Πανεπιτήμιο Πελοποννήου Εκτιμήεις Διατήματα Εμπιτούνης Έλεγχοι Υποθέεων Stefao G. Giakoumato
Εκτιμητική Οι κατανομές των τατιτικών έχουν άγνωτες παραμέτρους, οι οποίες πρέπει να εκτιμηθούν Εκτιμητές ε ημείο (Σημειακοί εκτιμητές μιας παραμέτρου θ είναι μια υνάρτηη από την οποία μπορούμε να υπολογίουμε την αριθμητική τιμή της παραμέτρου, χρηιμοποιώντας τις μετρήεις του δείγματος. Ο αριθμός που υπολογίζεται, λέγεται εκτιμητής ε ημείο της παραμέτρου Εκτιμητές ε διάτημα είναι ένας τύπος από τον οποίο μπορούμε να κατακευάουμε ένα διάτημα το οποίο ανήκει η παράμετρος του πληθυμού με υγκεκριμένο βαθμό βεβαιότητας, χρηιμοποιώντας τις μετρήεις του δείγματος Stefao G. Giakoumato
Εκτιμητές ε ημείο (Poit Etimator Για την κατακευή Εκτιμητών ε Σημείο των παραμέτρων μιας κατανομής χρηιμοποιούμε:.μέθοδο των Ροπών.Μέθοδο Μέγιτης Πιθανοφάνειας 3.Μέθοδος Ελάχιτων Τετραγώνων Stefao G. Giakoumato
Μέθοδος των Ροπών (Method of Momet Για να κατακευάουμε ημειακούς εκτιμητές, εξιώνουμε τις θεωρητικές ροπές που περιέχουν τις άγνωτες παραμέτρους με τις αντίτοιχες δειγματικές ροπές Θεωρητική Ροπή k τάξεως µ k x x k P( X x Δειγματική Ροπή k τάξεως m k i x k i Stefao G. Giakoumato
Μέθοδος Μέγιτης Πιθανοφάνειας (Method of Maximum Likelihood Ονομάζεται πιθανοφάνεια και υμβολίζεται με L(θ, η κατανομή του δείγματος, όταν θεωρείται υνάρτηη της άγνωτης παραμέτρου θ. Αν f(x είναι η κατανομή από όπου προέρχεται το δείγμα, τότε: L ( θ f ( x i i Ο εκτιμητής μέγιτης πιθανοφάνειας (ΕΜΠ της άγνωτης παραμέτρους θ βρίκεται μεγιτοποιώντας τη υνάρτηη L(θ ως προς το θ Stefao G. Giakoumato
Παρατήρηη Οι ροπο-εκτιμητές και οι εκτιμητές μέγιτης πιθανοφάνειας ε άλλες κατανομές υμπίπτουν και ε άλλες δεν υμπίπτουν. Όταν δεν υμπίπτουν, διαλέγουμε τον εκτιμητή με τις καλύτερες ιδιότητες από πιθανοθεωρητικής άποψης Τέτοιες ιδιότητες είναι. Αμεροληψία. Ελάχιτη Διακύμανη 3. Συνέπεια 4. Επάρκεια Stefao G. Giakoumato
Stefao G. Giakoumato Εκτιμητές παραμέτρων του πληθυμού o Μέη τιμή (μ o Αναλογία ( o Διαπορά ( ( i i A i i x x x x ˆ ˆ
V ( x V ( ˆ ˆ ( ˆ Stefao G. Giakoumato
Πανεπιτήμιο Πελοποννήου Διατήματα Εμπιτούνης Stefao G. Giakoumato
Διατήματα Εμπιτούνης Εκτιμητές ε διάτημα Έτω x,x,,x τυχαίο δείγμα και θ μία άγνωτη παράμετρος του πληθυμού. Επιπλέον, έτω -α μία μεγάλη πιθανότητα. Τότε το διάτημα (Α,Δ του οποίου τα άκρα Α (αριτερό και Δ (δεξιό ορίζονται από τη χέη Ρ(Α<θ<Δ-α Λέγεται 00(-α% διάτημα εμπιτούνης για την παράμετρο θ και η πιθανότητα -α λέγεται υντελετής εμπιτούνης. Stefao G. Giakoumato
Διάτημα εμπιτούνης για τη μέη τιμή μ του πληθυμού (διαπορά γνωτή Δείγμα μεγάλο 30 A x x + a a / / Όταν το δείγμα προέρχεται από κανονικό πληθυμό, οι παραπάνω τύποι ιχύουν και για μικρό δείγμα Stefao G. Giakoumato
Διάτημα εμπιτούνης για τη μέη τιμή μ του πληθυμού (διαπορά άγνωτη Δείγμα μεγάλο 30 A x x + a a / / Stefao G. Giakoumato
Διάτημα εμπιτούνης για τη μέη τιμή μ του πληθυμού (διαπορά άγνωτη Δείγμα μικρό <30 A x x + t t, a /, a / Το δείγμα πρέπει να προέρχεται από κανονικό πληθυμό Stefao G. Giakoumato
Stefao G. Giakoumato Διάτημα εμπιτούνης για τη διαφορά μέων τιμών δύο πληθυμών. (δείγματα ανεξάρτητα, & m 30 ( ( m y x m y x A a a / / + + + Όταν οι διαπορές είναι άγνωτες, χρηιμοποιούμε τις αντίτοιχες δειγματικές διαπορές
Διάτημα εμπιτούνης για τη διαφορά μέων τιμών δύο πληθυμών. (δείγματα ανεξάρτητα, & m<30 A ( x y t + m; a / ooled + m ooled ( x y + t + m; a / ( + ( m + m ooled + m Τα δείγματα πρέπει να προέρχονται από κανονικούς πληθυμούς Stefao G. Giakoumato
Διάτημα εμπιτούνης για τη διαφορά των μέων τιμών δύο πληθυμών (Δείγματα εξαρτημένα Ζευγαρωτές παρατηρήεις A + t t, a /, a / Το ζεύγη των παρατηρήεων πρέπει να προέρχεται από κανονικό πληθυμό Όταν 30, τότε αντί για t χρηιμοποιούμε την κανονική κατανομή a/ Stefao G. Giakoumato
Stefao G. Giakoumato Διάτημα εμπιτούνης για την αναλογία ενός πληθυμού Δείγμα μεγάλο 30 ( ( A a a + / /
Stefao G. Giakoumato Διάτημα εμπιτούνης για τη διαφορά -, των αναλογιών δύο πληθυμών Δείγμα μεγάλο 30 ( ( ( ( m m A a a / / + + +
Διάτημα εμπιτούνης για τη διαπορά ενός πληθυμού A ( X, a / ( X, a / Το δείγμα πρέπει να προέρχεται από κανονικό πληθυμό Stefao G. Giakoumato
Διάτημα εμπιτούνης για το λόγο των διαπορών δύο πληθυμών F, m, a/ < < F m,, a/ Τα δείγματα πρέπει να προέρχεται από κανονικούς πληθυμούς Stefao G. Giakoumato
Πανεπιτήμιο Πελοποννήου Έλεγχοι Υποθέεων Stefao G. Giakoumato
Ειαγωγή Σκοπός των τατιτικών ελέγχων υποθέεων είναι η πραγματοποίηη κάποιων ελέγχων αναφορικά με τις παραμέτρους του πληθυμού Παράδειγμα Για μία αθένεια υπάρχει φάρμακο που θεραπεύει μέα ε 0 μέρες. Ένα νέο φάρμακο ιχυρίζεται πως θεραπεύει ε υντομότερο χρονικό διάτημα. Σκοπός είναι να ελεγχθεί αν ο μέος όρος θεραπείας του νέου φαρμάκου είναι μικρότερο από 0 μέρες. Η υπόθεη μ0 λέγεται μηδενική υπόθεη Η 0 Η υπόθεη μ<0 λέγεται εναλλακτική υπόθεη Η Stefao G. Giakoumato
Στοιχεία τατιτικού ελέγχου Η εναλλακτική υπόθεη ελέγχεται ε χέη με την μηδενική υπόθεη. Για να γίνει ο έλεγχος χρηιμοποιείται ένα τυχαίο δείγμα, και με βάη αυτό υπολογίζεται ένα τατιτικό (υνάρτηη των τιμών του δείγματος Απορριπτική περιοχή της Η 0 ονομάζεται η περιοχή που όταν το τατιτικό του ελέγχου πάρει τιμές, τότε η Η 0 απορρίπτεται. Η απορριπτική περιοχή υμβολίζεται με R. Stefao G. Giakoumato
Στοιχεία τατιτικού ελέγχου (.Η μηδενική υπόθεη Η 0.Η εναλλακτική υπόθεη Η 3.Το τατιτικό του υγκεκριμένου ελέγχου 4.Η απορριπτική περιοχή R Με βάη τα παραπάνω γίνεται ο έλεγχος και εξάγονται υμπεράματα Stefao G. Giakoumato
Μορφές ελέγχου o Η μηδενική υπόθεη είναι πάντα της μορφής Η 0 :θθ 0, όπου θ είναι η παράμετρος του πληθυμού που ελέγχεται και Θ 0 είναι μία τιμή o Η εναλλακτική υπόθεη παίρνει τις παρακάτω μορφές θ>θ 0 (μονόπλευρος έλεγχος Θ<θ 0 (μονόπλευρος έλεγχος θ θ 0 (δίπλευρος έλεγχος Stefao G. Giakoumato
Σφάλματα o Ονομάζεται φάλμα τύπου Ι η απόρριψη της μηδενικής υπόθεης ενώ είναι ωτή. Η πιθανότητα αυτού του φάλματος υμβολίζεται a. Άρα ap(απόρριψη της Η 0 Η 0 ωτή o Ονομάζεται φάλμα τύπου ΙΙ η αποδοχή της μηδενικής υπόθεης ενώ είναι λάθος. Η πιθανότητα αυτού του φάλματος υμβολίζεται β. Άρα βp(αποδοχή της Η 0 Η 0 λάθος Stefao G. Giakoumato
Ιχύς Ελέγχου και Παρατηρούμενη επίπεδο ημαντικότητας o Ιχύς ενός τατιτικού ελέγχου ονομάζεται η πιθανότητα απόρριψης της Η 0 όταν η Η 0 είναι λάθος. Συμβολίζεται γ-β o Παρατηρούμενη επίπεδο ημαντικότητας ονομάζεται η πιθανότητα να παρατηρηθεί μία τιμή του τατιτικού μεγαλύτερη από αυτή που έδωε το δείγμα. Stefao G. Giakoumato
Έλεγχος υπόθεης για τη μέη τιμή μ του πληθυμού (διαπορά γνωτή Δείγμα μεγάλο 30 δεδομενα από οποιαδήποτε κατανομή Δείγμα μικρόο <30 δεδομενα από κανονική κατανομή H 0 : μμ 0 H 0 : μμ 0 H 0 : μμ 0 Η : μ>μ 0 Η : μ<μ 0 Η : μ μ 0 R{> a } R{<- a } R{{> a/ } ή {<- a/ }} x µ 0 Stefao G. Giakoumato
Έλεγχος υπόθεης για τη μέη τιμή μ του πληθυμού (διαπορά άγνωτη Δείγμα μεγάλο 30 δεδομένα από οποιαδήποτε κατανομή (προεγγιτικά Δείγμα μικρό <30 δεδομένα από κανονική κατανομή H 0 : μμ 0 H 0 : μμ 0 H 0 : μμ 0 Η : μ>μ 0 Η : μ<μ 0 Η : μ μ 0 R{t>t -,a } R{t<-t -,a} R{{t>t -,a/} ή {t<-t -,a/}} x µ t 0 Stefao G. Giakoumato
Έλεγχος υπόθεης για τη διαφορά των μέων όρων δύο πληθυμών (δείγματα ανεξάρτητα, διαπορές γνωτές ή άγνωτες Δείγματα μεγάλα m & 30 H 0 : μ -μ δ Η : μ -μ >δ H 0 : μ -μ δ Η : μ -μ <δ H 0 : μ -μ δ Η : μ -μ δ R{> a } R{<- a } R{{> a/ } ή {<- a/ }} x y + δ m ή x y + δ m Stefao G. Giakoumato
Έλεγχος υπόθεης για τη διαφορά των μέων όρων δύο πληθυμών (δείγματα ανεξάρτητα, διαπορές ίες. Δείγματα μεγάλα m & <30 H 0 : μ -μ δ Η : μ -μ >δ H 0 : μ -μ δ Η : μ -μ <δ H 0 : μ -μ δ Η : μ -μ δ R{t>t +m-,a } R{t<-t +m-,a } R{{t>t +m-,a/ } ή {t<-t +m-,a/ }} t ( + ( m m + + x y δ m Stefao G. Giakoumato
Έλεγχος υπόθεης για τη διαφορά των μέων όρων δύο πληθυμών (δείγματα εξαρτημένα ζευγαρωτές παρατηρήεις H 0 : μ -μ δ Η : μ -μ >δ H 0 : μ -μ δ Η : μ -μ <δ H 0 : μ -μ δ Η : μ -μ δ R{t>t +m-,a } R{t<-t +m-,a } R{{t>t +m-,a/ } ή {t<-t +m-,a/ }} t δ Προϋπόθεη: η κατανομή των διαφορών είναι περίπου κανονική Stefao G. Giakoumato
Stefao G. Giakoumato Τύποι για ζευγαρωτές παρατηρήεις ( ( i i i i i i i y x
Έλεγχος υπόθεης για την αναλογία ενός πληθυμού H 0 : 0 H 0 : 0 H 0 : 0 Η : > 0 Η : < 0 Η : 0 R{> a } R{<- a } R{{> a/ } ή {<- a/ }} 0 ( 0 0 Stefao G. Giakoumato
Έλεγχος υπόθεης για τη διαφορά - των αναλογιών δύο πληθυμών H 0 : - δ Η : - >δ H 0 : - δ Η : - <δ H 0 : - δ Η : - δ R{> a } R{<- a } R{{> a/ } ή {<- a/ }} ( ( + δ m Stefao G. Giakoumato
Έλεγχος υπόθεης για τη διαπορά ενός πληθυμού H 0 : 0 Η : > 0 H 0 : 0 Η : < 0 H 0 : 0 Η : 0 R{X >x -,a } R{X <x -,-a } R{{X >x -,a/ } X ( 0 ή {X <x -,-a/ }} Προϋπόθεη: δείγμα από κανονικό πληθυμό Stefao G. Giakoumato
Stefao G. Giakoumato Έλεγχος υπόθεης για το λόγο των διαπορών δύο πληθυμών { } { } { } < > > > > < > / ;, ;, ;, 0 0 0 0 όταν, όταν, : : : : F F F R F F R F F R H H H H a a a