Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά Η κλασική µέθοδος για το σχεδιασµό ψηφιακών φίλτρν βασίζεται στο µετασχηµατισµό ενός αναλογικού φίλτρου σε ψηφιακό το οοίο να ληροί ορισµένες ροδιαγραφές N M b X Y τ τ τ d h x y N M c d X Y n h x n y M N d x d d d y d c M N n x b n y Οι σχέσεις ου εριγράφουν ένα αναλογικό φίλτρο είναι Οι σχέσεις ου εριγράφουν ένα ψηφιακό φίλτρο είναι Αντικειµενικός σκοός κατά το µετασχηµατισµό του αναλογικού φίλτρου σε ψηφιακό φίλτρο είναι ο υολογισµός της ή της hn αό τα α ή h α µε τέτοιο τρόο ώστε οι βασικές ροδιαγραφέςτου α j ναδιατηρούνται καιστο φάσµα e j. Σεραφείµ Καραµογιάς
Μέθοδος Αµετάβλητης Κρουστικής Αόκρισης Στη µέθοδο αυτή η κρουστική αόκριση του ρος σχεδίαση ψηφιακού φίλτρου αοτελείται αό τα δείγµατα της κρουστικής αόκρισης του αναλογικού φίλτρου h n h n h, n n,,,l όου Τ είναι η ερίοδος δειγµατοληψίας. Στη δειγµατοληψία αυτή η αναλογική και η ψηφιακή συχνότητα ικανοοιούν την j ή e Η αεικόνιση τν σηµείν αό το -είεδο στο -είεδο γίνεται µέσ της σχέσης Η συνάρτηση µεταφοράς του ψηφιακού φίλτρου, σχετίζεται µε την αντίστοιχη συνάρτηση του αναλογικού φίλτρου µε τη γνστή αό τη δειγµατοληψία και ανακατασκευή αναλογικών σηµάτν σχέση e e j j Impule invrince rnformion Σεραφείµ Καραµογιάς Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -
τότε η αόκριση συχνότητας του ψηφιακού φίλτρου είναι ανάλογη µε αυτή του αναλογικού h j e j, για Σεραφείµ Καραµογιάς Η αόκριση συχνότητας του ψηφιακού φίλτρου σχετίζεται µε την αντίστοιχη συνάρτηση του αναλογικού φίλτρου µε τη σχέση e j Για την ερίτση για την οοία ισχύει ότι / j j j j για j j h hn j j e j j j j n 4 6 8 Γραφική αεικόνιση της µεθόδου της αµετάβλητης κρουστικής αόκρισης Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -3
Η αόκριση συχνότητας του ψηφιακού φίλτρου σχετίζεται µε την αντίστοιχη συνάρτηση του αναλογικού φίλτρου µε τη σχέση Για την ερίτση κατά την οοία e j τότε θα αρουσιαστεί το φαινόµενο του ανεαρκούς ρυθµού δειγµατοληψίας liing. j j j j για Σεραφείµ Καραµογιάς h j j h hn j j e j j j j 4 6 8 n Γραφική αεικόνιση τν αοτελεσµάτν της αλλοίσης στη µέθοδο αµετάβλητης κρουστικής αόκρισης Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -4
Σεραφείµ Καραµογιάς Ο µετασχηµατισµός e µετασχηµατίζει τις ηµιλουρίδες άχους /Τ του -ειέδου στο εστερικό του µοναδιαίου κύκλου του -ειέδου j 3 3 σ Im Μοναδιαίος κύκλος Re j Im 3 Re σ Τελικά ο µετασχηµατισµός e µετασχηµατίζει τις λουρίδες άχους /Τ του -ειέδου σε ολόκληρο το -ειέδου. Συµεραίνεται ότιοµετασχηµατισµός e δενείναι αµφιµονοσήµαντος. Εειδή το αριστερό ηµιείεδο του -ειέδου µετασχηµατίζεται στο εστερικό του του -ειέδου οι ιδιότητες της αιτιότητας και της ευστάθειας του αναλογικού φίλτρου διατηρούνται και στο αντίστοιχο ψηφιακό φίλτρο. Θα ρέει να τονιστεί ότι η αντιστοιχία e ισχύει µόνο για αλούς όλους και δεν ισχύει για µηδενικά ή για σύνθετους όλους. Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -5
ιαδικασία Σχεδίασης Σεραφείµ Καραµογιάς ίνονται οι ροδιαγραφές του χαµηλοερατού ψηφιακού φίλτρου p,, R p και Α και θέλουµε να ροσδιορίσουµε την αφού ρώτα σχεδιάσουµε ένα ισοδύναµο αναλογικό φίλτρο και στη συνέχεια αεικονίσουµε αυτό στο ψηφιακό φίλτρο. Ειλέγεται η συχνότητα δειγµατοληψίας και υολογίζονται οι αναλογικές συχνότητες P p Σχεδιάζεται ένα αναλογικό φίλτρο α µε ροδιαγραφές p,, R p καια. Αυτό γίνεται σχεδιάζοντας είτε ένα φίλτρο Bueworh είτε ένα φίλτρο Chebyhev. 3 Ανατύσουµε την α σε άθροισµα αλών κλασµάτν. N R 4 Μετασχηµατίζουµε τους αναλογικούς όλους {p } σε ψηφιακούς όλους { e ροσδιορίζουµε το ψηφιακό φίλτρο N e R p p [R,p,] reidued,c; p } και p expp*; [b,] reiduer,p,; Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -6
Παράδειγµα Να µετασχηµατιστεί το αναλογικό φίλτρο µε συνάρτηση µεταφοράς 5 6 σε ψηφιακό φίλτρο χρησιµοοιώντας τη µέθοδο της αµετάβλητης κρουστικής αόκρισης στην οοίατ, Λύση: Η συνάρτηση µεταφοράς του αναλογικού φίλτρου αναλύεται σε αλά κλάσµατα e 5 6 3 Υάρχουν δύο όλοι οι p -3 και p - έτσι έχουµε τη συνάρτηση µεταφοράς του ψηφιακού φίλτρου αντικαθιστώντας τους αναλογικούς όλους p και p σε ψηφιακούς όλους e -3 και e -. e 3,8966,5595,665 Σεραφείµ Καραµογιάς Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -7
Άσκηση ίνεται το αναλογικό φίλτρο του σχήµατος. Να βρεθεί η συνάρτηση µεταφοράς του. Με τη µέθοδος αµετάβλητης κρουστικής αόκρισης να υολογιστεί το αντίστοιχο ψηφιακό φίλτρο. Να ροσδιορισθεί η εξίσση διαφορών και γίνει η υλοοίησή του σε άµεση µορφή Ι. Να γίνουν οι γραφικές αραστάσεις του µέτρου της αόκρισης συχνότητας του αναλογικού και του ψηφιακού φίλτρου. Σεραφείµ Καραµογιάς R i υ in C υ o Λύση: Η συνάρτηση µεταφοράς του αναλογικού φίλτρου είναι Η συνάρτηση µεταφοράς του ψηφιακού φίλτρου είναι Η εξίσση διαφορών του ψηφιακού φίλτρου είναι y c c e n e y n c c x n c c x n c y n b e c Η υλοοίησή του ψηφιακού φίλτρου σε άµεση µορφή Ι. Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -8
Σεραφείµ Καραµογιάς funcion [b,] imp_invrd,c, % Μέθοδος αµετάβλητης κρουστικής αόκρισης % b Πολυώνυµο αριθµητή σε ^- του ψηφιακού φίλτρου % Πολυώνυµο αρανοµαστή σε ^- του ψηφιακού φίλτρου % c Πολυώνυµο αρανοµαστή σε του αναλογικού φίλτρου % d Πολυώνυµο αριθµητή σε του αναλογικού φίλτρου % Παράµετρος δειγµατοληψίας µετασχηµατισµού % [R,p,] reidued,c; p expp*; [b,] reiduer,p,; b relb'; rel'; Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -9
Σεραφείµ Καραµογιάς c c j d [ ]; c [ ]; wmx *pi; w [::]*wmx/; freqc,d,w; mg b.^; ; [R,p,] reiduec,d; p expp*; [b,] reiduer,p,; b relb'; rel'; j e c [,w] FREQZb,,'whole'; mg b.^; e c.5 3 4 5 6 7 Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -
Σεραφείµ Καραµογιάς h h inc W in W W W, W, > W 3 m ec 3 3 3 rd ec h n h n h n 8 6 4 4 6 8 n 3 3 3 rd ec h h h n inc n n, >, 3 m ec 3 3 3 rd ec Σχεδίαση ψηφιακών φίλτρν άειρης κρουστικής αόκρισης -
Σεραφείµ Καραµογιάς h h inc W in W W W, W, > W 3 m ec 3 3 3 rd ec h n h n h n 3 3 4 n 3 3 3 rd ec h h h n inc n n, >, 3 m ec 3 3 3 rd ec Σχεδίαση ψηφιακών φίλτρν άειρης κρουστικής αόκρισης -
Σεραφείµ Καραµογιάς Μέθοδος ιγραµµικού Μετασχηµατισµού Biliner rnformion Στη µέθοδο αυτή θα ροσαθήσουµε να υολογίζουµε ένα ψηφιακό φίλτρο του οοίου η συµεριφορά στο εδίο του χρόνου θα ροσεγγίζει αυτή του αναλογικού. Η µέθοδος της αµετάβλητης κρουστικής αόκρισης για τη σχεδίαση IIR είναι κατάλληλη για βαθυερατά και ορισµένα ζνοερατά ψηφιακά φίλτρα. Η µέθοδος του διγραµµικού µετασχηµατισµού δεν θέτει τέτοιους εριορισµούς. Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -3
Σεραφείµ Καραµογιάς Θερούµε το αναλογικό φίλτρο ρώτης τάξης ου εριγράφεται αό τη διαφορική εξίσση, dy c y c d x d και έχει συνάρτηση µεταφοράς d c c Αό την ροφανή ταυτότητα y y y τ dτ µε αντικατάσταση n και n, όου Τ είναι ηερίοδος δειγµατοληψίας έχουµε y n y n n n y τ dτ Το ολοκλήρµα ροσεγγίζεται µε τη µέθοδο του τραεζίου n n y τ dτ dy d dy n d n έτσι έχουµε y n y n dy d dy d n n Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -4
Σεραφείµ Καραµογιάς y n y n dy d dy d n n θέτοντας yn y α n και xn x α n και χρησιµοοιώντας τη διαφορική εξίσση έχουµε y n y n c c y n y n d c x n x n αίρνοντας το µετασχηµατισµό- και στα δύο µέλη και λύνοντας ς ρος έχουµε Y X c Συγκρίνοντας την έκφραση της µε την αντίστοιχη της α αρατηρούµε d c d c c Στο ίδιο αοτέλεσµα καταλήγουµε και στην ερίτση όου η διαφορική εξίσση είναι Ν-στης τάξης. Παρατηρούµε ότι ο µετασχηµατισµός είναι αντιστρετός _ Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -5
Σεραφείµ Καραµογιάς Μέθοδος ιγραµµικού Μετασχηµατισµού Biliner rnformion Η µέθοδος της αµετάβλητης κρουστικής αόκρισης για τη σχεδίαση IIR είναι κατάλληλη για βαθυερατά και ορισµένα ζνοερατά ψηφιακά φίλτρα. Η µέθοδος του διγραµµικού µετασχηµατισµού δεν θέτει τέτοιους εριορισµούς Αό τη συνάρτηση µεταφοράς α του αναλογικού φίλτρου υολογίζουµε τη συνάρτηση µεταφοράς του ψηφιακού φίλτρου αντικαθιστώντας το µε ή Η σχέση αυτήµορεί ναγραφεί καις Παρατηρούµε ότι η τελευταία σχέση είναι γραµµική ς ρος και ς ρος ή διγραµµική ς ρος και. Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -6
Χαρακτηριστικά του ιγραµµικού Μετασχηµατισµού Η σχέση αεικόνισης γράφεται ς r e j r e r e j j σ j r σ r r co Σεραφείµ Καραµογιάς r in j r r co Το αριστερό ηµιείεδο του αεικονίζεται στο εστερικό του µοναδιαίου κύκλου στο είεδο-. Εάν r <, τότεσ< Το δεξιό ηµιείεδο του αεικονίζεται στο εξτερικό του µοναδιαίου κύκλου στο είεδο-. Εάν r >, τότεσ> Είσης ο µετασχηµατισµός αεικονίζει το φανταστικό άξονα του ειέδου- στο µοναδιαίο κύκλο του ειέδου-. Εάν r, τότεσ. j Im σ Re Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -7
Παρατηρούµε ότι η ευστάθεια διατηρείται, δηλαδή αό ένα ευσταθές αναλογικό φίλτρο αίρνουµε ένα ευσταθές ψηφιακό φίλτρο. Σεραφείµ Καραµογιάς Αν βρίσκεται στο µοναδιαίο κύκλο τότε σ και οι συχνότητεςκαισυνδέονται µε τη σχέση n n Μη γραµµική σχέση µεταξύ της αναλογικής και ψηφιακής συχνότητας στο διγραµµικό µετασχηµατισµό Παρατηρούµε ότι όλη η εριοχή συχνοτήτν αεικονίζεται µόνο µία φορά στην εριοχή. Είναι λοιόν για µία ένα-ρος-ένα αεικόνιση. Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -8
Σεραφείµ Καραµογιάς Η αεικόνιση είναι µη γραµµική. Παρατηρείται, δηλαδή, µία αραµόρφση ή στρέβλση τν συχνοτήτν, εξαιτίας της µη γραµµικότητας της συνάρτησης της εφατοµένης, η οοία ρέει να λαµβάνεται υόψη κατά την σχεδίαση. rcn p e j j p p n p n p Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -9
Παράδειγµα Να µετασχηµατιστεί το αναλογικό φίλτρο µε συνάρτηση µεταφοράς 6 5 σε ψηφιακό φίλτρο χρησιµοοιώντας τη µέθοδο του διγραµµικού µετασχηµατισµού αόκρισης στην οοία Τ. Λύση: Η συνάρτηση µεταφοράς του ψηφιακού φίλτρου βρίσκεται ς,,5,,5 4 3 και µετά αό τις ράξεις έχουµε Στο ΜALAB υάρχει η συνάρτηση η οοία ραγµατοοιεί το αραάν µετασχηµατισµό. F d, bilinerc, ] [b, 6 5 Σεραφείµ Καραµογιάς - Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά
Σεραφείµ Καραµογιάς ίνεται το αναλογικό φίλτρο του σχήµατος. R υ in i C υ o Με τη µέθοδος του διγραµµικού µετασχηµατισµού, να σχεδιαστεί το αντίστοιχο ψηφιακό φίλτρο, του οοίουησυχνότητααοκοής να είναι f c 3, όταν η συχνότηταδειγµατοληψίας είναι f 5 Η συχνότητα αοκοής του ειθυµητού ψηφιακού φίλτρου είναι c c f 3 5,4 c f Η συχνότητα αυτή του ειέδου- είναι αντίστοιχη της συχνότητας c n c c του ειέδου- c,4 f n 3 n 9 Ο υολογισµός αυτός αοτελεί τη λεγοµένη αντιστάθµιση στρέβλσης. Στη συνέχεια θα σχεδιασθεί ένα αναλογικό φίλτρο βασικής ζώνης µε συχνότητααοκοής c 9 rd/ec. Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -
Σεραφείµ Καραµογιάς Το ρτότυο c αναλογικό φίλτρο βασικής ζώνης το οοίο αντιστοιχεί στο αλό RC κύκλµα έχει συνάρτηση µεταφοράς p Μετατροή φίλτρου βασικής ζώνης σε φίλτρο διαφορετικής βασικής ζώνης Για να µετατρέψουµε ένα αναλογικό φίλτρο βασικής ζώνης µε συχνότητα αοκοής c σε ένα άλλο φίλτρο βασικής ζώνης µε συχνότητααοκοής c, εκτελούµε το µετασχηµατισµό LP p c c Τα αναλογικό φίλτρο βασικής ζώνης ου έχει συχνότητα αοκοής c 9 έχει συνάρτηση µεταφοράς LP 9 9 c c 9 Η συνάρτηση µεταφοράς του ειθυµητού ψηφιακού φίλτρου είναι LP 9 9,73 3 9 3 9, 73,4,6 Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -
Σεραφείµ Καραµογιάς Η συνάρτηση µεταφοράς του φίλτρου είναι Η εξίσση διαφορών του φίλτρου είναι Y X,4,6 y n,6 y n,4 x n,4 x n και οι υλοοιήσεις σε άµεση δοµήικαι ΙΙ είναι x n,4 y n,4,6 x n,4 y n,6,4 Παρατηρούµε ότι το ψηφιακό φίλτρο είναι ρώτης τάξης, ός και το αντίστοιχο αναλογικό. Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -3
Παράδειγµα Σεραφείµ Καραµογιάς Να σχεδιάσετε IIR φίλτρο βασικής ζώνης το οοίο να εξασθενίζει µονοτονικά τις συχνότητες. Η ζώνη διέλευσης του φίλτρου να εκτείνεται µέχρι τα 5, ενώ η εξασθένιση στη ζώνη αυτή να µην υερβαίνει το,5db. Η µέγιστη εξασθένιση στο όριο της ζώνης αοκοής να είναι 5 db, ενώ η συχνότητα στο όριο της ζώνης αοκοής να είναι 75. Το όλο σύστηµα λειτουργεί µε συχνότητα δειγµατοληψίας K. Η σχεδίαση να γίνει µε βάση το διγραµµικό µετασχηµατισµό. Λύση: Το φίλτρο βασικής ζώνης είναι τύου Buerworh, αφού ρέει να αρουσιάζει µονοτονική εξασθένηση για όλες τις συχνότητες. Υολογίζονται η αράµετρος ταλαντώσεν ζώνης διέλευσης και η αράµετρος εξασθένησης ζώνης αοκοής του αναλογικού φίλτρου R p log ε ε,,5 db R p j ε A log A A 3,63 5 db A A p Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -4
Σεραφείµ Καραµογιάς Παράδειγµα Να σχεδιάσετε IIR φίλτρο βασικής ζώνης το οοίο να εξασθενίζει µονοτονικά τις συχνότητες. Η ζώνη διέλευσης του φίλτρου να εκτείνεται µέχρι τα 5, ενώ η εξασθένιση στη ζώνη αυτή να µην υερβαίνει το,5db. Η µέγιστη εξασθένιση στο όριο της ζώνης αοκοής να είναι 5 db, ενώ η συχνότητα στο όριο της ζώνης αοκοής να είναι 75. Το όλο σύστηµα λειτουργεί µε συχνότητα δειγµατοληψίας K. Η σχεδίαση να γίνει µε βάση το διγραµµικό µετασχηµατισµό. Λύση: Αό τις συχνότητες p και του ειθυµητού φίλτρου ροσδιορίζουµε τις αντίστοιχες συχνότητες του ειέδου- αντιστάθµιση στρέβλσης p p n p,4 n,7 n p n n n Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -5
Σεραφείµ Καραµογιάς Για την αόκριση ισχύος στη συχνότητα έχουµε j j p Για την αόκριση ισχύος στη συχνότητα p έχουµε p c c N N A ε c p c N A N ε p N A ε Εοµένς η τάξη του φίλτρου είναι log [ A / ε ] N log p,63 N 3 Η συνάρτηση µεταφοράς του ρτότυου φίλτρου Buerworh τρίτης τάξης είναι p p p3 p4,5 j,866,5 3 j,866 p 3 p,5 j,866 3 c p4 5 p p p Οι όλοι της - σ Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -6
Η συνάρτηση µεταφοράς του ρτότυου φίλτρου Buerworh τρίτης τάξης είναι p 3 Σεραφείµ Καραµογιάς Η συχνότητα p τουρτότυου φίλτρου δηλαδήτουφίλτρου ουέχει c βρίσκεται ς j c j p ε N p 3 c ε p 6 ε, p,7 j ε j c N A p Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -7
Σεραφείµ Καραµογιάς Μετατροή φίλτρου βασικής ζώνης σε φίλτρο διαφορετικής βασικής ζώνης Για να µετατρέψουµε ένα αναλογικό φίλτρο βασικής ζώνης µε συχνότητα p στο όριο της ζώνης διέλευσης σε ένα άλλο φίλτρο βασικής ζώνης µε συχνότητα p στο όριο της ζώνης διέλευσης, εκτελούµε το µετασχηµατισµό LP p p Μετασχηµατίζουµε το ρτότυο φίλτρο c και µε συχνότητα p,7 στο όριο της ζώνης διέλευσης, σε φίλτρο ου έχει συχνότηταστο όριο της ζώνης διέλευσης ίσηµε p,4και έχουµε p LP p p p 7, p,4 p 3, 7 LP 5, 5,86 3,4 3 Εφαρµόζουµε το διγραµµικό µετασχηµατισµό και έχουµε τη συνάρτηση µεταφοράς του ζητούµενου IIR ψηφιακού φίλτρου. LP 5, 3 5,86 3,4 Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -8
ιαδικασία Σχεδίασης Σεραφείµ Καραµογιάς ίνονται οι ροδιαγραφές του χαµηλοερατού ψηφιακού φίλτρου p,, R p και Α και θέλουµε να ροσδιορίσουµε την αφού ρώτα σχεδιάσουµε ένα ισοδύναµο αναλογικό φίλτρο και στη συνέχεια αεικονίσουµε αυτό στο ψηφιακό φίλτρο. Ειλέγεται η συχνότητα δειγµατοληψίας. Η ειλογή αυτή είναι αυθαίρετη, µορούµε για ευκολία να λάβουµε. Yολογίζονται οι αναλογικές συχνότητες p n p n 3 Σχεδιάζεται ένα αναλογικό φίλτρο α µε ροδιαγραφές p,, R p καια. Αυτό γίνεται σχεδιάζοντας είτε ένα φίλτρο Bueworh είτε ένα φίλτρο Chebyhev. 4 Τέλος, ροσδιορίζουµε τη συνάρτηση µεταφοράς του ψηφιακού φίλτρου θέτουµε και ανατύσσουµε την συνάρτηση µεταφοράς του ψηφιακού φίλτρου σε άθροισµα αλών κλασµάτν του - Μετασχηµατισµός αναλογικών φίλτρν σε ψηφιακά -9