Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2013-2014 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr
1. Εισαγωγή
Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό ή ιδιότητα που μπορεί να πάρει διαφορετικές τιμές εδομένα ή στοιχεία: οιτιμέςμιαςμεταβλητής Ποσοτικές μεταβλητές : εκφράζουν κάτι μετρήσιμο - συνεχείς μεταβλητές - διακριτές (ή ασυνεχείς) μεταβλητές Ποιοτικές μεταβλητές : δεν εκφράζουν κάτι μετρήσιμο - κατηγορικές (ή ονομαστικές) μεταβλητές - διατεταγμένες μεταβλητές ΒΙΟ309-Περιγραφική Στατιστική 3
Εισαγωγικές έννοιες Κατηγοριοποίηση των μεταβλητών βάσει της κλίμακας: i) Οι τιμές της κλίμακας μπορούν να διαταχθούν ii) Το διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών τιμών της κλίμακας είναι σταθερού μεγέθους iii) Το σημείο μηδέν είναι απόλυτα ερμηνεύσιμο αριθμητική ερμηνεία του λόγου δύο τιμών της κλίμακας Κατηγοριοποίηση μεταβλητών σε: κλίμακα αναλογίας (ratio scale) (κριτήρια : i, ii, iii) κλίμακα διαστήματος (interval scale) (κριτήρια : i, ii) διατεταγμένης κλίμακας (ordinal scale) (κριτήρια : i) ονομαστικής κλίμακας (nominal scale) (κανένα από τα τρία κριτήρια) ΒΙΟ309-Περιγραφική Στατιστική 4
Εισαγωγικές έννοιες Πληθυσμός: ένα σύνολο υποκειμένων / αντικειμένων / δυνατών εκβάσεων ενός φαινομένου ή μιας πειραματικής διαδικασίας είγμα: ένα υποσύνολο του πληθυσμού Τυχαίο δείγμα: είναι αυτό που κάθε μέλος του πληθυσμού έχει την ίδια πιθανότητα να επιλεγεί Πείραμα: μια σχεδιασμένη έρευνα για την απόκτηση καινούργιων πληροφοριών ή για τον έλεγχο των αποτελεσμάτων παλαιότερων πειραμάτων Επέμβαση / παράγοντας: υλικά ή μέθοδοι ή συνθήκες των οποίων την επίδραση θέλουμε να μελετήσουμε Πειραματική μονάδα: το τμήμα του πειραματικού υλικού που δέχεται μια επέμβαση ΒΙΟ309-Περιγραφική Στατιστική 5
Κλάδοι της Στατιστικής Σχεδιασμός πειραμάτων και συλλογή στοιχείων Οργάνωση, σύνοψη και παρουσίαση των στοιχείων (Περιγραφική Στατιστική) Εξαγωγή συμπερασμάτων για ολόκληρο τον πληθυσμό με βάση τα στοιχεία του δείγματος (στατιστική συμπερασματολογία ή επαγωγική στατιστική) ΒΙΟ309-Περιγραφική Στατιστική 6
Βήματα για το σχεδιασμό ενός πειράματος καθορισμός του αντικειμενικού σκοπού του πειράματος σχεδιασμός πειράματος (επιλογή των επεμβάσεων, καθορισμός του πληθυσμού, επιλογή του πειραματικού υλικού και των συνθηκών, αριθμός των παρατηρήσεων, διάρκεια πειράματος) καθορισμός των μεθόδων της ανάλυσης του πειράματος πριν την εκτέλεση του ΒΙΟ309-Περιγραφική Στατιστική 7
Βασικές αρχές πειραματικού σχεδίου Τυχαιοποίηση αμεροληψία κατά την εφαρμογή των επεμβάσεων αμερόληπτη εκτίμηση του πειραματικού σφάλματος και εγκυρότητα των ελέγχων υποθέσεων Χρήση επαναλήψεων εκτίμηση του πειραματικού σφάλματος αύξηση της ακρίβειας του πειράματος διεύρυνση του πεδίου εφαρμογής των αποτελεσμάτων ο αριθμός των επαναλήψεων εξαρτάται: επιθυμητή ακρίβεια του πειράματος ανομοιογένεια του πειραματικού υλικού και του περιβάλλοντος αριθμό των επεμβάσεων πειραματικό σχέδιο ΒΙΟ309-Περιγραφική Στατιστική 8
2. Περιγραφική Στατιστική
Περιγραφική Στατιστική Σύνοψη και παρουσίαση δεδομένων: πίνακες, διαγράμματα, αριθμητικά περιγραφικά μέτρα ΒΙΟ309-Περιγραφική Στατιστική 10
Πίνακες Πίνακας κατανομής συχνοτήτων (μικρός αριθμός τιμών) τιμές μεταβλητής x 1 συχνότητα ( f ) f 1 n : συνολικός αριθμός παρατηρήσεων x 2 M x k f 2 M f k f j (συχνότητα της κλάσης j): αριθμός των παρατηρήσεων που ανήκουν στην κλάση j ήέχουντηντιμή x j n ΒΙΟ309-Περιγραφική Στατιστική 11
Πίνακες (απόλυτες) συχνότητες ( f ) σχετικές συχνότητες (rf ) rf j = f j / n : ο λόγος των παρατηρήσεων της κλάσης j προς το συνολικό αριθμό παρατηρήσεων αθροιστικές συχνότητες F j f i = j i= 1 σχετικές αθροιστικές συχνότητες rf j = F j / n ΒΙΟ309-Περιγραφική Στατιστική 12
Πίνακες Ομαδοποίηση αριθμητικών δεδομένων ενδεικτικός αριθμός κλάσεων- Τύπος του Sturges : K = 1 + 3.3 log n εύρος δεδομένων: R=max-min εύρος κλάσης: L=R/K κεντρική τιμή της j-κλάσης x j + x j+1 x = j 2 [ x j, x j+ 1) ΒΙΟ309-Περιγραφική Στατιστική 13
Παράδειγμα Ποσότητα φωσφόρου στα φύλλα Φώσφορος (mg/g φύλλου) Κεντρική τιμή κλάσης Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αθροιστική συχνότητα Σχετική Αθρ. Συχν. 8.15-8.25 8.2 2 0.015 2 0.015 8.25-8.35 8.3 6 0.046 8 0.062 8.35-8.45 8.4 8 0.062 16 0.123 8.45-8.55 8.5 11 0.085 27 0.208 8.55-8.65 8.6 17 0.131 44 0.338 8.65-8.75 8.7 17 0.131 61 0.469 8.75-8.85 8.8 24 0.185 85 0.654 8.85-8.95 8.9 18 0.138 103 0.792 8.95-9.05 9.0 13 0.100 116 0.892 9.05-9.15 9.1 10 0.077 126 0.969 9.15-9.25 9.2 4 0.031 130 1.000 130 1.000 14
ιαγράμματα Ραβδογράμματα Ιστογράμματα Πολύγωνα συχνοτήτων Αθροιστικό πολύγωνο συχνοτήτων Κυκλικά διαγράμματα ιαγράμματα διάχυσης ΒΙΟ309-Περιγραφική Στατιστική 15
1. Παράδειγμα Τοποθεσίες φωλιών σπουργιτών Τοποθεσία # φωλιών A. αμπέλια 56 60 50 40 B. κτήρια 60 Γ. κλαδιά δένδρων 46. τρύπες δένδρων 49 # φωλιών 30 20 10 0 A B Γ Δ τοποθεσίες Ραβδόγραμμα ΒΙΟ309-Περιγραφική Στατιστική 16
2. Παράδειγμα Το χρώμα του ράμφους του European Starling Τάξη % κάλυψης με συχνότητα κίτρινο χρώμα 0 >85% 33 1 20-85% 20 2 <20% 29 συχνότητα 35 30 25 20 15 10 5 0 0 1 2 τάξη Ραβδόγραμμα ΒΙΟ309-Περιγραφική Στατιστική 17
3. Παράδειγμα Αριθμός φυτών ενός είδους που παρατηρήθηκε σε 500 περιοχές Αριθμός φυτών συχνότητα 0 181 1 118 2 97 3 54 4 32 5 9 6 5 7 3 8 1 Αριθμός περιοχών 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Αριθμός φυτών Ραβδόγραμμα ΒΙΟ309-Περιγραφική Στατιστική 18
4. Παράδειγμα Αριθμός αφίδων ανά φυτό Αριθμός φυτών 0-3 6 4-7 17 8-11 40 12-15 54 16-19 59 20-23 75 24-27 77 28-31 55 32-35 32 36-39 8 40-43 1 Αριθμός αφίδων που παρατηρήθηκαν σε 424 φυτά ένα είδους αριθμός φυτών 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0-3 4-7 8-11 12-15 16-19 Ραβδόγραμμα ΒΙΟ309-Περιγραφική Στατιστική 19 20-23 24-27 29-31 αριθμός αφίδων ανά φυτό 32-35 36-39 40-43
5. Παράδειγμα Ποσότητα φωσφόρου στα φύλλα Ιστόγραμμα Πολύγωνο συχνοτήτων 30 30 25 25 αριθμός φύλλων 20 15 10 5 αριθμός φύλλων 20 15 10 5 0 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 9 9.1 9.2 Φώσφορος (m g/g φύλλου) 0 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 9 9.1 9.2 Φώσφορος (mg/g φύλλου) πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων αθροιστικό πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων αριθμός φύλλων 0,2 0,15 0,1 0,05 0 8,2 8,3 8,4 8,5 8,6 8,7 8,8 8,9 9,0 9,1 9,2 Φώσφορος (mg/g φύλλου) αριθμός φύλλων 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 8,2 8,3 8,4 8,5 8,6 8,7 8,8 8,9 9,0 9,1 9,2 Φώσφορος (mg/g φύλλου) ΒΙΟ309-Περιγραφική Στατιστική 20
Αριθμητικά Περιγραφικά Μέτρα μέτρα θέσης ή κεντρικής τάσης μέτρα μεταβλητότητας μέτρα ασυμμετρίας μέτρα κύρτωσης Στατιστικό: ένα αριθμητικό περιγραφικό μέτρο που υπολογίζεται από το δείγμα Παράμετρος: ένα αριθμητικό περιγραφικό μέτρο που υπολογίζεται από τον πληθυσμό ΒΙΟ309-Περιγραφική Στατιστική 21
Μέτρα θέσης ή κεντρικής τάσης Μέση τιμή Αν x1, x2,, xn είναι ένα δείγμα μεγέθους n, η αριθμητική μέση τιμή του υπολογίζεται από τον τύπο n xi x i= = 1 i= Για ομαδοποιημένα δεδομένα x = 1 n όπου: η κεντρική τιμή της i-κλάσης, η συχνότητα της και k το πλήθος των κλάσεων x i f i n k f x i i ΒΙΟ309-Περιγραφική Στατιστική 22
Μέτρα θέσης ή κεντρικής τάσης ιάμεση τιμή (διάμεσος) Αν x1, x2,, xn είναι ένα δείγμα μεγέθους n διατεταγμένο σε αύξουσα ή φθίνουσα σειρά, η διάμεση τιμή του δίνεται από τη σχέση M x = x Επικρατούσα τιμή d n+ 1 2 n 2 + x 2 n + 1 2,, n n περιττος αρτιος Αν x1, x2,, xn είναι ένα δείγμα μεγέθους n, η επικρατούσα τιμή του, M0, είναι εκείνη η τιμή του δείγματος που έχει την μεγαλύτερη συχνότητα. ΒΙΟ309-Περιγραφική Στατιστική 23
ΒΙΟ309-Περιγραφική Στατιστική 24 Μέτρα Μεταβλητότητας Εύρος Η διαφορά ανάμεσα στη μεγαλύτερη και στη μικρότερη τιμή του δείγματος ιασπορά Η διασπορά των τιμών ενός δείγματος μεγέθους n Τυπική απόκλιση Η θετική τετραγωνική ρίζα της διασποράς 1 ) ( 1 2 2 = = n x x s n i i = max min r 1 ) ( 1 2 = = n x x s n i i
Μέτρα Μεταβλητότητας Συντελεστής μεταβλητότητας Ο συντελεστής μεταβλητότητας εκφράζει τη μεταβλητότητα σε σχέση με τη μέση τιμή και υπολογίζεται από τον τύπο CV = x s 100% k-εκατοστημόριο μιας αύξουσας σειράς n μετρήσεων, είναι εκείνη η μέτρηση που έχει την ιδιότητα ότι k% των μετρήσεων είναι μικρότερο ή ίσο από αυτήν. Τεταρτημόρια Q1: 25-εκατοστημόριο, Q2: 50- εκατοστημόριο, Q3: 75- εκατοστημόριο. Eνδοτεταρτομοριακό εύρος Η διαφορά Q3- Q1 ΒΙΟ309-Περιγραφική Στατιστική 25
Μέτρα Ασυμμετρίας Κεντρική ροπή τάξης r m r n ( xi x) i= = 1 n r Θετικά ασύμμετρη Αρνητικά ασύμμετρη α3 >0: οι περισσότερες τιμές βρίσκονται δεξιά της επικρατούσας α3 <0: οι περισσότερες τιμές βρίσκονται αριστερά της επικρατούσας Συντελεστής λοξότητας: a = 3 m s 3 3 26
Μέτρα κύρτωσης α4 >3: η κατανομή λέγεται λεπτόκυρτη α4 <3: η κατανομή λέγεται πλατύκυρτη α4 =3: η κατανομή λέγεται μεσόκυρτη (κανονική κατανομή) Συντελεστής κύρτωσης : a = 4 m s 4 4 27
Ιδιότητες των αριθμητικών μέτρων x,, x, 1 2 L x n x d 2 είναι n παρατηρήσεις με μέση τιμή, διάμεσο M, M 0 επικρατούσα, διασπορά, Εφαρμόζουμε το γραμμικό μετασχηματισμό x Ισχύουν (αποδείξτε) * s = a + bx, με b > 0 x s * * 2 = a + bx, = b 2 s 2, s M * * d = bs, = a + bm a * 3 = a d 3,, M a * 4 * 0 = = a a 4 + bm 0, ΒΙΟ309-Περιγραφική Στατιστική 28