ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ εργαστήριο Αλέξανδρος Α. Λαζαρίδης Διδάκτωρ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός LOGO και Μηχανικός Υπολογιστών Βασισμένες στις Σημειώσεις Εργαστηρίου Ψηφιακής Επεξεργασίας Σήματος (Δρ. Ηλίας Κίτσας Σέρρες 2010)
1 η Ενότητα Εισαγωγή στο Matlab 2
Εισαγωγή στο Matlab Το ΜΑΤΙΑΒ είναι μια interpreted γλώσσα προγραμματισμού. ο πηγαίος κώδικας δε μεταφράζεται αλλά διερμηνεύεται κατά την εκτέλεση. μπορείτε να δώσετε εντολές στο command prompt του ΜΑΤLΑΒ. μπορείτε να δημιουργήσετε script αρχεία (τα Μ-files), τα οποία δεν είναι άλλο από διαδοχή εντολών που επιθυμούμε να εκτελεστούν. 3
Εισαγωγή στο Matlab Βασικό στοιχείο του ΜΑΤLΑΒ είναι ο πίνακας. Γι αυτό είναι εξαιρετικά χρήσιμο εργαλείο για την ψηφιακή επεξεργασία σήματος. Ένα μονοδιάστατο σήμα μπορεί να θεωρηθεί ως ένα διάνυσμα. Οι βαθμωτές μεταβλητές είναι ουσιαστικά πίνακες 1x1. 4
Εισαγωγή στο Matlab Οι δείκτες αρχίζουν από το 1 (και όχι από το 0). Βάζοντας ελληνικό ερωτηματικό (;) μετά από μια εντολή, αποφεύγουμε την εμφάνιση του αποτελέσματος στην οθόνη. Μπορούμε να κινηθούμε μπρος-πίσω στο ιστορικό των εντολών που έχουμε δώσει με το πάνω και κάτω βέλος. Με Ctrl+C διακόπτουμε την εκτέλεση εντολής ή την εμφάνιση αποτελεσμάτων στην οθόνη. Υπάρχει διάκριση κεφαλαίων και πεζών (άρα η μεταβλητή Υ είναι διαφορετική από την y). Τα ονόματα των συναρτήσεων γράφονται με πεζά. Ότι ακολουθεί το σύμβολο % σε μια γραμμή είναι σχόλιο. Αποφεύγετε όσο μπορείτε τους βρόχους. Αυτοί εκτελούνται αργά (θυμηθείτε ότι μιλάμε για interpreted γλώσσα). 5
Εισαγωγή στο Matlab Προκειμένου να δώσετε σε ένα διάνυσμα τιμές που απέχουν κατά μια σταθερή ποσότητα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την άνωκάτω τελεία (:). Για παράδειγμα, η εντολή b=1:2:11 δημιουργεί ένα διάνυσμα ο με τιμές όλους τους περιττούς από 1 ως 11. Αν δίναμε b=1:11 θα είχαμε ένα διάνυσμα με όλους τους ακέραιους από 1 ως 11. Αντίστοιχα, όταν θέλουμε να προσπελάσουμε τμήμα ενός πίνακα, χρησιμοποιούμε πάλι το :, π.χ. το b(3:6) σημαίνει το τμήμα του b από το τρίτο ως το έκτο στοιχείο. Για να πάρουμε π.χ. το όγδοο στοιχείο του b δίνουμε απλά b(8). 6
Εισαγωγή στο Matlab Πέρα από τις κλασικές πράξεις πινάκων ορίζονται και οι «στοιχείοπρος- στοιχείο» πράξεις οι οποίες συμβολίζονται με μια τελεία πριν το αντίστοιχο σύμβολο της πράξης. Π.χ. η πράξη Α*Β ορίζεται μόνο όταν οι διαστάσεις του Α είναι ΚxΜ και του Β είναι ΜxΝ. Αντίθετα, η πράξη Α.*Β ορίζεται μόνο όταν Α και Β έχουν ίδιες διαστάσεις. Για να ορίσουμε ρητά έναν πίνακα, δίνουμε τα στοιχεία του χωρισμένα με κενά ή με κόμμα,, μέσα σε αγκύλες. Π.χ. το D=[5 3 8 4 9] ή D=[5, 3, 8, 4, 9] δημιουργεί ένα διάνυσμα D διαστάσεων 1x5 με τις τιμές που βλέπουμε. 7
Εισαγωγή στο Matlab Πράξεις και λογικοί τελεστές 8
Εισαγωγή στο Matlab 9
Εισαγωγή στο Matlab 10
Εισαγωγή στο Matlab 11
Εισαγωγή στο Matlab Επισυνάψεις 12
Εισαγωγή στο Matlab Μιγαδικοί αριθμοί 13
Έλεγχος Ροής 14
Εισαγωγή στο Matlab Χρήσιμες συναρτήσεις: Η ones(k,m) δημιουργεί ένα πίνακα διαστάσεων kxm με μονάδες. Η zeros(k,m) δημιουργεί ένα πίνακα διαστάσεων kxm με μηδενικά. Η length(b) επιστρέφει το μήκος του διανύσματος b. Η find(α) επιστρέφει τις τιμές του δείκτη για τις οποίες ο Α έχει μη μηδενικές τιμές. Η figure δημιουργεί ένα νέο παράθυρο γραφικών. Η subplot (k,m, n) δημιουργεί ένα παράθυρο γραφικών στο οποίο μπορούν να τοποθετηθούν kxm γραφήματα σε κ γραμμές και m στήλες. Επιπλέον κάνει ενεργό το γράφημα στη θέση n. Η stem(x,y) δίνει γράφημα των διακριτών τιμών του y ως προς το x. Η axis([xmin xmax ymin ymax]) θέτει τις ελάχιστες και μέγιστες τιμές των αξόνων. Η title τυπώνει έναν τίτλο στην κορυφή του τρέχοντος γραφήματος. 15
Ερωτήσεις Ποια(ες) από τις παρακάτω εκφράσεις αναφέρεται στο πρώτο στοιχείο ενός διανύσματος a; a(0) a[0] a[1] a(1) Σχηματίζουμε ένα διάνυσμα a=[1,2, 3, 4, 5, 6, 7]. Με ποιες εντολές μπορούμε να μεταβάλλουμε τα στοιχεία που βρίσκονται στις θέσεις τρία έως πέντε σε ένα διάνυσμα, ώστε να έχουν τιμές α) (7, 2, 9), β) (7, 8, 9), γ) όλες μηδέν ; Αν a=[1, 2, 3, 4] και b=[5, 6, 7, 8] να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω εντολές είναι δυνατό να εκτελεστούν χωρίς σφάλμα: a*b a.*b b*a b.*a a*b a.*b a *b Αν a=[1, 2, 3, 4], b=[5, 6, 7, 8], c=2*a και d=-2*b να δημιουργήσετε ένα παράθυρο γραφικών με 2x2 (4) γραφήματα και να απεικονίσετε τα τέσσερα αυτά διανύσματα αντιστοιχίζοντάς το σε ένα από τα τέσσερα αυτά γραφήματα. 16
LOGO
ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ εργαστήριο Αλέξανδρος Α. Λαζαρίδης Διδάκτωρ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός και Μηχανικός Υπολογιστών LOGO Βασισμένες στις Σημειώσεις Εργαστηρίου Ψηφιακής Επεξεργασίας Σήματος (Δρ. Ηλίας Κίτσας Σέρρες 2010) 2 η Ενότητα Θεμελιώδεις Συναρτήσεις 2
Συνάρτηση δέλτα Σε ΜΑΤLAΒ υλοποιείται ως εξής : Ορίζουμε το πλάτος της ανεξάρτητης μεταβλητής και δημιουργούμε διάνυσμα με ίδια διάσταση, το οποίο να έχει σε όλα τα στοιχεία τιμή 0 εκτός από το στοιχείο που αντιστοιχεί στο n = 0 και έχει τιμή 1. 3 Συνάρτηση δέλτα Η εντολή length(n) μας επιστρέφει το μήκος του n Η εντολή find(n==0) μας επιστρέφει το δείκτη στον οποίο το n παίρνει μηδενική τιμή (κέντρο). Η εντολή zeros(1,m) μας επιστρέφει ένα διάνυσμα με διάσταση 1 x m με μηδενικές τιμές. Η εντολή d(k)=1 τοποθετεί μια μονάδα στην θέση k στον πίνακα d. Η εντολή axis([-12 12-2 2]) επανακαθορίζει τα όρια στους άξονες. 4
Συνάρτηση δέλτα 5 Μοναδιαία βηματική ακολουθία Σε ΜΑΤLAΒ υλοποιείται ως εξής : Ορίζουμε το πλάτος της ανεξάρτητης μεταβλητής και δημιουργούμε διάνυσμα με ίδια διάσταση, το οποίο να έχει από n=-10 μέχρι n=-1 τιμές 0 και από n=0 μέχρι n=10 τιμές 1. 6
Μοναδιαία βηματική ακολουθία 7 Εκθετική ακολουθία Σε ΜΑΤLAΒ υλοποιείται ως εξής : Ορίζουμε το πλάτος της ανεξάρτητης μεταβλητής και δημιουργούμε διάνυσμα με ίδια διάσταση, το οποίο να έχει από n=-10 μέχρι n=-6 και από n=6 μέχρι n=10 τιμές 0 και από n=-5 μέχρι n=5 τιμές a n. 8
Εκθετική ακολουθία 9 Γραμμική ακολουθία Σε ΜΑΤLAΒ υλοποιείται ως εξής : Ορίζουμε το πλάτος της ανεξάρτητης μεταβλητής και δημιουργούμε διάνυσμα με ίδια διάσταση το οποίο να έχει από n=-10 μέχρι n=-1 τιμές 0 και από n=0 μέχρι n=10 τιμές ανάλογες του n. 10
Γραμμική ακολουθία 11 Ερωτήσεις Να σχεδιαστεί η ακολουθία x(n) = u(n) + 2*δ(n) Ποία είναι η τιμή της x(n) για n = 0 και ποια για n = 10 ; Να σχεδιαστεί η ακολουθία x1(n) = -2*u(n). Ποια είναι η διαφορά από τη γραφική παράσταση της u(n); Να σχεδιαστεί η ακολουθία x2(n) = r(n) -δ(n). 12
LOGO
ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ εργαστήριο Αλέξανδρος Α. Λαζαρίδης Διδάκτωρ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός και Μηχανικός LOGO Υπολογιστών Βασισμένες στις Σημειώσεις Εργαστηρίου Ψηφιακής Επεξεργασίας Σήματος (Δρ. Ηλίας Κίτσας Σέρρες 2010) 3 η Ενότητα Μετατόπιση 2
Μετασχηματισμός στην ανεξάρτητη μεταβλητή 3 Μετατόπιση 4
5 Μετατόπιση n=-20:20; m=length(n); k=find(n==0); a=0.9; x=zeros(1,m); x(k-10:k+10)=a.^n(k-10:k+10); % or a.^[-10:10] % delay x1(n)=x(n-10) x1=zeros(1,m); x1(k:m)=x(k-10:k+10); % advance x2(n)=x(n+10) x2=zeros(1,m); x2(k-20:k)=x(k-10:k+10); % graph of signal x, x1,x2 subplot(3,1,1); stem(n,x); title('original'); subplot(3,1,2); stem(n,x1); title('delay'); subplot(3,1,3); stem(n,x2); title('advance'); Ερωτήσεις Να σχεδιαστεί η ακολουθία x3(n) = u(n)-u(n - 3), όπου u(n) η μοναδιαία βηματική ακολουθία (βλ. 2η Ενότητα). Πόσες είναι οι μη μηδενικές τιμές της ακολουθίας αυτής; Να σχεδιαστεί η ακολουθία x4(n) = u(n - 3) +δ(n), όπου u(n) η μοναδιαία βηματική ακολουθία και δ(n) η διακριτή κρουστική ώση (βλ. 2η Ενότητα). Ποια τιμή έχει η x4(n) για n = 0; Να σχεδιαστεί η ακολουθία x5(n) = u(n + 2) - u(n - 2), όπου u(n) η μοναδιαία βηματική ακολουθία (βλ. 2η Ενότητα). Για ποιες τιμές του n η ακολουθία x5(n) έχει μη μηδενικές τιμές; 6
x3(n) = u(n)-u(n - 3) n=-20:20; m=length(n); k=find(n==0); u=zeros(1,m); u(k:m)=1; %or u=[zeros(1,20) ones(1,21)]; stem(n,u); u1=zeros(1,m); u1(k+3:m)=1; x3=u-u1; stem(n,x3) 7 x4(n) = u(n - 3) +δ(n) n=-20:20; m=length(n); k=find(n==0); d=zeros(1,m); d(k)=1; % or d=[zeros(1,20) 1 zeros(1,20)]; stem(n,d) axis([-22 22-2 2]) x4=u1+d; stem(n,x4); 8
x5(n) = u(n + 2) - u(n - 2) u2=zeros(1,m); u2(k-2:m)=1; u3=zeros(1,m); u3(k+2:m)=1; x5=u2-u3; stem(n,x5); 9 4 η Ενότητα Κλιμάκωση στο χρόνο, Αντιστροφή 10
Κλιμάκωση στο χρόνο, Αντιστροφή 11 Κλιμάκωση στο χρόνο, Αντιστροφή 12 % Sampling n=-20:20; m=length(n); k=find(n==0); a=0.9; x=zeros(1,m); x(k-10:k+10)=a.^n(k-10:k+10); % or a.^[-10:10] % down sampling x1(n)=x(2n) x1=zeros(1,m); x1(k-5:k+5)=x(k-10:2:k+10); % up sampling x2(n)=x(n/2) x2=zeros(1,m); x2(1:2:m)=x(k-10:k+10); %linear interpolation for i=2:2:40 x2(i)=(x2(i-1)+x2(i+1))/2; end % reverse x3(n)=x(-n) x3(1:m)=x(m:-1:1); % or x3=x(m:-1:1) % graph of signal x, x1, x2, x3 subplot(4,1,1); stem(n,x); title('original'); subplot(4,1,2); stem(n,x1); title('down Sampling'); subplot(4,1,3); stem(n,x2); title('up Sampling'); subplot(4,1,4); stem(n,x3); title('reverse');
Να σχεδιαστεί η ακολουθία x4(n) = 2*u(-n), όπου u(n) η μοναδιαία βηματική ακολουθία (βλ. 2η Ενότητα). Να σχεδιαστεί η ακολουθία Ερωτήσεις x5(n) = u(n / 3), όταν n ϵ [-20,20] και u(n) η μοναδιαία βηματική ακολουθία (βλ. 2η Ενότητα). 13 x4(n) = 2*u(-n) n=-20:20; m=length(n); k=find(n==0); u=zeros(1,m); u(k:m)=1; u1(1:m)=2*u(m:-1:1); subplot(2,1,1); stem(n,u); subplot(2,1,2); stem(n,u1); 14
x5(n) = u(n / 3) u2=zeros(1,m); u2(k:3:m)=1; stem(n,u2); 15 LOGO
ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ εργαστήριο Αλέξανδρος Α. Λαζαρίδης Διδάκτωρ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός και Μηχανικός LOGO Υπολογιστών Βασισμένες στις Σημειώσεις Εργαστηρίου Ψηφιακής Επεξεργασίας Σήματος (Δρ. Ηλίας Κίτσας Σέρρες 2010) 5 η Ενότητα Χωρισμός σήματος σε άθροισμα άρτιου και περιττού μέρους 2
Χωρισμός σήματος 3 Χωρισμός σήματος 4 % partition odd - even n=-20:20; m=length(n); k=find(n==0); u=zeros(1,m); u(k:m)=1; % x(-n) ur=u(m:-1:1); % even part xe(n)=1/2[x(n)+x(-n)] ue=1/2*(u+ur); % odd part xo(n)=1/2[x(n)-x(-n)] uo=1/2*(u-ur); % graph of signal x, x1,x2 subplot(3,1,1); stem(n,u); title('original'); axis([-20 20-1 1.5]) subplot(3,1,2); stem(n,ue); title('even part'); axis([-20 20-1 1.5]) subplot(3,1,3); stem(n,uo); title('odd part'); axis([-20 20-1 1.5])
Ερωτήσεις Να υπολογιστεί το άρτιο και περιττό μέρος της ακολουθίας που προκύπτει από τη διαδοχική επανάληψη του αριθμού μητρώου σας θεωρώντας ότι στο n = 0 η τιμή της ακολουθίας είναι ίση με 1, π.χ. ΑΕΜ: 2342 x(n) = {2,3,4,2,1,2,3,4,2}. Ποιο είναι το άρτιο μέρος της ακολουθίας x1(n) = {-1,-2,-3,0,1,2,3}; Η θέση του μηδενός ( n = 0) σημειώνεται με _ κάτω από το αντίστοιχο στοιχείο της ακολουθίας. Ποιο είναι το περιττό μέρος της ακολουθίας x2(n) = {-1,2,3, 4,3,2,-1} ; Η θέση του μηδενός ( n = 0) σημειώνεται με _ κάτω από το αντίστοιχο στοιχείο της ακολουθίας. 5 x(n) = {2,3,4,2,1,2,3,4,2} 6 n=-4:4; x=[2,3,4,2,1,2,3,4,2]; m=length(x); % x(-n) x1=x(m:-1:1); xe=1/2*(x+x1); xo=1/2*(x-x1); subplot(3,1,1); stem(n,x); subplot(3,1,2); stem(n,xe); subplot(3,1,3); stem(n,xo);
Ερωτήσεις Να υπολογιστεί το άρτιο και περιττό μέρος της ακολουθίας που προκύπτει από τη διαδοχική επανάληψη του αριθμού μητρώου σας θεωρώντας ότι στο n = 0 η τιμή της ακολουθίας είναι ίση με 1, π.χ. ΑΕΜ: 2342 x(n) = {2,3,4,2,1,2,3,4,2}. Ποιο είναι το άρτιο μέρος της ακολουθίας x1(n) = {-1,-2,-3,0,1,2,3}; Η θέση του μηδενός ( n = 0) σημειώνεται με _ κάτω από το αντίστοιχο στοιχείο της ακολουθίας. Ποιο είναι το περιττό μέρος της ακολουθίας x2(n) = {-1,2,3, 4,3,2,-1} ; Η θέση του μηδενός ( n = 0) σημειώνεται με _ κάτω από το αντίστοιχο στοιχείο της ακολουθίας. 7 x1[n] = {-1,-2,-3,0,1,2,3} n=-3:3; x=[-1,-2,-3,0,1,2,3]; m=length(x); % x(-n) x1=x(m:-1:1); xe=1/2*(x+x1); subplot(2,1,1); stem(n,x); subplot(2,1,2); stem(n,xe); 8
Ερωτήσεις Να υπολογιστεί το άρτιο και περιττό μέρος της ακολουθίας που προκύπτει από τη διαδοχική επανάληψη του αριθμού μητρώου σας θεωρώντας ότι στο n = 0 η τιμή της ακολουθίας είναι ίση με 1, π.χ. ΑΕΜ: 2342 x(n) = {2,3,4,2,1,2,3,4,2}. Ποιο είναι το άρτιο μέρος της ακολουθίας x1(n) = {-1,-2,-3,0,1,2,3}; Η θέση του μηδενός ( n = 0) σημειώνεται με _ κάτω από το αντίστοιχο στοιχείο της ακολουθίας. Ποιο είναι το περιττό μέρος της ακολουθίας x2(n) = {-1,2,3, 4,3,2,-1} ; Η θέση του μηδενός ( n = 0) σημειώνεται με _ κάτω από το αντίστοιχο στοιχείο της ακολουθίας. 9 x2[n] = {-1,2,3, 4,3,2,-1} n=-3:3; x=[-1,2,3, 4,3,2,-1]; m=length(x); % x(-n) x1=x(m:-1:1); xo=1/2*(x-x1); subplot(2,1,1); stem(n,x); subplot(2,1,2); stem(n,xo); 10
ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ εργαστήριο Αλέξανδρος Α. Λαζαρίδης Διδάκτωρ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός και Μηχανικός LOGO Υπολογιστών Βασισμένες στις Σημειώσεις Εργαστηρίου Ψηφιακής Επεξεργασίας Σήματος (Δρ. Ηλίας Κίτσας Σέρρες 2010) 6 η Ενότητα Συνέλιξη, απόκριση συστημάτων 2
Συνέλιξη, απόκριση συστημάτων Συνέλιξη, απόκριση συστημάτων 4
Συνέλιξη, απόκριση συστημάτων 5 % Convolution % Input - Impulse Response - Output n=-10:10; m=length(n); k=find(n==0); x=zeros(1,m); h=zeros(1,m); y=zeros(1,m); x(k:k+4)=[1 2 3 4 5]; h(k-1:k+1)=[1 2 1]; yt=conv(x(k:k+4),h(k-1:k+1)); y(k-1:k+5)=yt; % graph of signal x, h,y subplot(3,1,1) stem(n,x) title('input signal') subplot(3,1,2) stem(n,h) title('impulse response') subplot(3,1,3) stem(n,y) title('output signal') Ερωτήσεις Να υπολογιστούν οι τιμές τις εξόδου y1(n) ενός συστήματος με απόκριση κρουστικής διέγερσης h1(n) =δ(n) - δ(n -1), όταν η είσοδος στο σύστημα είναι η ακολουθία x1(n)={1,1,-1,-1,1,1,-1,-1}. Η θέση του μηδενός (n = 0) σημειώνεται με _ κάτω από το αντίστοιχο στοιχείο της ακολουθίας και δ(n) η διακριτή κρουστική ώση (βλ. 2η Ενότητα). 6
Ερωτήσεις n=-10:10; m=length(n); k=find(n==0); d=zeros(1,m); d(k)=1; d1=zeros(1,m); d1(k+1)=1; h1=d-d1; x1=zeros(1,m); x1(k-4:k+3)=[1,1,-1,-1,1,1,-1,-1]; y=zeros(1,m); y1=conv(x1(k-4:k+3),h1(k:k+1)); y(k-4:k+4)=y1; subplot(3,1,1); stem(n,x1); subplot(3,1,2); stem(n,h1); subplot(3,1,3); 7 stem(n,y); LOGO
ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ εργαστήριο Αλέξανδρος Α. Λαζαρίδης Διδάκτωρ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός και Μηχανικός LOGO Υπολογιστών Βασισμένες στις Σημειώσεις Εργαστηρίου Ψηφιακής Επεξεργασίας Σήματος (Δρ. Ηλίας Κίτσας Σέρρες 2010) 7 η Ενότητα Υπολογισμός ευθύ και αντίστροφου DFT 2
Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier θα σχεδιάσουμε το μέτρο και τη φάση για τον ευθύ το πραγματικό και φανταστικό μέρος για τον αντίστροφο αυτού του DFT το πραγματικό και φανταστικό μέρος για τον αντίστροφο DFT όταν θεωρούμε ότι η ακολουθία x αντιστοιχεί εξαρχής σε DFT.
Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier H fft(x) υπολογίζει τον DFT Ν σημείων του διανύσματος x, όπου Ν το μήκος του x. H fftshift(x) μετατοπίζει τη μηδενική συχνότητα του φάσματος ώστε να βρίσκεται στο κέντρο του διανύσματος. Η abs(x) υπολογίζει το μέτρο του μιγαδικού διανύσματος x (ή την απόλυτη τιμή ενός πραγματικού). Η angle(x) υπολογίζει τη φάση του μιγαδικού διανύσματος x. H ifftshift(x) μετατοπίζει τη μηδενική συχνότητα του φάσματος ώστε να βρίσκεται στην αρχή του διανύσματος. H ifft(x) υπολογίζει τον αντίστροφο DFT Ν σημείων του διανύσματος x, όπου Ν το μήκος του x. Η real(x) υπολογίζει το πραγματικό μέρος του διανύσματος x. Η imag(x) υπολογίζει το φανταστικό μέρος του διανύσματος x. Για να είναι σωστή η απεικόνιση του DFT όταν χρησιμοποιείται η fftshift, ο οριζόντιος άξονας (k) θα πρέπει να παίρνει τιμές με βάση τον εξής κανόνα όπου Ν το μήκος του x. το μέτρο και τη φάση για τον ευθύ % Forward DFT of unit step n=0:19; m=length(n); k=-(m/2):(m/2)-1; x=0*n; x(1:5)=1; y=fft(x); y=fftshift(y); ym=abs(y); yp=angle(y); figure(1); subplot(3,1,1); stem(n,x); xlabel('n'); title('original Signal'); subplot(3,1,2); stem(k,ym); xlabel('k'); title('dft Magnitude'); subplot(3,1,3); stem(k,yp); xlabel('k'); title('dft phase');
το πραγματικό και φανταστικό μέρος για τον αντίστροφο του DFT %Inverse DFT of y x1=ifftshift(y); x1=ifft(x1); x1r=real(x1); x1i=imag(x1); figure(2); subplot(3,1,1); stem(n,x); xlabel('n'); title('original Signal'); subplot(3,1,2); stem(n,x1r); xlabel('n'); title('real part of signal'); subplot(3,1,3); stem(n,x1i); xlabel('n'); title('imaginary part of signal'); το πραγματικό και φανταστικό μέρος για τον αντίστροφο DFT όταν θεωρούμε ότι η ακολουθία x αντιστοιχεί εξαρχής σε DFT %Inverse DFT of unit step figure(3); k=0:19; z=ifft(x); zr=real(z); zi=imag(z); subplot(3,1,1); stem(k,x); xlabel('k'); title('original DFT sequence'); subplot(3,1,2); stem(n,zr); xlabel('n'); title('real part of signal'); subplot(3,1,3); stem(n,zi); xlabel('n'); title('imaginary part of signal');
Ερωτήσεις Θεωρήστε της ακολουθίες x1(n)={4,3,2,1,2,3,4} και x2(n)={1,1,1,0,-1,-1,-1}. Ποια από τις δύο ακολουθίες περιλαμβάνει υψηλότερο συνολικό περιεχόμενο (μεγαλύτερες συχνότητες) x1(n)={4,3,2,1,2,3,4} x2(n)={1,1,1,0,-1,-1,-1} clear all n=-3:3; m=length(n); k=-((m-1)/2):((m-1)/2); x1=[4 3 2 1 2 3 4]; x2=[1 1 1 0-1 -1-1]; y1=fft(x1); y1=fftshift(y1); y2=fft(x2); y2=fftshift(y2); subplot(4,1,1); stem(n,x1); grid minor xlabel('n'); title('original Signal x1'); subplot(4,1,2); stem(k,y1); grid minor xlabel('k'); title('fft Signal y1'); subplot(4,1,3); stem(n,x2); grid minor xlabel('n'); title('original Signal x2'); subplot(4,1,4); stem(k,y2); grid minor xlabel('k'); title('fft Signal y2');
Τρίτη 8 Μαΐου 2012 έχει βγει ανακοίνωση στο e-learning 20% της συνολικής βαθμολογίας (το υπόλοιπο 80% είναι η τελική εξέταση) Ύλη: ότι έχετε διδαχθεί μέχρι το Πάσχα Πρόοδος 11 LOGO
ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ εργαστήριο Αλέξανδρος Α. Λαζαρίδης Διδάκτωρ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός και Μηχανικός LOGO Υπολογιστών Βασισμένες στις Σημειώσεις Εργαστηρίου Ψηφιακής Επεξεργασίας Σήματος (Δρ. Ηλίας Κίτσας Σέρρες 2010) Πρόοδος (θα θεωρηθεί ως bonus στην τελική βαθμολογία) Δίνονται δύο σήματα διακριτού χρόνου x1(n) και x2(n): x1(-3)=-1,x1(-1)=2, x1(2)=1.5, x1(3)=3, και x2(-2)=-1,x2(1)=4,x2(2)=2. Να υπολογίσετε και να παρουσιάσετε γραφικά σε ένα διάγραμμα με κατακόρυφη στοίχιση με χρήση του λογισμικού matlab, τα παρακάτω σήματα στο διάστημα nϵ[-5,5]. (α) x1(n), (β) x2(n), (γ) x3(n)= 3 x1(n-1)+0.2 x2(n+1), (δ) x4(n)=(1/6) x2(-n) n=-5:5; m=length(n); k=find(n==0); x1=zeros(1,m); x1(k-3)=-1; x1(k-1)=-2; x1(k+2)=1.5; x1(k+3)=3; subplot(4,1,1) stem(n,x1) Αν η x3(n)= 3 x1(n-1) 0.2 x2(n+1) x3=0.2*3*xm1.*xp1; x2=zeros(1,m); x2(k-2)=-1; x2(k+1)=4; x2(k+2)=2; subplot(4,1,2) stem(n,x2) xm1=zeros(1,m); xm1(k-2:k+4)=x1(k-3:k+3); xp1=zeros(1,m); xp1(k-3:k+1)=x2(k-2:k+2); x3=3*xm1+0.2*xp1; subplot(4,1,3) stem(n,x3) xr=zeros(1,m); xr(1:m)=x2(m:-1:1); x4=1/6*xr; subplot(4,1,4) stem(n,x4)
9 η Ενότητα Υπολογισμός συνέλιξης μέσω DFT 3 Υπολογισμός συνέλιξης μέσω DFT
Υπολογισμός συνέλιξης μέσω DFT x=[5 3 8 2 6]; y=[7 2 9 1 8 3 6]; z=conv(x,y); L=length(x)+length(y)-1; xx=fft(x,l); yy=fft(y,l); zz=xx.*yy; zdft=ifft(zz); subplot(3,1,1) stem(z); title('convolution by definition'); subplot(3,1,2) stem(zdft); title('convolution by DFT'); subplot(3,1,3) stem(z-zdft); title('computation error'); 5 Άσκηση Στο διάστημα [-10,10] ορίζονται τα σήματα x(n)=0.5*n*[u(n)-u(n-6)] και h(n)=2*sin(nπ/2)*[u(n+3)-u(n-4)] Να υπολογιστεί η συνέλιξη των δύο σημάτων απευθείας και με χρήση DFT 6
L=length(x)+length(h)-1; n2=[-(l-1)/2:(l-1)/2]; X=fft(x,L); H=fft(h,L); Y=X.*H; y2=ifft(y,l); subplot(4,1,1), stem(n,x), grid minor, title('x(n)') subplot(4,1,2), stem(n,h), grid minor, title('h(n)') subplot(4,1,3), stem(n,y), grid minor, title('y(n)=x(n)*h(n)') subplot(4,1,4), stem(n2, y2), grid minor, title('ifft') 7 Άσκηση N=10; % orizoume to diasthma endiaferontos [-N,N] n=[-n:n]; %x(n)=0.5*n*[u(n)-u(n-6)] u0=zeros(1,2*n+1); u0(1,(n+1):end)=1; um6=zeros(1,2*n+1); um6(1,(n+1)+6:end)=1; % xwris xrisi tis for x=0.5*n.*(u0-um6); for i=1:size(n,2) x(1,i)=0.5*n(1,i)*(u0(1,i)-um6(1,i)); end %h(n)=2*sin(nπ/2)*[u(n+3)-u(n-4)] up3=zeros(1,2*n+1); up3(1,(n+1)-3:end)=1; um4=zeros(1,2*n+1); um4(1,(n+1)+4:end)=1; %h=2*sin(n*pi/2).*(up3-um4); for i=1:size(n,2) h(1,i)=2*sin(n(1,i)*pi/2)*(up3(1,i)-um4(1,i)); end y=convn(x,h,'same'); LOGO
ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ εργαστήριο Δρ. Αλέξανδρος Α. Λαζαρίδης Διδάκτωρ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός και Μηχανικός LOGO Υπολογιστών Βασισμένες στις Σημειώσεις Εργαστηρίου Ψηφιακής Επεξεργασίας Σήματος (Δρ. Ηλίας Κίτσας Σέρρες 2010) 10 η Ενότητα Υπολογισμός ευθύ και αντίστροφου μετασχηματισμού Z Υπολογισμός μερικών κλασμάτων Συνάρτηση μεταφοράς Ευστάθεια Απόκριση συστημάτων 2
Υπολογισμός ευθύ και αντίστροφου μετασχηματισμού Z Υπολογισμός ευθύ και αντίστροφου μετασχηματισμού Z Το πρώτο αποτέλεσμα είναι ο μετασχηματισμός Z της x(n). Το δεύτερο αποτέλεσμα είναι o αντίστροφος μετασχηματισμός Z της H(z). Η συνάρτηση syms z ορίζει την μεταβλητή z ως συμβολική. Η συνάρτηση ztrans(x) υπολογίζει το μετασχηματισμό Z της x. Η συνάρτηση pretty(x) μετατρέπει την παράσταση x σε μια πιο ευπαρουσίαστη μορφή. Η συνάρτηση iztrans(h) υπολογίζει τον αντίστροφο μετασχηματισμό Z της H. %Forward Z-transform clear; syms n z; x=2^n+3*(1/2)^n; X=ztrans(x, n, z); pretty(x) %Inverse Z-transform clear; syms z; H=(2*z^2+7*z)/(z^2+z-2); h=iztrans(h); pretty(h); 4
Υπολογισμός μερικών κλασμάτων 6
Υπολογισμός μερικών κλασμάτων %Residue computation b = [2 7 0]; a = [1 1-2]; [r1,p1,k1]=residue(b,a) [r2,p2,k2]=residuez(b,a) 7 b = [2 7 1]; a = [1 0-2]; [r1,p1,k1]=residue(b,a) [r2,p2,k2]=residuez(b,a) 8
Συνάρτηση μεταφοράς Ευστάθεια θα ορίσουμε την συνάρτηση μεταφοράς σε MATLAB, θα βρούμε τους πόλους και τα μηδενικά του συστήματος τα οποία θα τα σχεδιάσουμε μαζί με τον μοναδιαίο κύκλο και θα ελέγξουμε αν το σύστημα είναι η όχι ευσταθές 9 Συνάρτηση μεταφοράς Ευστάθεια %define transfer function X(z) as tf-object H1=tf([2 7 0],[1 1-2],1) H2=filt([2 7 0],[1 1-2]) pol=pole(h1) zer=zero(h1) pzmap(h1) H(z) ως συνάρτηση μεταφοράς (transfer function) το ένα με θετικές δυνάμεις του z ενώ το άλλο με αρνητικές δυνάμεις του z. Η γραφική παράσταση μας δείχνει που βρίσκονται τα μηδενικά (o) και οι πόλοι (x) σε σχέση με τον μοναδιαίο κύκλο. Η συνάρτηση H1=tf([2 7 0],[1 1-2],1) δημιουργεί την H(z) ως συνάρτηση μεταφοράς με θετικές δυνάμεις του z με ορίσματα σε πίνακες τους συντελεστές του αριθμητή, τους συντελεστές του παρανομαστή και το 1 για διακριτά συστήματα. Η συνάρτηση H2=filt([2 7 0],[1 1-2]) δημιουργεί την H(z) ως συνάρτηση μεταφοράς με αρνητικές δυνάμεις του z με ορίσματα σε πίνακες τους συντελεστές του αριθμητή και τους συντελεστές του παρανομαστή. Η συνάρτηση pzmap(h1) μας επιστρέφει την γραφική παράσταση των πόλων και των μηδενικών σε σχέση με τον μοναδιαίο κύκλο. Με τη βοήθεια αυτής της εντολής έχουμε την δυνατότητα να καταλάβουμε εάν το σύστημα είναι ευσταθές ή όχι. Για να είναι ευσταθές θα πρέπει οι πόλοι να βρίσκονται μέσα στον κύκλο. 10
Απόκριση συστημάτων θα σχεδιάσουμε την απόκριση του συστήματος για διάφορες εισόδους step(h1,5); impulse(h1,5); t=0:10*pi; u=sin(t); lsim(h1,u,t); 11 LOGO