ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΩΝ NOTATION ΓΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΑΝΥΣΤΕΣ -Bd, Steat and Lghtfoot "Tanpot Phenomena" -Bd, Amtong and Haage "Dynamc of Polymec Lqd" Οι υσικές ποσόηες σην εωρία ων αινοµένων µααοράς µπορούν να αξινοµηούν σε - Αριµηικά µονόµερα ή βαµωά µεγέη Scala, όπως ερµοκρασία, ενέργεια, όγκος - ιανυσµαικά µεγέη Vecto, όπως αχύηα, ορµή, ύναµη - Τανυσές ή ανυσικά µεγέη Second-ode teno, όπως ιαµηική άση, ρυµός ροής ορµής Με α αριµηικά µονόµερα ή βαµωά µεγέη υπάρχει µόνο ένας ρόπος πολλαπλασιασµού, όµως µε α ιανυσµαικά και ανυσικά µεγέη υπάρχουν οι εξής ρόποι: - ngle dot εσωερικό γινόµενο - doble dot : ιπλό γινόµενο - co : εξωερικό γινόµενο Οι παρακάω ύποι παρένεσης α χρησιµοποιηούν για να ηλώσουν α αποελέσµαα ων ιαορεικών πράξεων Αριµηικό µέγεος, σ : ] ιανυσµαικό µέγεος ], ] { } Τανυσικό µέγεος {σ } Το σύµβολο πολλαπλασιασµού µπορεί να ερµηνευεί σύνωνα µε α παρακάω: Σηµείο ή σύµβολο πολλαπλασιασµού Mltplcaton gn None Τάξη Ode of Relt Σ- Σ- : Σ-4 Σ

Παραείγµαα: η άξη είναι εύερης άξης ανυσής η άξη είναι - πρώης άξης ιάνυσµα σ: η άξη είναι -4 µηενικής άξης αριµηικό µέγεος Ορισµός ιανύσµαος: Μία ποσόηα που έχει ένα συγκεκριµένο µέγεος και ιεύυνση είναι ο µέγεος ου ιανύσµαος ύο ιανύσµαα είναι ίσα όαν α µεγέη ους είναι ίσα και οι ιευύνσεις ους συµπίπουν Πρόσεση και ααίρεση ιανυσµάων: Εσωερικό γινόµενο ngle dot ύο ιανυσµάων: co Μεαεικός commtatve v v Μη-προσεαιρισικός not aocatve v v Επιµερισικός dtbtve v ] v

Εξωερικό γινόµενο Co Podct ύο ιανυσµάων: ] n n όπου n είναι ένα µοναιαίο η κανονικό ιάνυσµα nt vecto κάεο nomal σο επίπεο που περιέχει α and και έχει έοια ιεύυνση, που ένας εξιόσροος κοχλίας ght-handed ce α µεακινόαν εάν σρέαµε ο προς ο µε ον συνοµόερο ρόπο Μη-µεαεικός not commtatve ] -] Μη-προσεαιρισικός not aocatve v ]] v] ] Επιµερισικός dtbtve v] ] ] v ]

4 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΠΟ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΛΕΥΡΑ ANALYTICAL VIEWPOINT Καρεσιανές συνεαγµένες,,, y, ανίσοιχα Πολλές εξισώσεις µπορούν να γραούν εύκολα χρησιµοποιώνας ο έλα ου Κonece και ον εναλλασσόµενο µοναιαίο ανυσή altenatng nt teno ε, α οποίο ορίζοναι σαν: και f f ε εάν,, ε - εάν,, ε εάν ύο ή περισσόεροι είκες είναι ίιοι Εύκολα µπορεί κάποιος να αποείξει: ε ε h h και ε ε mn m n - n m Σύµωνα µε α ανωέρω η ορίζουσα detemnant µίας µήρας µπορεί να γραεί: α α α α α α ε α α α α α α

5 ΟΡΙΣΜΟΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΟΥ - ΜΟΝΑ ΙΑΙΑ Ή ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ενα ιάνυσµα ορίζεαι από ις ρεις συνισώσες ου component ή α µεγέη ων προβολών ου the magntde of t poecton,, and επάνω σους άξονες,, and, ανίσοιχα Εσι µπορούµε να γράψουµε, όπου,, and είναι α ανίσοιχα κανονικά ιανύσµαα Οι παρακάω αυόηες µπορούν να αποειχούν εύκολα: ] ] ] Ολες οι ανωέρω σχέσεις µπορούν να γραούν σαν: - ] ] - ] - ε ]

6 Πρόσεση ιανυσµάων: Βαµωός πολλαπλασιασµός ιανύσµα µε αριµηικό µέγεος: ] Εσωερικό γινόµενο ιανυσµάων: ] ] Εξωερικό γινόµενο ιανυσµάων: ] ] ] ε

7 Απόειξη Ταυόηας Παράειγµα: Απόειξε ην παρακάω αυόηα v ] v - v Η αυόηα µπορεί να αποειχεί για ην -συνισώσα -component, έσι ο άροισµα mmaton Σ µπορεί να παραληεί για λόγους απλούσευσης v ] Σ Σ ε v ] Σ Σ ε Σ l Σ m ε lm v l m ] Σ Σ Σ l Σ m ε ε lm v l m Σ Σ Σ l Σ m ε ε lm v l m Σ Σ l Σ m l m - m l v l m Σ Σ l Σ m l m v l m - Σ Σ l Σ m m l v l m Ανικαισούµε l σον πρώο όρο και m σον εύερο όρο v Σ Σ m m m - Σ Σ l l v l Ανικαισούµε m σον πρώο όρο και l σον εύερο όρο v Σ - Σ v v - v v - v

8 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ VECTOR DIFFERENTIAL OPERATIONS Ο ελεσής ανάελα del opeato ορίζεαι είναι ιάνυσµα ως: Η κλίση αριµηικού βαµωού πείου gadent of a cala feld: Μη-µεαεικός not commtatve L Μη-προσεαιρισικός not aocatve Επιµερισικός dtbtve Η απόκλιση ιανυσµαικού πείου dvegence of a vecto feld: ] ] Μη-µεαεικός not commtatve Μη-προσεαιρισικός not aocatve Επιµερισικός dtbtve

9 O σροβιλισµός ιανυσµαικού πείου cl of a vecto feld: ] ] ] - - - ] cl ot Είναι µόνο επιµερισική Ο ελεσής ου Laplace The Laplacan Opeato: Ο ελεσής ου Laplace ορίζεαι ως: Ο ελεσής ου Laplace για ένα ιάνυσµα είναι: ] ] - Η ουσιασική παράγωγος The Sbtantal Devatve: Εάν είναι η οπική αχύηα ου ρευσού local fld velocty όε: t Dt D

Η ουσιασική παράγωγος btantal devatve για µια αριµηική ποσόηα είναι: D Dt t Η ουσιασική παράγωγος btantal devatve για µία ιανυσµαική ποσόηα είναι: D Dt t t Οι παραπάνω ποσόηες µπορούν να χρησιµοποιηούν για καρεσιανές συνεαγµένες Για όλες ις άλλες συνεαγµένες: ]]

ΤΑΝΥΣΤΕΣ Ενα ιάνυσµα,, ορίζεαι απο ις ρείς συνισώσες ου,, and Οµοια, ένας ανυσής ορίζεαι από εννέα συνισώσες ή σοιχεία nne component Τα σοιχεία,, και λέγοναι ιαγώνια, ενώ α άλλα µη-ιαγώνια Εάν,, και όε ο ανυσής λέγεαι συµµερικός ymmetc Ο ανάσροος ανυσής tanpoe ου ορίζεαι ως: * Εάν είναι συµµερικός, όε * υαικό γινόµενο ύο ιανυσµάων Dyadc Podct of To Vecto:

Ταυοικός ή µοναιαίος ανυσής Unt Teno: Οι συνισώσες ου µοναιαίου ανυσή είναι Κonece delta fo,, Μοναιαία υάα Unt Dyad: Είναι απλώς α υαικά γινόµενα ων µοναιαίων ιανυσµάων, m n σα οποία m,n,, Εσι, ένας ανυσής µπορεί να γραεί ως: Και ο υαικό γινόµενο ύο ιανυσµάων ως: Επίσης επισηµαίνουµε και ις εξής αυόηες:

cala : l l vecto ] vecto ] teno l l Αροισµα ανυσών: σ σ σ Πολλαπλασιασµός ενός ανυσή µε ένα αριµηικό µέγεος: ιπλό γινόµενο Doble Dot Podct ύο ανυσών: : : l l l σ σ σ l l : l σ l l l Ανικαισούµε l και για να απλοποιηεί ως: 4 - a cala hch σ

4 Εσωερικό γινόµενο ύο ανυσών Dot Podct of To Teno: l l l σ σ σ l l l σ l l l l l σ l Εσωερικό γινόµενο Dot Podct ενός ανυσή µε ένα ιάνυσµα: ] ] ιαορικές Πράξεις Dffeental Opeaton: ] ] ] Μερικές άλλες αυόηες που µπορούν εύκολα να αποειχούν: :

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΑΝΥΣΤΕΣ INTEGRAL THEOREMS FOR VECTORS AND TENSORS 5 Θεώρηµα απόκλισης καά Ga - Otogad Dvegence Theoem: Εάν V είναι µια κλεισή περιοχή η οποία εσωκλείεαι από µία επιάνεια S όε dv n ds n ds n ds V S S S όπου n είναι ο κάεο µοναιαίο ιάνυσµα µε ιεύυνση προς α έξω otadly dected nomal vecto dv n ds όπου είναι ένα αριµηικό µέγεος V S όπου είναι ένας ανυσής ] dv V n ] ds S Θεώρηµα σροβιλισµού καά Stoe Cl Theoem: Εάν S είναι µία επιάνεια η οποία εσωκλείεαι από µία κλεισή καµπύλη C, όε: ] S n ds t C dc όπου t είναι ο µοναιαίο εαπόµενο ιάνυσµα σην καεύυνση ολοκλήρωσης και n είναι ο µοναιαίο κάεο ιάνυσµα σο S σην καεύυνση όπου ένας εξιόσροος κοχλίας α µεακινόαν εάν η κεαλή ου περισρεόαν σην καεύυνση ολοκλήρωσης καά µήκος ου C

ιαόριση ή παραγώγιση ριπλού ολοκληρώµαος καά Lebnt The Lebnt Fomla fo Dffeentatng a Tple Integal: 6 d dt dv V V dv t S n ds όπου είναι η αχύηα ενός σοιχείου ης επιάνειας face element, και είναι µία αριµηική ποσόηα, η οποία µπορεί να είναι συνάρηση έσης και χρόνου, πχ,,y,,t Επίσης VVt και SSt Εάν η επιάνεια ου όγκου κινείαι µε µια οπική αχύηα ου ρευσού local fld velocty, όε d dt D ρ dv ρ dv Dt V V όπου ρ είναι η πυκνόηα ου ρευσού

7 ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΕΓΜΕΝΕΣ CURVILINEAR COORDINATES Mέχρι ώρα έχουµε εωρήσει καρεσιανές συνεαγµένες,, y and Οµως πολλές ορές είναι πιο υσικό βολικό να λύσουµε προβλήµαα σε καµπυλόγραµµες συνεαγµένες Οι πιο γνωσές καµπυλόγραµµες συνεαγµένες είναι οι κυλινρικές cylndcal και οι σαιρικές phecal Σην παρούσα ανάπυξη ενιαερόµασε σο πως να γράψουµε ιαορικά, όπως, v], και :v σε καµπυλόγραµµες συνεαγµένες Για να ο κάνουµε αυό χρειαζόµασε ύο εργαλεία α Την παράσαση epeon για σε καµπυλόγραµµες συνεαγµένες β Τα ιαορικά ως προς ον χώρο patal devatve ων µονοιάσαων ιανυσµάων σε καµπυλόγραµµες συνεαγµένες Κυλινρικές Συνεαγµένες Cylndcal Coodnate Οι ιµές ων,, and ανί ων, y, and Από απλή γεωµερία οι εξής παρασάσεις µπορούν να γραούν: co y y n actan y/ Για να µεαρέψουµε ιαορικά ως προς, y, and σε ιαορικά ως προς,, and, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε ον κανόνα ης αλυσίας σην παραγώγιση chan le of dffeentaton Εσι, n co -

8 co n y Με αυές ις παρασάσεις, α ιαορικά οποιωνήποε αριµηικών παρασάσεων ως προς, y and µπορούν να εκρασούν ως προς α, and αλλάζουν Χρησιµοποιώνας ριγωνοµερία, co n -n co y y y Τώρα σρέουµε ην προσοχή µας σις σχέσεις µεαξύ ων µονοιάσαων ιανυσµάων Σε καρεσιανές συνεαγµένες, y, and και σε κυλινρικές συνεαγµένες,, and Σο Σχήµα βλέπουµε όι όπως ο σηµείο P µεακινείαι οι καευύνσεις ων, Οαν λυούν οι παραπάνω σχέσεις ως προς, y, and, α εξής αποελέσµαα µπορούν να παραχούν: co - n n co y Τα ιανύσµαα και οι ανυσές µπορούν να αναλυούν σις συνισώσες ους σε όλα α συσήµαα συνεαγµένων, όπως και σην περίπωση ων καρεσιανών συνεαγµένων που έχουµε εξεάσει Για παράειγµα: v ] v - v v - v v - v

9 σ σ σ σ Σαιρικές Συνεαγµένες Sphecal Coodnate εξής σχέσεις: Οι σαιρικές συνεαγµένες συσχείζοναι µε ις ανίσοιχες καρεσιανές σύµωνα µε ις Σχήµα: Σαιρικές συνεαγµένες n co y y n n actan y / co actany/ Οι ιαορικές πράξεις devatve opeato είναι: co co n n co - - n co n co n n y n n co - Οι σχέσεις µεαξύ ων µοναιαίων ιανυσµάων είναι: n co n n co co co co n -n - n co Οι παραπάνω σχεσεις µπορούν να λυούν για, y, and : y y y

n co co co -n n n co n co y co -n Μερκά παραείγµαα πράξεων σε σαιρικές συνεαγµένες είναι: σ : σ σ σ σ σ σ σ σ σ v ] v v v

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ DIFFERENTIAL OPERATIONS IN CURVILINEAR COORDINATES Ο ελεσής opeato α παραχεί σε κυλινρικές και σαιρικές συνεαγµένες Κυλινρικές: Οι εξής σχέσεις µπορούν να εξαχούν µε ιαορισµό ων σχέσεων µεαξύ ων µοναιαίων ιανυσµάων σε κυλινρικές συνεαγµένες και καρεσιανές συνεαγµένες - Ο ορισµός ου σε καρεσιανές συνεαγµένες είναι: y y Ανικαισώνας, y, and σαν συναρήσεις ων,, and και απλοποιώνας, ο ελεσής σε κυλινρικές συνεαγµένες µπορεί να γραεί:

Σαιρικές συνεαγµένες Οι εξής σχέσεις µπορούν να εξαχούν µε ιαορισµό ων σχέσεων µεαξύ ων µοναιαίων ιανυσµάων σε σαιρικές συνεαγµένες και καρεσιανές συνεαγµένες co - n - co n - Ο ορισµός ου ελεσή σε καρεσιανές συνεαγµένες είναι: y y Ανικαισώνας, y, and σαν συναρήσεις ων,, and, και απλοποιώνας, ο ελεσής σε σαιρικές συνεαγµένες µπορεί να γραεί: ϕ n Fo moe detal ee: RB Bd, WE Steat and EN Lghtfoot, "Tanpot Phenomena," Wley, Ne Yo, 96 RB Bd, RC Amtong and O Haage, "Dynamc of Polymec Lqd," Vol, "Fld Mechanc," Wley, Ne Yo, 977

4

5

6

7