1 Ε.Μ.Π. - ΠΟΛΙΣΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ - ΣΑΣΙΚΗ Ι - ΠΡΟΟΔΟ 06/05/2011 ΘΕΜΑ 1 ο τον παρακϊτω φορϋα ζητούνται να ςχεδιαςτούν τα διαγρϊμματα M,Q,N. Λύςη: Ο φορϋασ αποτελεύται από ϋνα δευτερεύων τριαρθρωτό τόξο που ςτηρύζεται πϊνω ςε ϋνα πρόβολο μορφόσ ταυ. Ξεκινϊμε με την εύρεςη των αντιδρϊςεων του τριαρθρωτού τόξου. F x=0 Ax= 1 F y=0 A y+ =180 2 Μ (Α) =0 20*8,0+20*8*4-8 -4 =0 8 +4 =800 3 Μ G1 ΔΕΞΙ ΔΙΚΟ =0 5-20*5*2,5 20*5=0 =70kN 4 Η3 4 =60kN 5 Η 1 5 Α x=60kn 6 και H 2 4 Α y=110kn Εύρεςη αντιδρϊςεων προβόλου: F x=0 Β x+10-60=0 Β x=50kn 7 F y=0 Β y-70-8*20=0 Β y=230kn 8 Μ (Β) =0 Μ Β+60*4,0-70*5,0-10*2-20*5*2,5+20*3*1,5=0 Μ Β=290kNm
2 ΣΟΜΗ ΔΕ (0 x 3) F x=0 Ν(x)=0 F y=0 Q(x)=20x Q(0)=0, Q(3)=60kN Μ=0 M(x)+20 =0 M(x)=-10x 2 M(0)=0, M(3)=-90kNm ΣΟΜΗ ΒΓ (0 x 2) F x=0 Q(x)=50kN F y=0 N(x)=-230kN Μ=0 M(x)+290+50x=0 M(x)=-50x-290 M(0)=-290kNm, M(2)=-390kNm ΣΟΜΗ ΓΔ (0 x 2) F x=0 Q(x)=60kN F y=0 N(x)=-230kN Μ=0 M(x)+290+50(x+2)+10x=0 M(x)=-60x-390 M(0)=-390kNm, M(2)=-510kNm
3 ΣΟΜΗ ΔG 2 (0 x 5) F x=0 Ν(x)=-60kN F y=0 Q(x)=20x-170 Q(0)=-170kN, Q(5)=-70kN Μ=0 M(x)+20 +600-170x=0 M(x)=-10x 2 +170x-600 M(0)=-600 knm, M(5)=0 ΣΟΜΗ G 1G 2 (0 x 5) F x=0 Ν(x)=-60kN F y=0 Q(x)=20x-50 Q(0)=-50kN, Q(5)=50kN Μ=0 M(x)+20-50x=0 M(x)=-10x 2 +50x M(0)=0kNm, M(5)=0 ΣΟΜΗ AG 1(0 x 5) εφφ=,, φ=53,13 F x=0 Ν(x)=-60cos53,13-110sin53,13+, Ν(0)=-124kN, Ν(5)=-76kN F y=0 Q(x)=110cos53,13-60sin53,13-, Q(0)=18kN, Q(5)=-18kN Μ=0 M(x)=110xcos53,13-60xsin53,13- (xcos53,13) 2 M(0)=0kNm, M(5)=0kNm
4 = 22,5 = 62,5 = 22,5
5 Ε.Μ.Π. - ΠΟΛΙΣΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ - ΣΑΣΙΚΗ Ι - ΠΡΟΟΔΟ 06/05/2011 ΘΕΜΑ 2 ο τον παρακϊτω φορϋα ζητούνται να ςχεδιαςτούν ενδεικτικϊ τα διαγρϊμματα Μ,Q,N, με επαρκό αιτιολόγηςη. Λύςη: Σοποθετώ ύνα αναφορϊσ και ονομϊζω τα χαρακτηριςτικϊ ςημεύα του φορϋα όπωσ φαύνεται ςτο παρακϊτω ςχόμα. Από τισ εξιςώςεισ ιςορροπύασ ςε όλον τον φορϋα γύνεται εύκολα αντιληπτό ότι η φορϊ τησ κατακόρυφησ αντύδραςησ εύναι προσ τα επϊνω με τιμό ύςη με το μοναχικό εξωτερικό φορτύο Ρ, η φορϊ τησ οριζόντιασ αντύδραςησ εύναι προσ τα δεξιϊ, ενώ τϋλοσ η φορϊ τησ ροπόσ εύναι δεξιόςτροφη ϋτςι ώςτε να εξιςορροπεύτε η ροπό που δημιουργεύτε από τα εξωτερικϊ φορτύα. Παρατηρώ ότι το τμόμα ΒΔ του φορϋα ςυμπεριφϋρεται ςαν ρϊβδοσ και ϊρα παραλαμβϊνει μόνο αξονικό δύναμη. Λόγω τησ εξωτερικόσ φόρτιςησ και τησ μορφόσ του φορϋα η δύναμη τησ ρϊβδου εύναι θλιπτικό, ϋςτω S η τιμό τησ.
6 Ξεκινϊω να κϊνω τα διαγρϊμματα M,Q,N απομονώνοντασ το οριζόντιο τμόμα ΑΒΓ από τον υπόλοιπο φορϋα. Όλα τα παρακϊτω αναφϋρονται ςτα Δ.Ε.. που κϊνω ςτο τμόμα ΑΒΓ και φαύνονται ςτο αμϋςωσ επόμενο ςχόμα. Καταςκευϊζω πρώτα το διϊγραμμα ροπών γνωρύζοντασ ότι οι ροπϋσ ςτα ϊκρα Α και Γ εύναι 0, ενώ ςτην θϋςη Β η ροπό εύναι αρνητικό με τιμό M=Pl AB ϋχοντασ κϊνει Δ.Ε.. του τμόματοσ ΑΒ αριςτ. τη ςυνϋχεια καταςκευϊζω το διϊγραμμα τεμνουςών με την βοόθεια τησ υποκατϊςτατησ αμφιϋρειςτησ δοκού. Q AB= Q ΒΓ= =Q BA<0 =Q ΓΒ>0 Σϋλοσ καταςκευϊζω το διϊγραμμα αξονικών. Σο τμόμα ΑΒ αριςτ το οπούο εύναι ϋνασ πρόβολοσ ο οπούοσ δεν δϋχεται αξονικό φορτύο και ϊρα το διϊγραμμα(αξονικών δυνϊμεων) θα εύναι μηδϋν ενώ ςτο τμόμα ΒΓ δεξιϊ ειςϋρχεται η οριζόντια ςυνιςτώςα τησ τϊςησ ρϊβδου, ϋςτω S x η οπούα δημιουργεύ λόγω τησ φορϊσ τησ αξονικό εφελκυςμό. Όλα τα προαναφερόμενα αποτυπώνονται ςτα παρακϊτω ςχόματα:
7 Κϊνω Δ.Ε.. του κόμβου Γ του φορϋα. Από την ιςορροπύα του βρύςκω την αξονικό και την τϋμνουςα ςτην κεφαλό του ςτύλου. Παρατηρώ ότι η τϋμνουςα του ςτύλου ιςούται με την αξονικό του οριζόντιου τμόματοσ, ενώ η αξονικό του ςτύλου ιςούται με την τϋμνουςα του οριζόντιου τμόματοσ. Απομονώνοντασ τον ςτύλο του φορϋα και ϋχοντασ γνωςτϊ την ϋνταςη ςτην κεφαλό του και τισ αντιδρϊςεισ ςτον πόδα του καταςκευϊζω τα διαγρϊμματα M,Q,N. Κϊνοντασ τα Δ.Ε.. που φαύνονται ςτο αμϋςωσ επόμενο ςχόμα θα ϋχουμε : Καταςκευϊζω πρώτα το διϊγραμμα ροπών. Η ροπό ςτην κεφαλό του ςτύλου θα εύναι μηδϋν (αφού δεν ϋχω ροπό κϊμψησ) ενώ ςτον πόδα η ροπό θα εύναι αρνητικό λόγω τησ εξωτερικόσ αντύδραςησ τησ ροπόσ τησ πϊκτωςησ. τη θϋςη Δ θα ςχηματύζεται γόνατο λόγω τησ ειςαγωγόσ τησ οριζόντιασ αντύδραςησ τησ ρϊβδου.
8 τη ςυνϋχεια καταςκευϊζω τισ αξονικϋσ. το τμόμα ΓΔ επϊνω η αξονικό θα εύναι εφελκυςτικό με τιμό ύςη όςη την βρόκα από την ιςορροπύα του κόμβου Γ. το τμόμα Δ κϊτω Ε η αξονικό θα εύναι θλιπτικό και ύςη με την κατακόρυφη αντύδραςη τησ πϊκτωςησ(η οπούα ιςούται με το εξωτερικό μοναχικό φορτύο P. Σϋλοσ καταςκευϊζω το διϊγραμμα των τεμνουςών με ανϊλογο ςυλλογιςμό που εφϊρμοςα ςτην εύρεςη των αξονικών δυνϊμεων. Η τϋμνουςα ςτην κεφαλό θα εύναι αρνητικό και ύςη όςο την βρόκα από την ιςορροπύα κόμβου, ενώ ςτον πόδα εύναι και πϊλι αρνητικό και ύςη με την οριζόντια αντύδραςη τησ πϊκτωςησ. Και ςτα δύο τμόματα η κλύςη του διαγρϊμματοσ θα εύναι ύδια αφού ϋχω το ύδιο ομοιόμορφο φορτύο ςε όλο το μόκοσ του ςτύλου, ενώ ςτην θϋςη Γ θα ϋχω ϊλμα το οπούο θα ιςούται με την οριζόντια ςυνιςτώςα τησ ρϊβδου. Όλα τα προαναφερόμενα αποτυπώνονται ςτα παρακϊτω ςχόματα: