R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός }

o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Οι ρητοί και οι άρρητοι αριθμοί λέγονται πραγματικοί αριθμοί. Το σύνολο που περιέχει όλους τους πραγματικούς αριθμούς λέγεται σύνολο των πραγματικών αριθμών και συμβολίζεται με R. Δηλαδή R= Q Α ή R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός } *,7 R R = R { } Q 5 Z Είναι φανερό ότι: N Z Q R Σχόλια. Η θεμελίωση του συνόλου R των πραγματικών αριθμών μπορεί να γίνει αξιωματικά.. Αργότερα θα μάθουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών R, με την ύπαρξη των φανταστικών αριθμών, επεκτείνεται στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών C. Έχει αποδειχθεί ότι το σύνολο των μιγαδικών αριθμών C δεν επεκτείνεται περαιτέρω (E. Galois).. Κάθε ένα από τα σύνολα των φυσικών, των ακεραίων, των ρητών και των πραγματικών αριθμών έχει άπειρα στοιχεία. Όμως είναι φανερό ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών περιέχει περισσότερα στοιχεία από τα άλλα σύνολα. Διαφέρουν λοιπόν ως προς την τάξη του απείρου. Β. ΑΞΟΝΑΣ N π e Άξονας λέγεται μία ευθεία, πάνω στην οποία έχουμε ορίσει ένα σημείο Ο που λέγεται αρχή και ένα σημείο Ι ώστε το ευθύγραμμο τμήμα ΟΙ να είναι ίσο με την μονάδα μήκους (ακριβέστερα το διάνυσμα ΟΙ να είναι μοναδιαίο). Ο Ι 4 4 Ο Ι Σε κάθε σημείο Α ενός άξονα αντιστοιχίζεται ένας μόνο πραγματικός αριθμός α και αντίστροφα, σε κάθε πραγματικό αριθμό α αντιστοιχίζεται ένα μόνο σημείο του άξονα. Ο αριθμός α λέγεται τετμημένη του σημείου Α και γράφουμε Α(α). Σε κάθε περίπτωση ισχύει (ΟΑ) = α.

o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Ένας άξονας λέγεται και πραγματικός άξονας ή ευθεία των πραγματικών αριθμών γιατί τα σημεία του αντιστοιχίζονται ένα προς ένα με τους πραγματικούς αριθμούς. Για τον λόγο αυτό πολλές φορές οι πραγματικοί αριθμοί λέγονται σημεία. Η ημιευθεία Oλέγεται θετικός ημιάξονας και η ημιευθεία O λέγεται αρνητικός ημιάξονας. ΠΡΑΞΕΙΣ R ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ Στο σύνολο Rτων πραγματικών αριθμών ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού οι οποίες έχουν τις εξής βασικές ιδιότητες (Αξιώματα): Α /Α Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός. (α+ β) + γ= α + (β+ γ) (αβ)γ= α(βγ) προσεταιριστική. α+ = + α= α α = α = α. α + ( α) = ( α) + α= α = α=, α α α ουδέτερο στοιχείο συμμετρικό στοιχείο 4. α+ β= β+ α αβ= βα αντιμεταθετική 5. α(β+ γ) = αβ+ αγ επιμεριστική Παρατηρήσεις I. Λόγω της προσεταιριστικής και της αντιμεταθετικής ιδιότητας μπορούμε να προσθέσουμε ή να πολλαπλασιάσουμε τρεις ή περισσότερους πραγματικούς αριθμούς με οποιαδήποτε σειρά. II. Δύο πραγματικοί αριθμοί α, β λέγονται αντίθετοι όταν έχουν άθροισμα μηδέν, δηλαδή α+ β=. Για κάθε πραγματικό αριθμό υπάρχει ένας μόνο αντίθετος. Ο αντίθετος του αριθμού α συμβολίζεται με α. III. Δύο πραγματικοί αριθμοί α, β, μη μηδενικοί, λέγονται αντίστροφοι όταν έχουν γινόμενο ένα, δηλαδή α β=. Για κάθε μη μηδενικό πραγματικό αριθμό υπάρχει ένας μόνο αντίστροφος. Ο αντίστροφος του μη μηδενικού αριθμού α συμβολίζεται με α. ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Δεν ορίζεται ο αντίστροφος του μηδενός, δηλαδή η παράσταση α έχει νόημα μόνο όταν α.

o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Η αφαίρεση και η διαίρεση πραγματικών αριθμών ορίζονται μέσω της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού αντίστοιχα. Αν α, β είναι πραγματικοί αριθμοί ορίζουμε: α β= α + ( β) και α:β= α, β β Το πηλίκο α:β, β συμβολίζεται και α β. Παρατηρήσεις. Το πηλίκο α β ορίζεται μόνο όταν β. Στα επόμενα θα εννοούμε ότι οι παρανομαστές των κλασμάτων είναι μη μηδενικοί. ΑΛΛΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ. α= β α+ γ= β+ γ. α= β αγ= βγ, γ (Η συνεπαγωγή ισχύει και όταν γ= ).. ( α= β και γ= δ ) α+ γ= β+ δ 4. ( α= β και γ= δ ) αγ= βδ 5. α = α= 6. α β= α= η β= και ( α β α και β ) 7. Κανόνας των προσήμων: ( ) α= α ( α)β= αβ ( α)( β) = αβ. 8. Κανόνας απαλοιφής παρενθέσεων: (α+β) = α β = α β α β 9. Πράξεις με κλάσματα α β α+ β α γ αδ+ βγ α γ α γ + =, γ + =, β,δ =, β,δ γ γ γ β δ βδ β δ β δ α γ α δ α δ : = =, β,γ,δ. β δ β γ β γ και ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα της μορφής: α = γ, β,δ. ( Δηλαδή αναλογία β δ λέγεται η ισότητα δύο λόγων ). Στην αναλογία α = γ, β,δ οι όροι: β δ α, γ λέγονται ηγούμενοι β, δ λέγονται επόμενοι

o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ α, δ λέγονται άκροι όροι β, γ λέγονται μέσοι όροι. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ Αν α, β, γ, δ πραγματικοί αριθμοί τότε:. α = γ α δ= β γ, β,δ β δ. α = γ α = β και α = γ δ = γ β δ γ δ β δ β α. α γ α ± β γ ± = = δ και α = γ α = γ β δ β δ β δ α± β γ± δ 4. Αν α = γ τότε α = γ = α+γ. β δ β δ β+δ Γενικά Αν α,α,...α ν,β,β,...β ν, ν N είναι πραγματικοί αριθμοί και α α αν α α αν α +α +...+αν = =... = τότε: = =... = =. β β β β β β β +β +...+β ν ν ν Παρατηρήσεις α α αν I. Όταν = =... =, λέμε ότι οι αριθμοί β,β,...βνείναι ανάλογοι με τους β β β ν αριθμούς α,α,...α ν. II. Στα προηγούμενα και στα επόμενα όπου υπάρχουν παρανομαστές εννοείται ότι είναι διαφορετικοί του μηδενός. Άρτιοι Περιττοί ακέραιοι Ένας ακέραιος αριθμός ν λέγεται άρτιος όταν διαιρείται με και περιττός όταν δεν διαιρείται με. Εύκολα αποδεικνύεται ότι: Ένας ακέραιος αριθμός ν είναι άρτιος αν και μόνο αν έχει μορφή ν= κ, όπου κ ακέραιος. Ένας ακέραιος αριθμός ν είναι περιττός αν και μόνο αν έχει μορφή ν = κ +, όπου κ ακέραιος. 4

o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ Να χαρακτηρίσετε σωστή ( Σ ) ή λάθος ( Λ ) κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις:. Ισχύει: =.. Οι αντίθετοι αριθμοί είναι ετερόσημοι. Οι αντίστροφοι αριθμοί είναι ετερόσημοι 4. Ο αντίστροφος του μηδενός είναι μηδέν. 5. Ο αντίθετος του μηδενός είναι μηδέν. 6. Αν α β > τότε α β > και αντίστροφα, όπου α, β R και β 7. Αν α β < τότε α β < και αντίστροφα, όπου α, β R και β 8. Αν α β τότε α και β 9. Αν α β = τότε α= και β. Για κάθε β ισχύει πάντα β =. Αν α, β είναι ακέραιοι αριθμοί τότε και οι αριθμοί α+ β, α β, α β και α β είναι ακέραιοι. Αν α, β είναι ρητοί αριθμοί τότε και οι αριθμοί α+ β, α β, α β και α β είναι ρητοί. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Σε καθεμία από τις παρακάτω ερωτήσεις να σημειώσετε τη σωστή απάντηση.. Το κλάσμα 4 είναι ίσο με + + + + 4 99 5

o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Α. 9 9 Β. 99 Γ. 5 Δ. 99 Ε. 99 + 8 4. Αν =, τότε το ψ πρέπει να είναι διαφορετικό από + ψ Α. Β. 8 Γ. 6 Δ. 4 Ε. 5. Το γινόμενο Α. Β. 4 Γ. Δ. Ε. είναι ίσο με 6. Αν 45 89 + + + = α, τότε το άθροισμα + + + είναι ίσο με 44 88 44 88 Α. α Β. 4α+ 4 Γ. 8α Δ. + α Ε. 4+ α 8 9 7. Αν = + και ψ= + τότε το ψ είναι ίσο με 9 4 9 4 Α. Β. Γ. 4 Δ. 5 Ε. 4 4 44 8. Αν = + και ψ= + τότε το είναι ίσο με 5 7 9 5 7 9 ψ Α. Β. ψ Γ. ψ Δ. ψ Ε. ψ 7 9 Αν =, τότε το είναι ίσο με 4+ 6 6 5 4 Α. Β. Γ. Δ. 4 Ε. 5 Αν + + 4ψ= 5, τότε το ψ είναι ίσο με + + Α. Β. Γ. 4 Δ. 5 Ε. 6. Αν = 4, τότε το ψ + ψ 5 ψ είναι ίσο με Α. Β. 5 Γ. 5 4 Δ. 9 Ε.. Αν α + ψ =, τότε το είναι ίσο με ψ α+ ψ 6

o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Α. Β. α Γ. Δ. α Ε.. Αν α = β = γ, τότε το 4 Α. Β. 9 6 Γ. 6 9 α + β + γ αβ+ βγ+ αγ Δ. Ε. 8 είναι ίσο με 4. Αν α =, β = γ και α+ β=, τότε το γ β είναι ίσο με β 4 5 Α. Β. 4 Γ. Δ. Ε. 5 5. Αν + + = και α= βψ= γz= 8, τότε το άθροισμα α+ β+ γ είναι ίσο με ψ z Α. 6 Β. Γ. 8 Δ. 4 Ε. 4 6. Αν 4 =, τότε ο λόγος ψ + ψ ψ ψ Α. 6 Β. 4 Γ. Δ. Ε. είναι ίσος με 7. Αν = ψ = z =, τότε ο λόγος ψ z t Α. 5 Β. 4 Γ. Δ. Ε. + ψ z z+ ψ είναι ίσος με ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8. Να υπολογίσετε το άθροισμα: + + + + 99 9. Να βρείτε την τιμή της παράστασης: α 4α α αβ(α β) β (i) για α= (ii) α + α+ 4 α + β(β α) για α= και β=.. Αν = α(α+ 5) 7, ψ= 4( α) (α )(α+ ) και οι αριθμοί, ψ είναι αντίθετοι να βρείτε τον α R.. Αν οι αριθμοί α,β είναι αντίθετοι να υπολογίσετε τις παραστάσεις: (i) α β+ (β+ 5) (ii) 5(α+ β) + (α β) + 9(β+ ) α. Αν =, τον α R. ψ=, α και οι αριθμοί, ψ είναι αντίστροφοι να βρείτε α 7

o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ. Αν ψ= + α και ψ ( α) 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: 5 ψ = + = + να δείξετε ότι: ( )( ) (i) ( )( + ) = (ii) ( )( )( ) (iii) ( 6)( + 4) ( 6)( )( + ) = (iv) 5 ( )( + 5) + 5 = = 5. Για ποιες τιμές του R έχουν νόημα οι παραστάσεις: 5 A= B + 4 = Γ= + 4 ( 5) (+ )( ) = E= + 6 5 5 Αναλογίες 6. Οι αριθμοί, ψ, z είναι ανάλογοι των αριθμών,, 5 και 8 ψ+ z= 6. Να βρεθούν οι, ψ, z. 7. Οι αριθμοί, ψ, z είναι ανάλογοι των αριθμών, 4, 7 και ψz= 5. Να βρεθούν οι, ψ, z. 8. Αν 7α 4β 5 = α+ 5β να υπολογίσετε τον λόγο α β. 9. Αν + ψ = 7 ψ να υπολογίσετε τους λόγους ψ και + ψ ψ ψ ψ z 4. Αν = = να δείξετε ότι: β γ γ α α β (i) + ψ+ z= (ii) α+ βψ+ γz= 4. Αν ψ z = = 4 να απλοποιήσετε το κλάσμα ψz + ψ + z ψ ψ 4. Αν = + z z συναρτήσει των, ψ με,ψ, z, ψ και + z να εκφράσετε το z 4. Να δείξετε ότι αν ψ + z ψ =, τότε 5 5ψ+ 4z= 8