3) Μία συνάρτηση f είναι ορισμένη στο διάστημα (3,5) με f (x)>0, για κάθε x (3,5). Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 4 με

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ 1) Δίνεται η συνάρτηση με '(0) 0. 3, ( ) 0, 0 0. Να δείξετε ότι ) Δίνεται η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο 0. a, ( ) 5,.α, β=; ώστε η να 3) Μία συνάρτηση είναι ορισμένη στο διάστημα (3,5) με ()>0, για κάθε (3,5). Αν η είναι παραγωγίσιμη στο 4 με ( ) (4) (4)=8 (4), να βρείτε το όριο lim 16. 4 1

4) Δίνεται η συνεχής :R R για την οποία ισχύει ( ) lim 3. Να βρείτε τους αριθμούς α) (4),β) (4), 4 ( ) γ) lim. 7 1 4 5) Έστω η συνάρτηση :R R παραγωγίσιμη στο α. Να δείξετε ότι ( ) a ( a) a lim a '( a) ( a) a ( a). 6) Δίνεται η συνάρτηση :R R παραγωγίσιμη στο 0 0 για την οποία ισχύει ( ) ( ) 0, R. Να δείξετε ότι (0)=1.

7) Έστω συνάρτηση :R R για την οποία ισχύει: h ( h) h h 3h, h R. Αν η είναι συνεχής στο 0 να δείξετε ότι:α) Η είναι παραγωγίσιμη στο,β) ()+ ()=0. 0 8) Δίνεται η συνάρτηση :R R για την οποία ισχύουν: (+ψ)= ()-3αψ(+ψ)-α 3,, R και αr. Επίσης (-)=-15 και (3)=55.α) α=;, β) Να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο του R 0. 9) Για την συνάρτηση : (, ) R ισχύει ()-ψημψ (+ψ) ()+ψημψ,,ψ(-, ). Να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη σε κάθε 0 (, ). 3

10) Έστω συνάρτηση :R R συνεχής στο R, για την οποία ισχύει: ( ) 1, για 0. Να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο 0 με (0)=1. 11) Αν η συνάρτηση a, 1 ( ), 1 στο 1 με (1)=1, να βρεθούν τα α, β, γ. 0 είναι παραγωγίσιμη 1) Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 =0 με (0)= (0)= 3, να υπολογίσετε: α) lim β) lim 0 ( ) 3. 0 ( ) 3, 4

13) Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 με ( ) ()=1 και ()=-1 να υπολογίσετε τα όρια:α)lim, 4 3 v v ( ) 8 ( ) β) lim, γ) lim, v N, v 3. ( v )( ) 14) Δίνονται οι συναρτήσεις και g παραγωγίσιμες στο σημείο 0, για τις οποίες υποθέτουμε ότι ισχύει: ( ) g ( ) 5 [ ( ) g( )], R. Να δείξετε ότι g (0)= (0)=. 15) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο σημείο 0 και η συνεχής συνάρτηση g τέτοια ώστε ()= g (), R. Να δείξετε ότι g (0)=0. 5

16) Δίνεται η συνάρτηση :R R για την οποία ισχύουν: i) (0)=0,ii) (0)=0, iii) (+ψ)= ()+ (ψ)+ () (ψ)-ημημψ,, R.Να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη σε κάθε 0 R με ( 0 )=-ημ( 0 ). 17) Έστω συνάρτηση συνεχής στο 0 =1, για την οποία (1 ) υποθέτουμε ότι ισχύει: lim =3. Να δείξετε ότι: 0 α) (1)=-, β) (1)=4. 18) Αν η συνάρτηση : R * R * είναι παραγωγίσιμη στο 0 =1 * και ισχύει (ψ)= () (ψ),, R, να δείξετε ότι είναι * παραγωγίσιμη στο R. 19) Δίνεται η συνάρτηση συνεχής στο 0 R για την οποία ισχύει lim h 0 ( 0 h) h =8. Να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο 0. 6

0) Αν η συνάρτηση παραγωγίζεται στο 0 R, να υπολογίσετε το lim h 0 ( 0 h) ( 0 4h 3h h). 1) Αν είναι (ψ)= ()+ (ψ) και ()+g ()= * g (),, R και lim g ()=1, να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη σε κάθε 1 R*. 0 ) Να προσδιορίσετε τις τιμές των α, βr για τις οποίες είναι ( 1) ( a ) e παραγωγίσιμη στο 0 η συνάρτηση ()=lim t 1 e t t. 7

3) Έστω ότι 3 ( ), F( ) 0, 0 0, όπου συνάρτηση ορισμένη στο R με (0)= (0)=0. i) Να δείξετε ότι η F είναι παραγωγίσιμη στο 0. ii) Να υπολογίσετε το lim 0 3 ( ) 3 3. *4) Αν δίνεται η μη σταθερή συνάρτηση :R R ώστε, R 4 ( ) 4 ( ) να ισχύει (+ψ)= και η να είναι παραγωγίσιμη στο 4 ( ) ( ) 0, τότε να δείξετε ότι:i) () <, R.ii) η περιττή,iii) η παραγωγίσιμη σε κάθε 0 R. *5) Έστω :R R παραγωγίσιμη στο 0 συνάρτηση με ( 0 )=0. Να δείξετε ότι: i) Αν ( 0 )=0, τότε η είναι παραγωγίσιμη στο 0. ii) Αν η είναι παραγωγίσιμη στο 0, τότε ( 0 )=0. 8

7 6) Αν ( ) ( ) 0 δείξετε ότι (0)=-1., R και η είναι συνεχής στο 0, να 7) Δίνονται οι συναρτήσεις, g για τις οποίες ισχύουν: ( a ) ( a) g( ) ( ) g( a), a, R. Να δείξετε ότι (0) 0, '(0) 1, g(0) 1, g'(0) 0 ()=g (), R. 8) Δίνονται οι συναρτήσεις :R R και g:r R με τις ιδιότητες: α) Είναι παραγωγίσιμη στο α. β) (α)=g (α). γ) ()+ g ()+α, R. Να δείξετε ότι: (α)+1=g (α). 9) Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο 1, να δείξετε ότι η ( συνάρτηση g ()= ), 1 είναι παραγωγίσιμη στο 1, με ( 1), 1 g (1)= (1). 3 30) Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει: ( ), 0 (4)=;. 9

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ- ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ, 0 1) Δίνεται η ()=. Να βρείτε την εξίσωση της 3 1, 0 εφαπτομένης της C στο κοινό της σημείο με τον ψ ψ. ) Έστω η ()=. Να εξετάσετε αν υπάρχει εφαπτομένη της C στο 0 =0. 3) Δίνεται η ()= 1. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C που σχηματίζει: i) με τον γωνία 4, ii) με τον ψ ψ γωνία 6. 4) Δίνεται η ()= a 1, 0, 0 1. Να προσδιορίσετε τα α, βr ώστε η να παραγωγίζετε στο 0 =0. Στη συνέχεια να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο Μ (0, (0)). 10

a 5) Δίνονται οι συναρτήσεις ()= 3 3 και g ()=, α0. Να προσδιορίσετε το α ώστε η εφαπτομένη της εφαπτομένη και της C g. C στο 0 =1 να είναι 4 3 6) Δίνονται οι συναρτήσεις ( ), g ( ) 3. Να βρείτε τις κοινές εφαπτομένες των C και C g που διέρχονται από το Μ (3,-1). 7) Δίνεται η ( ). Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της C που άγονται από το Μ (,3). 8) Δίνεται η ()= 3. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της C που διέρχονται από το Μ (,8). 9) Να βρείτε τα α, βr ώστε οι ( ) a 1, g( ) να έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη 0 =1. 11

10) Αν a, 1 ( ), 1 να βρείτε τα α, β, γr ώστε η έχει στο σημείο Α (1, (1)) εφαπτομένη παράλληλη στην (ε):4-ψ-=0. C να 1 11) Να βρείτε το αr ώστε οι ( ) 3 a, g( ) να έχουν κοινή εφαπτομένη σε ένα κοινό τους σημείο. 1) Να βρείτε το λr ώστε η ευθεία (ε):ψ=λ-3 να εφάπτεται στην ()= και κατόπιν να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων επαφής. 13) Δίνονται οι ()=ln εφ και g ()= a. Αν οι C, Cg τέμνονται στον στο 0 [ o, ) και οι εφαπτομένες στις C, Cg στο 0 ταυτίζονται, να βρείτε τον τύπο της g. 14) Να δειχτεί ότι η ευθεία ψ=-1 είναι κοινή εφαπτομένη των ( ) και ( ) 6 3 g. 1

15) Να βρεθεί εφαπτομένη της ( ), που να σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο εμβαδού τ.μ. a 16) Η συνάρτηση ( ) εφάπτεται του άξονα στο 4( 1) σημείο Α με τετμημένη 4. Να βρεθούν οι αριθμοί α και β. 17) Δίνονται οι ( ) e και g ()=ln. Να δείξετε ότι οι εφαπτομένες στα σημεία που τέμνουν τους άξονες είναι παράλληλες. 18) Δίνεται η παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση, για την οποία ισχύουν:i) η C δεν διέρχεται από το Α (1,1), ii) ( ) ( ) 1, R εφαπτομένης της. Να βρεθεί η εξίσωση της =1. C στο σημείο με τετμημένη 0 19) Να βρεθεί το lim ln e. ln 13

3 0) Δίνεται η ( ) και το σημείο της Μ (α, (α)), α0. Να δείξετε ότι i) η εφαπτομένη της C στο Μ έχει με τη C και άλλο κοινό σημείο, το Ν. ii) Η κλίση της C στο Ν είναι τετραπλάσια της κλίσης της C στο Μ. 1) Να δείξετε ότι από το σημείο Μ (λ,-) άγονται κάθετες 1 εφαπτομένες προς τη C της ( ). 8 ) Δίνεται η συνάρτηση :RR* με την ιδιότητα: (-ψ)= () (ψ)+ημημψ. Να δειχτεί ότι: i) (0)=1. ii) ( ). iii) είναι άρτια. iv) ( ) ( ). v) ()=συν. vi) 1 Η κλίση της στο είναι. 6 14

3) Να δείξετε ότι οι εφαπτομένες της 4, 0 ( ),0 6 στα κοινά της σημεία με την ευθεία (η):-5ψ+6=0 είναι κάθετες. 4) Αν μία συνάρτηση :RR είναι περιττή και παραγωγίσιμη στο (0,+ ) να δείξετε ότι η C έχει την ίδια κλίση στα σημεία της με αντίθετες τετμημένες. 5) Δίνεται η :RR με την ιδιότητα ()- (-1)+, R. i) Να βρεθεί ο τύπος της. ii) 1 Να δείξετε ότι από τα σημεία της ευθείας με εξίσωση ψ=- άγονται κάθετες εφαπτομένες προς τη C. 15

a 6) Έστω η ()=, α0. Μ ένα σημείο της C και ε η εφαπτομένη της C στο Μ. Να δείξετε ότι: i) η είναι παραγωγίσιμη και να βρεθεί η παραγωγός της. ii) Η (ε) έχει με τη C μοναδικό κοινό σημείο το Μ. iii) Η (ε) σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο σταθερού εμβαδού. 7) Αν ()= v, v N *, να εξετάσετε αν υπάρχουν σημεία της C στα οποία οι εφαπτομένες της είναι παράλληλες μεταξύ τους. 8) Να βρεθεί το σημείο του άξονα ψ ψ, από το οποίο οι εφαπτομένες που άγονται στη C της ( ) είναι μεταξύ τους κάθετες. 9) Δίνεται η a ( ), α0 και ένα μεταβλητό σημείο Μ της C. Αν η εφαπτομένη της C στο Μ τέμνει τους άξονες και ψ ψ στα Α, Β, να δείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ έχει σταθερό εμβαδόν. 16

30) Αν η είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R με ( ), R και ( ) 0 0, με βr, να δείξετε ότι η ευθεία ψ=λ+β είναι εφαπτομένη της C στο ( ( ) ). 0, 0 31) α, β=; ώστε η εφαπτομένη της () στο 0 =0 να είναι παράλληλη της ευθείας -ψ=1. Δίνεται ln ( 1), 1 0 ( ) a, 0. ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1) Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: 3 1 i) ( ) ( e ). ii) ( ) ln ( 1). 3 4 iii) ( ) 5. iv) ( ), 0. 17

) Να βρεθεί η δεύτερη παράγωγος της 3 4 3, 1 ( ). 3 6 8, 1 3) Μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο Α=(0,+ ) και για κάθε R ισχύει ( e ) 3. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο της Μ(1, (1)). 4) Δίνεται η συνάρτηση ()=συν3. Να δείξετε ότι η ν-οστή ( v) v παράγωγος της δίνεται από τη σχέση ( ) 3 ( v 3), v N *. 5)Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R και για κάθε, ψr ισχύει (+ψ)= ()- (ψ), να βρείτε το (0). 18

6) Μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R με (0)=1. Αν για κάθε, ψr είναι (+ψ)+ (-ψ)= (), να δείξετε ότι ()=1, για κάθε R. 7) Δίνεται η συνάρτηση ( ) 4 (4a ) 4a 1. i) Να δείξετε ότι η C διέρχεται από σταθερό σημείο Α για κάθε αr. ii) Να βρείτε για ποια τιμή του αr, η ευθεία με εξίσωση ψ=+3 εφάπτεται της C στο σημείο Α. 8) Αν νν* και a1 a a33... av( v), για κάθε R να δείξετε ότι a 1 a 3a3... vav 1 όπου a 1, a, a3,..., a v σταθεροί πραγματικοί αριθμοί. 9) Έστω μία παραγωγίσιμη στο R με (1)=1. Αν g( ) ( ), R, να δείξετε ότι η εφαπτομένη της C στο σημείο Α(1, (1)) εφάπτεται της C g στο σημείο Β(0,g (0). 19

10) Έστω η συνάρτηση: 1 ) 0, 0 (, 0 i) Να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη. ii) Να βρείτε το lim 0 1 ( ) 1.. 11) Να βρείτε πολυώνυμο P () τέτοιο ώστε Ρ (0)=3 και ( P '( )) P''( ) 3( P( ) 3), για κάθε R. 1) Δίνεται η πολυωνιμική συνάρτηση βαθμού ν. Να δείξετε ότι: i) ο α είναι ρίζα πολλαπλότητας τουλάχιστον της (α)= (α)=0. ii) Αν η έχει μόνο απλές και πραγματικές ρίζες, τότε το πολυώνυμο ( ( )) ( '( )) δεν έχει πραγματική ρίζα. 0

*13) Δίνονται οι συναρτήσεις ()=ημ και g ()= 3 3 5 1 Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδική κοινή εφαπτομένη των C, Cg η οποία και να προσδιοριστεί.. 3 *14) Αν ()=ημ3-3 και g ()= 7, να βρείτε τις 3 εξισώσεις των εφαπτομένων των C, Cg οι οποίες είναι παράλληλες μεταξύ τους. 15) Έστω πολυώνυμο P( ) a( p1 )( p)( p3) με α0. Να δείξετε ότι: i) P'( ) P( ) 1 p 1 1 p p. 1 1 p 1 p 3, για κάθε διάφορο των ριζών p 1, p και 3 ii) P ( p 1 ) P ( p ) P ( p 3 )0. iii) P () P ()< ( P '( )). iv) p1 p p3 0. P' ( p1) P'( p ) P'( p3) 1 1 1 v), αν δ0. p1 p p3 vi) Το άθροισμα Ρ ( p 1)+Ρ ( p )+Ρ ( p 3 ) είναι ομόσημο του α. 1

16) Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα ΔR. Αν η είναι παραγωγίσιμη σε ένα εσωτερικό σημείο 0 και η είναι αύξουσα στο Δ, να δείξετε ότι ( 0 )0. * 17) Αν a1, a,..., av R 1 και τότε να δείξετε ότι '( 0 ) 0. ( ) a1 a... av με (0)=0, 18) Αν η F είναι παραγωγίσιμη στο α με (α)0, να δείξετε ότι η h ()= ( ) ( ) είναι παραγωγίσιμη στο α. 1 19) Να υπολογίσετε: lim ( 1). 0

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 1) Η πλευρά α ενός κύβου αυξάνεται με ρυθμό,5 cm/sec. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής: i) Του όγκου του, τη χρονική στιγμή που η πλευρά του είναι 10 cm. ii) Της επιφάνειας του, τη χρονική στιγμή που ο όγκος του 3 είναι 16 cm. 9 ) Δίνεται η συνάρτηση ( ) και τα σημεία Ο(0,0), Α(,0) και Μ(, ()), >0. Αν το αυξάνει με ρυθμό 1 cm/sec, τότε τη χρονική στιγμή t 1 κατά την οποία το τρίγωνο ΟΑΜ είναι ισοσκελές, να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής:α) της απόστασης (ΟΜ),β) της γωνίας θ= AOM. 3) Μία βιομηχανία κατασκευάζει ένα παιχνίδι το οποίο έχει κόστος 10.000 δρχ. και πωλείται προς 34.000 δρχ. το ένα. Από έρευνες έχει διαπιστωθεί ότι ο αριθμός Ρ των πωλήσεων εξαρτάται από τα έξοδα (σε δρχ.) για την διαφήμιση σύμφωνα με τον τύπο >0. α) Να βρείτε το κέρδος Κ της βιομηχανίας ως συνάρτηση του ποσού που δαπανάται για την διαφήμιση, β) Να βρείτε το ανώτατο ποσό που πρέπει να δαπανήσει η βιομηχανία αυτή για να είναι ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους θετικός. P, 3

3 4) Ο όγκος V μίας σφαίρας αυξάνεται με ρυθμό 18π cm / sec. Α) Να βρείτε το ρυθμό αύξησης της επιφάνειας της σφαίρας τη χρονική στιγμή που η ακτίνα της είναι 3cm.β) Να βρείτε την ακτίνα της σφαίρας τη χρονική στιγμή που η επιφάνεια της αυξάνεται με ρυθμό 6 cm / sec. 5) Μία λάμπα βρίσκεται 1m ψηλότερα από ένα πεζοδρόμιο στο οποίο βαδίζει ένας άνθρωπος ύψους 1,8 m, που απομακρύνεται από τη λάμπα με ρυθμό 4 m/sec. Να βρείτε αν μεγαλώνει ή μικραίνει η σκιά του και πόσο γρήγορα. 6) Ένα σημείο Μ (,ψ) κινείται στην παραβολή ψ=4, ώστε η τεταγμένη του ψ να μειώνεται με ρυθμό 8 μον./sec. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης όταν =6. 4

*7) Ένας πεζοπόρος Π ξεκινάει από το σημείο Α και βαδίζει γύρω από μία κυκλική λίμνη κέντρου Ο και ακτίνας R=3km με ταχύτητα σταθερού μέτρου 4,5 km/h. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του μήκους της χορδής ΑΠ κατά τη χρονική στιγμή t 0 που η γωνία θ=αοπ είναι ίση με 3 rad. 8) Δίνεται ορθή γωνία οψ και το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ μήκους 10 m, του οποίου τα άκρε Α και Β ολισθαίνουν πάνω στις πλευρές Οψ και Ο αντίστοιχα. Το σημείο Β κινείται με σταθερή ταχύτητα υ=m/s και η θέση του πάνω στον άξονα Ο δίνεται από τη συνάρτηση S (t)=υt, t[0,5], όπου t ο χρόνος σε sec. Α) Να βρεθεί το Ε (t) του τριγώνου ΑΟΒ ως συνάρτηση του χρόνου. Β) Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού Ε (t) τη στιγμή κατά την οποία είναι (ΟΑ)=6cm. (Α Δέσμη 1993) 5

9) Ένα αντεστραμμένο κωνικό δοχείο ύψους 8 cm και με ακτίνα βάσης 4cm είναι γεμάτο με νερό. Στον πυθμένα του δοχείου που είναι η κορυφή του κώνου, ανοίγουμε μία οπή από την οποία ρέει 3 νερό με ρυθμό 1 cm / min. Να βρεθεί: α) η σχέση που συνδέει τον όγκο του νερού με το ύψος h της στάθμης του νερού κάθε χρονική στιγμή t. β) Ο ρυθμός με τον οποίο κατεβαίνει η στάθμη του νερού τη χρονική στιγμή κατά την οποία το ύψος της είναι 6 cm. Εμβαδόν σφαίρας: Ε=4π R 4 Όγκος σφαίρας: V= π 3 R 3 Εμβαδόν κώνου: Ε=πRλ+π R 1 Όγκος κώνου: V= π R υ 3 R Μήκος τόξου: S= 180 Χρήσιμοι τύποι ή S=θR R Ε κ. τομέα= 1 ή θ R, θ: ακτίνια. 360 6

10) Ένα σημείο Μ κινείται στη γραφική παράσταση της 3 συνάρτησης ( ) ( 1). Η τετμημένη του Μ κινείται με σταθερό ρυθμό 1 πάνω στον θετικό ημιάξονα Ο. Να βρείτε: i) Μία σχέση που να συνδέει τη γωνία θ (ε) που να σχηματίζει η εφαπτομένη ευθεία της γραφικής παράστασης της στο Μ με τον άξονα και την τετμημένη του σημείου Μ. ii) Το ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ (t) τη χρονική στιγμή που η εφαπτομένη ευθεία στο Μ είναι παράλληλη στην ευθεία ε:3-ψ+=0. 11) Ένα μπαλόνι ανεβαίνει από το έδαφος με την ταχύτητα 40 m/min και εντοπίζεται από ένα αποστασιόμετρο που βρίσκεται στο σημείο Α και απέχει 00 m από το σημείο απογείωσης. Να βρείτε το ρυθμό με τον οποίο μεταβάλλονται η γωνία θ και η απόσταση d, όταν το μπαλόνι βρίσκεται 00 m πάνω από το έδαφος. 1) Ένα σώμα κινείται σε κυκλική τροχιά με εξίσωση =4. Καθώς περνάει από το σημείο Α(-1, 3 ) η τετμημένη του ελαττώνεται με ρυθμό 6 μον./sec. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του τη χρονική στιγμή που το σώμα περνάει από το Α. Το σώμα περνάει από το Α ακολουθώντας θετική φορά κίνησης ή όχι; 7

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE 3 5 1) Να δείξετε ότι η εξίσωση 4 λ=0 έχει το πολύ μία 3 ρίζα στο διάστημα (,3) για κάθε λr. ) Να δείξετε ότι η 4 3 18 μ=1 δεν μπορεί να έχει δύο διαφορετικές ρίζες στο (1,). 4 3 3) Να δείξετε ότι η εξίσωση 3 0 έχει το πολύ δύο πραγματικές ρίζες για κάθε λ,μr. 5 3 4) Να δείξετε ότι η εξίσωση 3 5 5 1 0, έχει μία ακριβώς πραγματική ρίζα. 5) Αν α, β και γr με α0 να δείξετε ότι η εξίσωση 4 3 a 6a 0, έχει το πολύ δύο πραγματικές ρίζες. 8

6) Να δείξετε ότι η εξίσωση 4 3 3( a 1) a, α, βr έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (0,1). 7) Έστω μία συνάρτηση συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιμη 3 3 στο (α, β) με ( a) ( ) a. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ(α, β) ώστε (ξ)=3ξ. 8) Έστω συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [α, β] και παραγωγίσιμη στο (α, β). Να δείξετε ότι υπάρχει γ(α, β) ώστε ( a) ( ) (γ)=. 9) Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο [1,], παραγωγίσιμη στο (1,) και ()= (1), να δείξετε ότι υπάρχει (1,), ώστε ( 0 '( 0 ). 0 ) 0 9

4 10) Αν α+5β+10γ=0, να δείξετε ότι η εξίσωση a 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (0,1). 11) Σε ένα αγώνα δρόμου δύο αθλητές τερματίζουν ταυτόχρονα. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον μία χρονική στιγμή t 0 στη διάρκεια του αγώνα, κατά την οποία οι δύο αθλητές έχουν την ίδια ταχύτητα. 1) Αν η συνάρτηση είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο [α, β] με (α)= (β) και (α)= (β), να δείξετε ότι υπάρχει ξ(α, β) ώστε (ξ)=0. 13) Να δείξετε ότι η εξίσωση 3 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (0,1). a 14) Αν α, β, γ, δr και 0 να δείξετε ότι η εξίσωση 4 3 3 a 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (0,1). 30

4 3 15) Αν η εξίσωση a 3 0 έχει όλες τις ρίζες της πραγματικές και άνισες μεταξύ τους να δείξετε ότι α >8β. 16) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των 4 3 4 3 ( ) 7 5 και g ( ) 4 έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο στο διάστημα (1,). 17) Δίνεται η συνάρτηση :[0,1](0,1) συνεχής στο διάστημα [0,1] και παραγωγίσιμη στο (0,1) με '( ) 1, για κάθε (0,1). Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ(0,1) ώστε (ξ)=ξ. 18) Να δείξετε ότι μεταξύ δύο τυχαίων ριζών της e ημ=1 βρίσκεται μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης e συν+1=0. 19) Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) και g ()=χημ+συν. Να δείξετε ότι οι C και C g έχουν δύο ακριβώς κοινά σημεία που έχουν τετμημένες (,0) και (0, ). 1 31

0) Έστω οι συναρτήσεις και g συνεχείς στο διάστημα [α, β] και παραγωγίσιμες στο (α, β) με (α)= (β)=0 και ()g () ()g (), για κάθε [α, β]. Να δείξετε ότι η εξίσωση g ()=0 έχει ρίζα στο (α, β). 1) Δίνεται η ()=(-1)(-)(-3). i) Να βρείτε την. ii) Να βρεθεί το πλήθος των πραγματικών ριζών του πολυώνυμου g ( ) ( )( 3) ( 1)( 3) ( 1)( )( 3). ) Έστω :RR παραγωγίσιμη συνάρτηση. Να δείξετε ότι ( ) υπάρχει γr ώστε '( ). 1 3) Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [0,1], (0)=0 και ( ) 0, για κάθε 0, να δείξετε ότι υπάρχει γ(0,1) '( ) '(1 ) ώστε. ( ) (1 ) 3

4) Δίνεται η k ( ) 3 6, 0, 0. Να βρείτε τα κ, λ, μr, ώστε για την στο [-,] να εφαρμόζεται το Θ. Rolle. 3 5) Να δείξετε ότι η εξίσωση 1 a 0, αr έχει το πολύ μία και μάλιστα απλή ρίζα στο (-,). 6) Να δείξετε ότι η εξίσωση e 1 έχει μία και μόνο πραγματική ρίζα. 5 3 7) Να δείξετε ότι η εξίσωση a 0 με 9a -0β<0, γr, έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα. 8) Να δείξετε ότι για την ()=ημ στο διάστημα [0,π], ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle και στη συνέχεια ότι η εξίσωση εφ+=0 έχει στο (0,π) μία τουλάχιστον ρίζα. 33

9) Η συνάρτηση :[α, β]r είναι συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β) και (α)= (β)=0. Ν α δείξετε ότι: ( ) i) Για την συνάρτηση F ()=, με c[α, β], υπάρχει c 0 (α, β) ώστε F ( 0 )=0. ii) Αν c[α, β] υπάρχει 0 (α, β) ώστε η εφαπτομένη της C στο ( ( ) ) να διέρχεται από το (c,0). 0, 0 30) Η συνάρτηση :[1,4]R είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύουν (1)= και (4)=8. Να δείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη της C που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Αν επιπλέον ()0 για κάθε (1,4), να δείξετε ότι η εφαπτομένη αυτή είναι μοναδική. a 0 4 v 31) Αν είναι... 0, να δείξετε ότι η v 1 v a a a n 1 v 3 1... av 1 a v εξίσωση a 0 1 v 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (-1,1). a 1 34

3) Έστω Ρ () πολυώνυμο ν βαθμού (ν) που έχει ν, ανά δύο άνισες, πραγματικές ρίζες. Να δείξετε ότι το Ρ () έχει το πολύ μία ρίζα μεγαλύτερη από τη μεγαλύτερη ρίζα του πολυωνύμου Ρ (). 33) Η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα[0,], παραγωγίσιμη στο (0,). Να δείξετε ότι υπάρχει ξ(0,) ώστε (ξ)= (-ξ). 34) Η συνάρτηση είναι συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β). Να δε 8ιξετε ότι υπάρχει (α, β) με '( ) '( a 0 ) ( ) ( a) a 0. 0 35) Η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο Δ=[α, β] και (α)=βγ, (β)=αγ, (γ)=αβ, ο<α<γ<β. Να δείξετε ότι: i) υπάρχουν 1 (α, γ) και (γ, β) με ( 1 ) 1 '( 1 ) ( ) '( ) 0. ii) Αν τα σημεία Κ( 1, ( 1 )), Λ (, ( ) ), Ο(0,0) είναι συνευθειακά, τότε υπάρχει ρ( 1, ) με (ρ)=0. 35

v v1 36) Αν η εξίσωση av av 1... a1 0 έχει μία θετική ρίζα ρ, v1 v να δείξετε ότι η εξίσωση vav ( v 1) av 1... a1 0 έχει επίσης θετική ρίζα μικρότερη του ρ. v 37) Δίνεται η ()= ( a) ( ), α<β μ, νν*. Να δείξετε ότι υπάρχει μόνο ένα ξ(α, β) που διαιρεί το [α, β] σε δύο τμήματα με λόγο. v ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 1) Δίνεται η a ( ) 3 1, 1, 1. Να βρεθούν τα α,β,γr ώστε να εφαρμόζεται για την το Θ.Μ.Τ. στο [-1,]. ) Να δείξετε με τη βοήθεια του Θ.Μ.Τ. τις παρακάτω ανισότητες: 1 1 1 i) ln, 0. iv) a a, α, βr. 1 ii) ae 1 ( ) e a a a a a, 0<α<β. v) <εφα-εφβ<, a iii) e e 1, 0. 0<α<β<. vi) ln( 1), 0. 1 36

3) Να δείξετε ότι: e i) - ln. e 1 ii) ημ iii) 3. 11 13 1 59 1 3. 360 360 360 4) Να δείξετε ότι: i) v 1 v v v1 Αν α>β>0, v ( a ) a va ( a ), νν*. ii), a, (0, ). a a iii), [0, ). 5) Μια συνάρτηση : [α, β]r είναι συνεχής και είναι (α)=α, (β)=β. i) Να δείξετε ότι υπάρχει γ(α, β) με (γ)=α+β-γ. ii) Αν η είναι παραγωγίσιμη στο (α, β) να δείξετε ότι υπάρχουν σημεία 1 ( a, ) και (, ) με ( 1 ) ( )=1. 37

6) Μία συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα [α, β], δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α, β) και ισχύουν (α)=α, (β)=β και (γ)=γ για κάποιο γ(α, β). Να δείξετε ότι υπάρχει ξ(α, β), ώστε (ξ)=0. 7) Ένα αυτοκίνητο διήνυσε μία διαδρομή 300 km σε 3 ώρες. Να δείξετε ότι κάποια χρονική στιγμή, κατά τη διάρκεια της διαδρομής, η ταχύτητα του αυτοκινήτου ήταν 100 km την ώρα. 8) Έστω μία συνάρτηση συνεχής στο [-,] και παραγωγίσιμη στο (-,) με ()1, (-,), (-)=- και ()=. i) Να εφαρμόσετε το Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα [-,0] και [0,]. ii) Να δείξετε ότι (0)=0. 9) Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο [0,5] με (0)=3 και 1 71 ισχύει 3 ()13 για κάθε (0,5), να δείξετε ότι (5). Πέτρος Φ. πούλης- Μαθηματικός 38

10) Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα [α, β] και παραγωγίσιμη στο (α, β), να δείξετε ότι υπάρχουν 1,, ( a, ) με 1 ώστε '( ) '( 1 ) '( ). 11) Δίνεται η συνάρτηση, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α, β] και παραγωγίσιμη στο (α, β). Αν (α)=β και (β)=α, να δείξετε ότι υπάρχει σημείο Μ(ξ, (ξ)) της C στο οποίο η εφαπτομένη είναι κάθετη στην ευθεία με εξίσωση -ψ+3=0. 1) Έστω α>0 και η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση g στο διάστημα [-α, α]. Αν g (0)=g (α)+g (-α), να δείξετε ότι υπάρχει ξ(-α, α) ώστε g (ξ)=0. 13) Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιμη στο (α, β) με (α)= (β), να δείξετε ότι υπάρχουν 1, ( a, ) ώστε ( 1 )+ ( )=0. 39

14) Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα [1,], παραγωγίσιμη στο (1,), (1)=3, ()=6, να δείξετε ότι υπάρχει σημείο της C στο οποίο η εφαπτομένη της διέρχεται από την αρχή των αξόνων. a 15) Αν ae e 1, να δείξετε ότι a. *16) Να δείξετε με το Θ.Μ.Τ. ότι ( 1 ) a 1 a, αν 0<α<1 και >0. a *17) Ομοίως: 1-α+α, 0, 0<α<1. (ανισότητα Holder). 18) Να λυθεί η εξίσωση 4 5, R 3. 19) Αν η είναι παραγωγίσιμη στο [0,1] με (0)=0, (1)=1, να δείξετε ότι υπάρχουν 1, (0,1) ώστε 1 '( ) 1 '( =. 1 ) 40

0) Δίνεται η συνάρτηση, που είναι συνεχής στο [0,1], παραγωγίσιμη στο (0,1), (0)=0 και (1)=1. Να δείξετε ότι υπάρχουν,,..., (0,1 ), ώστε '( 1)... '( v ) v. 1 v 1) Μία συνάρτηση είναι συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β) και ισχύει (α)= (β). Να δείξετε ότι υπάρχουν 1, (α, β) ώστε ( ) 4 '( ) 0. ' 1 *) Δίνεται η συνάρτηση που είναι συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β) και ισχύει ()>0, [α, β]. Να δείξετε ( a) '( ) ( ) ( ) ότι υπάρχει ξ(α, β) ώστε e. ( a) 3) Έστω συνεχής στο [0,], παραγωγίσιμη στο (0,) με (0)=0, ()=3 και (1) 1 3 (1). Να δείξετε ότι υπάρχουν 1, (0,) ώστε οι εφαπτόμενες ευθείες της C στα σημεία ( 1, ( 1) ) και ( ( ) ) να τέμνονται κάθετα., 41

4) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R. Έστω επίσης ότι η εφαπτόμενη ευθεία ε στο σημείο Α(α, (α)) της C τέμνει την C και στο σημείο Β (β, (β)). Να δείξετε ότι η δεν είναι 1-1. 5) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο ( ) e ( a ), με 8a 4a 0. Να δείξετε ότι δεν υπάρχει ευθεία η οποία να τέμνει τη C σε τρία σημεία. 6) Έστω συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο [1,3]. Αν ()- (1)- (3)=, να δείξετε ότι υπάρχει ξ(1,3) ώστε (ξ)=-. 7) Δίνεται συνάρτηση ορισμένη και συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιμη στο (α, β) με (α) (β). i) Να δείξετε ότι υπάρχει γ(α, β) ώστε 3 (γ)= (α)+ (β). ii) Να δείξετε ότι υπάρχουν 1, (α, β) ώστε ( )( a) '( )( ). ' 1 4

8) Δίνεται συνάρτηση ορισμένη και παραγωγίσιμη στο R ώστε να ισχύει (5)=5 (). Να δείξετε ότι υπάρχουν 1,, 3, 4 (1,5) 1 ώστε: '( 1) '( ) '( 3) '( 4) 0, αν ( ) 1. 5 9) Έστω συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο [0,] με (0)= ()=1. Να δείξετε ότι υπάρχει (0,) ώστε: ''( 0 ) (1) 1. 0 30) Να δείξετε: συν 13 3. 18 18 *31) Έστω συνεχής συνάρτηση στο [1,5], παραγωγίσιμη στο (1,5). Αν η είναι γνησίως φθίνουσα στο (1,3) και γνησίως αύξουσα στο (3,5) να συγκρίνετε τους αριθμούς (5)- (1) και ( (4)- ()). *3) Η συνάρτηση :[α, β]r είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α, β), συνεχής στο [α, β] με (α)= (β)=0. Να δείξετε ότι: Αν υπάρχει 0 (α, β) με ( 0 )>0, τότε υπάρχει ξ(α, β) ώστε (ξ)<0. 43

33) Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο [0,ν], νν, ν και παραγωγίσιμη στο (0,ν), να δείξετε ότι υπάρχουν, 0 1,..., v (0,ν) ώστε '( 1)... '( v ) v'( 0). 34) Η συνάρτηση :[0,4]R είναι συνεχής στο [0,4], παραγωγίσιμη στο (0,4). Αν (0)=3 και ()>1 (0,4), να δείξετε ότι η ()=0 έχει μοναδική ρίζα στο (0,4). *35) Η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [α, β] και ()0, [α, β]. Αν (α)=α (α) και (β)= (β) να δείξετε ότι υπάρχει 0 (α, β) ώστε: ( 0 ) ( 0 )=( ( 0 )) +( ( 0 )). 36) Έστω συνάρτηση συνεχής στο [0,1] και παραγωγίσιμη στο (0,1) με 0< ()<1 και ()<0, [0,1]. Αν είναι g ()= ()+ -, να δείξετε ότι: i) υπάρχει τουλάχιστον ένα 0 (0,1) ώστε ( 0 )= 0-0. ii) To 0 αυτό είναι μοναδικό. 44

37) Έστω μία παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R η οποία 1 1 ικανοποιεί τις συνθήκες: (), αν 1 και ( ), αν 1, να δείξετε ότι: i) υπάρχει 0 (-1,1) ώστε: ( 0 )=0. ii) Υπάρχει 1(-1,1) ώστε: ( 1 )1. 38) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο ( ). i) να δείξετε ότι h>0 υπάρχει θ(0,1) ώστε (h)- - (0)=h (θh). ii) Να υπολογίσετε το lim θ. h 0 39) Έστω παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση με ()< Να δείξετε ότι (4)- ()<6. 45

ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Θ.Μ.Τ.- ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ- ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ *1) Να βρεθεί η συνάρτηση :RR για την οποία ισχύει '( ) και (-1)=1. *) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση :RR για την οποία ισχύει (-) () = -5+, R. Αν (3)=7, να βρεθεί ο τύπος της. *3) Δίνονται οι συναρτήσεις,g:rr με (0)=g (0) και () = g () για κάθε R. Να δείξετε ότι: i) υπάρχει σταθερά c ώστε ()-g()=c, R. ii) Αν 1, με 1 0 είναι ρίζες της g ()=0, τότε η ()=0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο [ 1, ]. *4) Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R, (0)=- και ( 5 )=6, R, να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο Α(,()). 46

*5) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση :RR για την οποία ισχύει () (-)=1,R. Αν (0)=1, να δείξετε ότι: i) () (-)=1, R. ii) () (-)=1, R. iii) ()= e, R. *6) Μία συνάρτηση :RR έχει την ιδιότητα ( ) '( ),R. Αν (0)=0 και (0)=1, να δείξετε ότι: i) ()=-(), R. ii) Η h()= ( '( )) ( ( )) είναι σταθερή. iii) ()=ημ, R. *7) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση :[, ] R με (0)=1 για την οποία ισχύει: ()συν= ()(συν-ημ), (, ). Να δείξετε ότι e ( ), [, ]. 47

*8) Η κλίση της παραγωγίσιμης συνάρτησης :RR στο τυχαίο σημείο Μ(, ()) είναι ίση με το διπλάσιο της τιμής της στο. Αν (0)=1, να βρεθεί ο τύπος της. *9) Δίνεται η παραγωγίσιμη (0,+ )R* με (1)= 1 και '( ) 3 ( ), >0. Να βρείτε: i) την παράγωγο της g ()= ii) Τον τύπο της. 1 ( ). *10) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης :RR, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο 0 0, (0)= και για κάθε,ψr ικανοποιεί τη σχέση ( ) ( ) ( ). *11) Μία συνάρτηση :RR είναι παραγωγίσιμη, (0)= (0)= και για κάθε,ψr ισχύει ( ) ( ) ( ). Να δείξετε ότι: i) ()= (). ii) ()= e. 48

*1) Δίνεται η :RR, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο R και ικανοποιεί τις σχέσεις (+ψ) () (ψ)+ψ,,ψr και (0)= = (0)=1. Να δείξετε ότι: i) (+h)- () ()((h)-1)+h. ii) ()= ()+. iii) [-(+1) e ] =e. iv) ()=e --1, R. ( ) '( ) *13) Να βρείτε τη παραγωγίσιμη (1,+ )R, αν ln 0, >1 και η εφαπτομένη της C στο Μ(e, (e)) είναι κάθετη στην ευθεία ε:-ψ=000. *14) Αν οι συναρτήσεις,g:rr είναι δύο φορές παραγωγίσιμες στο R με ()+ ()=g ()+g () και οι γραφικές παραστάσεις των και g έχουν σε ένα κοινό τους σημείο κοινή εφαπτομένη, να δείξετε ότι ()=g (), R. 49

*15) Δίνονται οι παραγωγίσιμες,g:rr με (0)=g (0)=, ()=3g() και g ()=3 (), R. Αν h ()= ()+g () και φ ()= ()-g (), να δείξετε ότι: i) h ()=3h () και φ ()=-3φ (), R. ii) h ()=4e 3 και φ ()=0, R. iii) ()=e 3 και g ()=e 3, R. 1 16) Δίνεται για την ότι (1)=7 και ()= 6, >0. Η είναι παραγωγίσιμη στο (0,+ ). Να βρείτε τον τύπο της. *17) Να βρεθεί η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R, για την οποία '( ) ισχύει:, R και ( ) 1 e. e *18) Για μία συνάρτηση ορισμένη και παραγωγίσιμη στο (0,+ ) ισχύει: ( e '( ) ln ) 1, >0. Επίσης η C τέμνει τον στο σημείο με τετμημένη 1. Να βρεθεί ο τύπος της. 50

( 3) *19) Να βρεθεί συνάρτηση, για την οποία ισχύει ()=- >3. Επίσης η εφαπτομένη της παράλληλη της ευθείας ε 1 :ψ=6-5. C στο σημείο της Μ(4,16) είναι, *0) Να εξετάσετε αν υπάρχει συνάρτηση ορισμένη και παραγωγίσιμη στο [0, ), για την οποία ισχύει: 1 '( ), [0, ). Επίσης ( ) και 4 4 lim ()=0. *1) Να βρείτε τις παραγωγίσιμες στο (0,+ ) συναρτήσεις, για 3 1 1 τις οποίες ισχύει '( ) 4, >0. 3 4 ) Να δείξετε ότι για μια συνάρτηση :RR είναι = υπάρχει cr ώστε ()=c e. 51

* *3) Έστω συνάρτηση : R R με (+ψ)= ()+ (ψ) για κάθε,ψr. Αν η είναι παραγωγίσιμη στο 0 =0 με (0)=1 να δείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη στο R με ()= (), R. Στη συνέχεια να βρείτε τη συνάρτηση. *4) Να βρείτε τη συνάρτηση g, ορισμένη στο (, ) η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις g ()συν+g()ημ=g()συν και g(0)=199. (Εξετάσεις 199) *5) Δίνεται η συνάρτηση :RR με ( ) ( ) ( ). Να δείξετε ότι η είναι σταθερή στο R. 5

6) Να βρεθούν οι παράγουσες των συναρτήσεων: i) ( ) e 1. ii) ( ) e e. iii) ( ). 5 iv) ( ). v) ( ). 1 vi) ( ), (0, ). vii) ( ), (0, ). viii) 4 ( ) 3. *7) Δίνονται οι συναρτήσεις, g παραγωγίσιμες στο R με ()=g (), g ()= (), (0)=1, g (0)=1. i) Να δείξετε ότι η h ()= ( ) g ( ) είναι σταθερή και να βρείτε την τιμή της. ii) Να δείξετε ότι ()-g (), R. iii) Να βρείτε τις και g. *8) Δίνεται η συνάρτηση τέτοια ώστε (1)=0 και ()- (ψ)=κ ημ (-ψ),,ψr. Να βρείτε την τιμή του κ. 53

*9) Έστω συνάρτηση : (0, ) R *, παραγωγίσιμη στο (0, ). '( ) 1 Υποθέτουμε επίσης ότι ισχύει, (0, ). Αν ( ), ( ) 4 να βρείτε τον τύπο της. *30) Δίνεται συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, ώστε να ισχύει ()+ ()=0,R, καθώς επίσης (0)=1 και (0)=0. Να δείξετε ότι ()=συν,,r. 31) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο (0,+ ). Να προσδιορίσετε την αν είναι γνωστό ότι ισχύει ()- ()=1996, χ(0,+ ) και επιπλέον (1)=0. 3) Να προσδιορίσετε την συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R, αν είναι γνωστό ότι: ()=ημ, και ( ) 1, lim ( ) 54

33) Δίνονται συναρτήσεις, g παραγωγίσιμες στο R, οι οποίες 3 ικανοποιούν τις συνθήκες '( ) g'( ) g( ) και '( ) g'( ) g( ),R. Αν επιπλέον ισχύει (0)=0, να βρείτε τις, g. 34) Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο (-, ) ώστε να ισχύει 4 4 '( ), (, ). ( ) 4 4 i) Να δείξετε ότι οι ()ημ και ()συν έχουν ίσες παράγωγους. ii) Αν (0)=1, να βρείτε την. * 35) Δίνεται συνάρτηση g παραγωγίσιμη στο R η οποία ικανοποιεί τις συνθήκες g (ln)=ημ+ συν, >0 και g (0)=ημ1. Να υπολογίσετε το g ( ). 55

36) Δίνεται συνάρτηση g παραγωγίσιμη στο R ώστε να ισχύει e g' ( ), R και g (0)=0. Να υπολογίσετε το g ( ). 37) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R. Αν η είναι περιοδική με περίοδο T 0 και ισχύει (0)= (Τ), να δείξετε ότι και η είναι περιοδική με περίοδο Τ. 38) Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R με (0)=0 και η είναι άρτια συνάρτηση, να δείξετε ότι η είναι περιττή. 39) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R. Αν η είναι περιττή συνάρτηση και υπάρχει αr* ώστε (-α)= (α) να δείξετε ότι η είναι άρτια συνάρτηση. 40) Δίνονται οι, g:rr ώστε να ισχύει 3 3 3 ( ) ( ) g( ), για κάθε, ψr.i) Να δείξετε ότι =g.ii) Να βρείτε τον τύπο της. 56

41) Έστω συναρτήσεις, g δύο φορές παραγωγίσιμες στο R. Υποθέτουμε επίσης ότι η συνάρτηση ικανοποιεί τις σχέσεις (1)=g (1), ()-g ()=-3 και ()=g ()+, R. i) Να δείξετε ότι ()-g ()= 3, R. ii) Αν η εξίσωση g ()=0 έχει δύο λύσεις 1, ώστε 1< 1 <3< λύση στο ( 1,, τότε η εξίσωση ()=0 έχει μία τουλάχιστον ). 4) Έστω συνάρτηση :RR* παραγωγίσιμη στο R ώστε να ισχύει 1 ( ) =1 και επιπλέον () (1-)=e, R. Να δείξετε ότι ()=e 1 e( ), R. 43) Δίνεται συνάρτηση :RR * ώστε να ισχύει (+ψ)=e () (ψ),, ψr. Αν η είναι παραγωγίσιμη στο 0 =0 και (0)=e, να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο R και να βρείτε τον τύπο της. 57

44) Δίνονται οι συναρτήσεις, g οι οποίες είναι παραγωγίσιμες στο R και ισχύει g ()0, R. Να βρείτε τη σχέση μεταξύ των, g αν γνωρίζουμε ότι ισχύει ()g ()=()(g ()+g()), R και (0)=g (0). 45) Να δείξετε ότι η συνάρτηση με τύπο ()=ημ 6 +συν 6-3 (ημ 4 +συν 4 ) είναι σταθερή στο R και να βρείτε την τιμή της. 46) Έστω συνάρτηση :RR με (1)=4, ()=-8 και (+ψ)= ()+kψ-4ψ, kr,, ψr. i) Να βρεθεί ο kr. ii) Να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο R. iii) Να βρεθεί η συνάρτηση. 47) Έστω : (0,) R συνάρτηση τέτοια ώστε (αβ)=β(α)+α(β),, ψr. Αν η παραγωγίσιμη στο 0 =1 με (1)=1, τότε: i) Να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη. ii) Να βρείτε τη συνάρτηση. 58

48) Αν g ()= 0, 0, 0 :RR με ()=g(), R., να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση 49) Να βρείτε συνάρτηση για την οποία ισχύουν (1)=(1)=1, 3 ()>0 και ''( ) '( ) ( ) 0, 0. 50) Έστω, g δύο συνεχείς συναρτήσεις στο [ 1, ] με ()g ()- ()g()=0, ( 1, ). Αν ( 1) ( ) =0, με ( 0 )0 για κάποιο 0 ( 1, ) και g( 1) g( ) >0, να δείξετε ότι υπάρχει ξ( 1, ) ώστε g(ξ)=0. 59

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1) Να μελετηθούν ως προς μονοτονία: 5 3 i) ( ) 3. 3 ii) ( ) 3 5. iii) iv) ( ). ln ln ( ). ln ) Ομοίως: 3 1, 1 i) ( ). 15 4, 1 1 ii) ( ), [,0]. iii) ( ) (ln 1)( ) ( ) 5 iv) ( ) e e( 1) e.. 3) Ομοίως: i) ii) 3 9 1 16, 1 ( ). 3 7 84 0, 1 1( ) e, 0 g( ). 3 9 1 4, 0 60

4) Να βρεθεί το σύνολο τιμών: i) ( ) ln 3, (0,1 ]. ii) ( ). 1 5) Να αποδείξετε: e i) e, 0. e. ii) 1, 0 iii) Δίνεται η ()=εφ-- 3 3, [0, ). Να δείξετε ότι 3 εφ+. 3 iv) e 1. ln 6) Να εξετάσετε τη μονοτονία της ( ) και μετά να 3 e συγκρίνετε τους αριθμούς e και 3. 61

7) Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο [α, β] και ισχύουν (α)=(β)=1 και ()>0, [α, β] να δείξετε ότι ()<1, (α, β). 8) Δίνεται η συνάρτηση :RR με ()<0, R. Να δείξετε ότι αν αr, τότε ισχύει () (α)(-α)+(α), R. 9) Να βρεθούν οι τιμές του α για τις οποίες η συνάρτηση ()= 3 a είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το R. *10) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες η ()= a 3 3 3a είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το R. 11) Δίνεται η ( ) (1 )(ln ). i) Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία της. ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της. iii) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης (1 )(ln ). 6

3 5 7 1) Να δείξετε ότι η εξίσωση: 3 5 7(1 ) έχει μία μόνο πραγματική ρίζα. 13) Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση, για την οποία υποθέτουμε ότι ισχύει: 3 ( ) ( ), για κάθε [0,π]. Να δείξετε ότι: i) Η είναι γνησίως φθίνουσα στο [0,π]. ii) Η εξίσωση ()=0 έχει ακριβώς μία ρίζα στο (0,π). 14) Δίνονται οι συναρτήσεις ()=ln και g()=1-e. Να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα 0 (0,1) ώστε οι εφαπτομένες των C και C g στο σημείο με τετμημένη 0 να είναι παράλληλες. 15) Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3ln 5, >0. Έστω Μ(α,(α)), α>0 ένα σημείο της C στο Μ. Να δείξετε ότι η C και η ε δεν έχουν άλλο κοινό σημείο εκτός του Μ. 63

3 4 16) Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η ()= 1 να 3 είναι γνησίως αύξουσα στο R. 17) Δίνεται η ( ) 3 3 1 a. Να βρείτε τις τιμές του α ώστε η να έχει τρεις ρίζες στο R. 18) Να βρείτε τις τιμές του αr, ώστε η εξίσωση ln(+α)=, να έχει δύο ρίζες άνισες στο R. 19) Να δείξετε ότι: ( ) e, >0. 3 0) Δίνεται η ( ) 3 a 1. i) Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία της. ii) Αν 1<α<, να δείξετε ότι η ()=0 έχει μία μοναδική ρίζα στο (0,). 1) Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 3 4 5. ii) 3 43 36. 64

) Να μελετήσετε την ()=συν+ln(εφ )-συνln(ημ), (0,π) ως προς την μονοτονία. 3) Όταν η παράμετρος α διατρέχει το σύνολο R, να βρεθεί το 3 πλήθος των ριζών της εξίσωσης: 15 4 a 0. 4) Αν >0 και α>1, να λυθεί η εξίσωση a a. 5) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση :RR για την οποία ( ) ισχύουν ()>-1 και e 1 ( ), για κάθε R. i) Να δείξετε ότι η είναι σταθερή. ii) Να βρεθεί ο τύπος της. 3 6) Να βρείτε τις τιμές του α ώστε η συνάρτηση ( ) a 3 να είναι γνησίως φθίνουσα στο [0,3]. 7) Να βρείτε τις τιμές του αr ώστε η ()=ln( )-α να είναι γνησίως αύξουσα στο R. 8) Να βρεθούν οι τιμές του λr ώστε η εξίσωση 4 =λ, να έχει μία τουλάχιστον ρίζα. 65

9) Δίνεται η συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, ώστε να ισχύει ()>(1-) (), R. Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία της. *30) Δίνεται η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R, ώστε να ισχύει ()+3(1-)=-1, R. Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία της και στη συνέχεις να επιλύσετε την εξίσωση ()=0. 31) Να δείξετε ότι η ()= είναι γνησίως αύξουσα στο (0,π) και ότι:α) αν 0<α<β<, τότε, β). a a a a *3) Έστω παραγωγίσιμη στο R, με ()>3, R. Να δείξετε ότι η C( ) τέμνει την ψ=+3 σε ένα μόνο σημείο. 66

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- Θ. FERMAT 1) Να βρεθεί ο θετικός αριθμός α, για τον οποίο ισχύει: 1 1 a 1, R. ) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο (-,0) για την οποία 1 ισχύουν: (-1)=- και e ( ), >0. α) Να βρεθεί η (-1). β) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο Α(-1,-). 1 3) Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 ( )3 ln 3.α) λ=; ώστε η να έχει κρίσιμα σημεία. β) Για τις τιμές του λ, που βρέθηκαν, να δείξετε ότι η έχει ακρότατο και να βρεθεί το είδος του. 4 3 4) Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 1, R. Να εξετάσετε αν υπάρχουν λ,μr ώστε στο 0 =1 η να παρουσιάζει τοπικό ακρότατο, επίσης η κλίση της στο 3 να είναι εξαπλάσια της κλίσης της στο. 67

5) Να βρεθεί πολυωνιμική συνάρτηση, η οποία να ικανοποιεί τις σχέσεις: 3 ( ) 6, R, στο 1=3 παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το. Επίσης η εφαπτομένη της C στο =1 είναι παράλληλη του. 6) Να βρεθούν τα ακρότατα και το σύνολο τιμών της 3 ( ) 3 1 4, όταν [-,4]. 7) Να δείξετε ότι η C της ( ) e 1 δεν τέμνει την ευθεία με εξίσωση ψ=-. 8) α) Βρείτε τα ακρότατα της ()=ημ(π), [0,]. β) Βρείτε για τις διάφορες τιμές του λr το πλήθος των ριζών της ημ(π)=λ, [0,]. 9) Έστω, g συναρτήσεις ορισμένες στο (-1,1) με (0)=g(0) και g()-(), (-1,1). Αν οι και g είναι παραγωγίσιμες στο 0, να δείξετε ότι g (0)- (0)=1. 68

10) Για τους θετικούς αριθμούς α, β, γ ισχύει a 3, R. Με τη βοήθεια της ()= a, να δείξετε ότι αβγ=1. 11) Δίνεται η συνάρτηση ( ), >0 με ν>0. α) Να βρείτε v e την τιμή του για την οποία η παρουσιάζει μέγιστη τιμή, την οποία συμβολίζουμε Μ(ν). β) Να βρείτε την τιμή του ν, για την οποία το Μ(ν) γίνεται ελάχιστο καθώς και την ελάχιστη τιμή του Μ(ν). v 1) Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( 1)ln, >0. α) Να βρείτε την εφαπτομένη της C, η οποία σχηματίζει με τον τη μικρότερη γωνία. β) Να δείξετε ότι η εξίσωση ( ) 3ln έχει μία μόνο ρίζα στο (0,+ ) η οποία και να βρεθεί. 13) Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της 3 ( ) 3 6 6ln( 1). 69

14) Να δείξετε ότι: i) 1+ln(+1)e, >-1. ii) Η εξίσωση e 1 ln( 1) έχει μοναδική ρίζα. 15) Να δείξετε ότι: 1 i) e, <1. 1 ii) συν+ημ>1, με 0<<. iii) e 1 (1 )ln(1 ), >0. a *16) Αν είναι 0<α<β, να δείξετε ότι lnα-lnβ> a. 17) Σε σύστημα συντεταγμένων Οψ θεωρούμε την ευθεία ε: ψ=4+1. α) Να βρεθούν τα σημεία Α, Β στα οποία η ε τέμνει τους άξονες και να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ. β) Θεωρούμε σημείο Μ στην υποτείνουσα του τριγώνου ΟΑΒ και φέρνουμε κάθετες στους άξονες. Να βρεθούν οι συντεταγμένες του Μ, ώστε το σχηματιζόμενο ορθογώνιο με διαγώνιο την ΟΜ να έχει μέγιστο εμβαδόν. 70

ΚΥΡΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ- ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ 1) Να εξετάσετε ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής τις συναρτήσεις: 4 3 i) ()= 4 6 1. ii) ()= 1 1. 3 ) Να βρείτε τα α, βr ώστε η ( ) a 1, να έχει σημείο καμπής το Μ(1,3). 1 4 3 1 3) Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( 1 6 R, λ(1,3). Να εξετάσετε την κυρτότητα της. 3 ) 4 5 3, 4) Δίνεται η συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο (0,+ ), για 1 4 την οποία ισχύει [ '( )] 4, >0. Να δείξετε ότι η C 4 δεν έχει σημείο καμπής. 71

5) Έστω, g συναρτήσεις ορισμένες και δύο φορές παραγωγίσιμες σε ένα διάστημα (α, β) με ο(α, β). Αν ()>0 και ()0, 0 και ισχύει η σχέση: 3 ( ) g( ) g'( ), (α, β). Να δείξετε ότι η συνάρτηση g παρουσιάζει καμπή στο σημείο =0. 6) Αν η συνάρτηση είναι κοίλη στο σύνολο R και α<β, να δείξετε ότι ()-(α) (α)(-α), [α, β]. Ποια η γεωμετρική σημασία του συμπεράσματος αυτού; 7) Να βρείτε τα σημεία καμπής 3 3 3 1, ( ). 5 ( 3), 8) Μία συνάρτηση :RR είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R 3 και για κάθε R ισχύει ( '( )) ( '( )) '( ) e 1. Να δείξετε ότι: i) Υπάρχει ακριβώς ένα σημείο της C με οριζόντια εφαπτομένη. ii) Η είναι κυρτή στο R. 7

9) Αν η συνάρτηση :RR ικανοποιεί τη σχέση ( ) ( ) e 1 e, R, να δείξετε ότι: i) η C δεν έχει σημεία καμπής. ii) Η έχει ακριβώς ένα σημείο που είναι θέση τοπικού ακρότατου. Δίνεται ότι η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R. 10) Έστω συνάρτηση ορισμένη στο R η οποία στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω. Αν (0)= (0)=0, να δείξετε ότι ()0, R. 11) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης 5 4 3 ( ) 5a 10 1 παρουσιάζει τρία σημεία καμπής, να δείξετε ότι a >β. e 1) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g()= 1 διαστήματα (-,0) και (0,+ ). είναι κυρτή στα 73

*13) Να δείξετε ότι η συνάρτηση :(0, )R με ( ) είναι κοίλη. *14) Δίνεται η ( ) e e. Να δείξετε ότι: i) η έχει ελάχιστο το μηδέν και η εξίσωση ()=0 έχει μοναδική ρίζα. ii) Η είναι κυρτή στο R. *15) Έστω παραγωγίσιμη και κοίλη συνάρτηση, ορισμένη σε ένα a διάστημα Δ. Να δείξετε ότι ( a) ( ) ( ), α, βδ. 16) Έστω μία συνάρτηση κοίλη στο διάστημα Δ. Να δείξετε ότι αν 1, Δ και 1, (0,+ ) με 1 =1, τότε ( 11 ) 1 ( 1 ) ( ) και ότι η ισότητα ισχύει μόνο όταν. 1 74

*17) Αν η συνάρτηση είναι κοίλη στο R, να δείξετε ότι: i) η έχει το πολύ δύο πραγματικές ρίζες. ii) Αν ε είναι μία ευθεία, τότε η C έχει το πολύ δύο κοινά σημεία με την ε. iii) Αν η C εφάπτεται του άξονα τότε η έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα. 18) Δίνεται συνάρτηση :RR, δύο φορές παραγωγίσιμη, η οποία ικανοποιεί τη σχέση ''( ) 4( '( ) ( )), R και σε σημείο 0 R παρουσιάζει ακρότατο το 0.α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g( ) ( ) e είναι κυρτή στο R.β) Να δείξετε ότι είναι ()0, R. (1 η Δέσμη 1999) 19) Δίνεται η συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, για την οποία ισχύει ()0, R και η συνάρτηση g ώστε g() ()=(), R. Να δείξετε ότι αν η C έχει σημείο καμπής το Α( 0, ( 0 )) τότε η εφαπτομένη της g στο Β( 0, g( 0 )) είναι παράλληλη στην ευθεία ψ-+5=0. (Δ Δέσμη 1995) 75

0) Έστω η συνάρτηση ()= a με 0, 0α1. i) Να μελετηθεί η ως προς τα κοίλα. ii) Να δείξετε ότι a 1 a( 1) και ( 1) a iii) Να δείξετε ότι a a a iv) Να δείξετε ότι a a 1.. ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ 1) Να βρεθούν οι ασύμπτωτες: i) 1 ( ). 1 1 ii) ()=3-+. 9 ) Δίνεται η συνάρτηση ( ) 4 a. Να βρεθούν τα α, βr ώστε η C να έχει πλάγια ασύμπτωτη στο + την ψ=-+ 4 1. 76

3) Έστω, g συναρτήσεις ορισμένες στο (-,0), για τις οποίες ισχύει 1 ( ) g( ), <0. Αν η C έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο -, την ψ=3, να βρεθεί η ασύμπτωτη της -. C g στο 4) Δίνεται η συνάρτηση: ( ),. Να βρείτε τις τιμές του λ, για τις οποίες η C δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη. 5) Να βρεθεί ο λr, ώστε οι πλάγιες ασύμπτωτες των ( 1) 3 ( ) ( ) 1 και g( ) να είναι κάθετες. 1 6) Δίνεται η συνάρτηση η ( ) a 6 4 3 C να έχει μόνο μία κατακόρυφη ασύμπτωτη.. Να βρεθεί ο αr, ώστε 7) Η συνάρτηση έχει στο - ασύμπτωτη την ευθεία ψ=-3. λ=; 3 ( ) 3 ώστε lim =-4. 3 ( ) 1 77

1 8) Μία συνάρτηση έχει την ιδιότητα <()<+ Να δείξετε ότι η C έχει πλάγια ασύμπτωτη., R*. 9) Οι, g:rr είναι συναρτήσεις συνεχείς στο R ώστε: ()-g()=-4. Έστω ότι η ευθεία με εξίσωση 3-7 είναι ασύμπτωτη της C, όταν +. g ( ) Α) Να βρείτε τα όρια: i) lim. g( ) 3 ii) lim. ( ) 3 1 B) Να δείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση ψ=-3 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της g καθώς. (1 η Δέσμη 000) a 10) Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ), α, β, γ, δr*. Να βρείτε τον τύπο της, αν η C έχει ασύμπτωτες τις =, ψ=3 και τέμνει τον στο σημείο Α(1,0). ( a 1) 5 11) Δίνεται η ()=, α, β, γr. Να βρείτε τους α, β, 3 γ ώστε η C να έχει ασύμπτωτες τις =-, ψ=3. 78

ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL 1) Να βρεθούν τα όρια: 1 i) lim. 3 0 ln 1 ii) lim. ( 1) 1 1 iii) lim. ln e 3 3e iv) lim. ) Ομοίως: i) lim (σφ- 1 ). 0 ii) lim 0 ln. 3) Να βρεθεί το όριο: lim [(-)ln ]. 1 79

4) Έστω συνάρτηση για την οποία ισχύει ( ) 3 e e 1, για κάθε R. Να δείξετε ότι:α) (0)=-, β) (0)=3. 5) Έστω συνάρτηση συνεχής στο 0 =1 για την οποία ισχύει: ()ln +1, >0. Να δείξετε ότι (1)= 1. e 6) Να δείξετε ότι η συνάρτηση ()= 3, 0, είναι 3 1, 0 παραγωγίσιμη στο R. 7) Δίνεται η :RR που είναι συνεχής, με την ιδιότητα: 3 ( ) 3 1 e, R. Να βρεθεί ο αριθμός (0). 8) Έστω συνάρτηση, για την οποία ισχύει (+ψ)= e (ψ)+ e (),,ψr. Αν (0)=1, να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο R, με ()= e +(), R. 80

81 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε.- ΕΠΙΛΟΓΗ 9) Να βρείτε για ποιες τιμές του λr ισχύει lim 6 1 9 19. 3 10) Να βρείτε για ποιες τιμές των α, βr η 0, 0 4, ) ( e είναι παραγωγίσιμη. *11) Αν η συνάρτηση :RR είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, να δείξετε ότι L= lim ) 3 ( 3 ) ( 4 ) ( h h h h =6 (). 0 h 1) Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση :RR για την οποία ισχύει 1 ) ) ( ( ) ) ( ( e e e, R*. 13) Δίνεται η συνάρτηση :RR, η οποία είναι παραγωγίσιμη και έχει την ιδιότητα 3 ) ( 3 ) ( 3,R. Να δείξετε ότι: lim 1 ) (. 0

14) Οι συναρτήσεις και g είναι δύο φορές παραγωγίσιμες στο R και οι,g είναι συνεχείς στο 0 =0 με (0)= (0)=g(0)=g (0)=0 και (0)=, g (0)=3. Να δείξετε ότι: lim 0 ( ) ( 3) 4 g( ) g( ) 3. 15) Να βρείτε τα παρακάτω όρια: 1 i) lim (1+ ). ii) lim (ημ). 0 iii) lim (εφ). iv) lim 1. a e e 16) Να βρείτε το αr ώστε η ()= όριο πραγματικό αριθμό., να έχει στο 0 =0 3 a 17) α, β=; ώστε lim ( 3 )=. 0 8

Σε όρια μορφής: lim [ όρια lim 1 η ΜΕΘΟΔΟΣ ( ) h( ) g( ) ( ) 0 ( ) h( ) και lim g( ) ( ) 0 0 ] αν δεν υπάρχει καθένα από τα ή υπάρχουν όμως έχουμε απροσδιόριστη μορφή, τότε συνήθως κάνοντας ομώνυμα οδηγούμαστε σε όριο, που υπολογίζεται εύκολα με τους κανόνες De L Hospital. η ΜΕΘΟΔΟΣ Στην εύρεση ορίου lim [()g()] αν δημιουργηθεί μορφή 0( ), 0 ( ) g( ) τότε μετατρέπουμε το γινόμενο ()g() ως: ή ώστε να 1 1 g( ) ( ) έχουμε μορφή, που εφαρμόζεται ο κανόνας De L Hospital. Μετά επιλέγουμε αυτή τη μορφή, που μας δίνει, μετά την εφαρμογή του κανόνα, πιο εύκολα υπολογίσιμο όριο. 83

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 1) Δίνεται η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R με (1)=0 και (1)0 καθώς και οι μιγαδικοί αριθμοί z για τους οποίους ισχύει ( ) e 1 z ( ), για κάθε R. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού αριθμού z στο επίπεδο. ) Δίνεται το σύνολο των μιγαδικών αριθμών 1 z 1 ia, όπου αr-1. Αν επιπλέον είναι γνωστό ότι 1 για κάθε >- ισχύει Argz, να βρείτε τον αριθμό α. 4 3) Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R ώστε (0)=1 καθώς και τους μιγαδικούς i (), R. Αν για κάθε R ισχύει z z 1, να δείξετε ότι (0)=0. 4) Δίνεται μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R * ώστε (1)= 3 καθώς και τους μιγαδικούς z i (), >0. Αν >0 ισχύει Argz να δείξετε ότι (1)= 3. 3 84

5) Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιμη στο (α, β). Αν η εξίσωση ( a) z ( ) z ( a) ( ) i 0 έχει λύση τον 1+i, να δείξετε ότι υπάρχει θ(α, β) ώστε η εφαπτομένη της C στο (θ,(θ) να είναι παράλληλη στο. *6) Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο [α, β] και δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α, β) καθώς και ένας αριθμός γ(α, β). Δίνονται επιπλέον οι μιγαδικοί z 1 a ( a) i, z ( ) i, z3 ( ) i. Αν είναι γνωστό ότι z1 z z3 να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα θ(α, β) ώστε (θ)=-. *7) Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό [α, β] ώστε 0[α, β] καθώς και οι μιγαδικοί αριθμοί z i (), [α, β]. Αν είναι γνωστό ότι R να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον z a z ( ) ένα θ(α, β) ώστε (θ)=. 85

8) Δίνεται μία συνάρτηση παραγωγίσιμη στο [α, β] ώστε ()0, [α, β]. Δίνονται επιπλέον οι μιγαδικοί αριθμοί της μορφής i (), [α, β]. Αν 3a, z, να δείξετε ότι z z a 3 υπάρχει τουλάχιστον ένα θ(α, β) ώστε (θ)=θ+α+β. *9) Δίνεται μία συνάρτηση συνεχής στο [-α, α], α>0 και παραγωγίσιμη στο (-α, α), ώστε (-α)=-α και (α)=α. Δίνονται επίσης οι μιγαδικοί z 1 i ( ), [-α, α] και 1 '( ), i (-α, α). Αν είναι γνωστό ότι για κάθε (-α, α) ισχύει: να δείξετε ότι ο αριθμός z 0 είναι πραγματικός αριθμός. *10) Δίνεται μια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο [0,] καθώς και οι μιγαδικοί z 1 i ( ), 1 ''( ), [0,]. Αν οι αριθμοί z, z 0. z 1 i R να δείξετε ότι υπάρχει θ(0,) ώστε να ισχύει 86

11) Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R * καθώς και το σύνολο των μιγαδικών αριθμών Α=+i(), R *. Αν είναι γνωστό ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός α>0 ώστε εφ(argz a 1 )=εφ(argz a )+1, να δείξετε ότι υπάρχει θ(α, α+1) ώστε (θ)=θ+εφ(argz ). 1) Δίνεται μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο [α, β] όπου 0<α<β ώστε ()>0, [α, β]. Δίνεται επίσης το σύνολο των μιγαδικών αριθμών Α= z 1 i ( ), [α, β] και η συνάρτηση g με τύπο g()=εφ(argz ), [α, β]. Να δείξετε ότι υπάρχουν 1, (α, β) ώστε α ( 1 )=(α)+αβg ( ). 87