να εεκταθεί στο D ώστε να είναι συνεχής β) η εέκταση είναι αµφιµονοσήµαντη αό τη C εί της C και διατηρεί τη φορά Αντίστροφα ισχύει Θεώρηµα : Υοθέτουµε ότι η συνάρτηση w f ( ) = είναι ολόµορφη στο D και συνεχής στο D Η αεικόνιση f : C C είναι αµφιµονοσήµαντη και διατηρεί τη φορά Τότε η συνάρτηση f είναι αµφιµονοσήµαντη στο D και αεικονίζει το D σύµµορφα εί του G Έστω f ( ) = s in και D = { = x+ iy : x, y> } Να βρεθεί το f ( D ) Λύση: Στο σχήµα φαίνεται ότι το εδίο D είναι µια ηµιάειρη λωρίδα Η f είναι αµφιµονοσήµαντη στο D και συνεχής στο σύνορο του D Για 8

= x R, f ( ) = sin x, άρα η f αεικονίζει το διάστηµα, του D εί του διαστήµατος [, ] του f ( D ) Για = iy, y> έχουµε f ( ) = sin i = i sinh y,το οοίο είναι φανταστικός αριθµός, συνεώς η f αεικονίζει τον θετικό άξονα y στον θετικό άξονα υ, ενώ για = + iy, y> έχουµε f ( ) = sin + iy = cosh y άρα η f αεικονίζει την ηµιευθεία = + iy στο διάστηµα [, ] Οότε, λόγω του θεωρήµατος της αντιστοιχίας των συνόρων, το f ( D ),όως φαίνεται και στο σχήµα,είναι το ρώτο τεταρτηµόριο Θεώρηµα Riemann Αν D είναι ένα αλά συνεκτικό εδίο του ειέδου διαφορετικό του C, τότε υάρχει µια αµφιµονοσήµαντη σύµµορφη αεικόνιση w= f ( ) ου αεικονίζει το D εί του µοναδιαίου δίσκου w < Η αεικόνιση είναι µοναδική αν για κάοιο D έχουµε f ( ) = και f ( ) > Παρατηρήσεις για το θεώρηµα Riemann: α) το θεώρηµα δεν ισχύει αν D =C και β) το θεώρηµα Riemann εξασφαλίζει την ύαρξη µιας σύµµορφης αεικόνισης αλλά όχι την κατασκευή της 9

3 ιγραµµικοί µετασχηµατισµοί Στην ενότητα αυτή θα µελετήσουµε ένα σύνολο στοιχειωδών µετασχηµατισµών οι οοίοι έχουν ολλές εφαρµογές και είναι ολύ χρήσιµοι σύµµορφοι µετασχηµατισµοί Μετατόιση Έστω µια σταθερά b C Ο µετασχηµατισµός w= f ( ) = + b αεικονίζει ένα τυχαίο σηµείο του ειέδου, στο σηµείο w= + b του ειέδου w Η αεικόνιση αυτή είναι αµφιµονοσήµαντη Έτσι η εικόνα w= + b είναι µετατοισµένη ως ρος το αρχέτυο κατά το διάνυσµα b Το ίδιο ισχύει και για όλα τα σηµεία ενός σχήµατος, οότε µέσου αυτού του µετασχηµατισµού µορεί να µεταφερθεί ολόκληρο το σχήµα κατά το διάνυσµα b Εειδή όλα τα σηµεία µετατοίζονται κατά το ίδιο διάνυσµα, οι διαστάσεις του σχήµατος δεν αλλάζουν Ειδικά, αν ο b είναι ραγµατικός η µετατόιση γίνεται αράλληλα στον άξονα χ, ενώ αν ο b είναι φανταστικός η µετατόιση γίνεται αράλληλα στον άξονα y Η αντίστροφη αεικόνιση είναι η = w b Παράδειγµα: Η συνάρτηση f ( ) = + i µετατοίζει το τυχαίο σηµείο κατά το διάνυσµα i δηλαδή αράλληλα στον φανταστικό άξονα Έτσι η λωρίδα ανάµεσα στις ευθείες y =, y = αεικονίζεται στη λωρίδα ανάµεσα στις ευθείες υ =, υ = 3 Στροφή Έστω σταθερά a R Τότε, ο µετασχηµατισµός ia iθ ia i( θ+ a) w= f ( ) = e = re e = re

ροκαλεί αλλαγή της γωνίας του τυχαίου µιγαδικού κατά a ηλαδή το διάνυσµα αεικονίζεται στο διάνυσµα w το οοίο έχει στραφεί ως ρος το i a κατά γωνία a Εειδή e =, ισχύει w = Η αντίστροφη αεικόνιση είναι = we ia Παράδειγµα: Η συνάρτηση διανύσµατος κατά a = i f ( ) = e ροκαλεί στροφή του τυχαίου Μεγέθυνση Έστω k >, k R Ο µετασχηµατισµός w= f ( ) = k είναι µια αµφιµονοσήµαντη αεικόνιση του ειέδου εί του ειέδου w και ονοµάζεται µεγέθυνση Η αεικόνιση αυτή µεγενθύνει εί k το µέτρο χωρίς να του αλλάζει κατεύθυνση Αν < k < τότε έχουµε σµίκρυνση Παράδειγµα: Η αεικόνιση w= µετασχηµατίζει τον κυκλικό τόο 3 3 του ειέδου στον κυκλικό τόο w του w ειέδου

Ο αντίστροφος µετασχηµατισµός είναι ο = w k Αντιστροφή Ο µετασχηµατισµός w =, είναι σύνθεση των µετασχηµατισµών w = και w= w Ο ρώτος µετασχηµατισµός εκφράζει την αντιστροφή ως ρος τον µοναδιαίο κύκλο C : =, αφού w = και arg w = arg ενώ ο δεύτερος εκφράζει συµµετρία ως ρος τον άξονα των ραγµατικών Γραµµικός µετασχηµατισµός Η αεικόνιση w= f ( ) = a+ b, a, b C ονοµάζεται γραµµικός µετασχηµατισµός Αν υοθέσουµε ότι ισχύει a και a i = a e θ τότε

iθ w a e b = +, δηλαδή ο µετασχηµατισµός ου έχουµε είναι σύνθεση µιας µεγέθυνσης, µιας µετατόισης και µιας στροφής Η µεγέθυνση γίνεται κατά a, η µετατόιση κατά διάνυσµα b ενώ η στροφή κατά γωνία arg a Η αντίστροφη b αεικόνιση είναι η = w a a Ένας διγραµµικός µετασχηµατισµός ή µετασχηµατισµός Mobius έχει τη a+ b d µορφή w= f ( ) =,, a, b, c, d C () c+ d c και ικανοοιούν τη σχέση ab bc, αλλιώς η f ( ) θα ήταν σταθερή Για να µην ροκύψουν συναρτήσεις ου ήδη συναντήσαµε, θεωρούµε a και c Η () µορεί να γραφεί και στη µορφή + a a b d w= f ( ) = λ, λ =, a =, β =, a β () + β c a c β a f ( ) = λ Άρα ο διγραµµικός µετασχηµατισµός είναι σύµµορφος + β ( ) στο C εκτός του σηµείου β Το σηµείο β είναι όλος της f Είσης θέτουµε f ( β) = και f ( ) = λ Ο µετασχηµατισµός () είναι αµφιµονοσήµαντη αεικόνιση του C \{ β} στο βw+ λa C \{ λ}, ενώ η αντίστροφη αεικόνιση είναι η = w λ Εειδή ο διγραµµικός µετασχηµατισµός έχει τρεις αραµέτρους λ, a, β συµεραίνουµε ως υάρχουν άειροι διγραµµικοί µετασχηµατισµοί ου αεικονίζουν το είεδο στο είεδο w Τώρα, αίρνοντας τον µετασχηµατισµό (), + a a b d a β w= f ( ) = λ, λ =, a =, β =, a β f ( ) = λ + + β c a c + β και θέτοντας w = + β, w =, w3 = λ( a β) w + λ, εύκολα καταλαβαίνουµε w ότι ένας διγραµµικός µετασχηµατισµός είναι µια σύνθεση µετατόισης w = + β αντιστροφής w = w γραµµικού µετασχηµατισµού w3 = λ( a β) w + λ Συνεώς ένας διγραµµικός µετασχηµατισµός µορεί να εριλαµβάνει στροφή, µετατόιση, αντιστροφή και µεγέθυνση 3

Θεώρηµα: Υάρχει µοναδικός διγραµµικός µετασχηµατισµός ου αεικονίζει τρία διαφορετικά σηµεία,, 3 σε τρία διαφορετικά σηµεία w, w, w 3 Ο µετασχηµατισµός δίνεται αό την σχέση w w w w3 3 = (3) w w w w 3 3 Αόδειξη: Πρέει να δείξουµε ότι f ( ) = w, f ( ) = w, f ( 3) = w3 ορίζουν τις τιµές των αραµέτρων λ, a, β µονοσήµαντα ( 3)( β a) ( )( β a) w w3 = λ και w w = λ ( + β)( 3 + β) ( + β)( + β) w w3 ( 3)( + β) Άρα, = (4) w w ( )( 3 + β) Οότε για ένα τυχαίο και w= f ( ) ισχύει ότι : w w ( )( 3 + β) = (5) w w3 ( 3)( + β) Ααλείφοντας αό την (4) και την (5) το β ροκύτει η (3) Παρατηρήσεις: w w3 Αν w =, τότε το ρώτο µέλος της (3) γίνεται w w3 3 Αν =, τότε το δεύτερο µέλος της (3) γίνεται Να βρεθεί ο σύµµορφος µετασχηµατισµός ου αεικονίζει τα σηµεία =, =, 3 = στα σηµεία w =, w =, w3 = i Λύση: Θεωρώ τυχαίο σηµείο 4 = ου αεικονίζεται στο σηµείο w4 4 3 w4 w w w3 Πρέει = 4 3 w w w4 w3 ( ) w ( ) ( i) + w+ + i = = ( ) ( ) w ( i) w+ i i i w= f ( ) = f ( ) = i i+ Να βρεθεί ο σύµµορφος µετασχηµατισµός ου αεικονίζει α) τα σηµεία -,, στα σηµεία,, β) τα σηµεία, i, στα σηµεία,, 3 = w 4

Λύση: α)αό τον τύο (3) ροκύτει (βλ αρατηρήσεις) w = + w= + w 3 β) Οµοίως µε (α) w = w= w i + i Πρόταση: Έστω ( ) f ένας διγραµµικός µετασχηµατισµός Αν E C είναι µια ευθεία και K C ένας κύκλος στο είεδο, τότε το f ( E ) είναι ευθεία ή κύκλος και το f ( K ) είναι ευθεία ή κύκλος στο είεδο w Αόδειξη: Εειδή ένας διγραµµικός µετασχηµατισµός είναι σύνθεση δύο γραµµικών µετασχηµατισµών και µιας αντιστροφής, τότε αρκεί να δείξουµε ότι w= f ( ) = Η εξίσωση της E στο είεδο θα είναι της µορφής a+ a+ b= όου a C \{} και b R Εάν θέσουµε = τότε ροκύτει ότι w bww+ aw+ aw= σχέση η οοία αριστάνει ευθεία αν b= ή κύκλο αν b Η εξίσωση του K στο είεδο θα είναι µορφής a + b+ b+ k =, a, k R, a και b > ak Έτσι θέτοντας = ροκύτει kww+ bw+ bw+ a = σχέση η οοία w αριστάνει κύκλο αν k ή ευθεία αν k = Να βρεθεί η εικόνα της ευθείας y = µέσω του µετασχηµατισµού i w= f ( ) = + i Λύση: Θέτουµε w= u+ iυ και = x+ iy Οότε έχουµε x + iy i x + i ( y ) u+ iυ = u+ iυ = x+ iy+ i x+ i( y+ ) Πολλαλασιάζοντας την σχέση µε το συζυγή του αρονοµαστή x i( y+ ) ροκύτει η σχέση : ( x + y ) x δηλαδή u = () και υ = (3) x + ( y + ) x + ( y + ) Στις () και (3) αντικαθιστούµε y = και ροκύτει x x u = (4) και υ = (5) x + x + 5

+ u Λύνοντας την (4) ως ρος x ροκύτει x = και αντικαθιστώντας στη u υ + u υ (5) βρίσκουµε x = + x = u (6) u Με αντικατάσταση της (6) στην (4) βρίσκουµε ότι u εριφέρεια κύκλου είναι η ζητούµενη εικόνα + υ =, αυτή η Να βρεθεί η σύµµορφη αεικόνιση ου αεικονίζει το µοναδιαίο κύκλο στο Im w> Λύση: Πρέει να βρούµε ένα διγραµµικό µετασχηµατισµό ου να αεικονίζει τα σηµεία, i, του ειέδου στα σηµεία,, του ειέδου w Ο µετασχηµατισµός αυτός είναι της µορφής w=λ αφού αεικονίζει τα + σηµεία,- του στα σηµεία, του w Τώρα, το i αεικονίζεται στο, i οότε ισχύει = λ λ = i Οότε ο µετασχηµατισµός w= i i+ + αεικονίζει τον κύκλο = στην ευθείαυ =, ενώ το εσωτερικό του, εειδή διατηρείται η φορά και σύµφωνα µε ροηγούµενο θεώρηµα, αεικονίζεται στο άνω ηµιείεδο Im w> Ένας φακοειδής τόος έχει σύνορα δύο εριφέρειες ου τέµνονται Να βρεθεί η σύµµορφη αεικόνιση ου αεικονίζει τον φακοειδή τόο σε µια γωνία µε κορφή την αρχή των αξόνων Λύση: Έστω ότι έχουµε τον φακοειδή τόο του σχήµατος µε σύνορα τις εριφέρειες C, C 6

Εειδή ο µετασχηµατισµός αεικονίζει εριφέρεις του ειέδου σε εριφέρεις του ειέδου w, συµεραίνουµε ότι τα δύο σηµεία τοµής, αεικονίζονται στα σηµεία w= και w=, ώστε οι εικόνες C, C να έχουν σηµεία τοµής τα σηµεία, άρα είναι ευθείες ου δίερχονται αό την αρχή των αξόνων, αφού δύο εριφέρειες µε εερασµένη ακτίνα δεν γίνεται να τέµνονται στο Συνεώς, ο ζητούµενος διγραµµικός µετασχηµατισµός είναι της µορφής f ( ) = λ, λ C Είσης ισχύει f ( ) =, f ( ) = Αξίζει να υενθυµισθεί ως η γωνία µε την οοία τέµνονται οι δύο εριφέρειες είναι ίση µε την γωνία ου σχηµατίζουν οι εικόνες τους 7

Συµµετρικά σηµεία Έστω η ευθεία a+ a+ k = ύο σηµεία, είναι συµµετρικά ως ρος την ευθεία αν και µόνο αν ισχύει a + a + k = Έστω ο κύκλος C : = r ύο σηµεία, είναι συµµετρικά ως ρος τον κύκλο C αν και µόνο αν ισχύουν οι σχέσεις arg( ) = arg( ) () και r = () Το κέντρο του κύκλου και το θεωρούνται συµµετρικά ως ρος τον C Οι σχέσεις () και () γράφονται στην µορφή ( )( ) r = (3) Αό τη σχέση () είναι φανερό ότι τα σηµεία,, βρίσκονται στην ίδια ηµιευθεία ενώ αό τη () ότι το γινόµενο των αοστάσεων των δύο συµµετρικών σηµείων αό το κέντρο του κύκλου ισούται µε το τετράγωνο της ακτίνας Αν το σηµείο βρίσκεται άνω στον κύκλο C, τότε το συµµετρικό του ταυτίζεται µε το Έστω τώρα ο κύκλος C και τα συµµετρικά ως ρος αυτόν σηµεία, i Έστω ότι = re θ Τότε εειδή τα,, βρίσκονται στην ίδια ευθεία αό i τις αραάνω σχέσεις ροκύτει = + r e θ και i σηµείο του C, = + re ϕ Τότε ισχύει: re re r re re r r re r e r re re r r iϕ iθ iϕ iθ = = = = iϕ iθ iϕ iθ ανααράσταση του C r r r = Έστω ένα τυχαίο ου είναι µια Αντίστροφα, µια σχέση της µορφής = k,, k αριστάνει κύκλο για τον οοίο τα, είναι συµµετρικά Μορούµε να βρούµε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου συναρτήσει των δύο συµµετρικών σηµείων και του k 8

= k ( ) k ( ) = k ( ) ( ) Άρα, k k = k k Αυτή η εξίσωση αριστάνει κύκλο µε κέντρο k k = και ακτίνα r = k k k Ακόµα, ( ) = k συνεώς ( )( ) = r k και = ( ), Άρα όντως τα σηµεία, είναι συµµετρικά ως ρος τον κύκλο κέντρου και ακτίνας r o Αν k = τότε η ακτίνα είναι µηδέν οότε ο κύκλος εκφυλίζεται σε σηµείο o Αν k = τότε η ακτίνα γίνεται άειρη και ο κύκλος γίνεται µια ευθεία Σε αυτή την ερίτωση η εξίσωση = είναι η µεσοκάθετος του ευθύγραµµου τµήµατος ου ενώνει τα σηµεία και Καταλήγουµε λοιόν στο συµέρασµα ότι η εξίσωση = k, k > αριστάνει κύκλο ως ρος τον οοίο τα σηµεία και είναι συµµετρικά Η οικογένεια των κύκλων ου έχουν τα ίδια συµµετρικά σηµεία ονοµάζεται οικογένεια κύκλων του Αολλωνίου Πρόταση (Ιδιότητα διατήρησης της συµµετρίας): Ένας διγραµµικός µετασχηµατισµός αεικονίζει συµµετρικά σηµεία ως ρος έναν κύκλο σε συµµετρικά σηµεία ως ρος την εικόνα του κύκλου Αόδειξη: Έστω ο κύκλος C µε τα συµµετρκά ως ρος αυτόν σηµεία, C = > : k, k dw+ b και ο µετασχηµατισµός = Χρησιµοοιώντας τον µετασχηµατισµό στην cw a ( c + d) w ( a + b) εξίσωση του κύκλου έχουµε = k ( c + d) w ( a + b) d w w c + d Αν υοθέσουµε ότι, τότε, = k = k, k > Αό αυτή c w w c + d τη σχέση συµεραίνουµε ότι τα σηµεία w και w είναι συµµετρικά του κύκλου C 9

d a + b Αν = τότε w = f ( ) = Τότε έχουµε w w = c k c + d δηλαδή το w είναι το κέντρο του κύκλου C οότε τα w, w είναι συµµετρικά ως ρος τον C d Σε ανάλογο συµέρασµα καταλήγουµε αν = c Να βρεθεί ένας διγραµµικός µετασχηµατισµός ου να αεικονίζει το δίσκο + στο ηµιείεδο Im 3 Λύση: Εειδή τα σηµεία και είναι συµµετρικά ως ρος τον κύκλο + =, ενώ τα σηµεία και 6i είναι συµµετρικά ως ρος την ευθεία Im = 3 ψάχνουµε µετασχηµατισµό ου θα αεικονίζει τα σηµεία,, του ειέδου στα σηµεία 6 i,,3i αντίστοιχα του w ειέδου Εειδή το αεικονίζεται στο, ψάχνουµε ένα µετασχηµατισµό της µορφής a a a w= Έτσι, χρησιµοοιώντας ότι 6i = και 3i = καταλήγουµε ότι + b + b + b i w= + 3 Να βρεθούν οι διγραµµικοί µετασχηµατισµοί ου αεικονίζουν το δίσκο < στον δίσκο w < έτσι ώστε ένα δοσµένο εσωτερικό σηµείο να αεικονίζεται στο κέντρο του δίσκου Λύση: Έστω το εσωτερικό σηµείο a και το συµµετρικό του ως ρος τον κύκλο =, το σηµείο Αό τη στιγµή ου γνωρίζουµε ότι το a αεικονίζεται στο a αυτοµάτως ξέρουµε ως το σηµείο a αεικονίζεται στο γιατί είναι συµµετρικό

του ως ρος τον κύκλο w = Εοµένως ο µετασχηµατισµός είναι της µορφής a w= λ = λ a a a a Εειδή όµως iϕ iϕ a e a e a w λ a a a a i i a λ ϕ ϕ ae λ = = = = e a λ =, iθ το οοίο σηµαίνει ότι λ a = e, θ R Εοµένως οι ζητούµενοι µετασχηµατισµοί είναι της µορφής iθ a w= f ( ) = e, θ R a Σηµείωση: Η λύση είναι µοναδική εκτός της σταθεράς θ Όµως, iθ f ( a) = e οότε arg f ( a) = θ, δηλαδή µορεί να υάρξει λήρης a καθορισµός του µετασχηµατισµού αν γνωρίζουµε την αράγωγο της f στο σηµείο a Να βρεθεί ο διγραµµικός µετασχηµατισµός w= f ( ) ου αεικονίζει τα άνω ηµιείεδο Im > εί του µοναδιαίου δίσκου w < έτσι ώστε: f ( i ) = και arg f ( i) = Λύση: Ο ζητούµενος µετασχηµατισµός είναι της µορφής iθ a f ( ) = e, θ a R () iθ i a e = a = i i a Εειδή f ( i ) = η αραάνω σχέση γίνεται και a= i iθ i οότε η σχέση () γίνεται f ( ) = e Παραγωγίζοντας αυτήν τη σχέση + i έχουµε iθ iθ iθ + i ( i) ie ie f ( ) = e f ( ) = f ( i) = ( + i) ( + i) ( i) iθ iθ e e f ( i) = = = e f ( i) = e i i e i( θ ) i( θ )

Εειδή όµως θ R, το όρισµα της f ( i) είναι θ και ρέει iθ i θ = θ =, οότε η f ( ) = e + γίνεται i i i i f ( ) = e = + i + i Να βρεθεί µετασχηµατισµός ου αεικονίζει το δίσκο < στο δίσκο w < έτσι ώστε f = και arg f = Λύση: Ο ζητούµενος διγραµµικός µετασχηµατισµός είναι της µορφής iθ iθ w= f ( ) = e = e 4 και εειδή f = 3 i e θ µετασχηµατισµός είναι ο τότε ρέει arg w= i f = = θ, ο ζητούµενος iθ a Να δειχθεί ότι ο µετασχηµατισµός w= e, θ R, Im a> a ηµιείεδο Im > στον µοναδιαίο δίσκο w < αεικονίζει το Λύση: > > > () i Ο τόος Im y i( ) Λύνω τον µετασχηµατισµό ως ρος, iθ iθ a aw e a w e iθ = = a w e

Αντικαθιστώντας την αραάνω σχέση στην () ροκύτει ότι iθ iθ aw ae aw e a i > a iθ iθ w e w e και αν λάβουµε υόψη ότι a = Im a > i έχουµε ότι u + υ < w < Να βρεθούν οι µετασχηµατισµοί ου αεικονίζουν το µοναδιαίο δίσκο < εί του ηµιειέδου Im w> iθ w a Λύση: Η αεικόνιση w = e, θ R, Im a> w a αεικονίζει αµφιµονοσήµαντα το ηµιείεδο Im w > στον µοναδιαίο δίσκο w < Άρα η () αεικονίζει τον µοναδιαίο δίσκο w < στο άνω ηµιείεδο iθ w a Im w > Θέτοντας w =, w = ροκύτει = e () w a Έτσι, λύνοντας την () ως ρος w βρίσκουµε του ζητούµενους µετασχηµατισµούς iθ a ae w=, θ R iθ e () Να βρεθεί µετασχηµατισµός ου αεικονίζει ένα δακτύλιο µη οµόκεντρων κύκλων σε δακτύλιο οµόκεντρων κύκλων Λύση: Έστω ο κύκλος C µε κέντρο το σηµείο = και ακτίνα R και κύκλος C µε ακτίνα r < R και κέντρο το σηµείο a R ύο σηµεία P και P ου είναι συµµετρικά ως ρος τους δύο κύκλους βρίσκονται στον άξονα των ραγµατικών αριθµών όως φαίνεται και στο σχήµα 3

Λόγω της συµµετρίας ισχύουν οι σχέσεις : ( x a)( x a) = r (), x x = R () Η εξίσωση ( ) ( ) ax R r + a x+ ar = µε θετική ορίζουσα R r + a 4aR διότι R r > a, έχει ρίζες τα x και x x Θεωρούµε τον µετασχηµατισµό w =λ x, ο οοίος αεικονίζει τους κύκλους C, C του ειέδου,σε δύο κύκλους K και K του ειέδου w Το σηµείο P αεικονίζεται στο, ενώ το P ου είναι συµµετρικό του ως ρος του κύκλους C, C, αεικονίζεται σε σηµείο ου είναι συµµετρικό του w= ως ρος τους κύκλους K και K στο είεδο w Συµµετρικό σηµείο όµως είναι το κέντρο του κύκλου, οότε ο µετασχηµατισµός ου υοθέσαµε είναι η ζητούµενη αεικόνιση αφού αεικονίζει το P στο κοινό κέντρο των κύκλων K και K Να βρεθεί ένας µετασχηµατισµός ου αεικονίζει το εδίο D = { : Im <, + ia > R, a> R> )} σε ένα δακτύλιο µε κέντρο το Λύση: Πρέει αρχικά να βρεθούν δύο σηµεία ου είναι ταυτόχρονα συµµετρικά ως ρος την ευθεία Im = και ως ρος τον κύκλο + ia = R Προφανώς αυτά τα σηµεία είναι άνω στον άξονα των φανταστικών οότε είναι της µορφής ik και ik, k > λόγω της συµµετρίας ως ρος την ευθεία Είσης, λόγω της συµµετρίας ως ρος τον κύκλο ισχύει ( a+ k)( a k) = R, οότε k = a R + ik Ο µετασχηµατισµός ου ψάχνουµε είναι ο w= και αυτό αοδεικνίεται γιατί ik το σηµείο = ik αεικονίζεται στο, ενώ το σηµείο = ik αεικονίζεται στο, άρα η εικόνα της ευθείας Im = στο είεδο w είναι ο κύκλος C : w = Οµοίως, 4

αοδεικνύεται ότι ο κύκλος + ia = R αεικονίζεται σε έναν κύκλο R+ a k w = R, R = Αό την αρχή της αντιστοιχίας των συνόρων ο σύµµορφος R + a + k + ik µετασχηµατισµός w= αεικονίζει το εδίο D του ειέδου στον δακτύλιο ik R w < < του ειέδου w 4 Στοιχειώδεις µετασχηµατισµοί α) Ο µετασχηµατισµός f ( ) = Η αράγωγος f ( ) = άρα αυτός ο µετασχηµατισµός είναι σύµµορφος σε όλο το i C εκτός του Αν w= Re φ i και = re θ iθ w= = r e R = r και φ = θ Άρα η f αεικονίζει τον κύκλο = a στον κύκλο w = a, καθώς και µία ηµιευθεία, έστω την θ = k του ειέδου, µε αρχή το στην ηµιευθεία φ = k του ειέδου w Αν w= u+ iυ = f ( ) =, τότε ισχύει u( x, y) = x y και υ ( x, y) = xy Άρα η f αεικονίζει τις οικογένειες υερβολών του ειέδου, x y = C και xy = C, στις οικογένειες ευθειών του ειέδου w, u = c και υ = c Εειδή f ( i) =, f () = και f () =, η f αεικονίζει το ρώτο τεταρτηµόριο του ειέδου στο άνω ηµιείεδο του ειέδου w Αναλόγως συµεραίνουµε και ότι η f αεικονίζει το δεύτερο τεταρτηµόριο του ειέδου στο κάτω ηµιείεδο του ειέδου w β) Εκθετικοί και λογαριθµικοί µετασχηµατισµοί 5

Η συνάρτηση f ( ) = e, C είναι σύµµορφη σε όλο το C αφού f ( ) = e, δεν είναι όµως αµφιµονοσύµαντη σε όλο το C Η f είναι αµφιµονοσήµαντη αεικόνιση στο εδίο D = { = x+ iy : < y } Έστω ότι = x+ iy και w i = re φ x Αν w= e r( x, y) = e, φ ( x, y) = y Αό τις αραάνω ισότητες είναι φανερό ότι η f αεικονίζει µια οριζόντια ευθεία y = c, c Rτου ειέδου σε µια ηµιευθεία φ = c µε αρχή το του ειέδου w καθώς και µια ευθεία κατακόρυφη, την x= c του ειέδου, στον κύκλο w = e του ειέδου w Οότε, αν c > c, c c < τότε η f αεικονίζει την οριζόντια λωρίδα ου έχει σύνορα τις ευθείες y = c, y = c του ειέδου στο γωνιακό εδίο µε γωνία θ = c c c Ακόµα, η άειρη λωρίδα ου εριορίζεται αό τις x = c, x = c, c > c του c c ειέδου αεικονίζεται στον δακτύλιο ου ορίζουν οι κύκλοι w = e, w = e του ειέδου w γ)τριγωνοµετρικοί µετασχηµατισµοί Έστω ο µετασχηµατισµός w= f ( ) = sin ο οοίος είναι σύµµορφος στο διάστηµα < Re < αφού f ( ) = cos Έστω, u+ iυ = sin = sin x cosh y+ i cos xsinh y Αν a < τότε η ευθεία x = a είναι η καµύλη µε αραµετρικές εξισώσεις u = sin a cosh y, υ = cos asinh y 6

και χρησιµοοιώντας ότι cosh y sinh y = ροκύτει ότι u υ = sin a cos a δηλαδή µια υερβολή στο είεδο ( uυ, ) µε εστίες τα σηµεία ( ±, ) Αν a,, τότε sin cosh u = a y >, y οότε η ευθεία x= a αεικονίζεται στο δεξιό κλάδο της υερβολής Αν a,, τότε η ευθεία x= a αεικονίζεται στο ευθύγραµµο τµήµα υ =, u> Ακόµα, ο άξονας y αεικονίζεται στον άξονα υ Έστω τώρα µια οριζόντια γραµµή y = β, β >, x Ισχύει ότι u = sin x cosh β, υ = cos xsinhβ,οότε u υ + = cos hβ sin hβ δηλαδή µια έλλειψη στο είεδο ( uυ, ) Η γραµµή y = β αεικονίζεται στο άνω µέρος της έλλειψης Η γραµµή y = β αεικονίζεται στο κάτω µέρος της έλλειψης Αν β = τότε το ευθύγραµµο τµήµα y =, x αεικονίζεται στο ευθύγραµµο τµήµα υ =, u 7

(εκθετικός µετασχηµατισµός) Να βρεθεί η εικόνα του εδίου D του σχήµατος µέσω της αεικόνισης f ( ) = e Λύση: Καταρχήν ξέρουµε f () = και f ( ) = Είσης, αν x και y = ισχύει ότι w= e x, < w R Εξάλλου, αν x = και y τότε w = και arg w Για x και y = ροκύτει ότι w< w= e x και 8

(Τριγωνοµετρικός µετασχηµατισµός) Να δειχθεί ότι ο µετασχηµατισµός w= f ( ) = sin αεικονίζει το εδίο D = { = x+ iy : < x<, y> } στο άνω ηµιείεδο Λύση: Αν = + iy, y, έχουµε f ( ) = sin + iy = cosh y, οότε η f αεικονίζει την ηµιευθεία = + iy, y> στο διάστηµα (, ] Το διάστηµα, αεικονίζεται στο διάστηµα [,] Αν = + iy, y, έχουµε f ( ) = sin + iy = cosh y, οότε η f αεικονίζει την ηµιευθεία = + iy, y> στο διάστηµα [, ) Άρα η f αεικονίζει το σύνορο του D στον άξονα των ραγµατικών αριθµών και έτσι, αό την αρχή της αντιστοιχίας των συνόρων, το D αεικονίζεται στο άνω ηµιείεδο α) Να βρεθεί µέσω του µετασχηµατισµού w = e η εικόνα του εδίου D = { a< Re < b, a, b R } β) Να βρεθεί ο µετασχηµατισµός ου αεικονίζει το εδίο < Re < στο εδίο 4 e < w < e Λύση: α) Θεωρώ ένα τυχαίο σηµείο του D, το = x+ iy, a< x< b, < y <+ Έτσι ο µετασχηµατισµός µας δίνει x w = e έχουµε x+ iy x iy w= e w= e e και εειδή a b a< x< b e < w < e καθώς και εειδή arg w y αίρνουµε ότι < y <+ < arg w<+ Συνεώς το ζητούµενο εδίο a b είναι το e < w < e, < arg <+ όως φαίνεται και στο σχήµα = 9

β) Ο µετασχηµατισµός w = αεικονίζει το εδίο < Re < στο εδίο < Re w <, ενώ ο µετασχηµατισµός w = w + αεικονίζει το εδίο αυτό στο εδίο < Re < 4 Στη συνέχεια, ο w e w = αεικονίζει το εδίο < Re < 4 στο εδίο 4 e < w < e Συνεώς ο µετασχηµατισµός ου αεικονίζει αευθείας το < Re < στο 4 e < w < e είναι ο w = e + Να βρεθεί ο µετασχηµατισµός ου αεικονίζει το εδίο ηµιείεδο < Im < στο άνω 4 Λύση: Η διαδικασία ου ρέει να ακολουθήσουµε είναι η εξής: Πρέει να χρησιµοοιήσουµε τον εκθετικό µετασχηµατισµό ώστε να αεικονίσουµε την λωρίδα ου είναι κάθετη στον άξονα y σε γωνία στο είεδο w Στη συνέχεια θα ρέει να στρέψουµε το εδίο ου θα ροκύψει ώστε η µια ηµιευθεία ου σχηµατίζει την γωνία να συµίτει µε τον άξονα των ραγµατικών στο είεδο w και στη συνέχει αυτό το εδίο να το κάνουµε ίσο µε το άνω ηµιείεδο Έστω τώρα, ένα τυχαίο σηµείο του εδίου, το = x+ iy, < x<+, < y < 4 x+ iy x iy Χρησιµοοιώντας τον εκθετικό µετασχηµατισµό w = e = e = e e x ροκύτει ότι w = e, < x<+ < w <+ και arg w = y, < y < < arg w < δηλαδή όως φαίνεται και στο σχήµα 4 4 3

Στη συνέχεια, ρέει να στρέψουµε το εδίο ου ροέκυψε κατά γωνία έτσι 4 ώστε η µία λευρά της γωνίας να συµίτει µε τον άξονα των ραγµατικών και αυτό 4 γίνεται µε τον µετασχηµατισµό w = we οότε και ροκύτει το εδίο του σχήµατος i Τέλος, εειδή το εδίο ου έχουµε τώρα είναι το < arg w < ρέει να 4 4 χρησιµοοιήσουµε τον µετασχηµατισµό w= w ώστε να τετραλασιάσουµε την γωνία και να αεικονίζεται σε ολόκληρο το άνω ηµιείεδο Οότε, καταλήγουµε ότι ο µετασχηµατισµός ου αεικονίζει το εδίο < Im < 4 στο άνω ηµιείεδο είναι ο 4 i 4 4 i 4 w= e e w= e e w= e Να βρεθεί ο µετασχηµατισµός ου αεικονίζει το εδίο < y < στον µοναδιαίο κύκλο Λύση: Αό την ροηγούµενη εφαρµογή µορούµε να συµεράνουµε ότι ο µετασχηµατισµός w = e αεικονίζει το εδίο < y < στο άνω ηµιείεδο Ο µετασχηµατισµός ου αεικονίζει το άνω ηµιείεδο στον µοναδιαίο δίσκο είναι ο w i e i w = οότε ο ζητούµενος µετασχηµατισµός είναι ο w = w + i e + i 3

Να βρεθεί ο µετασχηµατισµός ου αεικονίζει το δίσκο + i < 3 στο ηµιείεδο Im w> Re w ίνεται ότι i i Λύση: Αρχικά θεωρούµε τον µετασχηµατισµό w = + i ώστε να µετατοίσουµε τον δίσκο για να έχει κέντρο τη αρχή των αξόνων Στη συνέχεια αίρνουµε τον µετασχηµατισµό w = w έτσι ώστε να σµικρύνει τον κύκλο για να έχει ακτίνα ίση 3 µε το Σύµφωνα µε ροηγούµενη εφαρµογή, ο µετασχηµατισµός ου αεικονίζει τον iθ w a ae µοναδιαίο δίσκο στο άνω ηµιείεδο είναι ο w3 =, θ R iθ w e Η σχέση Im w> Re w εριγράφει το ηµιείεδο ου βρίσκεται άνω αό την ευθεία u υ> όως φαίνεται στο σχήµα 3

i Έτσι, ο µετασχηµατισµός w= w3e ϕ αεικονίζει το Im w 3 > στο ηµιείεδο Im w> Re w Οότε ο ζητούµενος µετασχηµατισµός είναι ο iθ ( + i) a ae 3 iϕ w3 = e, θ R iθ ( + i) e 3 και εειδή i i έχουµε ότι i ϕ + iϕ iϕ i = ae a = ie = e Να βρεθεί ο µετασχηµατισµός ου αεικονίζει το ρώτο τέταρτο του δίσκου < 3 στο ρώτο τεταρτηµόριο Λύση: Το ρώτο τέταρτο του δίσκου < 3 αεικονίζεται στο άνω ήµισυ του µοναδιαίου δίσκου µέσω του µετασχηµατισµού w = Ο µετασχηµατισµός 9 w w = i αεικονίζει το άνω ήµισυ του µοναδιαίου δίσκου στο ρώτο + w τεταρτηµόριο Άρα ο ζητούµενος µετασχηµατισµός είναι w 9 9 w= f ( ) = i = i = i + w 9+ + 9 Να βρεθεί ο µετασχηµατισµός ου αεικονίζει το εδίο D : <, + > } στον µοναδιαίο δίσκο Λύση: Αρχικά θα βρούµε τα σηµεία τοµής των κύκλων = και + = { 33

= = () ( )( ) ( )( ) + = + + = + + = + + + = και χρησιµοοιώντας την () ροκύτει + = = και εειδή ότι i, i = = =, όου και τα σηµεία τοµής Σχηµατικά, = έχουµε Τώρα, θα µετασχηµατίσουµε τις εριφέρειες σε ευθείες µέσω του µετασχηµατισµού i w = Το εδίο D αοτελείται αό τα σηµεία ου βρίσκονται στο εσωτερικό + i της εριφέρειας = και στο εξωτερικό της εριφέρειας + =, οότε εειδή το σύνορο = αεικονίζεται σε ευθεία και i αρκεί να βρούµε την εικόνα ενός ακόµα σηµείου i ( i) Για = ο µετασχηµατισµός µας δίνει w = = = i άρα το σύνορο + i ( + i)( i) του = αεικονίζεται στο αρνητικό µέρος του άξονα των φανταστικών αριθµών Οµοίως θα βρεθεί και η εικόνα του συνόρου + = ( ) i + i = w = = = + i + i ( ) το οοίο σηµαίνει ότι για το σηµείο = ισχύει Re w = Im w < οότε ο µετασχηµατισµός w αεικονίζει το D στο εδίο του σχήµατος 34

Στη συνέχεια, µε τον µετασχηµατισµό w 5 i 4 we = στρέφουµε το εδίο κατά 5 γωνία ώστε η µια λευρά της γωνίας ου έχουµε να συµέσει µε τον θετικό 4 άξονα των ραγµατικών αριθµών Ακόµα, θεωρούµε τον µετασχηµατισµό w = w έτσι ώστε να µετασχηµατίσουµε 4 3 το αραάνω εδίο σε ολόκληρο το ηµιείεδο Im w 3 > Τέλος, µε τον µετασχηµατισµό i w a =, θ θ 3 w e w 3 a ηµιείεδο στον µοναδιαίο δίσκο w < R αεικονίζουµε το άνω Οότε, ο µετασχηµατισµός ου αεικονίζει το εδίο D : <, + > } στον µοναδιαίο δίσκο είναι ο 5 4 i i e 4 a i iθ + w= e, θ 5 4 i i e 4 a i + { R Να βρεθεί ο µετασχηµατισµός ου αεικονίζει το ήµισυ του δίσκου D = : <, Im > στον µοναδιαίο δίσκο { } 35

Λύση: Αό ροηγούµενη εφαρµογή γνωρίζουµε ότι ο µοναδιαίος δίσκος αεικονίζεται στο άνω ηµιείεδο µέσω του µετασχηµατισµού w = i + i 4 3 Ισχύει φ = + i οότε ο µετασχηµατισµός w αεικονίζει το εδίο D στο 5 5 ρώτο τεταρτηµόριο Στη συνέχεια, χρησιµοοιούµε τον µετασχηµατισµό w ώστε να αεικονίσουµε το ρώτο τεταρτηµόριο στο άνω ηµιείεδο = w Τέλος, ο µετασχηµατισµός ου αεικονίζει το άνω ηµιείεδο στον µοναδιαίο δίσκο i w είναι ο w= Οότε ο µετασχηµατισµός ου αεικονίζει το εδίο D στον i+ w µοναδιαίο δίσκο w < είναι ο i i i w i w + i + w = = = = i+ w i+ w i + i+ i + + i Να βρεθεί ο µετασχηµατισµός ου αεικονίζει ένα φακοειδή εδίο ου ροκύτει αό την τοµή δύο κυκλικών δίσκων στο άνω ηµιείεδο Λύση: Χρησιµοοιούµε αρχικά τον µετασχηµατισµός w = ο οοίος αεικονίζει το σηµείο = στο w= και το σηµείο = στο σηµείο w= Ο µετασχηµατισµός αυτός, αεικονίζει είσης τα κυκλικά τόξα του φακοειδούς εδίου σε δύο ηµιευθείες µε αρχή την αρχή των αξόνων και σχηµατίζουν γωνία θµεταξύ τους, όου θείναι η γωνία τοµής των εφατοµένων σε ένα αό τα σηµεία τοµής των δύο εριφερειών των κυκλικών δίσκων ηλαδή ο µετασχηµατισµός αεικονίζει το φακοειδές εδίο του ειέδου στο γωνιακό εδίο του ειέδου w 36

θ Στη συνέχεια, χρησιµοοθούµε τον µετασχηµατισµό w = w για να αεικονίσουµε φ φ το γωνιακό εδίο ου έχουµε στο γωνιακό εδίο < arg w < + το οοίο µε θ θ φ θ τον σχηµατισµό w3 = e w αεικονίζεται στο άνω ηµιείεδο Συνεώς ο φ θ θ ζητούµενος µετασχηµατισµός της άσκησης είναι ο w= e Να βρεθεί ο µετασχηµατισµός ου αεικονίζει το εδίο i > στο Im w> Λύση: Αρχικά, αίρνουµε τον µετασχηµατισµό w = i ο οοίος αεικονίζει το εδίο ου έχουµε στο εξωτερικό του µοναδιαίου κύκλου Στη συνέχεια χρησιµοοιούµε τον µετασχηµατισµό w = ο οοίος αεικονίζει το w εξωτερικό του µοναδιαίου κύκλου στο εσωτερικό του Τέλος, εειδή ο w µετασχηµατισµός w3 = i αεικονίζει τον µοναδιαίο κύκλο στο άνω + w i ηµιείεδο, συµεραίνουµε ότι ο ζητούµενος µετασχηµατισµός είναι w= i i 37

5 Μετασχηµατισµός Joukowski Η αεικόνιση w= f ( ) = + ονοµάζεται µετασχηµατισµός Joukowski Η συνάρτηση αυτή είναι ολόµορφη στο C \{}, µε το σηµείο = να είναι όλος και εειδή f ( ) = στο C εκτός των σηµείων ±,ροκύτει ότι η f είναι σύµµορφη αντού εκτός αυτών των δύο σηµείων Ο µετασχηµατισµός Joukowski είναι ολύ χρήσιµος στην µελέτη υδροδυναµικών και αεροδυναµικών ροβληµάτων, διότι µετασχηµατίζει κύκλους σε σχήµατα ου µοιάζουν µε φτερά αερολάνων και βοηθάνε στην µελέτη της ροής του αέρα γύρω αό ένα φτερό Εύκολα συµεραίνουµε ότι f ( ) = f το οοίο σηµαίνει ως δύο σηµεία του ειέδου, τα, ου έχουν την ιδιότητα =, έχουν την ίδια εικόνα στο είεδο w Οότε ο µετασχηµατισµός Joukowski είναι αµφιµονοσήµαντος σε ένα εδίο αν και µόνο δεν υάρχουν δύο σηµεία, του εδίου για τα οοία να ισχύει η σχέση = Συνεώς ο µετασχηµατισµός Joukowski είναι αµφιµονοσήµαντος στα εδία <, >, Im >, Im < Έστω i = re θ και w= u+ iυ Χρησιµοοιώντας τον µετασχηµατισµό Joukowski έχουµε u = r+ cos θ r και υ sin r = θ r Είναι φανερό ότι η αεικόνιση του κύκλου = ρ < είναι η έλλειψη η οοία έχει ηµιάξονες εστίες τα σηµεία ± Αν a ρ u υ + = ρ+ ρ 4 ρ 4 ρ = ρ+ ρ, b ρ = ρ ρ και εειδή aρ bρ = έχει ρ η έλλειψη εκφυλίζεται στο διάστηµα [,] Αν ρ οι άξονες της έλλειψης τείνουν στο άειρο του άξονα u Εοµένως, ο µετασχηµατισµός Joukowski αεικονίζει σύµµορφα το εδίο >, δηλαδή το εξωτερικού του µοναδιαίου κύκλου, στο C \[,], αφού f ( ) = f 38

Έστω τώρα u = r+ cos θ r και i = ρe θ και i w= u+ iv= u+ iv e φ Αό τις σχέσεις υ sin r = θ r ροκύτει ότι ρ tanφ = tanθ ρ + Αό αυτή τη σχέση καταλαβαίνουµε ότι: Αν το διατρέχει τον κύκλο = ρ < κατά την θετική φορά, τότε το w διατρέχει την έλλειψη κατά την αρνητική φορά Αν το διατρέχει τον κύκλο = ρ> κατά την θετική φορά, τότε το w διατρέχει την έλλειψη κατά την θετική φορά ia Τέλος, θεωρούµε την ηµιευθεία = ρe, < ρ <, a σταθερός Ο µετασχηµατισµός Joukowski αεικονίζει την ηµιευθεία αυτή στην υερβολή u υ k =, a µε εστίες τα σηµεία ± του άξονα των ραγµατικών και cos a sin a ασύµτωτες υ =± u tan a Να βρεθεί µέσω του µετασχηµατισµού Joukowski η εικόνα του εδίου { D = ih > + h, h R } Λύση: Το σύνορο του D είναι ο κύκλος K ου έχει κέντρο το σηµείο ih και i διέρχεται αό τα σηµεία =, =±, όου a = h+ + h a w Ο µετασχηµατισµός Joukowski µορεί να γραφεί και ως = w+ +, οότε αυτή η αεικόνιση µορεί να θεωρηθεί ως σύνθεση των + w w =, w = + w 39

Μέσω της w = + ο κύκλος K αεικονίζεται σε µια ηµιευθεία ου συνδέει τα σηµεία = και = Στη συνέχεια, η ευθεία αεικονίζεται µέσω της + w w = σε ένα τόξο κύκλου K µε άκρα τα σηµεία + και w Ο µετασχηµατισµός Joukowski όµως αεικονίζει το σηµείο = ia στο i w= ia = ih a οότε το τόξο K διέρχεται αό το σηµείο w= ih Εοµένως ο µετασχηµατισµός Joukowski αεικονίζει σύµµορφα το εξωτερικό του κύκλου K στο εξωτερικό του τόξου K Αξίζει να σηµειωθεί ότι ο Joukowski για να υολογίσει την ανυψωτική δύναµη ου δρα στο φτερό ενός αερολάνου χρησιµοοίησε καµύλες ου ροέκυψαν αό την αεικόνιση ενός κύκλου C ου έχει στο εσωτερικό του τον κύκλο K και εφάτονται στο σηµείο = Η καµύλη C ου ροκύτει µοιάζει µε φτερό αερολάνου Να δειχθεί ότι ο µετασχηµατισµός Joukowski αεικονίζει στο άνω ηµιείεδο, το εδίο D = { >, < arg < } i Λύση: Θεωρούµε = e θ, θ και αίρνουµε τον µετασχηµατισµό Joukowski, iθ iθ iθ οότε w= e + ( e e ) cosθ iθ = + = e Εειδή θ cosθ, η εικόνα του άνω ηµικυκλίου είναι το διάστηµα [,] 4

Για = x R f ( ) = x+ x και όταν το x διατρέχει το διάστηµα [, ) ή το (, ], τότε το f ( x ) διατρέχει το ίδιο διάστηµα Τώρα, ισχυριζόµαστε ότι ο µετασχηµατισµός Joukowski είναι αµφιµονοσήµαντος στο D και όντως αν άρουµε δύο σηµεία, D και ισχύει f ( ) = f ( ), τότε + ( )( ) = + = άρα = ή =, όµως, > δεν µορεί να ισχύει = συνεώς αοδείχθηκε ότι ο µετασχηµατισµός είναι αµφιµονοσήµαντος και σύµφωνα µε την αρχή της αντιστοιχίας των συνόρων το εδίο D αεικονίζεται στο άνω ηµιείεδο Να βρεθεί ο µετασχηµατισµός ου αεικονίζει το εδίο D της ροηγούµενης εφαρµογής στον µοναδιαίο δίσκο Λύση: Γνωρίζουµε ότι ο µετασχηµατισµός Joukowski αεικονίζει το εδίο D στο άνω ηµιείεδο Ο µετασχηµατισµός ου αεικονίζει το άνω ηµιείεδο στο i w µοναδιαίο δίσκο είναι ο w = (όου w ο µετασχηµατισµός Joukowski), i + w i + i+ οότε ο ζητούµενος µετασχηµατισµός είναι ο w= = + i + i+ + Να δείξετε ότι ο µετασχηµατισµός w= cosh αεικονίζει την ηµιλωρίδα < Im <, Re > στο άνω ηµιείεδο Λύση: Η ηµιλωρίδα < Im <, Re > αεικονίζεται στο εδίο D = w > < w < µέσω του µετασχηµατισµού w = e {, arg } 4

Στη συνέχεια, ο µετασχηµατισµός Joukowski αεικονίζει το εδίο αυτό στο άνω ηµιείεδο Συνεώς ο ζητούµενος µετασχηµατισµός είναι ο w= w e cosh + = + = w e Να δείξετε ότι η ηµιλωρίδα < Re <, Im > αεικονίζεται στο άνω ηµιείεδο µέσω του µετασχηµατισµού w= cos Λύση: Εειδή cos = cosh( i), ο µετασχηµατισµός w= cos είναι σύνθεση των µετασχηµατισµών w = i ου είναι στροφή του εδίου ου έχουµε κατά γωνία και του w = cosh w ο οοίος όως είδαµε στην ροηγούµενη εφαρµογή αεικονίζει την ηµιλωρίδα στο άνω ηµιείεδο 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ Προβλήµατα συνοριακών τιµών Πρόβληµα Dirichlet: Έστω D ένα εδίο του R µε σύνορο ϑ D και gµια δοσµένη συνεχής συνάρτηση στο σύνορο Το ρόβληµα Dirichlet συνίσταται στην εύρεση µιας συνάρτησης g ου είναι αρµονική στο D, συνεχής στο D = D ϑd και ταυτίζεται µε την g άνω στο σύνορο, δηλαδή u = στο D u = gστοϑd () Αν το ρόβληµα αυτό έχει λύση, αό την αρχή του µεγίστου για αρµονικές συναρτήσεις ροκύτει ότι η λύση αυτή είναι µοναδική Πρόβληµα Neumann: Έστω ένα εδίο D µε σύνορο ϑ D και g µια δοσµένη συνεχής συνάρτηση ορισµένη στο σύνορο Το ρόβληµα Neumann συνίσταται στην εύρεση µιας συνάρτησης u ου είναι αρµονική στο D, συνεχής στο D = D ϑd και της οοίας η αράγωγος ως ρος την κατεύθυνση της καθέτου σε κάθε σηµείο του συνόρου να ταυτίζεται µε την g, δηλαδή u = ϑu = g ϑn στο D στοϑd () όου n το µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα στο ϑ D µε κατεύθυνση ρος τα έξω 43

Στα ροβλήµατα Neumann υοθέτουµε ότι το σύνορο ϑ D είναι αρκετά λείο για να υάρχει το κάθετο ως ρος το σύνορο διάνυσµα n Το ρόβληµα Neumann για να έχει λύση, ρέει να ικανοοιεί την συνθήκη συµβιβαστότητας ϑ D gds ϑu η οοία ροκύτει αό την σχέση udxdy = ds D καθώς και ϑdϑn την σχέση () και η φυσική της ερµηνεία είναι η εξής: Υοθέτουµε ότι u( x, y ) είναι ϑu η λύση της στάσιµης κατανοµής θερµοκρασίας εντός του εδίου Η συνάρτηση ϑn άνω στο σύνορο αριστάνει την ροή θερµότητας κατά µήκος του Έτσι, για να υάρχει στάσιµη θερµοκρασία, ρέει η συνολική ροή θερµότητας κατά µήκος του συνόρου να είναι Η λύση του ροβλήµατος Neumann είναι µοναδική εκτός µιας ροσθετικής σταθεράς Οι ροτάσεις ου ακολουθούν, είναι ολύ χρήσιµες για την µελέτη ροβληµάτων συνοριακών τιµών µε τη βοήθεια των σύµµορφων αεικονίσεων Πρόταση: Έστω συνάρτηση ϕ αρµονική σε ένα εδίο D C Τότε η ϕ αραµένει αρµονική κάτω αό κάθε σύµµορφο µετασχηµατισµό Αόδειξη: Έστω ότι το D είναι αλά συνεκτικό και F ένας σύµµορφος µετασχηµατισµός όου w= u+ iυ = F( ) = F( x+ iy) Ισχύει ότι υάρχει ολόµορφη συνάρτηση f ορισµένη στο D τέτοια ώστε f ( ) = ϕ( x, y) + iv ( x, y) Έστω g( w) f ( ) f ( F ( w) ) = = = Εειδή η F είναι σύµµορφη, η gείναι ολόµορφη στο F( D ) Έστω g( w) = φ( u, υ) + iv( u, υ) Τότε αό την σχέση g( w) = f ( ) έχουµε και εειδή ( ) φ( u, v) = ϕ x( u, υ), y( u, υ φ = Re g η φ θα είναι αρµονική στο F( D ) Πρόταση: Έστω w F( ) u( x, y) iυ( x, y) στο εδίο D, C µια λεία καµύλη στο D και C F( C) = = + µια σύµµορφη αεικόνιση ορισµένη = Αν η συνάρτηση ϕ ( x, y) ϑϕ ικανοοιεί τις συνθήκες ϕ( x, y) = κ, όου κ σταθερά ή = κατά µήκος της C ϑ n Φ ( u, υ) = ϕ x u, υ, y u, υ ικανοοιεί τις συνθήκες τότε η συνάρτηση ( ( ) ( )) ϑφ Φ ( uυ, ) = κ και = κατά µήκος της C ϑn 44

Αόδειξη: Αν ϕ = κ άνω στη C, τότε φ = κ άνω στη C Αν υοθέσουµε ότι ϑϕ ϕ n ϑ n = = άνω στη C, όου ϕ = ( ϕ, ϕ ) x y και n είναι ένα µοναδιαίο P x, y, τότε είτε ϕ =,είτε ϕ είναι διάνυσµα κάθετο στη C στο σηµείο ( ) ϑφ ορθογώνιο στο n Αν ϕ = τότε Φ= ( Φu, Φ υ) =, άρα = ϑn Έστω ϕ, άρα το ϕ είναι ορθογώνιο στο n Αν ϕ =, τότε ϑφ Φ= ( Φu, Φ υ) =, οότε = ϑn Έστω ϕ, άρα το ϕ είναι ορθογώνιο στο n και εοµένως εφατόµενο της C στο σηµείο P Το ϕ ϕ x, y = a ου ερνάει αό το P Η εικόνα είναι ορθογώνιο στην καµύλη ( ) της καµύλης ϕ ( x, y) = aµέσω της F είναι η καµύλη ( u, υ) Φ = a στο είεδο w Εειδή η F είναι σύµµορφη, οι γωνίες µεταξύ καµυλών διατηρούνται, οότε η C u, υ a Φ= Φ, Φ είναι είναι ορθογώνια της καµύλης Φ ( ) = στο P Συνεώς το ( ) εφατόµενο της C στο P εοµένως και ορθογώνιο στο µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα ϑφ της C στο P, οότε Φ n= και = άνω στη C ϑn u υ Για την λύση ροβληµάτων συνοριακών τιµών για ένα εδίο D του R, χρησιµοοιώντας τις δύο ροτάσεις ακολουθούµε την εξής διαδικασία Αεικονίζουµε το εδίο D σε ένα αλούστερο D µέσω µιας σύµµορφης αεικόνισης της µορφής w= f ( ) = u( x, y) + iυ( x, y) Μετασχηµατίζουµε τις συνοριακές συνθήκες αό το αρχικό εδίο στο καινούργιο Λύνουµε το ρόβληµα συνοριακών τιµών στο καινούργιο εδίο D και η λύση του είναι της µορφής Φ ( uυ, ) Για να βρούµε την λύση του αρχικού ροβλήµατος θέτουµε ϕ( x, y) =Φ u( x, y), υ( x, y) και ροκύτει η λύση ( ) 45

Εφαρµογές σε ροβλήµατα συνοριακών τιµών (άειρη λωρίδα) Να λυθεί το ρόβληµα Dirichlet ϕ=, a< x< b, ϕ( a, y) = k, y R ϕ ( b, y) = k, Λύση: Είναι φανερό ως οι συνοριακές τιµές εξαρτώνται αοκλειστικά αό το x οότε ροφανώς αναζητούµε µια λύση της µορφής ϕ ( x, y) = f ( x) a x b Η σχέση ϕ = ου έχουµε, γράφεται ως f ( x) = συνεώς η f ( x ) είναι της µορφής f ( x) = λ x+ µ, όου λ,µ σταθερές Χρησιµοοιώντας τις συνοριακές συνθήκες ου έχουµε, µετά την διλή ολοκλήρωση ροκύτει το σύστηµα λ a+ µ = k αό το οοίο ροκύτουν τα λ και µ οότε η τελική λύση είναι λ b+ µ = k k k ϕ( x, y) = k + ( x a) b a (γωνιακό εδίο) Να λυθεί το ρόβληµα Dirichlet ϕ=, < arg < a ( a ) ϕ( x,) = k, x> ϕ( x, y) = k, r >, θ = a 46

Η arg είναι αρµονική συνάρτηση καθώς είναι το το φανταστικό µέρος της συνάρτησης log και είναι σταθερή σε ηµιευθείες µε αρχή το Η λύση ου ψάχνουµε είναι της µορφής ϕ ( x, y) = barg + c µε b, c R αφού έχουµε ότι ϕ = Χρησιµοοιώντας τις συνοριακές συνθήκες, λύνουµε το σύστηµα ου ροκύτει για να υολογίσουµε τα b, c και τελικά η λύση είναι k k ϕ( x, y) = k + arg a (δακτύλιος) Να λυθεί το ρόβληµα ϕ=, r < < r ϕ( x, y) = k, = r ϕ( x, y) = k, = r Λύση: Οι συνοριακές συνθήκες του ροβλήµατος είναι ανεξάρτητες της γωνίας οότε η λύση µας θα είναι µια αρµονική συνάρτηση ανεξάρτητη γωνίας, της µορφής ϕ ( x, y) = a+ bln, a, b R Χρησιµοοιώντας τις συνοριακές συνθήκες ου µας δίνει το ρόβληµα υολογίζουµε τις σταθερές a, b και ροκύτει η τελική λύση 47

ln r ϕ( x, y) = k + ( k k) r ln r (άνω ηµιείεδο) Να λυθεί το ρόβληµα ϕ =, < x<, y> a, x x ϕ( x,) < < =, a, a R a, x < x< Λύση: Γνωρίζουµε ότι η γωνία θ ισούται µε arg( x ) Η λύση ου θέλουµε είναι η συνάρτηση της µορφής ϕ( x, y) = λ + µ arg( x ) η οοία είναι αρµονική στο άνω ηµιείεδο Τώρα, λόγω των συνοριακών συνθηκών ου µας δίνει αρχικά το ρόβληµα, ρέει λ = a και λ + µ = a Άρα η λύση του ροβλήµατος είναι η ϕ( x, y) = a + ( a a )arg( x ) Να λυθεί το ρόβληµα Dirichlet ϕ =, < x<, y> a, < x < x a, x < x< x ϕ( x,) = : an, xn < x< 48

Λύση: Όως στην ροηγούµενη εφαρµογή φτιάχνουµε µια συνάρτηση ίδιας µορφής, µε την χρήση σειράς n ϕ( x, y) = an + ( am am) arg( xm) m= Για να είναι αυτή η συνάρτηση η λύση του ροβλήµατος ρέει α) να είναι αρµονική για y> (δηλαδή στο άνω ηµιείεδο) καθώς και β) να ικανοοιεί τις συνοριακές συνθήκες α)η συνάρτηση είναι αρµονική στο άνω ηµιείεδο ως το φανταστικό µέρος της n a a = + m m ολόµορφης f ( ) ian log ( xm) m= β)έστω k µια σταθερή τιµή του m Αν = xείναι ένα σηµείο µε xk < x< x k +, τότε arg( xk ) =, m k Άρα arg( xm) =, k + m n n n ϕ( x,) = an + ( am am) arg( xm) + ( am am) arg( xm) = m= m= k+ n n = a + a a + a a = ( ) ( ) n m m m m m= m= k+ ( ) ( ) ( ) = a + a a + a a + + a a = a n k k+ k+ k+ n n k το οοίο σηµαίνει ότι η συνάρτηση ϕ ( x, y) όντως ικανοοιεί τις συνοριακές συνθήκες του ροβλήµατος Να λυθεί το ρόβληµα ϕ =, < x<, y> 3, < x< 3 7, 3< x< ϕ( x,) =, < x< 4, < x< Λύση: Το συγκεκριµένο ρόβληµα είναι υοερίτωση του ροηγούµενου έχοντας αλά a = 3, a = 7, a =, a3 = 4, x = 3, x =, x3 = Οότε η λύση του ροβλήµατος είναι 4 6 3 ϕ( x, y) = 4 arg( + 3) + arg( + ) arg( ) = 4 y 6 y 3 y = 4 arc tan + arc tan arc tan x+ 3 x+ x 49

Μια γενίκευση των αραάνω είναι η εξής: Έστω ένα αλά συνεκτικό εδίο D ου εριορίζεται αό µια αλή, κλειστή και τµηµατικά λεία καµύλη C και,,, n, nσηµεία ου βρίσκονται άνω στη C διατεταγµένα Έστω C k το τόξο της καµύλης ου βρίσκεται µεταξύ k και k, k = +,,, n και έστω C n το τόξο της καµύλης ου βρίσκεται µεταξύ των n και Έστω a, a,, a n σταθεροί αριθµοί στον R Το ρόβληµα ου θέλουµε να λύσουµε είναι το ακόλουθο ϕ = στο D ϕ( x, y) = aγια = x+ iy C ϕ( x, y) = aγια = x+ iy C : ϕ ( x, y) = anγια = x+ iy Cn Για να λύσουµε το ρόβληµα ρέει να βρούµε µια σύµµορφη αεικόνιση της µορφής w= f ( ) = u( x, y) + iv( x, y) του εδίου D στο άνω ηµιείεδο Im w> ώστε τα σηµεία,,, n να αεικονίζονται στα σηµεία uk = f ( k ), k =,,, n και το n να αεικονίζεται στο u n = του άξονα των ραγµατικών στο είεδο w Έτσι λοιόν, η αεικόνιση f ( ) δίνει ένα νέο ρόβληµα Dirichlet στο άνω ηµιείεδο του οοίου η λύση βρέθηκε σε ροηγούµενη εφαρµογή Αν τώρα θέσουµε a = an, η λύση του ροβλήµατος είναι n ϕ( x, y) = an + ( ak ak) arg ( f ( ) uk) = k= n u( x, y) n ( k k) k= u( x, y) k = a + a a arc tan u Παρατήρηση: Η µέθοδος αυτή χρησιµοοιείται µόνο αν µορούµε να κατασκευάσουµε µια σύµµορφη αεικόνιση αό το D στο άνω ηµιείεδο Η ύαρξη µιας τέτοιας αεικόνισης εξασφαλίζεται αό το θεώρηµα Riemann 5

Να λυθεί το ρόβληµα ϕ=, < iθ ϕ( x, y) =, = e, < θ< iθ ϕ( x, y) =, = e, < θ< Λύση: Μια σύµµορφη αεικόνιση ου αεικονίζει το µοναδιαίο δίσκο του ροβλήµατος στο άνω ηµιείεδο είναι όως είδαµε και στην ενότητα των σύµµορφων αεικονίσεων η i( ) y x y w= u+ iυ = = + i + x+ + y x+ + y ( ) ( ) Τώρα, είναι εύκολα κατανοητό ότι τα σηµεία = x+ iy τα οοία βρίσκονται στο άνω ηµικύκλιο: x + y =, y> αεικονίζονται στο θετικό ηµιάξονα, ενώ αυτά ου βρίσκονται στο κάτω ηµικύκλιο αεικονίζονται στον αρνητικό ηµιάξονα Έχουµε λοιόν ένα νέο ρόβληµα στο είεδο w Φ=, < u <, υ> Φ ( u,) =, u > Φ ( u,) =, u < η λύση του οοίου βρίσκεται χρησιµοοιώντας την εφαρµογή για το άνω ηµιείεδο ου είδαµε και ριν και είναι υ( x, y) x y ϕ( x, y) = arc tan = arc tan u( x, y) y Να λυθεί το ρόβληµα του ακόλουθου σχήµατος Λύση: Πρέει να βρούµε ένα µετασχηµατισµό ο οοίος θα µετασχηµατίζει το αραάνω ρόβληµα στο άνω ηµιείεδο Ο µετασχηµατισµός ου ψάχνουµε είναι ο 5

Joukowski δηλαδή ο w= f ( ) = + τον οοίο συναντήσαµε ιο ριν και ο οοίος µετασχηµατίζει το δοσµένο ρόβληµα στο όου η λύση του όως είδαµε και ροηγουµένως, είναι υ Φ ( u, υ) = arc tan u + υ Στη συνέχεια, αό τη σχέση w= u( x, y) + iυ( x, y) = + έχουµε ότι x x u( x, y) = ( + y + ) ( x + y ) y x και υ( x, y) = οότε η λύση του ροβλήµατος είναι 4y( x y ) + ϕ( x, y) = arc tan ( x y )( x y 4) ( x y + + + + ) ( + y ) ( x + y ) Να λυθεί το ρόβληµα για το εδίο D = { : Im <, + 5i > 3} ϕ =, στο D ϕ( x,) = ϕ( x, y) = k, + 5i = 3 Λύση: Όως είχαµε δει στην ενότητα των σύµµορφων αεικονίσεων, ο + 4i µετασχηµατισµός w= αεικονίζει το εδίο D στο δακτύλιο < w < 4 i 3 5

ln w Η λύση του ροβλήµατος στον δακτύλιο είναι Φ ( u, υ) = k, εοµένως η λύση ln 3 ου ζητάµε, δηλαδή η λύση στο εδίο D είναι k + 4i k x ( y 4) + + ϕ( x, y) = ln = ln ln 3 4i ln 3 x ( y 4) + Να λυθεί το ρόβληµα για το εδίο D = { : < 5, > } ϕ =, στο D ϕ( x, y) =, = 5 ϕ( x, y) =, = Λύση: Πρέει να βρούµε ένα διγραµµικό µετασχηµατισµό ώστε να αεικονίσουµε το εδίο του ροβλήµατος σε ένα δακτύλιο ύο σηµεία ου είναι συµµετρικά ως ρος τους κύκλους του εδίου D δηλαδή τους κύκλους = 5 και = ικανοοιούν την εξίσωση 5 + = x =, x = x 5x 5 Ο διγραµµικός µετασχηµατισµός είναι της µορφής w=λ και αν το 5 5 = αεικονίζεται στο w= τότε το λ = άρα ο µετασχηµατισµός ου αεικονίζει το D στο D είναι ο w= 5 ln w Η λύση του ροβλήµατος στο D είναι Φ ( uυ, ) = + ενώ η λύση στο D ln είναι ln w( x, y) ϕ ( x, y) = + µε w= u+ iυ ln x + y 5x+ 5 5y u( x, y) =, υ( x, y) = x 5 + 4y x 5 + 4y ( ) ( ) 53

Να λυθεί το ρόβληµα ϕ =, x, y> ϕ( x,) =, x> ϕ(, y) =, y> ϕ =, < y <, x = και < x<, y> n Λύση: Έχουµε ένα εδίο(το ρώτο τεταρτηµόριο) το οοίο δεν µας βολεύει για να λύσουµε το ρόβληµα Με χρήση του µετασχηµατισµού w= µορούµε να το αεικονίσουµε στο άνω ηµιείεδο, ενώ µε τον µετασχηµατισµό w= arc sin µορούµε να αεικονίσουµε το άνω ηµιείεδο στην ηµιάειρη λωρίδα < u <, υ> Συνεώς µε τον µετασχηµατισµό w= arc sin( ) µορούµε να αεικονίσουµε το ρώτο τεταρτηµόριο στο εδίο D = ( u, υ) : < u <, υ> Έτσι λοιόν το αρχικό ρόβληµα συνοριακών τιµών γίνεται Φ =, < u <, υ > Φ, υ =, υ >, υ Φ =, υ > Φ =, < u <, υ = n Μια λύση Φ του νέου ροβλήµατος ου ροκύτει στο εδίο D είναι η Φ ( u, υ) = Au+ B, Α,Β σταθερές Για την συνοριακή καµύλη < u <, υ = έχουµε ότι n= (, ) άρα Φ = Φ n = A + ( ) = n 54

οότε η συνοριακή συνθήκη ικανοοιείται για κάθε A, B R Αό τις άλλες δύο συνοριακές συνθήκες του ροβλήµατος ροκύτει ότι Φ, υ = A + B = Α=, Β= Φ, υ A B = + = άρα, Φ ( u, υ) = u+, οότε η λύση του αρχικού ροβλήµατος είναι ϕ( x, y) = Re arc sin( ) + 3 Πρόβληµα Dirichlet για ένα δίσκο Ολοκληρωτικός τύος Poisson - Πυρήνας Poisson Έστω D { : R} = < και f ( ) µια ολόµορφη συνάρτηση στο D και συνεχής στο D Αν Dκαι, τότε σύµφωνα µε τον ολοκληρωτικό τύο του Cauchy έχουµε f ( ζ) f ( ) = dζ i ζ C µε C τον θετικά ροσανατολισµένο κύκλο = R R Έστω τώρα το συµµετρικό του ως ρος τον κύκλο C, το Τότε = Εειδή όµως το βρίσκεται στο εξωτερικό του C, µε χρήση του θεωρήµατος Cauchy-Goursat, ροκύτει ότι f ( ζ) dζ = ζ Άρα, f ( ) = f ( ζ) dζ i ζ ζ C () Θεωρούµε την οσότητα C ζ ζ ζ ζ ζ ζ = = + = ζ ζ ζ ζζ ζ ζ ζ ζ iϕ iθ Για ζ = Re και = re έχουµε αφού η οσότητα ζ R r ζ = R Rr cos( ϕ θ) + r ζ αριστάνει την αόσταση των ζ και () 55

και µε τη χρήση του νόµου των συνηµιτόνων Έχουµε ακόµα, ότι ζ = R Rr cos( ϕ θ) + r > iϕ dζ ire d i d = και ϕ = ζ ϕ άρα η σχέση () γράφεται R r iϕ f ( ) = f ( R e ) dϕ R Rr cos + r ( ϕ θ) Αν το ραγµατικό µέρος της ολόµορφης συνάρτησης είναι u τότε αό () έχουµε ( R r ) u( R, ϕ) u( r, θ) = dϕ, r R < R Rr cosϕ θ + r ( ) Αυτός ο τύος λέγεται ολοκληρωτικός τύος Poisson για την αρµονική συνάρτηση uστο δίσκο < R R r Η συνάρτηση P( R, r, ϕ θ) = R Rr cos( ϕ θ) + r ονοµάζεται υρήνας Poisson Ιδιότητες του υρήνα Poisson )Αό τη σχέση () έχουµε ζ ζ P( R, r, ϕ θ) = + = + = ζ ζ ζ ζ ζ + ζ + ζ + = Re = ζ ζ ζ ζ + Η συνάρτηση g( ) = είναι ολόµορφη εντός του δίσκου < R Οότε το ζ ραγµατικό της µέρος ου είναι P( R, rϕ, θ) θα είναι αρµονική συνάρτηση εντός του δίσκου )Η συνάρτηση u( rθ, ) = είναι αρµονική, οότε αό τον ολοκληρωτικό τύο Poisson ροκύτει P( R, r, ϕ θ) dϕ = 56

3)Για,, R rθ σταθερά, η µέγιστη τιµή της P( R, rϕ, θ), ϕ [, ] R+ r max P( R, r, ϕ θ) = η οοία για r ϕ R r ϕ = θ και είναι Η ελάχιστη τιµή της P( R, rϕ, θ) και είναι, λαµβάνεται για R τείνει στο άειρο λαµβάνεται είτε για ϕ = θ+ ή για ϕ = θ R r min P( R, r, ϕ θ) = η οοία για r ϕ R + r R τείνει στο Θεώρηµα λύσης του ροβλήµατος Dirichlet για ένα δίσκο Έστω gθ ( ), θ µια δοσµένη συνεχής συνάρτηση άνω στον κύκλο C : = R µε ερίοδο Θεωρούµε την συνάρτηση u( r, θ) = P( R, r, ϕ θ) g( ϕ) dϕ, r R < u( R, θ) = g( θ) Τότε η u είναι αρµονική στο εσωτερικό του κύκλου = R και συνεχής στο R Αόδειξη: Η συνάρτηση P είναι αρµονική ως ρος rθ, στο εσωτερικό του κύκλου Cόως είδαµε στις ιδιότητες ριν, άρα και η συνάρτηση u( rθ, ) είναι αρµονική στο εσωτερικό του κύκλου C Μας µένει λοιόν να δείξουµε τη συνέχεια της uστον κλειστό δίσκο R ia Έστω R e, a R ένα σταθερό σηµείο άνω στον κύκλο C Θα δείξουµε ότι όταν r Rκαι θ a, τότε u( r, θ) g( a) Αό την η ιδιότητα του υρήνα Poisson έχουµε (, ) ( ) = (,, )( ( ( )) u rθ g a P R rϕ θ gϕ g a dϕ Έστω εθετικό Εειδή η g είναι συνεχής άνω στη C, υάρχει β > τέτοιο ώστε ε g( ϕ) g( a) < ϕ i µε ϕ a < β, δηλαδή για κάθε ϕ τέτοιο ώστε το R e ϕ να βρίσκεται στο τόξο C ου φαίνεται στο σχήµα αρακάτω Είναι φανερό ότι u( r, θ) g( a) = I + I, µε a+ β ( ) ii = P( R, r, ϕ θ) g( ϕ) g( a) dϕ a β a β+ ii P R rϕ θ gϕ g a dϕ και = (,, )( ( ) ( )) a+ β Εειδή P( R, rϕ, θ) για r έχουµε 57

a+ β ε ε I P( R, r, ϕ θ) g( ϕ) g( a) dϕ < P( R, r, ϕ θ) dϕ = 4 a β Έστω C = C / C Είναι φανερό ότι υάρχει m> τέτοιο ώστε για κάθε εντός του β γραµµοσκιασµένου τµήµατος όου θ a < και κάθε ζ C να ισχύει m ζ Άρα a β+ ( R r ) M ( R r ) I g( ϕ) g( a) dϕ <, ζ m όου a+ β M = max g( ϕ) g( a) Εειδή όµως R+ r < R θα έχουµε ϕ C αν r R < δ, όου Εοµένως, ( ) M R r Mδ ε I < < = m m mε δ = 4M u( r, θ) g( a) I + I < ε β για κάθε r µε r R < δ και θµε θ α < Παρατηρήσεις: i) Η λύση του ροβλήµατος Dirichlet για τον δίσκο είναι µοναδική λόγω της αρχής του µεγίστου µέτρου ii) Η λύση του ροβλήµατος µορεί να βρεθεί και µε άλλους τρόους iii) Σε ερίτωση ου η gείναι τµηµατικά συνεχής άνω στον κύκλο C το θεώρηµα γενικεύεται Αν R = αό την ρώτη ιδιότητα του υρήνα Poisson έχουµε ζ + dζ u( ) = Re u( ζ), i < ζ ζ ζ = 58

Να λυθεί το ρόβληµα u=, < r<, < θ< sinθ u(, θ) =, θ 5 + 4cosθ Λύση: Αν Άρα, i ζ = e θ sin θ = ζ, cosθ = ζ + i ζ i ζ ζ u( ζ) = i + 5 + ( ζ ζ ) Οότε, σύµφωνα µε την αρατήρηση (iii) ρέει για τη λύση του ροβλήµατος να υολογίσουµε το ολοκλήρωµα : ( ζ )( ζ + ) I = dζ i i ζ + 5ζ + ζ ζ ζ = ( )( ) το οοίο ροκύτει I = i( + ) Άρα η λύση του ροβλήµατος είναι : cos (, ) Re y (, ) r θ u x y = = u rθ = i( + ) ( x+ ) + y r + 4r cosθ+ 4 Να λυθεί το ρόβληµα u=, < r< R, < θ<, θ u( R, θ) = k, < θ Λύση: Η λύση του ροβλήµατος είναι το ολοκλήρωµα R r φ R Rr φθ + r u( r, θ) = k d cos(, ) φ θ Για τον υολογισµό του ολοκληρώµατος θέτουµε t = tan dφ = dt + t tan θ k R r Άρα ροκύτει u( r, θ) = dt το οοίο τελικά µας t + t θ tan R Rr + t δίνει (, ) k tan R r u rθ = arc Rr sinθ 59

4 Πρόβληµα Dirichlet για το άνω ηµιείεδο Ολοκληρωτικός τύος Schwar - Πυρήνας Schwar Έστω f ( ) ολόµορφη στο Im > και συνεχής στο Im Υοθέτουµε ότι υάρχουν θετικές σταθερές kκαι M τέτοιες ώστε k f ( ) < M, Im Έστω τώρα C C [ R, R] = η καµύλη όως φαίνεται στο σχήµα, θετικά R ροσανατολισµένη Αν είναι ένα εσωτερικό σηµείο της C, τότε σύµφωνα µε τον ολοκληρωτικό τύο Cauchy έχουµε f ( ζ) f ( t) f ( ) = dζ + dt i ζ i t CR R R Εειδή M f ( ζ ) < k R, όταν R τότε το ρώτο ολοκλήρωµα τείνει στο Άρα + f ( t) f ( ) = dt, Im i > t Ο αραάνω τύος είναι ένας ολοκληρωτικός τύος Cauchy για το άνω ηµιείεδο Im > Τώρα, εειδή το βρίσκεται στο εξωτερικό της καµύλης C, έχουµε f ( t) dt i = t άρα ο ολοκληρωτικός τύος Cauchy γράφεται yf ( t) f ( ) = f ( t) dt f ( ) = dt, y> i t t t Έτσι, αν f ( ) = u( x, y) + iυ( x, y) τότε έχουµε yu( t,) u( x, y) = dt, y > t x + y ( ) Αυτός ο τύος ονοµάζεται ολοκληρωτικός τύος Poisson για το άνω ηµιείεδο ή ολοκληρωτικός τύος Schwar 6

Η συνάρτηση S( t x, y) y = ονοµάζεται υρήνας Schwar + ( ) t x y Θέτοντας στον τύο Schwar u( x, y ) = και u( t ) ( ), = ροκύτει S t x, y dt =, y> Η µέγιστη τιµή του υρήνα σαν συνάρτηση του t λαµβάνεται για t = x και ισχύει max S( t x, y) = S(, y) =, οταν y t R y Θεώρηµα λύσης του ροβλήµατος Dirichlet για το άνω ηµιείεδο Έστω f ( x ) µια δοσµένη συνάρτηση συνεχής και φραγµένη στον ραγµατικό άξονα Im = Η συνάρτηση ου ορίζεται αό τον τύο y f ( t) u( x, y) = dt, x, y ( ) < < > t x + y u( x,) = f ( x), < x< είναι αρµονική στο Im > και συνεχής στο Im Να ειλυθεί το ρόβληµα Dirichlet για το άνω ηµιείεδο αν η δοσµένη συνάρτηση στο σύνορο είναι k, a< x< b f ( x) =, διαφορετικά Λύση: Σύµφωνα µε το θεώρηµα λύσης του ροβλήµατος στο άνω ηµιείεδο, η λύση b y k είναι u( x, y) = dt t x + y Στη συνέχεια λύνουµε: b a ( ) y k k u( x, y) = dt dξ y = = a t x ξ + a x + y y k tan b arc x arc tan x a = + y y Για την γεωµετρική ερµηνεία της λύσης χρειαζόµαστε το ακόλουθο σχήµα b x y 6

Αν tan b θ = arc x και tan x θ = arc a τότε y y k k u( x, y) = ( θ θ) θ( x, y) + = Να λυθεί το ρόβληµα u =, < y <, x> u( x,) =, x< u( x, ) = Λύση: Η λωρίδα < y < αεικονίζεται σύµµορφα στο άνω ηµιείεδο µέσω της συνάρτησης e ( i ) ζ = ζ = ξ+ η, η>, ξ > Οι συνοριακές συνθήκες γίνονται υξ (,) =, ξ < Αό το θεώρηµα λύσης του ροβλήµατος Dirichlet για το άνω ηµιείεδο έχουµε Όµως, είναι η ξ υξη (, ) = dt arc tan = η ( ) ξ t + η x x ξ = e cos y και η = e sin y εοµένως η λύση του αρχικού ροβλήµατος x e cos y u( x, y) = arc tan sin y Να βρεθεί µια αρµονική συνάρτηση στο ρώτο τεταρτηµόριο ου να ικανοοιεί τις συνοριακές συνθήκες u( x,) = f ( x), < x< u(, y) = g( y), < y < όου οι συναρτήσεις f ( x), g( y ) είναι φραγµένες και συνεχείς 6

Λύση: Το ρόβληµα µορεί να χωριστεί σε δύο ειµέρους ροβλήµατα όως φαίνεται στο αρακάτω διάγραµµα Εάν θεωρήσουµε u ( x, y ) ως λύση του ρώτου ροβλήµατος και u (, ) x y ως λύση του δεύτερου, τότε η λύση του αρχικού ροβλήµατος είναι u( x, y) = u( x, y) + u( x, y) Για την λύση του ρώτου ροβλήµατος θεωρούµε την εριττή εέκταση της f ( x ), 63 την f ( x ) Τότε, y f ( t) y f ( t) y f ( t) u( x, y) = dt dt dt = t x y t x y = + + t x + y ( ) ( ) ( ) y = f ( t) dt, x, y > > ( t x) + y ( t+ x) + y Αντίστοιχα, για την λύση του δεύτερου ροβλήµατος θεωρούµε την εριττή εέκταση της g( y ), την g ( y ) Τότε, x g( t) x g( t) y g ( t ) u( x, y) = dt dt dt = t y x t y x = + + t y + x ( ) ( ) x = g( t) dt, x, y > > ( t y) + x ( t+ y) + x ( )