ΟΙ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΟΙ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ιστορικό των µιγαδικών αριθµών Φαίνεται ότι, οι µιγαδικοί αριθµοί εισήχθησαν στα Μαθηµατικά, από τον Jo Wallis (673) Όµως, πολύ πριν απ αυτόν, το πρόβληµα του υπολογισµού τετραγωνικής ρίζας αρνητικού αριθµού είχε τεθεί σε µιά σειρά µαθηµατικών (πχ Ήρων (50 µχ), ιόφαντος (75 µχ), Maavira (850 µχ), Basara (50 µχ) κλπ) Ο Wallis στο Algebra, (cap LXVI, Vol II, p 86, έκδοση στα Λατινικά), ισχυρίζεται ότι, η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθµού αν και αδύνατος, δεν είναι ωστόσο πιο ακατανόητη από έναν αρνητικό αριθµό Ονοµάζει τις ποσότητες αυτές φανταστικές ποσότητες και φθάνει µέχρι το σηµείο να θεωρήσει έναν άξονα κάθετο προς τον άξονα των πραγµατικών αριθµών και να πει ότι αυτός θα έπρεπε να λέγεται άξων των φανταστικών ποσοτήτων Πέραν του σηµείου αυτού όµως, δεν προχωρά Την συνέχεια της µελέτης των φανταστικών ποσοτήτων, την ανέλαβε ο Leibit (676) και ο Jea Beroulli (70) Για περισσότερες λεπτοµέρειες, παραπέµπουµε στο History of Matematics Vol II, σελ 6, του DE Smit, έκδοση Dover, απ όπου έχουµε πάρει τις παραπάνω πληροφορίες Ορισµός των µιγαδικών αριθµών Έστω R το σώµα των πραγµατικών αριθµών Θεωρούµε το R R = {( x, y), µε x R και y R} και µέσα σ αυτό ορίζουµε την ισότητα ( x, y) = (x, y ) αν και µόνον αν x = x, y = y και τις εσωτερικές πράξεις, : R R R R (που θα καλούµε πρόσθεση) και o, o : R R R R, (που θα καλούµε πολλαπλασιασµό και θα παραλείπουµε το σύµβολο o ), ως εξής: Την πρόσθεση, από την σχέση, ( x,y) (x,y) = (x x,y y) Τον πολλαπλασιασµό από την σχέση, ( x,y) o (x,y) = (xx yy,xy xy) Η δοµή που έτσι ορίστηκε, παρίσταται µε το C και τα στοιχεία της µε τα γράµµατα, (συνήθως), w, κλπ Με παριστάνουµε το στοιχείο (,0), µε i παριστάνουµε το στοιχείο ( 0,), και µε 0 το στοιχείο ( 0,0) της δοµής C Το C, µε τις πράξεις αυτές, αποκτά την δοµή αντιµεταθετικού σώµατος Φανερά, ( 0,) o (0,) = (,0), ή i = Γράφουµε, C = (x, y) = x iy Εισάγουµε και έναν µονόµετρο πολλαπλασιασµό : R C C, θέτοντας, λ = λ(x, y) = (λx, λy) Η δοµή ( C,, ) είναι δοµή διανυσµατικού χώρου Τα στοιχεία (,0) και ( 0,) αποτελούν µιά βάση του χώρου αυτού Τον υπόχωρο Re =< (,0 ) > τον ταυτίζουµε µε το R, και γράφουµε απλά, αντί του (,0), ως επίσης x αντί του ( x,0) = x(,0 ) Η ταύτιση αυτή γίνεται µέσω του προφανούς ισοµορφισµού R x a (x,0) Re των δοµών ( Re,,o) και ( R,, ) Θεώρηµα Η δοµή C των µιγαδικών αριθµών, είναι ένα αντιµεταθετικό σώµα, που περιέχει ένα υπόσωµα, ισόµορφο του σώµατος R των πραγµατικών αριθµών, και µέσα στο οποίο, ισχύει η ισότητα i = 0 Η ισότητα αυτή, απαγορεύει την εισαγωγή

διατάξεως εν αυτώ, συµβατής µε τις πράξεις του C (Θεώρηµα των E Arti και Otto Screier, βλέπε ΣΠ Ζερβού, Π Κρικέλη, «Πως Μεταβαίνουµε από τα Κλασικά Μαθηµατικά στα Νεώτερα» Το x καλείται πραγµατικό µέρος του = x iy, και το y φανταστικό µέρος του Γράφουµε και x = Re, y = Im Θέτουµε, Re = { x x R} και Im = { y y R} Με κάθε µιγαδικό = x iy, θεωρούµε και τον συζυγή του = x iy Είναι, = x y, δηλαδή, = R τιµή του Η απεικόνιση C a x y = = καλείται απόλυτος Τους µιγαδικούς αριθµούς, θα µπορούσαµε να τους εισάγουµε, χρησιµοποιώντας τον x y ισοµορφισµό που δίδεται από την σχέση C = x iy a R y x Ο ισοµορφισµός αυτός είναι χρήσιµος στον λογισµό των µιγαδικών αριθµών Πχ, αν θέλουµε να βρούµε τον, απλά, λαβαίνουµε τον αντίστροφο πίνακα x y x y x y x y του πίνακα που αντιστοιχεί µέσω του ισοµορφισµού y x y x x y x y µας, στον Στην συνέχεια, γράφουµε, x y = i x y x y Απ ότι είπαµε παραπάνω, συµπεραίνουµε ότι, αν = x iy και = x iy έχουµε, τότε, και ότι α) = (x x ) i(y y ) και = (xx yy ) i(xy xy) β) = και = γ) = δ) = ε) = δ) και Επαγωγικά, i i ε) = στ) Η διαίρεση του πολυωνύµου µε το, δίδει την ταυτότητα K = Το µιγαδικό επίπεδο Το µιγαδικό επίπεδο λαβαίνετε, αν σε κάθε σηµείο ( x,y) R, αντιστοιχίσουµε τον µιγαδικό αριθµό = x iy Ο άξων Ox ταυτίζεται, τότε, µε το σύνολο Re και ο Oy µε το Im Στον µιγαδικό αριθµό αντιστοιχεί το ακτινικό διάνυσµα OZ, όπου Z = (x,y) Το µέτρο ή η απόλυτος τιµή του συµπίπτει µε την απόσταση R i= i=

3 του σηµείου Ζ από την αρχή Ο του συστήµατος αναφοράς του Οxy επιπέδου, και ισούται µε x y Χρήσιµη είναι και η παράσταση του µέσω των πολικών συντεταγµένων του Επειδή είναι x = r cosθ, y = rsiθ όπου r =, είναι και = r(cosθ isiθ), 0 θ < π, r,θ R Παρατηρούµε ότι, γωνίες θ, που είναι πολλαπλάσια του π, παριστούν στο µιγαδικό επίπεδο, το ίδιο σηµείο Η γωνία θ καλείται και Argumet (Arg) του, όταν είναι 0 θ < π, και argumet του (arg), όταν θ = π, Z Μετράται πάντα µε φορά αντίθετη της φοράς των δεικτών του ωρολογίου Το άθροισµα των µιγαδικών αριθµών, αναπαρίσταται από το άθροισµα των ακτινικών διανυσµάτων τους Για να βρούµε σε τι αντιστοιχεί το γινόµενο δύο µιγαδικών = x iy και = x iy, χρησιµοποιούµε τις πολικές τους συντεταγµένες ( r,θ) και ( r,θ), οπότε είναι, = r r (cos(θ π) isi(θ π))(cos(θ π) isi(θ π)) = rr [(cos(θ θ π) isi(θ θ π)] Η ισότητα αυτή δείχνει ότι, το γινόµενο του επί τον, αντιστοιχεί σε εκείνο το σηµείο του µιγαδικού επιπέδου, που απέχει από την αρχή απόσταση r ίση προς =, και έχει πολική γωνία arg = θ θ Ο πολλαπλασιασµός ενός µιγαδικού αριθµού επί τον i, αντιστοιχεί σε περιστροφή του σηµείου Ζ δεξιόστροφα, κατά γωνία π/ Τούτο είναι βέβαια σύµφωνο µε την δράση του πίνακα, που αντιστοιχεί στον i, πάνω στο διάνυσµα OZ x y 0 y x Πράγµατι, είναι, =, και το σηµείο = y xi έχει ακτινικό y x 0 x y διάνυσµα OZ κάθετο στο OZ, µιά και OZ ΟΖ = (x,y) ( y,x) = xy xy = 0 Αν = x iy = r (cosθ isiθ) και = x iy = r (cosθ isiθ) τότε έχουµε και τις σχέσεις: α) arg( ) = arg arg β) = (r(cosθ isiθ)) = r (cos θ isi θ) όπου το ρητός αριθµός (κανόνας του de Moivre) Η ισότητα αυτή, µας επιτρέπει να υπολογίζουµε δυνάµεις και ρίζες µιγαδικών αριθµών Πχ αν θέλουµε να βρούµε την, γράφουµε, / θ π θ π = = r cos isi, =, γ) Από την ταυτότητα στ) της προηγούµενης παραγράφου, λαβαίνουµε και τις σχέσεις si[( / )θ] cosθ cosθ K cos θ = και si(θ / ) cos[( / )θ] si θ si θ K si θ = cot(θ / ), όπου 0 < θ < π si(θ / )

4 Βιβλιογραφία ) Complex variables ad applicatios, Ruel V Curcill, McGraw-Hill ) Complex Variables, George Polya Gordo Latta, Wiley Ασκήσεις Έστω α,β R Να βρεθούν x, y R, έτσι ώστε (x iy) = α iβ Να δείξετε ότι i = i, αν και µόνον αν R 3 Έστω p (t) πολυώνυµο µε πραγµατικούς συντελεστές Να δείξετε ότι, για w C, p (w) = p(w) Άρα, αν w ρίζα του p (t), και ο w ρίζα του 4 Για ποιά σηµεία του επιπέδου Re = Im; 4 4 5 Να δείξετε ότι, r cos θ = x x y x y K 4 3 3 r si θ = x y x y K 3 όπου x iy = r(cos θ isi θ) r 6 Να δείξετε ότι, = ( cos(θ θ ) isi(θ θ )), όπου r = r (cosθ isi θ ) και = r (cosθ isi θ ) 3 Αρχικές ρίζες της µονάδος Αν θέλουµε να βρούµε τις ρίζες τις µονάδος, π π γράφουµε = cos0 isi0, οπότε και, = / = cos isi, =,,,, Τα σηµεία του µιγαδικού επιπέδου, που αντιστοιχούν στις ρίζες της µονάδος, για τις διαφορετικές τιµές του, βρίσκονται όλα επί περιφερείας κύκλου κέντρου την αρχή Ο και ακτίνας r = (ο µοναδιαίος κύκλος) και αυτά, P 3 αποτελούν τις κορυφές κανονικού -γώνου, µε πρώτη κορυφή το σηµείο P 0 = (,0 ), το οποίο το λαβαίνουµε για =, ή = 0 Ας καλέσουµε αυτή την κορυφή P, 0 µηδενική κορυφή Γράφουµε και ω = ω, όπου π π ω = cos isi P 5 Παρατηρούµε ότι, όλες οι διαφορετικές ρίζες της µονάδος δίδονται από τις δυνάµεις ω, ω, K, ω, µιά και ισχύει, από τον κανόνα de Moivre, ότι ω ωm = ω m (γενικότερα, έχουµε, ω ωm = ω m) Το γινόµενο δύο ριζών της µονάδος, είναι, λοιπόν, ρίζα της µονάδος Το σύνολο συνεπώς Ω = {ω, ω, K,ω} µε πράξη τον πολλαπλασιασµό του C, αποτελεί κυκλική οµάδα, τάξεως, παραγόµενη από την ω Η γεωµετρική ερµηνεία του πολλαπλασιασµού της ω επί ω, είναι η περιστροφή

5 της κορυφής κατά γωνία ότι ω 0 i= i = π / και η µεταφορά της στην κορυφή Ισχύει, λοιπόν, Ορισµός Ένας µιγαδικός αριθµός ω που είναι ρίζα της µονάδος, καλείται -αρχική m ρίζα της µονάδος, αν και µόνον αν, ω = ω, αλλά ω ω m µε m Ο είναι λοιπόν, ο ελάχιστος εκθέτης, για τον οποίο ω = ω Μία αρχική ρίζα της µονάδος, πολλαπλασιαζοµένη επί τον εαυτό της όσες φορές χρειάζεται, θα µας δώσει και τις ρίζες της µονάδος Κάτι, που δεν ισχύει για τις µη αρχικές ρίζες Πράγµατι, αν οι ρίζες µου είναι πχ στις κορυφές κανονικού οκταγώνου, για την κορυφή, που αντιστοιχεί στην ρίζα ω, είναι, ω ω = ω4, ω4ω = ω6, ω6ω = ω0, κοκ Αν τυχόν φυσικός, µε φ() συµβολίσαµε το πλήθος των φυσικών, οι οποίοι είναι πρώτοι προς τον (συνάρτηση φ του Euler) Θα δείξουµε ότι, για κάθε, έχουµε ακριβώς φ() -αρχικές ρίζες της µονάδος Θα δείξουµε δηλαδή ότι, αν, τότε οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναµες: ) ( ω ) = ω ) Το ω παράγει την οµάδα Ω 3) για κάποιον εκθέτη, ( ω ) = ω και, τέλος, 4) Οι και είναι πρώτοι µεταξύ τους, δηλαδή, ότι (,) = [ή ισοδύναµα, ότι υπάρχουν ακέραιοι α και β, τέτοιοι ώστε, η λ = (Ταυτότητα του Beout)] Ότι το ) ) και ότι ) 3) το δείξαµε πιο πάνω για την 3) 4), παρατηρούµε ότι, για τον φυσικό η =, ω = ω Άρα και (η)π (η)π π π (η)π π cos isi = cos isi, δηλαδή, λπ =, ή λη = (η)π π για την 4) ), έχουµε την λη =, απ όπου την λπ =, δηλαδή την ω = ω Άρα ( ω ) = ω = ω = ω ή ( ω ) = ω π π Παράδειγµα για κάθε, η ω = cos isi είναι -αρχική ρίζα της µονάδος Έχουµε, λοιπόν, τον παρακάτω πίνακα:

6 -αρχικές ρίζες της µονάδος φ() ω = ω = 3 3 3 ω = i, ω = ω = i 4 ω = i, ω 3 = i 5 π π 4 ω = cos isi, =,, 3, 4 5 5 6 3 3 5 ω = i, ω5 = ω = i Έστω, τώρα, ότι έχουµε να υπολογίσουµε την -στη ρίζα ενός αριθµού C Αν, µε κάποιο τρόπο, έχουµε υπολογίσει µία ρίζα, και έστω αυτή η u, τότε, και οι uω, K,uω, 0 είναι ρίζες του Όλες, λοιπόν, οι διαφορετικές ρίζες του είναι οι uω,uω, K,uω Κυκλοτοµικό πολυώνυµο Q () λέγεται εκείνο το πολυώνυµο φ () βαθµού, του οποίου οι ρίζες είναι οι -αρχικές ρίζες της µονάδος Έχοντας υπ όψη τον παραπάνω πίνακα, υπολογίζουµε τα κυκλοτοµικά πολυώνυµα: Q = 3 3 Q3 = i i = Q = ( i)( i) = 4 3 3 Q6 = i i = p p για p πρώτο αριθµό, είναι, Q = K p Θεώρηµα Αν το f (x) = a x a x a 0, µε ακεραίους συντελεστές είναι τέτοιο ώστε ο πρώτος p δεν διαιρεί τον a, τότε η ισοδυναµία f (x) 0(mod p) έχει το πολύ ακέραιες διαφορετικές (mod p) λύσεις Απόδειξη Με επαγωγή επί του Γιά = 0 δεν έχουµε καµία λύση µιά και f (x) = a 0 0(mod p) Υποθέτουµε ότι το θεώρηµα ισχύει γιά κάθε πολυώνυµο βαθµού Θα δείξουµε ότι ισχύει και γιά πολυώνυµο βαθµού Εάν η ισοδυναµία f (x) 0(mod p) δεν έχει καµία λύση, δεν έχουµε τίποτα να δείξουµε Σε περίπτωση όµως που έχουµε κάποια λύση r, τότε έχουµε και f (x) f (r) = a (x r ) = (x r) a (x x r r ) = (x r)g(x) = = όπου deg g(x) = Εξ άλλου, επειδή ο r ρίζα της f (x) 0(mod p), είναι και 0 f (x) (x r)g(x)(mod p) Αν x r 0(mod p), είναι, και, g(x) 0(mod p), που σύµφωνα µε την υπόθεση έχει διαφορετικές (mod p) ρίζες Άρα το f (x) έχει το πολύ ακέραιες διαφορετικές

7 (mod p) λύσεις Πόρισµα Αν p πρώτος, τότε υπάρχουν ακριβώς φ ( p ) διαφορετικές αρχικές ρίζες της µονάδος (mod p) Παράδειγµα Αν p =, θα πρέπει να έχουµε φ ( 0) = 4 διαφορετικές αρχικές ρίζες της p p i x = (x )(x ) = 0 Πράγµατι, αν ω είναι µία ρίζα της µονάδας, για να βρούµε τις αρχικές ρίζες, θα πρέπει να βρούµε ποιός εκθέτης δίδει µε πράξη την i j ij ( ) ω ω = (mod ) όλους τους εκθέτες από τον µέχρι τον 0 Καταρτίζουµε, λοιπόν, τον παρακάτω πίνακα, όπου έχουµε υπολογίσει τους εκθέτες mod : 3 4 5 6 7 8 9 0 4 8 6 5 3 0 64 9 7 3 6 3 3 9 7 5 8 4 4 4 5 9 3 5 5 3 4 9 6 6 3 7 9 0 5 8 4 7 7 5 3 0 4 6 9 8 8 8 9 6 4 0 3 5 7 9 9 4 3 5 0 0 Σύµφωνα µε τον πίνακα αυτόν, αρχικές ρίζες είναι οι 6 7 8 ω, ω, ω, ω Βιβλιογραφία ) Το τελευταίο θεώρηµα του Fermat Ιωάννα Φερεντίνου Νικολακοπούλου ΟΕ Β, 984 ) Polyomials EJ Barbeau, Spriger-Verlag, 989