ΑΚΗΗ 1: Ειςαγωγή ςτο MATLAB

ΕΙΑΓΩΓΉ Οι παροφςεσ ςθμειϊςεισ αποτελοφν ζνα ςχεδιάγραμμα των εργαςτθριακϊν αςκιςεων του μακιματοσ «υςτιματα Αυτόματου Ελζγχου» και βαςίςτθκαν ςτισ εργαςτθριακζσ αςκιςεισ που διδάχτθκαν ςτο Δ εξάμθνο του ακαδθμαϊκοφ ζτουσ 2012-13 ςτο Σμιμα Θλεκτρονικϊν Μθχανικϊν ΣΕ του ΣΕΙ τερεάσ Ελλάδασ. τθν παροφςα θμιτελι μορφι δεν αποτελοφν πλιρεσ ςφγγραμμα αλλά ςυμπλθρωματικό βοικθμα για τουσ ςπουδαςτζσ το οποίο πρζπει να χρθςιμοποιθκεί παράλλθλα με τισ προςωπικζσ τουσ ςθμειϊςεισ κατά τθ διάρκεια των εργαςτθριακϊν αςκιςεων. Οι ςθμειϊςεισ αναμζνονται να είναι ςτθν τελικι ολοκλθρωμζνθ μορφι τουσ τον Ιοφνιο του 2015 με τθ φιλοδοξία να αποτελζςουν το βαςικό εγχειρίδιο του εργαςτθρίου για το ακαδθμαϊκό ζτοσ 2015-16. τα διάφορα ςτάδια δθμιουργίασ των ςθμειϊςεων ςυνειςζφεραν οι ςπουδαςτζσ Π. Πλατισ και Α. Γιαννακόσ ςτουσ οποίουσ κα ικελα να εκφράςω τισ ευχαριςτίεσ μου. 4

ΑΚΗΗ 1: Ειςαγωγή ςτο MATLAB Α. ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Βαςικέσ έννοιεσ-πίνακεσ-πολυώνυμα 1. Πίνακεσ >> v=[7-2 5] ή [7,-2,5] % δεκηνπξγεί δηάλπζκα κίαο γξακκήο >> w=[1; 2; 3] % δεκηνπξγεί δηάλπζκα κίαο ζηήιεο >> Α=[4-2 5; -1 7 8; 1 4 7] % εηζάγεη πίλαθα 3x3 2. Πολυώνυμα Ζςτω το πολυϊνυμο: x 2 2x1=0 το MATLAB για να υπολογίςουμε τισ ρίηεσ του παραπάνω πολυωνφμου ειςάγουμε: >> coeff=[1 2 1] >> r=roots(coeff) Tο MATLAB επιςτρζφει: r=-1-1 το οποίο ςθμαίνει ότι το -1 είναι διπλι ρίηα του πολυωνφμου Πολ/μόσ-Διαίρεςθ πολυωνφμων Ζςτω το γινόμενο των πολυωνφμων: (2x 2 3x1)(5x-2) το MATLAB ειςάγουμε: >> p1=[2 3 1] >> p2=[5-2] >> p3=conv(p1,p2) Tο MATLAB επιςτρζφει: p3= [10 11-1 -2] δθλαδι αποτζλεςμα 10x 3 11x 2 -x-2 Θ αντίςτροφθ διαδικαςία (διαίρεςθ) πραγματοποιείται με τθν εντολι deconv Ζςτω το πολυϊνυμο p3=10x 3 11x 2 2x,το οποίο κα διαιρεκεί με το p1=5x-2 το MATLAB ειςάγουμε >> p4=[10 11 2 0]; >> p1=[5-2]; >> [Q,R]=deconv(p4,p1) Σο Q δίνει το πθλίκο τθσ διαίρεςθσ, ενϊ το R το υπόλοιπο. Σα παραπάνω είναι χριςιμα ςτθν προςομοίωςθ, τον ζλεγχο και τθν επεξεργαςία ςθμάτων. 5

Μιγαδικοί αριθμοί Ζςτω ο μιγαδικόσ αρικμόσ z 1 =34i το MATLAB ειςάγω: >>z1=34i τθν οκόνθ εμφανίηεται: 3.004.00i Ο ςυηυγισ μιγαδικόσ του αναγράφεται ωσ: >>conj(z1) τθν οκόνθ εμφανίηεται: 3.00-4.00i Για τθν πρόςκεςθ, αφαίρεςθ, πολλαπλαςιαςμό και διαίρεςθ των μιγαδικϊν ιςχφει ότι και με τουσ πραγματικοφσ αρικμοφσ. Σο πραγματικό μζροσ του μιγαδικοφ ορίηεται ωσ real(z1), ενϊ το φανταςτικό ωσ imag(z1) Γραφικέσ Παραςτάςεισ 2 διαςτάςεων >> t= [0: pi/20: 2*pi]; %δίνει το εφροσ των τιμϊν, από 0 ζωσ 2π με βιμα π/20 >> figure(1); % Αλνίγεη παξάζπξν ζρήκαηνο γηα ην ζρεδηαζκό ηνπ γξαθήκαηνο >> plot(t,cos(t)) % Σρεδηάδεηαη ε ζπλάξηεζε >> grid >> title( cos(t) ) % δίλεη ηίηιν ζην γξάθεκα >> xlabel( t ) % δίλεη ηίηιν ζηνλ άμνλα ρ >> ylabel( cos(t) ) % δίλεη ηίηιν ζηνλ άμνλα ς Επίλυςη Γραμμικών υςτημάτων με χρήςη του MATLAB Ζςτω το ακόλουκο γραμμικό ςφςτθμα (3 εξιςϊςεων με 3 αγνϊςτουσ): X 1 2X 2 3X 3 =4 2X 1 3X 2 4X 3 =5 4X 1 2X 2 5X 3 =1 Σο ςφςτθμα αυτό με τθ μορφι πινάκων γράφεται: [ ] [ ] [ ] Θ λφςθ τθσ ΑΧ=Β είναι θ Χ=Α -1 Β Κάνοντασ χριςθ του ΜΑΣLAB θ παραπάνω εξίςωςθ λφνεται ωσ εξισ: >> Α=[1 2 3; 2 3 4; 4 2 5] >> Β=[4;5;1] >> Χ=inv(A)*B με τθν προχπόκεςθ ότι θ ορίηουςα του Α, θ οποία ςτο ΜΑΣLAB γράφεται ωσ det(a), είναι διάφορθ του μθδενόσ Β. ΠΡΑΚΣΙΚΟ ΜΕΡΟ 1. Να ςχεδιάςετε τθ γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ ( ) ( ) για x από 0 ζωσ 2π (100 ςθμεία) βάηοντασ ςτουσ άξονεσ και τθ γραφικι παράςταςθ τουσ κατάλλθλουσ τίτλουσ 2. Να λφςετε το ςφςτθμα 6

2X 1 5X 2 -X 3 12Χ 4 =4 X 1-3X 2 5X 3-2Χ 4 =12 -X 1 2X 2 4X 3 Χ 4 =-5 5X 1 X 2 X 3 Χ 4 =4 3. Να βρείτε το μζτρο και τθ φάςθ των μιγαδικϊν αρικμϊν z1=54i, z2= 0i, z3=22i, z1 z1 *, z2z2 *, z2-z2 * 4. Βαςικζσ λειτουργίεσ πινάκων χρθςιμοποιϊντασ το MATLAB α) Ειςάγετε τουσ παρακάτω πίνακεσ: A=[ ] B=[ ] C=[ ] β) Βρείτε τισ ιδιοτιμζσ και τα ιδιοδιανφςματα των Α και Β (χρθςιμοποιϊντασ τθν εντολι eig). Επίςθσ βρείτε τθν τάξθ (rank) των Α και Β. γ) Βρείτε το γινόμενο των Α και Β κακϊσ και το γινόμενο των Β και Α. Επίςθσ βρείτε το AC και BAC. Μπορείτε να βρείτε το CB (Δοκιμάςτε το!)? Γιατί δεν μπορεί να βρεκεί? δ) Βρείτε το Α Β (A είναι ο ανάςτροφοσ του Α). ε) Βρείτε το Β -1 (χρθςιμοποιιςτε τθν εντολι inv) και το X=B -1 C. Επιβεβαιϊςτε ότι ιςχφει θ ςχζςθ BX=C. Μπορείτε να βρείτε το Α -1 (Δοκιμάςτε το!)? Γιατί? (Ανακαλζςτε το αποτζλεςμα από το ερϊτθμα β). ςτ) Πλθκτρολογιςτε Α(1:2,2:3) και Β(1,: ). Σι αποτζλεςμα παίρνετε;; Σι πρζπει να γράψουμε ϊςτε το MATLAB να δϊςει ςαν αποτζλεςμα τα ςτοιχεία τθσ δεφτερθσ ςτιλθσ του Α; 5. Λειτουργία προγραμματιςμοφ με το MATLAB: Γράψτε ζνα πρόγραμμα ςτο MATLAB που να υπολογίηει τθ ςειρά ( ) για n=0,1,,n (ι για n=n,n1,,0) αν N είναι αρνθτικό, που ςε αυτι τθν περίπτωςθ το άκροιςμα να λαμβάνεται από k=n ζωσ k=0) και ςχεδιάςτε τθν x(n) ςυναρτιςει του n. Θεωρείςτε τα Β και C ίδια όπωσ ςτο ερϊτθμα 1. Σο Ν ειςάγεται από το πλθκτρολόγιο με τθν εντολι input εμφανίηοντασ μινυμα Enter N >. Όταν το k είναι αρνθτικόσ αρικμόσ B k ςθμαίνει (Β -1 ) (-k) ; Ο Β 0 είναι ταυτοτικόσ πίνακασ εξ οριςμοφ. Σο πρόγραμμα ςασ πρζπει να παράγει ζνα μινυμα λάκουσ αν το Ν ΔΕΝ είναι ακζραιοσ. Εκτελζςτε το πρόγραμμα αυτό για Ν=10, -10 και 0.5. 7

ΑΚΗΗ 2: Παράςταςη & Περιγραφή υςτημάτων ςτο MATLAB Α. ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Σρόποι περιγραφήσ ςυςτημάτων A. Θ Διαφορικι Εξίςωςθ ΔΕ (Differential Equation -DE) B. Θ υνάρτθςθ Μεταφοράσ Μ (Transfer Function TF.) C. Περιγραφι με μθδενικά, πόλουσ & απολαβι - ΜΠΑ (Zero Pole Gain Model - ZPK) D. Περιγραφι ςτο χϊρο κατάςταςθσ XK) (State Space - SS) E. Απόκριςθ ςυχνότθτασ (Frequency Response - FR) τθ ςυνζχεια κα δοφμε πϊσ υλοποιοφμε κάποιεσ από τισ παραπάνω περιγραφζσ χρθςιμοποιϊντασ το matlab. Περιγραφή ςυςτήματοσ με τη Δ.Ε Ζςτω ότι ζνα ςφςτθμα περιγράφεται από τθ διαφορικι εξίςωςθ: ( ) ( ) ( ) ( ) με αρχικζσ ςυνκικεσ (Α) y(0)=2 και yϋ(0)=1. Επίςθσ ( ) είναι θ εξωτερικι διζγερςθ και οι ςτακερζσ ζχουν τιμζσ m=10, k=5, b=2. Για να βρεκεί θ ελεφκερθ (δθλαδι όταν ( ) ) απόκριςθ ςτο matlab ειςάγω: >>sol=dsolve('10*d2y 2*Dy 5*y = 0', 'y(0)=2', 'Dy(0)=1') ε μεταγενζςτερεσ εκδόςεισ του MATLAB μπορεί επίςθσ να χρθςιμοποιθκεί ο ακόλουκοσ κϊδικασ: >>syms y(t); >>Dy=diff(y); >>D2y=diff(y,2); >>sol=dsolve(10*diff(y,2) 2*diff(y) 5*y == 0, y(0)==2, Dy(0)==1) ι ιςοδφναμα >>syms y(t); >>Dy=diff(y); >>D2y=diff(y,2); >>sol=dsolve(10*d2y 2*Dy 5*y == 0, y(0)==2, Dy(0)==1) ι ιςοδφναμα >>syms y(t); >>Dy=diff(y); >>D2y=diff(y,2); >>m=10; b=2; k=5 >>sol=dsolve(m*d2y b*dy k*y == 0, y(0)==2, Dy(0)==1) 8

Για να κάνω τθ γραφικι παράςταςθ δθμιουργϊ τθ μεταβλθτι του χρόνου και αντικακιςτϊ τθ ςυμβολικι μεταβλθτι t ςτθ λφςθ τθσ εξίςωςθσ >>t=0:0.1:100; Γεκηνπξγία δηαλύζκαηνο κε 1000 ζεκεία >>y=subs(sol) >>figure(1); plot(t,y) Ζνασ άλλοσ τρόποσ για τθν γραφικι απεικόνιςθ του αποτελζςματοσ είναι µζςω τθσ εντολισ: >>ezplot(sol,[0,100]) >>axis tight; %γηα εκθάληζε ηεο πιήξνπο θιίκαθαο ζηνπο άμνλεο Β. ΠΡΑΚΣΙΚΟ ΜΕΡΟ Θα κεωριςουμε το γνωςτό ςφςτθμα μάηασ-ελατθρίου το οποίο ωσ γνωςτόν περιγράφεται από τθ διαφορικι εξίςωςθ ( ) ( ) ( ) ( ), όπου m θ μάηα του ςϊματοσ k θ ςτακερά του ελατθρίου y(t) θ απόςταςθ τθσ μάηασ από το ςθμείο ιςορροπίασ u(t) θ εξωτερικι διζγερςθ (δφναμθ) θ οποία εφαρμόηεται ςτθ μάηα b απϊλειεσ λόγω τριβϊν κλπ. Άςκηςη 1 Με τθ βοικεια τθσ εντολισ subplot να γίνει θ γραφικι παράςταςθ τθσ απομάκρυνςθσ του ςϊματοσ από τθ κζςθ ιςορροπίασ (= ζξοδοσ του ςυςτιματοσ µάηα ελατιριο) ςε ζνα παράκυρο 3Χ1, κεωρϊντασ ότι θ είςοδοσ u(t) είναι μθδζν και οι αρχικζσ ςυνκικεσ: a. y(0)=0, yϋ(0)=0 b. y(0)=0, yϋ(0)=1 c. y(0)=0, yϋ(0)=-1 Δίνεται ότι m = 10, k = 5, b = 2. Για κάκε μία από τισ παραπάνω περιπτϊςεισ να βρεκεί ςε ποια κζςθ ιςορροπεί το ελατιριο, ςε πόςο χρονικό διάςτθμα και ποια θ μζγιςτθ απόςταςι του από τθ κζςθ ιςορροπίασ. Άςκηςη 2 Όμοια ςε ζνα παράκυρο 2Χ1 και με τθ βοικεια τθσ εντολισ subplot να γίνει θ γραφικι παράςταςθ τθσ εξόδου του ςυςτιματοσ με μθδενικι είςοδο και µε αρχικζσ ςυνκικεσ: y(0)=0, yϋ(0)=1 για α. k=5 β. k=15 Παρατθριςεισ; Άςκηςη 3 τθν προθγοφμενθ άςκθςθ να κεωριςετε είςοδο u(t)=sin(t) και να παραςτιςετε γραφικά τθν ζξοδο του ςυςτιματοσ για μθδενικζσ αρχικζσ ςυνκικεσ. ε ποιο ςθμείο ιςορροπεί; Άςκηςη 4 Όμοια για είςοδο u(t)= e -2t sin(t) και να παραςτιςετε γραφικά τθν ζξοδο του ςυςτιματοσ για μθδενικζσ αρχικζσ ςυνκικεσ. ε ποιο ςθμείο ιςορροπεί; 9

ΑΚΗΗ 3 Παράςταςη & Περιγραφή υςτημάτων ςτο MATLAB (υνέχεια) Α. ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Είχαμε δει ςτο προθγοφμενο εργαςτιριο ότι ζνα ςφςτθμα μπορεί γενικά να περιγραφεί με τουσ παρακάτω τρόπουσ: A. Διαφορικι Εξίςωςθ ΔΕ (Differential Equation -DE) B. υνάρτθςθ Μεταφοράσ Μ (Transfer Function TF.) C. Μοντζλο μθδενικϊν, πόλων & απολαβισ - ΜΠΑ (Zero Pole Gain Model - ZPK) D. Περιγραφι ςτο χϊρο κατάςταςθσ XK) (State Space - SS) E. Απόκριςθ ςυχνότθτασ (Frequency Response - FR) τθ ςυνζχεια κα δοφμε πϊσ υλοποιείται ςτο MATLAB θ περιγραφι ςυςτθμάτων με τθ ςυνάρτθςθ μεταφοράσ και με το μοντζλο μθδενικϊν, πόλων & απολαβισ. Περιγραφή ςυςτήματοσ με τη ςυνάρτηςη μεταφοράσ Παράδειγμα Ζςτω γραμμικό και χρονικά αμετάβλθτο (Linear & time Invariant - LTI) ςφςτθμα το οποίο περιγράφεται από τθ ΔΕ:. Να γίνει ειςαγωγι του ςυςτιματοσ ςτο MATLAB με τθ ςυνάρτθςθ μεταφοράσ (Μ) Τπόδειξη εργαςίασ Θ ςυνάρτθςθ μεταφοράσ προςδιορίηεται από τθ Δ.Ε που περιγράφει το ςφςτθμα κεωρϊντασ μθδενικζσ αρχικζσ ςυνκικεσ. Παίρνοντασ το μεταςχθματιςμό Laplace και των δφο μελϊν τθσ Δ.Ε. βρίςκω: ( ) ( ) ( ) τθ ςυνζχεια ειςάγω το ςφςτθμα ςτο MATLAB 1 οσ τρόποσ: Με τθ χριςθ τθσ εντολισ tf >>num = [4 2] >>den = [1 3 2] >>G= tf(num,den) 2 οσ τρόποσ: >>s=tf( s ) >>G=(4*s2)/(s^23*s2) 10

Περιγραφή ςυςτήματοσ με το μοντέλο μηδενικών, πόλων & απολαβήσ: η εντολή zpk Θ ςυγκεκριμζνθ περιγραφι είναι χριςιμθ όταν ζχουμε τον αρικμθτι και τον παρονομαςτι ςε μορφι παραγόντων. Παράδειγμα Ζςτω γραμμικό και χρονικά αμετάβλθτο ςφςτθμα με ςυνάρτθςθ μεταφοράσ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Ρίηεσ αρικμθτι: zeros (μθδενικά) -0.5 Ρίηεσ παρονομαςτι: poles (πόλοι) -1, -5 4: gain (απολαβι) τθ ςυνζχεια ειςάγω το ςφςτθμα ςτο MATLAB με τθ χριςθ τθσ εντολισ zpk >>G = zpk(-0.5, [-1-2], 4) Μετατροπή από τη μία μορφή ςτην άλλη Χριςθ των εντολϊν zp2tf & tf2zp (Να μελετιςετε τθ χριςθ των εντολϊν από τθν ενςωματωμζνθ βοικεια ςτο MATLAB) Απόκριςη ςυςτημάτων Θ βθματικι απόκριςθ λαμβάνεται με τθν εντολι step. Θ εντολι stepinfo δίνει πλθροφορίεσ για χαρακτθριςτικά χρονικά μεγζκθ τθσ βθματικισ απόκριςθσ. Θ κρουςτικι απόκριςθ λαμβάνεται με τθν εντολι impulse (Να μελετιςετε τθ χριςθ των εντολϊν από τθν ενςωματωμζνθ βοικεια ςτο MATLAB) Παραγωγή ςημάτων Εξαςκθκείτε με τθ χριςθ τθσ εντολισ gensig. Για παράδειγμα εντολζσ >> [x,t]=gensig('square', 10,12,0.1); x=2*x; >> plot(t,x, 'Linewidth', 3) >> axis([0 12-1 3]);grid on Παράγουν τον ακόλουκο τετραγωνικό παλμό 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0-0.5-1 0 2 4 6 8 10 12 Ο ίδιοσ τετραγωνικόσ παλμόσ κα μποροφςε να δθμιουργθκεί με τισ ακόλουκεσ εντολζσ >>t=[0:0.1:12]; 11

>>x=[zeros(1,51),2*ones(1,50),zeros(1,20)]; >>plot(t,x,'linewidth',2) >>axis([0 12-1 3]);grid on Με τουσ παραπάνω τρόπουσ μποροφμε να ορίςουμε οποιοδιποτε ςχιμα παλμοφ. Β. ΠΡΑΚΣΙΚΟ ΜΕΡΟ Άςκηςη 1: Θ ςυνάρτθςθ μεταφοράσ ενόσ ςυςτιματοσ είναι θ ακόλουκθ: ( )( ) όπου: J = 0.01, b = 0.1, k = 0.01, R = 1, L = 0.5 ςε μονάδεσ SI a) Να καταςκευάςετε m file που να δθλϊνει το ςφςτθμα (χρθςιμοποιείςτε τθν εντολι TF) b) Να βρείτε τθν απολαβι τουσ πόλουσ & τα μθδενικά του ςυςτιματοσ ( χρθςιμοποιείςτε τθν εντολι tf2zp) c) Να βρείτε τθν βθματικι απόκριςθ του ςυςτιματοσ Άςκηςη 2: Δίνονται τα παρακάτω ςυςτιματα ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a) Να βρεκοφν οι ςυναρτιςεισ μεταφοράσ & να ειςαχκοφν ςτο matlab b) Να βρεκεί θ κρουςτικι & βθματικι απόκριςθ c) Να βρεκεί το μζγιςτο πλάτοσ ταλάντωςθσ & ο χρόνοσ αποκατάςταςθσ Άςκηςη 3: Δίνεται θ ακόλουκθ ςυνάρτθςθ μεταφοράσ: ( )( ) ( )( ) i. Να ειςαχκεί το ςφςτθμα ςτο Matlab. ii. Να γίνει θ γραφικι παράςταςθσ κρουςτικισ και βθματικισ απόκριςθσ. Ποια είναι θ μζγιςτθ και ποια θ ελάχιςτθ τιμι τουσ; iii. Χρθςιμοποιϊντασ τθν εντολι lsim να γίνει θ γραφικι παράςταςθ τθσ παραπάνω ςυνάρτθςθσ μεταφοράσ για είςοδο τον ακόλουκο τετραγωνικό παλμό. 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0-0.5-1 0 2 4 6 8 10 12 12

ΛΤΕΙ ( ) ( ) A. Matlab: J = 0.01; b = 0.1; k = 0.01; R = 1; L = 0.5 num = k den = [L*J J*R b*l br k^2] G = tf(num,den) [zer, pol, apol] = tf2zp(num,den) step(g) B. ( ) Matlab: G = tf(6, [3 2 6]) Matlab: G = tf([ 2-3 ], [ 6 0-8 4 ]) 13

ΑΚΗΗ 4 Διαςύνδεςη ςυςτημάτων & μεταςχηματιςμοί δομικών διαγραμμάτων Α. ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Διαςύνδεςη ςυςτημάτων & μεταςχηματιςμοί δομικών διαγραμμάτων X(s) 1) ε ςειρά Y(s) X(s) G1 G2 G Y(s) G=G1*G2 το Matlab ειςάγουμε: >> G = G1*G2 ή G = series(g1,g2) 2) Παράλληλα G1 X(s) Y(s) X(s) Y(s) G G2 ± G=G1±G2 το Matlab ειςάγουμε: >>G=G1±G2 ή G=parallel(G1,±G2) 3) Αρνητική ανατροφοδότηςη X(s) - G1 Y(s) X(s) G Y(s) G2 το Matlab ειςάγουμε: >>G=feedback(G1,G2) 14

4) Θετική ανατροφοδότηςη X(s) G1 Y(s) X(s) G Y(s) G2 το Matlab ειςάγουμε: >>G = feedback(g1, G2, 1) Β. ΠΡΑΚΣΙΚΟ ΜΕΡΟ τισ παρακάτω αςκιςεισ να κεωριςετε ότι: ( )( ),,,, Άςκηςη 1 Να βρείτε το απλοποιθμζνο ιςοδφναμο ςφςτθμα ςτισ ακόλουκεσ περιπτϊςεισ A) u G1 G2 G3 y G3 B) u G1 G2 G3 y G3 Άςκηςη 2 Να απλοποιιςετε το δομικό διάγραμμα του επόμενου ςχιματοσ, να βρείτε τθν βθματικι και τθν κρουςτικι απόκριςθ του απλοποιθμζνου ςυςτιματοσ και να τισ ςχεδιάςετε ςε ζνα ςχιμα 2Χ1, αν 15

GB u - G1 G2 G4 G5 y G3 G6 G7 GA Άςκηςη 3 Δίνεται το ςφςτθμα ( )( ) a) Να ςχεδιαςτεί θ βθματικι απόκριςθ του ανοικτοφ ςυςτιματοσ b) τθ ςυνζχεια το ςφςτθμα χρθςιμοποιείται με μοναδιαία ανάδραςθ. Να βρεκεί θ ςυνάρτθςθ μεταφοράσ του κλειςτοφ ςυςτιματοσ και να ςχεδιαςτεί θ βθματικι του απόκριςθ ςτο ίδιο διάγραμμα με τθν απόκριςθ του ανoικτοφ ςυςτιματοσ. 16

ΑΚΗΗ 5 Μεταςχηματιςμόσ Laplace & αντίςτροφοσ με τη χρήςη MATLAB. Απόκριςη υςτημάτων Α. ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Μεταςχηματιςμόσ Laplace & αντίςτροφοσ Laplace με τη χρήςη symbolic math toolbox του Matlab Ο μεταςχθματιςμόσ Laplace με τθ χριςθ ςυμβολικϊν μακθματικϊν υπολογίηεται όπωσ ςτο παράδειγμα που ακολουκεί. >>syms t >>ft = exp(-3*t) >>fs = laplace(ft) Ο αντίςτροφοσ μεταςχθματιςμόσ Laplace με τθ χριςθ ςυμβολικϊν μακθματικϊν υπολογίηεται όπωσ ςτο παράδειγμα που ακολουκεί. >>syms s >>fs =1/(s*(s4)) >>ft = ilaplace (fs) Τπολογιςμόσ αντίςτροφου Laplace χωρίσ τη χρήςη symbolic math toolbox του Matlab Ο υπολογιςμόσ του αντίςτροφου Laplace αν δεν διακζτουμε το symbolic math toolbox του Matlab γίνεται με ανάλυςθ ςε μερικά κλάςματα με τθ χριςθ τθσ εντολισ residue και ςτθ ςυνζχεια με τθ χριςθ των πινάκων που δίνουν το μεταςχθματιςμό Laplace και τον αντίςτροφο για ρθτζσ ςυναρτιςεισ. >>[r p k]=residue(num,den), % όπνπ (r = ζπληειεζηέο αξηζκεηή, p = πόινη, k = απνιαβή) τθ ςυνζχεια χρθςιμοποιϊντασ τουσ πίνακεσ r, p που υπολόγιςε το matlab αναλφουμε ςε μερικά κλάςματα και ακολοφκωσ λαμβάνουμε τον αντίςτροφο Laplace από πίνακεσ (όπωσ ςτθ κεωρία). Απόκριςη ςυςτημάτων και υπολογιςμόσ χαρακτηριςτικών μεγεθών τα πρακτικά (ευςτακι) ςυςτιματα ελζγχου θ μεταβατικι απόκριςθ εμφανίηει ταλαντϊςεισ (αποςβενόμενεσ), προτοφ φκάςει ςτθ μόνιμθ κατάςταςθ. τθ ςυνζχεια κα ορίςουμε κάποια από τα βαςικά χαρακτθριςτικά μεγζκθ τθσ χρονικισ απόκριςθσ ευςτακϊν ςυςτθμάτων. 17

Χρόνοσ κακυςτζρθςθσ t d (delay time): Ο χρόνοσ που χρειάηεται για να φκάςει θ απόκριςθ, για πρϊτθ φορά, το 50% τθσ τελικισ τθσ τιμισ. Χρόνοσ ανφψωςθσ t r (rise time): Ο χρόνοσ που χρειάηεται για να ανζλκει θ απόκριςθ από το 10% ςτο 90% τθσ τελικισ τθσ τιμισ. Χρόνοσ κορυφισ t p (peak time): Ο χρόνοσ που χρειάηεται για να φκάςει θ απόκριςθ ςτθν πρϊτθ κορυφι τθσ καμπφλθσ. Χρόνοσ αποκατάςταςθσ t s (settling time): Ο χρόνοσ που χρειάηεται για να φκάςει και να παραμείνει θ καμπφλθ απόκριςθσ ανάμεςα ςτο ±2% ι ±5% τθσ τελικισ τιμισ. Μζγιςτθ υπερφψωςθ M p (maximum percent overshoot): Θ διαφορά τθσ μζγιςτθσ τιμισ c m και τθσ cm cf τελικισ τιμισ ζςτω c f τθσ c(t). Σο ποςοςτό % τθσ υπερφψωςθσ ορίηεται ωσ M p 100% : c Μζγιςτθ τιμι τθσ απόκριςθσ cm: Θ τιμι τθσ απόκριςθσ ςτθν πρϊτθ κορυφι τθσ καμπφλθσ. f Β. ΠΡΑΚΣΙΚΟ ΜΕΡΟ Άςκηςη 1 Ζςτω το αναλογικό ςιμα που περιγράφεται από τθν εξίςωςθ: f(t)=sin 2 t2e 3t. Nα βρεκεί το ςιμα F(s) Άςκηςη 2 Ζςτω ςφςτθμα με ςυνάρτθςθ μεταφοράσ (Μ): ( ) ( )( ) Να βρείτε τθ χρονικι απόκριςθ του ςυςτιματοσ (αντίςτροφο Laplace) Άςκηςη 3 Θεωρείςτε το ςφςτθμα τθσ προθγοφμενθσ άςκθςθσ a) Να ειςάγετε ςτο Matlab τθ.μ 18

b) Χρθςιμοποιιςτε τθν εντολι residue για να βρείτε τθν ανάπτυξθ ςε μερικά κλάςματα, αφοφ πρϊτα βρείτε τα πολυϊνυμα του αρικμθτι και του παρανομαςτι. c) Χρθςιμοποιϊντασ τθν ζξοδο του matlab, γράψτε τθ G(s) ςε μορφι ακροίςματοσ απλϊν κλαςμάτων. d) Χρθςιμοποιϊντασ τουσ πίνακεσ ιδιοτιτων, να βρείτε τον αντίςτροφο Laplace. Άςκηςη 4 Δίνεται θ ςυνάρτθςθ μεταφοράσ: ( )( ) ( ) ( )( ) a) Να ειςάγετε τθν ςυνάρτθςθ μεταφοράσ ςτο Matlab b) Να γίνει θ γραφικι παράςταςθ τθσ κρουςτικισ & τθσ βθματικισ απόκριςθσ Άςκηςη 5 Δίνεται θ ΔΕ, με k=10, b=4, θ οποία περιγράφει τθν ταλάντωςθ ςτο πεδίο του χρόνου, μάηασ m κρεμαςμζνθσ ςε ελατιριο ςτακεράσ k, με απϊλειεσ b και εξαναγκαςμό f. a) Να γίνει (ςτο ίδιο παράκυρο) θ γραφικι παράςταςθ τθσ κρουςτικισ απόκριςθσ για m=20 & m=100 & να ςυγκρίνετε τα 2 ςυςτιματα ωσ προσ το πλάτοσ ταλαντϊςεων και το χρόνο αποκατάςταςθσ) b) Παρομοίωσ με το α) για βθματικι διζγερςθ να προςδιορίςετε για τισ 2 περιπτϊςεισ (m=20 & m=100 )τα μεγζκθ t d, t r, t p, t s, M p, Άςκηςη 6: Σο ςφςτθμα χρθςιμοποιείται με μοναδιαία ανάδραςθ a) Να βρεκεί θ βθματικι απόκριςθ του ανοικτοφ ςυςτιματοσ b) Να βρεκεί θ ςυνάρτθςθ μεταφοράσ του κλειςτοφ ςυςτιματοσ c) Να βρεκεί θ βθματικι απόκριςθ του κλειςτοφ ςυςτιματοσ. Να χρθςιμοποιιςετε τθν ςυνάρτθςθ stepinfo για να εξάγετε πλθροφορίεσ για το χρόνο ανόδου & τα άλλα χαρακτθριςτικά τθσ βθματικισ απόκριςθσ 19

ΑΚΗΗ 6 Ευςτάθεια υςτήματοσ Α. ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Ζςτω θ ςυνάρτθςθ μεταφοράσ του ςυςτιματοσ G(s)=P(s)/Q(s) Πόλοι: ρίηεσ παρανομαςτι Q(s) τθσ ςυνάρτθςθσ μεταφοράσ matlab: pole(g) Μθδενικά: ρίηεσ αρικμθτι τ P(s), θσ ςυνάρτθςθσ μεταφοράσ matlab: zero(g) Με τθν εντολι pzmap(g) ςχεδιάηουμε ςτο matlab το διάγραμμα πόλων μθδενικϊν, με (x) ςυμβολίηονται οι πόλοι, με το (ν) τα μθδενικά Κριτιρια ευςτάκειασ: 1. Ζνα ςφςτθμα είναι ευςτακζσ αν όλοι οι πόλοι τθσ ςυνάρτθςθσ μεταφοράσ ζχουν πραγματικό μζροσ αρνθτικό (δθλαδι βρίςκονται ςτο αριςτερό μιγαδικό επίπεδο) 2. Ζνα ςφςτθμα είναι ευςτακζσ όταν θ κρουςτικι απόκριςθ τείνει ςτο μθδζν όταν ο χρόνοσ τείνει ςτο άπειρο Ζνα ςφςτθμα χρθςιμοποιεί ανάδραςθ (κλειςτό) εάν θ ζξοδος ι μζροσ τθσ εξόδου επιςτρζφει μζςω του κλάδου ανατροφοδότθςθσ (ανάδραςθσ) ςτον ακροιςτι, ζτςι που να μπορεί να ςυγκρικεί με τθν είσοδο. Θ χριςθ τθσ ανάδραςθσ ςυνικωσ επιφζρει ευςτάκεια και ακρίβεια ςτο ςφςτθμα. Ζςτω το παρακάτω κλειςτό ςφςτθμα μοναδιαίασ ανάδραςθσ: Σο γράφθμα που δείχνει πϊσ μεταβάλλονται οι πόλοι του κλειςτοφ ςυςτιματοσ ςτο μιγαδικό επίπεδο ςυναρτιςει του Κ ονομάηεται γεωμετρικόσ τόποσ ριηϊν (γ.τ.ρ.) του ςυςτιματοσ. Θ εφρεςθ του γεωμετρικοφ τόπου των ριηϊν ςυςτιματοσ δίνεται με τθ βοικεια του MATLAB με τθν εντολι rlocus. Παράδειγμα 1 Να κάνετε το γράφθμα (χάρτθ) των πόλων και των μθδενικϊν τουσ ςυςτιματοσ που περιγράφεται από τθν παρακάτω διαφορικι εξίςωςθ: yϋϋϋ(t)-3yϋ(t)-2y(t)=uϋ(t)-u(t) 20

Εφαρμόηοντασ μεταςχθματιςμό Laplace και προκφπτει: Τ(s)[s 3-3s-2]=U(s)[s-1], ζτςι θ ςυνάρτθςθ μεταφοράσ ρου ςυςτιματοσ είναι G(s)=(s-1)/(s 3-3s-2) το MATLAB ειςάγουμε >>sys=tf([1-1],[1 0-3 -2]) % εηζάγνπκε ηελ transfer function >>zero(sys) >>pole(sys) >>pzmap(sys) % δεκηνπξγεί ηε γξαθηθή παξάζηαζε πόισλ θαη ξηδώλ >>sgrid Παράδειγμα 2 Βρείτε το γεωμετρικό τόπο των ριηϊν του ςυςτιματοσ με ςυνάρτθςθ μεταφοράσ G(s)=(2s-1)/(2s 2 4s8) το MATLAB ειςάγουμε >>sys=tf([2 1],[2 4 8]) >>rlocus(sys) % εηζάγνπκε ηελ transfer function Β. ΠΡΑΚΣΙΚΟ ΜΕΡΟ Άςκηςη 1: Δίνονται οι ςυναρτιςεισ μεταφοράσ ( ) ( ) ( )( ) Να ςχεδιάςετε τα διαγράμματα πόλων - μθδενικϊν για τουσ ςυνδιαςμοφσ: G1 G2 G1, G2 ςε ςειρά G1, G2 παράλλθλα G1, G2 ςε αρνθτικι ανάδραςθ χολιάςτε ςε ςχζςθ με τθν ευςτάκεια Άςκηςη 2: το παρακάτω ςφςτθμα δίνεται: ( ) 21

X C B Y A A E 1. Να βρεκεί θ ςυνολικι ςυνάρτθςθ μεταφοράσ 2. χεδιάςτε τθ βθματικι & κρουςτικι και το διάγραμμα πόλων μθδενικϊν για το ςυνολικό ςφςτθμα 3. Είναι το ςυνολικό ςφςτθμα ευςτακζσ; (Σεκμθρίωςθ απαραίτθτθ) Άςκηςη 3: Δίνεται το ςφςτθμα X(t) - 1 Y(t) 2 όπου τα ςυςτιματα 1, 2 περιγράφονται από τισ Δ.Ε. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) A. Είναι το 1 ευςτακζσ; B. Είναι το ολ ευςτακζσ για k = 2, 3, 5; C. Να φτιάξετε με subplot τα διαγράμματα πόλων μθδενικϊν & κρουςτικισ απόκριςθσ για k = 2, 3, 5 22

ΑΚΗΗ 7 Ευςτάθεια (υνέχεια) Α. ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Δείτε ςτθν προθγοφμενθ άςκθςθ και επιπλζον τα παρακάτω Β. ΠΡΑΚΣΙΚΟ ΜΕΡΟ Άςκηςη 1: Δίνεται το ςφςτθμα: X(t) - G1 G2 Y(t) G3 1. Να βρεκεί θ ςυνολικι ςυνάρτθςθ μεταφοράσ 2. Να ςχολιάςετε τθν ευςτάκεια του ςυνολικοφ ςυςτιματοσ 3. χεδιάςτε τθ βθματικι & κρουςτικι απόκρθςθ και το διάγραμμα πόλων μθδενικϊν για το ςυνολικό ςφςτθμα Άςκηςη 2: Να βρεκοφν οι γ.τ.ρ τω παρακάτω ςυςτθμάτων: α) G(s)=[s4]/[s 2 3s2] β) G(s)=[s 2 3s4]/[s 3 2s 2 s2] 23

ΑΚΗΗ 8 Χρήςη Simulink για την μελέτη των ςυςτημάτων αυτόματου έλεγχου (Α μέροσ) 24

ΑΚΗΗ 9 Χρήςη Simulink για την μελέτη ςυςτημάτων αυτόματου έλεγχου (Β μέροσ) Α. ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Σο simulink είναι μια επζκταςθ του Matlab µε το οποίο κακίςταται δυνατι θ γραφικι προςομοίωςθ ποικίλων ςυςτθμάτων. Σο γραφικό περιβάλλον επιτρζπει τθν δθμιουργία ςυςτθμάτων με τθ μορφι μπλοκ διαγραμμάτων (block diagrams). To simulink ενεργοποιείται πλθκτρολογϊντασ simulink ςτο command window του matlab ι κάνοντασ αριςτερό click ςτθν ςυντόμευςθ του ςτθν γραμμι menu πάνω αριςτερά. Για γνωριμία με τισ εργαλειοκικεσ του simulink ανατρζξτε ςτισ ςθμειϊςεισ ςασ από τθν παρουςίαςθ του διδάςκοντα. Β. ΠΡΑΚΣΙΚΟ ΜΕΡΟ Άςκηςη 1: Πραγματοποιιςτε το ακόλουκο ςφςτθμα και παρατθρείςτε τθν ζξοδο για ςυχνότθτεσ 1, 10, 100Hz και πλάτθ 1, 5, 10. Άςκηςη 2: Να υλοποιιςετε τα παρακάτω ςυςτιματα και να παρατθριςετε τθν ζξοδο Α. Β. 25

Γ. Προςομοίωςθ κρουςτικισ ςυνάρτθςθσ (δζλτα) με παραμζτρουσ των βθματικϊν ςυναρτιςεων όπωσ ςτον πίνακα Block Step Time Initial Value Final Value Step1 0 0 1 Step 2 0.05 0 1 Πίνακασ 1: Παράμετροι για τθ δθμιουργία μιασ κρουςτικισ ςυνάρτθςθσ Άςκηςη 3: Χρθςιμοποιϊντασ Simulink να μελετιςετε τθν ευςτάκεια του παρακάτω ςυςτιματοσ X(s) - G1 G2 Y(s) G3 Όπου Άςκηςη 4: το διπλανό ςφςτθμα θ ροι (y) του νεροφ από τθν οπι ςε ςχζςθ με τθν τροφοδοςία τθσ δεξαμενισ (x) δίνεται από τθ δ.ε. x όπου x είςοδοσ, y ζξοδοσ (ςε m 3 /h) και τ=10 ςε κατάλλθλεσ μονάδεσ. y Να ειςάγετε το ςφςτθμα ςτο Simulink και να 26

παρατθριςετε πϊσ μεταβάλλεται θ ροι του νεροφ (y, ζξοδοσ) όταν θ αρχικά κενι δεξαμενι (δθλ μθδενικζσ αρχικζσ ςυνκικεσ) γεμίηεται με ςτακερό ρυκμό 2 m 3 /h. 27

ΑΚΗΗ 10 Εφαρμογή: Έλεγχοσ υςτήματοσ Εξαεριςμού Α. ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Θα μελετιςουμε το απλοποιθμζνο ςφςτθμα εξαεριςμοφ ενόσ χϊρου. Θ παροχι αζρα ςτο χϊρο γίνεται από θλεκτρικό ανεμιςτιρα και εξαρτάται από τθν ταχφτθτα περιςτροφισ του κακϊσ και από άλλεσ παραμζτρουσ (ανοιχτά παράκυρα, ςτροβιλιςμόσ αζρα κλπ). Θ ταχφτθτα περιςτροφισ του ανεμιςτιρα είναι γραμμικι ςυνάρτθςθ τθσ εφαρμοηόμενθσ τάςθσ ςε αυτόν. Μζγιςτθ επιτρεπτι τιμι τθσ τάςθσ ςτον ανεμιςτιρα είναι 100 volt. Αν αγνοιςουμε ςε πρϊτθ φάςθ τισ υπόλοιπεσ παραμζτρουσ που επθρεάηουν τθν παρεχόμενθ ροι του αζρα, τότε θ παροχι αζρα ςτο χϊρο ςε m 3 /hour ςε ςυνάρτθςθ με τθν εφαρμοηόμενθ τάςθ v(t) ςτον ανεμιςτιρα δίνεται από τθν ακόλουκθ διαφορικι εξίςωςθ: ( ) ( ) ( ) Θα μελετιςουμε το ςφςτθμα ςε διάφορεσ μορφζσ του χρθςιμοποιϊντασ το Simulink. ΙΙ. ΠΡΑΚΣΙΚΟ ΜΕΡΟ Άςκηςη 1: Ρύθμιςη ροήσ αέρα με εφαρμογή κατάλληλησ τάςησ ςτο ςύςτημα (ανοικτό ςύςτημα) 1. Να βρείτε τθ ςυνάρτθςθ μεταφοράσ του (ανοικτοφ) ςυςτιματοσ εξαεριςμοφ. 2. τθ ςυνζχεια προςομοιϊςτε το ςφςτθμα φτιάχνοντασ κατάλλθλο μοντζλο ςτο Simulink. Είςοδοσ του ςυςτιματοσ κα είναι τάςθ ςε Volt και ζξοδοσ θ ροι αζρα ςτο χϊρο ςε (m 3 /hour). Ηωγραφίςτε τθν ζξοδο για τάςθ ειςόδου 100 Volt. χολιάςτε το αποτζλεςμα. Είςοδοσ Σάςθ V (Volt) G Ζξοδοσ: Παροχι αζρα P (m 3 /hour) Ανεμιςτιρασ 28

Άςκηςη 2: Ρύθμιςη ροήσ αέρα με ςύςτημα κλειςτού βρόχου Σο ςφςτθμα κα χρθςιμοποιθκεί ςε κλειςτό βρόχο με τθ χριςθ ελεγκτι όπωσ ςτο ακόλουκο ςχιμα. Ο ελεγκτισ είναι ζνασ μακθματικόσ αλγόρικμοσ ο οποίοσ διαβάηει το ςιμα διαφοράσ e(t) μεταξφ εξόδου και επικυμθτισ τιμισ (ειςόδου) και κακορίηει τθν τάςθ v(t) ςτο ςφςτθμα ϊςτε θ ζξοδοσ y(t) να είναι όςο το δυνατόν πιο κοντά ςτθν επικυμθτι τιμι. Είςοδοσ d(t): Επικυμθτι ροι αζρα (m 3 /h - e(t) Ελεγκτισ (Controller) v(t) φςτθμα εξαεριςμοφ Ζξοδοσ y(t): Πραγματικι ροι αζρα (m 3 /h) Για τθ ςυνζχεια κα κεωριςω ότι μια ηεςτι θμζρα θ επικυμθτι ροι αζρα p(t) είναι 3000. Αρχικά κα χρθςιμοποιιςουμε αναλογικό ελεγκτι, υλοποιϊντασ ςτο simulink το παρακάτω ςφςτθμα: Step 0.1 Gain k p 50 2s1 Transfer Fcn Scope θμείωςθ: Αντί για το δομικό ςτοιχείο Gain κα μποροφςε να χρθςιμοποιθκεί και δομικό ςτοιχείο PID με αναλογικό όρο 0.1 και ολοκλθρωτικό και διαφορικό όρο 0. Α) Πόςο είναι το μόνιμο ςφάλμα; Β) Αλλάξτε τθν τιμι τθσ απολαβισ του αναλογικοφ ελεγκτι ςε k P =0.2 και k P =0.5. Ποια θ επίδραςθ ςτο ςφάλμα μόνιμθ κατάςταςθσ και τθν ταχφτθτα απόκριςθσ του ςυςτιματοσ; Γ) Ενκυμοφμενοι ότι θ μζγιςτθ επιτρεπτι τιμι τάςθσ v(t) ςτο ςφςτθμα είναι 100, να εξθγιςετε για δεν μπορϊ να βάλω πολφ μεγάλο gain ςτον αναλογικό ελεγκτι, π.χ. k P =100. Δ) Ποια είναι θ μζγιςτθ τιμι του k P θ οποία κρατάει τθν τάςθ ςε επιτρεπτά επίπεδα; (Τπολογίςτε τθν χρθςιμοποιϊντασ ζνα επιπλζον Scope (παλμογράφο) μετά τον ελεγκτι). Άςκηςη 3 αν δεφτερο βιμα, κα χρθςιμοποιιςουμε ολοκλθρωτικό ελεγκτι. Πραγματοποιιςτε το ακόλουκο κφκλωμα. Θεωριςτε ςαν επικυμθτι τιμι εξόδου τα 3000 m 3 /h. 29

Step 0.005 Gain 1 s Integrator 50 2s1 Transfer Fcn Scope k I Scope1 θμείωςθ: Θα μποροφςε να χρθςιμοποιθκεί και δομικό ςτοιχείο PID με ολοκλθρωτικό όρο 0.005 και αναλογικό και διαφορικό όρο 0. A) Παρατθρείςτε τθν ζξοδο ρυκμίηοντασ το simulation time κατάλλθλα και ςχολιάςτε. B) Ερευνιςτε διάφορεσ τιμζσ για το k I παρατθρϊντασ ότι το ςφάλμα μόνιμθσ κατάςταςθσ μθδενίηεται. Σι ςυμβαίνει ςτθν ζξοδο για αρκετά μεγάλεσ τιμζσ του k I ; Γ) Ποια είναι θ μζγιςτθ επιτρεπτι τιμι του ki ϊςτε θ τάςθ να διατθρείται ςε επικυμθτά επίπεδα;; Άςκηςη 4 το τρίτο βιμα κα μελετιςουμε τθν επίδραςθ του ελεγκτι PI. Πραγματοποιιςτε το ακόλουκο ςφςτθμα. Step (Input) 0.015 Ks k I 1 s Integrator 50 2s1 Transfer Fcn Scope (Output) 0.025 Kp Scope1 θμείωςθ: Μπορείτε να χρθςιμοποιιςετε δομικό ςτοιχείο PID με κατάλλθλο αναλογικό και ολοκλθρωτικό όρο. Α) Σαυτοποιιςτε το αναλογικό και ολοκλθρωτικό τμιμα του ελεγκτι. Β) υγκρίνετε τθν απόκριςθ με τισ προθγοφμενεσ περιπτϊςεισ ωσ προσ τθν ταχφτθτα απόκριςθσ, το ςφάλμα μόνιμθσ κατάςταςθσ και το overshoot (υπερφψωςθ) κακϊσ και τισ ταλαντϊςεισ. Βεβαιωκείτε ότι θ τάςθ είναι ςτθν επιτρεπτι περιοχι. Γ) Δοκιμάςτε διαφορετικι τιμι για τα k, k και ςχολιάςτε τι παρατθρείτε. p I 30

31

ΑΚΗΗ 11 Εφαρμογή: Έλεγχοσ υςτήματοσ Εξαεριςμού Α. ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Θεωρείςτε το ςφςτθμα εξαεριςμοφ που μελετιςαμε ςτο προθγοφμενο εργαςτιριο, με υνάρτθςθ Μεταφοράσ (transfer function) 100 Volt και επικυμθτι ροι αζρα 3000 m 3 /h, μζγιςτθ επιτρεπόμενθ τάςθ λειτουργίασ ΙΙ. ΠΡΑΚΣΙΚΟ ΜΕΡΟ Άςκηςη 1 Τλοποιείςτε το ακόλουκο ςφςτθμα το οποίο προςομοιϊνει τθν φπαρξθ τυχαίου κορφβου ςτο ςφςτθμα. Ρυκμίςτε το Variance ςτο block Random Number ςε 10000 και το χρόνο προςομοίωςθσ ςε 30sec. Παρατθρείςτε τθν ζξοδο ςτα δφο scopes. Άςκηςη 2 Τλοποιείςτε το ακόλουκο ςφςτθμα το οποίο μια μόνιμθ διαταραχι ςτο ςφςτθμα (πχ ςπάςιμο ενόσ τηαμιοφ, άνοιγμα ενόσ παρακφρου, βοφλωμα ενόσ ςωλινα εξαεριςμοφ κλπ). 32

Ρυκμίςτε τθν διαταραχι να ξεκινάει ςτα 20 sec και να ζχει τιμι -500 m 3 /h. Παρατθρείςτε τθν ζξοδο ςτα δφο scopes. Σι παρατθρείτε; Άςκηςη 3 Τλοποιείςτε το παρακάτω ςφςτθμα ανοιχτοφ βρόχου το οποίο ζχει ρυκμιςτεί να ζχει παρόμοια απόδοςθ με το PI ςφςτθμα τθσ προθγοφμενθσ άςκθςθσ αν δεν υπιρχε θ διαταραχι. Παρατθρείςτε τθ ςυμπεριφορά του ςυςτιματοσ ανοιχτοφ βρόχου ςτθν φπαρξθ τθσ διαταραχισ και εξθγείςτε ποφ πλεονεκτεί το ςφςτθμα κλειςτοφ βρόχου. 33