SECTION 7 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LEGENDRE 7. Ορισµοί Οι συναρτήσεις που ικανοποιούν τη διαφορική εξίσωση Legere ( )y'' y' + ( + )y καλούνται συναρτήσεις Legere τάξης. Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης του Legere είναι y c U () + c V () όπου U ( ) ( + ) ( )( + )( + ) 4 +! 4! V ( ) ( )( + )! ( )( )( + )( + 4) + 5! 5 και c, c αυθαίρετες σταθερές. Οι σειρές αυτές συγκλίνουν για < <. Στα παρακάτω περιοριζόµαστε σε µη αρνητικό ακέραιο. Με,,,, µια από αυτές τις σειρές περατούται και δίνει ένα πολυώνυµο Legere U/ U,,, 4, P V/ V,,, 5, U () ( / )! ( )/ V ()!!,,, 4,!, 5,,, Η άλλη σειρά έχει άπειρους όρους και πολλαπλασιασµένη επί µια κατάλληλη σταθερή δίνει τη συνάρτηση Legere δεύτερου είδους και τάξης U() V,,, 4 Q V() U,,, 5,
SECTION 7. Πολυώνυµα Legere Τα πολυώνυµα Legere δίνονται από τον τύπο του Rorigues P ( )! P () P ().5 P () P ()!( ) P ()!(5 ).5.5.5 P 4 () '(5 4 + ) P 5 () '(6 5 7 + 5) Σχ. 7-4 5 P 6 () 6 (6 5 4 + 5 5) P 7 () 6 (497 69 5 + 5 5) P () (645 6 + 69 4 6 + 5) Με cosθ παίρνουµε P (cosθ) P (cosθ) cosθ P (cosθ) #( + cosθ) P (cosθ) '(cosθ + 5cosθ) P 4 (cosθ) (9 + cosθ + 5cos4θ) 64 P 5 (cosθ) P 6 (cosθ) P 7 (cosθ) P (cosθ) (cosθ + 5cosθ + 6cos5θ) (5 + 5cosθ + 6cos4θ + cos6θ) 5 (75cosθ + 9cosθ + cos5θ + 49cos7θ) 4 (5 + 5cosθ + 77cos4θ + 4cos6θ + 645cosθ) 64
SECTION Γεννήτρια συνάρτηση t + t P t t < Αναδροµικές σχέσεις ( + )P + () ( + )P () + P () P' + () P '() ( + )P () P' () P' () P () P' + () P' () (+)P () ( )P '() P () P () Ορθογωνιότητα, P ( ) P ( ) + Επειδή τα P () και P () ικανοποιούν την προηγούµενη σχέση για, καλούνται ορθογώνια στο. Αναπτύγµατα σε σειρά πολυωνύµων Legere Τα πολυώνυµα Legere συνιστούν πλήρη οµάδα συναρτήσεων, δηλαδή κάθε τµηµατικά λεία συνάρτηση f () στο διάστηµα < < µπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά πολυωνύµων Legere στη µορφή f () A P () + A P () + A P () + A k k + f P k Στα σηµεία ασυνέχειας η σειρά δίνει το άθροισµα! [ f ( + ) + f ( )]. Ιδιότητες P () P ( ) ( ) P ( ) ( ) P (), περιττός P / 5 ( ) ( ), άρτιος 4 6
4 SECTION p P ( + cos f) f p P+ P P + P () στο ( z ) P z + i C ( z ) + p [ολοκλήρωµα του Schläfli] όπου C είναι µια απλή κλειστή καµπύλη στο µιγαδικό επίπεδο z και ένα εσωτερικό σηµείο. P F, + ; ;! F, ; ; (!) όπου F η υπεργεωµετρική συνάρτηση. Η σχέση αυτή ισχύει γενικά και για µη ακέραιο, οπότε δίνει τη συνάρτηση Legere πρώτου είδους. Στην περίπτωση αυτή η P () έχει ανώµαλα σηµεία στα και. Η εξίσωση P () έχει ακριβώς πραγµατικές ρίζες, όλες στο διάστηµα (, ). 7. Συναρτήσεις Legere εύτερου Είδους Οι συναρτήσεις Legere δεύτερου είδους Q () ορίζονται ως οι λύσεις της διαφορικής εξίσωσης του Legere που αποκλίνουν στα άκρα του διαστήµατος < < και ικανοποιούν τη συνθήκη συµµετρίας Q ( ) ( ) + Q () Η απόκλιση είναι λογαριθµική, όπως φαίνεται και από τις πρώτες συναρτήσεις που είναι Q l Q l + + Q l + 4.5.5 Q ().5.5.5 Σχ. 7-.5 4 5
SECTION 5 Q 5 l + 4 + 5 Q 4 5 + l + 6 + 5 4 Q 5 6 7 + 5 l + 6 Γενικά είναι 6 55 4 + 49 5 4 Q P P l + P 5 ( ) G( + ) G Q F +, + ; + ; + G ( + ) 5 9 P 5 5( ) όπου F η υπεργεωµετρική συνάρτηση. Η σχέση αυτή ισχύει γενικά και για µη ακέραιο, οπότε η Q () έχει ανώµαλα σηµεία στα ± και. Οι συναρτήσεις Q () ικανοποιούν τις ίδιες αναδροµικές σχέσεις µε τα πολυώνυµα Legere (Ενότητα 7.). Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης του Legere µπορεί να γραφεί y AP () + BQ () Η ορίζουσα του Wroski είναι W{P (), Q ()} ( ) 7.4 Προσαρτηµένες Συναρτήσεις Legere Οι συναρτήσεις που ικανοποιούν την προσαρτηµένη διαφορική εξίσωση του Legere ( ) y y + ( + ) y καλούνται προσαρτηµένες συναρτήσεις Legere. Στα επόµενα περιοριζόµαστε στην περίπτωση όπου τα, είναι ακέραιοι αριθµοί µε, και < <.
6 SECTION Η γενική λύση της προσαρτηµένης διαφορικής εξίσωσης του Legere είναι y c P () + c Q () όπου P () και Q () είναι οι προσαρτηµένες συναρτήσεις Legere πρώτου και δεύτερου είδους αντίστοιχα. Προσαρτηµένες συναρτήσεις Legere πρώτου είδους Οι προσαρτηµένες συναρτήσεις Legere πρώτου είδους ορίζονται από τα πολυώνυµα Legere µε τη σχέση / P P ( ) ( )! / + + ( ) όπου P () είναι τα πολυώνυµα Legere. Ας σηµειωθεί ότι το δεξιό µέλος της προηγούµενης σχέσης έχει νόηµα και για αρνητικό µε. Γενικά είναι P ( ) ( )! P ( + )! Επίσης ορίζουµε P () για < ή >. Για τις τιµές των P () έχουµε P ( ) ( ) + P () και P (±) για Οι πρώτες συναρτήσεις είναι P () P () για κάθε P () ( ) / siθ P () ( ) / siθ P () ( ) ( cosθ) P () (5 )( ) / (siθ + 5siθ) P () 5( ) 5 4 P () 5( ) / 5 4 (cosθ cosθ) (siθ siθ) 4 P 4 () 5 (7 )( ) / 5 6 (siθ + 7cos4θ)
SECTION 7 P 4 () 5 (7 )( ) 5 6 ( + 4cosθ cos4θ) P 4 () 5( ) / 5 P 4 4 () 5( ) 5 Γεννήτρια συνάρτηση /!( ) t!( t+ t ) (siθ si4θ) ( 4cosθ + cos4θ) P + / t Αναδροµικές σχέσεις ( + )P + () (+)P () + ( + )P () ( ) / P + () ( + )P + () + ( )( + +)P () ( )P '() ( + )P () + ( +)P + () (' /) Ορθογωνιότητα Οι συναρτήσεις P () και P l () είναι ορθογώνιες µε συνάρτηση βάρους : ( )! P Pl + + ( )! Οι συναρτήσεις P k () και P () είναι ορθογώνιες µε συνάρτηση βάρους ( ) : k ( )! P P + ( )! Αναπτύγµατα σε σειρά f () A P () + A + P + () + A + P + () + k l A k k k + ( )! ( k )! + f P k Σχέση µε υπεργεωµετρικές συναρτήσεις P ( + )! F, + + ; + ; ( )!!
SECTION Προσαρτηµένες συναρτήσεις Legere δεύτερου είδους Οι προσαρτηµένες συναρτήσεις Legere δεύτερου είδους ορίζονται από τις συναρτήσεις Legere δεύτερου είδους µε τη σχέση / Q Q ( ) Οι συναρτήσεις αυτές απειρίζονται για ±, ενώ οι P () είναι πεπερασµένες για ±. Οι συναρτήσεις Q () ικανοποιούν τις ίδιες αναδροµικές σχέσεις µε τις P (). 7.4 Σφαιρικές Αρµονικές ιάφορα προβλήµατα φυσικής σε τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο καταλήγουν στο µαθηµατικό πρόβληµα επίλυσης µιας διαφορικής εξίσωσης µε µερικές παραγώγους, όπως είναι η εξίσωση του Laplace, η εξίσωση του Helholtz και η εξίσωση του Schröiger. Ακολουθώντας τη µέθοδο χωρισµού των µεταβλητών σε σφαιρικές συντεταγµένες r, θ, φ, αν δεχθούµε ότι η λύση γράφεται ως άθροισµα συναρτήσεων της µορφής R(r)(θ, φ), προκύπτει για την (θ, φ) η διαφορική εξίσωση + siu + ( + ) siu u u si u f Περαιτέρω χωρισµός των µεταβλητών µε την αντικατάσταση (θ, φ) Θ(θ)Φ(φ) δίνει για την Φ(φ) τη Σ Ε F + F f µε λύσεις Φ e ±iφ. Για την Θ(θ) παίρνουµε µια Σ Ε η οποία µε την αντικατάσταση cosθ, P() Θ(θ) καταλήγει στη διαφορική εξίσωση των προσαρτηµένων πολυωνύµων Legere (Ενότητα??). Οι συνοριακές και άλλες φυσικές συνθήκες επιβάλουν να είναι ακέραιοι οι και και επιπλέον,. Συνεπώς, η εξάρτηση της γενικής λύσης από τις γωνίες θ και φ εκφράζεται µε τις συναρτήσεις ( uf, ) ( ) + ( )! P e (cos u) ( + )! if που καλούνται σφαιρικές αρµονικές. Ο σταθερός συντελεστής έχει επιλεγεί έτσι ώστε να είναι (ο αστερίσκος σηµαίνει το συζυγή µιγαδικό)
SECTION 9 p p * ( u, f) ( u, f)siuuf f u Η συνθήκη αυτή καθιστά το σύνολο σφαιρικών αρµονικών ένα ορθογώνιο και µοναδιαίο σύνολο συναρτήσεων. Οι πρώτες σφαιρικές αρµονικές (θ, φ) είναι cos u e i siu f p 5 cos u 5 e i si ucosu f 5 96p u e i f si 7 5 cos u cos u e i f si u( 5cos u ) 4 5 u u f 5 si u 4 p 4 Για < οι σφαιρικές αρµονικές προκύπτουν από τη σχέση e i si cos e i f ( u, f) ( ) *( u, f) Το θεώρηµα πρόσθεσης σφαιρικών αρµονικών Σε σφαιρικές συντεταγµένες (r, θ, φ) ένα ζεύγος τιµών των θ και φ ορίζει µία κατεύθυνση στο χώρο. ύο ζεύγη τιµών (θ, φ ) και (θ, φ ) ορίζουν δύο κατευθύνσεις και µία µεταξύ τους γωνία γ, η οποία δίνεται από τη σχέση cosγ cosθ cosθ + siθ siθ cos(φ φ ) Γενικότερα, το θεώρηµα πρόσθεσης σφαιρικών αρµονικών εκφράζεται µε τη σχέση P(cos g) ( u, f) * ( u, f ) +
SECTION Ανάπτυγµα συναρτήσεων Κάθε συνάρτηση f (θ, φ), ορισµένη στην επιφάνεια µιας σφαίρας και αρκετά παραγωγίσιµη και συνεχής, µπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά σφαιρικών αρµονικών σύµφωνα µε τον τύπο όπου (Ω siθθφ)??? f( u, f) A ( u, f) A f ( u, f ) * ( u, f ) V