ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Έστω συνάρτηση f για την οποία ισύουν είναι συνεής στο κλειστό [α,β] είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) Τότε υπάρει τουλάιστον ένα σημείο ξ του (α,β), τέτοιο ώστε να είναι : f (ξ) = ΑΠΟΔΕΙΞΗ (εκτός ύλης) Θεωρώ τη συνάρτηση g() = f() η g είναι συνεής στο [α, β] και παραγωγίσιμη στο (α, β) και ισύουν g(α) = f(α) α = = β f(α) αf(α) αf(β) + αf(α) =βf(α) αf(β) g(β) = f(β) β = = β f(β) αf(β) βf(β) + βf(α) =βf(α) αf(β) Άρα g(α) = g(β) και επομένως ισύει το Θ.Rolle και επομένως υπάρει ξϵ(α,β) ώστε g (ξ) = f (ξ) = 0 Αρα f (ξ) = ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Ο τρόπος απόδειξης του Θ.Μ.Τ αποτελεί και μέθοδο επίλυσης των ασκήσεων Το θεώρημα μέσης τιμής ή θεώρημα του Lagrange, είναι αν όι το σπουδαιότερο, ένα από τα σπουδαιότερα θεωρήματα του διαφορικού λογισμού. Η αξία του στην μονοτονία και τη σταθερότητα των συναρτήσεων είναι τεράστια. Το Θεμελιώδες θεώρημα του διαφορικού λογισμού( Θεώρημα μέσης τιμής Δ.Λ) ή Θεώρημα των πεπερασμένων αυξήσεων όπως συναντάται σε διάφορες βιβλιογραφίες, εκτιμάει κατά κάποιο τρόπο τη διαφορά f(β)-f(α) των τιμών μιας συνάρτησης f στα άκρα ενός διαστήματος [α,β] ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ Θ.Μ.Τ ψ f(β) f(α) Α Μ ο α ξ β Το f (ξ) είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της c f στο σημείο Μ(ξ,f(ξ)) και το κλάσμα f( ) f( ) είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΑΒ. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι Θ.Μ.Τ λέει ότι υπάρει σημείο Μ της γραφικής παράστασης της f ανάμεσα στα Α και Β στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη της ευθείας ΑΒ Β

ΜΕΘΟΔΟΣ. Μία κατηγορία ασκήσεων είναι εκείνες όπου μας ζητείται να εξετάσουμε αν εφαρμόζεται το Θεώρημα Μέσης τιμής ή να βρούμε παραμέτρους για να εφαρμόζεται το Θεώρημα Μέσης Τιμής.. Εκείνες όπου μας ζητείται να δείξουμε ότι υπάρει σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης όπου η εφαπτομένη, στο σημείο αυτό είναι παράλληλη προς κάποια ευθεία που διέρεται από κάποιο σημείο. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να εξετάσετε αν για την συνάρτηση f με τύπο f() +, =, > ισύει το Θεώρημα Μέσης Τιμής στο [, ] και να βρεθούν τα ξ [-,] για τα οποία ισύει: f() f( ) f (ξ) = 5 Εξετάζουμε αν είναι συνεής στο [,]. Για < είναι συνεής ως πολυωνυμική Για < είναι συνεής ως πολυωνυμική. Μένει να εξετάσουμε στο και για τούτο παίρνουμε πλευρικά όρια lim f() = lim ( + ) = 0 και lim f() = lim ) = + = 0 = f( ). Επομένως είναι συνεής ( Παραγωγίσιμη f () =, <, > και =- έω: Αν < Αν > f() f( ) + f() f( ) + = f() ( + ) = + + f() f( ) =. Επομένως και lim = + = f() + = ( )( + ) = = ( ). Επομένως + + f() f( ) lim = lim + ( ) =. Επομένως f ( ) =. Αρα η συνάρτηση είναι παραγωγίση στο (,) και τελικά έουμε f () =,, > και για να βρούμε τα ξ πρέπει να λύσουμε την εξίσωση f (ξ) =. Παρατηρούμε ότι είναι όλα τα ξ και αυτά που προκύπτουν από τη λύση ξ = ξ = ξ = ξ = ±. Αρα ξ [, + ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Θεωρούμε τη συνάρτηση με τύπο f() = + α + β, [, 0] γ + +, (0, ]. Να βρείτε τις τιμές των α,β,γ R έτσι ώστε να ισύει το Θεώρημα μέσης τιμής Πρέπει η συνάρτηση να είναι συνεής στο [-,]. < 0 είναι συνεής ως πολυωνυμικά το ίδιο και όταν 0 <. Για = 0 πρέπει: lim f() = lim f() lim ( + α + β) = lim (γ + + ) β = και ο τύπος της

συνάρτησης γίνεται f() = + α +, [,0] γ + +, (0,]. Θα πρέπει να είναι και παραγωγίσιμη f() f(0) Αν < 0 τότε = + α + f() f(0) = + α και lim = lim ( + α) = α f() f(0) Αν > 0 τότε = γ + + f() f(0) = γ + και lim = lim (γ + ) = f() f(0) f() f(0) Πρέπει lim = lim α = Επομένως β=, α= και γ R(ελεύθερη τιμή) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:[,] R, με f()= και f()=. Να αποδείξετε ότι υπάρει τουλάιστον ένα σημείο Α 0, f( 0 ) της C f όπου η εφαπτομένη της είναι παράλληλη στην ευθεία ψ = + Αφού η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο [,] θα είναι και συνεής στο [,]. Άρα από Θ.Μ.Τ θα έω ότι υπάρει τουλάιστον ένα για το οποίο ισύει: f() f() f ( ) = = = που είναι και ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης στο Α. Επομένως είναι παράλληλη στην ευθεία ψ = + ΜΕΘΟΔΟΣ Αν συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) και συνεής στο [α,β] και κάποιο αρατηριστικό σημείο του (α,β) εφαρμόζουμε δύο φορές το θεώρημα Μ.Τ στα διαστήματα [α, ] και [, β] Τέτοιο σημείο είναι π. ) μία ρίζα της f()=0 ) το μέσο του διαστήματος ) Σαν μπορούμε να πάρουμε ένα οποιοδήποτε σημείο του (α,β). Αν το θεώρημα Μ.Τ εφαρμόζεται στο [α,β] θα εφαρμόζεται και σε κάθε κλειστό υποδιάστημα του [α,β] 4) Κάποιο τυαίο σημείο που φαίνεται από τα δεδομένα της άσκησης 5) Γενικότερα ένα σημείο του οποίου είτε γνωρίζω την τιμή ή κάποια σέση που να περιέει την τιμή του ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δίνεται η συνάρτηση f η οποία είναι συνεής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) με f(α) = f(β). Να αποδείξετε ότι, (α, β)τέτοια ώστε f ( ) + f ( ) = 0 Αφού η f είναι συνεής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β), θα είναι και συνεής στα α, α + β + β α + β + β και α, β και παραγωγίσιμη στα α, και α, β. Εφαρμόζω το Θ. Μ. Τ σε καθένα από τα διαστήματα αυτά και έω:

Υπάρει α, α + β α + β f με f ( ) = f(α) = α + β α Υπάρει α + β, β με f ( ) = f(β) f f α + β f(α) f ( ) + f ( ) = + + β α + β = f(β) f α + β = f α + β f(α) f(β) f α + β ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:[α,β] R, με f(α)=β και f(β)=α. Να δειθεί ότι: α) υπάρει 0 (α, β), τέτοιο ώστε f( 0 ) = 0 β) υπάρουν ξ, ξ τέτοια ώστε f(ξ ) f(ξ ) = α) Αφού η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο [α,β] θα είναι συνεής στο [α,β]. Θεωρώ τη συνάρτηση g() = f(). Η g είναι συνεής στο [α, β]ως διαφορά συνεών Ακόμη g(α) = f(α) α = και g(β) = f(β) β = α β και επομένως g(α) g(β) = (α β) < 0 αφού α β Από Θ.Β έω ότι υπάρει τουλάιστον ένα 0 (α, β)τέτοιο ώστε g( 0 ) = 0 f( 0 ) = 0 β) Θεωρώ τα διαστήματα [α, ] και [, β] όπου και στα δύο η fείναι παραγωγίσιμη αφού είναι παραγωγίσιση στο [α, β]. Αρα θα είναι και συνεής στα [α, 0 ] και [ 0, β]. Επομένως και στα δύο εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ και έω: για το [α, ] ότι υπάρει ξ (α, ) ώστε f (ξ ) = f( ) f(α) = β α α και για το [, β] ότι υπάρει ξ (, β) ώστε f (ξ ) = f(β) f( ) β f (ξ ) f (ξ ) = β α α β = = 0 = α = α β β 4

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Ορισμένες φορές απαιτείται να ωρίσουμε το πεδίο ορισμού σε περισσότερα από υποδιαστήματα και μάλιστα σε σημεία ιδιαίτερα. ΓΕΝΙΚΑ Έστω ότι μας ζητείται να δείξουμε ότι για μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο [α,β] υπάρουν ξ, ξ,, ξ για τα οποία ισύει λ f (ξ ) + λ f (ξ ) + + λ f (ξ ) = κ Εκείνο που μας ενδιαφέρει είναι το πρώτο μέλος και οι συντελεστές των f. Πρέπει εδώ να ωρίσουμε το αρικό διάστημα [α,β] σε ν- υποδιαστήματα. Ενεργούμε ως εξής. Χωρίζουμε το διάστημα [α,β] σε ίσα υποδιαστήματα κ το πλήθος όπου κ = λ + λ + + λ και επομένως το καθένα θα έει πλάτος δ = κ. Το πρώτο διάστημα είναι [α, α + λ δ] = α, α + λ το επόμενο θα είναι κ [α + λ δ, α + (λ + λ )δ] = α + λ κ, α + (λ + λ ) και ούτω καθεξής. κ Και το τελευταίο διάστημα θα είναι [α + (λ + λ + + λ )δ, β] = α + (λ + λ + + λ ) κ, β Σήμα α + (λ + λ )δ.. β α α + λ δ α+(λ + λ + λ )δ Εφαρμογή Δίνεται συνάρτηση f συνεής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β). Να αποδειθεί ότι: α) υπάρουν ξ, ξ, ξ (α, β) έτσι ώστε f (ξ ) + f (ξ ) = f (ξ) β) υπάρουν ξ, ξ, ξ, ξ (α, β) έτσι ώστε f (ξ ) + f (ξ ) + f (ξ ) = f (ξ) γ) Αν f(α) = α και f(β) = β να δείξετε ότι υπάρουν ξ, ξ, ξ, ξ (α, β) έτσι ώστε f (ξ ) + f (ξ ) + f (ξ ) = Οι συντελεστές των f (ξ ) και f (ξ ) είνηαι και αντίστοια με + =. Αρα δ = Πρέπει λοιπόν να ωρίσουμε το [α,β] σε δύο υποδιαστήματα. Και επειδή οι συντελεστές είναι τι και τα πλάτη των διαστημάτων θα είναι δ και δ. Άρα τα διαστήματα θα είναι α, α + α + β = α, και το άλλο προφανώς είναι α + β, β. Εφαρμόζω Θ. Μ. Τ και στα δύο και έω: f α + β f(α) f (ξ ) = με ξ α, α + β και f (ξ ) = f(β) f α + β 5

f(β) f α + β f (ξ ) =, με ξ α + β, β και f α + β f(α) f(β) f α + β f (ξ ) + f (ξ ) = + = Τό f (ξ) = προκύπτει αν εφαρμόσω Θ. Μ. Τ στο [α, β] = = f (ξ) β) Οι συντελεστές των f (ξ ), f (ξ ), f (ξ ) είναι, και αντίστοια και + + =. Αρα δ =. Επειδή ο συντελεστής του f (ξ ) είναι το πρώτο διάστημα έει πλάτος δ και είναι α, α +. Τ άλλο διάστημα επειδή ο συντελεστής του f (ξ ) είναι, θα έει πλάτος και είναι α +, α + και το τρίτο διάστημα είναι προφανώς α +, β. Εφαρμόζω και στα το Θ. Μ. Τ και έω f α + f(α) f (ξ ) = f (ξ ) = f (ξ ) = f α + f(α) α + = α f α + f α + α + α = f α + f α + με ξ α, α + f α + f α + με ξ α +, α + f (ξ ) = f(β) f α + β α + = f(β) f α + f (ξ ) = f(β) f α + με ξ α +, β και f (ξ ) + f (ξ ) + f (ξ ) = + f(β) f α + = f α + f(α) f α + f α + + + προκύπτει αν εφαρμόσω Θ.Μ.Τ στο (α,β) = = f (ξ)με ξ (α, β)και το f (ξ)

γ) Με τον ίδιο τρόπο όπως στο β) καταλήγουμε ότι: f (ξ ) + f (ξ ) + f (ξ ) = = = Παράδειγμα 4 Έστω συνάρτηση συνεής στο [0,5] και παραγωγίσιμη στο (0,5). Αν f(0)= και f(5)=5, να δείξετε ότι υπάρουν ξ, ξ, ξ (0, 5) τέτοια, ώστε f (ξ ) + f (ξ ) + 4 f (ξ ) = 5 Χωρίζουμε το διάστημα [f(0),f(5)]=[,5] που έει πλάτος δ=5-=4 σε μέρη ανάλογα των αριθμητών, δηλαδή ανάλογα των αριθμών,,4. Για τούτο ενεργούμε ως εξής: α. + + 4 = 7 και δ 7 = 4 = και έτσι το πρώτο διάστημα θα έει πλάτος = 7 και θα είναι το [, + ] = [,]. Τό δεύτερο διάστημα θα έει πλάτος = 4 και θα είναι το [, +4]=[,7]. Το τρίτο διάστημα θα έει πλάτος 4 =8 και θα είναι [7,7+8]=[7,5] 4 8 7 5 f( ) f( ) β. Τώρα εφαρμόζοντας το Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών θα έουμε ότι υπάρουν, (0,5) ώστε f( ) = και f( ) = 7. Εφαρμόζω Θ. Μ. Τ σε καθένα από τα διαστήματα [0, ], [, ], [, 5] και έω: f (ξ ) = f( ) f(0) = = f (ξ ) = με ξ (0, ) f (ξ ) = f( ) f( ) = 7 4 = f (ξ ) = με ξ (, ) f (ξ ) = f(5) f( ) = 5 7 = 8 4 5 5 5 f (ξ ) = 5 με ξ (, 5) Άρα έουμε f (ξ ) + f (ξ ) + 4 f (ξ ) = + + 5 = 5 ΜΕΘΟΔΟΣ Όταν έουμε πληροφορίες για την παράγωγο εφαρμόζουμε Θ.Μ.Τ και κάνουμε πράξεις στη διαφορά Παράδειγμα Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο [0,5] με f(0)= και ισύει f () για κάθε (0, 5) να δείξετε ότι 7 f(5) 5 7

Επειδή η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο [0,5] θα είναι και συνεής στο [0,5] Εφαρμόζω Θ.Μ.Τ στο [0,5] και έω f (ξ) = f(5) f(0) 5 f (ξ) = f(5) με ξ (0,5) 5 f () για κάθε (0,5)θά έω ότι και f (ξ) 5 επειδή όμως ισύει f(5) 5 5 5 f(5) 5 + f(5) + 7 f(5) Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f συνεής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β). Αν υπάρει γ R, ώστε f () < γ για κάθε (α, β), να δείξετε ότι για κάθε, (α, β) με ισύει: f( ) f( ) < γ Ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ στο [, ]. Οπότε υπάρει ξ (, ) ώστε f (ξ) = f( ) f( ) f (ξ) = f( ) f( ) f( ) f( ) < γ f( ) f( ) < γ f( ) f( ) < γ Παράδειγμα Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισύει f () > 4 + για κάθε R. Να δείξετε ότι lim f() = + Εφαρμόζω Θ.Μ.Τ στο [0,] αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο R. f() f(0) f (ξ) = και αφού f () > + για κάθε R θα έω ότι και f (ξ) > ξ + f() f(0) > ξ + f() > (ξ + ) + f(0) lim f() lim ((ξ + ) + f(0)) lim f() + (ξ + ) + f(0) lim f() + lim f() = + ΜΕΘΟΔΟΣ 4 Όταν θέλουμε να αποδείξουμε μια σέση στην οποία παρουσιάζεται σέση με παράγωγο ανώτερης τάξης ωρίζουμε το διάστημα σε κατάλληλα υποδιαστήματα και εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ ή Θ.R ή Θ. Β για τις f, f, f,. Παράδειγμα Δίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [,4]. Αν f()=f()+f(4) να αποδείξετε ότι υπάρει ένα τουλάιστον ξ (,4) τέτοιο, ώστε f (ξ)=0 8

Στα διαστήματα [,] και [,4] η f είναι συνεής και παραγωγίσιμη αφού είναι παραγωγίσιμη στο [,4]. Σε καθένα από τα διαστήματα αυτά εφαρμόζω το Θ.Μ.Τ και έω: f (ξ ) = f() f()με ξ (,) και f (ξ ) = f(4) f() και από τη δοθείσα f() = f() + f(4) f() f() = f(4) f() f (ξ ) = f (ξ ) Εφαρμόζω Θ. R στο [ξ, ξ ] για την f. Η f είναι συνεής στο και παραγωγίσιμη στο [ξ, ξ ] αφού υπάρει η f στο [,4] και f (ξ ) = f (ξ ) Επομένως από το Θ. R για την f έω ότι υπάρει τουλάιστον ένα ξ (ξ, ξ ) (,4) τέτοιο, ώστε f (ξ)=0 Παράδειγμα Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι παραγωγίσιμη στο R με συνεή πρώτη παράγωγο. Αν γ (,) με [f(γ) f()] [f() f(γ)] < 0 να αποδείξετε η ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει σε ένα τουλάιστον σημείο τον άξονα Η συνάρτηση f αφού είναι παραγωγίσιμη στο R θα είναι και παραγωγίσιμη και συνεής στα διαστήματα [,γ] και [γ,]. Εφαρμόζω Θ.Μ.Τ σε καθένα από τα διαστήματα αυτά και έω f(γ) f() f() f(γ) f (ξ ) = με ξ γ (, γ) και f (ξ ) = με ξ γ (γ, ) Η συνάρτηση f είναι συνεής στο [ξ, ξ ] αφού από τα δεδομένα είναι συνεής σε όλο το R f(γ) f() f() f(γ) f (ξ ) f (ξ ) = < 0 διότι < γ < γ > 0 και γ > 0 γ γ και από υπόθεση [f(γ) f()] [f() f(γ)] < 0 Επομένως ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θ.Β στο [ξ, ξ ] για την f. Άρα θα υπάρει τουλάιστον μία ρίζα της εξίσωσης f ()=0. Παράδειγμα Έστω συνάρτηση f η οποία είναι συνεής σε ένα διάστημα [α,β] και με συνεή παράγωγο στο (α,β). Αν ισύει f(α)=f(β)=0 και υπάρουν αριθμοί γ (α,β), δ (α,β) έτσι ώστε να ισύει f(γ) f(δ)<0, να αποδείξετε ότι : α) υπάρει τουλάιστον μία ρίζα της εξίσωσης f()=0 στο διάστημα (α,β) β) υπάρουν σημεία ξ, ξ (α, β)τέτοια ώστε f (ξ ) < 0 και f (ξ ) > 0 γ) η εξίσωση f ()=0 έει μία τουλάιστον ρίζα Θέμα εξετάσεων Μάϊος 00 Αφού f(γ) f(δ)<0, τα f(γ) και f(δ) είναι ετερόσημοι αριθμοί. Έστω f(γ)>0 και f(δ)<0. Ακόμη έστω γ<δ. Τότε επειδή f(γ) f(δ)<0 από θεώρημα Bolzano στο [γ,δ] έω ότι ξ ξ ξ ξ α γ ξ δ β υπάρει ξ (γ,δ) ώστε f(ξ)=0. Εφαρμόζω Θεώρημα μέσης τιμής στα διαστήματα [γ,ξ] και [ξ,δ] και έω: f(ξ) f(γ) f (ξ ) = = f(γ) ξ γ ξ γ < 0, με ξ f(δ) f(ξ) (γ, ξ) και f (ξ ) = = f(δ) δ ξ δ ξ < 0, με ξ (ξ, δ) Ακόμη εφαρμόζω θεώρημα μέσης τιμής στα διαστήματα [α,γ] και [δ,β] f(γ) f(α) f (ξ ) = = f(γ) γ α γ α > 0, ξ (α, γ) και 9

f(β) f(δ) f (ξ ) = = f(δ) β δ β δ < 0. Εφαρμόζω θεώρημα μέσης τιμής για την f στο [ξ, ξ ] f (ξ ) = f (ξ ) f (ξ ) = f(γ) ξ ξ ξ ξ ξ γ f(γ) γ α < 0 Παρόμοια αν εφαρμόσω το θεώρημα μέσης τιμής στο [ξ, ξ ] Αφού αποδείξαμε ότι υπάρουν ξ, ξ (α, β)τέτοια ώστε f(ξ ) f(ξ ) < 0 εφαρμόζω Θ. Β για την f στο [α,β] και προκύπτει ότι η εξίσωση f()=0 έει μία τουλάιστον ρίζα στο (α,β) ΜΕΘΟΔΟΣ 5 Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ανίσωση της μορφής μ Μ αντικαθιστούμε το με f (ξ) από το θεώρημα Μ. Τ Δύο βασικές ανισώσεις είναι:. e + για κάθε R. ln για κάθε R Καλό θα είναι και απέξω να τις ξέρουμε και να ξέρουμε να τις αποδεικνύουμε Παράδειγμα Να δειθεί ότι < e < e για κάθε > 0 Θεωρώ τη συνάρτηση f() = e και εφαρμόζω το Θ. Μ. Τ στο [0, ]. Η f είναι συνεής και παραγωγίσιμη σε όλο το R άρα και σε οποιοδήποτε διάστημα της μορφής [0, ]. Αρα εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ f() f(0) f (ξ) = f (ξ) = e e επομένως f (ξ) = e. Τελικά έουμε e = e f (ξ) = e με 0 < ξ < e < e < e < e με ξ (0, ). Αλλά f () = e και < e < e < e ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Το δύσκολο σε τέτοιου είδους ασκήσεις είναι να βρεί κανείς την συνάρτηση όπου θα εφαρμόσει το Θ.Μ.Τ. Άλλες φορές γίνεται φανερό από την εκφώνηση και άλλες φορές πρέπει να το βρούμε εμείς δημιουργώντας τη διαφορά f(α)-f(β), όπως στην επόμενη άσκηση ΣΥΜΒΟΥΛΗ Με την λύση πολλών ασκήσεων αποκτά κανείς εμπειρία και μπορεί να την βρει ευκολότερα. Σεδόν να την μαντέψει. Παράδειγμα Χρησιμοποιώντας το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού να αποδείξετε ότι ln + + < ln( + ) < ln + Τροποποιώντας τη δοθείσα έω ln + + < ln( + ) < ln +, > 0 0

+ < ln( + ) ln <, > 0 Θεωρώ τη συνάρτηση f() = ln, > 0 η οποία είναι συνεής και παραγωγίσιμη στο (0, + ). Άρα εφαρμόζεται το θεώρημα μέσης τιμής στο διάστημα [,+] για κάθε >0. Επομένως υπάρει ξ (,+) τέτοιο ώστε: f( + ) f() ln( + ) ln f (ξ) = ή f (ξ) = = ln( + ) ln με 0 < < ξ < + + + ξ + < ξ < + < ln( + ) ln < + + ln < ln( + ) < + ln Παράδειγμα Να αποδειθεί ότι για κάθε α, β R συν α συν β α β Αν α=β έουμε συν α συν β α β Αν α β τότε με α < β Θεωρώ την συνάρτηση f() = συν, με [α, β] Είναι συνεής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) με f ()=συν ημ=ημ Επομένως από θεώρημα μέσης τιμής έω ότι υπάρει ξ (α,β) τέτοιο, ώστε να ισύει f (ξ) = ημξ = συν β συν α = συν β συν α συν β συν α ημξ = συν β συν α Αλλά ημξ συν β συν α Παράδειγμα 4 Αν 0 < α < β <, να αποδειθεί ότι: ασυνα βσυνβ < α β Θεωρώ τη συνάρτηση f() = συν στο [α, β]. Η f είναι συνεής στο [α, β] και παραγωγίσιμη στο (α, β)και μάλιστα f () = συν ημ. Επομένως εφαρμόζεται το θεώρημα μέσης τιμής βσυνσυνα και άρα υπάρει ξ (α, β) τέτοιο, ώστε f (ξ) = = βσυνσυνα βσυνσυνα συνξ ξημξ = συνξ ξημξ = βσυνσυνα βσυνσυνα διότι συνξ ξημξ συνξ + ξημξ + ξ ημξ + = αφού 0 < α < ξ < β < Παράδειγμα 5 Να αποδείξετε ότι α α > β β, αν αe > βe > Από τη δοθείσα έω lnα > lnβ αlnα > βlnβ αlnα βlnβ > 0. Θεωρώ τη συνάρτηση f() = ln, [β, α] Για την f έω ότι είναι συνεής στο [α, β] ως γινόμενο συνεών και παραγωγίσιμη στο (β, α) και μάλιστα f () = ln +. Επομένως ισύει το θεώρημα μέσης τιμής. Αρα υπάρει ξ (β, α) τέτοιο, ώστε f (ξ) = αlnα βlnβ α β lnξ + = αlnα βlnβ α β ln(ξe) = αlnα βlnβ α β με β < ξ < α

Αλλά με β < ξ < α < βe < ξe < αe ln < ln(βe) < ln(ξe) < ln(αe) ln(ξe) > 0 αlnα βlnβ Επομένως και > 0 και αφού α β > 0 τότε αlnα βlnβ > 0 αlnα > βlnβ α β α > β Παράδειγμα Να αποδείξετε ότι e e π π > e π Από την δοθείσα λογαριθμίζοντας και τα δύο μέλη έω ln(e e π π ) > lne π lne e + lnπ π > lne π elne + πlnπ > πlne elne πlne > π(lne lnπ) lne(e π) > π(lne lnπ). Θεωρώ τη συνάρτηση f() = ln στο [e, π]. Η οποία είναι συνεής και παραγωγίσιμη στο [e, π]. Με f () =. Επομένως ισύει το θεώρημα μέσης τιμής και άρα f(π) f(e) υπάρει ξ (e, π) τέτοιο, ώστε f (ξ) = f(π) f(e) = με e < ξ < π τότε π e ξ π e π < ξ < e και f(π) f(e) < < π π e e lnπ lne < < π π e e lnπ lne < π e < π(lnπ lne) π π e lne(e π) > π(lne lnπ) e e π π > e π Παράδειγμα 7 Έστω f: R R μια παραγωγίσιμη συνάρτηση με: f(0) = 0 και f() e f() = για κάθε R α) Να εκφραστεί η f συναρτήσει της f β) Να αποδειθεί ότι η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και να βρεθεί ο αριθμός f (0) γ) Να αποδειθεί ότι οι συναρτήσεις f και f είναι γνησίως αύξουσες δ) Να αποδειθεί ότι f() f () για κάθε R. Πότε ισύει το ίσον: α) Από τη δοθείσα έουμε f() e f( ) = και παραγωγίζοντας έω: f () + f ()e f( ) = f () + e f( ) = f () = + e f( ) β) Η παράσταση είναι παραγωγίσιμη ως πηλίκον παραγωγίσιμων. Αρα και η f + e f( ) παραγωγίζεται και επομένως f () = + e f( ) ( + e f( ) ) = e f( ) f () ( + e f( ) ) = e f( ) ( + e f( ) ) e f( ) f (0) = ( + e f( ) ) = e ( + e ) =. Από τα δεδομένα f(0) = 0 8 γ) Η f ()>0 για κάθε R. Αυτό θα το δούμε αργότερα. Αποδεικνύεται όμως και όπως παρακάτω: Εστω ότι η f δεν είναι γνησίως αύξουσα. Τότε θα υπάρουν, με < και f( ) f( ) Τότε f( ) f( ) e f( ) e f( ) e f( ) e f( ) f( ) e f( ) f( ) e f( ) που είναι άτοπο. Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα για κάθε, R με < έω f( ) < f( ) f( ) > f( ) e f( ) > e f( )

+ e f( ) > + e f( ) + e f( ) < + e f( ) f ( ) < f ( ) Αρα η f είναι γνησίως αύξουσα δ) Για =0 ισύει ως ισότητα Έστω >0. Εφαρμόζω θεώρημα μέσης τιμής στο [0,] και έω ότι f (ξ) = f() f(0) = f() με 0 < ξ < και αφού η f γνησίως αύξουσα f (0) < f (ξ) < f () < f() < f () < f() < f () Έστω <0. Εφαρμόζω θεώρημα μέσης τιμής στο [,0] και έω ότι f(0) f() f (ξ) = = f() με < ξ < 0 και αφού η f γνησίως αύξουσα f () < f (ξ) < f (0) 0 f () < f() < αφού < 0, < f() < f (). Τελικά για κάθε R έω: < f() < f () Ασκήσεις διάφορες ΑΣΚΗΣΗ Να λυθεί η εξίσωση 5 + 7 = + 0 Από τη δοθείσα έω 5 + 7 = + 0 5 = 0 7 Θεωρώ τη συνάρτηση f(t) = t. Είναι συνεής και στο [,5]και [7,0] και παραγωγίσιμη στα διαστήματα (,5) και (7,0) με f (t) = t. Εφαρμόζω Θεώρημα μέσης τιμής στα διαστήματα αυτά και έω f (ξ ) = 5 με ξ (,5) και f (ξ ) = 0 7 με ξ (0,7)και από την εξίσωση 5 = 0 7 f (ξ ) = f (ξ ) ξ = ξ ξ ξ = 0 = 0 ή ξ ξ = 0 = 0 ή ξ = ξ = 0 ή = Διότι ξ = ξ ξ = 0 = 0 = αφού ξ ξ 0, ξ 0 ΑΣΚΗΣΗ Έστω συνάρτηση συνεής στο γ (α,β) και παραγωγίσιμη στο (α,γ) (γ,β). Αν υπάρει το lim f () = λ R, να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται στο γ με f (γ) = λ γ f() f(γ) f() f(γ) Η παράγωγος στο γ υπάρει αν ισύει: lim = lim γ γ Αν εφαρμόσω το θεώρημα μέσης τιμής στο διάστημα [γ, ]θά εω ) είναι συνεής στο [γ, ] διότι είναι παραγωγίσιμη (γ,] και συνεής στο γ, άρα συνεής στο [γ,]. Παραγωγίσιμη στο (γ,) από υπόθεση. Τότε από Θεώρημα μέσης τιμής υπάρει ξ (γ,) για ο οποίο ισύει: f() f(γ) f (ξ) = και συγκεκριμένα αφού το μεταβάλλεται τότε το ξ κάθε φορά θα είναι γ διαφορετικό και εξαρτώμενο από το και επομένως μπορεί να γραφεί ως ξ(). Αρα μπορούμε

f() f(γ) f() f(γ) να γράψουμε f (ξ()) = και lim f (ξ()) = lim γ γ διότι: όταν γ τότε lim ξ() = γ όπως φαίνεται από το σήμα = lim f () = λ γ ξ() Παρόμοια όταν το γ και επομένως f (γ) = lim f () = λ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Ο συμβολισμός ξ() σημαίνει ότι το το ξ εξαρτάται από το. Και είναι λογικό αφού κάθε φορά που αλλάζουμε το θα αλλάζει και το διάστημα [γ,] και επομένως το ξ ΑΣΚΗΣΗ Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [0,] και για κάθε (0,) ισύει ότι f (). Αν f (0) = f () και f (0) f () 0, να αποδείξετε ότι: ) Υπάρει ξ (0,) ώστε f (ξ)=0 ) f (0) + f () 4 ) Από την f (0) = f () έω ότι f (0) f () = (f ()) < 0 αφού f (0) f () 0. Επομένως από Θ. Bolzano στο (0,) για την f έω ότι υπάρει ξ (0,) τέτοιο ώστε f (ξ) = 0 ) Εφαρμόζω Θ.Μ.Τ για την f στο διάστημα [0,ξ] και στο διάστημα [ξ,] και έω: f (ξ) f (0) f ( ) = = f (0) f (0) = ξf ( ξ ξ ) με (0,). Παρόμοια έω f () f (ξ) f ( ) = = f () ξ ξ f () = ξf ( ) με (0,). Επομένως f (0) + f () = ξf ( ) + ( ξ)f ( ) = ξ f ( ) + ( ξ) f ( ) ξ + ( ξ) = 4 ΑΣΚΗΣΗ 4 Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α,β) συνεής στο [α,β] και τέτοια ώστε να είναι f(α)=f(β)=0 και f(γ)>0 για κάποιο γ του (α,β). Να δείξετε ότι υπάρει ξ (α,β) τέτοιο ώστε να ισύει f (ξ)<0 Η συνάρτηση f ικανοποιεί το Θ.Μ.Τ στα διαστήματα [α,γ] και [γ,β]. Επομένως έω: f(γ) f(α) f (ξ ) = = f(γ) γ α γ α > 0 και ξ f(β) f(γ) (α, γ) και f (ξ ) = = f(γ) β γ β γ > 0 και ξ (γ, β) Η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ. Μ. Τ στο [ξ, ξ ] αφού η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη f (ξ) = f (ξ ) f(γ) f (ξ ) β γ f(γ) f(γ) γ α β γ + f(γ) γ α = = < 0 ξ ξ ξ ξ ξ ξ 4

AΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση με f(x) = e (α + β + γ) με 8α + β 4αγ < 0. Να δειθεί ότι δεν υπάρει ευθεία η οποία τέμνει τη γραφική παράσταση της συνάρτηση σε τρία σημεία ΑΣΚΗΣΗ Έστω f συνεής συνάρτηση στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β). Να αποδείξετε ότι για κάθε κ,ν ϵn υπάρουν ξ, ξ ϵ(α, β) ώστε κf (ξ ) + νf f(β) f(a) (ξ ) = (κ + ν) β a ΑΣΚΗΣΗ Έστω συνάρτηση f συνεής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) με f(α)=f(β), Να δειθεί ότι υπάρουν ξ, ξ ϵ(α, β) ώστε f (ξ ) + f (ξ ) = 0 ΑΣΚΗΣΗ 4 Έστω f συνάρτηση συνεής στο [,] και παραγωγίσιμη στο (,) με f()=k, f()=k+ και f()=k, kϵr. Nα αποδείξετε ότι υπάρουν ξ, ξ ϵ(,) τέτοια,ώστε f (ξ ) + f (ξ ) = 0 ΑΣΚΗΣΗ 5 Εστω συνάρτηση f συνεής στο [,4] και παραγωγίσιμη στο (,4). Αν f()+f()=f()+f(4) να αποδείξετε ότι υπάρουν ξ, ξ ϵ(,4) τέτοια ώστε f (ξ ) + f (ξ ) = 0 ΑΣΚΗΣΗ Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [-,] με f(-)=- και f()=. Να αποδείξετε ότι υπάρουν ξ, ξ ϵ(,) ώστε f (ξ ) + f (ξ ) = ΑΣΚΗΣΗ 7 Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [α,β] με f(α)= και f(β)=5. Να αποδείξετε ότι υπάρουν ξ, ξ ϵ(α, β) τέτοια ώστε f (ξ ) + f (ξ ) = ΑΣΚΗΣΗ 8 Έστω συνάρτηση f συνεής στο [0,8] και παραγωγίσιμη στο (0,8). Επίσης ισύει η σέση f(x ) = 4f(x) για κάθε ϵ[0,8]. Να δειθεί ότι υπάρουν δύο σημεία Α(, f( )) και Β(, f( )) ώστε οι εφαπτόμενες σε αυτά να είναι παράλληλες. 5

ΑΣΚΗΣΗ 9 Δίνεται συνάρτηση f συνεής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι υπάρει γϵ(α,β) τέτοιο ώστε f(γ)=f(α)+f(β). Να αποδείξετε ότι υπάρουν, ϵ(α, β) ώστε ΑΣΚΗΣΗ 0 f ( )(γ α) = f ( )(β γ) Έστω συνάρτηση f συνεής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) τέτοιο ώστε f(α)=β και f(β)=α. Να αποδειθούν ότι. Υπάρει ϵ(α, β) τέτοιο ώστε f( ) =. Να δειθεί ότι υπάρουν, ϵ(α, β) τέτοια f ( )f ( ) = ΑΣΚΗΣΗ Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [α,β] με f()>0 δια κάθε ϵ[α,β]. Να αποδείξετε ότι υπάρουν ξ, ξ, ξ ϵ(α, β)όι κατ ανάγκη διαφορετικά ώστε να ισύει f (ξ ) f(ξ ) + f (ξ ) f(ξ ) = f (ξ ) f(ξ ) ΑΣΚΗΣΗ Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [,9] με f()+f(9)=f(5). Να αποδείξετε ότι υπάρει ξϵ(,9) τέτοιο ώστε f (ξ)=0 ΑΣΚΗΣΗ Έστω η συνάρτηση f τρείς φορές παραγωγίσιμη στο R με f()=f(), f()=f(), f(4)=4f(). Να δειθεί ότι υπάρει ξϵ(,4) τέτοιο ώστε f (ξ)=0 ΑΣΚΗΣΗ 4 Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [0,] με f(0)=f( ) = και και f( ) = f() =. Να δειθεί ότι υπάρουν, ϵ(0,)ώστε: f ( ) + f ( ) > 8 ΑΣΚΗΣΗ 5 Εστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R με f () για κάθε ϵr. Να δειθεί ότι ΑΣΚΗΣΗ Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [α,β] η οποία παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο γϵ(α,β). Αν ισύει f () <θ για κάθε ϵ(α,β) και θϵr να αποδείξετε ότι: f (α) + f (β) < θ () ΑΣΚΗΣΗ 7 Να δειθούν οι ανισότητες. εφα < ln(συνα) ln (συνβ) < εφβ με α, β R και 0 < α < β < π

. ln με > 0. + e e + με ϵr 4. + e e + με ϵr 5. < ln( + ) <, με > 0 +. < ln( + ) <, με > 0 ΑΣΚΗΣΗ 8 I. Να αποδείξετε ότι ημ-ημψ -ψ για κάθε,ψ ϵr II. Να συμπεράνετε ότι ημ ΑΣΚΗΣΗ 9 Θεώρημα μέσης τιμής του Cauchy Έστω f,g συναρτήσεις συνεείς στο [α,β] και παραγωγίσιμες στο (α,β). Τότε υπάρει ένα τουλάιστον ξϵ(α,β) τέτοιο ώστε: f (ξ) g(β) g(α) = g (ξ)() ΑΣΚΗΣΗ 0 Δίνονται οι συναρτήσεις f,g συνεείς στο [α,β] και παραγωγίσιμες στο (α,β) με g () 0 για κάθε ϵ(α,β). Να δειθεί ότι: I. g(α) g(β) II. Υπάρει ξϵ(α,β) τέτοιο ώστε f( ) f( ) ( ) ( ) ( ) III. Υπάρει ξϵ(α,β) τέτοιο ώστε f( ) f( ) = f ( ) ΑΣΚΗΣΗ Έστω ότι η συνάρτηση είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο (α,β), συνεής στο [α,β] και ισύουν : f(α)=f(β)=0 f(γ)>0 για κάποιο γϵ(α,β) Να δείξετε ότι υπάρει σημείο ξ του ανοικτού διαστήματος (α,β) τέτοιο ώστε να είναι f (ξ)<0 7