ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Μανόλης Παπαδρακάκης Καθηγητής ΕΜΠ Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών 008-009

Μητρωικές Μέθοδοι Μετατοπίσεων και Δυνάμεων Ανάλυσης Κατασκευών Μέθοδος Μετατοπίσεων: Άγνωστα μεγέθη Μετατοπίσεις ή Μέθοδος Ακαμψίας - Δύσκαμψίας - Στιβαρότητας Μέθοδος Δυνάμεων: Άγνωστα μεγέθη Εντατικά Μεγέθη ή Μέθοδος Ευκαμψίας Ενδοσιμότητας

Μέθοδοι Μετατοπίσεων ή Στιβαρότητας και Δυνάμεων ή Ενδοσιμότητας Ο φορέας μας (δικτύωμα) : - μέλη -4 κόμβοι - δεσμευμένοι β.ε. - αδέσμευτοι β.ε Δ P Δ P P Δ 4 P4 Δ4 Δ Δ Δ Δ 4 Δ Ρ Βαθμοί Ελευθερίας X Ρ Ρ Ρ 4 Επικόμβια Φορτία P Δ Ρ X R R R R R R Αντιδράσεις Στηρίξεων

δ(p=) P= δ(ρ=) P= P= δ(ρ=) δ(ρ4=) P= P4= δ(ρ=) 4 4

δ(p=) P= δ(ρ=) P= P= δ(ρ=) δ(ρ4=) P= P4= δ(ρ=) 4 Συνολική μετατόπιση για τον ενεργό/αδέσμευτο βαθμό ελευθερίας Δ για φόρτιση P,P,P,P 4,P στους κόμβους του φορέα: Δ = δ (Ρ =) Ρ Ρ + δ (Ρ =) Ρ Ρ + δ (Ρ =) Ρ Ρ + δ (Ρ 4 =) Ρ Ρ 4 + δ (Ρ =) Ρ Ρ

Αρχή των Δυνατών Έργων Μέθοδος του Μοναδιαίου Φορτίου [Ν ] δ(p=) ~ ~ [N] P= P= Πραγματική Παραμόρφωση Δυνατή Φόρτιση Α.Δ.Ε. : Αρχή Δυνατών Έργων

Όλες οι μετατοπίσεις Δ Δ Δ = δ (Ρ =) Ρ + δ (Ρ =) Ρ + δ (Ρ =) Ρ + δ (Ρ 4 =) Ρ 4 + δ (Ρ =) Ρ Δ = δ (Ρ =) Ρ + δ (Ρ =) Ρ + δ (Ρ =) Ρ + δ (Ρ 4 =) Ρ 4 + δ (Ρ =) Ρ Δ = δ (Ρ =) Ρ Ρ + δ (Ρ =) Ρ Ρ + δ (Ρ =) Ρ Ρ + δ (Ρ 4 =) Ρ Ρ 4 + δ (Ρ =) Ρ Ρ Δ 4 = δ 4 (Ρ =) Ρ + δ 4 (Ρ =) Ρ + δ 4 (Ρ =) Ρ + δ 4 (Ρ 4 =) Ρ 4 + δ 4 (Ρ =) Ρ Δ = δ (Ρ =) Ρ + δ (Ρ =) Ρ + δ (Ρ =) Ρ + δ (Ρ 4 =) Ρ 4 + δ (Ρ =) Ρ Χρήση των δεικτών Ευκαμψίας - Ενδοσιμότητας Δ = F Ρ Ρ + F Ρ Ρ + F Ρ Ρ + F 4 Ρ Ρ 4 + F Ρ Ρ Δ = F Ρ + F Ρ + F Ρ + F 4 Ρ 4 + F Ρ Δ = F Ρ + F Ρ + F Ρ + F 4 Ρ 4 + F Ρ Δ 4 = F 4 Ρ + F 4 Ρ + F 4 Ρ + F 44 Ρ 4 + F 4 Ρ Δ = F Ρ + F Ρ + F Ρ + F 4 Ρ 4 + F Ρ Fij = Fji 7

Χρήση των δεικτών Ευκαμψίας - Ενδοσιμότητας Δ = F Ρ + F Ρ + F Ρ + F 4 Ρ 4 + F Ρ Δ = F Ρ + F Ρ + F Ρ + F 4 Ρ 4 + F Ρ Δ = F Ρ + F Ρ + F Ρ + F 4 Ρ 4 + F Ρ Δ 4 = F 4 Ρ + F 4 Ρ + F 4 Ρ + F 44 Ρ 4 + F 4 Ρ Δ = F Ρ + F Ρ + F Ρ + F 4 Ρ 4 + F Ρ Δ F Ρ + F Ρ + F Ρ + F Ρ + F Ρ F F Fij = Fji Μητρωική Διατύπωση {Δ} = [F] {P} Εξίσωση Ακαμψίας - Στιβαρότητας {Ρ} = [F] - {Δ} = [Κ]{Δ} [Κ] = [F] - 8

Εξίσωση Ακαμψίας - Στιβαρότητας {Ρ} = [F] - {Δ} = [Κ]{Δ} [Κ] = [F] - Χρήση των δεικτών Δυσκαμψίας - Στιβαρότητας Ρ = Κ Δ + Κ Δ + Κ Δ + Κ 4 Δ 4 + Κ Δ P = Κ ΔΔ + Κ ΔΔ + Κ ΔΔ + Κ 4 ΔΔ 4 + Κ ΔΔ P = Κ Δ + Κ Δ + Κ Δ + Κ 4 Δ 4 + Κ Δ Kij = Kji P 4 = Κ 4 Δ + Κ 4 Δ + Κ 4 Δ + Κ 44 Δ 4 + Κ 4 Δ P = Κ Δ + Κ Δ + Κ Δ + Κ 4 Δ 4 + Κ Δ 9

Φυσική σημασία δεικτών ενδοσιμότητας 4 4 4 X X P= F F F4 F F F F F4 P= i = F i = F 0

Φυσική σημασία δεικτών στιβαρότητας {Ρ} = [F] - {Δ} = [Κ]{Δ} K K K K K4 K K4 K Δ= R Δ= K R K R R i = i = R R

Φυσική σημασία δεικτών ενδοσιμότητας - στιβαρότητας Δ,4 Δ, Δ8,9 F ij {Δ} = { F i7 }, i = 7 Δ, Δ7 P7= P, P8,9 K ij {P} = { K i7 }, i = 7 Δ7= R7 P7 R7 R7

F F F F 4 F F F 7 F 8 F 9 F F F F 4 F F F 7 F 8 F 9 F F F F 4 F F F 7 F 8 F 9 [F] = F 4 F 4 F 4 F 44 F 4 F 4 F 47 F 48 F 49 ΜΗΤΡΩΟ F F F F 4 F F F 7 F 8 F 9 ΕΝΔΟΣΙΜΟΤΗΤΑΣ F F F F 4 F F F 7 F 8 F 9 F 7 F 7 F 7 F 74 F 7 F 7 F 77 F 78 F 79 F 8 F 8 F 8 F 84 F 8 F 8 F 87 F 88 F 89 F 9 F 9 F 9 F 94 F 9 F 9 F 97 F 98 F 99 [K] = K K K K 4 K K K K K K 4 K K 0 0 K K K K 4 K K K 4 K 4 K 4 K 44 K 4 K 4 0 0 K K K K 4 K K K 7 K 8 K 9 K K K K 4 K K K 7 K 8 K 9 0 0 K 7 K 7 K 77 K 78 K 79 ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ 0 0 K 8 K 8 K 87 K 88 K 89 K 9 K 9 K 97 K 98 K 99

Υπολογισμός των δεικτών στιβαρότητας K ij του φορέα Δ =, Δ = Δ = Δ 4 = Δ = 0 k 4 k = 0 X X 4 4 4 k () φ K Δ= Ισορροπία κόμβου Δυνάμεις στα τοπικά συστήματα αξόνων κάθε μέλους : k () k () k k -k () -k φ 4 k =0 k =0 K () = k + cosφ k Ισορροπία κόμβου Δυνάμεις στο καθολικό -k σύστημα αξόνων του φορέα : -k () -k -k K Δ= K = k () + k + k 4

Ισορροπία κόμβου Δυνάμεις στο καθολικό σύστημα αξόνων του φορέα : Δ =, Δ = Δ = Δ = Δ 4 = 0 k k k -k -k k Δ= -k φ K4 K -k 4 -k k -k k X X 4 4 K 4 = k + k + k K = k + k + k 4

Υπολογισμός των ακραίων δυνάμεων των ράβδων του φορέα για μοναδιαίες και μοναδικές μετατοπίσεις P4 Δ4 P Δ (i) k Δ P Δ Δ Βαθμοί Ρ Ρ Δ Ελευθερίας Ρ Δ 4 Ρ 4 Επικόμβια Φορτία X X j Δ P Εξίσωση Ισορροπίας {P}=[k]{Δ} } του φορέα-ράβδου ρ (i) (): P k k k k 4 Δ P k k k k 4 Δ = P k k k k 4 Δ P 4 k 4 k 4 k 4 Κ 44 Δ 4

P4 Δ4 X X P Δ j ( i ) Δ P k4 k Δ Δ Δ Δ P Δ Ρ Ρ Ρ Βαθμοί Ελευθερίας Ρ Δ 4 Εξισώσεις ισορροπίας για μοναδιαίες και μοναδικές μετατοπίσεις: Ρ 4 k4 Επικόμβια Φορτία k k k k k k Δ= k Δ= k4 k k44 k k Δ4= k4 k k Δ k4 k4 7

Εξισώσεις ισορροπίας για μοναδιαίες και μοναδικές μετατοπίσεις: k4 k4 k4 k44 k k k k Δ4= k4 k Δ= k Δ= k k k k Δ k4 k4 ( j ) (k) ( j ) ( k ) k k k k 4 k k k k 4 k k k k 4 k 4 k 4 k 4 k 44 Εξίσωση Ισορροπίας του φορέα-ράβδου: ( j ) ( k ) P k k k k 4 Δ (j) P k k k k 4 Δ = P k k k k 4 Δ (k) P 4 k 4 k 4 k 4 k 44 Δ 4 8

Υπολογισμός των δεικτών στιβαρότητας K ij του φορέα Δ =, Δ = Δ = Δ 4 = Δ = 0 k 4 k = 0 X X 4 4 4 k () φ K Δ= Ισορροπία κόμβου Δυνάμεις στα τοπικά συστήματα αξόνων κάθε μέλους : k () k () k k -k () -k φ 4 k =0 k =0 K () = k + cosφ k Ισορροπία κόμβου Δυνάμεις στο καθολικό -k σύστημα αξόνων του φορέα : -k () -k -k K Δ= K = k () + k + k 9

Ισορροπία κόμβου Δυνάμεις στο καθολικό σύστημα αξόνων του φορέα : Δ =, Δ = Δ = Δ = Δ 4 = 0 k k k -k -k k Δ= -k φ K4 K -k 4 -k k -k k X X 4 4 K 4 = k + k + k K = k + k + k 4 0

Υπολογισμός δεικτών στιβαρότητας του φορέα Ισορροπία κόμβων με τους δείκτες στιβαρότητας των στοιχείων Δ =, Δ =Δ =Δ 4 =Δ = 0 K K K K4 P k k k k 4 Δ P k k k k 4 Δ = P k k k k 4 Δ X X j k () k j k k k () k k k4 () k4 () k k k j k 4 k4 K P 4 k 4 k 4 k 4 Κ 44 Δ 4 Εξίσωση ισορροπίας στοιχείου K = k () + k + k K = k k Δ= K = k K 4 = k K = k

Αυτόματη μόρφωση του μητρώου στιβαρότητας χωρίς συνοριακέςσυνθήκες ς ΟΛΙΚΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ 4 k k k k 4 k k k k 4 k k k k 4 k k k k 4 k k k k 4 k k k k 4 Δ Δ Δ Δ8 4 Δ 4 Δ7 Δ4 Δ 4 k 4 k 4 k 4 K 44 k 4 k 4 k 4 k 44 Στοιχείο Στοιχείο 7 8 7 8 4 k k k k 4 7 k k k k 4 k k k k 4 7 k k k k 4 8 k 4 k 4 k 4 k 44 Στοιχείο 8 k k k k 4 k k k k 4 4 k 4 k 4 k 4 k 44 Στοιχείο 4 7 8 4 k k k k 4 k k k k 4 k k k k 4 k k k k 4 7 k k k k 4 k k k k 4 8 k 4 k 4 k 4 k 44 4 k 4 k 4 k 4 k 44 Στοιχείο Στοιχείο

Δ Δ Δ8 Δ7 4 4 ΟΛΙΚΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΦΟΡΕΑ Δ Δ4 Δ Δ 4 4 4 7 8 Ρ K () + K () + K ( K () + K () + K ( K () K 4 () K () K 4 () K () K 4 () Ρ K () + K () + K ( K () + K () + K ( K () K 4 () K K 4 K K 4 K K 4 K () K 4 () K () K 4 () Ρ K () K () K () + K + K ( K 4 () + K 4 + K 4 ( K K K K () () K () + K + K ( K () + K ( + K Ρ 4 K 4 K 4 4 4 4 44 44 44 K 4 K 4 K 4 K 4 K 4 Ρ K () K () K K 4 K () + K + K ( K 4 () + K + K ( K K 4 () () () + + ( () + ( + Ρ K 4 K 4 K K 4 K 4 K K K 44 K K K K 4 K 4 Ρ 7 K () K () K K 4 K () K () K () + K + K ( K 4 () + K + K 4 () () K () K K K () K () () Ρ ( () () 8 K 4 K 4 + K + K 4 K 44 + K + K 44 K 4 ( ) K ( ) K 4 ( ) K ( ) K 4 ( )

Δ Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών Μόρφωση ολικού μητρώου στιβαρότητας με υπομητρώα ανά κόμβο - Υπολογιστική Μέθοδος (j) (k) k k k k 4 Δ8 ( j ) k k k k 4 Δ 4 Δ7 ( k ) k k k k 4 k 4 k 4 k 4 k 44 Δ Δ Δ 4 Δ4 Δ 4 [k jj ] [k jk ] [k kj ] [k kk ] 4 4 [k jj ] [k jk ] [k jj ] [k jk ] [k kj ] k kk ] 4 [k jj ] [k jk ] [k jj ] [k jk ] 4 [k kj ] [k kk ] Στοιχείο Στοιχείο Στοιχείο [k kj ] [k kk ] 4 [k kj ] [k kk ] [k jj ] [k jk ] [k kj ] [k kk ] Στοιχείο 4 Στοιχείο Στοιχείο 4

Δ Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών Μόρφωση ολικού μητρώου στιβαρότητας με υπομητρώα ανά κόμβο - Υπολογιστική Μέθοδος Δ Δ8 4 Δ7 4 k jj k jk k jj k jk k jj k jk k kj k kk k kj k kk 4 k kj k kk 4 Στοιχείο Στοιχείο Στοιχείο 4 4 Δ Δ4 Δ 4 k jj k jk k jj k jk k jj k jk k kj k kk 4 k kj k kk k kj k kk Στοιχείο 4 Στοιχείο Στοιχείο Δ 4 4 4 4 7 8 Ρ () () k () jj + k () () () jj + k jj k jk k jk k jk Ρ Ρ Ρ 4 k kj () k kk () + k kk + k kk k kj k kj Ρ Ρ k kj () k jk k kk () + k jj + k jj k jk Ρ 7 () 4 k kj k jk k kj Ρ 8 k kk + k kk () + k jj

Αναδιάταξη του μητρώου Επιβολή συνοριακών συνθηκών Δ Δ8 Δ Δ7 4 Δ Δ4 Δ Δ { P}= [K]{Δ } P f Κ ff Κ fs Δ f P s = Κ sf Κ ss Δ s { P f } = [ K ff ] {Δ f } P Δ P Δ P K Δ ff K fs P 7 Δ 7 P 8 = Δ 8 R Δ =0 R Δ =0 K sf K ss R 4 Δ 4 =0

X Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών Μητρώο Στιβαρότητας στοιχείου- Συμβολισμοί X Δ Δ Δ Δ8 4 4 Δ Δ Δ4 Δ7 Δ ij u ij F, u {P } = [ K ] { Δ } ij F F ij u ij F, u x ij u j ( i ) k ik F ik u x ik F, u ik ik F, u ik k k ij u = ij {A i } = [ k i ] { D i } F k =-k = k = - k k = k ik u 7

Εξισώσεις Ισορροπίας στο τοπικό σύστημα του στοιχείου ik F x x ( i ) k ik u ij F j ij u Εξισώσεις Ισορροπίας στο καθολικό σύστημα του φορέα ik F ij F ( i ) k ik ik F ij u ij F j u ik u ij u 8

Μετασχηματισμός διανυσμάτων {Α}, {D} από το τοπικό στο καθολικό σύστημα αξόνων Μητρώο Περιστροφής x x (i) F F (i) x (i) φ φ F F x { { [Λ PPT ] { [Λ PPT ] T 9

x x x x ik φ (i) k x ij j φ ij ik x

{ { { { Πολλαπλασιάζοντας και τα μέλη με [Λ i PPT] T και αντικαθιστώντας το {D i } προκύπτει: Παρατηρούμε ότι η παραπάνω εξίσωση είναι της μορφής : Μητρώο Στιβαρότητας στο καθολικό σύστημα του φορέα :

Βήμα Μόρφωση τοπικών μητρώων στιβαρότητας των μελών του φορέα: X X 4 k jj k jk k kj k kk Τοπικό μητρώο στιβαρότητας μέλους: EA/L -EA/L -EA/L EA/L (επίπεδο ή χωρικό δικτύωμα) Βήμα Μόρφωση καθολικών μητρώων στιβαρότητας των μελών του φορέα:

x x αρχικό φφ x λ ij =cosφ ij, i - τοπικό, j καθολικό φ αρχικό τελικό k φ φ j x τελικό φ x x x x x ik ij j x φ φ ij (i) k ik x φ ij : η γωνία κατά την οποία πρέπει να στραφεί ο τοπικός (αρχικός) άξονας i ώστε να συμπέσει με τον καθολικό (τελικό) άξονα j x

Μητρώο Περιστροφής: λ ij : συνημίτονο κατεύθυνσης της γωνίας φ ij X Καθολικό μητρώο 4 στιβαρότητας μέλους: 4 k k k k 4 k k k k 4 X 4 k k k k 4 k 4 k 4 k 4 k 44 4 4 4

Βήμα Μόρφωση καθολικού μητρώου στιβαρότητας του φορέα (ισορροπία κόμβων): X X 4 4 4 k jj () + k jj () k kj () () k kj () () k jk k jk k kk () + k kk k kj k () k +k jk k () kk jj

Μόρφωση καθολικού μητρώου στιβαρότητας του φορέα υπολογιστικά βήμα προς βήμα: 4 k jj () + k jj () k jk () k jk () () k kj k () kk + k kk k kj 4 () k kj k jk k kk () + k jj

Μόρφωση καθολικού μητρώου στιβαρότητας του φορέα βήμα προς βήμα αναλυτικά: 4 k () () + k k () () + k () () () () k k 4 k k 4 k () () + k k () () + k k k 4 k k 4 k () k 4 () k () k 4 () k () 4 k 4 () k () k 4 () k () + k k 4 () + k 4 k 4 () + k 4 k 44 () + k 44 k k 4 k k 4 k () k 4 () k () k 4 () k k k 4 k 4 k () + k k 4 () + k k 4 () + k k 44 () + k 7

x' x τελικό x' θ θ αρχικό x λ ij = cosθ ij, i - καθολικό, j κύλισης αρχικό τελικό θ ij : η γωνία κατά την οποία πρέπει να στραφεί ο καθολικός (αρχικός) άξονας i ώστε να συμπέσει με τον άξονα της κύλισης (τελικό) άξονα j 8

Μητρώο Μετασχηματισμού: X X 4' ' Καθολικό μητρώο στιβαρότητας φορέα: Να αποδειχθεί η μορφή του μητρώου 4 [K R ] [K ] [Λ ] [K ] [Λ R ] T [K 4 ] [Λ R ] T [K ] [Λ R ] [Λ R ] T [K ] 4 R [K 7 ] [K 8 ] [Λ R ] [K 9 ] 9

Παρατήρηση: Σε περίπτωση ελαστικής στήριξης (ελατηρίου) σε κάποιο βαθμό ελευθερίας του φορέα προσθέτουμε στον αντίστοιχο βαθμό ελευθερίας του καθολικού μητρώου στιβαρότητας του φορέα (μετά το μετασχηματισμό λόγω κεκλιμένης στήριξης) τη στιβαρότητα του ελατηρίου. Κ : Στιβαρότητα μετακινησιακού ελατηρίου X Στο παράδειγμα του σχήματος θα προσθέσουμε το Κ στη θέση 4 4. X 4' Να υπολογιστεί το ολικό [Κ] του φορέα Κ ' 40

Βήμα Επιβολή συνοριακών συνθηκών: X X 4' ' ' ' 4' [K ff ] [K fs ] 4' [K sf ] [K ss ] {P}=[K ff ]{Δ} 4