ΙΙΙ. ΕΠΩΝΥΜΟΙ ΝΟΜΟΙ ΘΝΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ Α. ΓΕΝΙΚΑ Ο πρώτος νόµος θνησιµότητας οφείλεται στον D Moivr, είναι γραµµικός, s(), ω ω, ή ισοδύναµα κ( ω ), ω και κ θετική σταθερά, και φυσικά δεν έχει καµιά εφαρµογή σήµερα. Αντίθετα ένας νόµος µε πολλές εφαρµογές σε προβλήµατα αναµονής, λειτουργίας συστηµάτων, φθοράς, απαξίωσης, κ.λ.π. (όχι όµως ιδιαίτερα στη µελέτη της µ s. ανθρώπινης θνησιµότητας) είναι ο εκθετικός ( ) Νόµοι µε ευρεία εφαρµογή στη θνησιµότητα είναι οι νόµοι Gomrz, Makham και και Wibu. Β. ΝΟΜΟΣ GOMPERTZ Ο Gomrz υπέθεσε ότι η "ικανότητα αντίστασης στο θάνατο" φθίνει γεωµετρικά. Κατά συνέπεια, η ένταση θνησιµότητας αυξάνει εκθετικά και έχει τη µορφή µ c, όπου Β, c θετικές σταθερές µε c >. Ο νόµος αυτός συχνά περιγράφει αρκετά ικανοποιητικά τα εµπειρικά δεδοµένα θνησιµότητας ενός πληθυσµού τουλάχιστον για ένα διάστηµα 6-7 ετών ("µεσαίες ηλικίες"), κατά κανόνα όµως δεν δίνει τα επιθυµητά αποτελέσµατα στις πολύ µεγάλες ή/και πολύ µικρές ηλικίες. Το βασικότερο µειονέκτηµα του νόµου Gomrz είναι ότι λαµβάνει υπόψη του µόνον τη συστηµατική "φυσιολογική φθορά" και αγνοεί την επίδραση του τυχαίου στοιχείου. Αυτό οδήγησε τον Makham στη διατύπωση του νόµου Makham. Γ. ΝΟΜΟΙ MAKEHAM ΚΑΙ O Makham εισήγαγε ένα βαθµό τυχαιότητας πολύ απλά προσθέτοντας στη έναν όρο που παραµένει σταθερός σε όλες τις ηλικίες : ο πρώτος νόµος Makham είναι µ A + c. Η εισαγωγή µιας τρίτης παραµέτρου (του Α) καθιστά το νόµο Makham πιο ευέλικτο στην απεικόνιση εµπειρικών δεδοµένων, όµως οι αναλυτικές δυσκολίες που παρουσιάζονται είναι φυσικά µεγαλύτερες. Στη συνέχεια, ο Makham πρότεινε ένα δεύτερο νόµο µ A + H + c που συνδυάζει ένα εκθετικό και ένα γραµµικό στοιχείο. 'Εκτοτε έχει γίνει χρήση "γενικευµένων Makham " της µορφής µ φ + c, όπου η φ() είναι πολυώνυµο βαθµού ή άλλη συνάρτηση. ( ) µ α Στο νόµο Wibu, µ κ α µε α >. ΝΟΜΟΣ WEIULL. (Η περίπτωση α, άρα µ κ, αντιστοιχεί στην κ ( ) ( ) κ εκθετική συνάρτηση επιβίωσης s.) Η σ.π.π. Wibu είναι κα α f. Ο νόµος Wibu έχει σηµαντικές εφαρµογές και στις γενικές ασφαλίσεις. Στο παρόν µάθηµα πάντως θα γίνει χρήση κυρίως των νόµων Gomrz και Makham. α
Ε. ΑΣΚΗΣΕΙΣ c. Έστω µ c (νόµος Gomrz) και g n. Να δειχθεί ότι ( ) s c g c και ( c ) g.. Έστω µ, 7. Να δειχθεί ότι 3, 685 και 6, 385. Αν ως κριτήριο για 3 ( ) την τερµατική ηλικία ω τεθεί η συνθήκη συνθήκη 4 4, µεταβάλλεται η τιµή του ω; (Απάντηση : όχι), να δειχθεί ότι ω 95. Αν τεθεί ως κριτήριο η 3. Έστω µ (νόµος Gomrz µε, c και 6 s() τ τ, 69. g ). Να δειχθεί ότι s() και ότι nc g 4. Έστω µ A + c (Makham), c ( c h g ). [ ] 3 5. Έστω µ + (, ) 7 A c και h. Να δειχθεί ότι s() h g και. Να δειχθεί ότι 3, 6649 και 6, 363. 6. Έστω µ c και µ A + c (η περίπτωση των Ασκήσεων και 5). Να δειχθεί ότι ο λόγος είναι ίσος µε A. 7. ίδονται δύο νόµοι Makham µ A + c και µ A + c µε την ίδια τιµή του c. Αν σε κάποια διάρκεια τ οι δύο συναρτήσεις επιβίωσης είναι ίσες ( s τ s )), να δειχθεί ότι τ c A A. τ nc ( ) (τ () ( ) 8. ίδονται µ A + c και µ A + H + c. Να δειχθεί ότι ο λόγος των αντίστοιχων s () H συναρτήσεων επιβίωσης είναι. s 9. Έστω (νόµος Wibu). Να δειχθεί ότι () π d. µ s(), f() και E( T) (Υπόδειξη : για την κανονική κατανοµή,. Έστω,5 και,5987. 45 36 d π,, µ (νόµος Wibu). Να δειχθεί ότι f( ),5, s() )
IV. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΓΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΙΑΡΚΕΙΕΣ Α. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Για µια αναλυτική συνάρτηση επιβίωσης, ο υπολογισµός της πιθανότητας για ένα ολόκληρο έτος ηλικίας [, + ) και ο υπολογισµός της πιθανότητας για ένα κλάσµα έτους, < <, είναι εξίσου δυνατοί. Στην περίπτωση όµως ενός πίνακα, από τον οποίο είναι γνωστά µόνον τα, δεν είναι δυνατός ο υπολογισµός πιθανοτήτων όπως,, χωρίς να κάνουµε κάποια υπόθεση για τον τρόπο µεταβολής της πιθανότητας θανάτου µέσα στο, +. 3 [ ) Β. UDD Τρεις είναι οι κυριότερες µέθοδοι που έχουν κατά καιρούς χρησιµοποιηθεί από τους αναλογιστές (προτάθηκαν για πρώτη φορά το 86). Η πρώτη µέθοδος υποθέτει ότι, για κάθε ηλικία και για < <, η συνάρτηση + είναι γραµµική συνάρτηση του. (Η υπόθεση δεν πρέπει να συγχέεται µε το νόµο D Moivr. Στο νόµο D Moivr, η είναι ευθεία γραµµή από το έως το ω. Η υπόθεση εδώ είναι ότι η είναι "γραµµική κατά τµήµατα", γραµµική σε κάθε έτος ηλικίας αλλά µε διαφορετική κάθε φορά κλίση. Η παρούσα υπόθεση µετατρέπει την καµπύλη, όχι σε ευθεία, αλλά σε "πολυγωνική γραµµή".) Φυσικά, αν η + είναι γραµµική για < <, η τιµή του + προκύπτει από τις γνωστές τιµές και + µε γραµµική παρεµβολή : ( ). + + Είναι σηµαντικό να αντιληφθούµε την πιθανοθεωρητική ερµηνεία της γραµµικότητας της + για < < : οι θάνατοι µέσα στο έτος ηλικίας [, + ) είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένοι. Εξαιτίας αυτής της ερµηνείας και συχνά της "κοµψότητας" των αποτελεσµάτων που προκύπτουν, η υπόθεση "οµοιόµορφης κατανοµής των θανάτων µέσα σε κάθε έτος ηλικίας" (ή UDD από το uniform disribuion of dahs) τείνει να προτιµάται όλο και περισσότερο στις σύγχρονες εφαρµογές. Τι συνεπάγεται η υπόθεση UDD για τις βασικές πιθανότητες και για την ένταση θνησιµότητας (και τιµές < < ); Έχουµε + ( + ). Άρα και, µε παραγώγιση, µ +. Τέλος, µ +. Βλέπουµε ότι για < <, η µ + είναι αύξουσα συνάρτηση του (ένα από τα πλεονεκτήµατα της µεθόδου). Το οµοιόµορφο της κατανοµής φαίνεται από το γεγονός ότι η σ.π.π. f ( ) µ + είναι σταθερή (ίση µε ), και η σ.κ. F είναι γραµµική συνάρτηση του. [ ) ( ) Γ. CFM Η δεύτερη µέθοδος υποθέτει ότι η ένταση θνησιµότητας είναι σταθερή µέσα σε κάθε έτος ηλικίας. (Γράφουµε και CFM από το consan forc of moraiy.) Και η υπόθεση αυτή δεν πρέπει να συγχέεται µε ένταση θνησιµότητας που έχει την ίδια τιµή σε όλες τις ηλικίες. Εδώ, η ένταση θνησιµότητας είναι κλιµακωτή συνάρτηση µε διαφορετική σταθερή τιµή σε κάθε διάστηµα, + [ ).
µ + + µ µ + µ + µ ( n ) και. Με παραγώγιση, µ n µ Αν, το µ πρέπει να είναι τέτοιο ώστε στο να καταλήξουµε µε το του πίνακα. Άρα, και η απαιτούµενη τιµή του µ είναι n και αποµένει ο προσδιορισµός των και, < <. Έχουµε. Άρα + (σχέση που συµφωνεί µε τις τιµές των και µ που βρέθηκαν παραπάνω). Η υπόθεση σταθερού κατά έτος ηλικίας βρίσκει εφαρµογή σε ορισµένες περιπτώσεις που η υπόθεση UDD οδηγεί σε µάλλον πολύπλοκα αποτελέσµατα. ( ). ALDUCCI Κάτω από την υπόθεση UDD, η µ +, < <, είναι αύξουσα ενώ κάτω από την υπόθεση CFM η µ + είναι σταθερή για (, ). Κάτω από την τρίτη µέθοδο, η µ + είναι φθίνουσα συνάρτηση του (µπορεί να θεωρηθεί µειονέκτηµα της µεθόδου). Παρά το γεγονός ότι η τρίτη µέθοδος είχε ήδη εισαχθεί (µαζί µε τις άλλες δύο), έγινε γνωστή κυρίως χάρη στο έργο του Ιταλού aducci και ως εκ τούτου φέρει το όνοµά του. Η υπόθεση aducci έχει κυρίως χρησιµοποιηθεί στην κατασκευή πινάκων και χρησιµοποιείται τώρα όλο και λιγότερο (η UDD είναι η "επικρατούσα" υπόθεση). Η υπόθεση aducci θεωρεί ότι η συνάρτηση + + είναι γραµµική στο < <. Από + παίρνουµε + + +, άρα, +, µ + και µ +. Βλέπουµε ότι το µ + πράγµατι + + + φθίνει από + + στο σε ( ) είναι φανερό ότι η γραµµικότητα του και + η συνάρτηση + στο. Τέλος, από τη σχέση + + + έχει σχήµα υπερβολής. ισοδυναµεί µε την υπόθεση ότι µεταξύ Ε. ΟΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ + Μέχρι στιγµής εξετάσαµε προσεγγίσεις για τις πιθανότητες θανάτου/επιβίωσης µέσα σε αρχικό κλάσµα ενός έτους. Από τη σχέση + βλέπουµε ότι γενικά + και, εφαρµόζοντας αυτή τη σχέση στις τρεις µεθόδους, παίρνουµε τις σχέσεις + (UDD), + (CFM) και + + (aducci). Αφαιρώντας τώρα από τη µονάδα, έχουµε αντίστοιχα ( ) + βρίσκουµε ότι ( ) ( ) + (UDD), + (CFM) και +, (aducci). Τέλος, µε τη βοήθεια της γενικής σχέσης (UDD), (CFM) και ( ) (aducci). +
,5 () ΣΤ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Αν s, να δειχθεί ότι η ακριβής τιµή του UDD" είναι είναι +, 5,5,5,5 ( ), 439,5 είναι,469, η "τιµή, η "τιµή CFM" είναι,469 και η "τιµή aducci",499.. Για, να δειχθεί ότι η ακριβής τιµή 3 69,743, η τιµή CFM, 769 και η τιµή aducci 4 7,794. είναι, 743, η τιµή UDD 4 4 69 + 7 3. Αν s(), να δειχθεί ότι η ακριβής τιµή 5 είναι 33 + 3,, η τιµή UDD 5,33, η τιµή CFM, 337 και η τιµή aducci, 33. 3 5 3 4. Να δειχθεί ότι < <. (Υπόδειξη : Να γίνει χρήση της ανισότητας ( ) <.) UDD CFM 4 39 5. Για την Άσκηση, να δειχθεί ότι οι τιµές ακριβής, UDD, CFM και aducci της,5,5 αντίστοιχα,5,, 4999,5, n,5, + +,5,5,4999. µ + είναι 6. Το ίδιο για την Άσκηση, οι τιµές της µ 3+ ακριβής, UDD, CFM και aducci είναι αντίστοιχα,439 69,, 439, n, 439,, 439. (Η µεγάλη σύµπτωση 39 39 7 39 στις τιµές δεν είναι "αντιπροσωπευτική", οφείλεται στο.) 7. Το ίδιο για την Άσκηση 3, οι τιµές της είναι όλες περίπου ίσες µε,6645. µ 5+ είναι κατά σειρά, 3 3 5, n 5 και και 3 8. Για την Άσκηση, να δειχθεί, κατά σειρά, ότι η ακριβής, η UDD, η CFM και η aducci τιµή του,5 είναι,5,5,469,, 499,,469 και +,5 +, ( ), 439 5.
9. Το ίδιο για την Άσκηση, οι τιµές 69,769 και, 743. 7 4 3 + είναι, 794,, 794, 39 39. Το ίδιο για την Άσκηση 3, οι τιµές 5,337 και, 33. 5 3 5 + είναι, 33,, 33, 3 3 CFM UDD. Να δειχθεί ότι + < + < +. (Υπόδειξη : Άσκηση 4 σε συνδυασµό µε τη σχέση + + που ισχύει για κάθε δύο από τις βάσεις UDD, CFM, ). Να δειχθεί ότι, κάτω από την υπόθεση UDD, o (Υπόδειξη: µ d µ d... κ+ o (δηλαδή, E( S ) ). κ + d κ + κ (µια + + + κ ( ) κ εξαιρετικά σηµαντική τεχνική!) ή, ισοδύναµα, d d d κ ( + k ) d ( + ) κ + ) κ o κ+ κ κ + E (όπως ~ U, ). (Υπόδειξη : να χρησιµοποιηθεί η τεχνική της Άσκησης ) 3. Να δειχθεί ότι, κάτω από την υπόθεση UDD, Var( T ) Var( K ) άρα ( S ) αναµένεται για τ.µ. ( ) i 4. Να δειχθεί ότι, κάτω από UDD, υ µ + d υ δ τεχνικής της Άσκησης ) κ+ κ + κ. (Υπόδειξη : εφαρµογή της 5. Έστω µ +, για κάθε ηλικία και < < (υπόθεση UDD). εδοµένου ότι µ d, να δειχθεί µε την τεχνική της Άσκησης ότι + + + E( K ) + E( K ).