A. Hovanski i. 2 c n 1. 1, gde (n 1, n 2 ) komponenty tipa n

MNOGOUGOLЬNIKI NЬ TONA, KRIVYE NA TORIQESKIH POVERHNOST H I OBRAWENIE TEOREMY VE il * A. Hovanski i Vvedenie Dl dvuh polinomov ot odno i peremenno i so starximi koзfficientami, ravnymi edinice spravedlivo sledu wee toжdestvo: proizvedenie znaqeni i pervogo polinoma po korn m vtorogo polinoma s toqnostь do znaka ravno proizvedeni znaqeni i vtorogo polinoma po korn m pervogo. Andrз Ve ilь naxel dalekoe obobwenie зtogo toжdestva. Ono primenimo dl l bo i pary nenulevyh meromorfnyh funkci i na kompaktno i kompleksno i krivo i. Privedem opredeleni, nuжnye dl formulirovki teoremy Ve il. Pustь (*) f = c 1 u b 1 +..., g = c 2 u b 2 +... starxie qleny r dov Lorana meromorfnyh funkci i f i g v okrestnosti toqki a, i u lokalьny i parametr tako i, qto u(a) = 0. Tipom rostka vektor-funkcii (f, g) v toqke a nazyvaets nesokratimy i celoqislenny i vektor n = (n 1, n 2 ), proporcionalьny i ego vektoru stepeni b = (b 1, b 2 ) s naturalьnym koзfficientom k, b = k n, kotory i nazyvaets kratnostь rostka vektor-funkcii. Privedennym qislom Ve il rostka ( ) nazyvaets qislo c n 2 2 c n 1 1, gde (n 1, n 2 ) komponenty tipa n зtogo rostka. Po kompaktno i kompleksno i krivo i Γ i meromorfno i vektor-funkcii f, g na ne i opredelim funkci Mul Γfg na proizvedenii Z 2 ir C mnoжestva Z 2 ir nesokratimyh celoqislennyh vektorov na ploskosti na mnoжestvo C nenulevyh kompleksnyh qisel. (Nazvanie funkcii proishodit ot slova multiplicity kratnostь.) Funkci Mul = Mul Γfg prinimaet celye neotricatelьnye znaqeni i ravna nul vs du krome koneqnogo qisla toqek. Ee znaqenie na pare ( n, c) po opredeleni ravn ets *Rabota vypolnena vo vrem vizita v Ecole Normale Superieure pri qastiqno$i podderke granta N 95-011- 8701 Rossi$iskogo Fonda Fundamental~nyh issledovani$i i Kanadskogo Granta N 0GP0156833. priznatelen francuzskim kollegam za gostepriimstvo. 1 Typeset by AMS-TEX

2 A. HOVANSKI i summarno i kratnosti toqek na kompleksno i krivo i Γ, v kotoryh rostok (f, g) imeet tip n i privedennoe qislo Ve il c. V зtih terminah teorema Ve il formuliruets sledu wim obrazom. Teorema Ve il. (1) ( c) Mul ( n,c) = 1. Stepeni divizorov f i g na kompaktno i krivo i Γ ravny nul. V terminah funkcii Mul = Mul Γfg зti sootnoxeni prinima t sledu wi i vid (2) Mul (c, n) n = 0. Rezulьtaty nasto we i statьi osnovany na sledu wem prostom nabl denii: qisla Ve il rostka (f, g) i rostka (F, G), gde F = f a 11 g a 12, G = f a 21 g a 22 i A = {a ij } celoqislenna matrica s opredelitelem 1, ravny. Зto nabl denie podskazyvaet, qto teorema Ve il dolжna otnositьs k dvumerno i toriqesko i geometrii (matrica A zadaet avtomorfizm dvumernogo tora (C ) 2 ) i k teorii mnogougolьnikov Nь tona. My pokazyvaem, qto зto de istvitelьno tak. Preжde vsego ispolьzovanie qisel Ve il uprowaet i utoqn et klassiqesku teoremu o mnogougolьnikah Nь tona (sm. 2). S drugo i storony ispolьzovanie mnogougolьnikov Nь tona pozvol et datь oqenь prostoe dokazatalьstvo teoremy Ve il ono svodit teoremu Ve il k formule Vieta dl proizvedeni korne i polinoma (sm. 1 2 i 9). Obratima li teorema Ve il? To estь verno li, qto dl vs ko i funkcii Mul, udovletvor we i uslovi m (1) (2), na idets tro ika Γ, f, g taka, qto Mul = Mul Γfg? V statьe dokazyvaets, qto esli u funkcii Mul bolьxe dvuh harakteristiqeskih vektorov (t.e. takih vektorov n Z 2 ir, qto funkci Mul ( n, ) na C ne ravna toжdestvenno nul ), to otvet na зtot vopros poloжitelen. Daets polnoe opisanie troek Γ, f, g takih, qto Mul = Mul Γfg. V iskl qitelьnom sluqae, kogda funkci Mul Γfg imeet dva harakteristiqeskih vektora, teorema Ve il dopuskaet utoqnenie. Funkci Mul = Mul Γfg v зtom sluqae obladaet svo istvom vozvratnosti Mul ( n, c) = Mul ( n, c 1 ). V paragrafe 9 daets prostoe nezavisimoe dokazatelьstvo зtogo svo istva. Utoqnenna teorema Ve il okazyvaets obratimo i i v iskl qitelьnom sluqae. S tro iko i Γ, f, g sv zyvaets nekotory i mnogougolьnik, nazyvaemy i mnogougolьnikom Nь tona. Зtot mnogougolьnik vosstanavlivaets po funkcii Mul = Mul Γfg. My pokazyvaem, qto on igraet tu жe rolь, qto i obyqny i mnogougolьnik Nь tona (sm. 11).

MNOGOUGOLЬNIKI NЬ TONA I TEOREMA VE il 3 Pere idem k drugo i teme statьi. Pustь D divizor, leжawi i na obъedinenii M odnomernyh orbit toriqesko i poverhnosti M. Suwestvuet li kriva Γ M, ne prohod wa qerez nulьmernye orbity poverhnosti M, dl kotoro i divizor D vl ets divizorom pereseqeni krivo i Γ s obъedineniem odnomernyh orbit M? Prostranstvo takih krivyh Γ my budem oboznaqatь qerez R(D), a divizor D, dl kotorogo prostranstvo R(D) ne pusto, budem nazyvatь dopustimym. V statьe divizory D kodiru ts pri pomowi nekotoro i funkcii Mul = Mul D na Z 2 ir C. Uslovi dopustimosti divizora D, kak okazyvaets, v toqnosti sovpadaet s usloviem suwestvovani tro iki Γ, f, g tako i, qto Mul = Mul Γfg. V paragrafah 6 7 opisyvaets obwa kriva iz prostranstva R(D). S dopustimym divizorom D sv zyvaets nekotory i mnogougolьnik D. Zadaqa opisani obwe i krivo i iz prostranstva R(D) зkvivalentna issledovani obwego uravneni P = 0 s dannym mnogougolьnikom Nь tona (P ) = D i s fiksirovannymi koзfficientami pri monomah, sootvetstvu wih toqkam na granice mnogougolьnika. Issledovanie obwego uravneni s dannym mnogogrannikom Nь tona traditsionna zadaqa. Naqalьnye dannye v зto i zadaqe (mnogogrannik Nь tona) diskretny. V naxe i zadaqe krome diskretnyh dannyh (mnogougolьnik Nь tona) figuriru t nepreryvnye dannye (koзfficienty na granice). Rexenie naxe i zadaqi, v qastnosti, vkl qaet v seb opisanie vseh krivyh P = 0, mnogougolьnik Nь tona kotoryh ne soderжit vnutrennih celyh toqek. Ego udaets provesti potomu, qto mnogougolьnikov bez vnutrennih celyh toqek ne tak uж i mnogo (sm. 5). Sredi uslovi i dopustimosti divizora D estь diskretnoe uslovie i nepreryvnoe uslovie (uslovie Vieta, sm. 4). V paragrafe 10 privodits variant teoremy Abel, da wi i nezavisimoe obъ snenie uslovi Vieta. Pustь P polinom Lorana na kompleksno i ploskosti. V statьe po polinomu Lorana P opredel ets nekotora funkci Mul = Mul P na prostranstve Z 2 ir C. Suwestvuet li dl zadanno i funkcii Mul polinom Lorana P tako i, qto Mul = Mul P? Imenno зta nesloжna zadaqa igraet kl qevu rolь v nasto we i statьe. Okazyvaets, qto uslovi na funkci Mul dl suwestvovani polinoma Lorana P takogo, qto Mul = Mul P, зto rovno te жe uslovi, o kotoryh govorilosь vyxe (t.e. uslovi suwestvovani tro iki Γ, f, g tako i, qto Mul = Mul Γfg, ili uslovie dopustimosti divizora D takogo, qto Mul = Mul D ). Zadaqa suwestvovani polinoma Lorana P takogo, qto Mul = Mul P dopuskaet polnoe rexenie, ispolьzu wee lixь зlementarnu geometri ploskosti (uslovie Paskal dl vypuklyh mnogougolьnikov) i зlementarnu algebru (formulu Vieta dl proizvedeni korne i polinoma). S rexeni зto i zadaqi my i naqinaem statь. Odno terminologiqeskoe zameqanie: pod slovami mnogogrannik i mnogougolьnik podrazumeva ts vypukly i mnogogrannik i vypukly i mnogougolьnik.

4 A. HOVANSKI i 1 Mnogougolьniki Nь tona, sootnoxenie Paskal i sootnoxenie Vieta Pustь P (x, y) polinom Lorana na kompleksno i ploskosti, i = (P ) ego mnogougolьnik Nь tona, leжawi i v ploskosti pokazatele i. Ploskostь pokazatele i R 2 budem sqitatь orientirovanno i. (Ee orientaci zadaets por dkom peremennyh x, y.) V ne i vydelena rexetka celoqislennyh pokazatele i. Dvo istvenna ploskostь R 2, sledovatelьno, toжe orientirovana, i v ne i vydelena dvo istvenna rexetka, kotoru my budem nazyvatь rexetko i stepene i. Oboznaqim qerez Z 2 ir podmnoжestvo v rexetke stepene i, sosto wee iz nesokratimyh nenulevyh vektorov. S kaжdym vektorom n Z 2 ir sv zana orientaci ortogonalьno i pr mo i k vektoru n, leжawe i v ploskosti pokazatele i. Imenno, pr ma orientiruets kak granica oblasti, v kotoro i skal rnoe proizvedenie s vektorom n poloжitelьno. Tak pri obyqno i orientacii ploskosti s vnutrenne i normalь n k storone dvumernogo mnogougolьnika sv zana ee orientaci, sootvetstvu wa dviжeni po granice mnogougolьnika protiv qasovo i strelki. Dl kaжdogo vektora n Z 2 ir oboznaqim qerez n storonu ili verxinu mnogougolьnika, na kotoro i dostigaet minimuma skal rnoe proizvedenie s vektorom n. Dl kaжdogo celoqislennogo mnogougolьnika opredelena funkci Lengh na Z 2 ir, sopostavl wa vektoru n celoqislennu dlinu grani n. Po opredeleni celoqislenna dlina verxiny ravna nul, a celoqislenna dlina storony, soderжawe i (m + 1) celu toqku, ravna m. Soglasno znamenito i teoreme Minkovskogo mnogomerny i mnogogrannik odnoznaqno s toqnostь do parallelьnogo perenosa vosstanavlivaets po funkcii S( n), sopostavl we i normal m n plowadi S sootvetstvu wih im grane i. Mnogogrannik suwestvuet, esli i tolьko esli vypolneno uslovie Paskal S( n) n = 0. Sledu wa prosta lemma vl ets dvumernym celoqislennym variantom teoremy Minkovskogo. Pustь Lengh funkci na Z 2 ir so znaqeni mi v celyh neotritsatelьnyh qislah. Lemma (celoqislenny i variant dvumerno i teoremy Minkovskogo). Dl nenulevo i funkcii Lengh suwestvuet celoqislenny i mnogougolьnik tako i, qto Lengh = Lengh, esli i tolьko esli funkci otliqna ot nul lixь na koneqnom mnoжestve i vypolneno uslovie Paskal Lengh ( n) n = 0. Mnogougolьnik opredel ets po funkcii Lengh odnoznaqno s toqnostь do parallelьnogo perenosa. Dokazatelьstvo. Pokaжem, kak postroitь mnogougolьnik po funkcii Lengh, udovletvor wi i uslovi Paskal. Zadadim strukturu kompleksno i pr mo i na ploskosti R 2 i otoжdestvim tem samym R 2 i R 2. Rassmotrim koneqnoe mnoжestvo vektorov

MNOGOUGOLЬNIKI NЬ TONA I TEOREMA VE il 5 iz Z 2 ir, dl kotoryh funkci Lengh ne ravna nul. Zanumeruem vektora зtogo mnoжestva v por dke, v kotorom oni vstreqa ts pri vrawenii line iki protiv qasovo i strelki vokrug naqala koordinat. Poloжim l nj = ( i)lengh ( n j )( n j ), gde i mnima edinica. Postroim iz vektorov l nj lomanu, posledovatelьno prikladyva naqalo sledu wego vektora k koncu predyduwego. Uslovie zamykani lomano i зkvivalentno vypolneni uslovi Paskal. Postroenna lomana vl ets granice i iskomogo mnogougolьnika. Ostalьnye utverжdeni lemmy dokazyva ts stolь жe prosto. Dl kaжdogo vektora n Z 2 ir po polinomu Lorana P opredelim sledu wi i polinom P n ot odno i peremenno i. Esli n vl ets verxino i Q, to polinom P n opredel ets kak konstanta, ravna koзfficientu v polinome Lorana P pri monome, sootvetstvu wem verxine Q. Pustь teperь n vl ets storono i l mnogougolьnika Nь tona. Verxiny A, B na зto i storone l budem nazyvatь, sootvetstvenno, starxe i i mladxe i, esli dviжenie po storone l ot toqki A k toqke B sootvectvuet orientacii storony l, sv zanno i s vektorom n. Pustь storona l imeet celoqislennu dlinu m, t.e. soderжit (m + 1) celu toqku. Zanumeruem celye toqki na storone l qislami ot 0 do m, naqina s mladxe i verxiny B. Pustь koзfficient v polinome Lorana P pri monome, sootvetstvu wem i- i celo i toqke, raven c i. Opredelim polinom P n formulo i P n (ξ) = m i=0 c iξ i. Takim obrazom, polinom P n imeet stepenь, ravnu celoqislenno i dline m storony l. Ego starxi i koзfficient raven koзfficientu v polinome Lorana P pri verxine A. Svobodny i qlen polinoma P n raven koзfficintu polinoma Lorana P pri verxine B. Kaжdomu polinomu Lorana P (x, y) sootvetstvuet funkci Mul P na Z 2 ir C, sopostavl wa vektoru n i kompleksnomu qislu c kratnostь, s kotoro i qislo c vl ets kornem polinoma P n (ξ). Po funkcii Mul P s toqnostь do mnoжitel vosstanavlivaets kaжdy i iz polinomov P n. V qastnosti vostanavliva ts stepeni зtih polinomov, t.e. funkci Lengh (P ). Poзtomu sledu wi i vopros vl ets algebraiqeskim variantom voprosa Minkovskogo: suwestvuet li dl zadanno i funkcii Mul : Z 2 ir C N + polinom Lorana P, dl kotorogo Mul = Mul P. Niжe my privedem polny i otvet na зtot vopros. Skaжem, qto vektor n j Z 2 ir vl ets harakteristiqeskim dl funkcii Mul, esli ograniqenie Mul ( n, ) зto i funkcii na C ne ravno toжdestvenno nul. Teorema (algebraiqeski i analog dvumerno i teoremy Minkovskogo). Dl nenulevo i funkcii Mul suwestvuet polinom Lorana P tako i, qto Mul = Mul P, esli i tolьko esli funkci Mul imeet koneqnoe qislo harakteristiqeskih vektorov i 1) (odnomerny i sluqa i) esli harakteristiqeskih vektorov ne bolee dvuh, to vypoln ets uslovie vozvratnosti Mul ( n, c) = Mul ( n, c 1 );

6 A. HOVANSKI i 2) (dvumerny i sluqa i) esli harakteristiqeskih vektorov bolee dvuh, to vypoln - ts a) uslovie Paskal : Mul ( n, c) n = 0, b) uslovie Vieta: ( c) Mul ( n,c) = 1. Dokazatelьstvo teoremy. Naqnem s odnomernogo sluqa. Preжde vsego iz uslovi vozvratnosti, oqevidno, vytekaet kak uslovie Paskal, tak i uslovie Vieta. Krome togo, esli nenuleva funkci Mul obladaet svo istvom vozvratnosti, t o ona imeet rovno dva harakteristiqeskih vektora n 1 i n 2, sv zannyh sootnoxeniem n 1 + n 2 = 0. Esli mnogougolьnik Nь tona polinoma Lorana P vl ets otrezkom l, to polinom P n ne raven konstante rovno dl dvuh vektorov, a imenno, dl vektorov n 1, n 2, ortogonalьnyh otrezku l. V зtom sluqae imeem oqevidnye sootnoxeni n 1 = n 2 i ξ m P n1 (ξ 1 ) = P n2 (ξ), gde m celoqislenna dlina otrezka l. Otkuda vytekaet uslovie vozvratnosti Mul P ( n 1, c) = Mul P ( n 1, c 1 ). Obratno, pustь funkci Mul vozvratna i imeet dva harakteristiqeskih vektora n 1 i n 2, to n 1 + n 2 = 0. Mnogougolьnik, postroenny i po funkcii Lengh ( n) = Mul ( n, c) n budet otrezkom, ortogonalьnym vektoru n 1, celoqislenna dlina kotorogo ravna Lengh ( n 1 ) = Mul ( n 1, c). Rassmotrim polinom Lorana P, mnogougolьnik Nь tona kotorogo sovpadaet s postroennym otrezkom, a polinom P n1 (ξ) raven c 0 (ξ c) Mul ( n 1,c). Зti uslovi opredel t polinom Lorana P. Funkci Mul (P ) sovpadaet s funkcie i Mul, tak kak polinom P n2 (ξ) = ξ Lengh ( n 1) P n1 (ξ 1 ) imeet korni, obratnye k korn m polinoma P n1. V odnomernom sluqae teorema dokazana v obe storony. Dokaжem teperь teoremu dl dvumernogo sluqa. Pustь polinom Lorana P imeet dvumerny i mnogougolьnik Nь tona. Dl storony l n mnogougolьnika Nь tona s vnutrenne i normalь n vypolneno sledu wee sootnoxenie: ( c) Mul P ( n,c) = P B, P A c gde A i B sootvetstvenno, starxa i mladxa verxiny na storone l, a P A, P B koзfficienty v polinome Lorana P, sootvetstvu wie зtim verxinam. De istvitelьno, napisannoe sootnoxenie vl ets formulo i Vieta dl proizvedeni korne i polinoma P n. Proizvedenie ( c) Mul P ( n,c) ravno edinice, t.k. kaжda verxina mnogougolьnika Nь tona vl ets mladxe i verxino i dl odno i storony i starxe i dl drugo i. Dokaжem teperь obratnoe utverжdenie. V sluqae 2 uslovie Paskal pastuliruets. Poзtomu po funkcii Mul moжno postroitь mnogougolьnik. sno, qto on budet

MNOGOUGOLЬNIKI NЬ TONA I TEOREMA VE il 7 dvumernym. Znanie funkcii Mul ( n, c) pri fiksirovannom vektore n pozvol et vosstanovitь vse koзfficienty polinoma Lorana P na storone l n s toqnostь do proizvolьnogo mnoжitel c 0, P n (ξ) = c 0 (ξ c) Mul ( n,c). Pokaжem, qto vypolnenie uslovi Vieta garantiruet vozmoжnostь soglasovannogo vybora proizvolьnyh mnoжitele i v polinomah P n. De istvitelьno, storony v dvumernom mnogougolьnike pereseka ts lixь po verxinam. Naqnem posledovatelьno obhoditь storony l 1,..., l N po granice mnogougolьnika i vypisyvatь polinomy P n1,..., P nn, sootvetstvu wie vnutrennim normal m k зtim storonam. Oboznaqim qerez V i proizvedenie ( c) Mul ( n i,c). Fiksiruem mnoжitelь c 0 = Q v starxe i verxine storony l 1 i poloжim P n1 (ξ) = Q (ξ c) Mul ( n 1,c). Togda koзfficient v mladxe i verxine зto i storony budet raven QV 1. Mladxa verxina storony l 1 vl ets starxe i dl storony l 2. Poзtomu polinom P n2 (ξ) dolжen bytь raven QV 1 (ξ c) Mul ( n 2,c). Koзfficient pri mladxe i verxine storony l 2 budet raven QV 1 V 2. Dviga sь po granice mnogougolьnika, my do idem do verxiny, s kotoro i my naqinali. Pri зtom my ne poluqim protivoreqi, tak kak QV 1... V N = Q, ibo proizvedenie ( c) Mul ( n,c) po uslovi Vieta ravno edinice. Itak, my vosstanovili s toqnostь do obwego mnoжitel koзfficienty polinoma Lorana P na granice mnogougolьnika. Vybira proizvolьnym obrazom koзfficienty pri monomah, sootvetstvu wih vnutrennim toqkam mnogougolьnika, poluqim polinom P tako i, qto Mul = Mul (P ). Teorema dokazana. Formuliruemoe niжe sledstvie imeet dovolьno neoжidannu pereformulirovku v geometrii toriqeskih poverhnoste i (sm. teoremu 2 iz 10). Sledstvie. Dl vs kogo celoqislennogo mnogougolьnika na idets tako i polinom Lorana Q, mnogougolьnik Nь tona kotorogo raven, oblada wi i sledu wim svo istvom: vse polinomy Q n, n Z 2 or, ne ime t korne i, otliqnyh ot ( 1). Sledstvie neposredstvenno vytekaet iz teoremy. Vproqem, ono imeet daжe bolee prostoe dokazatelьstvo. Dokazatelьstvo sledstvi. Esli minimum skal rnogo proizvedeni s vektorom n Z 2 ir dostigaets na nekotoro i storone l mnogougolьnika, i celoqislenna dlina storony l ravna m(l), to poloжim Q n (ξ) = (1 + ξ) m(l). Esli жe minimum dostigaets v verxine, to poloжim Q n (ξ) 1. Kak starxi i, tak i mladxi i koзfficienty polinoma (1 + ξ) m ravny 1. Poзtomu esli mnogougolьnik dvumeren, to, napisav na kaжdo i ego storone l polinom (1+ξ) m(l), my ne poluqim protivoreqi : storony mnogougolьnika pereseka ts lixь po verxinam, i v kaжdo i verxine budet napisan koзfficient, ravny i 1. Esli жe mnogougolьnik sostoit iz odnogo otrezka, to my ne poluqim protivoreqi, tak kak polinom (1 + ξ) m vozvraten, ξ m (1 + ξ 1 ) m = (ξ + 1) m. Vo vnutrennih celyh toqkah mnogougolьnika moжno napisatь l bye koзffocienty. My poluqim iskomy i polinom Lorana Q.

8 A. HOVANSKI i Podvedem itog. Funkci Mul budem nazyvatь dopustimo i, esli ona udovletvor et uslovi teoremy. Po dopustimo i funkcii Mul odnoznaqno (s toqnostь do parallelьnogo perenosa) stroits mnogougolьnik = (Mul ). Po dopustimo i funkcii Mul u polinoma Lorana P takogo, qto Mul P = Mul odnoznaqno (s toqnostь do odnovremennogo umnoжeni na nenulevu konstantu) vosstanavliva ts vse koзfficienty pri monomah, sootvectvu wih toqkam na granice mnogougolьnika. Koзfficienty pri vnutrennih monomah vybira ts proizvolьnym obrazom. Poзtomu polinomy Lorana P, dl kotoryh Mul P = Mul, vl ts mnoжestvom nenulevyh vektorov v kompleksnom line inom prostranstve, razmernostь kotorogo ravna B( )+ 1, gde B( ) qislo vnutrennih celyh toqek mnogougolьnika = (Mul ). 2 Mnogougolьniki Nь tona i qisla Ve il Pustь Γ rostok analitiqesko i krivo i v toqke a, i u lokalьny i parametr, u: Γ C, tako i, qto u(a) = 0. Rassmotrim rostok (f, g) meromorfno i funkcii na Γ. Pustь (1) f = c 1 u b 1 +..., g = c 2 u b 2 +..., gde c 1 0, c 2 0 starxie qleny r dov Lorana зtih funkci i. (My predpolagaem se iqas i na prot жenii vse i statьi, qto ni rostok f, ni rostok g ne obrawa ts toжdestvenno v nulь. My tak жe vsegda budem predpolagatь, qto rostok (f, g) ne vl ets rostkom posto nno i vektor-funkcii.) Qislom Ve il rostka vektor-funkcii (f, g) nazovem qislo {f, g} a = ( 1) b 1+b 2 +b 1 b 2 c b 1 2 c b 2 1. Nesloжno proveritь, qto qislo {f, g} a opredeleno korrektno, t.e. ne zavisit ot vybora lokalьnogo parametra u. Qisla Ve il vstreqa ts v teoreme Ve il (sm. 9), tesno sv zanno i s materialom nasto we i statьi. Privedem opredeleni ewe neskolьkih invariantov rostka (1) vektor-funkcii (f, g). Tipom rostka vektor-funkcii (f, g) nazyvaets nesokratimy i celoqislenny i vektor n = (n 1, n 2 ), proporcionalьny i ego vektoru stepene i b = (b 1, b 2 ) s naturalьnym koзfficientom k, b = k n, kotory i nazyvaets kratnostь rostka vektorfunkcii (f, g). Privedennym qislom Ve il [f, g] a rostka vektor-funkcii (f, g) nazyvaets qislo [f, g] = c n 2 2 c n 1 1, gde (n 1, n 2 ) komponenty tipa n зtogo rostka. Neposredstvenno iz opredeleni i vyvodits sledu wa Lemma 1. Qislo Ve il sledu wim obrazom vyraжaets qerez privedennoe qislo Ve il i kratnostь rostka: {f, g} a = ( [fg] a ) k.

MNOGOUGOLЬNIKI NЬ TONA I TEOREMA VE il 9 Invarianty rostka meromorfno i funkcii, s kotorymi my imeem delo, sohran ts pri stepennyh preobrazovani h. Pustь A = {a ij } unimodul rna matrica (t.e. matrica s celymi koзfficientami i opredelitelem, ravnym edinice) razmerom 2 2. S matrice i A sv zano stepennoe preobrazovanie vektor-funkcii (f, g). Rostok (f, g) pri зtom preobrazovanii perehodit v rostok (F, G), gde F = f a 11 g a 12 i G = f a 21 g a 22. Lemma 2. Dl vs ko i unimodul rno i matricy A tip rostka vektor-funkcii (F, G) raven A n, gde n tip rostka vektor-funkcii (f, g). Kratnostь, privedennoe qislo Ve il i qislo Ve il dl rostka vektor-funkcii (F, G) takie жe, kak dl rostka vektor-funkcii (f, g). Lemma 2 prover ets neposredstvennym vyqisleniem. Ona podskazyvaet, qto qisla Ve il dolжny bytь sv zany s teorie i mnogougolьnikov Nь tona i s dvumerno i toriqesko i geometrie i. V statьe my pokaжem, qto зto, de istvitelьno, tak. Preжde vsego, ispolьzovanie qisel Ve il uprowaet formulirovku privedenno i niжe klassiqesko i teoremy o mnogougolьnikah Nь tona. Pustь algebraiqeska kriva Γ leжit v tore C 2 s koordinatnymi funkci mi x i y. Na normalizacii Γ зto i krivo i opredeleny dve meromorfnye funkcii x i y, meromorfno otobraжa wie krivu Γ v tor C 2 na krivu Γ C 2. Sledu wa teorema voshodit k Nь tonu. Teorema 1 (o mnogougolьnikah Nь tona). Pustь kriva Γ opredelena v C 2 uravneniem P (x, y) = 0 i ne imeet kratnyh komponent. Na normalizacii Γ зto i krivo i suwestvu t toqki, v kotoryh vektor-funkci (x, y) imeet tip n 0, esli i tolьko esli na mnogougolьnike Nь tona (P ) minimum skal rnogo proizvedeni s vektorom n dostigaets na storone зtogo mnogougolьnika. Bolee togo, posqitannoe s uqetom kratnoste i qislo toqek, v kotoryh vektor-funkci (x, y) imeet tip n, a ee privedennoe qislo Ve il vl ets zadannym qislom ξ 0, ravno por dku ord ξ0 P n polinoma P n v toqke ξ 0. Dokazatelьstvo. Sdelaem stepennoe preobrazovanie ploskosti x, y pri pomowi unimodul rno i matricy A, perevod xe i nesokratimy i vektor n v vektor (1, 0). Pri takom preobrazovanii ni privedennye qisla Ve il, ni kratnosti rostkov vektorfunkcii (x, y) na krivo i Γ ne men ts (sm. lemmu 1). Nas interesu t takie toqki na krivo i Γ, v okrestnosti kotoryh funkcii x i y ime t vid x = c 1 u k +..., y = c 2 +...,

10 A. HOVANSKI i gde c 1 c 2 0, k > 0. Dopustim, qto minimum skal rnogo proizvedeni s vektorom (1, 0) dostigaets na storone l mnogougolьnika (P ). Parallelьno perenesem mnogogugolьnik (P ) tak, qtoby mladxa verxina na storone l nahodilasь v naqale koordinat. Parallelьny i perenos sootvetstvuet umnoжeni polinoma Lorana P na monom i ne men et krivo i Γ, opredelenno i v tore C 2 uravneniem P = 0. Posle takogo preobrazovani ograniqenie polinoma Lorana P na osь y pri y 0 opredeleno. Pri зtom polinom P (0, y) sovpadaet s opredelennym vyxe polinomom P n (ξ) pri ξ = y. S odno i storony, v toqke (0, ξ 0 ) kratnostь pereseqeni osi y s zamykaniem krivo i Γ C 2 ravna kratnosti korn ξ 0 polinoma P (0, y) = P n (y). S drugo i storony, зta kratnostь ravna qislu toqek na normalizovanno i krivo i Γ, okolo kotoryh x = c 1 u k +..., y = ξ 0 +..., Posqitannyh s uqetom ih kratnoste i k. Qto i nuжno bylo dokazatь. Esli minimum skal rnogo proizvedeni s vektorom n dostigaets v verxine mnogougolьnika (P ), to teorema dokazyvaets tak жe (i daжe prowe: v зtom sluqae polinom P n vl ets konstanto i i voobwe ne imeet korne i). Teorema o mnogougolьnih Nь tona neposredstvenno obobwaets na sluqa i algebraiqeskih krivyh, ime wih kratnye komponenty. Polno i kratnostь dl rostka (1) vektor-funkcii na komponente algebraiqesko i krivo i kratnosti µ nazovem qislo kµ, gde k kratnostь dl rostka (1). Teorema 1 (o mnogougolьnikah Nь tona). Na normalizacii Γ krivo i Γ, zadanno i v C 2 uravneniem P (x, y) = 0, suwestvu t toqki, v kotoryh vektor-funkci (x, y) imeet tip n 0, esli i tolьko esli na mnogougolьnike Nь tona (P ) minimum skal rnogo proizvedeni s vektorom n dostigaets na storone зtogo mnogougolьnika. Bolee togo, posqitannoe s uqetom polnyh kratnoste i qislo toqek, v kotoryh vektorfunkci (x, y) imeet tip n, a ee privedennoe qislo Ve il vl ets zadannym qislom ξ 0, ravno por dku ord ξ0 P n polinoma P n v toqke ξ 0. Teorema 1 avtomatiqeski vytekaet iz teoremy 1. Delo v tom, qto polinom Lorana P razlagaets v proizvedenie neprivodimyh polinomov Lorana, dl kotoryh spravedliva teorema 1. 3 Parametrizaci odnomernyh orbit na toriqesko i poverhnosti Mnogogranniki Nь tona, kak izvestno, tesne ixim obrazom sv zany s toriqeskimi kompaktifikaci mi tora [4]. Dvumerna situaci specialьna. Gruppa C imeet tolьko odin netrivialьny i avtomorfizm (pri kotorom toqka t perehodit v toqku t 1 ). Specifika dvumernogo

MNOGOUGOLЬNIKI NЬ TONA I TEOREMA VE il 11 tora zakl qaets v suwestvovanii odnovremenno estestvennogo vybora parametrizatsii na kaжdo i ego sv zno i faktor-gruppe razmernosti 1. Зta parametrizaci zavisit lixь ot orientacii ploskosti odnoparametriqeskih grupp i men ets na protivopoloжnu pri smene orientacii. Opredelim зtu parametrizaci. Fiksiruem orientaci ploskosti odnoparametriqeskih. Pustь O b odnoparametriqeska podgruppa v C 2, sootvetstvu wa vektoru b = (b 1, b 2 ), b 0. (Taka gruppa opredel ets gomomorfizmom standartno i gruppy C v gruppu C 2, perevod wim toqku τ v toqku τ b = (τ b 1, τ b 2 ).) Oboznaqim qerez π b proekci gruppy C 2 na faktor-gruppu gruppy C 2 po podgruppe O b. Opredelenie. Parametrizaci t faktor-gruppy C 2 /O b budem nazyvatь soglasovanno i parametrizacie i s orientacie i ploskosti odnoparametriqeskih, esli dl l bogo celoqislennogo vektora m takogo, qto para vektorov ( b, m) zadaet pravilьnu orientaci ploskosti odnoparametriqeskih, spravedlivo ravenstvo lim τ 0 t(π b (τ m )) = 0. Nesloжno proveritь, qto parametrizaci, soglasovanna s orientacie i ploskosti odnoparametriqeskih, de istvitelьno, suwestvuet. Opixem ee v koordinatah. Rassmotrim standartny i dvumerny i tor C 2 s koordinatnymi funkci mi (x, y) i so standartno i orientacie i ploskosti odnoparametriqeskih. Pustь b = (b 1, b 2 ) ne ravny i nul celoqislenny i vektor, n = (n 1, n 2 ) nesokratimy i celoqislenny i vektor tako i, qto b = k n, gde k naturalьnoe qislo, i π b proekci C 2 na faktor-gruppu C 2 /O b. Legko prover ets sledu wa Lemma. Otobraжenie, sopostavl wee toqke c C 2 parametr t toqki π b (c) pri opisanno i vyxe parametrizacii faktor-gruppy, zadaets formulo i t = c n 1 2 c n 2 1, gde c = (c 1, c 2 ), n = (n 1, n 2 ). Fiksaci izomorfizma odnomernyh faktor-grupp tora C 2 s gruppo i C imeet sledu wee posledstvie. Utverжdenie 1. Na vs ko i toriqesko i poverhnosti suwestvuet estestvenna parametrizaci kaжdo i odnomerny i orbity, zavis wa lixь ot orientacii ploskosti odnoparametriqeskih. Dokazatelьstvo. De istvitelьno, pustь M n odnomerna orbita, sootvetstvu wa luqu, poroжdennomu vektorom n v veere зto i poverhnosti (sm. [3], [7]). Toqki tora C 2 strem ts k зto i orbite pri de istvii odnoparametriqesko i t n pri t 0. Orbita M n estestvenno izomorfna faktor-gruppe tora C 2 po podgruppe t n. Opisanna vyxe parametrizaci зto i faktor-gruppy zadaet estestvennu parametrizatsi orbity.

12 A. HOVANSKI i Sv zь зto i toriqesko i konstrukcii s qislami Ve il sledu wa. Pustь f = c 1 u b 1 +..., g = c 2 u b 2 +... rostok meromorfnogo otobraжeni krivo i (Γ, a) v tor C 2. Pustь b = k n, k > 0, i M n C 2 toriqeska poverhnostь, veer kotoro i vl ets luqom, poroжdennym vektorom n. Poverhnostь M n soderжit rovno odnu odnomernu orbitu M n. Por dok komponent f i g v vektor-funkcii (f, g) fiksiruet orientaci ploskosti i, sledovatelьno, fiksiruet parametrizaci odnomerno i orbity M n. Utverжdenie 2. Rostok meromorfnogo otobraжeni (f, g): Γ C 2 prodolжaets do rostka analitiqeskogo otobraжeni ( f, g): Γ M n. Toqka a pri зtom analitiqeskom otobraжenii perehodit v toqku odnomerno i orbity M n s parametrom t, ravnym privedennomu qislu Ve il [f, g] a. Obraz krivo i Γ peresekaets s orbito i M n s kratnostь k, ravno i kratnosti rostka (f, g). Dokazatelьstvo. De istvitelьno, pri u 0 toqka (c 1 u b 1 +..., c 2 u b 2 +... ) budet stremitьs k toqke na orbite M, n parametr kotoro i po lemme raven c n 1 2 c n 2 1. Зto qislo ravno privedennomu qislu Ve il. Ostalьnye fakty iz utverжdeni legko prover ts. 4 Krivye na toriqesko i poverhnosti Pustь M kompaktna toriqeska poverhnostь, vozmoжno, ime wa osobennosti v toqkah, vl wihs nulьmernymi orbitami. Pustь na obъedinenii M odnomernyh orbit poverhnosti M fiksirovano koneqnoe qislo toqek s zadannymi poloжitelьnymi kratnost mi. Suwestvuet li kriva na poverhnosti M, ne prohod wa qerez nulьmernye orbity i pereseka wa odnomernye orbity v fiksirovannyh toqkah s zadannymi kratnost mi? Zdesь predlagaets polny i otvet na зtot vopros. Dl formulirovki otveta preжde vsego zakodiruem divizory D, nositeli kotoryh leжat v obъedinenii odnomernyh orbit poverhnosti M, pri pomowi opredel emo i niжe funkcii Mul D : Z 2 ik C N +. Fiksiruem orientaci v ploskosti odnoparametriqeskih tora C 2. Fiksaci зto i orientacii zadaet parametrizaci kaжdo i odnomerno i orbity na l bo i toriqesko i kompaktifikacii M tora C 2. Pustь vektor n Z 2 ir sootvetstvuet odnomerno i orbite M n na poverhnosti M. V зtom sluqae poloжim funkci Mul D ( n, c) ravno i kratnosti, s kotoro i toqka s parametrom c na odnomerno i orbite M n vhodit v divizor D. Esli vektor n Z 2 ir sootvetstvuet nulьmerno i orbite na poverhnosti M, to poloжim funkci Mul D ( n, c) ravno i nul dl vseh toqek c C. Teorema. Divizor D vl ets divizorom pereseqeni nekotoro i krivo i, ne prohod we i qerez nulьmernye orbity toriqesko i poverhnosti M, s obъedineniem M odnomernyh orbit poverhnosti M, esli i tolьko esli зta kriva vl ets zamykaniem krivo i,

MNOGOUGOLЬNIKI NЬ TONA I TEOREMA VE il 13 opredelenno i v C 2 uravneniem P = 0, priqem funkci Mul P polinoma Lorana P ravna funkcii Mul D divizora D: Mul P = Mul D. Dokazatelьstvo. Toriqeska poverhnostь M soderжit tor C 2. Vs ka algebraiqeska kriva, leжawa na poverhnosti M i ne soderжawa odnomernyh orbit v kaqestve komponent, vl ets zamykaniem krivo i, leжawe i v tore C 2. Kaжda kriva v C 2 zadaets nekotorym uravneniem P = 0, gde P polinom Lorana. Rassmotrim funkci Mul P, postroennu po зtomu polinomu Lorana. Esli vektor n Z 2 ir v veere poverhnosti M sootvetstvuet nulьmerno i orbite A, to funkci Mul P ( n, ) dolжna toжdestvenno obrawatьs v nulь na C. V protivnom sluqae, kak vidno iz teoremy 1 o mnogougolьnikah Nь tona, zamykanie v poverhnosti M krivo i P = 0 budet soderжatь nulьmernu orbitu A. Pustь vektor n Z 2 ir v veere poverhnosti M sootvetstvuet odnomerno i orbite M. n Togda soglasno teoreme 1 o mnogougolьnikah Nь tona i utverжdeni 2 iz 3 zamykanie krivo i P = 0 peresekaet orbitu M n tolьko v toqkah, parametry kotoryh vl ts korn mi polinoma P n. Pri зtom kratnostь toqki pereseqeni ravna kratnosti sootvetstvu wego korn polinoma P n. Teorema dokazana. Podvedem itog. Pustь nositelь divizora D leжit ne bolee qem na dvuh orbitah. Togda iskoma kriva suwestvuet, esli i tolьko esli 1) зtih orbit rovno dve, i im sootvetstvu t protivopoloжnye vektory n 1 i n 2, n 1 + n 2 = 0; 2) toqka na orbite M n 1 s parametrom c vhodit v divizor D s to i жe kratnostь, s kotoro i v nego vhodit toqka s parametrom c 1 na orbite M n 2. Pustь divizor D soderжits v obъedinenii ne menee qem treh odnomernyh orbit. Togda iskoma kriva suwestvuet, esli i tolьko esli vypolneny 1) uslovie Paskal Mul D ( n, c) = 0; 2) uslovie Vieta ( c) Mul D ( n, c) = 1. Esli uslovi 1 2 vypolneny, to iskoma kriva Γ zadaets sledu wim obrazom. Po funkcii Mul D stroits mnogougolьnik Nь tona D, dl kotorogo Lengh D ( n) = c Mul D ( n, c). Tako i mnogougolьnik opredelen odnoznaqno s toqnostь do parallelьnogo perenosa. Dalee, u polinoma Lorana P vydel ts koзfficienty pri vseh monomah, sootvetstvu wih graniqnym toqkam mnogougolьnika. Зti koзfficienty opredel ts odnoznaqno, s toqnostь do obwego mnoжitel, iz uslovi, qto v toqke c por dok polinoma P n raven Mul D ( n, c). Vse ostalьnye koзfficienty polinoma Lorana P opredel ts proizvolьnym obrazom. Oboznaqim qerez R(D) prostranstvo vseh krivyh na poverhnosti M, ne prohod wih qerez nulьmernye orbity i pereseka wihs s obъedineniem odnomernyh orbit

14 A. HOVANSKI i po divizoru D. Tak kak proporcionalьnye uravneni opredel t odnu i tu жe krivu, R(D) vl ets proektivizacie i prostranstva polinomov Lorana P, dl kotoryh Mul P = Mul D. Prostranstvo Mul P predstavl et sobo i dopolnenie k toqke 0 v line inom prostranstve razmernosti (B( ) + 1), gde B( ) qislo vnutrennih celyh toqek mnogougolьnika, D = (P ). (My otoжdestvl em polinomy Lorana, qastnoe kotoryh vl ets monomom.) Poзtomu prostranstvo R(D) predstavl et sobo i proektivnoe prostranstvo razmernosti B( ). 5 Mnogougolьniki bez vnutrennih celyh toqek Naqnem so spiska iskl qitelьnyh mnogougolьnikov, kaжdy i iz kotoryh ne soderжit vnutri seb celyh toqek. Spisok iskl qitelьnyh mnogougolьnikov. 1. Otrezok celoqislenno i dliny m. Unimodul rnym preobrazovaniem perevodits v otrezok s verxinami (0, 0), (m, 0). 2. Treugolьnik, storony kotorogo ime t celoqislennu dlinu 2. Unimodul rnym preobrazovaniem perevodits v simpleks s verxinami (0, 0), (2, 0), (2, 0). 3. Treugolьnik celoqislenno i vysoty 1 s celoqislenno i dlino i osnovani, ravno i m. Unimodul rnym preobrazovaniem perevodits v simpleks s verxinami (0, 0), (m, 0), (1, 0). 4. Trapeci celoqislenno i vysoty 1 s celoqislennymi dlinami osnovani i k, m, gde 0 < k m. Celoqislennym preobrazovaniem perevodits v trapeci s verxinami (0, 0), (m, 0), (1, 0), (1, k). Teorema. Esli celoqislenny i mnogougolьnik soderжit vnutrennie celye toqki, to dl kaжdo i ego storony l suwestvuet vnutrenn cela toqka, celoqislenna vysota kotoro i otnositelьno storony l ravna 1. Vse celoqislennye mnogougolьniki bez vnutrennih celyh toqek soderжats v spiske iskl qitelьnyh mnogougolьnikov. Dokazatelьstvo. My pokaжem, qto esli celoqislenny i mnogougolьnik ne soderжits v spiske iskl qitelьnyh mnogougolьnikov, to dl kaжdo i ego storony l na idets vnutrenn cela toqka, celoqislenna vysota kotoro i otnositelьno storony l ravna 1. Ots da, razumeets, vyteka t oba utverжdeni teoremy. Unimodul- rnym preobrazovaniem ploskosti (u, v) raspoloжim mnogougolьnik tak, qtoby on leжal v verhne i poluploskosti v 0, a storona l leжala na osi v = 0. Esli pereseqenie mnogougolьnika s pr mo i v = 1 pusto, to celoqislenny i mnogougolьnik otrezok. Esli зto pereseqenie sostoit iz toqki, to treugolьnik celoqislenno i vysoty 1. Esli otrezok (v = 1) soderжit vnutrenn celu toqku, to libo зta toqka vl ets vnutrenne i toqko i mnogougolьnika, celoqislenna vysota kotoro i otnositelьno storony l ravna 1, libo otrezok (v = 1) vl ets

MNOGOUGOLЬNIKI NЬ TONA I TEOREMA VE il 15 storono i mnogougolьnika. V poslednem sluqae mnogougolьnik vl ets celoqislenno i trapecie i s celoqislenno i vysoto i, ravno i 1. Pokaжem, qto esli otrezok (v = 1) ne soderжit vnutrenne i celo i toqki, to mnogougolьnik soderжits v spiske iskl qitelьnyh mnogougolьnikov. De istvitelьno, v зtom sluqae otrezok (v = 1) perevodits v polosu 0 u 1 unimodul rnym preobrazovaniem ploskosti, ostavl wim nepodviжnymi vse toqki gorizontalьno i osi koordinat i perevod wim v seb vse gorizontalьnye pr mye. Pustь otrezok (v = 1) sovpadaet s otrezkom (0 u 1, v = 1). Zdesь voznika t sledu wie sluqai. Esli storona l imeet dlinu 1, to mnogougolьnik leжit v polose 0 u 1 i vl ets trapecie i s celoqislenno i vysoto i, ravno i 1. Esli storona l imeet dlinu 2, to mnogogrannik vl ets simpleksom (u 0, v 0, u+v 2) so storonami celoqislenno i dliny, ravno i 2. V rassmatrivaemom sluqae ne suwestvuet celoqislennyh mnogougolьnikov so storono i l dliny bolьxe 2. Esli dlina otrezka (v = 1) menьxe 1, to vstreqa ts lixь sluqai, v kotoryh dlina storony l ravna 1, a mnogougolьnik vl ets treugolьnikom celoqislenno i vysoty, ravno i 1 (s verxino i, raspoloжenno i libo na pr mo i u = 0, libo na pr mo i u = 1). Teorema dokazana. 6 Mnogougolьnik D s vnutrenne i celo i toqko i V зtom paragrafe opisyvaets obwa kriva iz prostranstva R(D) (sm. 4) v tom sluqae, kogda mnogougolьnik D soderжit vnutrenn celu toqku. Lemma. Pustь toqka a leжit na odnomerno i orbite M n poverhnosti M i vhodit v divizor D s kratnostь k(a). Pustь divizor D dopustim, i mnogougolьnik D soderжit vnutrenn celu toqku. Togda obwa kriva Γ iz prostranstva R(D) okolo toqki a vl ets gladko i, priqem kriva Γ kasaets orbity M n s kratnostь kasani k(a). Dokazatelьstvo. Pustь c parametr toqki a na orbite M n, i pustь P = 0 uravnenie krivo i v C 2, gde Mul P = Mul D. Sdelaem unimodul rnoe stepennoe preobrazovanie tora C 2, perevod wee vektor n v vektor e 1. Posle takogo preobrazovani i sokraweni uravneni na podhod wi i monom uravnenie P = 0 budet imetь sledu wie svo istva: 1) polinom Lorana P budet regul ren v ploskosti (x, y) vne osi (y = 0); 2) ego ograniqenie P (0, y) na osь (x = 0) budet sovpadatь s polinomom P n (y). V koordinatah (x, y) osь (x = 0) sovpadaet s orbito i M n, a toqka a s toqki i (0, c). Esli polinom P n imeet v toqke c korenь kratnosti odin, to lemma vytekaet iz teoremy o ne vno i funkcii. Pustь c korenь polinoma P n kratnosti 2. Soglasno teoreme iz 5 vnutri mnogougolьnika Nь tona nahodits cela toqka s koordinatami (1, k), gde k nekotoroe celoe qislo.

16 A. HOVANSKI i Poзtomu pri l byh znaqeni h parametra λ polinom P λ = P + λxy k leжit v k P rassmatrivaemom prostranstve, t.e. Mul Pλ = Mul D. Esli λ c (0, c), to k y uravneni P λ = 0 okolo toqki (o, c) primenima teorema o ne vno i funkcii. Lemma dokazana. Teorema. Pustь divizor D dopustim, a ego mnogougolьnik Nь tona soderжit vnutrenn celu toqku. Togda obwa kriva iz prostranstva R(D) vl es gladko i neprivodimo i krivo i roda g = B( ), gde B( ) qislo vnutrennih toqek mnogougolьnika. Pereseqenie obwe i krivo i iz prostranstva R( ) s torom C 2 vl ets sfero i s g ruqkami, iz kotoro i vykoloto q toqek, gde q qislo geometriqeski razliqnyh toqek v nositele divizora D. Dokazatelьstvo. Obwee uravnenie P = 0, gde Mul P = Mul D, zadaet neosobu krivu v tore C 2. De istvitelьno, pustь toqka (k, m) vnutrenn dl mnogougolьnika. Perepixem uravnenie P (x, y) = 0 v vide P x k y m = λ, gde P = P λx k y m. Po teoreme Sarda-Bertini dl poqti vseh znaqeni i parametra λ kriva P x k y m = λ budet neosobo i. Soglasno lemme obwa kriva iz prostranstva R(D) budet neosobo i i v toqkah pereseqeni s odnomernymi orbitami poverhnosti M. Poзtomu obwa kriva iz prostranstva R(D) voobwe ne imeet osobyh toqek. Po teoreme o ne vno i funkcii maloe izmenenie koзfficientov uravneni gladko i krivo i ne men et topologi зto i krivo i. Nemnogo men koзfficienty pri vseh monomah, moжno dobitьs, qto by uravnenie stalo -nevyroжdennym. Primen horoxo izvestnye rezulьtaty o -nevyroжdennyh krivyh [5], poluqim, qto obwa kriva R(D) budet neprivodimo i, i qto ee rod raven B( ). Qislo geometriqeski razliqnyh toqek pereseqeni gladko i krivo i iz prostranstva R(D) s obъedineniem odnomernyh orbit ravno qislu geometriqeski razliqnyh toqek v divizore D. 7 Mnogougolьnik D bez vnutrennih celyh toqek Pustь divizor D na obъedinenii odnomernyh orbit toriqesko i poverhnosti M dopustim, i ego mnogougolьnik Nь tona D ne soderжit vnutrennih celyh toqek. Polnoe opisanie зtogo sluqa osnovano na polnom pereqislenii mnogougolьnikov bez vnutrennih celyh toqek (sm. 5). Esli (D) ne imeet vnutrennih celyh toqek, to suwestvet s toqnostь do mnoжitel lixь odin polinom Lorana P tako i, qto Mul P = Mul, i odna edinstvenna kriva v prostranstve R(D). Budem oboznaqatь зtu krivu r(d). Teorema 1. Pri pomowi stepenno i unimodul rno i zameny koordinat i umnoжeni na monom polinom Lorana P moжno privesti libo k mnogoqlenu stepeni m s nenulevym svobodnym qlenom, ne zavis wemu ot pervo i koordinatno i funkcii, libo k kvadratnomu polinomu s nenulevym svobodnym qlenom i s nenulevymi koзfficientami pri

MNOGOUGOLЬNIKI NЬ TONA I TEOREMA VE il 17 x 2 i pri y 2, libo k polinomu ys k (x) + Q m (x), gde S k i Q m mnogoqleny stepene i k i m, m > 0, m k 0, s nenulevymi svobodnymi qlenami. Dokazatelьstvo teoremy nemedlenno vytekaet iz rassmotreni spiska mnogougolьnikov bez vnutrennih celyh toqek (sm. 5). Predpoloжim dopolnitelьno, qto uravnenie P = 0 neprivodimo. Togda posle stepenno i zameny koordinat v pervom sluqae ono opredel et gorizontalьnu pr mu, vo vtorom sluqae gladku kvadriku, a v tretьem sluqae grafik ratsionalьno i funkcii. My vidim, qto neprivodima kriva r(d) vedet seb v toqnosti kak obwa kriva iz prostranstva R(D) v sluqae, kogda mnogougolьnik D imeet vnutrennie celye toqki. Teorema 2. Pustь divizor D dopustim, i ego mnogougolьnik Nь tona ne soderжit vnutrennih celyh toqek. Pustь dopolnitelьno edinstvenna kriva r(d) v prostranstve R(D) neprivodima. Togda ona vl ets gladko i racionalьno i krivo i na poverhnosti M. Esli divizor D soderжit toqku a s kratnostь k(a), to kriva r(d) v toqke a kasaets s kratnostь k(a) s odnomerno i orbito i, prohod we i qerez toqku a. Nam ostalosь opisatь v terminah divizora D uslovi privodimosti krivo i i posmotretь, qto proishodit v зtom sluqae. Sluqa i otrezka. Pustь funkci Mul D divizora D imeet rovno dva harakteristiqeskih vektora n 1 i n 2 takih, qto n 1 + n 2 = 0 i obladaet svo istvom vozvratnosti Mul D ( n 1, c) = Mul D ( n 2, c 1 ). Mnogougolьnik Nь tona D v зtom sluqae vl ets otrezkom. Dl opisani krivo i r(d) sdelaem unimodul rny i avtomorfizm tora C 2 M, perevod wi i vektor n 1 iz algebry Li tora C 2 v vektor e 1, gde e 1 = (1, 0). Posle takogo preobrazovani kriva r(d) v C 2 s koordinatami (x, y) budet sosto tь iz obъedineni gorizontalьnyh pr myh y = c i, priqem pr ma y = c i vhodit v krivu r(d) s to i жe kratnostь, s kotoro i toqka s parametrom c i na orbite M n 1 vhodit v divizor D. V qastnosti, kriva r(d) ne soderжit kratnyh komponent, esli i tolьko esli funkci Mul D prinimaet lixь znaqeni 0 i 1. Kriva r(d) nekratna i neprivodima, esli i tolьko esli funkci Mul D ravna 1 rovno v dvuh toqkah ( n 1, c) i ( n 1, c 1 ) i ravna nul vo vseh ostalьnyh toqkah. Perehodim k sluqa dvumernyh mnogougolьnikov D. Dopustimye divizory D v зtom sluqae udovletvor t uslovi Vieta. Kombinatornye tipy mnogougolьnikov v rassmatrivaemyh niжe sluqa h razliqa ts, i uslovie Paskal prinimaet raznye formy. Sluqa i simpleksa so storonami celoqislenno i dliny 2. V rassmatrivaemom sluqae divizor D soderжit po 2 toqki (s uqetom kratnosti) na treh orbitah,

18 A. HOVANSKI i sootvetstvu wih vektoram n 1, n 2, n 3. Uslovie Paskal prinimaet sledu wi i vid: n 1 + n 2 + n 3 = 0; Utverжdenie 1. Kriva r(d) privodima, esli i tolьko esli v nositele divizora D moжno vybratь po odno i toqke na kaжdo i iz treh orbit tak, qto by proizvedenie ih parametrov ravn losь by ( 1). V зtom sluqae kriva sostoit iz dvuh komponent. Зti komponenty sliva ts v kratnu komponentu, esli i tolьko esli vse toqki divizora dopolnitelьno vl ts kratnymi. Esli жe зti komponenty vl ts razliqnymi, to oni pereseka ts rovno v odno i toqke poverhnosti M. Зta toqka ne prinadleжit toru C 2, esli i tolьko esli odna iz toqek divizora D vl ets kratno i. Dokazatelьstvo. Stepennym preobrazovaniem kriva r(d) perevodits v kvadriku. Dl kvadriki utverжdenie oqevidno. Zameqanie. Esli dopustimy i divizor soderжit tri dvukratnyh toqki, to po uslovi Vieta [( ξ 1 )( ξ 2 )( ξ 3 )] 2 = 1, gde ξ i parametry зtih toqek. Voznikaet dva sluqa : 1) sluqa i ( ξ 1 )( ξ 2 )( ξ 3 ) = 1 sootvetstvuet odno i komponente kratnosti dva; 2) sluqa i ( ξ 1 )( ξ 2 )( ξ 3 ) = 1 sootvetstvuet neosobo i krivo i. Stepennym preobrazovaniem taku krivu moжno perevesti v parabolu, kasa wu s ose i koordinat. Sluqa i treugolьnika celoqislenno i vysoty 1. Pustь divizor D soderжit toqki na treh orbitah, sootvetstvu wih vektoram n 1, n 2, n 3. Pustь na orbite, sootvetstvu we i vektoru n 1, divizor D soderжit ne menьxe toqek, qem na l bo i iz ostavxihs orbit. Pustь зto qislo toqek ravn ets qislu k 1. Rassmatrivaemy i sluqa i opredel ets sledu wimi uslovi mi: 1) na kaжdo i iz dvuh ostavxihs orbit divizor imeet rovno po odno i toqke; 2) spravedlivy sootnoxeni k n 1 + n 2 + n 3 = 0, det( n 1, n 2 ) = det( n 1, n 3 ) = 1. Pri vypolnenii uslovi i 1 2 uslovie dopustimosti divizora D sostoit v vypolnenii uslovi Vieta. Utverжdenie 2. Pri vypolnenii pereqislennyh uslovi i kriva r(d) vsegda budet neprivodimo i. Dokazatelьstvo. Treugolьnik s celoqislenno i vysoto i 1 ne raskladyvaets v summu Minkovskogo celoqislennyh mnogougolьnikov. Polinom Lorana s takim mnogougolьnikom Nь tona neprivodim. Sluqa i trapecii celoqislenno i vysoty 1. Зtot sluqa i po vl ets v sledu wih obsto telьstvah: divizor D soderжit toqki na qetyreh orbitah, sootvetstvu wih vektoram n 1, n 2, n 3, n 4. Na odno i iz orbit on soderжit ne menьxe toqek, qem na drugih orbitah. Pustь зta orbita sootvetstvuet vektoru n 1. Oboznaqim qislo

MNOGOUGOLЬNIKI NЬ TONA I TEOREMA VE il 19 toqek na ne i qerez m, m 1. Sredi vektorov n 2, n 3, n 4 estь vektor n 1. Budem sqitatь, qto зto vektor n 3. Divizor dolжen imetь rovno po odno i toqke na orbitah, sootvetstvu wih vektoram n 2 i n 4 i nekotoroe qislo k, k 1, toqek na orbite, sootvetstvu we i vektoru n 1 = n 3. Dolжny vypoln tьs sootnoxenie Paskal m n 1 + n 2 + k n 3 + n 4 = 0 i sootnoxenie det( n 1, n 2 ) = det( n 1, n 3 ) = 1. Privedennye diskretnye uslovi зkvivalentny uslovi Paskal suwestvovani trapecii D i trebovani, qto by trapeci D ne soderжala vnutrennih celyh toqek. Pri vypolnenii зtih uslovi i divizor D budet dopustim, esli i tolьko esli vypolneno sootnoxenie Vieta. Razloжim teperь divizor D v vide line ino i kombinacii s neotricatelьnymi celymi koзfficientami nekotoryh зffektivnyh divizorov D i. Pustь c 1,..., c j parametry geometriqeski razliqnyh toqek v nositele divizora D na orbite, sootvetstvu we i vektoru n 1. S kaжdym nomerom i, 1 i j, sv жem sledu wi i dvutoqeqny i divizor D i : divizor soderжit toqku A i s parametrom c i na orbite M n 1 i toqku B i s parametrom c 1 i na orbite M n 1. Poloжim k(i) ravnym minimumu iz kratnoste i vhoжdeni v divizor D toqek A i i B i. Poloжim D ν = k(i)d i i D 0 = D D ν. Utverжdenie 3. Opisannoe vyxe razloжenie divizora D v summu D = D 0 + k(i)d i sootvetstvuet razloжeni krivo i r(d) na neprivodimye komponenty r(d) = r(d 0 ) + i=1 k(i)r(d i ). Kaжda iz krivyh r(d i ) vl ets gladko i racionalьno i krivo i na toriqesko i poverhnosti M. Kriva r(d) budet neprivodima, esli i tolьko esli vse qisla k(i) ravny 0. Kriva r(d) ne soderжit kratnyh komponent, esli i tolьko esli vse qisla k(i) menьxe 2. Pri i > 0 razliqnye krivye r(d i ) na toriqesko i poverhnosti ne pereseka- ts drug s drugom. Kaжda iz krivyh r(d i ) pri i > 0 peresekaets s krivo i r(d 0 ) na poverhnosti M rovno po odno i toqke. Зta edinstvenna toqka pereseqeni ne leжit v tore C 2, esli i tolьko esli nositeli divizorov D 0 i D i pereseka ts. Dokazatelьstvo utverжdeni svodits k sledu wemu. Polinom ys k (x) + Q m (x) privodim, esli i tolьko esli on delits na nekotory i polinom G(x). Komponenty privedennogo vyxe razloжeni sootvetstvu t korn m c i polinoma G(x), qisla k i kratnost m зtih korne i. Krivye r(d i ) sootvetstvu t vertikalьnym lini m x = c i, a kriva r(d 0 ) grafiku racionalьno i funkcii y = S k (x)/q m (x) (qislitelь i znamenatelь drobi nado sokratitь na obwi i mnoжitelь G(x)). 8 Meromorfnye vektornye funkcii na kompaktnyh krivyh Rassmotrim tro iku Γ, f, g, sosto wu iz kompaktno i (ne ob zatelьno sv zno i) krivo i Γ i meromorfno i vektor-funkcii (f, g) na ne i. My vsegda budem predpolagatь, qto na kaжdo i komponente sv znosti krivo i Γ

20 A. HOVANSKI i 1) ni odna iz funkci i f, g ne obrawaets v toжdestvenny i nulь, 2) vektor-funkci (f, g) ne vl ets posto nno i. S kaжdo i tro iko i Γ, f, g sv жem funkci Mul Γfg na proizvedenii Z 2 ir C, sopostavl wu nesokratimomu vektoru n i nenulevomu kompleksnomu qislu c summu kratnoste i rostkov vo vseh toqkah na krivo i Γ, v kotoryh rostok vektor-funkcii imeet tip n, a privedennoe qislo Ve il зtogo rostka ravno c (sm. 2). Drugimi slovami Mul Γfg ( n, c) = k(a), a gde summirovanie vedets po vsem toqkam a, v kotoryh tip rostka (f, g) raven n i [f, g] a = c. Nasto wi i punkt posv wen rexeni sledu wih zadaq 1 3. Zadaqa 1. Dana funkci Mul na Z 2 ir C, prinima wa celye neotricatelьnye znaqeni i ravna nul vs du krome koneqnogo qisla toqek. Na iti tro iki Γ, f, g, dl kotoryh Mul Γfg ravna Mul. Rexeni zadaqi 1 del ts na kratnye i nekratnye. Skaжem, qto tro ika Γ, f, g vl ets nekratno i, esli vektor-funkci (f, g) skleivaet ne bolee qem koneqnoe qislo toqek na krivo i Γ. Zadaqa 1 imeet sledu wie varianty. Zadaqa 2. Na iti nekratnye rexeni zadaqi 1. Zadaqa 3. Na iti nekratnye rexeni Γ, f, g zadaqi 1, dl kotoryh kriva Γ sv zna. Lemma 1. Pustь π : (Υ, b) (Γ, a) rostok l-listnogo otobraжeni krivo i Υ v krivu Γ, i (f, g) rostok meromorfno i vektor-funkcii v toqke a Γ. Togda rostok (π f, π g) meromorfno i vektor-funkcii v toqke b Υ imeet tot жe tip, qto i rostok (f, g), a ego kratnostь v l raz bolьxe, qem kratnostь rostka (f, g). Spravedlivy ravenstva 1) [π f, π g] b = [f, g] a, 2) {π f, π g} b = {f, g} l a. Dokazatelьstvo. Moжno tak vybratь lokalьnye parametry u i v na rostkah krivo i Γ i Υ, qto otobraжenie π budet zadavatьs formulo i π(v) = v l = u. Pri зtom esli f = c 1 u b 1 +..., g = c 2 u b 2 +..., to π f = c 1 v lb 1 +..., π g = c 2 v lb 2 +.... Otkuda i vyteka t nuжnye ravenstva. Pustь kriva Γ sostoit iz komponent sv znosti Γ 1,..., Γ k. S kaжdo i tro iko i Γ, f, g sv zano k troek Γ 1, f, g,;... ; Γ k, f, g. (My oboznaqaem odnim i tem жe simvolom funkci na krivo i Γ i ograniqenie зto i funkcii na komponentu sv znosti Γ i зto i krivo i.) Pustь π : Υ Γ razvetvlennoe nakrytie krivo i Υ nad krivo i Γ, pri kotorom qislo toqek v proobraze π 1 (a) obwe i toqki a na komponente Γ i ravno µ i (my ne predpolagaem, qto polny i proobraz π 1 (Γ i ) komponenty Γ i sv zen).

MNOGOUGOLЬNIKI NЬ TONA I TEOREMA VE il 21 Lemma 2. Spravedlivo ravenstvo: gde F = π f i G = π g. Mul ΥF G = µ i Mul Γi fg, Lemma 2 nemedlenno vytekaet iz lemmy 1. Tro ike Υ, F, G sopostavim plosku krivu Γ geom, vl wu s zamykaniem obraza krivo i Υ v tore C 2 pri meromorfnom otobraжenii, perevod wem toqku a v toqku (F (a), G(a)). Dl kaжdo i neprivodimo i komponenty зto i krivo i opredelena ee kratnostь µ i, ravna qislu proobrazov u obwe i toqki na rassmatrivaemo i komponente pri otobraжenii (F, G): Υ C 2. Plosku algebraiqesku krivu Γ alg, geometriqeski sovpada wu s krivo i Γ geom, no v kotoro i kaжda ee komponenta rassmatrivaets s kratnostь µ i, nazovem harakteristiqesko i plosko i krivo i dl tro iki Υ, F, G. Polinom Lorana P (x, y) = P µ i i (x, y), gde P i (x, y) neprivodimy i polinom Lorana, ravny i nul na i- i komponente, i µ i kratnostь зto i komponenty, nazovem harakteristiqeskim polinomom Lorana dl tro iki (Υ, F, G). Harakteristiqeski i polinom opredelen s toqnostь do umnoжeni na nenulevu konstantu (my otoжdestvl em dva polinoma Lorana, qastnoe kotoryh vl ets monomom). Kriva Γ alg zadaets uravneniem P = 0. Normalizaci Γ harakteristiqesko i krivo i Γ geom sostoit iz komponent Γ i, vl wihs normalizaci mi komponent Γ geom i harakteristiqesko i krivo i. Na normalizacii Γ opredelena meromorfna vektor-funkci (x, y): Γ C 2, zada wa ee biracionalьny i izomorfizm s krivo i Γ geom. Teorema 1. Pustь π : Υ Γ razvetvlennoe nakrytie nad normalizacie i krivo i Γ geom takoe, qto qislo proobrazov obwe i toqki na komponente Γ i ravno kratnosti µ i зto i komponenty. Togda harakteristiqeska kriva dl tro iki Υ, F, G, gde F = π x i G = π y, sovpadaet s krivo i Γ alg. Obratno, esli harakteristiqeska kriva dl tro iki Υ, F, G sovpadaet s krivo i Γ alg, to suwestvuet razvetvlennoe nakrytie π : Υ Γ takoe, qto F = π x, G = π y, i qislo proobrazov obwe i toqki na komponente Γ i ravno kratnosti µ i komponenty Γ geom i v Γ geom. Teorema 1 neposredstvenno vytekaet iz opredeleni i. Sledstvie 1. Esli harakteristiqeska kriva ne imeet kratnyh komponent, to tro ika Υ, F, G odnoznaqno s toqnostь do izomorfizma opredel ets harakteristiqesko i krivo i. E vl ets normalizaci harakteristiqesko i krivo i vmeste s vektorfunkcie i (x, y) na ne i. Sledstvie 1 vytekaet iz teoremy 1, tak kak v rassmatrivaemom sluqae razvetvlennoe nakrytie vl ets izomorfizmom.